Экономико-математическое моделирование

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

Таблица 1.1.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары	Общее количество ресурсов
	1-го вида	2-го вида
1	2	2	12
2	1	2	8
3	4	0	16
4	0	4	12

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден.ед., второго вида - 3 ден.ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение.

Экономико-математическая модель обозначим через Х₁, Х₂ объемы производства соответствующего вида продукции (количество товаров каждого вида).

Целевая функция - это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать f(x) = 2х₁ + 3х₂>max

Ограничения по ресурсам:

2х₁ + 2х₂ ? 12

х₁ + 2х₂ ? 8

4х₁ ? 16

4х₂ ? 12.

х₁, х₂ ? 0.

1. Первое ограничение имеет вид 2х₁ + 2х₂ ? 12. Найдем пересечение с осями координат. Прямая 2х₁ + 2х₂ = 12 проходит через точки (0;6) и (6;0). Второе ограничение имеет вид х₁ + 2х₂ ? 8. Прямая х₁ + 2х₂ = 8 проходит через точки (0;4) и (8;0). Третье ограничение 4х₁ ? 16, решением этого неравенства является полуплоскость ниже прямой х₁ = 4, четвертое ограничение имеет вид 4х₂ ? 12, решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой х₂ = 3. В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено. 2. На рисунке 1.1 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент V, координатами которого являются частные производные целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (2;3) с началом координат.

3. Затем построим линию уровня . Приравняем целевую функцию постоянной величине a.

В ОДР произвольно выбирается точка с координатами, удобными для вычисления.



Координаты выбранной точки (1;1) подставляются в уравнение целевой функции: .

Записывается уравнение целевой функции:

По уравнению целевой функции f(x) находятся координаты второй точки для построения линии уровня

2*0+3*х₂ = 5

х₁= 0; х₂= 1,7.

Через две точки проводится линия уровня. (рис. 1.1).

4. Построение вектора-градиента.

Находим координаты конца вектора-градиента. Ими являются коэффициенты при переменных в целевой функции (2;3). Начало вектора-градиента совпадает с началом координат. Мысленно перемещаем линию уровня в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она не выйдет из ОДР.

5. Точка, в которой линия уровня покидает ОДР, будет точкой optimum.

Находим координаты этой точки.

Записываем систему уравнений для линий, пересекающихся в opt точке.

В результате решения системы находим:

х₁ = 4

х₂ = 2

Координаты opt точки подставляем в уравнение целевой функции и находим max (f) = 2*4+3*2 = 14 ден.ед.

Вывод: предприятие получит максимальную прибыль 14 ден.ед. если будет выпускать 4 единицы товаров первого вида и 2 единицы товаров второго вида.

Все другие сочетания объемов выпуска продукции дадут наименьшую прибыль.

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.



Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	2	1	0,5	4	2400
II	1	5	3	0	1200
III	3	0	6	1	3000
Цена изделия	7,5	3	6	12

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности:

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;

оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3единицы.

Решение.

Сформулируем экономико-математическую модель задачи

Переменные х₁, х₂, х₃, х₄ - число изделий каждого вида.

Целевая функция:

Ограничения по ресурсам:

х₁, х₂, х₃, х₄ ? 0.

1. Найдем оптимальный план выпуска.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск решения.

В задаче оптимальные значения вектора, будут помещены в ячейках В3:Е3, оптимальное значение целевой функции - в ячейке F4.

Введем исходные данные. Опишем целевую функцию с помощью функции СУММПРОИЗВ (рис.2.1)

Введем данные для левых частей ограничений. Скопируем формулу из ячейки F4 в ячейки F9, F10, F11. В Поиске решения введем направление целевой функции, адреса искомых переменных, добавим ограничения. На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 2.2).



После ввода параметров ЗЛП нажмем кнопку Выполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено (рис. 2.3)

Полученное решение означает, что максимальный доход 9000 ед. можно получить 400 изделий В и 550 изделий Г. При этом сырье I и II будут использованы в полном объеме, а из 3000 сырья III будет использовано 2950.

2. Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи.

Переменные. Исходная задача содержит три ограничения по сырью I, II, III. Следовательно, в двойственной задаче три переменные:

y₁ - двойственная оценка сырья I или «цена» сырья I;

y₂ - двойственная оценка сырья II или «цена» сырья II;

y₃ - двойственная оценка сырья III или «цена» сырья III.

