Методы статистического измерения и наблюдения социально-экономических явлений, обработки статистической информации, методология построения статистических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема лекции

Методы статистического измерения и наблюдения социально-экономических явлений, обработки статистической информации, методология построения статистических показателей



Цель лекции: изучение методологии социального и экономического мониторинга, статистического обеспечения управления административно-территориальным образованием с использованием современных методов исследования; обоснование актуальности, теоретической и практической значимости исследования, затрагивающего вопросы статистического измерения и наблюдения социально-экономических явлений, обработки статистической информации, методология построения статистических показателей; знакомство с универсальной программой измерения неравномерности развития территориальных образований; освоение новых методов исследования, а также порядка проведения критического анализа и оценке ключевых тенденций совершенствования методологии национального счетоводства и макроэкономических расчетов, а также изучение методологии построения балансов для регионов, отраслей и экономики в целом.

Ключевые понятия и категории: демографические таблицы; статистическое моделирование, экономической конъюнктура, деловая активность, тренды, циклы, регрессионный анализ, связные динамические ряды, коинтеграция, временной ряд, динамические модели, модели с распределенным лагом

План лекции (перечень вопросов рассматриваемых на лекции):

1. Методология построения статистических показателей, характеризующих социально-экономические совокупности; построения демографических таблиц; измерения уровня жизни населения; состояния окружающей среды.

2. Методы обработки статистической информации: классификация и группировки, методы анализа социально-экономических явлений и процессов, статистического моделирования, исследования экономической конъюнктуры, деловой активности, выявления трендов и циклов, прогнозирования развития социально-экономических явлений и процессов.

3. Методология экономико-статистических исследований, направленных на измерение эффективности функционирования предприятий и организаций.

4. Методы измерения финансовых и страховых рисков, оценки бизнес-рисков, принятия решений в условиях неопределенности и риска, методология финансово-экономических и актуарных расчетов.

5. Прикладные статистические исследования воспроизводства населения, сфер общественной, экономической, финансовой жизни общества, направленные на выявление, измерение, анализ, прогнозирование, моделирование складывающейся конъюнктуры и разработки перспективных вариантов развития предприятий, организаций, отраслей экономики России и других стран.

Вопрос 1. Методология построения статистических показателей, характеризующих социально-экономические совокупности; построения демографических таблиц; измерения уровня жизни населения; состояния окружающей среды

Исходной, первичной формой выражения статистических показателей являются показатели в абсолютном выражении, или абсолютные величины. Статистические показатели в форме абсолютных величин характеризуют абсолютные размеры изучаемых статистикой процессов и явлений, а именно их массу, площадь, объем, протяженность, отражают их временные характеристики, а также могут представлять собой объем совокупности, т.е. число составляющих ее единиц.

Индивидуальные абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешивания, подсчета и оценки интересующего количественного признака. В ряде случаев индивидуальные абсолютные показатели имеют разностный характер: разность между численностью работников предприятия на конец и начало года, разность между выручкой от реализации предприятия и общей суммой затрат и т.п.

Сводные абсолютные показатели, характеризующие объем признака или объем совокупности как в целом по изучаемому объекту, так и по какой-либо его части, получают в результате сводки и группировки индивидуальных значений. К таким показателям относятся общая численность занятых в отрасли, совокупные активы коммерческих банков региона и т.п. страховой риск временный ряд

Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами. В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений, их физических свойств они выражаются в натуральных, стоимостных или трудовых единицах измерения.

В международной практике используются такие натуральные единицы измерения, как тонны, килограммы, квадратные, кубические и простые метры, мили, километры, галлоны, литры, штуки. Например, производство стали в России в 2014 г. составило 59,4 млн т, потребление электроэнергии -- 977,1 млрд кВт * ч, за этот же год выпущено 91,7 тыс. шт. грузовых автомобилей, а добыча нефти составила 494 млн т.

В группу натуральных также входят условно-натуральные измерители, используемые в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех разновидностей потребительского свойства. Так, различные виды органического топлива переводятся в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/кг (7000 ккал/кг), мыло разных сортов -- в условное мыло с 40%-м содержанием жирных кислот, консервы различного объема -- в условные консервные банки объемом 353,4 см3 и т.д.

Перевод в условные единицы измерения осуществляется на основе специальных коэффициентов, рассчитываемых как отношение потребительских свойств отдельных разновидностей продукта к эталонному значению. Рассмотрим пример с условным топливом. Добытые или закупленные 100 т торфа, теплота сгорания которого 24 МДж/кг, будут эквивалентны 81,9 т условного топлива (100 * 24,0/29,3), а 100 т нефти при теплоте сгорания 45 МДж/кг будут оцениваться в 153,6 т условного топлива (100 * 45,0/29,3). На практике теплосодержание весовой единицы топлива каждого конкретного вида и места добычи определяется в лабораториях или по специальным таблицам.

