Диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в нескінченновимірних просторах з відображеннями псевдомонотонного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМЕНІ В.М. ГЛУШКОВА

УДК 517.9

Диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в нескінченновимірних просторах з відображеннями псевдомонотонного типу

01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Касьянов Павло Олегович

КИЇВ 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Навчально-науковому комплексі «Інститут прикладного системного аналізу» Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут» Національної академії наук України та Міністерства освіти України

Науковий консультант доктор технічних наук, професор, академік НАН України

Згуровський Михайло Захарович, ННК «ІПСА» НТУУ «КПІ» НАН України та МОН України, директор

Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

Скопецький Василь Васильович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу доктор фізико-математичних наук, професор Личак Михайло Михайлович,

Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, головний науковий співробітник доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Сандраков Геннадій Вікторович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, провідний науковий співробітник

Захист відбудеться “ 8 ” жовтня 2010 року о 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, пр. акад. Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, пр. акад. Глушкова, 40.

Автореферат розіслано “ 3 ” вересня 2010 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О.А. Вагіс

мультиваріаційний дубінський коші

АНОТАЦІЯ

Касьянов П.О. Диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в нескінченновимірних просторах з відображеннями псевдомонотонного типу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2010.

Дисертаційну роботу присвячено диференціально-операторним включенням та мультиваріаційним нерівностям в банахових просторах з -квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв'язуючого оператора. Обґрунтовано метод Фаедо-Гальоркіна для некоерцитивних відображень, обґрунтовано також метод Дубінського та метод скінчених різниць для диференціально-операторних включень в банахових просторах з -псевдомонотонними відображеннями. Отримано важливі апріорні оцінки на розв'язки диференціально-операторних включень та їх похідні. Зокрема, розроблені методи дослідження нелінійних еволюційних рівнянь першого порядку з операторами псевдомонотонного типу, збурених субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу.

Доведені теореми про властивості субдиференціальних відображень в просторі Фреше. Вивчено властивості багатозначних відображень -квазімонотонного типу. Зокрема доведено, що клас відображень з напівобмеженою варіацією поглинає клас напівмонотонних відображень, введений Вайнбергом, та утворює опуклий конус в класі . Для спеціального класу нерефлексивних просторів розподілів з інтегрованими похідними доведено ряд теорем про неперервність та компактність вкладення.

Ключові слова: диференціально-операторне включення, мульти-варіаційна нерівність, -квазімонотонне відображення, субдиференціал, метод Фаедо-Гальоркіна, метод скінчених різниць.

АННОТАЦИЯ

Касьянов П.О. Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства в бесконечномерных пространствах с отображениями псевдомонотонного типа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена дифференциально-операторным включениям в банаховых пространствах с -квазимонотонными отображениями. Обоснован метод Фаэдо-Галеркина, метод Дубинского и конечных разностей для разрешимости данных объектов при условии ослабленной -коэрцитивности, -псевдомонотонности и квази-ограниченности и условия . Получены важные априорные оценки. Доказано, что класс отображений c полуограниченной вариацией поглощает клас полумонотонных отображений, введеный Вайнбергом, и образует выпуклый конус в классе .

Исследуються базовые свойства субдифференциальных отображений и мультивариационное неравенство в банаховых пространствах. Обоснован многозначный метод штрафа для мультивариационных неравенств. Для специального класса нерефлексивных пространств распределений с интегрируемыми производными доказан ряд теорем про непрерывность и компактность вложения. Среди основных результатов следует выделить такие:

- разработан многозначный метод штрафа для классов мультивариационных неравенств в бесконечномерных пространствах с отображениями типа и с -квазимонотонными отображениями. Исследованы функционально-топологические свойства разрешающего оператора. Результаты пременяются к некоэрцитивным задачам управления коэфициентами главной части еллиптического уравнения с условиями Дирихле на границе в классе обобщенно соленоидальных управлений, в частности, рассмотрены односторонние задачи;

- разработана некоэрцитивная схама исследования эволюционных включений с многозначными отображениями типа в банаховых пространствах. Полученные результаты применяются к динамическим контактным задачам с “нелинейным трением”;

- обоснован метод Дубинского, метод конечных разностей и метод Фаэдо-Галеркина для решений задачи Коши и периодических решений дифференциально-операторных включений с некоэрцитивными много-значными отображениями типу Вольтерры в банаховых пространствах. Конструктивно обоснована разрешимость для некоэрцитивных граничных задач с вырождением;

- изучены функционально-топологические свойства параметри-зированных дифференциально-операторных включений с многозначными отображениями типу и -квазимонотонными отображениями;

- разработаны методы исследования нелинейных эволюционных уравнений первого порядка с операторами псевдомонотонного типа, возмущенных субдифференциалом локально липшицевого функционала;

- с помощью многозначного метода штрафа исследованы сильные решения эволюционных мультивариационных неравенств с многозначными +-коэрцитивными -псевдомонотонными отображениями. Рассмотрено мультивариационное неравенство с дифференциальными операторами гидродинамического типа, возмущенными субдифференциалом локально липшицевого функционала;

- разработан многозначный метод штрафа для слабых решений эволюционных мультивариационных неравенств с +-коэрцитивными отображениями, получены новые априорные оценки производной по времени приближенных решений исходной задачи, исследованы классы односторонних задач з дифференциальными операторами типа Лере-Лионса;

- доказан ряд новых свойств для многозначных отображений псевдомонотонного типа и отображений типа в бесконечномерных пространствах. Упорядочены классы полумонотонных отображений и энергетических расшерений дифференциальных операторов с полуограниченной вариацией;

- получен ряд новых теорем вложения и аппроксимации специальных классов бесконечномерных пространств распределений, розработаны теоремы про базис для таких пространств. Результаты применяются при исследовании дифференциально-операторных включений и эволюционных мультивариационных неравенств.

Ключевые слова: дифференциально-операторное включение, мульти-вариационное неравенство, -квазимонотонное отображение, суб-дифференциал, метод Фаэдо-Галеркина, метод конечных разностей.

