Методы статистического измерения и наблюдения социально-экономических явлений, обработки статистической информации, методология построения статистических показателей

2. Изменение численной оценки параметра по сравнению с при условии, что различия между и статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) пересекают ось ординат в одной точке.

Рисунок 3. Изменение тенденции временного ряда при статистически значимом различии между и



В этом случае изменение тенденции связано с изменением среднего абсолютного прироста ряда динамики, начиная с момента времени при неизменном уровне ряда в момент времени t=0.

3. Изменение численных оценок параметров и ; и .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4. Изменение тенденции временного ряда при статистически значимом различии между и ; и

Геометрически эта ситуация означает, что изменение характера тенденции сопровождается изменением как начального уровня ряда, так и среднего за исследуемый период абсолютного прироста.

Статистический метод для тестирования перечисленных ситуаций изменения тенденции временного ряда был предложен американским экономистом Дамодаром Гуйарати. Этот метод основан на включении в модель регрессии фиктивной переменной , которая принимает значения равные 1 для всех , принадлежащих промежутку времени до изменения характера тенденции (1) и равные 0 для всех , принадлежащих промежутку времени после изменения характера тенденции (2).

Гуйарати предлагает определять параметры следующего уравнения регрессии:



.

Таким образом, для каждого промежутка времени получим следующие уравнения:

(1) Z=1 ;

(2) Z=2 .

Сопоставив полученные уравнения с уравнениями (1) и (2), видим:

Таким образом, оценка статистической значимости различий и , а также и эквивалентна оценке статистической значимости параметров и уравнения Гуйарати (так как , а ). Эту оценку можно провести при помощи t-критерия Стьюдента.

Следовательно, если в уравнении является статистически значимым, а - не значимо, то изменение тенденции вызвано различиями параметров и (рис. 2); если наоборот, то изменение характера тенденции вызвано различиями параметров и (рис. 3); а если оба коэффициента и являются статистически значимыми, то на изменение характера тенденции влияют различия между и ; и (рис. 4).

Этот метод можно использовать не только в дополнение к тесту Чоу, но и самостоятельно для проверки структурной стабильности тенденции изучаемого ряда динамики. Преимущество уравнения Гуйарати в том, что не нужно строить три уравнения тренда, а достаточно одного.

Многомерные временные ряды, характеризующие зависимость результативного признака от одного или нескольких факторов, называют связными рядами динамики. Применение метода наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует выдвижения никаких предположений о законах распределения исходных данных. Однако при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов следует учитывать наличие автокорреляции (авторегрессии), которая не учитывалась при обработке одномерных рядов динамики, поскольку ее наличие способствовало более плотному и четкому выявлению тенденции развития изучаемого социально-экономического явления во времени.

В рядах динамики социально-экономических процессов между близко расположенными уровнями существует взаимосвязь. Это явление удобно представить в виде корреляционной зависимости между рядами

, , ,…,

и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени

, , ,…,.

Временное смещение L называется сдвигом, а само явление взаимосвязи - автокорреляцией.

Автокорреляционная зависимость особенно существенна между последующими и предыдущими уровнями временного ряда. Так как классические методы математической статистики применяются лишь в случае независимости отдельных членов ряда между собой, то при анализе нескольких взаимосвязанных рядов динамики необходимо установить наличие и степень их автокорреляции.

Различают два вида автокорреляции:

1. автокорреляция в наблюдениях за одной или более переменных;

2. автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.

Наличие автокорреляции остатка приводит к искажению величин средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости.

Автокорреляцию измеряют при помощи нециклического коэффициента автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними уровнями, т.е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени L.

Этот сдвиг (временной лаг) определяет также порядок коэффициентов автокорреляции:

L=1 коэффициент автокорреляции первого порядка;

L=2 коэффициент автокорреляции второго порядка;

и т.д.

На практике наибольшее искажение результатов анализа возникает при корреляции между исходными уровнями ряда и теми же уровнями, сдвинутыми на единицу или . Поэтому наибольший интерес представляет вычисление нециклического коэффициента автокорреляции первого порядка.

Следовательно, коэффициент автокорреляции можно определить по формуле:

,

где - среднее квадратическое отклонение рядов ;

- среднее квадратическое отклонение рядов .