В отдельных случаях для характеристики какого-либо явления или процесса одной единицы измерения недостаточно, и используется произведение двух единиц. Примером этому могут служить такие показатели, как грузооборот и пассажирооборот, оцениваемые соответственно в тонно-километрах и пассажиро-километрах, производство электроэнергии, измеряемое в киловатт-часах и т.д.

В условиях рыночной экономики наибольшее значение и применение имеют стоимостные единицы измерения, позволяющие получить денежную оценку социально-экономических явлений и процессов. Так, одним из важнейших стоимостных показателей в системе национальных счетов, характеризующим общий уровень развития экономики страны, является валовой внутренний продукт, который в России в 2010 г. составил 44,5 трлн руб.

Важнейшим условием сравнения статистических показателей в пространстве и во времени является их сопоставимость. Одной из причин несопоставимости является изменение содержания единицы измерения, обусловленное высокими или относительно высокими темпами роста цеп, т.е. инфляцией. Например, сравнивать ВВП России за 2010 г. с его величиной, предположим, за 2000 г. вряд ли целесообразно, так как содержание рубля за этот период существенно изменилось. Для того чтобы произвести подобные сравнения, там, где это возможно, осуществляют пересчет в сопоставимые цены.

Третьим видом единиц измерения абсолютных статистических показателей являются трудовые единицы. К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологического процесса, относятся человеко-дни и человеко-часы.

Вопрос 2. Методы обработки статистической информации: классификация и группировки, методы анализа социально-экономических явлений и процессов, статистического моделирования, исследования экономической конъюнктуры, деловой активности, выявления трендов и циклов, прогнозирования развития социально-экономических явлений и процессов

При анализе социально-экономических явлений часто используют ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные, ежедневные данные. Для рационального анализа следует систематизировать моменты получения соответствующих статистических данных. Упорядоченные статистические данные по времени их получения называют рядами динамики (временными, хронологическими рядами).

В динамическом ряду процесс экономического развития изображается в виде совокупности прерывов непрерывного, позволяющих детально проанализировать особенности развития с помощью характеристик, отображающих изменение параметров системы во времени.

Составляющими элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда, которые принято обозначать через у и периоды или моменты (даты) времени, к которым относятся уровни (обозначаются через t).

Пусть исследуется показатель у. Его значения в текущий период (момент) времени t обозначается , в последующие моменты ; ; ,…,, а в предыдущие моменты ; ; ,…,.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

а) в зависимости от способа выражения уровней, ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин;

б) в зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени или его величину за определенные интервалы времени, различают моментные и интервальные временные ряды;

в) в зависимости от расстояния между уровнями ряды подразделяются на ряды динамики с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени;

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1. Классификация временных рядов

г) в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса хронологические ряды подразделяются на стационарные и нестационарные. Если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени, то процесс считают стационарным и ряды динамики считают стационарными. Однако экономические процессы во времени обычно не являются стационарными, так как содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденции;

д) по числу показателей выделяют изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики.

Как известно, ряд динамики подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находится под влиянием факторов разного воздействия.

Влияния эволюционного характера - это изменения, определяющие некое общее направление развития, многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называются тенденцией развития или трендом.

Влияния осциллятивного характера - это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Циклические (или периодические) состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает, достигая определенного максимума, затем понижается, достигая определенного минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т.д. Циклические колебания в экономических процессах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры. Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, месяца, дня или его часа.

Нерегулярные колебания для социально-экономических явлений условно делят на две группы:

а) спорадически наступающие изменения, вызванные, к примеру, войной или экологической катастрофой;

б) собственно, случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых второстепенных факторов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. Компоненты ряда динамики: а) возрастающая тенденция; б) сезонная компонента; в) случайная компонента

Следовательно, первоначальные значения ряда динамики подвергаются воздействию, состоящему из четырех компонентов:

а) основная тенденция (тренд) - Т;

б) циклическая или конъюнктурная - К;

в) сезонная - S;

г) случайное колебание - _t (рис. 2).

Если ряд динамики разделить на различные компоненты, то он представляется в следующем виде:

.



Как известно, в зависимости от взаимосвязи этих компонент между собой строят аддитивную и мультипликативную модели ряда динамики.

Аддитивная модель временного ряда

характеризуется главным образом тем, что характер циклических и сезонных флюктуаций (колебаний) остается постоянным (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3. Сочетание составляющих ряда динамики при аддитивной связи

Мультипликативная модель ряда динамики

7.3

характеризуется постоянством циклических и сезонных флюктуаций только по отношению к тренду (рис. 4).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4. Сочетание составляющих ряда динамики при мультипликативной связи

Тренд представляет собой долговременную компоненту временного ряда, характеризующую основную тенденцию развития явления. При этом остальные компоненты рассматриваются как мешающие процедуре его определения. При наличии ряда наблюдаемых явлений для различных моментов (периодов) времени следует найти подходящую трендовую кривую, сглаживающую остальные колебания.

