Математическое и компьютерное моделирование в естествознании

16

Реферат

Математическое и компьютерное моделирование в естествознании.

Введение

При изучении любого явления вначале получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования качественное представление переходит в количественное. На этом этапе определяют функциональные зависимости между переменными для каждого варианта решения и входных данных выходные данные системы. Построение моделей - процедура неформальная и очень сильно зависит от опыта исследователя, всегда опирается на определённый опытный материал. Модель должна правильно отражать явления, однако этого мало - она должна быть удобной для использования. Поэтому степень детализации модели, форма её представления зависят от исследования.

Изучение и формализация опытного материала - не единственный способ построения математической модели. Важную роль играет получение моделей, описывающих частные явления, из моделей более общих. Сегодня математическое моделирование применяют в различных областях знаний, выработано немало принципов и подходов, носящих достаточно общий характер.

Основная задача научного анализа - выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы их отбора. Здесь термин “движение” употребляется в широком смысле - изменения вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. В различных областях знаний принципы отбора движений разные. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и мыслящая. На самом нижнем уровне - неживой материи - основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и т.п. Любое моделирование начинается с выбора основных (фазовых) переменных, с помощью которых записывают законы сохранения.

Законы сохранения не выделяют единственного решения и не исчерпывают всех принципов отбора. Очень важны различные условия (ограничения): граничные, начальные и др.

На уровне живой материи все принципы отбора движений, справедливые для неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь процесс моделирования начинается с записи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются уже иными.

Преимущества математических моделей состоят в том, что они точны и абстрактны, передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку позволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения.

Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения.

Недостатки математических моделей заключаются часто в сложности математического аппарата. Возникают трудности перевода результатов с языка математики на язык реальной жизни. Пожалуй, самый большой недостаток математической модели связан с тем искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а также с теми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться от модели, оказавшейся неперспективной. Математическое моделирование настолько увлекательное занятие, что “модельеру” очень легко отойти от реальности и увлечься применением математических языков к абстрактным явлениям. Именно поэтому следует помнить, что моделирование в прикладной математике - это лишь один из этапов широкой стратегии исследования.

Моделирование водных экосистем

Научно-технический прогресс, развитие сельского хозяйства, урбанизация привели к загрязнению природных вод. Проблема загрязнения вод приобрела глобальный характер. В настоящее время выделяют химическое, физическое, биологическое, тепловое, радиоактивное типы загрязнений.

Загрязняющие вещества, в зависимости от типа источника загрязнения, разными путями попадают в водную среду. Они могут поступать из атмосферы; могут быть смыты склоновым стоком с сельскохозяйственных полей и угодий в подземные и речные воды; загрязнение также может быть бактериальным в результате развития и отмирания водной растительности. Поступление загрязняющих веществ в водоём может происходить непрерывно (по времени) или в результате массового сброса, в виде точечных или распределённых в пространстве источников.

При имитационном моделировании качества воды необходимо совместное описание гидрофизических и химико-биологических процессов. Задача моделирования заключается в том, чтобы научиться предвидеть, возможно, более отдалённые последствия вмешательства человека в установившийся в природе круговорот веществ и уметь нейтрализовать нежелательные результаты.

Под экосистемой понимают единый природно-антропогенный комплекс, образованный живыми организмами и средой их обитания, в котором экологические компоненты связаны между собой причинно-следственными связями, обменом веществ и распределением потока энергии. Водная экосистема является элементом системы более высокого порядка - биосферы. Водоём - открытая система, связанная с окружающей средой входными и выходными данными.

Остановимся на описании водных потоков и в качестве примера Упрощённое уравнение для расчёта температурного режима реки. Температурный режим водных потоков описывается уравнением теплопроводности Фурье -Кирхгофа:

,

где x, y, z - декартовы координаты, t - время, T - температура, - составляющие вектора скорости, с - удельная теплоёмкость воды, p - плотность среды, - коэффициенты теплопроводности, Sv - внутренние источники тепла. Для водных потоков в руслах рек и каналов обычно принимают x-овую и z-овую составляющие вектора скорости равными нулю и тоже равным нулю.