Для суждения о наличии (отсутствии) автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для соответствующего уровня значимости. Критическая область проверяемой гипотезы об отсутствии автокорреляции приведена в специальной таблице, составленной Андерсеном.

Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, если наоборот, то делают вывод о наличии автокорреляции во временном ряду.

Необходимо отметить два свойства коэффициента автокорреляции:

1. Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует только тесноту линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Для временных рядов с сильной нелинейной тенденцией коэффициента автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2. Знак коэффициента автокорреляции не характеризует направление (возрастание или убывание) тенденции уровней ряда, поэтому ряды динамики экономических данных, содержащие положительную автокорреляцию уровней, имеют в некоторых случаях убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициента автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией ряда динамики, а график зависимости её значений от величины лага называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а соответственно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим (последующем) уровнями ряда наиболее тесная. При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы выявляют структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый временной ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции n-го порядка, то ряд содержит периодические колебания в n моментов времени. Если же ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то делают предположения относительно структуры ряда:

1. ряд не содержит тенденцию и периодические колебания. Структура ряда изображена на рисунке 5.

2. ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой проводят дополнительный анализ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5. Ряд не содержит тенденцию и периодические колебания

Именно поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления в ряду динамики наличия или отсутствия трендовой и периодической компоненты. Рассматривая последовательность остатков (ошибок) как временной ряд строится график их зависимости во времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6. Модель зависимости случайных остатков от времени.

Однако на практике часто встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или периодические колебания (рис. 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7. Модель зависимости остатков от времени: а) убывающая тенденция; б) возрастающая тенденция; в) периодические колебания.

Автокорреляция остатков вызывается рядом причин, различных по своей природе:

1. иногда автокорреляция остатков связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. причины автокорреляции остатков заключаются в формулировке модели. Так, модель может не включать фактор, оказывающий существенное влияние на результат, влияние которого отражается в остатках. Зачастую таким фактором является фактор времени (t), кроме того, такими факторами могут являться лаговые значения включенных в модель переменных. Иногда второстепенные факторы, не включенные модель, совместно воздействуют на результат и существенно находят отражение в остатках.

Истинную автокорреляцию остатков следует отличать от автокорреляции, причины которой заключаются в неправильной спецификации модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативных признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Известны два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков:

1. построение графика зависимости остатка от времени и визуальное определение наличия (отсутствия) автокорреляции

2. использование критерия Дарбина-Уотсона, который рассчитывается по формуле:

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах, как сами наблюдения, так и отклонения от них, распределяются в хронологическом порядке.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза H₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы H₁ и H₁ состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяют критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_l и d_u для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток от 0 до 4 разбивают на пять отрезков.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределённости, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H₀.

Для исключения или уменьшения автокорреляции в рядах динамики могут использоваться две группы методов:

1. Методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции, которые используются в дальнейшем для анализа взаимосвязи изучаемых рядов динамики. Эта группа методов предполагает устранение трендовой компоненты из каждого уровня временного ряда. В этой группе наиболее широко распространены метод последовательных разностей и метод отклонения от трендов;

2. Методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней рядов динамики при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели. К этой группе методов в первую очередь относится метод включения в модель регрессии в качестве дополнительного фактора - времени.

Рассмотрим эти методы подробнее.

Метод отклонений от тренда

Предположим, имеются два ряда динамики x_t и y_t, содержащие трендовую и случайную компоненты. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить их расчетные уровни и . Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путём вычитания этих расчетных значений из фактических уровней ряда. Эту процедуру осуществляют для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а рассчитанных отклонений от тренда ; при условии, что последние не содержат тенденции.

Метод последовательных разностей

При исключении автокорреляции методом последовательных разностей подвергаются обработке методом наименьших квадратов не сами уровни исходных рядов и , а последовательные разности между ними:

; ;

; ;

; ;

При использовании этого метода исходят из предположения, что все разности между уровнями динамических рядов, начиная с первой, будут содержать только случайную компоненту. Причем первые разности содержат случайную в линейной форме, вторые - описываемые параболой 2-го порядка, третьи - показательной функцией.