В социально-экономических рядах динамики наблюдают основную тенденцию трех видов:

а) среднего уровня;

б) дисперсии;

в) автокорреляции.

Тенденция среднего уровня аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В таком случае значения тренда в отдельные моменты времени являются математическим ожиданием ряда динамики. Часто тенденцию среднего уровня называют детерминированной составляющей исследуемого явления, и соответствующий ряд динами выражается уравнением:

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.

Тенденция автокорреляции характеризует изменения связи между отдельными уровнями ряда динамики (графически это изменение проследить нельзя). Перед выделением и анализом тренда следует проверить гипотезу о его существовании. Отсутствие основной тенденции означает неизменность среднего уровня хронологического ряда во времени. Для проверки наличия тренда известно около десятка критериев, различающихся по мощности и сложности математического аппарата. Наиболее доступный из них метод проверки существенности разности средних двух частей одного и того же ряда, основанный на t-критерии Стьюдента. Ряд динамики разбивают на две равные или почти равные (что не принципиально) части. Проверяется гипотеза о существенности разности средних .

Так как число уровней анализируемого ряда зачастую незначительно, то можно воспользоваться методом проверки гипотезы Н₀, разработанным для малых выборок.

За основу проверки берем критическое (табличное) значение t-критерия Стьюдента. При t_факт ? t_крит гипотеза об отсутствии тренда отвергается, а при t_факт ? t_крит гипотеза Н₀ принимается.

В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей () исчисляется отношение средних с помощью выражения:

,



где S - среднее квадратическое отклонение разности средних.

Значение критического t-критерия Стьюдента берется с учетом уровня значимости (d) и числа степеней свободы, равным n₁+n₂-2. Необходимое значение S определяется на основе средней взвешенной величины дисперсий отдельных совокупностей:

.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий реализуется с помощью F-критерия Фишера, основанного на сравнении расчетного отношения с табличным:

.

где .

Если расчетное значение F-критерия меньше табличного, при заданном уровне вероятности, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. В противном случае гипотеза отклоняется, и формула для испытания разности средних не может быть применена.

Следует заметить, что данный метод дает приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией, что зачастую имеет место в исследованиях социально-экономических процессов. Когда же временной ряд меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда, поэтому средние двух отрезков будут близки и проверка не покажет наличие тенденции.

Только после установления наличия тенденции в ряду динамики приступают к его анализу и моделированию тенденции.

Наиболее распространенным способом моделирования тенденции ряда динамики является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяют полиномы различной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют вид:

а) 1-й степени - ;

б) 2-й степени - ;

в) 3-й степени - ;

г) 4-й степени - ,

где t - условное обозначение времени.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамического ряда. Согласно этому правилу полином 1-й степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которой первые разности (абсолютные приросты) постоянны (?y=const); полиномы 2-й степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы 3-й степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики. Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента:

.

Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.

Отдельные уравнения выражают различные типы динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции: линейная, параболическая, степенная, экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная, сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола, гиперболическая и комбинации их видов.

Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т.е. тех, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции:

, 7.8

где a_0, a₁ - параметры;

С - основание натурального логарифма.

Графическая интерпретация явления, описываемого логистической функцией, представлена на рисунке 5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5. Логистическая кривая

Существует несколько методов спецификации модели тенденции ряда динамики. Выбор формы и параметров модели может осуществляться как на основе количественного анализа изучаемого процесса, так и путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, может осуществляться путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

Все указанные методы и ряд других применимы к анализу тенденции временного ряда. Однако, и это отмечалось нами ранее, рациональным методом оценки модели в целом является тот, который основан на применении критерия наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических

.

Из множества возможных уравнений тренда следует выбрать то, которому соответствует минимальное значение, при этом возможно использовать формулу средней ошибки аппроксимации:

.

В любом случае, все рассмотренные характеристики имеют один и тот же смысл: показывают, насколько близко синтезированная аналитическая функция выравнивания огибает значения исходного ряда. Следовательно, проводя сравнительную оценку модели тренда, можно использовать лишь одну из приведенных нами характеристик. Результаты такой оценки, как правило, совпадают.

После того как выяснен характер кривой развития, определяют ее параметры. Методология параметризации модели описана достаточно подробно в главе 5. Здесь же нам хотелось бы отметить, что наряду с определением параметров уравнения тренда обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,3…n, а в качестве зависимой переменной фактические уровни временного ряда (у) (для нелинейных моделей трендов предварительно проводят их линеаризацию по стандартной процедуре), возможно применение альтернативных методов определения параметров уравнения тренда.

Элементарный метод определения параметров уравнения тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в решении системы уравнения по известным уровням ряда динамики.