Математическое моделирование глобального развития

В настоящее время проблема “Человек и среда его обитания” широко обсуждается во всём мире. Рост населения, истощение природных ресурсов, отрицательные воздействия человека на окружающую среду, нехватка продуктов питания в некоторых развивающихся странах - вот основные аспекты этой проблемы. В условиях научно-технической революции воздействие человека на окружающую его среду приобрело масштабы, которые можно сравнить с природными процессами. Возникла реальная угроза необратимых отрицательных последствий. Современные социально-экономические процессы взаимодействия человека и окружающей среды настолько сложны и масштабны, что нельзя пассивно надеяться на их стихийную адаптацию в желательном направлении. Возникает задача - изучить действие всех в совокупности факторов, обуславливающих развитие человечества, найти пути сознательного управления этим развитием.

В этих условиях важным инструментом анализа управления развитием сложных систем становятся методы математического моделирования. Методологической базой комплексного исследования наиболее важных сторон развития человеческого общества является системный анализ. Системный анализ - это прикладная дисциплина, занимающаяся решением конкретных проблем, возникающих в процессе проектирования и анализа сложных технических, биологических, экономических и прочих систем.

Глобальные модели Форрестера и Мидоуза

Первая попытка формализовать описание экологических процессов была принята в 1971 г. американским исследователем Дж. Форрестером. В своей книге “Мировая динамика” Форрестер предложил некоторый вариант модели экономического развития, содержащий лишь два экологических параметра: численность населения и загрязнение среды. Модель позволила оценивать взаимное влияние этих параметров, с одной стороны, и темпов экономического развития - с другой. Хотя, как писал сам Форрестер, основная задача его книги была чисто методической, а модель носила учебный характер, роль его работы в развитии исследований глобального характера трудно переоценить. Впервые была продемонстрирована принципиальная возможность объединить производственные, социальные и экологические процессы одним формализмом. Через год после “Мировой динамики” вышла в свет книга “Пределы роста”, написанная группой ученых под руководством Д. Мидоуза. Модель Мидоуза - “Мир - 3” - представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику взаимодействия таких секторов, как народонаселение, промышленность, сельское хозяйство, не возобновляемые природные процессы, загрязнение среды и др. Целью их работы было выявление общих качественных тенденций процесса взаимосвязанного изменения основных переменных системы, анализ чувствительности результатов по отношению к различным заложенным в модель предположениям.

Работы Форрестера и Мидоуза вызвали широкий отклик в мировой литературе. Принципиальным недостатком математических моделей “Мир-2” и “Мир-3” являлось то, что модели не отражали возможности сознательного воздействия человека на процесс развития. Но следует отметить определённое положительное значение указанных работ. Впервые были системно проанализированы некоторые глобальные экономические. Демографические и экологические процессы.

Проект “Стратегия выживания” Месаровича - Пестеля

Следующим этапом в работах по глобальному моделированию явился проект “Стратегия выживания”, который возглавил М. Месарович (США) и Э. Пестель (ФРГ). Критикуя модель “Мир-3” как “механическую”, Месарович и Пестель выдвигают задачу построения “кибернетической” модели мира. Основные принципы её построения могут быть сформулированы в трёх тезисах:

Модель, отражающая сложные процессы взаимодействия человека с окружающей средой, должна основываться на теории многоуровневых иерархических систем.

Модель должна быть управляемой, т.е. включать в себя процесс принятия решений, что позволяет учесть возможность сознательного воздействия человека на развитие мировой системы. Для этого необходимо обеспечить работу в режиме диалога между исследователем модели и ЭВМ.

Мир следует рассматривать не как единое однородное целое, а как систему взаимодействующих регионов, различающихся уровнем развития, населенностью и т.п.

В модели Месаровича - Пестеля (М-П-модель) все страны мира, в соответствии с их социально-экономическими структурами и уровнями развития, объединены в 10 регионов; каждый регион описывается системой региональных подмоделей, их структура - одна и та же для всех регионов, отличие - в начальных данных и значениях параметров. Связь регионов осуществляется через миграцию населения, импорт и экспорт продукции.

Латиноамериканская модель глобального развития

В 1974г. группа аргентинских учёных во главе с профессором А. Эррерой получила предварительные результаты работы над латиноамериканской моделью глобального развития. Предпосылки для выполнения работы при обсуждении модели “Мир-3” послужил тезис о том, что основные преграды на пути гармонического развития человечества заключаещися главным образом в неравномерном распределении богатства между различными странами.

В модели Эрреры за основную цель развития человеческого общества принято достижение удовлетворительных условий жизни всеми странами мира, а не просто рост материального потребления. Под удовлетворительными условиями понимаются некоторые достаточно высокие уровни медицинского обслуживания, образования, обеспеченности питанием и жильём.