Метод включения в уравнение регрессии фактора времени

В соответствии с теоремой, доказанной Фришем и Воу, время вводится в систему связных динамических рядов в явной форме в качестве дополнительного фактора, и эта процедура называется введением фактора времени в уравнение регрессии. Уровни исходных динамических рядов могут быть представлены показателями в любой форме, в том числе логарифмической, а время всегда вводится в линейной форме. Считается, что введение фактора времени исключает основную тенденцию развития всех явлений, представленных исследуемыми рядами динамики. Доказано, что введение времени аналогично использованию отклонений фактических данных от трендов.

Применение метода наименьших квадратов к обработке многомерных временных рядов не отличается от методологии применения его к обычным статистическим рядам. В рассматриваемом случае минимизируется следующая сумма:

.

При оценивании параметров уравнения регрессии вида при наличии автокорреляции в остатках примем некоторые допущения относительно этого уравнения:

1) пусть x_t и y_t не содержат тенденции (представляют собой отклонения выровненных значений от исходных уровней ряда динамики;

2) пусть оценки параметров уравнения регрессии a₀ и a₁ найдены обычным методом наименьших квадратов;

3) пусть критерий Дарбина-Уотсона показал наличие автокорреляции в остатках первого порядка.

Для определения последствий автокорреляции в остатках при оценке параметров модели регрессии обычным методом наименьших квадратов построим формальную модель, описывающую автокорреляцию в остатках. Автокорреляция в остатках первого порядка предполагает, что каждый следующий уровень остатков _t зависит от предыдущего уровня _t-1. Следовательно, существует регрессионная модель вида:

,

где - случайная ошибка;

и - параметры уравнения регрессии.

В соответствии с МНК имеем:

;

.

Предполагая, что средняя ошибка равна нулю и сумма ошибок равна нулю ( и , а также ), имеем:

;



,

где - коэффициент автокорреляции первого порядка.

Следовательно, уравнение регрессии можно написать в виде

,

так как ,

где u_t - случайная ошибка.

Полученные соотношения показывают, что текущий уровень ряда y_t зависит не только от факторного признака x_t, но и от остатков предшествующего периода _t-1.

Предположим, что мы не учитываем полученное соотношение и оцениваем параметры a₀ и a₁ обычным МНК, тогда полученные оценки не эффективны, так как не имеют минимальной дисперсии (не соблюдается вторая предпосылка МНК). Это ведёт к увеличению стандартных ошибок и снижению фактических значений t-критерия Стьюдента и более широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. Вследствие интерпретации таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемого факторного признака на результат, хотя на самом деле это влияние статистически значимо.

При соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не оказывает влияния на свойство состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, исключая модели авторегрессии. Применение классического МНК к моделям авторегрессии ведёт к получению смещенных, несостоятельных и неэффективных оценок.

Рассмотрим более подробно подход к оценке параметров модели регрессии с автокорреляцией остатков.

Обратимся к исходной модели для момента времени t-1:

.

Умножим обе части уравнения на :

.

Найдём почленную разность уравнений регрессии для периода времени t и преобразованного:

,

в результате преобразований имеем:

;

если ;

;

;

,

имеем:



.

Так как u_t - случайная ошибка, то для оценки параметров уравнения применяется обычный (классический) МНК.

Если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то оценка параметров уравнения реализуется обобщенным МНК. Для его применения необходимо выполнение следующих условий:

1. Преобразовать исходные факторный и результативный признаки x_t и y_t к виду и .

2. Применяя классический МНК к преобразованному уравнению оценить параметры и .

3. Рассчитать параметр a₀ исходного уравнения как .

4. Записать исходное уравнение .

Обобщенный МНК аналогичен методу последовательных разностей. Применяя ОМНК, мы вычитаем из y_t или x_t не все значения предыдущего уровня y_t-1 (x_t-1), а некоторую его долю y_t-1 или x_t-1. В том случае, если =1, ОМНК есть просто метод первых разностей, так как

;

.

Поэтому, если значение критерия Дарбина-Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей обосновано.

Если =-1, т. е. в остатках наблюдается полная отрицательная автокорреляция, то метод первых разностей модифицируется следующим образом:



;

.

Так как , то получим:

.

Следовательно,

.

Соответственно в уравнении мы определяем средние за два периода уровни каждого ряда, а затем по усреднённым уровням классическим МНК рассчитываются параметры a₀ и a₁.

Синтезированная модель называется моделью регрессии со скользящим средним.

