Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

• Лабораторна робота 1. Побудова лінійних економетричних моделей продуктивності праці
• Лабораторна робота 2. Побудова двофакторної лінійної моделі продуктивності праці
• Лабораторна робота 3. Побудова множинних економетричних моделей
• Лабораторна робота 4. Побудова нелінійних економетричних моделей обсягу виробленої продукції
• Лабораторна робота 5. Побудова нелінійних економетричних моделей попиту на продукцію
• Лабораторна робота 6. Побудова нелінійних економетричних моделей пропозиції продукції
• Лабораторна робота 7. Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера
• Список джерел


Лабораторна робота 1. Побудова лінійних економетричних моделей продуктивності праці

Згідно з вибіркою статистичних даних (дод. 1) потрібно побудувати лінійну економетричну модель залежності продуктивності праці (Y) від втрат робочого часу (Х). Необхідно:

1. Визначити параметри моделі.

2. Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.

3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Y	Х1	Х2
10,7	6,1	20,7
10,0	6,0	20,1
10,9	7,0	27,8
11,5	6,3	27,9
11,9	5,8	30,1
11,0	5,7	35,5
13,0	6,0	36,1
13,7	5,4	36,7
14,1	5,1	37,8
14,8	5,0	40,1
15,1	4,5	40,0
16,3	3,0	40,5
17,7	2,1	41,9
18,1	1,7	43,7
18,1	1,7	43,7

Примітка. Y - продуктивність праці, тис. грн/чол.; Х₁ - втрати робочого часу, тис. людино-годин на рік; Х₂ - коефіцієнт використання потужності,%.



Розв'язання

1. Економічний зміст змінних:

Y - продуктивність праці, тис. грн /чол. (залежна змінна);

Х - рівень втрат робочого часу, тис. люд.-год./рік (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ + а₁ X + u,

де а₀, а₁ - параметри моделі; u - залишки, інші невраховані чинники.

3. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

Y	Х
10,7	6,1
10,0	6,0
10,9	7,0
11,5	6,3
11,9	5,8
11,0	5,7
13,0	6,0
13,7	5,4
14,1	5,1
14,8	5,0
15,1	4,5
16,3	3,0
17,7	2,1
18,1	1,7
18,1	1,7

4. Для визначення параметрів моделі а₀ та а₁ складаємо систему нормальних рівнянь:

(1.1)

Де n - кількість спостережень, n = 15.

Всі суми, що входять у систему, обраховуються на основі похідних статистичних даних (табл. 1.2).

Таблиця 1.2

Спосте-реження	Yфакт	X	X2	Y Х	Yрозр
1	10,7	6,1	37,21	65,27	11,784	1,17427	9,56871
2	10	6	36	60	11,934	3,73887	14,38938
3	10,9	7	49	76,3	10,434	0,21730	8,37138
4	11,5	6,3	39,69	72,45	11,484	0,00027	5,25938
5	11,9	5,8	33,64	69,02	12,234	0,11127	3,58471
6	11	5,7	32,49	62,7	12,384	1,91421	7,80271
7	13	6	36	78	11,934	1,13717	0,62938
8	13,7	5,4	29,16	73,98	12,833	0,75086	0,00871
9	14,1	5,1	26,01	71,91	13,283	0,66682	0,09404
10	14,8	5	25	74	13,433	1,86763	1,01338
11	15,1	4,5	20,25	67,95	14,183	0,84039	1,70738
12	16,3	3	9	48,9	16,433	0,01767	6,28338
13	17,7	2,1	4,41	37,17	17,783	0,00684	15,26204
14	18,1	1,7	2,89	30,77	18,383	0,07988	18,54738
15	18,1	1,7	2,89	30,77	18,383	0,07988	18,54738
Суми	206,9	71,4	383,64	919,19	206,9	12,60333	111,06933

- середнє значення Y:

= 206,9/15 = 13,79333;

Y_розр - розрахункове значення Y для моделі.

5. Якщо підставити в систему рівнянь (1.1) значення n,

система рівнянь буде мати такий вигляд:

206,9 = а₀. 15 + а₁. 71,4(1.2)

919,19 = а₀. 71,4 + а₁. 530,07



Розв'яжемо цю систему рівнянь відносно невідомих параметрів моделі та .

а₀ = (206,9 - а₁. 71,4)/15

919,19 = [(206,9 - а₁. 71,4)/15]. 71.4 + а₁. 530,07

В результаті розв'язання системи рівнянь отримуємо значення: = 20,93, = - 1,50.

Отже, економетрична модель продуктивності праці (рівняння регресії) матиме вигляд:

Y = 20,93 - 1.50 X₁.

6. Визначимо скорегований коефіцієнт детермінації та коефіцієнт кореляції для даної моделі.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

(111.069338/14) = 7.9335

;

12.6033 / 13 = 0.9695

Коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

,

(7.9335-0.9695)/7.9335 = 0.8778.

Знаходимо коефіцієнт кореляції:

.

Коефіцієнт кореляції беремо зі знаком „мінус” оскільки такий знак має коефіцієнт регресії в моделі.

Рівень коефіцієнта кореляції r = -0,9369 свідчить про тісний обернений зв'язок між продуктивністю праці та втратами робочого часу на підприємстві.

Діапазони рівня тісноти зв'язку між Y та Х

Значення коефіцієнта кореляції	0	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99	1
Висновок про силу кореляційного зв'язку	відсутній	слабкий	помірний	середній	високий	досить високий	близький до функціонального

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,8778 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 87,8% визначається варіацією рівня втрат робочого часу і лише 12,2% змін Y припадає на невраховані чинники.

7. Визначимо коефіцієнт еластичності моделі

,

.

Виходячи з рівня коефіцієнта еластичності можна дійти висновку, що зі зменшенням втрат робочого часу на 1% продуктивність праці може підвищитись на 0,518%.

8. Проведемо розрахунки середньоквадратичної та відносної похибок моделі.

.

.

Рівень середньоквадратичної похибки означає, що фактичні значення Y відхиляються від розрахункового його значення (Y_розр) на 0,341386 тис. грн/чол. Відносна похибка, %,

,

Для точних моделей рівень відносної похибки не перевищує 10%.

9. Достовірність параметрів моделі оцінюється за допомогою F-критерію (критерію Фішера).

При моделюванні визначається розрахункове (F_розр) і табличне (F_табл) його значення, а потім вони порівнюються.

,

F_розр. = 111,069 / 12,603 = 8,813

Розрахункове значення перевищує табличне.

F_табл визначається за таблицею (дод. 7) для рівня надійності і ступенів свободи відповідно: f₁ = (n-m-1) та f₂ = (n-1), де n і m - кількість відповідно числа спостережень і незалежних змінних.

При = 0,95 та значеннях f₁ = 15-1-1 = 13 і f₂ = 15-1 = 14 табличне значення F-критерію буде дорівнювати F_табл = 2,5.

Порівняльний аналіз F_табл та F_розр: 8.813 2,5.

Модель приймаємо - припускаємо наявність лінійного зв'язку.

Отже, згідно з обчисленими характеристиками (коефіцієнт детермінації, кореляції, критерій Фішера) можна зробити висновок, що модель є достовірною (присутність лінійного зв'язку) та відображає тісний зв'язок між продуктивністю праці та рівнем втрат робочого часу.

10. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові всіх фактичних точок Y_факт з таблиці похідних даних та розрахункових значень Y_розр для отриманої моделі.

11. Аналіз моделі

Значення коефіцієнта кореляції свідчить про тісний кореляційний зв'язок між Y та X. Відносна похибка становить 6.879% і не перевищує 10%. Критерій Фішера розрахунковий перевищує значення табличного критерію Фішера. Отже, можна зробити висновок, що модель є достовірною та відображає тісний лінійний зв'язок між продуктивністю праці та рівнем втрат робочого часу.



Висновки

Проаналізувавши економетричну модель, можна дійти висновку, що модель є достовірною і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку: при зменшенні втрат робочого часу на підприємстві на 1 тис. люд.-год. на рік можливе підвищення продуктивності праці на 1.50 тис.грн/чол., за умови незмінної дії інших чинників, не врахованих у моделі. Виходячи з рівня коефіцієнта еластичності можна сказати, що зменшення на 1% втрат робочого часу сприятиме підвищенню продуктивності праці на 0,518%.

Лабораторна робота 2. Побудова двофакторної лінійної моделі продуктивності праці

Згідно варіанту завдання (дод. 1) побудувати двофакторну лінійну регресійну модель залежності продуктивності праці (Y, тис.грн./чол.) від втрат робочого часу, (Х₁) та коефіцієнту використання потужностей (Х₂ ). Необхідно:

1. Знайти параметри моделі.

2. Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.

3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Y	Х1	Х2
10,7	6,1	20,7
10,0	6,0	20,1
10,9	7,0	27,8
11,5	6,3	27,9
11,9	5,8	30,1
11,0	5,7	35,5
13,0	6,0	36,1
13,7	5,4	36,7
14,1	5,1	37,8
14,8	5,0	40,1
15,1	4,5	40,0
16,3	3,0	40,5
17,7	2,1	41,9
18,1	1,7	43,7
18,1	1,7	43,7

Примітка. Y - продуктивність праці, тис. грн/чол.; Х₁ - втрати робочого часу, тис. людино-годин на рік; Х₂ - коефіцієнт використання потужності, %.

Розв'язання

1. Економічний зміст змінних:

Y - продуктивність праці, тис.грн /чол. (залежна змінна);

Х₁ - рівень втрат робочого часу, тис.люд.-год./рік (незалежна змінна);

Х₂ - коефіцієнт використання потужностей,% (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₂ + u,

де а₀, а₁, а₂ - параметри моделі; u - залишки, інші невраховані чинники.

2. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Спостереження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2
1	10,7	6,1	20,7
2	10,0	6,0	20,1
3	10,9	7,0	27,8
4	11,5	6,3	27,9
5	11,9	5,8	30,1
6	11,0	5,7	35,5
7	13,0	6,0	36,1
8	13,7	5,4	36,7
9	14,1	5,1	37,8
10	14,8	5,0	40,1
11	15,1	4,5	40,0
12	16,3	3,0	40,5
13	17,7	2,1	41,9
14	18,1	1,7	43,7
15	18,1	1,7	43,7

4. Для визначення коефіцієнтів регресії а₀, а₁ та а₂, складаємо систему нормальних рівнянь:

а₀ N + а₁ X₁ + а₂ X₂ = Y

а₀ X₁ + а₁ (X₁)² + а₂ X₁X₂ = YX₁(2.1)

а₀X₂ + а₁ X₁ X₂ + а₂ (X₂)² = YX₂

де n - кількість спостережень, n = 15.

Всі суми обраховуються на основі вихідних статистичних даних в таблиці 2.2.

5. На основі рівняння 2.1 та обрахованих сум в таблиці 2.2 запишемо для нашого прикладу:

а₀ 15 + а₁ 71.4 + а₂ 522.6 = 206.9

а₀ 71,4 + а₁ 383.64+ а₂ 2340.3 = 919.19

а₀ 522.6 + а₁ 2340.3 + а₂ 19052.2 = 7481.32

В результаті розв'язання системи отримуємо значення:

а₀ = 13.356, a₁ = -0,9986, a₂ = 0,1490.

Таким чином, рівняння регресії буде мати вигляд:

Y_розр = 13,356 - 0,9986 Х₁ + 0,1490 Х₂

6. Коефіцієнт детермінації для даної моделі:

(111.07-4.8499)/111.07 = 0.9563

Визначимо скорегований коефіцієнти детермінації.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

111,07/14 = 7,9335.

;

.4,8499/ 13 = 0,3731

Скорегований коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

;

(7.9335-0.3731)/7.9335 = 0.9530

Справедлива нерівність:

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,9563 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 95,63% визначається варіацією незалежних змінних Х₁ та Х₂ і лише 4.37% змін Y припадає на невраховані в задачі чинники.

Таблиця 2.2

Спостере-ження	Yфакт	X1	X2	Y · X1	Y · X2	(X1)2	(Х2)2	Х1 · Х2	Yрозр	(Yфакт-Yрозр)2	(Yфакт -Yсер)2
1	10,7	6,1	20,7	65,27	221,49	37,21	428,49	126,27	10,35	0,1234	9,57
2	10	6	20,1	60	201	36	404,01	120,6	10,36	0,1290	14,39
3	10,9	7	27,8	76,3	303,02	49	772,84	194,6	10,51	0,1539	8,37
4	11,5	6,3	27,9	72,45	320,85	39,69	778,41	175,77	11,22	0,0775	5,26
5	11,9	5,8	30,1	69,02	358,19	33,64	906,01	174,58	12,05	0,0221	3,58
6	11	5,7	35,5	62,7	390,5	32,49	1260,25	202,35	12,95	3,8143	7,80
7	13	6	36,1	78	469,3	36	1303,21	216,6	12,74	0,0661	0,63
8	13,7	5,4	36,7	73,98	502,79	29,16	1346,89	198,18	13,43	0,0722	0,01
9	14,1	5,1	37,8	71,91	532,98	26,01	1428,84	192,78	13,89	0,0421	0,09
10	14,8	5	40,1	74	593,48	25	1608,01	200,5	14,34	0,2141	1,01
11	15,1	4,5	40	67,95	604	20,25	1600	180	14,82	0,0775	1,71
12	16,3	3	40,5	48,9	660,15	9	1640,25	121,5	16,39	0,0088	6,28
13	17,7	2,1	41,9	37,17	741,63	4,41	1755,61	87,99	17,50	0,0395	15,26
14	18,1	1,7	43,7	30,77	790,97	2,89	1909,69	74,29	18,17	0,0047	18,55
15	18,1	1,7	43,7	30,77	790,97	2,89	1909,69	74,29	18,17	0,0047	18,55
	206,9	71,4	522,6	919,19	7481,32	383,64	19052,2	2340,3	206,9	4,8499	111,07

7. Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

0,5886

8. Відносна похибка:

9. Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 111,07 /4,8499 = 22,90

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2,5;

F_розр. F⁹⁵_табл.

Модель приймаємо - припускаємо присутність лінійного зв'язку.

10. Коефіцієнт множинної кореляції

;

0.9779,

що свідчить про вельми високий зв'язок між показниками Y та X₁ , X₂.

11. Коефіцієнт регресії а₁ = - 0.9986 показує, що зниження втрат робочого часу на 1 тис. год./рік може привести до росту продуктивності праці на 0.9779 тис. грн./чол.

