Глава 1. Теоретические сведения о модели Марковица

Модель Марковица основана на следующих принципах. Пусть инвестор имеет сегодня (в момент времени t=0) ликвидные средства. Его плановый период составляет T. Начальное имущество расходуется полностью, а именно, на ценные бумаги (акции) типа J, цена покупки которых (zj0 ) определена. Но возвратные потоки (дивиденды плюс будущая динамика курса) нельзя надежно спрогнозировать [6]. Известно лишь распределение вероятностей (в нашем случае они равновероятны). Мы ищем оптимальный портфель акций для инвестора, не расположенного к риску, который принимает свои решения на основе математического ожидания (m) и дисперсии (d2) , т.е ориентируется на принцип m-d2.

Под доходностью и риском ценной бумаги понимается следующая величина:

Доходность. Зависящая от ситуации доходность J-й акции составляет: rjs = -z1 js / z0 j-1, отсюда мы находим ожидаемую доходность:

Риск ценной бумаги измеряется средним квадратическим отклонением ее доходности:

Для портфеля из двух ценных бумаг ожидаемая доходность равна:

rps = w1r1s + w2r2s .

Поэтому математическое ожидание доходности портфеля можно представить в следующем виде:

Ожидаемая доходность портфеля соответствует взвешенной средней арифметической доходности содержащихся в портфеле акций.

Вычисление дисперсии описывается выражением [5]:

Дисперсия доходностей акций:

Ковариация доходности 1 с доходностью акции 2:

Если проведем соответствующие подстановки и преобразования, формула дисперсии доходности портфеля будет выглядеть следующим образом:

Эквивалентный, но для определенных аспектов весьма полезный метод записи этого уравнения можно получить, если использовать коэффициент корреляции [8]:

Коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости двух случайных переменных друг от друга. Коэффициент корреляции более прозрачен, чем ковариация, так как его значения не могут выходить за рамки строго определенного интервала [-1,1].

Для портфеля, состоящего из более чем двух ценных бумаг, вектор доходностей ценных бумаг выглядит в общем виде:

Матрица ковариаций имеет вид:

Доходность портфеля при наступлении s-й будущей ситуации характеризуется формулой:

Отсюда математическое ожидание доходности портфеля равно:

Дисперсия доходности портфеля определяется по формуле:

Если подставить в формулу дисперсии зависящих от ситуации портфельных доходностей и их математическое ожидание, то будет иметь место следующее выражение:

При использовании ковариации

получаем сокращенную формулу дисперсии доходности портфеля:

При этом ковариацией доходности j-й бумаги с доходностью той же бумаги является ее дисперсия:

Кроме того, верно

Таким образом, общую формулу риска портфеля, т.е. среднеквадратическое отклонение, можно записать следующим образом:

Когда в портфель включены более чем две ценные бумаги, путем изменения структуры портфеля можно варьировать риском портфеля, сохраняя неизменной его доходность. Не расположенный к риску инвестор всегда предпочитает при данной портфельной доходности портфель с меньшим риском, независимо от того, как велика его нерасположенность к риску.

Проблему минимизации можно решить, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этой цели, оставшиеся дополнительные ограничения путем преобразований надо приравнять к нулю, взвесить их, применяя множители Лагранжа, и подставить в целевую функцию. Тогда функция Лагранжа в общем виде будет выглядеть следующим образом:

Для определения процентных долей, которые минимизируют риск, необходимо приравнять производные функции Лагранжа по wj(j=1 - J), по l1 и по l2 к нулю. Таким образом, возникнет система (J+2) линейных уравнений с (J+2) неизвестными. В матричной форме записи система уравнений имеет следующую структуру:

Если мы решим эту систему уравнений для разных значений то получим структуру портфеля, минимизирующую риск [3].

Глава 2. Практическое применение

На сайтах www.RTS.ru и www.micex.ru возьмем по 35 наблюдений котировок акций компаний: ТАТНЕФТЬ, ЛУКОЙЛ, СБЕРБАНК, АЭРОФЛОТ, РАОЕЭС.