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

Необходимо найти такие «цены» y_i на сырье, чтобы общая стоимость используемого сырья была минимальной.

Ограничения. В исходной задаче четыре переменные, следовательно, в двойственной задаче четыре ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничений определяет стоимость сырья, затраченного на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенному виду изделия.

y₁, y₂, y₃ ? 0.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности. Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

тогда

Подставим оптимальные значения вектора в полученные выражения:

или

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

В нашей задаче , поэтому третье и четвертое ограничения двойственной задачи обращаются в равенства:



Решая полученную систему уравнений, находим .

Теневые цены сырья I, II, и III соответственно равны y₁ = 3, y2 = 1,5 , y3 = 0.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности:

Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений >Отчет по устойчивости.

Отчет по устойчивости (рис. 2.4) состоит из двух частей. Первая часть содержит информацию, относящуюся к переменным:

результат решения задачи (графа Результирующее значение);

нормируемая стоимость, которая показывает, насколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение.

Например, в отчете по устойчивости (рис.2.4) нормируемая стоимость для изделия Б -7,5. Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение (0;0;400;550), попробуем включить в план выпуска одно изделие Б, то новый план выпуска принесет доход 8992,5, что на 7,5 ед. меньше, чем прежнее оптимальное решение, коэффициенты целевой функции (графа Целевой коэффициент).

Предельные значения приращения целевых коэффициентов ?c_j, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение (графы Допустимое увеличение, Допустимое уменьшение). Например, допустимое увеличение цены на изделие Б равно 7,5 ед., а допустимое уменьшение практически не ограничено. Это означает, что если цена изделия Б возрастет более, чем на 7,5 ед., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпускать x₂. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (0;0;400;550) останется прежним.

Во второй части отчета содержится информация, относящаяся к ограничениям:

величина использованного сырья (графа Результирующее значение);

предельные значения приращения сырья ?b_i. В графе Допустимое уменьшение показано, насколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) сырье, сохранив при этом структуру оптимального решения.

Ценность дополнительной единицы сырья i (графа Теневая цена).

3. Поясним равенство нулю х₁ и х₂.

Если изделие вошло в оптимальный план , то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В данной задаче - это изделия В и Г.

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план выпуска из-за своей убыточности. В данной задаче в план выпуска не вошли изделия А и Б, потому что затраты по ним превышают цену. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора :

Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость (с обратным знаком по сравнению с симплексной таблицей).

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

Поскольку

Т.е.

То на основании первой теоремы двойственности можно утверждать, что предложенный план оптимален.

Определим, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида.

Для ответа на этот вопрос применим третью теорему двойственности:

Вывод: общая стоимость продукции увеличится на 75 ден.ед. и составит: 9000+75=9075 ден.ед.

Оценим целесообразность включения в план выпуска изделия Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2,4 и 3 единицы.

Используем свойство 3 двойственных оценок: в оптимальный план задачи на получение максимума прибыли:

Если , то вариант выгоден; если , то невыгоден.

Тип сырья	Объективно обусловленные оценки сырья	Затраты сырья на изделие Д
I	3	2
II	1,5	4
III	0	3
Цена изделия		10

Рассчитаем характеристику для нового изделия:

Поскольку то делаем вывод, что изделие Д невыгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление не покрываются получаемой прибылью.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.



Номер наблюдения (t = 1, 2, 9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
12	15	16	19	17	20	24	25	28

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель параметры которой оценить МНК - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания ? = 0,4 и ? = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4.Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использования R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

