Диференціально-операторні включення та мультиваріаційні нерівності в нескінченновимірних просторах з відображеннями псевдомонотонного типу

оператор є максимально монотонним на , линійно і щільно визначеним;

є опуклою замкненою підмножиною із такою, що : ;

багатозначне відображення є -псевдомонотонним на , локально скінченновимірно обмеженим, воно задовольняє умову , і для деякого при ;

є монотонним, обмеженим, радіально напівнеперервним знизу багатозначним оператором “штрафу”, що відповідає множині K, тобто ;

стверджується, що для довільного , для будь-якого задача

має розв'язок . Більш того,

a) існує підпослідовність , , , така, що для деякого слабко в , ;

b) є розв'язком наступної задачі:

Приклад. Розглянемо обмежену область з достатньо гладкою межею , , , . Нехай при , , (відповідно ) - число диференціювань по порядку (відповідно ) та - сім'я дійсних функцій означених на . Нехай

- диференціювання за

Нехай - деяка локально ліпшицева дійсна функція та її узагальнений градієнт Кларка задовольняє умову росту

Для покладемо : , , з , такі, що неперервно та одне з вкладень - компактне.

За наведених умов, для довільного існує узагальнений розв'язок задачі (28)-(30) .

У підрозділі 6.2 розглядаються слабкі розв'язки еволюційних мультиваріаційних нерівностей з +-коерцитивними відображеннями (теорема 6.2.1, наслідок 6.2.1 та теорема 6.2.2). Розглянуто приклади односторонніх задач та задач з вільною межею з диференціальними операторами типу Лере-Ліонса, які демонструють одержані узагальнення. Зокрема, при виконанні припущень підрозділу 5.2 щодо просторів , та відображення , додатково припускаючи, що є опуклою замкнутою підмножиною із такою, що для кожного існує послідовність така, що в і ; багатозначне відображення є -псевдомонотонним на , локально скінченновимірно обмеженим, воно задовольняє властивість ( ) і для деякого при ; є монотонним, обмеженим, радіально напівнеперервним багатозначним оператором “штрафу”, що відповідає множині , то для довільного , будь-якого задача

Більш того, існує послідовність така, що

a) для кожного - розв'язок задачі (31);

b) існує підпослідовність така, що для деякого слабко в ;

c) є розв'язком наступної задачі:

За приклад розглянуто задачу з вільною межею з багатозначними функціями взаємодії.

В порівнянні з існуючими результатами з даного напрямку досліджень наш підхід має такі переваги: по-перше, багатозначний метод штрафу дозволяє розглядати принципово ширший клас апроксимаційних задач, за допомогою яких шукаються розв'язки вихідної задачі. По-друге, в представлених теоремах послаблюється неприродньо сильна умова -коерцитивності. По третє, одержано нові апріорні оцінки для похідної по часу наближених розв'язків вихідної задачі. Основні результати даного розділу висвітлено в роботах [1, 2, 9, 14, 16, 22].

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі представлено новий теоретичний апарат для якісного та конструктичного дослідження широкого кола нових, більш точних, математичних моделей геофізичних процесів та полів з нелінійними, розривними, багатозначними функціями взаємодії, узагальнені розв'язки яких є розв'язками диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей з некоерцитивними в класичному сенсі відображеннями псевдомонотонного типу. Серед таких моделей слід віділити класи односторонніх задач, задачі на многовиді з краєм та без краю, задачі із виродженням, задачі теорії фільтрації, об'єкти теорії керування, задачі з вільною межею, задачі з запізненням тощо. Існуючі результати з теорії глобальних та траекторних атракторів м-напівпотоків в нескінченновимірних просторах, теорії хаосу, оптимального керування розподіленими системами базуються на властивостях розв'язуючого оператора (як правило на невиродженості та замкненості графіку у відповідних топологіях) досліджуваної математичної моделі і становлять основну проблему при застосуванні цих результатів до реальних задач. В дисертаційній роботі представлено розв'язання цих проблем для означених вище об'єктів. При дослідженні було одержано ряд допоміжних результатів, які мають самостійние значення. Серед вперше отриманих результатів слід виділити такі:

- розроблено багатозначний метод штрафу для класів мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах з відображеннями типу та з -квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв'язуючого оператора. Результати застосовано до некоерцитивних задач керування коефіцієнтами головної частини еліптичного рівняння з умовами Діріхле на границі у класі узагальнено соленоїдальних керувань, зокрема, розглянуто односторонні задачі;

- розроблена некоерцитивна схема дослідження еволюційних включень з багатозначними відображеннями типу в банахових просторах. Одержані результати застосовано до динамічних контактних задач з “нелінійним тертям”;

- обґрунтовано метод Дубінського, метод скінчених різниць та метод Фаедо-Гальоркіна для розв'язків задачі Коші та періодичних розв'язків диференціально-операторних включень з некоерцитивними багатозначними відображеннями типу Вольтерри в банахових просторах. Конструктивно обгрунтовано розв'язність для некоерцитивних граничних задач з виродженнями;

- вивчено функціонально-топологічні властивості параметризованих диференціально-операторних включень з багатозначними відображеннями типу та -квазімонотонними відображеннями;

- розроблені методи дослідження нелінійних еволюційних рівнянь першого порядку з операторами псевдомонотонного типу, збурених субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу;

- за допомогою багатозначного методу штрафу досліджено сильні розв'язки еволюційних мультиваріаційних нерівностей з багатозначними +-коерцитивними -псевдомонотонними відображеннями. Розглянуто мультиваріаційну нерівність з диференціальними операторами гідродинамічного типу, збуреними субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу;

- розроблено багатозначний метод штрафу для слабких розв'язків еволюційних мультиваріаційних нерівностей з +-коерцитивними відображеннями, одержано нові апріорні оцінки для похідної по часу наближених розв'язків вихідної задачі, досліджено класи односторонніх задач з диференціальними операторами типу Лере-Ліонса;

- доведено ряд нових властивостей для багатозначних відображень псевдомонотонного типу та відображень типу в нескінченновимірних просторах. Впорядковано класи напівмонотонних відображень та енергетичних розширень диференціальних операторів з напівобмеженою варіацією;

- одержано ряд нових теорем вкладення та апроксимаціїї спеціальних класів нескінченновимірних просторів розподілів, розроблено теореми про базис для таких просторів. Результати застосовано при дослідженні диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Згуровский М.З. Дифферениально-операторные включения и вариационные неравенства в бесконечномерных пространствах / Згуровский М.З., Касьянов П.О., Мельник В.С. - К.:Наукова думка, проект “Наукова книга” 2008. - 464 с.

2. Задоянчук Н.В. Про розв'язність нелінійних еволюційних рівнянь з М-псевдомонотонними некоерцитивними відображеннями / Ніна В. Задоянчук, Павло О. Касьянов / Вісник Київського університету. Серія: математика, механіка. - 2008. - випуск 19. - C. 7 - 12.

3. Kasyanov P.O. Method of approximation of evolutionary inclusions and variational inequalities by stationary / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, L. Toscano // Системні дослідження та інформаційні технології. - 2005. - №4. - P. 106 - 119.

4. Kasyanov P.O. On some approximations and main topological descriptions for special classes of Banach spaces with integrable derivatives / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, A.M. Piccirillo // Methods of Functional Analisys and Topology. - 2008. - Vol.14, №3. - P. 255 - 270.

5. Kasyanov P. On some approximations and main topological descriptions for special classes of Frechet spaces with integrable derivatives / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, A.M. Piccirillo // Системні дослідження та інформаційні технології. - 2007. - №4. - P. 93 - 110.

6. Kasyanov P. On some topological properties for special classes of Banach spaces І / Pavlo O. Kasyanov, Valeriy S. Mel'nik // Системні дослідження та інформаційні технології. - 2008. - №1. - P. 127 - 143.

7. Kasyanov P. On some topological properties for special classes of Banach spaces ІІ / Pavlo O. Kasyanov, Valeriy S. Mel'nik // Системні дослідження та інформаційні технології. - 2008. - №3. - Р. 88 - 100.

8. Kasyanov P.O. On the method of approximation for evolutionary inclusions of pseudomonotone type / P.O. Kasyanov, V.S. Melnik, J. Valero //Bulletin of the AMS.-2008.-Vol.77, Issue 01.-P. 115-143.

9. Касьянов П.О. О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями -псевдомонотонного типа / Павел О. Касьянов, Валерий С. Мельник // Український математичний вісник. - 2007. - Т.4, №4. - С. 535 - 581.

10. Касьянов П. Еволюційні нерiвностi з некоерцитивними -псевдомонотонними вiдображеннями типу Вольтерри / Павло О. Касьянов, Валерій С. Мельник // Укр. мат. журн. - 2008. - Т.60, №11. - С. 1499 - 1519.

11. Kasyanov P.O. The classes and the main properties of the multi-valued -pseudomonotone maps / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, L. Toscano// Системні дослідження та інформаційні технології. - 2007. - №3. - P. 122 - 144.

12. Kasyanov P.O. Local subdifferentials and multivariational inequalities in Banach and Frechet spaces / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, A.M. Piccirillo // Opuscula mathematica. - 2008. - №3. - P. 295 - 311.

13. Perestyuk M.O. On Faedo-Galerkin method for evolution inclusions with -pseudomonotone maps / M.O.Perestyuk, P.O. Kasyanov, N.V. Zadoyanchuk // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. - 2008. - Vol. 44. - P. 105 - 132.

14. Kasyanov P.O. The multivalued penalty method for evolution variational inequalities with -pseudomonotone multivalued maps / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, L. Toscano // Nonlinear Oscillations. - 2007. - vol. 10, №4. - P. 481-509.

15. Касьянов П.О. Периодические решения эволюционных уравнений в классе нерефлексивных банаховых пространств / П. О. Касьянов, В.С. Мельник, С. Тоскано [та ін.] // Проблемы управления и информатики. - 2008. - № 5. - С. 5 - 22.

16. Касьянов П.О. Про розв'язність класу еволюційних варіаційних нерівностей з -псевдомонотонними відображеннями / П.О. Касьянов //Наукові вісті НТУУ “КПІ”.-2007.- №5. - С. 142-147.

17. Касьянов П.О. Схема Дубінського для класу еволюційних рівнянь з відображеннями псевдомонотонного типу в нерефлексивних банахових просторах / П.О. Касьянов // Доповіді НАН України. - 2008. - № 5. - С. 20-24.

18. Касьянов П.О. Про періодичні розв'язки еволюційних включень першого порядку з -псевдомонотонними відображеннями / П.О. Касьянов//Доповіді НАН України.-2008. - № 6. - C. 23-28.

19. Касьянов П.О. Періодичні розв'язки для класу диференціально-операторних включень з відображеннями типу / П.О. Касьянов // Наукові вісті НТУУ “КПІ”.-2008.-№6. - С. 144-148.

20. Касьянов П.О. Метод Фаедо-Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними -псевдомонотонними відображеннями / П.О. Касьянов // Доповіді НАН України. - 2009. - №1. - С. 14-20.

21. Касьянов П.О. Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей / П.О. Касьянов // Доповіді НАН України. - 2009. - №2. - С. 20-25.

22. Касьянов П.О. Про слабку розв'язність класу еволюційних варіаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах / П.О. Касьянов//Доповіді НАН України.- 2009. - №3. - С. 19-24.

23. Задоянчук Н. Метод сингулярних збурень для нелiнiйних еволюцiйних включень ІІ порядку з операторами Вольтерри / Ніна Задоянчук, Павло Касьянов // Нелінійні коливання. - 2009. - т. 12, №1. - С. 33-51.

24. Kasyanov P.O. Initial time value problem solutions for evolution inclusions with type operators / P.O. Kasyanov, V.S. Mel'nik, S. Toscano // Системні дослідження та інформаційні технології. - 2009. - №1. - P. 116 - 130.

25. Касьянов П.О. Немонотонний метод штрафу для класу мультиваріаційних нерівностей з відображеннями псевдомонотонного типу / П.О. Касьянов // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. - 2009. - №1. - С. 139-142.

26. Капустян В.О. Властивості розв'язків класу параметризованих операторних включень / В.О. Капустян, П.О. Касьянов, О.П. Когут // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. - 2008. - №5. - С. 129-136.

27. Касьянов П.О. Дифференциально-операторные включения и мультивариационные неравенства с отображениями псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. - 2010. - №2. - С. 126-134.

28. Задоянчук Н.В. Анализ и управление дифференциальным включением второго порядка с +-коэрцитивным демпфированием / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Кибернетика и системный анализ. - 2010. - №2. - С. 152-160.

29. Kasyanov P.O. On solvability of differential-operator inclusions and evolutional variational inequalities generated by maps of -pseudomonotone type / Kasyanov P.O., Melnik V.S. // Nonlinear Partial Differential Equations: International conference, 10-15 Sept. 2007: Book of Abstracts. - Donetsk, 2007. - P. 35.

30. Ivanenko V.I. The Extremal Solutions of Nonlinear Singular Boundary Value Problems / Victor Ivanenko, Pavlo Kasyanov, Valeriy Melnik // Analysis of Partial Differential Equations: SIAM Conference, 10-12 Dec.: Book of Abstracts.-Mesa, 2007.- P. 37-38.

31. Ivanenko V.I. Penalty Method for Evolution Variational Inequalities with -pseudomonotone Multivalued Maps / Victor Ivanenko, Pavlo Kasyanov, Luisa Toscano // Analysis of Partial Differential Equations: SIAM Conference, 10-12 Dec.: Book of Abstracts. - Mesa, 2007. - P. 38.

32. Kasyanov P.O. Periodic solutions and initial time value problem solutions for evolution inclusions with multi-valued -pseudomonotone maps / P.O. Kasyanov // Тези доп. XII Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня: тези доповідей. - К., 2008. - С. 175.

33. Kasyanov P.O. On the method of approximation for evolutionary inclusions of pseudomonotone type / P.O. Kasyanov // Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування: міжнар. наук. конф., 16-21 червня: тези доповідей. - К., 2008. - С. 59.

34. Kasyanov P. On the method of investigation for evolutionary inclusions/ Pavlo Kasyanov, Jose Valero // Dynamical Systems and Multidisciplinary Applications: International Workshop, 16-19 Sep.: Book of Abstracts. - Elche, 2008. - P. 10.

35. Zgurovsky M.Z. Noncoercive evolution inclusions for type operators / M.Z. Zgurovsky, P.O. Kasyanov, J. Valero // Nonlinear Analysis and Applications: International Conference, 2-4 Apr.: Book of Abstracts. - K., 2009. - P. 76.

36. Kasyanov P. Noncoercive evolution inclusions for type operators / P.O. Kasyanov // International Conference on Non-autonomous and Stochastic Dynamical Systems, and Multidisciplinary Applications: International Conference, 22-26 June.: Book of Abstracts. - Sevilla, 2009. - P. 41.

Размещено на Allbest.ru