ABSTRACT

Kasyanov P.O. Differential-operator inclusions and multivariation inequalities in infinitedimensional spaces with pseudomonotone type maps. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree of physics and mathematics by speciality 01.05.01 - theoretical bases of informatics and cybernetics. - V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2010.

We study differential-operator inclusions in Banach spaces with -quasimonotone maps. We justify the Faedo-Galerkin method and the method of finite differences for a resolvability for the given objects under the weakened -coercive condition, -quasimonotony and quasiboundedness condition. The important a priori estimates are obtained. It is proved, that the class of maps with semibounded variation swallows the class of semimonotone multivalued maps, introduced by Vainberg. The class of multivalued maps, under consideration, forms a convex cone in a class .

We investigate the base properties of subdifferential maps and variation inequality in Frechet spaces.

For a special class of irreflexive spaces of distributions with integrable derivatives we prove a series of theorems about a continuity and compactness embedding.

Key words: differential-operator inclusion, multivariation inequality, -quasimonotone map, subdifferential map, Faedo-Galerkin method, method of finite differences.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом активізувались конструктивні та якісні дослідження нелінеаризованих математичних моделей геофізичних та соціоекономічних процесів та полів, які зводяться, за належної інтерпритації похідної, до диференціально-операторних включень та мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах. Серед таких моделей слід віділити класи односторонніх задач, задачі на многовиді з краєм та без краю, задачі із виродженням, об'єкти теорії оптимального керування та теорії фільтрації, задачі з вільною межею, задачі з запізненням тощо. Існуючі результати щодо якісної поведінки розв'язків таких задач, теорії глобальних та траекторних атракторів м-напівпотоків в нескінченновимірних просторах, теорії хаосу, оптимального керування розподіленими системами базуються на невиродженості та замкненості графіку у відповідних топологіях розв'язуючого оператора досліджуваної математичної моделі і становлять основну проблему при застосуванні цих результатів до реальних задач. Відзначимо, що перевірка таких властивостей розв'язків для кожного рівняння виконується окремо і, як правило, базується на лінійності або монотонності головної частини диференціального оператора, який фігурує в задачі. З іншого боку, енергетичні розширення та оператори Немицького для диференціальних операторів, які виникають в узагальнених постановках різних задач математичної фізики, стохастичних диференціальних рівняннях з частинними похідними, задачах з виродженнями часто володіють (при відповідному виборі фазового простору) загальними властивостями, пов'язаними з умовами росту (часто не більш, ніж поліноміального), знаковими умовами, псевдомонотонностью. За таких обмежень на визначаючі параметри вихідної проблеми, в загальному випадку, вдається довести тільки існування слабких розв'язків породженого диференціально-операторного включення або еволюційної мультиваріаційної нерівності, причому, не завжди конструктивно. На даний момент такі об'єкти інтенсивно вивчаються багатьма авторами: А.Г. Баскаковим, В. Барбю, Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гелманом, З. Деньковським, М.З. Згуровським, М.І. Каменським, О.А. Ковалевським, П.І. Когутом, C. Мігорським, В.В. Обуховським, Н.С. Папагеоргіу, В.Ю. Слюсарчуком, О.В. Солонухою та їх учнями. При цьому на функції взаємодії вихідних математичних моделей накладаються неприродньо жорсткі умови, пов'язані з рівномірною коерцитивністю, гладкістю, лінійністю і т.п. Таким чином, адекватне ослаблення таких технічних умов є безумовно актуальним завданням. Слід відзначити також, що при дослідженні важливих функціонально-топологічних властивостей розв'язуючого оператора диференціально-операторних включень і мультиваріаційних нерівностей, обгрунтуванні високоточних алгоритмів пошуку наближених розв'язків, з'являються нові проблеми, пов'язані з вивченням нових класів енергетичних розширень та операторів Немицького для диференціальних операторів із вихідних математичних моделей, дослідженням структури відповідних фазових і розширених фазових просторів, доведенням нових теорем вкладення та апроксимації, теорем про базис для таких просторів, узагальненням теореми Кі Фаня для мультистратегій, розробкою некоерцитивної теорії для диференціально-операторних включень з відображеннями псевдомонотон-ного типу. Дисертаційна робота є продовженням досліджень в області нелінійного та багатозначного аналізу розподілених систем в невкінченновимірних просторах. Таким чином, тема дисертаційної роботи щодо створення нового теоретичного апарату для якісного та конструктивного дослідження широкого кола нових, більш точних, математичних моделей геофізичних процесів та полів з нелінійними, розривними, багатозначними функціями взаємодії, узагальнені розв'язки яких є розв'язками диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей з некоерцитивними в класичному сенсі відображеннями псевдомонотонного типу є актуальною задачею.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до наукового напряму “Розвиток фундаментальних досліджень з найважливіших проблем природничих, суспільних і гуманітарних наук” відповідно до закону України “Про приоритетні напрями розвитку науки і техніки” №2623-ІІІ від 11.07.2001р. Дослідження, за результатами яких написано дисертаційну роботу, проводились в ННК ІПСА НТУУ «КПІ» НАН України та МОН України згідо із загальним планом науково-дослідних робіт в рамках держбюджетної теми 2251 “Розробка методів і алгоритмів аналізу та оптимального керування нелінійними сингулярними системами”, номер державної реєстрації 0107U002539. Частково дисертаційні дослідження виконувалися в рамках науково-дослідної теми “Диференціально-операторні включення та еволюційні варіаційні нерівності в нескінченновимірних просторах” (грант Державного фонду фундаментальних досліджень №Ф25.1//029, керівник О.С. Макаренко, номер державної реєстрації 0108U005984) та “Конструктивні методи дослідження та стабілізація еволюційних рівнянь” (спільний грант ДФФД-БФФД №Ф29.1//025, керівник академік НАН України М.О. Перестюк, номер державної реєстрації 0109U006435).