Ключевая проблема, связанная с применением данного метода, заключается в получении оценки (коэффициент автокорреляции первого порядка). Основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии и получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона:

.

Недостаток методов исключения или уменьшения автокорреляции в рядах динамики заключается в модификации исходной модели временного ряда в результате замены переменных, либо включения в модель фактора времени. Однако большая часть соотношений сформулирована в уровнях временных рядов, а не их последовательных разностей или отклонений от трендов, и предполагает измерение взаимосвязи переменных без включения в модель дополнительных факторов.

Иногда наличие тенденции в одном временном ряде является следствием наличия тенденции в другом ряду, включенном в модель, а не результатом случайных причин. Поэтому направленность (одинаковая либо противоположная) тенденций рядов может иметь устойчивый характер и наблюдаться на протяжении длительного периода времени. При этом коэффициент корреляции уровней временных рядов может характеризовать истинную причинно-следственную зависимость между ними и не содержать ложной корреляции.

Эти предположения легли в основу теории коинтеграции временных рядов. Коинтеграция - это причинно-следственная зависимость в уровнях двух или более временных рядов, выражающаяся в совпадении или обратной направленности их тенденции и случайной компоненты.

В соответствии с этой теорией между временными рядами существует коинтеграция в случае, если линейная комбинация этих временных рядов есть стационарный временной ряд (т.е. ряд, содержащий только случайную компоненту и имеющий постоянную дисперсию в длительном периоде времени).

Остатки исходного уравнения регрессии временного ряда представляют собой линейную комбинацию рядов y_t и x_t:

.

Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов y_t и x_t является критерий Энгеля-Грангера. Алгоритм его применения следующий:

1. Формируется нулевая гипотеза H₀ об отсутствии коинтеграции между рядами y_t и x_t.

2. Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида

,

где - первые разности остатков, полученных из соотношения .

3. Вычисляют фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии a₀ в уравнении .

4. Сравнивают полученное значение с критическим. Критические значения, рассчитанные Энгелем и Грангером для уровней значимости 1%, 5% и 10%, составляют соответственно 2,5899; 1,9439; 1,6177.

Если фактическое значение t-критерия больше критического для заданного уровня значимости б нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции изучаемых временных рядов отклоняют и с вероятностью (1-б) принимают альтернативную гипотезу H₁ о наличии коинтеграции временных рядов y_t и x_t. В противном случае гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми временными рядами не отклоняется.

Другой метод тестирования нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции между двумя или более временными рядами связан с использованием величины критерия Дарбина-Уотсона. В основе этого метода лежит проверка гипотезы о том, что полученное значение критерия Дарбина-Уотсона в генеральной совокупности равно нулю.

Критические значения критерия Дарбина-Уотсона, полученные методом Монте-Карло, для уровней значимости 1%, 5% и 10% составляют соответственно 0,511; 0,386; и 0,322.

Если результаты тестирования показали, что фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона нельзя признать равным нулю (следовательно, оно превышает критическое значение для заданного уровня значимости), гипотезу H₀ об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняют. И наоборот, если расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения при заданном уровне значимости, то гипотеза H₀ об отсутствии коинтеграции подтверждается.

Коинтеграция двух временных рядов упрощает методы и процедуры, используемые в целях их анализа, так как можно строить уравнения регрессии и определять показатели корреляции на основе непосредственно исследуемых исходных значений уровней временных рядов. Однако коинтеграция это совпадение динамики временных рядов в течение продолжительного периода времени, поэтому теория коинтеграции применима только к временным рядам, охватывающим длительные промежутки времени. При наличии сравнительно коротких временных рядов моделирование взаимосвязей по уровням этих рядов ведет к неверным результатам вследствие нарушения предпосылок теории коинтеграции.

При изучении развития явления или процесса во времени зачастую возникает необходимость оценки взаимосвязи в изменениях уровней двух или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой.

Поставленная задача решается методами коррелирования:

1. уровней ряда динамики;

2. отклонений фактических уровней от тренда;

3. последовательных разностей (путем исчисления парного коэффициента корреляции).

Для изучения взаимосвязи рядов динамики может использоваться:

1. Парный коэффициент корреляции, показывающий тесноту связи при отсутствии автокорреляции. В этом случае величина коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:



,

где x_i - уровни факторного ряда динамики,

y_i - уровни результативного ряда динамики.