Коефіцієнт регресії а₂ = 0,1490 показує, що підвищення коефіцієнту використання потужності на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,1490 тис. грн./чол.

12. Графічне відображення моделі базується на побудові ліній регресії у прямокутних координатах Y-Х₁ та Y-Х₂. При цьому масштаб необхідно вибрати таким, щоб мінімальні і максимальні значення X₁ та X₂ співпадали між собою.

	X1	X2	Y = f(X1) при X2 = const	Y = f(X2) при X1 = const	Середнє значення
					X1	X2
min	1,50	55,80	18,93	15,44	5,39	68,62
max	8,70	78,10	13,19	16,11

13. Відносна зміна залежної змінної Y в процентах при зміні на 1% аргументів Х₁ та Х₂ характеризують коефіцієнти еластичності Е₁ та Е₂, які розраховуються за наступною формулою:

де а_і - коефіцієнт регресії при і-тому факторі;

- середнє значення і-тої незалежної змінної (фактора);

- середнє значення залежної змінної (розрахункове).

14. Порівняємо дві моделі (лаб. №1 та лаб. №2)

Коефіцієнти кореляції r = 0,9369 та r = 0,9779 свідчать про те, що залучення другої змінної Х₂ збільшує тісноту зв'язку між залежною і факторами. Середньоквадратична похибка зменшилася з 0,9488 до 0,5886 тис.грн./рік. Відносна похибка зменшилась з 6.88% до 4.27%.

Висновок

З аналізу одержаної моделі залежності продуктивності праці від втрат робочого часу і коефіцієнту використання потужності можна зробити висновок, що модель достовірна і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку.

На даному підприємстві збільшення продуктивність праці обумовлюється зменшенням втрат робочого часу. Так, при зменшенні втрат робочого часу на кожну 1 тис.год./рік, продуктивність праці збільшиться на 0,9986 тис.грн./чол.

При збільшенні коефіцієнту використання потужності на 1% продуктивність праці зросте на 0,149 тис.грн./чол.

Лабораторна робота 3. Побудова множинних економетричних моделей

Згідно варіанту завдання та вихідними даними (додаток 2) побудувати множинну лінійну регресійну модель залежності Y (продуктивності праці, тис. грн./чол.) від Х₁ - втрат робочого часу, тис.год./рік, Х₂ - коефіцієнту використання потужностей,%, Х₃ - рівня механізації і автоматизації виробництва,%.

Мета роботи:

1. Побудувати рівняння регресії.

2. Провести оцінку точності та імовірності моделі: розрахувати коефіцієнт кореляції; розрахувати середньоквадратичну та відносну похибки; розрахувати критерій Фішера; розрахувати коефіцієнт еластичності.

3. Представити модель на графіку.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.



Y	Х1	Х2	Х3
10,7	6,1	20,7	60,3
10,0	6,0	20,1	60,9
10,9	7,0	27,8	61,7
11,5	6,3	27,9	68,1
11,9	5,8	30,1	69,3
11,0	5,7	35,5	70,1
13,0	6,0	36,1	70,0
13,7	5,4	36,7	71,1
14,1	5,1	37,8	68,9
14,8	5,0	40,1	70,1
15,1	4,5	40,0	75,6
16,3	3,0	40,5	79,8
17,7	2,1	41,9	81,3
18,1	1,7	43,7	88,1
18,1	2,4	47,3	84,3

Примітка: Y - продуктивность праці, тис.грн./чол.; Х₁ - втрати робочого часу, тис. год./рік; Х₂ - коефіцієнт використання потужностей,%; Х₃ - рівня механізації і автоматизації виробництва,%.

Рішення.

1. Побудова рівняння регресії

У загальному вигляді множинна лінійна регресія буде мати вигляд:

Y = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₂ + а₃Х₃

Вихідні дані наводяться в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1

Спосте-реження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент	3-й аргумент
	Y	X1	X2	X3
1	10,7	6,1	20,7	60,3
2	10,0	6,0	20,1	60,9
3	10,9	7,0	27,8	61,7
4	11,5	6,3	27,9	68,1
5	11,9	5,8	30,1	69,3
6	11,0	5,7	35,5	70,1
7	13,0	6,0	36,1	70,0
8	13,7	5,4	36,7	71,1
9	14,1	5,1	37,8	68,9
10	14,8	5,0	40,1	70,1
11	15,1	4,5	40,0	75,6
12	16,3	3,0	40,5	79,8
13	17,7	2,1	41,9	81,3
14	18,1	1,7	43,7	88,1
15	18,1	2,4	47,3	84,3

Щоб визначити коефіцієнти регресії а₀, а₁, а₂ та а₃, складаємо систему нормальних рівнянь:

а₀ · N + а₁ ?X₁ + а₂ ?X₂ + а₃ ?X₃ = ?Y

а₀ ?X₁+ а₁ ? (X₁)² + а₂ ?X₁ · X₂ + а₃ ?X₁ · X₃ = ?Y · X₁

а₀ ?X₂ + а₁ ?X₁ · X₂ + а₂ ? (X₂)²+ а₃ ?X₂ · X₃ = ?Y · X₂

а₀ ?X₃ + а₁ ?X₁ · X₃ + а₂ ?X₂ · X₃ + а₃ ? (X₃ )² = ? Y · X₃

Всі суми обраховуються на основі похідних статистичних даних в таблиці 3.2.

На основі системи рівнянь та обрахованих сум в таблиці 3.2 запишемо для нашого прикладу:

а₀ 15 + а₁ 72,1 + а₂ 526,2 + а₃ 1079,6 = 206,9

а₀ 386,51+ а₁ 386,51+ а₂ 2379,53+ а₃ 5003,92 = 931,86₁

а₀ 2379,53+ а₁ 2379,53 + а₂ 19379,8+ а₃ 38713,56 = 7546,48

а₀ 5003,92 + а₁ 5003,92 + а₂ 38713,56 + а₃ 78688,52 = 15200,45

В результаті розв'язування системи отримуємо значення:

а₀ = 17,333, a₁ = -1,177 a₂ = 0,171, a₃ = -0,054

Таким чином, рівняння регресії має вигляд:

Y_розр = 17,333 - 1,177 Х₁ + 0,171 Х₂ - 0,054 Х₃

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Таблиця 3.2

спостереження	Yфакт	X1	X2	X3	Y X1	Y X2	Y X3	(X1)2	X1·X2	X1 X3	(Х2)2	Х2 Х3	(Х3)2	Yрозр	(Yфакт - Yрозр)2	(Yфакт - Yсер)2
1	10,7	6,1	20,7	60,3	65,27	221,49	645,21	37,21	126,27	367,83	428,49	1248,21	3636,09	10,44	0,0678	9,57
2	10	6	20,1	60,9	60	201	609	36	120,6	365,4	404,01	1224,09	3708,81	10,42	0,1782	14,39
3	10,9	7	27,8	61,7	76,3	303,02	672,53	49	194,6	431,9	772,84	1715,26	3806,89	10,52	0,1439	8,37
4	11,5	6,3	27,9	68,1	72,45	320,85	783,15	39,69	175,77	429,03	778,41	1899,99	4637,61	11,02	0,2346	5,26
5	11,9	5,8	30,1	69,3	69,02	358,19	824,67	33,64	174,58	401,94	906,01	2085,93	4802,49	11,92	0,0003	3,58
6	11	5,7	35,5	70,1	62,7	390,5	771,1	32,49	202,35	399,57	1260,25	2488,55	4914,01	12,92	3,6679	7,80
7	13	6	36,1	70	78	469,3	910	36	216,6	420	1303,21	2527	4900	12,67	0,1087	0,63
8	13,7	5,4	36,7	71,1	73,98	502,79	974,07	29,16	198,18	383,94	1346,89	2609,37	5055,21	13,42	0,0786	0,01
9	14,1	5,1	37,8	68,9	71,91	532,98	971,49	26,01	192,78	351,39	1428,84	2604,42	4747,21	14,08	0,0004	0,09
10	14,8	5	40,1	70,1	74	593,48	1037,48	25	200,5	350,5	1608,01	2811,01	4914,01	14,53	0,0747	1,01
11	15,1	4,5	40	75,6	67,95	604	1141,56	20,25	180	340,2	1600	3024	5715,36	14,80	0,0895	1,71
12	16,3	3	40,5	79,8	48,9	660,15	1300,74	9	121,5	239,4	1640,25	3231,9	6368,04	16,42	0,0155	6,28
13	17,7	2,1	41,9	81,3	37,17	741,63	1439,01	4,41	87,99	170,73	1755,61	3406,47	6609,69	17,64	0,0033	15,26
14	18,1	1,7	43,7	88,1	30,77	790,97	1594,61	2,89	74,29	149,77	1909,69	3849,97	7761,61	18,05	0,0021	18,55
15	18,1	2,4	47,3	84,3	43,44	856,13	1525,83	5,76	113,52	202,32	2237,29	3987,39	7106,49	18,05	0,0023	18,55
	206,9	72,1	526,2	1079,6	931,86	7546,48	15200,45	386,51	2379,53	5003,92	19379,8	38713,56	78683,52	206,9	4,67	111,07

Размещено на http://www.allbest.ru/

Коефіцієнт регресії а₁ = -1,177 показує, що зниження втрат робочого часу на 1 тис. год./рік може привести до зростання продуктивності праці на 1,177 тис.грн./чол.

Коефіцієнт регресії а₂ = 0,171 свідчить про те, що підвищення коефіцієнту використання потужності на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,171 тис. грн./чол.

Коефіцієнт регресії а₃ = -0,054 показує, що зниження рівня механізації і автоматизації виробництва на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0,054 тис. грн./чол.

2. Оцінка точності та імовірності моделі

Оцінка точності по середній квадратичній похибці:

Відносна похибка:

Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 111,07: 4,67 = 23,8

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2,53;

F_розр. F⁹⁵_табл.

Коефіцієнт множинної кореляції

,

що свідчить про досить тісний зв'язок між показниками Y та X₁ , X₂ , X₃.

Відносна зміна залежної змінна Y в процентах при зміні на 1% аргументів Х₁, Х₂ та Х₃ характеризують коефіцієнти еластичності Е₁, Е₂ та Е₃, які розраховуються за наступною формулою:

де а_і - коефіцієнт регресії при і-тому факторі;

- середнє значення і-тої незалежної змінної (фактора);

- середнє значення залежної змінної.

Для нашого прикладу:

Е₁ = -0,410

Е₂ = +0,436

Е₃ = -0,282

3. Графічне відображення моделі

Графічне відображення моделі базується на побудові ліній регресії у прямокутних координатах Y-Х_1, Y-Х₂ та Y-Х₃. При цьому масштаб необхідно вибрати таким, щоб мінімальні і максимальні значення X₁, X₂ та X₃ співпадали між собою.

	X1	X2	X3	Y = f(X1) при X2 = const, Х3 = const	Y = f(X2) при X1 = const, Х3 = const	Y = f(X3) при X1 = const, Х2 = const	Середнє значення
							X1	X2	X3
min	1,50	55,80	60,70	15,8272	14,94	12,87	5,39	68,62	82,29
max	8,70	78,10	99,00	15,8262	16,48	18,11

Лінія регресії Y = f(X₁) відображає вплив фактору Х₁ на продуктивність праці при постійних Х₂ та Х₃.

Лінія регресії Y = f(X₂) відображає вплив фактору Х₂ на продуктивність праці при постійних Х₁ та Х₃.

Лінія регресії Y = f(X₃) відображає вплив фактору Х₃ на продуктивність праці при постійних Х₁ та Х₂.

Розраховані коефіцієнти еластичності дають можливість побудувати графік еластичності:

Х,%	1	2
Е1	-0,410	-0,820
Е2	0,436	0,871
Е3	-0,282	-0,564

4. Загальний економічний аналіз моделі

З аналізу одержаної моделі залежності продуктивності праці від втрат робочого часу, коефіцієнту використання потужності та рівня механізації і автоматизації виробництва можна зробити висновок, що модель достовірна і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку.

На даному підприємстві істотно впливають на ріст продуктивності праці зниження втрат робочого часу. Так, при зниженні втрат на 1 тис.грн/рік продуктивність праці збільшиться на 1,177 тис.грн./чол. (1177 грн./чол.)

При збільшенні коефіцієнту використання потужності на 1% продуктивність праці збільшиться на 0,171 тис.грн./чол. (171 грн./чол. )

Відносно незначний вплив на продуктивність праці має зміна рівня механізації та автоматизації. При зниженні рівня на 1%, продуктивність праці збільшиться на 0,054 тис.грн./чол. (54 грн./чол.).

Лабораторна робота 4. Побудова нелінійних економетричних моделей обсягу виробленої продукції

Згідно з вихідними даними (дод. 3) треба побудувати лінійно-логарифмічну функцію залежності обсягу виробленої продукції від вартості основних засобів та кількості працівників, яка має вид:

,

де - залежна змінна, обсяг виробленої продукції, млн. т; - невідомі параметри моделі; , - незалежні змінні, показники відповідно вартості основних засобів, млн грн та кількості працівників, чол.

Слід також:

1. Розрахувати коефіцієнти кореляції та детермінації.

2. Обчислити коефіцієнти еластичності.

3. Обрахувати стандартну та відносну похибки моделі.

4. Визначити розрахункове та табличне значення критерію Фішера.

5. Оцінити ступінь достовірності моделі та зробити загальний висновок.

Порядок виконання завдання

Моделювання здійснюють на основі вибірки статистичних даних, яку студент отримує з відповідної таблиці додатка, згідно зі своїм варіантом. Варіант задається трьома цифрами: перша - номер стовпця для показника Y, друга - номер стовпця для показника х₁, третя - номер стовпця для показника х₂. Далі розрахунки та моделювання проводять за допомогою програмного забезпечення та комп'ютерної техніки.

Модель вигляду створюють у програмі “Excel” в такому порядку:

вводять у програму матрицю вихідних даних Y, х₁, х₂;

будують матрицю логарифмів ;

вводять нові змінні та лінеарізують форму залежності;

будують систему нормальних рівнянь;

розв'язують систему рівнянь відносно невідомих параметрів ;

створюють на базі знайдених числових параметрів модель (наприклад при значеннях числових параметрів а₀ = -1,2; а₁ = 0,27; а₂ = 0,03 модель матиме вигляд ).