Мета i завдання дослідження. Мета дисертації полягає у розробці методів нелінійного, нескінченновимірного та багатозначного аналізу та їх застосуванні до диференціально-операторних включень та мультиваріаціних нерівностей, які описують нові, більш точні, математичні моделі нелінійних геофізичних процесів та полів, задач теорії керування.

Об'єкт дослідження. Диференціально-операторні включення та мультиваріаціні нерівності.

Предмет дослідження. Диференціально-операторні включення та еволюційні мультиваріаціні нерівності в нескінченновиміпрних просторах з відображеннями типу та квазімонотонного типу.

Методи дослідження. При дослідженні мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах був розроблений та впроваджений немонотонний та багатозначний метод штрафу. При дослідженні диференціально-операторних включень з некоерцитивними відображеннями використано метод Фаедо-Гальоркіна, метод Дубінського та метод скінчених різниць.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано такі теоретичні результати:

- розроблено багатозначний метод штрафу для класів мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах з відображеннями типу та з -квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв'язуючого оператора. Результати застосовано до некоерцитивних задач керування коефіцієнтами головної частини еліптичного рівняння з умовами Діріхле на границі у класі узагальнено соленоїдальних керувань, зокрема, розглянуто односторонні задачі;

- розроблена некоерцитивна схема дослідження для еволюційних включень з багатозначними відображеннями типу в банахових просторах. Одержані результати застосовано до динамічних контактних задач з “нелінійним тертям”;

- обґрунтовано метод Дубінського, метод скінчених різниць та метод Фаедо-Гальоркіна для розв'язків задачі Коші та періодичних розв'язків диференціально-операторних включень з некоерцитивними багатозначними відображеннями типу Вольтерри в банахових просторах. Конструктивно обгрунтовано розв'язність для некоерцитивних граничних задач з виродженнями;

- вивчено функціонально-топологічні властивості параметризованих диференціально-операторних включень з багатозначними відображеннями типу та -квазімонотонними відображеннями;

- розроблені методи дослідження нелінійних еволюційних рівнянь першого порядку з операторами псевдомонотонного типу, збурених субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу;

- за допомогою багатозначного методу штрафу досліджено сильні розв'язки еволюційних мультиваріаційних нерівностей з багатозначними +-коерцитивними -псевдомонотонними відображеннями. Розглянуто мультиваріаційну нерівність з диференціальними операторами гідродинамічного типу, збуреними субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу;

- розроблено багатозначний метод штрафу для слабких розв'язків еволюційних мультиваріаційних нерівностей з +-коерцитивними відображеннями, одержано нові апріорні оцінки для похідної по часу наближених розв'язків вихідної задачі, досліджено класи односторонніх задач з диференціальними операторами типу Лере-Ліонса,

- доведено ряд нових властивостей для багатозначних відображень псевдомонотонного типу та відображень типу в нескінченновимірних просторах. Впорядковано класи напівмонотонних відображень та енергетичних розширень диференціальних операторів з напівобмеженою варіацією;

- одержано ряд нових теорем вкладення та апроксимаціїї спеціальних класів нескінченновимірних просторів розподілів, розроблено теореми про базис для таких просторів. Результати застосовано при дослідженні диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в спеціальних курсах і в дослідженнях нових, більш точних, нелінійних математичних моделей нелінійних геофізичних процесів різної природи, які описуються, зокрема, диференціальними рівняннями з частинними похідними з багатозначною або розривною нелінійністю.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задач належать академіку НАН України М.З. Згуровському та члену-кореспонденту НАН України В.С. Мельнику. Всі результати, включені в дисертаційну роботу, одержані здобувачем особисто.

У роботах, написаних у співавторстві, автору дисертації належить: в монографії [1] - розділ 1.2, 3.2 та частина 2; в статті [2] - основна теорема 1 та її наслідок; в статті [3] - Theorem та Example, в статті [4] - Propositions 3-8, Theorems 3-9 та Corollary 1; в статті [5] - Lemmas 1-6, Propositions 1-5, Theorems 1-10 і Corollary 1; в статті [6] - Theorems 2-4 та Propositions 3-5; в статті [7] - Theorems 1, 3, 6, 7, Corollary 1 та Propositions 1-3; в статті [8] - Theorem 37, Lemma 33, Remark 13, Lemma 36 та приклад; в статті [9] - Предложение 2.2, Лемма 2.1, Лемма 2.2, Предложение 2.3, Предложение 2.4, Предложение 2.5, Лемма 2.3, Предложение 2.6, Предложение 2.7, Предложение 2.8, Предложение 2.9, Предложение 2.10, Предложение 2.11, Предложение 2.12, Предложение 2.13, Лемма 2.4, Теорема 3.1, Теорема 4.1, Следствие 4.1 і пример; в статті [10] - розділи 4, 5 та 6; в статті [11] - розділ 3 та розділ 4; в статті [12] - розділ 2; в статті [13] - розділи 4-7; в статті [14] - розділи 7-9; в статті [15] - Предложение 1, Теорема 1-Теорема 3, Теорема 5, Лемма 2, Предложение 2, Теорема 6, Следствие 4 та Следствие 5; в статті [23] розробка загальної методології дослідження; в статті [24] - основна теорема та її наслідки; в статті [26] - формулювання центральних теорем, розробка загальної методології їх доведення та ідея прикладу; в статті [28] - теореми 1-3. Решта 9 статей написані без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

- міжнародній науковій конференції “Nonlinear Partial Differential Equations” (Ялта, 10-15 вересня 2007 р.);

- міжнародній науковій конференції “SIAM Conference on Analysis of Partial Differential Equations” (Mesa, Arisona, USA, 10-12 грудня 2007 р.);

- XII міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 15-17 травня 2008 р.);

- міжнародній науковій конференції “Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування” з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М.Самойленка (Мелітополь, 16-21 червня 2008 року);

- International Workshop on Dynamical Systems and Multidisciplinary Applications (Elche, Spaine, 16-19 вересня 2008 р.);

- International Conference on Nonlinear Analysis and Applications (Київ, 2-4 квітня 2009 р.);

- International Conference on Non-autonomous and Stochastic Dynamical Systems, and Multidisciplinary Applications (Sevilla, Spaine, 22-26 червня 2009 р.)

- спільному науковому семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем та відділу обчислювальної математики Інституту математики НАН України (2005 р.);

- науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь Дніпро-петровського національного університету (2007 р.);

- науковому семінарі ННК “ІПСА” НТУУ “КПІ” НАН України та МОН України (2007, 2008, 2009, 2010 рр.);

- науковому семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (2009 р.);

- науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2009 р.);

- науковому семінарі кафедри обчислювальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2009 р.);

- спільному науковому семінарі відділу диференціальніх рівнянь з частинними похідними, відділу нелінійного аналізу та відділу математичної фізики Інституту прикладної математики та механіки НАН України (2009, 2010 рр.);

- Київському семінарі з функціонального аналізу (2009 р.);

- науковому семінарі відділу математичних систем моделювання про-блем екології та енергетики Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (2010 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в монографії, 27 наукових статтях (із них 19 - у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України за спеціальністю “інформатика”, 5 - у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України за іншими спеціальностями, 3 - у виданнях інших країн) та 8 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, загальних висновків, додатку А і списку використаних джерел, що містить 255 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 318 сторінок друкованого тексту, основний текст роботи викладено на 245 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і наукову новизну проведених досліджень, визначено об'єкт, предмет, методи дослідження, висвітлено теоретичне та практичне значення одержаних результатів, особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації.

У першому розділі наведено огляд літератури, пов'язаної з темою дисертації. В ньому висвітлено сучасну точку зору на підходи до вивчення диференціально-операторних рівнянь, включень та мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах, а також наведено приклади нелінійних математичних моделей деяких процесів, що зводяться до диференціально-операторних рівнянь та включень в нескінченновимірних просторах. Наведено основні ідеї і підходи до вирішення такого типу задач, які використовуються у роботі для доведення результатів.

В другому розділі розглядаються класи багатозначних відображень квазімонотонного типу. В застосуваннях, такі відображення природньо виникають як енергетичні розширення та оператори Немицького диференціальних операторів з математичних моделей широкого класу геофізичних процесів та полів, які містять, зокрема, диференціальні рівняння з частинними похідними з багатозначною або розривною нелінійністю та нелінійною немонотонною головною частиною диференціального оператора. Твердження данного розділу неодноразово використовуються при якісному та конструктивному дослідженні диференціально-операторних рівнянь, включень та мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах в наступних розділах. Оскільки представлені результати мають самостійне значення, вони наводяться у вигляді самостійних тверджень. Слід відзначити, що відповідні розширення диференціальних операторів позначаються в даному розділі великими латинськими літерами , і діють у відповідних дійсних функціональних просторах в яких шукаються розв'язки відповідних диференціально-операторних включень та мультиваріаційних нерівностей. Основні означення класів таких відображень подано в додатку А.1 дисертаційної роботи автора як загальновідомі. Класи диференціальних операторів, чиї “розширення” задовольняють ту чи іншу властивість, детально розглядаються в роботах Z. Liu, Z. Denkowsky, S. Migorsky, М.З. Згуровського, В.С. Мельника, П.О. Касьянова, Х. Гаєвського, К. Грегера, К. Захаріаса, P. Panagiotopoulos, Ж.-Л. Ліонса, Г. Дюво та інших.

Нехай - дійсний банахів простір, - його топологічно спряжений, - канонічна двоїстість між і - сукупність всіх підмножин простору , відображення - багатозначне, . Багатозначне відображення строге, якщо З кожним багатозначним відображенням пов'яжемо верхню та, відповідно, нижню опорні функції

Всюди далі сильну, слабку і *-слабку збіжності будемо позначати відповідно (або ) і . У випадку, коли - рефлексивний, будемо позначати, як . Позначимо через сім'ю всіх непорожніх замкнених опуклих обмежених підмножин з простору .

Нагадаємо, що багатозначне відображення називається монотонним, якщо

Означення 1. Нехай - деяка непорожня підмножина. Багатозначне відображення називається:

Означення 2. Будемо казати, що дійсна функція двох змінних належить класу , якщо є неперервною функцією для кожного , причому при .

Нехай тепер - деякий нормований простір з нормою . Припустимо, що неперервно. Нехай також - деяка (напів-)норма на , компактна відносно на і неперервна відносно на ; .

Означення 3. Багатозначне відображення , що приймає непорожні значення, називається:

радіально напівнеперервним (р.нн.), якщо ,

хемінеперервним (зверху) (хн.зв.), якщо функція є напівнеперервною зверху на для будь-якого ;

оператором з напівобмеженою варіацією на (з ( )-н.о.в.), якщо , виконується нерівність

напівмонотонним (н.м.), якщо , де - монотонний, а - компактний (т.б. з в випливає в ).

Згадане вище багатозначне відображення задовольняє:

властивість , якщо для кожної обмеженої множини в існує таке, що

Нехай далі - рефлексивний або сепарабельний нормований простір, - спряжений до нього, - непорожня, опукла, -слабко замкнена множина в . Розглянемо параметризоване багатозначне відображення .

Означення 4. Строге багатозначне відображення називається:

-квазімонотонним на , якщо для будь-якої послідовності такої, що в , в , в при , де , із нерівності

випливає існування підпослідовності з , для якої виконується нерівність

обмеженим, якщо для кожного існує таке , що

Означення 5. Будемо казати, що відображення задовольняє властивість на, якщо з того, що слабко в , *-слабко в , *-слабко в ( ) та з того, що

Означення 6. Будемо казати, що відображення задовольняє властивість на , якщо для будь-якого , будь-якої обмеженої множини , будь-якого і для деякого селектора ( ), пов'язаних співвідношенням

З кожним строгим багатозначним відображенням пов'яжемо відображення

Означення 7. Багатозначне відображення задовольняє властивість на (властивість ), якщо відповідне відображення задовольняє властивість на (властивість на ).

Означення 8. Багатозначне відображення називається -псевдомонотонним на ( -псевдомонотонним), якщо відповідне відображення -квазімонотонне на .

Означення 9. Багатозначне відображення називається обмеженим, якщо відповідне відображення є обмеженим.

Підрозділ 2.1 присвячений доведенню основних властивостей для багатозначних відображень -псевдомонотонного типу. В лемі 2.1.2, лемі 2.1.3 та твердженні 2.1.1 доведено, що оператор з ( )-н.о.в. є локально обмеженим, задовольняє властивість ( ) та властивість . Для монотонних багатозначних відображень, зокрема, для субдиференціалів опуклих напівнеперервних знизу функціоналів, в твердженні 2.1.2 та його наслідку доведено, що -коерцитивність (більш слабка умова) гарантує -коерцитивність, рівномірну -коерцитивність та рівномірну -коерцитивність (більш сильні умови). Вони принципово використовуються при дослідженні еволюційних мультиваріаційних нерівностей та диференціально-операторних включень і дозволяють накладати на відповідні багатозначні відображення монотонного типу слабшу умову -коерцитивності замість відповідних більш сильних умов коерцитивності без втрати додаткових оцінок. В теоремі 2.1.2 та її наслідку впорядковується клас напівмонотонних відображень та відображень з напівобмеженою варіацією. Це дозволяє одержати більш сильну властивість - напівобмеженість варіаціїї для нового, принципово ширшого, класу диференціальних операторів гідродинамічного типу. Доводиться аналог леми Мінті для багатозначних відображень з напівобмеженою варіацією (твердження 2.1.12 та наслідок 2.1.3), означається клас багатозначних операторів варіаційного числення та перевіряється ряд властивостей для такого класу відображень (твердження 2.1.13), розглядаються нові класи -псевдомонотонних багатозначних відображень (твердження 2.1.14-2.1.16), доведено лему про рівномірну +-коерцитивність суми рівномірно -коерцитивних багатозначних відображень (лема 2.1.12), тощо. У підрозділі 2.2 розглядаються властивості багатозначних відображень для еволюційних включень в скінченновимірних просторах. Серед основних результатів слід відзначити лему 2.2.3, лему 2.2.4 та наслідок 2.2.1.

Підрозділ 2.3 присвячений дослідженню субдиференціальних відображень в нескінченновимірних локально опуклих просторах. Вводиться поняття М-локальної ліпшицевості для власного функціоналу. Нехай - простір Фреше, тобто повний локально опуклий лінійний топологічний простір, який допускає метризацію, - з ним топологічно спряжений, - канонічна двоїстість. Функціонал називається -локально ліпшицевим на , якщо для довільного існує опуклий врівноважений поглинаючий окіл нуля ( ) і така стала , що

В теоремі 2.3.1, зокрема, доведено М-локальну ліпшицевість для опуклого напівнеперервного знизу функціоналу на внутрішності ефективної області визначення, існування верхньої похідної Кларка для М-локально ліпшицевого функціоналу, заданого на просторі Фреше. Наведено також приклад локально ліпшицевого функціоналу, для якого верхня та нижня похідна Кларка не існують. В теоремі 2.3.2 наведено зв'язок М-локальної ліпшицевості та локальної ліпшицевості, введеної C. Z linescu. В теоремі 2.3.3 доведено топологічні властивості верхньої похідної Кларка для М-локально ліпшицевих функціоналів. Отримані результати є новими в порівнянні з відповідними результатами з робіт Б.М. Пшеничного, І.Екланда, Ж.П. Обена, Ф. Кларка, Дж. Варги, В.С. Мельника, М.З. Згуровського, О.М. Новікова та їх учнів. Результати даного розділу в поєднанні з теоремами розділу 4 охоплюють нові класи багатозначних відображень -псевдомонотонного типу. Основні результати даного розділу висвітлено в роботах [1,2,8,9,11,12].

Розділ 3 присвячений дослідженню функціонально-топологічних властивостей розв'язуючого оператора для класу мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах, які описують математичні моделі нелінійних стаціонарних геофізичних процесів та полів різної природи, які містять диференціальні рівняння з частинними похідними з розривною та багатозначною залежністю між визначаючими параметрами вихідної задачі. У підрозділі 3.1 ставиться задача. Нехай - рефлексивний банахів простір над полем дійсних чисел, - топологічно спряжений до нього, - операція канонічного спарювання. Нехай далі - рефлексивний або сепарабельний нормований простір, - спряжений до нього, - непорожня, опукла, -слабко замкнена множина в . Для багатозначного відображення , непорожньої замкненої в просторі опуклої множини i опуклого функціоналу параметризованою мультиваріаційною нерівністю будемо називати такий об'єкт

У підрозділі 3.2 розробляється багатозначний метод штрафу для мультиваріаційних нерівностей з відображеннями типу та -квазімонотонними відображеннями, вивчаються властивості розв'язуючого оператора. Розглядається випадок, коли , де та - дійсні рефлексивні банахові простори, неперервно вкладені в деякий (локально опуклий) відділений лінійний топологічний простір , множина - щільна в та в , , - відповідні дуальні простори, , - спарювання в , відповідно в . Тоді та , , , . Нехай - непорожня замкнена опукла множина, - багатозначний монотонний, обмежений, радіально напів-неперервний знизу оператор штрафу, який відповідає множині , тобто . Для непорожньої, опуклої, замкненої в рефлексивному банаховому просторі множини оператор штрафу існує завжди.

Далі, для фіксованих , в якості позначимо сукупність розв'язків операторної нерівності (1) із множини .

В теоремі 3.2.1 доведено, що у випадку, коли , - непорожня замкнена опукла множина в просторі багатозначне відображення - -квазімонотонне та задовольняє властивість ( ), *-cлабко в , сильно в , то

Більше того, якщо додатково існують , та такі, що справедливо

В теоремі 3.2.2 доведено, що у випадку, коли простір - рефлексивний, , вкладення - компактне, багатозначне відображення задовольняє властивість , функціонал - опуклий, напівнеперервний знизу, *-слабко в , сильно в , то

Якщо, до того ж, існує таке , що відображення є +-коерцитивним, скінченновимірно локально обмеженим, і воно задовольняє властивість ( ), то для довільного множина - непорожня та слабко замкнена в .

У підрозділі 3.3 розглядаються некоерцитивні задачі керування коефіцієнтами головної частини еліптичного рівняння з умовами Діріхле на границі у класі узагальнено соленоїдальних керувань, односторонні задачі. Нехай , - обмежена область з достатньо регулярною границею , - дійсний простір Соболєва, , - скалярний добуток в , - скалярний добуток в ; - скалярний добуток векторів ; , . Нехай - задані функції з такі, що

утворює непорожню множину рівномірно обмежених симетричних квадратних матриць. Нехай також . Тоді . Розглянемо множину

Будемо казати, що функціональний параметр є допустимим, якщо . Множину всіх допустимих параметрів позначимо через . Множина - секвенційно компактна в слабкій топології простору . Розглянемо оператор , який визначається за правилом

В лемі 3.3.1. доведено, що багатозначне відображення задовольняє властивість .

За рахунок (2), ні , ні не є -квазімонотонним в загальному випадку. Більше того, поклавши одержимо обмежене багатозначне відображення, яке задовольняє властивість , але не є -псевдомонотонним і теж не є -псевдомонотонним. Достатня умова, яка забезпечує +-коерцитивність є, наприклад, така:

В лемі 3.3.2. доведено, що за виконання умови (3), багатозначне відображення є +-коерцитивним.

Зауважимо, що за умови (3), не є -коерцитивним.

Розглянемо опуклий напівнеперервний знизу функціонал такий, що , для всіх . Позначимо через субдиференціал . Для фіксованих та розглянемо таку задачу:

Множину узагальнених розв'язків задачі (4)-(5) позначимо через .

В наслідку 3.3.1. доведено, що коли *-слабко в , сильно в , , то

Додатково припустимо тепер, що ,

В лемі 3.3.3. доведено, що багатозначне відображення задовольняє умову -квазімонотонності.

Для фіксованих , розглянемо задачу:

Множину узагальнених розв'язків задачі (6)-(9) позначимо через .

В наслідку 3.3.2. доведено, що коли *-слабко в , сильно в , , то

Отримані результати є новими і вони суттєво узагальнюють теореми існування в порівнянні з відповідними результатами з робіт О.А. Ковалевського, В.О. Капустяна, О.П. Когут, О.А. Панкова, Z. Denkowski та S. Migorski, D. Bucur та ін., даючи можливість послабити умову -коерцитивності на -коерцитивність, умову -псевдомонотонності та замкненості графіка на умову та -квазімонотонність, умову однозначності оператора штрафу на багатозначність в загальному випадку. Результати даного розділу в поєднанні з теоремами розділу 2 охоплюють нові класи мультиваріаційних нерівностей з багатозначними відображеннями немонотонного типу. Основні результати даного розділу висвітлено в роботах [1,2,21,25,26].

В розділі 4 вивчаються структурні властивості фазових просторів та розширених фазових просторів узагальнених розв'язків диференціальних включень та мультиваріаційних нерівностей, які описують математичні моделі нелінійних геофізичних та соціо-економічних процесів та полів, які містять, зокрема, диференціальні рівняння з частинними похідними з розривною або багатозначною залежністю між визначаючими параметрами задачі. Результати принципово використовуються при обгрунтуванні конструктивних методів дослідження диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей.

Для означених в додатках А.2 та А.3 основних класів просторів інтегровних за Бохнером функцій, у підрозділі 4.1 розглядаються нові теореми вкладення та апроксимації спеціальних класів просторів розподілів з інтегровними похідними. Серед основних результатів слід виділити теореми вкладення (теорема 4.2.1, твердження 4.1.7, теорема 4.1.3) та теореми апроксимації (теорема 4.1.4, теорема 4.1.9) нескінченновимірних локально опуклих просторів, які виникають при дослідженні математичних моделей нелінійних геофізичних процесів, які описуються за допомогою диференціально-операторних включень та мультиваріаційних нерівностей. Підрозділ 4.2 присвячений розробці теорії базису для класів банахових просторів, пов'язаних певними інтерполяційними властивостями. Серед основних результатів слід виділити теорему 4.2.1 та її наслідок, які безпосередньо використовуються при обґрунтуванні методу Фаедо-Гальоркіна для еволюційних включень в нескінченновимірних просторах. За допомогою результатів, одержаних в даному розділі, можна, зокрема, розширити клас задач, що зводяться до диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей з -псевдомонотонними відображеннями. Отримані у цьому розділі результати узагальнюють відповідні теореми з робіт М.З. Згуровського, В.С. Мельника, Ю.А. Дубінського, Ж.Л. Ліонса, J. Simon на спеціальні класи нерефлексивних просторів розподілів з інтегровними похідними. Основні результати даного розділу висвітлено в роботах [1]-[7].

В п'ятому розділі якісно та конструктивно вивчаються диференціально-операторні включення з некоерцитивними відображеннями вольтерівського типу, які описуть нові математичні моделі нелінійних геофізичних процесів та полів, зокрема, п'єзоелектричних процесів, які вимагають розробки відповідної некоерцитивниї схеми дослідження та високоточних алгоритмів пошуку наближених розв'язків.

У підрозділі 5.1 обгрунтовано метод Дубінського для +-коерцитивних відображень з ( )-н.о.в., розглянуто приклади задач гідродинамічного типу. Нехай - еволюційні трійки такі, що для деякої зліченої множини щільна в просторах та в із відповідними нормами, за припущення , , , . Відмітимо, що - спарювання на співпадає зі скалярним добутком в на . Нехай - багатозначне відображення. Розглядаються розв'язки в класі такої задачі:

Для доведення розв'язності задачі (10) використовується частковий випадок методу стаціонарних апроксимацій, представлений у роботі Ю.А. Дубінського для диференціально-операторних рівнянь. Окрім розв'язності данний метод дозволяє одержати ряд апріорних оцінок, за допомогою яких, наприклад, можна досліджувати динаміку розв'язків для широкого класу прикладних задач, які описуються за допомогою еволюційних нерівностей з некоерцитивними багатозначними відображеннями типу Вольтерри. Цей метод полягає у тому, щоб від задачі (10) перейти до диференціально-операторного включення другого порядку

Потім, довівши розв'язність даної задачі при фіксованому , одержавши апріорні оцінки розв'язків і спрямувавши , одержати розв'язки задачі (10) з рядом властивостей. Даний результат застосовується при доведенні теореми 5.4.1 та її наслідків. Оскільки представлені результати мають самостійне значення (завдяки, зокрема, наслідку 3.2.3), ми виносимо їх в вигляді окремої теореми 5.1.1:

Нехай - -коерцитивний, р.нн. багатозначний оператор з -н.о.в. та непорожніми обмеженими значеннями. Тоді для кожного існує принаймні один розв'язок задачі (10).

Приклад. Нехай , - обмежена область з межею , , , : , : ; функціонал - вимірний, задовольняє умову росту:

функціонал - опуклий, напівнеперервний знизу, задовольняє умову росту:

В твердженні 5.1.1 доведено, що за перерахованих вище умов, задача (13)-(15) має узагальнений розв'язок , який можна одержати за допомогою методу Дубінського.

У підрозділі 5.2 обгрунтовано метод скінчених різниць для еволюційних включень з +-коерцитивними -псевдомонотонними відображеннями, розглянуто приклади нелінійних граничних задач з субдиференціальними операторами.

Нехай - сепарабельний локально опуклий ЛТП, - його топологічно спряжений, - скалярний добуток (канонічне спарювання) елементів та . Нехай задані три простори та , причому вкладення , , неперервні та щільні; - гільбертів простір, - сепарабельний сепарабельний банахів простір, - спряжений до простір. Припустимо також, що , де , - рефлексивний сепарабельний банахів простір, причому вкладення та неперервні та щільні. Нехай , - багатозначні відображення, - необмежений оператор, що діє із в з областю визначення . Розглядається така задача:

Припустимо, що множина - щільна в просторі . Нехай задано сімейство операторів таке, що - неперервна напівгрупа на , , - інфінітезимальний генератор напівгрупи з областю визначення (відповідно або ) в (відповідно в або в ). Покладемо

У випадку, коли не міститься в , припустимо, що

щільна в ,

щільна в .

Виберемо послідовність так, щоб при . Покладемо . Будемо наближати розв'язки (16) розв'язками таких включень

В теоремі 5.2.1 доведено, що за виконання умов а-в:

a) - обмежене -псевдомонотонне на коерцитивне багатозначне відображення;

б) - -псевдомонотонне на коерцитивне багатозначне відображення, що задовольняє властивості та ;

в) оператор задовольняє усім перерахованим вище умовам;

для довільного існує принаймні один розв'язок задачі (16)-(17), який можна отримати за допомогою методу скінчених різниць.

Приклад. Нехай - обмежена область з регулярною границею , - скінченний інтервал часу, , , . Оператор визначений так: , де

Нехай - замкнений підпростір простору Соболєва , такий, що . Визначимо простори

Розглянемо опуклий напівнеперервний знизу функціонал . Припустимо, що існують такі сталі , що

і , для всіх . В данному випадку - похідна в сенсі скалярних розподілів і

Тоді, задача

має розв'язок , одержаний методом різницевих апроксимацій. Відмітимо, що , - фіксовані елементи.

У підрозділі 5.3 вивчаються періодичні розв'язки диференціально-операторних включень з +-коерцитивними відображеннями типу , зокрема, розглянуто модельні приклади еволюційних некоерцитивних задач з виродженням:

на пошук розв'язків , де задовольняє умови:

Нехай визначається за правилом

на пошук розв'язків в класі (див. підрозділ 5.1). Узагальненим розв'язком задачі (18)-(20) називається розв'язок задачі (21). Дана задача зводиться до такої задачі:

У підрозділі 5.4 розробляється некоерцитивна схема дослідження еволюційних включень з вольтеррівськими відображеннями типу , які діють в просторах, визначених у підрозділі 5.1. Розглянуто метод Дубінського (теорема 5.4.1, наслідок 5.4.1 та наслідок 5.4.2) та медод Фаедо-Гальоркіна (теорема 5.4.2 та твердження 5.4.2). Одержані узагальнення продемонстровано на прикладах некоерцитивних граничних задач з виродженнями.

Означення. Відображення називається оператором типу Вольтерри, якщо для довільних із рівності для майже всіх випливає, що таких, що для майже всіх

Через позначимо сукупність підмножин з такою властивістю: , якщо для довільної вимірної множини та довільних виконується, що . Тут і надалі для

У наслідку 5.4.2 доведено, що у випадку, коли , , , , - -коерцитивний, хн.зв. багатозначний оператор з ( )-н.о.в. (з , компактно вкладений в банахів простір і неперервно), - опуклий напівнеперервний знизу функціонал, то для будь-якого існує принаймні один розв'язок задачі:

За приклад розглядається задача (13)-(15) у випадку, коли без знакових припущень (11), (12) на функції взаємодії , . Доведено, що задача (13)-(15) має узагальнений розв'язок . Зауважимо, що задача є суттєво некоерцитивною, оскільки - довільне, а на функціонал накладається лише умова “не більш, ніж лінійного” росту. Дана задача є багатозначною (багатозначність забезпечує наявність ) і не вкладається в жодну з існуючих схем. Даний приклад частково ілюструє переваги обраної методології в порівнянні з існуючими результатами.