Например, нам дан ряд динамики:

Таблица 1

Производство конечной продукции на предприятии

Показатели	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Конечная продукция, тыс. руб. Условное обозначение времени t	18 1	21 2	26 3	22 4	25 5	28 6

Приняв условные обозначения времени через ”t” и взяв две точки - конечный и начальный уровни, можно построить уравнение прямой по этим двум точкам.

Уравнение прямой имеет вид:

.

Для 1998 г. его уровень составил a₀+a₁1=18, а для 2003 г.: a₀+6a₁=28.

Решая эти уравнения как систему уравнений, получим 10=5a₁; a₁=2; a₀=28-6a₁=28-12=16. Следовательно, приближенная модель динамики конечной продукции может быть выражена уравнением y_t=16+2t, где параметр a₁ соответствует абсолютному приросту.

Можно предположить развитие социально-экономического явления по параболе второго порядка:

,

тогда нам следует взять три точки, например, 1998, 2001 и 2003гг. закрепив уровни времени t=1, t=4 и t=6.

Тогда составим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему, получим: a₀=18; a₁=-0,(3); a₂=0,(3); а само уравнение можно записать:

.

Отрицательным моментом в таком моделировании тренда служат разные числовые выражения параметров в различных точках их определения.

Другим способом определения параметров уравнения является метод средних значений (линейных отклонений), заключающийся в следующем: динамический ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпадала с суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма отклонений фактических данных от выравненных равнялась нулю.

В случае выравнивания по прямой:

,

получим: ,

отсюда .

Если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то вычислив для каждой части хронологического ряда и , получим два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения этой системы уравнений найдем параметры a₀ и a₁, т.е. начальный уровень и скорость ряда.

Разобьем приведенный в таблице 7.2 ряд динамики урожайности кукурузы на зерно на два периода:

1-й - 1988-1995гг.;

2-й - 1996-2003гг.,

тогда ; ; ; .

Таблица 2

Урожайность кукурузы на зерно

Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Урожайность, ц/га	12,1	14,0	13,2	15,6	15,4	14,0	17,6	15,4	10,9	17,5	15,0	18,5	14,2	14,9

Для определения параметров a₀ и a₁ решим систему:

Вычтем из второго уравнения первое. В результате получим:

a₁=0,26;

a₀=12,27.

Искомое уравнение тренда имеет вид:

.

Метод средних значений достаточно прост и требует минимального количества вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части мы получим разные результаты. Однако метод средних значений может применяться для ориентировочных расчетов.

Выравнивание ряда динамики может осуществляться и с помощью метода конечных разностей. Этот метод предполагает, что временной ряд y_t описывается полиномом степени “n”. Для полинома n-ой степени вычисляются первые разности:

;

а затем вторые разности:

и т.д.

Общая формула n-ой разности имеет вид:

Любой член y_i ряда динамики можно выразить через начальный уровень ряда и конечные разности:

;

,

но , поэтому

и т.д.

Отсюда имеем:

.

Если первые разности не равны, но варьируют с незначительными отклонениями друг от друга, а средняя арифметическая вторых разностей настолько мала, что ею можно пренебречь, то первые разности можно считать практически равными.

Окончательная формула для расчета уровней ряда динамики при равных или почти равных первых разностях будет:

.

Если, анализируя вторые разности, мы придем к выводу, что они практически равны, то, вычислив коэффициенты параболы 2-го порядка, получим тренд ряда динамики:

,

где - выровненные значения временного ряда;

- средний уровень временного ряда;

- средняя арифметическая первых разностей;

- средняя арифметическая вторых разностей;

n - число уровней;

t - независимая переменная, условное обозначение времени.

Рассмотрим практическое применение метода конечных разностей на примере данных таблицы 3.

Способом конечных разностей получили уравнение, выражающее тенденцию динамики представленного в ряде социально-экономического процесса:

.

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпасть с суммой выровненных значений ряда:

.

Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции или наблюдается автокорреляция не в самих уровнях, а в их отклонениях от теоретических значений, полученных по определенным аналитическим формулам. В таких случаях следует использовать гармонический анализ.



Таблица 3

Удельный вес переменных затрат в общей их сумме в 1993-2003гг.

Год	Удельный вес переменных затрат, %	Условное обозначение времени, t	Разность	Выровненные значения yt
			?(1)	?(2)
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003	91,6 91,5 91,3 91,1 91,0 90,8 90,6 90,4 90,2 90,0 89,9	-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5	- -0,1 -0,2 -0,2 -0,1 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 -0,1	- - -0,1 0 0,1 -0,1 0 0 0 0 0,1	91,6 91,4 91,3 91,1 91,0 90,8 90,6 90,4 90,2 90,1 89,9
Итого	998,4	0	-1,7	0,0	998,4
Среднее значение,	90,76	-	-0,17	-	-

Целью гармонического анализа является выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики и автокорреляции в остатках ряда.

Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.

Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в идее ряда Фурье по гармоникам разных периодов (французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1736-1830гг.). Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.