Применение компьютеров в научных исследованиях является необходимым условием изучения сложных систем. Традиционная методология взаимосвязи теории и эксперимента должна быть дополнена принципами компьютерного моделирования. Эта новая эффективная процедура дает возможность целостного изучения поведения наиболее сложных систем как естественных, так и создаваемых для проверки теоретических гипотез.

Методами компьютерного моделирования пользуются специалисты практически всех отраслей и областей науки и техники - от истории до космонавтики, поскольку с их помощью можно прогнозировать и даже имитировать явления, события или проектируемые предметы в заранее заданных параметрах.

Компьютерное моделирование в естествознании: возможности, достижения, перспективы

Большинство естественнонаучных теорий очень похожи на математику внутренней логикой своего построения. В основе любой математической теории лежит несколько аксиом, а все частные результаты, называемые теоремами, выводятся из аксиом посредством дедуктивных логических рассуждений. Аксиомы являются идеальными абстрактными образами реальных объектов.

Точно также во всех т.н. точных науках после этапа накопления экспериментальных данных формулируются основные законы, из которых могут быть получены все свойства различных систем и процессов, охватываемых данной теорией. Компактная и точная формулировка законов естествознания делается на языке математики в виде каких-либо уравнений. Таким образом, математической моделью любой реальной системы является некоторое уравнение или система уравнений с определенными значениями параметров и определенными граничными условиями.

Во многих случаях для решения этих уравнений традиционными аналитическими методами требуется использование серьезного, порой, очень громоздкого математического аппарата. Иногда решения в аналитической форме вообще отсутствуют. Попытка ограничиться рассмотрением простейших систем, для которых решение основных уравнений может быть найдено элементарными методами, существенно обедняет наши представления об окружающем мире.

Эффективный путь преодоления этих трудностей - построение компьютерной модели изучаемого явления, под которой понимается совокупность численных методов решения основных уравнений, алгоритмов их реализации и компьютерных программ. Хорошая компьютерная модель превращает компьютер из сверхбыстрого калькулятора в интеллектуальный инструмент, способствующий открытию новых эффектов, явлений и даже созданию новых теорий.

Результативность компьютерной модели в значительной степени определяется качеством используемого программного обеспечения. Основные требования, предъявляемые к программам - это, конечно, простота ввода и корректировки исходных данных, а также визуализация (наглядность) результатов счета. Сегодня имеются и мощные специализированные системы программирования (MAPLE, SolidWorks, AutoCAD и др.) и специальные программы, в которых реализуется удобные графические пользовательские возможности.

Использование компьютерных моделей превращает компьютер в универсальную экспериментальную установку. В компьютерном эксперименте обеспечен полный контроль за всеми параметрами системы, компьютерный эксперимент дешев и безопасен, с помощью компьютера удается ставить "принципиально невозможные" эксперименты (геологические процессы, космология, экологические катастрофы и т.д.).

Приведём примеры естественнонаучных задач, смоделированных при помощи компьютера:

1. Постановка задачи. Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение тел по замкнутой траектории.

В начале работы необходимо уточнить формулировку и условия задачи:

по заданным условиям (начальные координаты малого тела, начальная скорость малого тела, масса большого тела) построить траекторию движения малого тела, проверить является ли она эллипсом, если да, то проверить выполнение второго закона Кеплера для данных тел. Считать, что система, в которой производится моделирование, состоит из 2х тел. Считать гравитационную постоянную . Считать центральное тело неподвижным. Производить расчеты для тел, удаленных от центра системы не более чем на 100 а.е. Считать а.е. = 149 597 890 000м, а центром системы - центр большого тела.

Далее опишем методы исследования процесса:

По закону всемирного тяготения сила притяжения, действующая между двумя телами, пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если поместить начало системы координат на одном из тел (размерами тел по сравнению с расстоянием между ними будем пренебрегать), математическая запись силы, действующей на второе тело, имеет вид (рис. 1)

(1)

Здесь G = 6,67•10^-11 м³/кг•с²) - гравитационная постоянная.

Рис. 1 Выбор системы координат при решении задачи двух тел

Знак «минус» в формуле (1) связан с тем, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние г между телами.

Рассмотрим случай, когда центральным телом является Солнце, масса которого

М=1,9891Ч1030 кг, а обращающимся Земля, т.е. за расстояние примем 1 астрономическую единицу, равную 149 597 890 000м, пренебрегая при этом относительно небольшими силами притяжения от всех прочих небесных тел. Разумеется, мы тем самым произвели ранжирование факторов, и наши последующие действия имеют отношение к реальности лишь в меру соблюдения определенных условий.