Таблица 1

t	Yt	Yt-Yср	(Yt-Yср)^2	?	t-tср	(t-tср)^2	(t-tср)(Yt-Yср)	Y(t)	?t=Yt-Y(t)	T.п.	?t^2	?t -?t-1	(?t -?t-1)^2	?t ?t-1
1	12	-7,6	57,1		-4	16	30,2	12,2	-0,2		0,0
2	15	-4,6	20,8	0,6	-3	9	13,7	14,0	1,0	1	1,0	1,2	1,3	-0,2
3	16	-3,6	12,6	0,2	-2	4	7,1	15,9	0,1	1	0,0	-0,9	0,7	0,1
4	19	-0,6	0,3	0,6	-1	1	0,6	17,7	1,3	1	1,7	1,2	1,3	0,2
5	17	-2,6	6,5	0,4	0	0	0,0	19,6	-2,6	1	6,5	-3,9	14,8	-3,3
6	20	0,4	0,2	0,6	1	1	0,4	21,4	-1,4	0	2,0	1,2	1,3	3,6
7	24	4,4	19,8	0,8	2	4	8,9	23,3	0,7	1	0,6	2,2	4,6	-1,0
8	25	5,4	29,6	0,2	3	9	16,3	25,1	-0,1	1	0,0	-0,9	0,7	-0,1
9	28	8,4	71,3	0,6	4	16	33,8	27,0	1,0		1,1	1,2	1,3	-0,1
45	176	0,0	218,2		0	60,0	111,0	176,0	0,0	6	12,9		26,2	-0,8
5	19,6		24,2

1)Проверим наличие аномальных наблюдений. Для каждого наблюдения, начиная со второго, рассчитывается , где - среднее квадратическое отклонение, - среднее арифметическое значение . Рассчитанные значения сравним с табличным, и если выполняется >табл, то наблюден ие аномально.

Здесь ?Yt=176, Ytср=19,6, ?(Yt-Yср)^2=218,2, ?=5,2, ?_табл=1,5. Данный временной ряд не содержит аномальных наблюдений.

2) Построим линейную модель , параметры которой оценим МНК. Для того, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений вычисляем частные производные и приравниваются к нулю. В результате решения системы получаем

;

.

В задаче 4.6 , 19,6-1,85*5=10,3, вычисленные значения параметров модели подставляем в уравнение , получаем

=10,3+1,9t.

2)Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания ?. Построим таблицу 2. Расчетное значение в момент времени получается по формуле Y_p(t)=a₀(t-1)+a₁(t-1)k, где k- количество шагов прогнозирования. Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза E(t)=Y(t)-Y_p(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам

a₁(t)=a₁(t-1)+(1-?)²*E(t)

a₀=a₀(t-1)+a₁(t-1)+E(t)*(1-?),

где ?- коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным (?=1-?).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов

a₀(0)=11,6, a₁(0)=1,4. Возьмем ?=0,4, k=1 и ?=1-?=1-0,4=0,6; для второго случая ?=0,7, k=1 и ?=1-?=1-0,7=0,3

Таблица 2

Время	Факт	a0 ?=0.4 ?=0.6	a1 ?=0.4	Расчет 1	Отклонение 1	а0 ?=0.7 ?=0.3	а1 ?=0.7	Расчет 2	Отклонение 2	Квадратоткл.1	Квадратоткл.2
		11,6	1,4			11,6	1,4
1	12	12,4	1,2	13,0	-1,0	12,1	0,9	13,0	-1,0	1,0	1,0
2	15	14,5	1,5	13,6	1,4	14,8	1,9	13,0	2,0	2,0	4,0
3	16	16,0	1,5	16,0	0,0	16,1	1,5	16,7	-0,7	0,0	0,5
4	19	18,4	1,7	17,5	1,5	18,9	2,2	17,6	1,4	2,4	1,9
5	17	18,1	1,2	20,2	-3,2	17,4	0,2	21,1	-4,1	10,0	16,8
6	20	19,8	1,3	19,3	0,7	19,8	1,4	17,6	2,4	0.4	5,8
7	24	22,9	1,8	21,1	2,9	23,7	2,8	21,2	2,8	8,5	7,9
8	25	24,9	1,8	24,7	0,3	25,1	2,0	26,5	-1,5	0,1	2,3
9	28	27,5	2,0	26,7	1,3	27,9	2,4	27,2	0,8	1,6	0,7
сумма										26,0	41,0



Модель Брауна. Лучшее значение параметра сглаживания ?=0,4, т.к. сумма квадратов отклонений параметра 1 меньше суммы квадратов отклонений параметра 2. 4) Оценка адекватности и точности моделей. Оценка адекватности линейной модели.

1. Математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. =0

2. Случайность ряда остатков по критерию пиковрезультат положительный, т.к. 62.

3. Проверка независимости уровней ряда остатков по формуле , d=26,2/12,9=2,034-отрицательная корреляция, преобразуем значение по формуле d^I=4- d, d^I=4-2,034=1,966=1,97, получили d^I=1,97 попадает в интервал d₂=1,36 и d=2,т.е d₂<d^I<2, 1,36<1,97<2-ряд остатков некоррелирован.