В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:

,

где t - время;

А - полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее или наименьшее отклонение от оси t;

- длина волны колебательного движения;

- начальная фаза колебания.

Аппроксимация динамики экономических явлений при помощи ряда Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда.

С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

.

В уравнении Фурье величина “k” определяет гармонику ряда и может быть взята целым числом (обычно от 1 до 4).

При решении уравнения параметры определяются на основе положений метода наименьших квадратов. Определяя для функции частные производные и приравнивая их к нулю, получают систему нормальных уравнений, параметры которых вычисляются по формулам:

;

;

.

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным 2р/n, где n - число уровней ряда динамики.

При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение n принимается равное 12. Представляя месячные периоды как части окружности ряд внутригодовой динамики можно записать в виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Периоды (ti)

0

р/6

р/3

р/2

2р/3

5р/6

р

7р/6

4р/3

3р/2

5р/3

Уровни (yi)

у1

у2

у3

у4

у4

у6

у7

у8

у9

у10

у11

Для определения в каждом конкретном случае t находят значения синусов и косинусов разных гармоник, которые для удобства расчетов представлены в таблице 4.

Полагая гармоники k соответственно равными 1,2,3,…,m находят все значения cos kt и sin kt. Тогда первая гармоника ряда Фурье имеет вид:



,

где ; ; .

Таблица 4.

Коэффициент гармонического анализа месячных наблюдений для расчета параметров а_k и b_k.

t	cos t	cos 2t	cos 3t	cos 4t	sin t	sin 2t	sin 3t	sin 4t
0	1	1	1	1	0	0	0	0
р/6	0,866	0,5	0	-0,5	0,5	0,866	1	0,866
р/3	0,5	-0,5	-1	-0,5	0,866	0,866	0	-0,866
р/2	0	-1	0	1	1	0	-1	0
2р/3	-0,5	-0,5	1	-0,5	0,866	-0,866	0	0,866
5р/6	-0,866	0,5	0	-0,5	0,5	-0,866	1	-0,866
р	-1	1	-1	1	0	0	0	0
7р/6	-0,866	0,5	0	-0,5	-0,5	0,866	-1	0,866
4р/3	-0,5	-0,5	1	-0,5	-0,866	0,866	0	-0,866
3р/2	0	-1	0	1	-1	0	1	0
5р/3	0,5	-0,5	-1	-0,5	-0,866	-0,866	0	0,866
11р/6	0,866	0,5	0	-0,5	-0,5	-0,866	-1	-0,866

Ряд Фурье с двумя гармониками:

,

где ; .

Эффективно вычислять ряды Фурье можно, когда порядок гармоник является делителем числа 2N, при этом некоторые из возможных значений тригонометрических функций не требуются. Поэтому на практике часто используются значения 2N, равные 12, 24 и 60.

Особый случай, когда число точек равно 12 (N=6), называется методом двенадцати ординат и представляет интерес, так как часто встречается и легко выполняется вручную.

Известно:

;

.

Разобьем каждую сумму по x на две: от 0 до 6 и от 7 до 11, положив во второй части х=12-х^', получим:

;

'.

Запишем:

	f(0)	f(1)	f(2)	f(3)	f(4)	f(5)	f(6)
		f(11)	f(10)	f(9)	f(8)	f(7)
Сумма	s(0)	s(1)	s(2)	s(3)	s(4)	s(5)	s(6)
Разность		t(1)	t(2)	t(3)	t(4)	t(5)

В результате имеем:

;

.

Опять разобьем отрезок на две части: от 0 до 3 и от 4 до 6, положим во второй части x=6-х^'.

Тогда получим:

;

.

Теперь можно записать:

	s(0)	s(1)	s(2)	s(3)	t(1)	t(2)	t(3)
	s(6)	s(5)	s(4)		t(5)	t(4)
Сумма	u(0)	u(1)	u(2)	u(3)	p(1)	p(2)	p(3)
Разность	v(0)	v(1)	v(2)		q(1)	q(2)

Результат, записанный полностью, выглядит так:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

При решении ряда Фурье методом двенадцати ординат делают меньше 60 арифметических операций, большинство из которых простые сложения.

При моделировании временного ряда, содержащего сезонные колебания, могут использоваться фиктивные переменные. Количество фиктивных переменных в модели временного ряда должно быть на единицу меньше числа периодов (или моментов) времени внутри одного цикла колебаний. Так, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные - фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных.

Предположим, имеется ряд динамики, содержащий сезонные колебания периодичностью k. Тогда модель регрессии с фиктивными переменными будет иметь вид:

,

где

При моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k=4, общий вид модели следующий:

,

где

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

а) для первого квартала: ;

б) для второго квартала: ;

в) для третьего квартала: ;

г) для четвертого квартала: .

Таким образом, фиктивные переменные дифференцируют величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Величина свободного члена составляет:

а) для первого квартала: ;

б) для второго квартала: ;

в) для третьего квартала: ;

г) для четвертого квартала: .