Варіанти та вхідна інформація для виконання лабораторної роботи 4

	3	6	12
Кількість спостережень	Y	x1	x2
1	31,7	5,2	18
2	31,8	5,1	19
3	31,9	5,8	19
4	32,1	4,8	21
5	32,5	5,8	22
6	32,7	6,0	23
7	33,0	5,0	24
8	41,7	5,7	25
9	41,9	5,3	23
10	42,0	6,5	20
11	42,1	6,8	21
12	52,5	6,9	22
13	53,6	5,9	22
14	54,6	7,0	24
15	55,6	7,3	23
Примітка:	Y - обсяг виробленої продукції, млн.. т; x1 - вартість основних засобів, млн. грн..; x2 - кількість працівників, чол.

Постановка задачі

Побудувати виробничу функцію виду

де Y - обсяг випущеної продукції, тис. грн.;

Х₁ - вартість основних засобів, млн. грн.; Х₂ - чисельність працюючих, чол.

Визначити числові параметри цієї функції А, і .

Провести економічний аналіз впливу факторів впливу факторів Х₁ та Х₂ на Y, використовуючи як окремі коефіцієнти еластичності і так і об'єднані ( + ). Похідні дані наводяться в таблиці 4.1, матриця логарифмів - в таблиці 4.2

Таблиця 4.1

Спостереження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2
1	31,7	5,2	18
2	31,8	5,1	19
3	31,9	5,8	19
4	32,1	4,8	21
5	32,5	5,8	22
6	32,7	6,0	23
7	33,0	5,0	24
8	41,7	5,7	25
9	41,9	5,3	23
10	42,0	6,5	20
11	42,1	6,8	21
12	52,5	6,9	22
13	53,6	5,9	22
14	54,6	7,0	24
15	55,6	7,3	23

Таблиця 4.2

ln Y	ln X1	ln X2
3,46	1,65	2,89
3,46	1,63	2,94
3,46	1,76	2,94
3,47	1,57	3,04
3,48	1,76	3,09
3,49	1,79	3,14
3,50	1,61	3,18
3,73	1,74	3,22
3,74	1,67	3,14
3,74	1,87	3,00
3,74	1,92	3,04
3,96	1,93	3,09
3,98	1,77	3,09
4,00	1,95	3,18
4,02	1,99	3,14

Приведемо функцію до лінійного вигляду за допомогою логарифмування. Логарифмуємо функцію Y = А Х₁ x₂

lnY = ln А + ln Х₁ + ln Х₂,

Виконаємо підстановку:

lnY = Y', ln Х₁ = Х₁', ln Х₂ = Х₂', ln А = А',

Одержимо:

Y' = А' + Х₁' + Х₂'

Складаємо систему нормальних рівнянь:

Y' = А' n + Х₁'+ Х₂'

Y' Х₁' = А' Х₁' + (Х₁')² + Х₁' Х₂'

Y' Х₂' = А' Х₂' + (Х₁' Х₂')² + (Х₂')²

Суми розраховані у табл. 4.3

Розширена матриця системи нормальних рівнянь:

15,00	26,60	46,12	55,22
26,60	47,42	81,83	98,23
46,12	81,83	141,93	169,91

Результатом рішення даної системи буде: А' = -0,423; = 1,146; = 0,674.

Y' = -0,423 + 1,146 Х₁ + 0,674 Х₂

Степенева модель:

Y_розр = exp (-0,423) Х₁^1,146 Х₂^0,674

Y_розр = 0,655 Х₁^1,146 Х₂^0,674

Коефіцієнт детермінації для даної моделі:

(0,70-0,2544)/0,70 = 0.6493

Визначимо скорегований коефіцієнти детермінації.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

0,70/14 = 0,05

;

0,2454/ 13 = 0,0189

Скорегований коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

; (0,0311/0,0500) = 0,6223

Справедлива нерівність

економетричний лінійний продуктивність попит пропозиція

Таблиця 4.3

Спостере-ження	Y'факт	X'1	X'2	Y' · X'1	Y' · X'2	(X'1)2	(Х'2)2	Х'1 · Х'2	Y'розр	(Y'факт-Y'розр)2	(Y'факт -Y'сер)2
1	3,46	1,65	2,89	5,70	9,99	2,72	8,35	4,77	3,41	0,0018	0,05
2	3,46	1,63	2,94	5,64	10,19	2,65	8,67	4,80	3,43	0,0010	0,05
3	3,46	1,76	2,94	6,09	10,20	3,09	8,67	5,18	3,58	0,0128	0,05
4	3,47	1,57	3,04	5,44	10,56	2,46	9,27	4,78	3,43	0,0018	0,05
5	3,48	1,76	3,09	6,12	10,76	3,09	9,55	5,43	3,67	0,0373	0,04
6	3,49	1,79	3,14	6,25	10,93	3,21	9,83	5,62	3,74	0,0655	0,04
7	3,50	1,61	3,18	5,63	11,11	2,59	10,10	5,11	3,56	0,0044	0,03
8	3,73	1,74	3,22	6,49	12,01	3,03	10,36	5,60	3,74	0,0001	0,00
9	3,74	1,67	3,14	6,23	11,71	2,78	9,83	5,23	3,60	0,0180	0,00
10	3,74	1,87	3,00	7,00	11,20	3,50	8,97	5,61	3,74	0,0000	0,00
11	3,74	1,92	3,04	7,17	11,39	3,67	9,27	5,84	3,83	0,0073	0,00
12	3,96	1,93	3,09	7,65	12,24	3,73	9,55	5,97	3,87	0,0076	0,08
13	3,98	1,77	3,09	7,07	12,31	3,15	9,55	5,49	3,69	0,0827	0,09
14	4,00	1,95	3,18	7,78	12,71	3,79	10,10	6,18	3,95	0,0027	0,10
15	4,02	1,99	3,14	7,99	12,60	3,95	9,83	6,23	3,97	0,0025	0,11
	55,22	26,60	46,12	98,23	169,91	47,42	141,93	81,83	55,22	0,2454	0,70

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,6493 свідчить про те, що варіація логарифма продуктивності праці Y` на 64,93% визначається варіацією незалежних змінних Х'₁ та Х'₂ , a 35.07% змін Y' припадає на невраховані в задачі чинники.

Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

0,1324

Відносна похибка:

Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 0.70 /0.2454 = 2.85

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2,5;

F_розр. F⁹⁵_табл.

Модель приймаємо - припускаємо присутність лінійного зв'язку між логарифмами факторів.

Коефіцієнт множинної кореляції

;

0.8058, що свідчить про вельми високий зв'язок між показниками Y' та X'₁ , X'₂.

Аналіз результатів моделювання

Результатом моделювання є двофакторна економетрична модель

Y_розр = 0,655 Х₁^1,146 Х₂^0,674

В ній відображений кількісний взаємозв'язок між обсягом виробленої продукції та чинниками, які впливають на нього: вартість основних засобів та кількість працівників.

Параметр моделі a = 1,146 характеризує діапазон зміни Y за умови зміни вартості основних засобів. Тобто якщо вартість основних засобів зросте на підприємстві на 1%, обсяг виробленої продукції може підвищитися на 1,146% (за умови незмінної дії інших чинників). І навпаки, зменшення обсягів основних засобів на 1% може призвести до скорочення обсягів випуску продукції на 1,146%.

Параметр моделі Y = 0,674 характеризує діапазон зміни показника Y за умови зміни кількості працівників на підприємстві. Так, якщо остання зросте на 1% можливе підвищення обсягів виробленої продукції буде становити 0,674% (за умови незмінної дії інших чинників).