Следовательно, прежде чем изучить тесноту связи между уровнями ряда динамики, требуется проверить каждый из них на наличие или отсутствие автокорреляции. Это достигается при помощи коэффициента автокорреляции. В случае подтверждения наличия автокорреляции между уровнями ряда динамики ее исключают.

2. Парный коэффициент корреляции по отклонениям фактических уровней от выравненных по уравнению регрессии. Этот способ заключается в коррелировании отклонений фактических и выравненных уровней, отражающих общую тенденцию, т.е. коррелируются остаточные величины. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по характерной для него аналитической формуле, а затем из эмпирических уровней вычитают выровненные, вычисляя

и ,

и определяют тесноту связи между рассчитанными отклонениями по формуле:

.

Парный коэффициент корреляции по абсолютным отклонениям уровней ряда динамики. Влияние автокорреляции исключается путем вычитания из каждого уровня временного ряда предшествующего, находя последовательные разности уровней

; ;

; ;

; .

При переходе от уровней к их разностям исключается влияние тенденций на колеблимость. При этом при изменении уровней на прямой можно коррелировать первые разности ( и ) при изменении по параболе n-го порядка - n-е разности.

Измерение тесноты связи между исследуемыми временными рядами на основе коэффициента разностей осуществляется по формуле:

.

Коэффициент корреляции, рассчитанный для измерения тесноты зависимости уровней временных рядов, является обобщающим показателем. Однако для продолжительного периода времени эта зависимость не постоянна и меняется во времени. Поэтому рекомендуется рассчитывать скользящие коэффициенты корреляции для определенного промежутка времени с целью выявления силы зависимости (слабая или высокая) между изменениями уровней временных рядов.

Исследование динамики социально-экономических явлений и процессов, выявление и характеристика основного тренда развития и моделей взаимосвязи дают основание для прогнозирования, т.е. определения будущих размеров уровня явления.

Основа прогнозирования - статистические методы. Применение прогнозирования основывается на предположении, что закономерность развития, действующая в прошлом внутри ряда динамики, сохранится и в прогнозируемом будущем. Такой прогноз основан на перспективной экстраполяции.

Теоретической основой распространения тенденции является инертность социально-экономических явлений. Инертность позволяет выявить взаимосвязь между уровнями динамического ряда или между группой связных временных рядов. Надежные результаты прогнозирования временных рядов получают, если уровни ряда динамики сопоставимы и синтезированы на основе единого методологического подхода.

Применение перспективной экстраполяции в практическом прогнозировании основывается на следующих предпосылках:

1. развитие изучаемого явления графически описывается плавной линией (кривой);

2. общая тенденция развития явления, как в прошлом, так и в будущем, серьезно не изменяется.

Надежность прогноза зависит от того, как точны эти предположения в действительности, а также, как точно охарактеризована выявленная закономерность.

Экстраполяция это начальная стадия построения прогноза. Механическое, без учета условий, предпосылок и содержательного экономического анализа, применение экстраполяции может стать причиной неадекватных выводов.

Чем шире временной горизонт прогноза, тем очевиднее недостаточность простого метода экстраполяции в результате изменения тенденции, неизвестных точек, влияния новых факторов и т.д. В этом случае динамичность экономических процессов противоречит инертности их развития.

Так как исследуемые ряды динамики часто краткосрочны, то временной горизонт экстраполяции также ограничен. Поэтому чем короче срок экстраполяции (период упреждения), тем более надежны результаты прогноза. За относительно короткий период условия развития явлений не успевают измениться, что сохраняет характер его динамики.

В общем виде экстраполяции можно представить:

где - прогнозный уровень ряда динамики;

y_t - текущий уровень прогнозируемого ряда динамики;

T - период упреждения;

a_i - параметр уравнения регрессии временного ряда.

В зависимости от принципов и эмпирических данных ряда выделяют следующие методы экстраполяции:

1. по среднему абсолютному приросту;

2. по среднему темпу роста;

3. на основе аналитического выравнивания временного ряда.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в случае линейной тенденции развития. Этот метод основывается на предположении о стабильности (равномерности) изменения уровня.