Значение параметра а₁ в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда динамики под воздействием тенденции.

По своей сути данная модель временного ряда с фиктивными переменными является аддитивной, поскольку фактический уровень ряда - это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Недостатком модели временного ряда с фиктивными переменными для описания периодических колебаний является большое число переменных.

Проверку предположения о существенности периодической компоненты ряда динамики целесообразно осуществлять при помощи критериев случайности, которые имеют наибольшую мощность относительно альтернативной гипотезы о цикличности ряда. Наиболее простым для применения и графически понятным является критерий «пиков» и «ям». В основе этого критерия лежит подсчет числа экстремальных точек (р) хронологического ряда, который осуществляется следующим образом:

,

где

;

n - число наблюдений временного ряда.

Для случайного ряда математическое ожидание числа экстремальных точек:

.

Проверка гипотезы предполагает сравнение с расчетными значениями . В том случае, если эти значения близки, то можно отказаться от последующей проверки и ряд признается случайным, а если и значительно отличаются друг от друга, то необходима дальнейшая проверка гипотезы, основанная на подсчете фаз различной длины.

Фазой называют интервал между двумя соседними уровнями, для которых р₁=1. Для определения длины фазы l достаточно найти разности двух соседних экстремальных точек, а затем подсчитать число фаз N₁, N₂, N₃ длин l₁=1, l₂=2, l₃=3.

Теоретическое значение числа фаз длины l для случайного ряда следующее:

.

Процедура проверки случайности сводится к сравнению наблюдаемых значений N₁, N₂, N₃ с теоретическим значением .

Однако при небольшом числе наблюдений n критерий ч² непосредственно использовать нельзя, так как в этом случае длины фаз l_i не являются независимыми. Доказано, что при разбиении длины фазы на три группы: l₁=1, l₂=2, l₃=3 (для двух степеней свободы) - статистика ч² может быть использована в обычной форме (v=2,5) при ч²=6,3.

Расчетные значения ч² в случае трех групп длины фазы определяются по формуле:

.

Если ч²?6,3, то колебания исходного ряда нельзя считать чисто случайными и ряд содержит периодическую составляющую.

Этот критерий весьма чувствителен к периодическим колебаниям и имеет практически нулевую эффективность относительно наличия тренда. Поэтому он применяется непосредственно к исходному ряду динамики, в отличие от других критериев, требующих предварительного выделения систематической составляющей временного ряда.

После установления периодической составляющей проводят ее анализ.

Часто при рассмотрении квартальных или месячных данных многие социально-экономические явления обнаруживают определенные, постоянно повторяющиеся колебания, существенно не изменяющиеся за длительный период времени. Зачастую они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, ряда многочисленных разнообразных регулируемых факторов.

В статистике периодические колебания, имеющие определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, называют сезонными колебаниями или сезонной волной, а временной ряд называют тренд-сезонным или сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I_s). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индекс сезонности - это процентное соотношение фактических внутригодовых уровней и постоянной или переменной средней. Для выявления сезонных колебаний, как правило, берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам или кварталам. Данные за ряд лет берут для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, не отражающую случайные условия одного года. Как правило, используются помесячные годовые данные не менее чем за три года.

Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции развития, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывают среднюю величину уровня (как минимум за три года) :

,

затем из них вычисляется среднемесячный уровень всего ряда :

.

И в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднему за месяц уровню ряда:

.

Для наглядного представления о сезонной волне рекомендуется графически изобразить полученные данные.

В том случае, если ряд динамики содержит определенную тенденцию развития, то перед вычислением сезонной волны фактические данные статистически обрабатывают, чтобы выявить общую тенденцию. Обычно для этого используют аналитическое выравнивание ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания алгоритм вычислений индексов сезонности следующий:

1. по соответствующему полиному вычисляют для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени (t);

2. определяют отношение фактических данных у_i к соответствующим выровненным данным у_t в процентах:

.

3. находят среднее арифметическое из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах:

,

где n - число одноименных периодов.

или .

В общем виде формула индекса сезонности может быть записана:

.

В заключение необходимо оценить правильность расчета индекса сезонности. Так как средний индекс сезонности для всех месяцев (кварталов) должен быть 100%, то сумма полученных индексов по месячным данным равна 1200, а сумма по кварталам - 400.

Классификация наиболее распространенных методов измерения сезонной волны представлена в таблице 5. Равно как и сезонная компонента ряда динамики, циклическая компонента также представляет собой волнообразные движения (при графическом отображении), но вместе с тем более продолжительна и менее предсказуема, чем сезонные колебания.

Таблица 5 - Классификация методов измерения сезонной волны.