У разі зменшення кількості працівників на підприємстві на 1% можливе скорочення обсягу виробленої продукції буде становити 0,674% за умови, що решта чинників залишиться незмінною.

Висновки

Для наведеної степеневої нелінійної моделі коефіцієнти еластичності дорівнюють параметрам моделі, тобто Еx1 = 1.146; Ex2 = 0.674

Загальна сумарна еластичність для нелінійної степеневої моделі

E = Еx1 + Ex2 = 1.146+ 0.674 = 1.820

Сумарна еластичність показує, що коли враховані в моделі чинники x₁, x₂ одночасно збільшуються на 1%, то обсяг виробленої продукції може зрости на 1,820%.

Виходячи з того, що¦?¦>¦?¦, можна сказати, що чинник вартості основних засобів x₁ впливає більш суттєво на значення Y, ніж чинник кількості працівників x₂. Коефіцієнт еластичності = 1,146 відображає еластичність випуску продукції відносно вартості основних засобів підприємства при незмінній чисельності робочої сили.

Якщо збільшити вартість основних фондів підприємства на 1%, то слід очікувати збільшення обсягів випуску продукції на 1,146%.

Коефіцієнт еластичності = 0,674 відображає еластичність випуску продукції відносно чисельності працюючих при незмінній вартості основних фондів, тобто, якщо збільшити чисельність працюючих на 1%, то слід очікувати підвищення випуску продукції на 0,674%.

Сумісний вплив ( + ) 1: (1,146 + 0,674) = 1,820 1. Звідси можна сказати про зростаючу ефективність факторів, тобто темпи зростання Y (обсяг випущеної продукції) вище ніж темпи зростання Х₁ та Х₂.

Лабораторна робота 5. Побудова нелінійних економетричних моделей попиту на продукцію

Згідно з варіантом та вихідними даними (дод. 4) потрібно побудувати модель попиту на пиво. Модель має вигляд:

,

де Y - обсяг реалізації пива (попит на пиво), млн. дал; - невідомі параметри моделі; - ціна за 1 дал пива, грн; - середньорічний дохід на душу населення, тис. грн.

Слід також:

1. Розрахувати коефіцієнти кореляції та детермінації.

2. Обчислити коефіцієнти еластичності.

3. Обрахувати стандартну та відносну похибки моделі.

4. Визначити розрахункове та табличне значення критерію Фішера.

5. Оцінити ступінь достовірності моделі та зробити загальний висновок.

Завдання виконують за порядком, наведеним у лабораторній роботі 4.

Варіанти та вхідна інформація для виконання лабораторної роботи 5

Кількість спостережень	Варіанти
	3	6	12
	Y	x1	x2
1	3,8	3,4	4,34
2	3,1	3,5	3,92
3	2,9	2,5	4,35
4	3,7	3,3	4,09
5	3,5	3,0	4,38
6	3,3	4,9	5,74
7	2,8	4,8	4,32
8	3,9	4,5	5,12
9	4,5	2,5	5,45
10	4,7	3,2	5,94
11	3,6	4,2	5,45
12	4,6	4,5	5,84
13	4,9	4,3	5,49
14	3,5	4,2	6,27
15	4,5	4,2	5,98
Примітка:	Y - обсяг реалізації пива, млн. дал.; x1 - ціна за 1 дал. Пива., грн..; x2 - доход на душу населення, тис. грн.



Постановка задачі.

Побудувати виробничу функцію виду

де Y - обсяг реалізації пива, млн. дал;

Х₁ - ціна за 1 дал пива, грн;

Х₂ - доход на душу населення, млн.грн

Визначити числові параметри цієї функції А, і??? .

Провести економічний аналіз впливу факторів впливу факторів Х₁ та Х₂ на Y, використовуючи як окремі коефіцієнти еластичності і так і об'єднані ( + ).

Похідні дані наводяться в таблиці 5.1, матриця логарифмів - в таблиці 5.2.

Таблиця 5.1

Спостереження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2
1	3,8	3,4	4,34
2	3,1	3,5	3,92
3	2,9	2,5	4,35
4	3,7	3,3	4,09
5	3,5	3	4,38
6	3,3	4,9	5,74
7	2,8	4,8	4,32
8	3,9	4,5	5,12
9	4,5	2,5	5,45
10	4,7	3,2	5,94
11	3,6	4,2	5,45
12	4,6	4,5	5,84
13	4,9	4,3	5,49
14	3,5	4,2	6,27
15	4,5	4,2	5,98



Таблиця 5.2

ln Y	ln X1	ln X2
1,34	1,22	1,47
1,13	1,25	1,37
1,06	0,92	1,47
1,31	1,19	1,41
1,25	1,10	1,48
1,19	1,59	1,75
1,03	1,57	1,46
1,36	1,50	1,63
1,50	0,92	1,70
1,55	1,16	1,78
1,28	1,44	1,70
1,53	1,50	1,76
1,59	1,46	1,70
1,25	1,44	1,84
1,50	1,44	1,79

Приведемо функцію до лінійного вигляду за допомогою логарифмування.

Логарифмуємо функцію Y = А Х₁ x₂

lnY = ln А + ln Х₁ + ln Х₂,

Виконаємо підстановку:

lnY = Y', ln Х₁ = Х₁'?, ln Х₂ = Х₂'?, ln А = А',

Одержимо:

Y' = А' + Х₁' + Х₂'

Складаємо систему нормальних рівнянь:



Y' = А' n + Х₁'+ Х₂'

Y' Х₁' = А' Х₁' + (Х₁')² + Х₁' Х₂'

Y' Х₂' = А' Х₂' + (Х₁' Х₂')² + (Х₂')²

Розширена матриця системи нормальних рівнянь:

15,00	19,69	24,30	19,88
19,69	26,55	32,09	26,11
24,30	32,09	39,72	32,45

Суми розраховані у табл. 5.3

Результатом рішення даної системи буде: А' = 0,319; = -0,198; = 0,782.

Y' = 0,319 - 0,198 Х₁ + 0,782 Х₂

Степенева модель:

Y_розр = exp (0,319) Х₁^-0,198 Х₂^0,782

Y_розр = 1,376 Х₁^-0,198 Х₂^0,782

Коефіцієнт детермінації для даної моделі:

(0,45-0,2596)/0,45 = 0.4201

Визначимо скорегований коефіцієнти детермінації.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

0,45/14 = 0,032

;

0,2596/ 13 = 0,020

Скорегований коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

;

0,0120 /0,0320 = 0,3755

Справедлива нерівність:

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,4201 свідчить про те, що варіація логарифма обсягу реалізації пива Y` на 42,01% визначається варіацією незалежних змінних Х'₁ та Х'₂ , a 57,99% змін Y' припадає на невраховані в задачі чинники.