Для экстраполирования по среднему абсолютному приросту необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно увеличивать конечный уровень ряда на его величину на требуемое число периодов экстраполяции:

,

где - экстраполируемый уровень ряда;

T - срок прогноза или период упреждения;

y_t - последний уровень ряда, за который рассчитан ;

- средний абсолютный прирост.

Следует иметь в виду, что использование среднего абсолютного прироста для прогноза возможно только при соблюдении условия:

,

;

.

Экстраполирование по среднему темпу роста осуществляется, когда общая тенденция ряда динамики характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. В этом случае для прогнозирования определяют средний коэффициент роста и возводят его в степень, соответствующую периоду экстраполяции:

где - средний коэффициент роста.

Если временному ряду соответствует другая закономерность развития, то прогнозные значения, полученные по среднему темпу роста, будут отличаться от рассчитанных другими способами экстраполяции.

Рассмотренные два способа экстраполяции тренда являются самыми простейшими и приближенными.

На практике наибольшее распространение получил метод экстраполирования на основе аналитического выравнивания временного ряда. При этом для получения прогнозного значения продолжают значения независимой переменной времени за границы исследуемого периода.

Этот подход прогнозирования предполагает, что уровень ряда динамики формируется под воздействием множества факторов, при этом отдельно влияние каждого из них не выделяется. Следовательно, тенденция развития связана не с каким-либо фактором, а с течением времени:

y_t =f(t).

На основе применения экстраполяции получают точечные значения прогноза, при этом полное совпадение фактических данных и прогнозных оценок маловероятно. Возникновение отклонений фактических уровней ряда динамики от выравненных по уравнению тренда связано со следующими причинами:

1. всегда существует кривая, которая дает более точные результаты, по сравнению с избранной для описания тенденции;

2. кривая, избранная для экстраполяции, содержит случайную компоненту, так как каждый уровень ограниченных исходных данных обладает случайной компонентой;

3. выявленная тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, следовательно, возможны отклонения от него.

При использовании методов экстраполяции ввиду их приближенного характера рекомендуется определение доверительных интервалов прогноза:

,

где t_б - доверительная величина по распределению Стьюдента;

- остаточная средняя квадратическая ошибка тренда, которая рассчитывается по формуле:

,

где n - число уровней базисного ряда динамики;

m - число параметров адекватной модели тренда.

Вместо t-критерия Стьюдента возможно применение коэффициента Четыркина (k), рассчитанного для соответствующего периода прогнозного интервала. Так, для первого периода во временном горизонте прогноза k₁=2,0153; для второго k₂=2,0621; третьего k₃=2,1131; четвертого k₄=2,1680. Следовательно, величина доверительного интервала определяется по формуле:

.

Важно помнить, что экстраполяция носит условный характер, поэтому применение методов экстраполяции не является самоцелью. При построении прогнозов социально-экономических явлений следует привлекать дополнительную информацию, на основе которой корректируются количественные оценки, полученные методом экстраполяции.

К числу динамических моделей относят не все модели, построенные по временным рядам данных. Динамические модели характеризуются каждым отдельным моментом времени t в отдельности, а не всем периодом.

Модель называют динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в неё переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т.е. если эта модель отражает динамику последующих переменных в каждый момент времени.

Таким образом, при изучении зависимостей между показателями, для анализа развития во времени которых в качестве объясняющих переменных используются как текущие значения переменных, так и предыдущие во времени, а также само время T, используются динамические модели.

При исследовании социально-экономических процессов зачастую требуется моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием факторов, действовавших в прошлые моменты времени t-1, t-2, t-3,…,t-l. Величину l называют лагом, характеризующим запаздывание воздействия фактора на результат. В свою очередь, переменные, влияние которых характеризуется определённым запаздыванием, называют лаговыми переменными.

Как правило, динамические модели подразделяются на два вида:

1. Модели с распределённым лагом - это модели, содержащие в качестве лаговых переменных независимые переменные. Эта модель имеет вид:

.

2. Авторегрессионные модели - это модели, уравнения которых в качестве лаговых переменных включают значения зависимых переменных. Модель авторегрессии имеет вид:

.

В статистическм анализе динамические модели широко используются, так как воздействие ряда экономических факторов на другие не мгновенно, а осуществляется с запаздыванием. В качестве факторов этого запаздывания можно назвать:

1. психологические факторы, выражающиеся в инертности поведения людей, так, например, люди тратят свои доходы постепенно;

2. технологические факторы;

3. институциональные факторы;

4. механизмы формирования экономических показателей, например, создание денег в банковской системе проявляет себя через определённый интервал времени.

Синтезирование динамических моделей имеет свои особенности:

1. оценка параметров авторегрессионных моделей, а иногда и моделей с распределённым лагом не может быть произведена с помощью МНК из-за нарушения его предпосылок, а требует применение специальных методов параметризации;

2. необходимо выбрать оптимальную величину лага и определить его структуру;

3. между двумя видами динамических моделей существует взаимосвязь, в результате которой требуется осуществлять переход от одной к другой.

9.Модель с распределённым лагом можно записать в виде:

Очевидно, что в момент времени t происходит изменение независимой переменной x и это изменение влияет на результативный показатель y в течение l моментов времени.

Оценка данной модели зависит от того, конечно или бесконечно число лагов в ней.

В модели с распределёнными лагами коэффициент регрессии a₀ при переменной x_t характеризует среднее абсолютное изменение результата y_t при изменении фактора x_t на 1 единицу в некоторый фиксированный момент времени t, без учёта воздействия лаговых значений x. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

В момент t+1 совокупное воздействие факторной переменной x_t на результат y_t составит б₀+б₁, а в момент t+2 соответственно б₀+б₁+б₂ и т.д. Следовательно, любую сумму коэффициентов (h<l) называют промежуточным мультипликатором.

Сумму всех б_i (i=0,1,2,…,h) называют долгосрочным мультипликатором, так как она характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения X в каждом из рассматриваемых периодов времени:

, где i=0, 1, 2,…,l

Предположим, относительные коэффициенты модели с распределённым лагом равны:

, , где .

Если все коэффициенты б_l имеют одинаковые знаки, то для любого i-го значения

и .

В этом случае относительные коэффициенты A_i являются весами для соответствующих коэффициентов б_i, каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени t+i.

Зная величину A_i, можно определить:

1. Средний лаг по формуле средней арифметической взвешенной:

. 7.45



Средний лаг представляет собой средний период, в течение которого происходит изменение результата под воздействием изменения фактора в данный момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, а высокая величина - о том, что воздействие фактора на результат скажется через длительный период времени.

2. Медианный лаг - это лаг, для которого

.

Это период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Вопрос 5. Прикладные статистические исследования воспроизводства населения, сфер общественной, экономической, финансовой жизни общества, направленные на выявление, измерение, анализ, прогнозирование, моделирование складывающейся конъюнктуры и разработки перспективных вариантов развития предприятий, организаций, отраслей экономики России и других стран

Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования -- определения будущих размеров уровня экономического явления.

Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой, и в прошлое -- ретроспективой. Обычно, говоря об экстраполяции рядов динамики, подразумевают чаще всего перспективную экстраполяцию. Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы в зависимости от исходной информации. Можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и на основе применения метода наименьших квадратов и представления развития явлений во времени в виде уравнения тренда, т.е. математической функции уровней ряда (у) от фактора времени (Ј).

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если общая тенденция считается линейной, т.е. метод основан на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).

В этом случае, чтобы получить прогноз на / шагов вперед (г -- период упреждения), достаточно воспользоваться следующей формулой:

где уп^ -- прогнозная оценка значения (и + 1)-го уровня ряда; уп -- фактическое значение в последней п-и точке ряда (конечный уровень ряда); Д -- значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для ряда динамики уру2, -,у„-Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения прогнозного значения на I шагов вперед необходимо использовать следующую формулу:

где Кр -- средний коэффициент роста, рассчитанный для

ряда г/,, ут уп.

К недостаткам рассмотренных методов следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровень ряда, исключая влияние промежуточных уровней. Тем не менее методы среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста имеют весьма широкую область применения, что объясняется простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественно-качественному анализу.

При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (Ј).

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризирующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени. Па практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени у = /(I).

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения ряда динамики;

2) оценка параметров выбранных кривых;

3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет точечного и интервального прогнозов. Остановимся на величине доверительного интервала прогноза, который определяют по формуле

Где г/(+1 -- расчетное значение уровня; 1а -- доверительная величина, определяемая на основе ^-критерия Стьюдента; о -- средняя квадратическая ошибка тренда.

Вместо I: -критерия удобно использовать коэффициент (К*).

Например, необходимо провести прогноз на 2011 -- 2012 гг. по данным о количестве проданных квартир в регионе N (см. табл. 8.5).

Для экстраполяции используем уравнение тренда, полученное по прямой у1 =39,7 0,25к. Подставив соответствующее значение Ј в наше уравнение, получим точечные прогнозы на 2011 2012 гг. (графа 2 табл. 8.9). Для построения интервальных прогнозов рассчитаем среднеквадратическую ошибку тренда (о( = 0,56) и используем значения К1.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, т.е. к интерполяции.

Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также с помощью аналитического выравнивания. При интерполяции предполагается, что ни выявленная тенденция, ни се характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого неизвестны.



Вопросы для самоконтроля

1. Охарактеризуйте моделирования тенденции изучаемого ряда динамики

2. Раскройте содержание регрессионного анализа связных динамических рядов

3. Раскройте содержание параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках

4. Охарактеризуйте основные положения теории коинтеграции временных рядов

5. Охарактеризуйте порядок корреляционного анализа временных рядов данных

6. Содержание процесса прогнозирования тенденции временного ряда

7. Охарактеризуйте классы динамических моделей

8. В чем сущность интерпретации параметров моделей с распределенным лагом



Темы для научных исследований, научных докладов, выступлений (рефератов)

1. Методы статистического измерения и наблюдения социально-экономических явлений, обработки статистической информации, оценка качества данных наблюдений; организация статистических работ.

2. Методы обработки статистической информации: классификация и группировки, методы анализа социально-экономических явлений и процессов, статистического моделирования, исследования экономической конъюнктуры, деловой активности, выявления трендов и циклов, прогнозирования развития социально-экономических явлений и процессов.

3. Методология экономико-статистических исследований, направленных на измерение эффективности функционирования предприятий и организаций.

4. Методы измерения финансовых и страховых рисков, оценки бизнес-рисков, принятия решений в условиях неопределенности и риска, методология финансово-экономических и актуарных расчетов.

5. Прикладные статистические исследования воспроизводства населения, сфер общественной, экономической, финансовой жизни общества, направленные на выявление, измерение, анализ, прогнозирование, моделирование складывающейся конъюнктуры и разработки перспективных вариантов развития предприятий, организаций, отраслей экономики России и других стран.



Литература

основная

1. ЭБС "Znanium" : Батракова Л. Г. Социально-экономическая статистика : учебник / Л. Г. Батракова. - М.: Логос, 2013. - 480 с.

2. ЭБС "Znanium" : Улитина Е. В. Статистика : учеб. пособие /Е.В. Улитина, О.В. Леднева, О.Л. Жирнова; под ред. Е.В. Улитиной.- 3-е изд., стер.- М.: Московский финансово-промышленный ун-т «Синергия», 2013. - (Университетская серия).

3. ЭБС "Znanium" : Саблина Е. А. Статистика финансов: Учебное пособие / Е.А. Саблина. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 288 с.

дополнительная

1. ЭБС "Znanium" : Мелкумов Ян С. Социально-экономическая статистика: Учебное пособие / Я.С. Мелкумов. - М.: НИЦ Инфра-М, 2012. - 236 с. - (Высшее образование: Бакалавриат).

2. ЭБС "Znanium" : Экономическая статистика: Учебник / Под ред. проф. Ю.Н. Иванова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 576 с. - (Высшее образование: Бакалавриат).

3. ЭБС "Znanium": Пахунова Р.Н. Общая и прикладная статистика: Учеб. для студ. высш. проф. обр./Р.Н.Пахунова, П.Ф.Аскеров и др.; Под общ. ред. Р.Н.Пахуновой - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013- 272с.- (ВО: Бакалавриат).

4. Вопросы статистики (периодическое издание).

5. Экономический анализ: теория и практика (периодическое издание).

6. ЭБС Университетская библиотека ONLINE Реферативный журнал. Серия 2. Экономика.

7. Электронная библиотека диссертаций Российской государственной библиотеки http://elibrary.rsl.ru/

8. Международная реферативная база данных WebofScience. http://wokinfo.com/russian/

9. Международная реферативная база данных SCOPUS. http://www.scopus.com/

Размещено на Allbest.ru