Методы измерения	Основы применения
1. Метод средней арифметической	1. Метод абсолютных разностей 2. Метод отношений средних помесячных и средней за весь период 3. Метод отношений помесячных уровней и средней за год
2. Относительных величин	1. Метод относительных величин 2. Метод относительных величин на основе медианы 3. Метод Персонса (цепной метод)
3. Механического выравнивания	1. Метод скользящих средних 2. Метод скользящих сумм и скользящих средних
4. Аналитическое выравнивание	1. Выравнивание по прямой 2. Выравнивание по параболе (экспоненте и т.д.) 3. Выравнивание по ряду Фурье

Сущность классического метода устранения циклической компоненты ряда динамики заключается в исключении или устранении основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, так как при этом остается циклическая, как правило, нерегулярная компонента. Поскольку эти компоненты составляют то, что остается после расчетов, то метод называется остаточным.

Наиболее простым показателем устойчивости тенденции временного ряда является коэффициент рангов Спирмена:

,



где d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов времени ;

n - число таких периодов (моментов).

Для определения коэффициентов рангов Спирмена величина уровней изучаемого явления нумеруются в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг, равный частному от деления сумм рангов, приходящихся на эти значения, на число этих равных значений.

При наличии дробных рангов необходима поправка к формуле коэффициентов рангов Спирмена:

,

где ;

j - номера связок по порядку;

- число одинаковых рангов в j-й связке.

При малой вероятности совпадения уровней и достаточном их числе эта поправка несущественна.

Коэффициенты рангов Спирмена могут принимать значения от 0 до . Если каждый уровень ряда исследуемого периода выше предыдущего, то ранги уровней ряда и номера периодов времени совпадают , что означает полную устойчивость факта роста уровней ряда, непрерывность роста.

Чем ближе к 1, тем ближе рост уровней к непрерывному, выше устойчивость роста. При рост совершенно неустойчив, а при отрицательных значениях, чем ближе к -1, тем устойчивее снижение изучаемого показателя.

Коэффициент устойчивости роста можно получить и по другой формуле:

.

Этот вариант расчета несколько сокращает вычисления. Коэффициент рангов Спирмена здесь применен как новая функция, его нельзя трактовать как меру связи изучаемого явления со временем. Преимущество коэффициента корреляции рангов как показателя устойчивости является то, что для его вычисления не требуется аналитическое выравнивание динамического ряда.

Необходимо помнить, что даже при полной устойчивости роста (снижения) в ряду динамики может быть колеблимость уровней и коэффициент их устойчивости будет ниже 100%. При слабой колеблимости, но еще более слабой тенденции, напротив, возможен высокий коэффициент устойчивости уровней, но близкий к нулю коэффициент устойчивости изменения.

Обычно эти показатели изменяются взаимосвязано: большей устойчивости уровней соответствует большая устойчивость изменения.

Недостатком коэффициента устойчивого роста является его слабая чувствительность к изменениям скорости роста уровней ряда, он может показать устойчивый рост при незначительно отличающихся от нуля прироста уровней.

В качестве характеристики устойчивости изменения можно применить индекс корреляции:



Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает большую устойчивость изменения уровней временного ряда.

Вопрос 3. Методология экономико-статистических исследований, направленных на измерение эффективности функционирования предприятий и организаций

Результатом производственной деятельности предприятия является се продукция, под которой понимается совокупность материальных благ и производственных услуг, произведенных предприятием в результате хозяйственной деятельности. Продукция может быть выражена в форме продукта (товара) и услуг (работ).

Продукт -- это изделие, получаемое из исходного сырья и материалов таким технологическим способом, в результате которого свойства исходного материала исчезают, а продукт приобретает самостоятельную ценность.

Услуга -- это вид деятельности, результат которой не имеет конкретной натурально-вещественной формы и осуществляется производителем по заказу потребителя. В результате оказания услуги не возникает нового материального предмета и потребитель претерпевает изменения физического состояния, а также экономической и социальной направленности.

Продукты труда по степени готовности могут быть следующих видов: готовые изделия, полуфабрикаты и незавершенное производство, сырье.

Готовые изделия -- продукция, полностью законченная обработкой в пределах предприятия, соответствующая ГОСТ и техническим условиям, в необходимых случаях упакованная, сданная на склад готовой продукции или заказчику и снабженная достаточной документацией, удостоверяющей ее качество.

Полуфабрикаты -- изделия, которые согласно технологическому процессу должны быть дополнительно обработаны в другом подразделении данного предприятия или за его пределами. Однако заметим, что понятия "готовые изделия" и "полуфабрикаты" имеют значение лишь с точки зрения данного предприятия. Для другого предприятия эти готовые изделия или полуфабрикаты будут сырьем или материалами.

Незавершенное производство -- такие изделия, которые в данный момент еще не закопчены производством в том или ином подразделении предприятия, т.е. изделия, находящиеся па разных стадиях производственного процесса.

Сырье -- не подвергшийся обработке предмет труда, продукт добывающей промышленности.

Для отражения результатов производственной деятельности предприятия на различных стадиях производственного процесса в статистике применяются показатели валового оборота, валовой, товарной и реализованной продукции.