Уравнение, описывающее движение тела m в указанной системе координат, имеет вид

или в проекциях на оси х, у

(2)

Интересующая нас орбита сильно зависит от «начальной скорости» тела т и «начального расстояния. При моделировании нам придется принять некоторое положение условно за начало, а затем изучать движение дальше. Очень часто космические тела движутся практически с постоянной скоростью по орбитам, близким к круговым. Для таких орбит легко найти элементарное соотношение между скоростью и радиусом. В этом случае сила тяготения выступает в роли центростремительной, а центростремительная сила при постоянной скорости выражается известной из начального курса физики формулой mv²/r. Таким образом, имеем

или

(3)

- искомое соотношение.

Период движения по такой орбите

Если соотношение (3) нарушено, то орбита не будет круговой. Выяснить, какой она будет, можно в ходе численного моделирования. Сведем (2) к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

(4).

Методы вычислений. При использовании математической модели движения получена система дифференциальных уравнений (4), описывающая параметры движения тела. Для вычисления траектории движения необходимо решить систему уравнений 4, для ее решения необходимо применять численные методы. Был использован метод Эйлера.

Метод Эйлера дает возможность построить таблично заданную функцию на некотором интервале ее значений. По методу Эйлера напишем систему соотношений (6) для нахождения таблицы значений функций описанных уравнением (3) и удовлетворяющих условию (5). Подробнее процесс построения таблицы значений функций по методу Эйлера описан в [6].

(5)

(6)

Где шаг сетки значений h.

Для проверки закона Кеплера нам необходимо сравнить площади секторов, заметаемых радиус-вектором за одинаковые промежутки времени. Если площади будут равные в достаточной степени точности, то мы сможем утверждать, что второй закон Кеплера выполняется. Для этого возьмём достаточно малое приращение по времени, для того, чтобы площадь данного сектора стремилась к площади треугольника, со сторонами а, b, c (рис.2).

Рис.2

Для вычисления площади треугольника, у которого заданы координаты вершин можно воспользоваться формулой Герона

(7)

где p - полупериметр треугольника, изображенного на рис. 2, a, b, c - длины его сторон.

Из системы уравнений (7) мы можем выразить координаты точек эллипса, удовлетворяющих заданной степени точности. Координаты начала векторов a,b будут равны (0,0), т.к. за начало координат принято Солнце. Длины векторов вычисляются по известной из алгебры формуле:

(8)

Таким образом, мы сможем вычислить площади треугольников, которые в совокупности будут давать площадь самого эллипса. Для того, чтобы утверждать, что закон Кеплера справедлив, возьмём наибольшую и наименьшую из полученных площадей, если разница между ними будет незначительна (к примеру, равна до пятого знака после запятой), то закон выполняется, так как площадь больших секторов для больших промежутков времени есть сумма полученных секторов и данного приращения по времени, мы можем утверждать, что закон Кеплера будет выполняться при любых условиях, если он будет выполняться при заданных.

После того как модель готова остаётся только написать программу, которая будет реализовывать данный алгоритм. Наша программа написана на языке С++.

Входные данные программы:

Mg= 132672970000000000000.0 метров - произведение массы Солнца на константу g.

x = 149600000000.0 - начальная координата малого тела по оси х

y = 0 - начальная координата малого тела по оси у

vx = 0 м/с - начальная скорость по оси х

vy = 29785 м/с - начальная скорость по оси у

Выходные данные программы:

sMax - площадь максимального из заметаемых радиус-вектором секторов

sMin - площадь минимального из заметаемых радиус-вектором секторов

Тестирование:

При заданных входных параметрах, площади треугольников, получаемых с помощью описанного выше алгоритма приближённо равны (не равны точно, т.к. в языке С++ переменные типа float при вычислениях округляются). sMax = 8.02207e+018, sMin = 8.01897e+018. Это позволяет говорить о том, что второй закон Кеплера справедлив.

2. Постановка задачи. Построить изолинии поля, созданного четырьмя одноименными зарядами, находящимися в вершинах прямоугольника. Значения зарядов (при последовательном обходе вершин) есть q, 2q, 3q, 4q.

Для того чтобы понять, какой способ условного изображения поля наиболее удобен и понятен было нам было необходимо понять суть самого предмета электродинамики, и на основе полученных знаний, предположить, какими могут быть альтернативные способы. Для этого нами были прочитаны: главы 36-40 [5], глава 3.8 [3], и раздел «Описание физических процессов в приближении сплошной среды» [4], в последствии чего было выявлено, что наиболее эффективным и наглядным способом является изображение поля линиями равного потенциала.