Найдем средние и дисперсии доходностей:

Для Татнефти:

Для Лукойла:

Для Сбербанка

Для Аэрофлота

Для РАОЕЭС

Для расчета матрицы ковариации воспользуемся Excel

Теперь можем составить оптимальный портфель. Представим, что у нас есть 10000р. И мы хотим найти наименее рискованный портфель при 10% норме доходности, т.е. требуем 1000р. дохода.

Воспользуемся пакетом оптимизации в Maple. Покажем код программы, который нам даст оптимальный портфель

> n := 5: X := <seq( x[i], i=1..n )>:

c := 10000;

G := 1000; # доходность 10%

r := <0.154,0.319,-0.018,-0.111,-0.183>;

Q := <<0.015,0.001,0.005,0.000,0.007> |

<0.001,0.008,0.000,0.001,-0.004> |

<0.005,0.000,0.009,-0.001,0.001> |

<0.000,0.001,-0.001,0.007,-0.002> |

<0.007,-0.004,0.001,-0.002,0.087> >;

Тогда целевая функция - квадратичная функция по X, следовательно можем использовать квадратичную оптимизацию.

> objective := expand( Transpose(X).Q.X );

Наши ограничения

> budget := add( x[i], i=1..n ) <= c;

growth := add( x[i]*r[i], i=1..n ) >= G;

Решим задачу оптимизации с помощью QPSolve.

> QPSolve( objective, {budget, growth}, assume=nonnegative );

Таким образом, минимум риска при ожидаемой доходности в 10% достигается при Активы 3,4,5 не покупается, т.к. их доходности отрицательны и ковариация с другими активами не является отрицательной для диверсификации портфеля.

Заключение

Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком - Дж. Тобином (Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling (eds) ), который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. Особое внимание заслуживает монография У. Шарпа (Sharpe W.E. Portfolio Theory and Capital Markets), который предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля на основе однофакторной модели рынка капиталов, позволяющий сводить задачу квадратичной оптимизации к линейной [1].

Со времен Марковица портфельный анализ существенно продвинулся, в его рамках были построены модели рыночного равновесия, предложены разнообразные способы измерения риска, учитывались все новые и новые инструменты. Успехи теории стимулировали создание новых рыночных инструментов, которые без сложившейся солидной расчетной базы просто не могли возникнуть. Задачи портфельного анализа являются также иллюстративным материалом для применения теории финансовых рисков. Модель Марковица активно применяется в практических расчетах для фондовых рынков. Впоследствии портфельный анализ Марковица был использован для рынка инвестиций, валютного, денежного рынка и для других рынков [10].

В заключение хотелось бы отметить, что модель не может однозначно ответить на все поставленные вопросы. Оценивая риск и доходность российского рынка ценных бумаг, мы можем лишь с определенной долей вероятности предположить, что будущая ситуация на фондовой бирже будет укладываться в рамки полученных статистических данных. Наличие огромного количества факторов, напрямую или косвенно влияющих на динамику котируемых эмитентов, не позволяет однозначно спрогнозировать и сократить до нуля риск потери инвестиций, но свести его до минимума с оптимальной доходностью возможно.

Литература

1. Лутц Крушвиц. Инвестиционные расчеты. - СПб, 2001.

2. Брэйли Р., Майерс С. «Принципы корпоративных финансов». Пер. с англ. - М. «Олимп-бизнес». 1997г.

3. «Мастерство Финансы» Пер. с англ. - М. «Олимп-бизнес». 1998 г.

4. Беккер А., Федорин В. «Россия: Минфин скупил долги на $2,5 млрд.» // Ведомости (20.02.02)

5. Водянов А., Смирнов А. « Паутина роста». // Эксперт. №42 (254), 2000г.

6. Егерев И. «Определение размера надбавок за риск при кумулятивном построении ставки дисконта». // Рынок ценных бумаг № 1 (160), 2000г.

7. Ефимова О. «Дисконтированная стоимость: расчет и анализ». // Бухгалтерский учет №10, 1998г.

8. Лимитовский М., Паламарчук В. «Стоимость собственного капитала российской корпорации». // Рынок ценных бумаг № 18 (153), 1999г.

9. Салун В. «Как правильно выбрать ставку дисконта». // Рынок ценных бумаг № 4 (139), 1999г.

10. Тихонов О. «Концепция дохода». // Рынок ценных бумаг № 5 (116), 1998г.