Валовой оборот -- это результат деятельности всех подразделений, который включает в себя все произведенные готовые изделия и полуфабрикаты, независимо от того, предназначены ли они для отпуска па сторону или для переработки на собственном предприятии, а также незавершенное производство в размере разности его остатков на конец и начало отчетного периода.

В случае когда незавершенное производство на конец отчетного периода превышает его остаток на начало отчетного периода, оно войдет в валовой оборот положительной величиной; если же остаток на конец отчетного периода будет меньше остатка на начало периода, то незавершенное производство войдет в валовой оборот отрицательной величиной.

Внутрипроизводственный оборот -- общая стоимость потребленных в данном периоде в пределах предприятия полуфабрикатов и услуг.

Валовая продукция -- это результат производственной деятельности за определенный период времени, в который входят:

* все произведенные готовые изделия;

* часть полуфабрикатов, отпущенных на сторону, и та их часть, которая пошла на пополнение запасов полуфабрикатов на складе;

* все законченные и сданные сторонним заказчикам услуги производственного характера (ремонт объектов, принадлежащих заказчику, и т.п.).

Определение валовой продукции предприятия можно было сформулировать иначе: валовой продукцией называется общий объем продукции в денежном выражении, выработанный за отчетный период всеми подразделениями предприятия за вычетом внутрипроизводственного оборота.

Чистая продукция -- вновь созданная стоимость в результате производственной деятельности предприятия. Для ее определения необходимо из валовой продукции исключить стоимость материальных затрат, понесенных в процессе производства, а также амортизационные отчисления.

Условно-чистая продукция -- та же чистая продукция, но с включением величины амортизационных отчислений.

Товарная продукция -- это конечный результат деятельности предприятия за отчетный период, который представляет собой стоимость готовых изделий и полуфабрикатов, выработанных и фактически реализованных или предназначенных к реализации, а также стоимость выполненных на сторону работ промышленного характера.

Вопрос 4. Методы измерения финансовых и страховых рисков, оценки бизнес-рисков, принятия решений в условиях неопределенности и риска, методология финансово-экономических и актуарных расчетов

От сезонных и циклических колебаний необходимо отличать единовременные изменения характера тенденций временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или некоторыми другими факторами. В этом случае с некоторого момента времени происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что ведет к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1. Изменение характера тенденции временного ряда

Момент времени сопровождается существенным изменением ряда факторов, оказывающих значительное воздействие на изучаемый показатель . Часто такие изменения вызваны факторами глобального характера, ведущими к изменению структуры экономики. Если изучаемый ряд динамики включает в себя соответствующий период или момент времени, то одной из задач его изучения становится решение вопроса о значимости влияния структурных изменений на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции изучаемого ряда динамики используют кусочно-линейные модели регрессии. Для этого разделяют исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после). Затем строят отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 1 этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2).

Если же структурные изменения незначительно влияют на характер тенденции изучаемого ряда динамики , то ее можно описывать на основе единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 1 этому уравнению соответствует прямая (3).

У описанных выше подходов есть как положительные, так и отрицательные стороны. Так, при построении кусочно-линейной модели происходит уменьшение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, а следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели.

При построении общего для всей совокупности уравнения тренда, напротив, сохраняется число наблюдений исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению выше, чем по кусочно-линейной модели.

Выбор одной из двух моделей зависит от соотношения между сокращением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от общего уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Для оценки этого соотношения был предложен статистический тест Чоу. Практическое применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений тренда, графики которых отображены на рисунке 1.

Чоу предложил гипотезу о структурной стабильности тенденции изучаемого ряда динамики.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму

.

Ей соответствует число степеней свободы:

.

Сокращение остаточной суммы квадратов при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно выразить:

.

Число степеней свободы, соответствующее будет равно:

.

В соответствии с предложенной Чоу методикой определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы:

.



Полученное значение сравнивают с табличным (критическим), полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и .

Если , то гипотеза о структурной стабильности тенденций отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование временного ряда следует осуществлять на основе кусочно-линейной модели. Если , то основания для принятия нулевой гипотезы о структурной стабильности тенденции существенны. Моделирование тенденции следует осуществлять с помощью единого для всей изучаемой совокупности уравнения тренда.

Если гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда отклоняется, дальнейший анализ может заключаться в изучении вопроса о причинах этих структурных различий и детальном изучении характера изменения тенденции. Эти причины обуславливают различия оценок параметров уравнений графика (1) и (2), которые представлены на рисунке 1.

Возможны некоторые сочетания изменения численных оценок параметров этих уравнений:

1. Изменение численной оценки свободного члена уравнения тренда по сравнению с при условии, что различия между и статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) параллельны.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. Изменение тенденции ряда динамики
при различии между и

В этом случае можно говорить о скачкообразном изменении уровней ряда в момент времени при неизменном среднем абсолютном приросте за период.