Таблиця 5.3

Спостере-ження	Y'факт	X'1	X'2	Y' · X'1	Y' · X'2	(X'1)2	(Х'2)2	Х'1 · Х'2	Y'розр	(Y'факт-Y'розр)2	(Y'факт -Y'сер)2
1	1,34	1,22	1,47	1,63	1,96	1,50	2,15	1,80	1,22	0,0123	0,00
2	1,13	1,25	1,37	1,42	1,55	1,57	1,87	1,71	1,14	0,0001	0,04
3	1,06	0,92	1,47	0,98	1,57	0,84	2,16	1,35	1,29	0,0494	0,07
4	1,31	1,19	1,41	1,56	1,84	1,43	1,98	1,68	1,18	0,0155	0,00
5	1,25	1,10	1,48	1,38	1,85	1,21	2,18	1,62	1,26	0,0000	0,01
6	1,19	1,59	1,75	1,90	2,09	2,53	3,05	2,78	1,37	0,0312	0,02
7	1,03	1,57	1,46	1,62	1,51	2,46	2,14	2,30	1,15	0,0151	0,09
8	1,36	1,50	1,63	2,05	2,22	2,26	2,67	2,46	1,30	0,0040	0,00
9	1,50	0,92	1,70	1,38	2,55	0,84	2,88	1,55	1,46	0,0017	0,03
10	1,55	1,16	1,78	1,80	2,76	1,35	3,17	2,07	1,48	0,0044	0,05
11	1,28	1,44	1,70	1,84	2,17	2,06	2,88	2,43	1,36	0,0063	0,00
12	1,53	1,50	1,76	2,30	2,69	2,26	3,11	2,65	1,40	0,0157	0,04
13	1,59	1,46	1,70	2,32	2,71	2,13	2,90	2,48	1,36	0,0519	0,07
14	1,25	1,44	1,84	1,80	2,30	2,06	3,37	2,63	1,47	0,0472	0,01
15	1,50	1,44	1,79	2,16	2,69	2,06	3,20	2,57	1,43	0,0051	0,03
	19,88	19,69	24,30	26,11	32,45	26,55	39,72	32,09	19,88	0,2596	0,45

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

0,1362

Відносна похибка:

Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 0,45/ 0,2596 = 1,72

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2,5;

F_розр. < F⁹⁵_табл.

Модель не є адекватною та прийнятною для прогнозування на рівні значущості 95%.

Коефіцієнт множинної кореляції

;

0.6482,

що свідчить про зв'язок середньої сили між показниками Y' та X'₁ , X'₂.

Аналіз результатів моделювання

Результатом моделювання є двофакторна економетрична модель

Y_розр = 1,376 Х₁^-0,198 Х₂^0,782

В ній відображений кількісний взаємозв'язок між обсягом реалізації пива та чинниками, які впливають на нього: ціну за 1 дал пива та середньорічні доходи на душу населення

Параметр моделі a = 1,376 характеризує діапазон зміни Y за умови зміни ціни за 1 дал пива. Тобто якщо ціна зросте на 1%, обсяг продажів пива зменшиться на 0,198% (за умови незмінної дії інших чинників). І навпаки, зниження ціни на пиво на 1% може призвести до зростання обсягів продажу на 0,198%.

Параметр моделі Y = 0,782 характеризує діапазон зміни показника Y за умови зміни середньорічних доходів на душу населення. Так, якщо дохід зросте на 1% можливе підвищення обсягів продажу пива буде становити 0,782% (за умови незмінної дії інших чинників).

У разі зменшення середньорічного доходу на 1% можливе скорочення обсягу продажу на 0,782% за умови, що решта чинників залишиться незмінною.

Висновки

Для наведеної степеневої нелінійної моделі коефіцієнти еластичності дорівнюють параметрам моделі Y, тобто Еx1 = -0,198; Ex2 = +0.782

Загальна сумарна еластичність для нелінійної степеневої моделі

E = Еx1 + Ex2 = -0,198+ 0.782 = 0,584

Сумарна еластичність показує, що коли враховані в моделі чинники x₁, x₂ одночасно збільшуються на 1%, то обсяг продажу пива може зрости на 0,584%.

Виходячи з того, що¦Y¦<¦Y¦, можна сказати, що чинник доходів на душу населення x₂ впливає більш суттєво на значення Y, ніж чинник ціни на пиво x₁.

Коефіцієнт еластичності = -0,198 відображає еластичність продажу пива відносно його ціни при незмінних доходах на душу населення.

Якщо збільшити ціну на пиво на 1%, то слід очікувати зниження обсягів його продажу на 0,198%.

Коефіцієнт еластичності = 0,782 відображає еластичність продажу пива відносно доходів на душу населення при незмінній ціні, тобто, якщо збільшити доходи на 1%, то слід очікувати підвищення продажів на 0,782%.

Сумісний вплив ( + ) < 1: (-0,198 + 0,782) = 0,584 < 1. Звідси можна сказати про спадну ефективність факторів, тобто темпи зростання Y (продажу пива) нижчі, ніж темпи зростання Х₁ та Х₂.

Лабораторна робота 6. Побудова нелінійних економетричних моделей пропозиції продукції

Згідно з варіантом та вихідними даними (дод. 5) потрібно побудувати економетричну модель пропозиції молочних продуктів вигляду:

,

де Y - кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками, млн. грн..; - невідомі параметри моделі; - ціна за 1 л молока, грн.; - витрати на податки, тис. грн.

Слід також:

1. Розрахувати коефіцієнти кореляції та детермінації.

2. Обчислити коефіцієнти еластичності.

3. Обрахувати стандартну та відносну похибки моделі.

4. Визначити розрахункове та табличне значення критерію Фішера.

5. Оцінити ступінь достовірності моделі та зробити загальний висновок.

Лабораторну роботу №6 виконують за порядком, наведеним у лабораторній роботі №4. Аналіз результатів моделювання та висновки по моделі студент виконує самостійно.

Варіанти та вхідна інформація для виконання лабораторної роботи 6

№ спостереження	3	6	12
	Y	x1	x2
1	3,38	1,8	1,41
2	4,34	1,5	1,41
3	5,42	1,8	1,38
4	5,63	1,8	1,35
5	6,21	2,1	1,4
6	6,36	2,0	1,3
7	6,62	1,7	1,23
8	7,77	2,1	1,17
9	7,81	2,0	1,11
10	8,48	1,7	1,05
11	9,23	1,9	1,02
12	9,58	2,1	0,99
13	9,91	2,1	1,035
14	10,64	2,4	1,02
15	10,81	2,5	0,99

Y - кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками, тис. грн; x₁ - ціна за 1 л молока, грн; x₂ - витрати на податки, тис. грн.

Постановка задачі.

Побудувати виробничу функцію виду

де Y - кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками, тис. грн..;

Х₁ - ціна за 1 л молока, грн..;

Х₂ - витрати на податки, тис. грн.

Визначити числові параметри цієї функції А, і .

Провести економічний аналіз впливу факторів впливу факторів Х₁ та Х₂ на Y, використовуючи як окремі коефіцієнти еластичності і так і об'єднані ( + ).

Похідні дані наводяться в таблиці 6.1, матриця логарифмів - в таблиці 6.2.

Таблиця 6.1

Спостереження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2
1	3,38	1,8	1,41
2	4,34	1,5	1,41
3	5,42	1,8	1,38
4	5,63	1,8	1,35
5	6,21	2,1	1,4
6	6,36	2	1,3
7	6,62	1,7	1,23
8	7,77	2,1	1,17
9	7,81	2	1,11
10	8,48	1,7	1,05
11	9,23	1,9	1,02
12	9,58	2,1	0,99
13	9,91	2,1	1,035
14	10,64	2,4	1,02
15	10,81	2,5	0,99

Таблиця 6.2

ln Y	ln X1	ln X2
1,22	0,59	0,34
1,47	0,41	0,34
1,69	0,59	0,32
1,73	0,59	0,30
1,83	0,74	0,34
1,85	0,69	0,26
1,89	0,53	0,21
2,05	0,74	0,16
2,06	0,69	0,10
2,14	0,53	0,05
2,22	0,64	0,02
2,26	0,74	-0,01
2,29	0,74	0,03
2,36	0,88	0,02
2,38	0,92	-0,01

Приведемо функцію до лінійного вигляду за допомогою логарифмування.