Описание метода исследования процесса. Для построения изолиний поля, созданного несколькими зарядами, можно воспользоваться принципом суперпозиции, то есть потенциал в каждой точке поля равен , где ц_i создаются в этой точке i-м зарядом. Потенциал поля, созданного зарядом Q на расстоянии r от него, равен , где Е₀ - электрическая постоянная.

Для решения воспользуемся методом сеток. Пусть поле создаётся системой зарядов Q₁ … Q_p с координатами соответственно (x₁, y₁),…,( x_p, y_p). Выберем по осям х и у и некоторые шаги h_x и h_y и покроем плоскость сеткой, образованной прямыми, параллельными осям х и у и отстоящими друг от друга на расстояниях h_x и h_y. Точки пересечения этих прямых - узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат (0, 0), следующий по оси х вправо - (0, 1), влево - (0, -1); по оси у вверх - (1, 0), вниз - (-1, 0) и т.д. Значения потенциала, создаваемого системой зарядов Q₁ … Q_р в узле (i, k), согласно принципу суперпозиции, таково (i - номер строки, k - столбца сетки): .

Ограничимся прямоугольной областью в плоскости ху: [-mh_x, mh_x] по оси х и [-nh_y, nh_y] по оси у. В этой области (2m + l) • (2n + l) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам.

Фиксируем некоторое значение потенциала Ф и построим изолинию, соответствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по i-ой горизонтальной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние значения потенциала, причем выполняется . Если такая пара узлов найдена, то координату точки, значение потенциала в которой равна Ф, найдем приближенно с помощью линейной интерполяции:

Найдя в данной горизонтали все такие точки, переходим к следующей горизонтали, пока не исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле перебирать i от -п до +п, во внутреннем перебирать k от -т до +т.

После этого надо найти нужные точки на вертикальных линиях сетки. Формулы аналогичны и имеют вид: .

После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все точки на этих линиях, в которых потенциал равен Ф. Проведя через эти точки линии, мы получим изолинию. Затем берем другие значения Ф и, повторяя указанную процедуру, получаем таким образом семейство изолиний.

Итак, предполагая, что все заряды лежат в одной плоскости, и изолинии строятся тоже лишь в этой плоскости, в главе II приступаем к разработке программы на языке Pascal.

Реализация программы: входными параметрами нашей программы являются координаты точек, в которых расположены заряды; величины зарядов; значения потенциалов.

Следовательно выходные и выходные данные будут представлены в следующем виде:

Входные данные:

массив абсцисс точек, в которых расположены заряды. Обозначим х

массив ординат точек, в которых расположены заряды. Обозначим у

массив, который содержит значения зарядов. Обозначим q

массив, который содержит значения потенциалов. Обозначим g

Далее нам остаётся лишь корректно реализовать предложенный нами в главе I алгоритм.

Результат работы программы приведён на следующем рисунке:

Конечно, реализованные нами задачи носят скорее учебный характер, чем практический, но и они дают понять, что и серьёзные естественнонаучные проблемы можно решать, построив сначала математическую, а потом компьютерную модель. Данный метод может не только наглядно демонстрировать нам те или иные природные явления, но и помогать нам в их прогнозировании или оценке, что, безусловно, несёт большой вклад в науку.

Список литературы

[1] Амосов А.А. «Вычислительные методы для инженеров» - М.:«Высшая школа», 1994.

[2] Кононович Э. В. «Астрономия» -М.:«Едиториал УРСС», 2004.

[3] Могилёв, А.В.; Пак, Н.И.; Хённер, Е.К. Информатика, -М.: «Академия», 2004.

[4] Могилёв, А.В.; Пак, Н.И.; Хённер, Е.К. Практикум по информатике, -М.: «Академия», 2005.

[5] Кабардин, О.Ф. Физика: справочные материалы -М.: «Просвещение», 1991.

[6] Описание метода Эйлера. http://detc.usu.ru/Assets/aMATH0031/lectures/Euler_ru.html

[7] Математическое моделирование в задачах охраны окружающей среды. Белолипецкий В.М. Шокин Ю.И.

[8] Дополнительные главы естествознания. Применения законов сохранения в математическом моделировании. Белолипецкий В.М., Дулов В.Г.

[9] Математическое моделирование окружающей среды. Белолипецкий В.М.