4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения установим с помощью формулы R/S=(?_max-?_min)/S_?, где S_?=, (?_max-?_min)=1,3-(-2,6)=3,9, S_?=, R/S=3,9:1,27=3,04 для n=9 ?=0,05- расчетное значение попадает в интервал (2,7-3.7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна, значит можно строить доверительный интервал прогноза.

5. Оценка точности линейной модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации по формуле, - хороший уровень точности модели.

Оценка адекватности модели Брауна

Время	Факт	a0 ?=0.4 ?=0.6	a1 ?=0.4	Расчет 1	Отклонение 1	?t -?t-1	(?t -?t-1)^2	?t ^2
		11,6	1,4
1	12	12,4	1,2	13,0	-1,0			1,0
2	15	14,5	1,5	13,6	1,4	2,4	5,8	2,0
3	16	16,0	1,5	16,0	0,0	-1,4	1,8	0,0
4	19	18,4	1,7	17,5	1,5	1,5	2,3	2,4
5	17	18,1	1,2	20,2	-3,2	-4,7	22,1	10,0
6	20	19,8	1,3	19,3	0,7	3,8	14,5	0,4
7	24	22,9	1,8	21,1	2,9	2,3	5,1	8,5
8	25	24,9	1,8	24,7	0,3	-2,7	7,0	0,1
9	28	27,5	2,0	26,7	1,3	1,0	1,0	1,6
Сумма							59,7	26,0

1. Случайность ряда остатков по критерию поворотных точек:

результат положительный, т.к. 62. Модель адекватна по этому критерию.

2. Проверка независимости уровней ряда остатков по формуле

,

d=59,7:26=2,3-отрицательная корреляция, преобразуем значение по формуле d^I=4- d

d^I=4-2,3=1,7, получили d^I=1,7 попадает в интервал d₂=1,36 и d=2,т.е d₂<d^I<2, 1,36<1,97<2-ряд остатков некоррелирован.

3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения установим с помощью формулы R/S=(?_max-?_min)/S_?, где S_?=, (?_max-?_min)=2,9-(-3,2)=6,1, S_?=, R/S=6,1:1,8=3,4 для n=9 ?=0,05- расчетное значение попадает в интервал (2,7-3.7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна, значит можно строить доверительный интервал прогноза.

4. Оценка точности модели Брауна на основе средней относительной ошибки аппроксимации по формуле, - хороший уровень точности модели.

6) Прогноз спроса на следующие две недели. Линейная модель:

Для вычисления точечного прогноза t=n+k, Y_{прогн(n+k)}=a₀+a₁(n+k)

Y₁₀= a₀+a₁t=10,3+1,85*10= 28,8, Y₁₁= a₀+a₁t=10,3+1,85*11=30,7.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Доверительная вероятность-70%, т.е. значение уровня значимости а=0,3. В этом случае критерий Стьюдента (при v=n-2=9-2=7) равен 1,119. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где ,

p-количество параметров модели (в линейной- два)

.

1,88, 1,99.

Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза и строим график

Y_{прогн(n+k)}+-верхняя граница,

Y_{прогн(n+k)}-- нижняя граница.

Прогнозные оценки по линейной модели

n+k	U(k)	прогноз	верхняя граница	нижняя граница
10	U(1)	28,8	30,68	26,92
11	U(2)	30,4	32,39	28,41

Результаты моделирования и прогнозирования (линейная модель).

Модель Брауна.

Точечный прогноз рассчитывают по формуле Y_прогн(t)=a₀(t-1)+a₁(t-1)k, где k=1,2…, а интервальный- по тем же формулам, что и для кривых роста:

Y_{прогн(n+k)}+-верхняя граница,

Y_{прогн(n+k)}-- нижняя граница.

Y₁₀=27,5+2*1= 29,6, Y₁₁=27,5+2*2=31,5.

, где ;

6,06; 6,61

Прогнозные оценки по модели Брауна

n+k	U(k)	прогноз	верхняя граница	нижняя граница
10	U(1)	29,6	30,68	26,92
11	U(2)	31,5	32,39	28,41

Результаты моделирования и прогнозирования (модель Брауна)