Логарифмуємо функцію Y = А Х₁ x₂

lnY = ln А + ln Х₁ + ln Х₂,

Виконаємо підстановку:

lnY = Y', ln Х₁ = Х₁', ln Х₂ = Х₂', ln А = А', Одержимо:

Y' = А' + Х₁' + Х₂'

Складаємо систему нормальних рівнянь:

Y' = А' n + Х₁'+ Х₂'

Y' Х₁' = А' Х₁' + (Х₁')² + Х₁' Х₂'

Y' Х₂' = А' Х₂' + (Х₁' Х₂')² + (Х₂')²

Суми розраховані у табл. 6.3

Розширена матриця системи нормальних рівнянь:



15,00	10,02	2,48	29,43
10,02	6,94	1,50	20,10
2,48	1,50	0,69	4,24

Результатом рішення даної системи буде: А' = 1,874; = 0,595; = -1,869.

Y' = 1,874 + 0,595 Х₁ - 1,869 Х₂

Степенева модель:

Y_розр = exp (1,874) Х₁^0,595 Х₂^-1,869

Y_розр = 6,514 Х₁^0,595 Х₂^-1,869

Коефіцієнт детермінації для даної моделі:

(1,61-0,1856)/1,61 = 0.8850

Визначимо скорегований коефіцієнти детермінації.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

1,61/14 = 0,1153

;

0,1856/ 13 = 0,0143

Таблиця 6.3

Спостере-ження	Y'факт	X'1	X'2	Y' · X'1	Y' · X'2	(X'1)2	(Х'2)2	Х'1 · Х'2	Y'розр	(Y'факт-Y'розр)2	(Y'факт -Y'сер)2
1	1,22	0,59	0,34	0,72	0,42	0,35	0,12	0,20	1,58	0,1322	0,55
2	1,47	0,41	0,34	0,60	0,50	0,16	0,12	0,14	1,47	0,0000	0,24
3	1,69	0,59	0,32	0,99	0,54	0,35	0,10	0,19	1,62	0,0047	0,07
4	1,73	0,59	0,30	1,02	0,52	0,35	0,09	0,18	1,66	0,0043	0,05
5	1,83	0,74	0,34	1,35	0,61	0,55	0,11	0,25	1,69	0,0195	0,02
6	1,85	0,69	0,26	1,28	0,49	0,48	0,07	0,18	1,80	0,0029	0,01
7	1,89	0,53	0,21	1,00	0,39	0,28	0,04	0,11	1,80	0,0076	0,01
8	2,05	0,74	0,16	1,52	0,32	0,55	0,02	0,12	2,02	0,0008	0,01
9	2,06	0,69	0,10	1,42	0,21	0,48	0,01	0,07	2,09	0,0013	0,01
10	2,14	0,53	0,05	1,13	0,10	0,28	0,00	0,03	2,10	0,0015	0,03
11	2,22	0,64	0,02	1,43	0,04	0,41	0,00	0,01	2,22	0,0000	0,07
12	2,26	0,74	-0,01	1,68	-0,02	0,55	0,00	-0,01	2,33	0,0055	0,09
13	2,29	0,74	0,03	1,70	0,08	0,55	0,00	0,03	2,25	0,0018	0,11
14	2,36	0,88	0,02	2,07	0,05	0,77	0,00	0,02	2,36	0,0000	0,16
15	2,38	0,92	-0,01	2,18	-0,02	0,84	0,00	-0,01	2,44	0,0033	0,17
	29,43	10,02	2,48	20,10	4,24	6,94	0,69	1,50	29,43	0,1856	1,61

Скорегований коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

;

(0,1153-0,0143) /0,1153 = 0,8761

Справедлива нерівність:

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0,8850 свідчить про те, що варіація логарифма обсягу пропозиції молока Y` на 88,5% визначається варіацією незалежних змінних Х'₁ та Х'₂, a 11,5% змін Y' припадає на невраховані в задачі чинники.

Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

0,1151

Відносна похибка:

Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 1,61/ 0,1856 = 8,69

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2,5;

F_розр. > F⁹⁵_табл.

Модель є адекватною та прийнятною для прогнозування на рівні значущості 95%.

Коефіцієнт множинної кореляції

;

0.9407, що свідчить про зв'язок середньої сили між показниками Y' та X'₁ , X'₂.

Аналіз результатів моделювання

Результатом моделювання є двофакторна економетрична модель

Y_розр = 6.514 Х₁^0,595 Х₂^-1,869

В ній відображений кількісний взаємозв'язок між обсягом пропозиції молока у грошовому виразі та чинниками, які впливають на нього: ціну за 1 л молока та витрати на податки

Параметр моделі Y = 0,595 характеризує діапазон зміни Y за умови зміни ціни за 1 л молока. Тобто якщо ціна зросте на 1%, обсяг пропозиції молока збільшиться на 0,595% (за умови незмінної дії інших чинників). І навпаки, зниження ціни на молоко на 1% може призвести до зниження обсягів пропозиції на 0,595%.

Параметр моделі Y = -1,869 характеризує діапазон зміни показника Y за умови зміни витрат на податки. Так, якщо витрати зростуть на 1% можливе зниження обсягів пропозиції молока буде становити 1,869% (за умови незмінної дії інших чинників).

У разі зменшення витрат на податки на 1% можливе зростання обсягу пропозиції молока на 1,869% за умови, що решта чинників залишиться незмінною.

Висновки

Для наведеної степеневої нелінійної моделі коефіцієнти еластичності дорівнюють параметрам моделі Y, тобто Еx1 = 0,595; Ex2 = -1,869

Загальна сумарна еластичність для нелінійної степеневої моделі

E = Еx1 + Ex2 = 0,595- 1,869 = -1,274

Сумарна еластичність показує, що коли враховані в моделі чинники x₁, x₂ одночасно збільшуються на 1%, то обсяг пропозиції молока може скоротитися на 1,274%.

Виходячи з того, що¦Y¦<¦Y¦, можна сказати, що чинник витрат на податки x₂ впливає більш суттєво на значення Y, ніж чинник ціни на молоко x₁.

Коефіцієнт еластичності = 0,595 відображає еластичність пропозиції молока відносно його ціни при незмінних витратах на податки

Якщо збільшити ціну на молоко на 1%, то слід очікувати зростання обсягів його пропозиції на 0,595%.

Коефіцієнт еластичності = -1,869 відображає еластичність продажу молока відносно витрат на податки при незмінній ціні, тобто, якщо збільшити витрати на податки на 1%, то слід очікувати зниження пропозиції молока на 1,869%.

Сумісний вплив |( + )| 1: (0.595-1,869) = 1.274 > 1. Звідси можна сказати про зростаючу ефективність факторів, тобто темпи зниження Y (пропозиції молока) нижчі, ніж сумарні темпи зниження Х₁ та Х₂.



Лабораторна робота 7. Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера

Згідно з варіантом завдання та вихідними даними (дод. 6) для дослідження наявності мультиколінеарності між змінними х₁, х₂, х₃ потрібно: