Экономика и управление организацией

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.В. ПЛЕХАНОВА»

Филиал в г. Дмитрове Московской области

Кафедра учетно-финансовых и статистических дисциплин

Утверждаю

Заместитель директора

по учебно-методической работе

______________/ Откидычева М.Ф.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Наименование дисциплины Эконометрика

Рекомендуется для направления подготовки

080200.62 Менеджмент

профиль Экономика и управление организацией

Квалификации (степени) выпускника Бакалавр

Дмитров, 2014 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие методические указания к изучению курса

Методические указания, задачи и упражнения по темам

Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования

Тема 2. Классическая и обобщенная линейные модели множественной регрессии

Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой

Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

Тема 5. Модели стационарных и нестационарных временных рядов

Тема 6. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

Тема 7. Системы линейных одновременных уравнений

Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений

Варианты контрольных работ

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА

Достижения современной экономической науки предъявляют новые требования к высшему экономическому профессиональному образованию. Поэтому наряду с микроэкономикой и макроэкономикой в число основных дисциплин экономического образования включена и эконометрика.

Прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она является связующим звеном между экономической теорией и практикой. Эконометрика дает методы экономических измерений, методы оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. Важно, что эконометрические методы одновременно позволяют оценить ошибки измерений экономических величин и параметров моделей. Экономист, не владеющий этими методами, не может эффективно работать аналитиком. Менеджер, не понимающий значение этих методов, обречен на принятие ошибочных решений, коммерсант, не использующий эконометрический аппарат, не в состоянии оценить торгово-экономическую деятельность предприятия и т.д.

Применение метода эконометрического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими методами анализа, используется в создании модели народного хозяйства с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко в управленческой деятельности предприятий и организаций торговли, позволяет сделать достаточно точные перспективные прогнозы о состоянии потребительского рынка, товарных рынков, регулирует динамику цен и т.д.

Особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА - дать студентам научное представление о методах, моделях и приемах, позволяющих получать количественные выражения закономерностям экономической теории на базе экономической статистики с использованием математико-статистического инструментария.

ЗАДАЧИ КУРСА - в соответствии с целью студенты должны усвоить методы количественной оценки социально-экономических процессов, научиться содержательно интерпретировать формальные результаты.

СФЕРА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ПРИМЕНЕНИЯ И СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ - современные социально-экономические процессы и явления зависят от большого количества факторов, их определяющих. В связи с этим квалифицированному специалисту необходимо не только иметь четкое представление об основных направлениях развития экономики, но и уметь учитывать сложное взаимосвязанное многообразие факторов, оказывающих существенное влияние на изучаемый процесс. Такие исследования не возможно проводить без знания основ теории вероятностей, математической статистики, многомерных статистических методов и эконометрики, т.е. дисциплин, позволяющих исследователю разобраться в огромном количестве стохастической информации и среди множества различных вероятностных моделей выбрать единственную, наилучшим образом отражающую изучаемый процесс и явление.

Изучение курса эконометрики следует начать с рассмотрения основных аспектов эконометрического моделирования, типов выборочных данных, видов модели, основные этапы и возникающие при этом проблемы моделирования. Студенты должны понять, что не всякая экономико-математическая модель, представляющая математико-статистическое описание экономического объекта, может считаться эконометрической. Она становится эконометрической только в том случае, если будет отражать этот объект на основе фактических данных, характеризующих именно его.

Центральное место во всем математико-статистическом инструментарии эконометрики занимает регрессионный анализ, как метод, используемый в эконометрике для получения уравнения, дающего наилучшую оценку истинного соотношения между исследуемыми переменными. При изучении этой темы студентам важно усвоить основные предпосылки и методы оценки классической линейной модели множественной регрессии в случае нарушения предпосылок - КЛММР - гетероскедастичности и автокоррелированности остатков временного ряда.