Припустимо далі, що існує гільбертів простір такий, що , неперервно та щільно, компактно та щільно. Для покладемо

Для багатозначного (в загальному випадку) відображення розглядається така задача:

В теоремі 5.4.2 доведено, що коли , вкладення - компактне, обмежене відображення типу Вольтерри, що задовольняє властивість на , для деякого відображення є -коерцитивним, то для довільного існує принаймні один розв'язок (22), який можна одержати методом Фаедо-Гальоркіна.

В твердженні 5.4.2 доведено, що при виконанні умов теореми 5.4.2, якщо додатково для деяких та при , то для довільних , існує принаймні один розв'язок задачі (22), який можна одержати методом Фаедо-Гальоркіна.

Приклад. Розглянемо обмежену область з достатньо гладкою межею. Для покладемо . Нехай такі дійсні функції, що

Нехай - дійсний простір Соболєва, - його дуальний простір

Розглянемо наступну задачу:

В твердженні 5.4.4 доведено, що за перерахованих вище умов задача (23) має принаймні один узагальнений розв'язок .

У підрозділі 5.5 вивчено функціонально-топологічні властивості розв'язуючого оператора еволюційного включення з відображеннями типу та -квазімонотонними відображеннями, досліджена залежність множини розв'язків від функціональних параметрів задачі (теорема 5.5.1 та теорема 5.5.2). Одержані результати продемонстровані на прикладі динамічної контактної задачі з нелінійним тертям (наслідок 5.5.1). Нехай - рефлексивний або сепарабельний нормований простір, - спряжений до нього, - непорожня, опукла, -слабко замкнена множина в , - багатозначне (в загальному випадку) відображення. Для фіксованих , , через позначимо сукупність розв'язків такої задачі:

В теоремі 5.5.1 доведено, що коли - обмежене -квазімонотонне на відображення, : сильно в , сильно в , *-слабко в , слабко в при , та , то .

В теоремі 5.5.2 доведено, що коли простір , - рівномірно опуклий, вкладення - компактне, - обмежене відображення, що задовольняє властивість на , для кожного відображення є оператором типу Вольтерри, : сильно в , сильно в , *-слабко в , слабко в при , та , то .

Приклад. Розглянемо в'язкопружне тіло, яке в недеформованому стані заповнює обмежену область , . Припустимо, що межа є ліпшицевою (регулярною) і розділена на три попарно неперетинні вимірні частини , та так, що . Тіло затиснуте на так, що поле переміщень обертається там на нуль. Припустимо також, що заданий вектор об'ємної сили розподілений в , а поверхнева сила розподілена на . Тіло може увійти у контакт з основою по потенційній контактній поверхні . Покладемо для . Позначимо через поле переміщень, через - тензор напруги, а через , - тензор деформації, де , - простір симетричних матриць порядку .

Позначимо через та початкове переміщення та початкову швидкість. Класичне формулювання контактної задачі має вигляд: знайти такі та , що

Для варіаційної постановки такої задачі покладемо

Таким чином, постає проблема розв'язності задач такого типу:

Останні розробки з данного напрямку досліджень дозволяють накладати такі умови на параметри математичних моделей типу (24), щоб відображення задовольняло припущенням, пов'язаним з рівномірною -коерцитивністю, узагальненою псевдомонотонністю, не більш, ніж поліноміальним ростом; відображення задовольняло припущенням, пов'язаним з обмеженістю, лінійністю, додатністю та симетричністю; а відображення задовольняло припущенням, пов'язаним з демізамкненостю графіка та не більш, ніж лінійним ростом норми відображення, підпорядкованим “знаковим” властивостям відображення . За цих умов доводиться лише існування розв'язку. Тут , - дійсні рефлексивні сепарабельні банахові простори, - гільбертів простір, причому має місце такий ланцюжок неперервних та щільних вкладень:

похідна елемента розуміється в сенсі векторозначних розподілів. Розглядаються допоміжні відображення

Задача (5.16), після заміни зводиться до такої:

Введемо позначення:

задовольняє .

Перераховані вище умови на відображення гарантують не тільки існування узагальненого розв'язку, але й певну функціонально-топологічну залежність розв'язків від параметрів задачі.

У наслідку 5.5.1 доведено, що коли : сильно в , сильно в , сильно в , слабко в при , , то .

Отримані результати є новими і вони суттєво узагальнюють теореми існування в порівнянні з відповідними результатами з робіт N.S. Papageorgiou, Z. Denkowski, S. Migґorski, Q.H. Ansari, S. Carl, D. Motreanu та ін., даючи можливість послабити умову -коерцитивності на ослаблену -коерцитивність, умову узагальненої псевдомонотонності на -псевдомонотонність або умову , умову обмеженості на “квазіобмеженість” та дослідити за таких умов деякі функціонально-топологічні властивості розв'язуючого оператора для таких задач. Результати даного розділу в поєднанні з теоремами розділів 2, 4 охоплюють нові класи диференціально-операторних включень з багатозначними відображеннями типу . Основні результати даного розділу висвітлено в роботах [1]-[3], [8]-[10], [13, 15], [17]-[20], [23, 24, 27, 28].

Розділ 6 присвячений розробці багатозначного методу штрафу для доведення розв'язності еволюційних мультиваріаційних нерівностей з багатозначними відображеннями -псевдомонотонного типу, які описують нові класи нелінійних задач з односторонніми обмеженнями. У підрозділі 6.1 розглядаються сильні розв'язки еволюційних мультиваріаційних нерівностей з багатозначними +-коерцитивними -псевдомонотонними відображеннями (теорема 6.1.1 та наслідок 6.1.1). Розглянуто приклад мультиваріаційної нерівності з диференціальними операторами гідродинамічного типу, збуреними субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу. Нехай знову - рефлексивний банахів простір, - топологічно спряжений з ним, та для деякої інтерполяційної пари , , - канонічна двоїстість. В теоремі 6.1.1, за таких припущень щодо операторів , і опуклої множини :