При построении регрессионных моделей приходится сталкиваться с такой проблемой как наличие функциональной или тесной корреляционной зависимости между объясняющими переменными, т.е. мультиколлинеарности. Это может привести к получению неустойчивых, не имеющих реального смысла оценок. При изучении социально-экономических процессов и явлений может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть разного рода качественные признаки, например, образование, пол, профессия, принадлежность к определенному региону. Такого рода переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

При моделировании реальных экономических объектов для объяснения механизма их функционирования бывает недостаточно построить отдельное уравнение регрессии. В этом случае для описания структуры связи между переменными строится система одновременных уравнений, состоящая из тождеств и регрессионных уравнений. Например, для изучения модели спроса как соотношения цен и количества потребления товаров, то одновременно для прогнозировании спроса необходима модель предложения товаров, в которой также рассматривается взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. Еще один пример. Модель национальной экономики включает в себя систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, и также тождество доходов. Оценивание системы одновременных уравнений требует применения более сложного математико-статистического аппарата.

Изучение эконометрики студентам рекомендуется начинать с ознакомления с программой курса. Затем, после прочтения рекомендуемой в программе литературы следует приступать к решению соответствующих задач.

Для изучения данного курса рекомендуется следующая литература:

ОСНОВНАЯ

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. Учебник. - М.: ЮНИТИ, 2002

2. Эконометрика. Учебник. Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001

3. Практикум по эконометрике. Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001

4. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 1997

6. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. - М.: Финансы и статистика, 2000

Если при выполнении контрольной работы возникнут вопросы, следует обратиться Зв консультацией к преподавателю.

Каждый вариант контрольной работы содержит 3 задачи по основным темам курса эконометрики. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует начальной букве его фамилии (см. таблицу 1).

Таблица 1.

Начальная буква фамилии студента	Номер варианта контрольной работы
А, Б, В, Г, Д	Вариант 1
Е, Ж, З, И	Вариант 2
К, Л, М	Вариант 3
Н, О, П, Р	Вариант 4
С, Т, У, Ф	Вариант 5
Х, Ц, Ч, Ш, Щ	Вариант 6
Э, Ю, Я	Вариант 7

При выполнении контрольной работы надо соблюдать следующие правила:

1. указать вариант контрольной работы;

2. расчеты производить с помощью компьютерных пакетов (Excel, Statistica, SPSS, и другие по выбору студента);

3. представлять решения задач подробно, со всеми формулами, расчетами и пояснениями;

4. проверять правильность применения методов решения задач;

5. формулировать четкие, грамотные, обоснованные выводы;

6. в конце контрольной работы необходимо привести перечень использованной литературы и поставить свою личную подпись;

7. кроме распечатанного варианта контрольной работы необходимо представить дискету с файлом расчетов.

Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, не зачитывается.

Выполненная контрольная работа представляется в университет для рецензирования. Правильно выполненная работа зачитывается. Если по зачтенной работе рецензентом будут сделаны замечания, необходимо разобраться в них, внести требуемые исправления и представить соответствующие доработки преподавателю.

Студенты, не получившие зачет по контрольной работе, к сдаче экзамена не допускаются. На экзамене студенты должны быть готовы ответить на вопросы преподавателя по решению задач контрольной работы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМАМ

Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования

Название «эконометрика», введенное норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем, в буквальном переводе означает «измерения в экономике». Единое общепринятое определение эконометрики в настоящее время отсутствует, поэтому приведем высказывания известных ученых, дающие представление об этой науке.

«Эконометрика - это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными» (Р. Фишер и др.)

Э. Маленво интерпретировал эконометрику как «любое приложение математики или статистических методов к изучению экономических явлений».

Существует и более узкая трактовка эконометрики. «Эконометрика - самостоятельная экономико-математическая дисциплина, позволяющая на базе положений экономической теории и исходных данных экономической статистики, используя необходимый математико-статистический инструментарий, придавать конкретное количественной выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией» (Айвазян С.А., Мхитарян В.С.).

Из сказанного выше следует, что главное назначение эконометрики - модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями.

В соответствии с целями можно выделить две основные задачи, решаемые с помощью эконометрики: прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие изучаемой системы; моделирование возможных сценариев социально-экономического развития изучаемой системы.

Существует три основных класса моделей, которые применяются для анализа или прогноза.

1. Модели временных рядов, включающие модели:

- тренда:

- сезонности

- тренда и сезонности

2. Регрессионные модели с одним уравнением

В таких моделях зависимая переменная у представляется в виде функции , где - независимые (объясняющие) переменные. В зависимости от вида функции модели делятся на линейные и нелинейные.

3. Системы одновременных уравнений

Эти модели описываются системами одновременных уравнений, которые могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может, кроме объясняющих переменных, включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы.

Примером такой системы является модель спроса и предложения , когда спрос на товар определяется его ценой (Р) и (I) потребителя, предложение - его ценой (Р) и достигается равновесие между спросом и предложением:

При эконометрическом моделировании мы встречаемся с двумя типами данных: пространственные данные (набор показателей экономических переменных в один и тот же момент времени) и временные ряды (серия наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени).

Весь процесс эконометрического моделирования можно разделить на шесть основных этапов:

- постановочный (на этом этапе формируется цель исследования, определяется набор участвующих в модели экономических переменных);

- априорный (проводится анализ экономической сущности изучаемого объекта, формирование и формализация известной до начала исследования (априорной) информации);

- параметризация (осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава переменных и формы их связи);

- информационный (собирается необходимая статистическая информация - наблюдаемые значения экономических переменных);

- идентификация модели (на этом этапе проводится статистический анализ модели и оценка ее параметров);

- верификация (проверяется истинность, адекватность модели, т.е. соответствие моделируемому реальному экономическому объекту).

На первых трех этапах весьма важной является проблема спецификации модели, включающая выражение в математической форме выявленных связей и соотношений, установление состава объясняющих переменных (в том числе и лаговых), формулировка исходных предпосылок и ограничений модели и ряд других вопросов. Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, специальные знания, а также на интуитивные представления об анализируемом экономическом объекте.

От проблемы идентификации модели (которая заключается в выборе и реализации методов статистического оценивания ее неизвестных параметров) следует отличать проблему ее идентифицируемости, т.е. проблему возможности получения однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений.

Широкому внедрению эконометрических методов способствовало развитие информационных технологий. Компьютерные эконометрические пакеты сделали эти методы более доступными. Наиболее трудоемкая работа по вычислению различных статистик, параметров, построению таблиц и графиков в основном выполняется компьютером, а исследователю остается работа по постановке задачи, выбору соответствующей модели и метода ее решения, а также интерпретации результатов.

Тема 2. Классическая и обобщенная модели множественной регрессии

Экономические явления определяются, как правило, большим числом совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной переменной Y от нескольких объясняющих переменных X1, X2, Xn. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, включающего отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

- они должны быть количественно измеримыми (качественным факторам необходимо придать количественную определенность);

- между факторами не должно быть высокой корреляционной, а тем более функциональной зависимости, т.е. наличия мультиколлинеарности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов может привести к следующим последствиям:

• затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом виде», поскольку факторы связаны между собой; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

• оценки параметров ненадежны, имеют большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений.

Пусть - матрица-столбец значений зависимости переменной размера п,

- матрица значений объясняющих переменных;

- матрица-столбец (вектор) параметров размера т+1;

- матрица-столбец (вектор) остатков размера п;

Тогда в матричной форме модель множественной линейной регрессии запишется следующим образом:

 (1)

При оценке параметров уравнения регрессии (вектора b) применяется метод наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные предпосылки.

1. В модели (1) е - случайный вектор, Х - неслучайная (детерминированная) матрица.

2. Математическое ожидание величины остатков равно нулю: М(е) = 0п.

3. Дисперсия остатков еi постоянна для любого i (условие гомоскедастичности), остатки еi и еj при i ? j не коррелированны:

4. е - нормальное распределенный случайный вектор, т.е. е ~ N(0n; у2En).

5. r (X) = m+1 < n. Столбцы матрицы Х должны быть линейно независимыми (ранг матрицы Х максимальный, а число наблюдений п превосходит ранг матрицы).

Модель (1), в которой зависимая переменная, остатки и объясняющие переменные удовлетворяют предпосылкам 1-5 называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии. Если не выполняется только предпосылка 4, то модель называется классической линейной моделью множественной регрессии (КЛММР).

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, найденных по уравнению регрессии, была минимальной:

Решением этой задачи является вектор

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности модели является коэффициент детерминации R2, определяемый формулой:

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных. Чем ближе R2 к единице, тем лучше построенная регрессионная модель описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Следует иметь в виду, что при включении в модель новой объясняющей переменной, коэффициент детерминации увеличивается, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этой связи лучше использовать скорректированный (поправленный) коэффициент детерминации , рассчитываемый по формуле:

,

где:

п - число наблюдений;

т - число параметров при переменных х.

Из формулы следует, что с включением в модель дополнительных переменных разница между значениями и R2 увеличивается. Таким образом, скорректированный коэффициент детерминации может уменьшаться при добавлении в модель новой объясняющей переменной, не оказывающей существенного влияния на результативный признак.

Но использование только коэффициента детерминации для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным.

Средняя относительная ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Значимость уравнения регрессии в целом сводится к проверке гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при факторных признаках, т.е. гипотезы:

Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех факторных признаков , включенных в модель, не зависимую переменную у можно считать статистически несущественным. Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа.

Основной идеей дисперсионного анализа является разложение общей суммы квадратов отклонений результативной переменной от среднего значения на «объясненную» и «остаточную»:

	=		+
Общая сумма квадратов отклонений		Сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией		Остаточная сумма квадратов отклонений

Для приведения дисперсий к сопоставимому виду, определяют дисперсии на одну степень свободы. Результаты вычислений заносят в специальную таблицу дисперсионного анализа:

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсии на одну степень свободы
Общая			-------
Объясненная
Остаточная

В данной таблице п - число наблюдений, т - число параметров при переменных х.

Сравнивая полученные оценки объясненной и остаточной дисперсии на одну степень свободы, определяют значение F-критерия Фишера, используемого для оценки значимости уравнения регрессии:

С помощью F-критерия проверяется нулевая гипотеза о равенстве дисперсий Н0: SR2 = S2.

Если нулевая гипотеза справедлива, то объясненная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для того, чтобы уравнение регрессии было значимо в целом (гипотеза Н0 была отвергнута) необходимо, чтобы объясненная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Критическое значение F-критерия определяется по таблице Фишера - Снедекора.

Расчетное значение сравнивается с табличным, и если оно превышает табличное (Fрасч > Fтабл), то гипотеза Н0 отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

Если Fрасч < Fтабл, то уравнение регрессии считается статистически незначимым. Нулевая гипотеза Н0 не может быть отклонена.

Расчетное значение F-критерия связано с коэффициентом детерминации R2 следующим соотношением:

где:

т - число параметров при переменных х;

п - число наблюдений.

Оценка значимости коэффициентов регрессии сводится к проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента регрессии при соответствующем факторном признаке, т.е. гипотезы:

Проверка гипотезы проводится с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого расчетное значение t-критерия:

,

где:

- коэффициент регрессии при ;

- средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии .

сравнивается с табличным tтабл при заданном уровне значимости б и числе степеней свободы (п-2).

Если расчетное значение превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Рассмотрим интерпретацию параметров модели линейной множественной регрессии. В линейной модели множественной регрессии коэффициенты регрессии характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

На практике часто бывает необходимо сравнить влияние на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными едиными измерениями. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности .

Уравнение регрессии в стандартизованной форме:

где: . - стандартизованные переменные.

В результате такого нормирования средние значения всех стандартизованных переменных равны нулю, а дисперсии равны единице, т.е. .

Коэффициенты «чистой» регрессии связаны со стандартизованными коэффициентами следующим соотношением:

Стандартизованные коэффициенты показывают, на сколько стандартных отклонение (сигм) изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одно стандартное отклонение (одну сигму) при неизменном среднем уровне других факторов. Сравнивая стандартизованные коэффициенты друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Средние коэффициенты эластичности вычисляются по формуле:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (от средней) изменится в среднем Y при увеличении только фактора Xi на 1%.

Рассмотрим пример построения модели множественной регрессии с помощью средств приложения Microsoft Excel.

Пример 1. По данным, представленным в таблице 2, изучается зависимость балансовой прибыли предприятия торговли Y (тыс. руб.) от следующих факторов:

Х1 - объем товарных запасов, тыс. руб.;

Х2 - фонд оплаты труда, тыс. руб.;

Х3 - издержки обращения, тыс. руб.;

Х4 - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Таблица 2

Месяц	Y	Х1	Х2	Х3	Х4
1	2	3	4	5	6
1.	41321,57	300284,10	19321,80	42344,92	100340,02
2.	40404,27	494107,21	20577,92	49000,43	90001,35
3.	37222,12	928388,75	24824,91	50314,52	29301,98
4.	37000,80	724949,11	28324,87	48216,41	11577,42
5.	29424,84	730855,33	21984,07	3301,30	34209,84
6.	20348,19	2799881,13	11000,02	21284,21	29300,00
7.	11847,11	1824351,20	4328,94	28407,82	19513,92
8.	14320,64	1624500,80	7779,41	40116,00	17343,20
9.	18239,46	1115300,93	18344,11	32204,98	4391,00
10.	22901,52	1200947,52	20937,31	30105,29	14993,25
11.	27391,92	1117850,93	27344,30	40294,40	104300,00
12.	44808,37	1379590,02	31939,52	42239,79	119804,33
13.	40629,28	588365,77	29428,60	55584,35	155515,15
14.	31324,80	434281,91	30375,82	49888,17	60763,19
15.	34847,92	1428243,59	33000,94	59866,55	8763,25
16.	33241,32	1412181,59	31322,60	49975,79	4345,42
1	2	3	4	5	6
17.	29971,34	1448274,10	20971,82	3669,92	48382,15
18.	17114,90	4074616,71	11324,93	26032,95	10168,00
19.	8944,94	1874298,99	8341,52	29327,21	22874,40
20.	17499,58	1525436,47	10481,14	40510,01	29603,05
21.	19244,80	1212238,89	18329,90	37444,69	16605,16
22.	34958,32	1154327,22	29881,52	36427,22	32124,63
23.	44900,83	1173125,03	34928,60	51485,62	200485,00
24.	57300,25	1435664,93	41824,92	49959,92	88558,62

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии.

2. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

3. Выделите значимые и незначимые факторы в модели.

4. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

Решение:

Для получения отчета по построению модели в среде EXCEL необходимо выполнить следующие действия:

1. В меню Сервис вбираем строку Анализ данных. На экране появится окно



Рис. 1.

2. В появившемся окне выбираем пункт Регрессия. Появляется диалоговое окно, в котором задаем необходимые параметры (рис. 2).

Рис. 2.

3. Диалоговое окно рис. 2 заполняется следующим образом:

Входной интервал Y - диапазон (столбец), содержащий данные со значениями объясняемой переменной;

Входной интервал X - диапазон (столбцы), содержащий данные со значениями, объясняющих переменных.

Метки - флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет;

Константа-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии (в0);

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, в котором будет сохранен отчет.

Если необходимо получить значения и графики остатков (ei), установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Нажмите кнопку ОК.

Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рис. 3.

Рис. 3.

Рассмотрим таблицу «Регрессионная статистика».

Множественный R - это

R-квадрат - это R2. В нашем примере значение R2 = 0,8178 свидетельствует о том, сто изменения зависимой переменной Y (балансовой прибыли) в основном (на 81,78%) можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных - X1, X2, X3, X4. такое значение свидетельствует об адекватности модели.

Нормированный R-квадрат - поправленный (скорректированный по числу степеней свободы) коэффициент детерминации.

Стандартная ошибка регрессии - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии); п - число наблюдений (в нашем примере равно 24), т - число объясняющих переменных (в нашем примере равно 4).

Наблюдения - число наблюдений п.

Рассмотрим таблицу с результатами дисперсионного анализа.

df - degrees of freedom - число степеней свободы связано с числом единиц совокупности п и с числом определяемых по ней констант (т +1).

SS - sum of squares - сумма квадратов (регрессионная (RSS - regression sum of squares), остаточная (ESS - error sum of squares) и общая (TSS - total sum of squares), соответственно).

MS - mean sum - сумма квадратов на одну степень свободы.

F - расчетное значение F-критерия Фишера. Если нет табличного значения, то для проверки значимости уравнения регрессии в целом можно посмотреть Значимость F. На уровне значимости б = 0.05 уравнение регрессии признается значимым в целом, если Значимость F < 0.05, и незначимым, если Значимость F ? 0.05.

Для нашего примера имеем следующие значения:

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	т = 4	RSS = 2,82Е+09	7,04Е+08	21,32	8,28Е-07
Остаток	п - т - 1 = 19	ESS = 6,27Е+08	3,30Е+07
Итого	п - 1 = 23	TSS = 3,44Е+09

В нашем случае значение F-критерия Фишера составляет 21,32. Значимость F = 8,28Е-07, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

В последней таблице приведены значения параметров (коэффициентов) модели, их стандартные ошибки и расчетные значения t-критерия Стьюдента для оценки значимости отдельных параметров модели.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t - статистика	Р - Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	b0 = 7825,51	тb0 = 5350,78	tb0 = 7825,51/5350,78 = 1,4625	0,1599	-3373,80 ? b0 ? 19024,83
X1	b1 = -0,00098	тb1 = 0,00172	tb1 = -0,569	0,5762	-0,0046 ? b1 ? 0,0026
X2	b2 = 0,8806	тb2 = 0,15891	tb2 = 5,5417	0,00002	0,5480 ? b2 ? 1,2132
X3	b3 = 0,0094	тb3 = 0,09754	tb3 = 0,0961	0,9244	-0,1948 ? b3 ? 0,2135
X4	b4 = 0,0617	тb4 = 0,02647	tb4 = 2,3312	0,0309	0,0063 ? b4 ? 0,1171

Анализ таблицы для рассматриваемого примера позволяет сделать вывод о том, что на уровне значимости б = 0.05 значимыми оказываются лишь коэффициенты при факторах X2 и X4, так как только для них Р - Значение меньше 0.05. Таким образом, факторы не существенны X1 и X3, и их включение в модель нецелесообразно.

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследования имеет четкую экономическую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, как например, - -0,1948 ? b3 ? 0,2135. такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Это также подтверждает вывод о статистической незначимости коэффициентов регрессии при факторах X1 и X3.

Исключим несущественные факторы X1 и X3 и построим уравнение зависимости Y (балансовой прибыли) от объясняющих переменных X2 и X4. результаты регрессионного анализа приведены в таблице 3.

Таблица 3.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9024465
R - квадрат	0,8144098
Нормированный R - квадрат	0,7967345
Стандартная ошибка	5515,53984
Наблюдения	24

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	2803387968	1401693984	46,076253	2,08847Е-08
Остаток	21	638844774,1	30421179,72
Итого	23	3442232742

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t - статистика	Р - Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	5933,1025	2844,611998	2,085733487	0,0493883	17,40698	11848,798
X2	0,9162546	0,132496978	6,915286693	7,384Е-07	0,640712	1,1917972
X4	0,0645183	0,024940789	2,58686011	0,0172036	0,012651	0,1163856

Оценим точность и адекватность модели.

Значение R2 = 0,8144 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной Y (балансовой прибыли) по-прежнему в основном (на 81,44%) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих - X2, и X4. это свидетельствует об адекватности модели.

Значение поправленного коэффициента детерминации (0,7967) возросло по сравнению с первой моделью, в которую были включены все объясняющие переменные (0,7794).

Стандартная ошибка регрессии во втором случае меньше, чем в первом (5515 < 5745).

Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 46,08. Значимость F = 2,08847Е-08, что меньше 0.05. таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

Далее оценим значимость отдельных параметров построения модели. Из таблицы 3 видно, что теперь на уровне значимости б = 0.05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р - Значение < 0.05.

Границы доверительного интервала для коэффициентов регрессии не содержат противоречивых результатов:

- с надежностью 0.95 (с вероятностью 95 %) коэффициент b1 лежит в интервале

0,64 ? b1 ? 1,19;

- с надежностью 0.95 (с вероятностью 95 %) коэффициент b2 лежит в интервале

0,01 ? b2 ? 0,12.

Таким образом, модель балансовой прибыли предприятия торговли запишется в следующем виде:

Рассмотрим теперь экономическую интерпретацию параметров модели.

Коэффициент b1 = 0,916, означает, что при увеличении только фонда оплаты труда (X2) на 1 тыс. рублей балансовая прибыль в среднем возрастет на 0,916 тыс. рублей, а то, что коэффициент b2 = 0,065, означает, что увеличение только объема продаж по безналичному расчету (X4) на 1 тыс. рублей приводит в среднем к увеличению балансовой прибыли на 0,065 тыс. рублей. Как было отмечено выше, анализ Р-значений показывает, что оба коэффициента значимы.

При эконометрическом моделировании реальных экономических процессов предпосылки КЛММР нередко оказываются нарушенными: дисперсии остатков модели не одинаковы (гетероскедастичность остатков), или наблюдается корреляция между остатками в разные моменты времени (автокоррелированные остатки). Тогда предпосылка 3 запишется следующим образом:

Принимая, что дисперсии объясняющих переменных могут быть произвольными, мы получаем обобщенную линейную модель множественной регрессии (ОЛММР).

В этом случае оценка параметров модели осуществляется обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК):

Если модель гетероскедастична, то матрица ?-диагональная. Тогда имеем:



В этом случае обобщенный метод наименьших квадратов называется взвешенным методом наименьших квадратов, поскольку мы «взвешиваем» каждое наблюдение с помощь коэффициента 1/уi.

На практике, однако, значения уi почти никогда не бывают известны. Поэтому сначала находят оценку вектора параметров обычным методом наименьших квадратов. Затем находят регрессию квадратов остатков на квадратичные функции объясняющих переменных, т.е. уравнение

где f(xi) - квадратичная функция.

Далее по полученному уравнению рассчитывают теоретическое значения и определяют набор весов Затем вводят новые переменные и находят уравнение . Полученная оценка и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов.

Проверить модель на гетероскедастичность можно с помощью следующих тестов: ранговой корреляции Спирмена; Голдфельда-Квандта; Уайта; Глейзера.

Рассмотрим тест на гетероскедастичность, применяемый в случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами, - тест Голдфельда-Квандта.

Все п наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значения фактора Х. Затем выбирают т первых и т последних наблюдений.

Гипотеза о гомоскедастичности равносильна тому, что значение остатков е1, …,ет и

еп-т+1, … еп представляют совой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью F-критерия Фишера.

Расчетное значение вычисляется по формуле (в числителе всегда большая сумма квадратов):

.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по т наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков) отвергается, если расчетное значение превышает табличное F > Fб;m-p;m-p, где р - число регрессоров.

Мощность теста (вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда гетероскедастичность действительно нет) максимальна, если выбирать т порядка п/3.

Тест Голдфельда-Квандта позволяет выявить факт наличия гетероскедастичности, но не позволяет описать характер зависимостей дисперсий ошибок регрессии количественно.

Если прослеживается влияние результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих, случайные величины (ошибки) еi в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции.

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними уровнями ряда можно определить с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле:

.

Затем по таблицам находятся пороговые значения dв и dн. если расчетное значение:

- dв < d < 4-dв, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

- dн < d < dв или 4-dв < d < 4-dн, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);

- 0 < d < dн, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

- 4-dн < d < 4, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Недостаток теста Дарбина-Уотсона заключается прежде всего в том, что он содержит зоны неопределенности. Во-вторых, он позволяет выявить наличие автокорреляции только между соседними уровнями, тогда как автокорреляция может существовать и между более отдаленными наблюдениями.

Поэтому наряду с тестом Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции используются тест серии (Бреуша-Годфри), Q-тест Льюинга-Бокса и другие.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является построение авторегрессионных моделей.

Пример 2. Рассмотрим полученную в предыдущем примере модель зависимости балансовой прибыли предприятия торговли Y (тыс. руб.) от следующих переменных:

Х2 - фонд оплаты труда, тыс. руб.

Х4 - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Задание: Для полученной модели проверить выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

Решение.

Для выполнения этого задания снова воспользуемся «Пакетом анализа», встроенным в EXCEL.

В соответствии со схемой теста Голдфельда-Квандта упорядочим данные по возрастанию переменной Х4, предполагая, что дисперсии ошибок зависят от величины этой переменной.

В нашем примере т = п/3 = 8.

Результаты дисперсионного анализа модели множественной регрессии, построенной по первым 8 наблюдениям (после ранжирования по возрастанию переменной Х4), приведенные в таблице 4.

Таблица 4.

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	5,07Е+08	2,53Е+08	20,95996	0,003707
Остаток	5	ЕSS1 = = 6,04Е+07	1,21Е+07
Итого	7	5,67Е+08

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по последним 8 наблюдениям, приведены в таблице 5.

Таблица 5.

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,77Е+08	88459011	1,111617	0,398654
Остаток	5	ЕSS2 = = 3,98Е+07	79576906
Итого	7	5,75Е+08

Рассчитаем статистику Fрасч = ЕSS2 / ЕSS1 (т.к. ЕSS2 > ЕSS1). Для нашего примера получаем: F = 3,987Е+08 / 6,04Е+07 = 6,58.

Для того, чтобы узнать табличное значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР(0,05;6;6) с параметрами 0,05 - заданная вероятность ошибки гипотезы Н0; т-р = 8-2 = 6; т-р = 6 - параметры распределения Фишера. Данная функция находится в категории «статистических» функций.

Статистика Fрасч больше табличного значения FРАСПОБР(0,05;6;6) = 4,28. Следовательно, модель гетороскедастична.

Пример 3. Рассмотрим полученную в примере 1 модель зависимости балансовой прибыли предприятия Y (тыс. руб.) от следующих переменных:

Х2 - фонд оплаты труда, тыс. руб.; Х4 - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Задание: проверить полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

Решение.

Прежде всего, по эмпирическим данным необходимо методом наименьших квадратов построить уравнение регрессии и определить значения отклонений для каждого наблюдения i (i = 1, 2, …, п).

Для этого в диалоговом окне Регрессия в группе Остатки следует установить одноименный флажок Остатки.

Зачем рассчитываем статистику Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Результаты расчетов представлены в таблице 6.

Таблица 6

		^2	^2
1	2	3	4
11211,00896			1,3Е+08
9809,816986	11211,01	1963338,9	9,6Е+07
6652,565001	9809,817	9968240,1	4,4Е+07
4367,949639	6652,565	5219467,4	1,9Е+07
1141,570741	4367,95	10409521	1303184
2445,881613	1141,571	1701226,8	5982337
687,4294812	2445,882	3092153,9	472559
140,6630821	687,4295	298953,5	19786,1
-4784,81741	140,6631	24260358	2,3Е+07
-3182,828283	-4784,82	2566369,2	1Е+07
-10324,78476	-3182,83	51007542	1,1Е+0,8
1880,960336	-10324,8	148980213	3538012
-2301,490224	1880,96	17492893	5296857
-6360,626521	-2301,49	16476587	4Е+07
-1887,83539	-6360,63	20005861	3563922
-1671,617647	-1887,84	46750,112	2794306
1701,17565	-1671,62	11375735	2893999
149,2560547	1701,176	2408454,4	22277,4
-6106,936579	149,2561	39139946	3,7Е+07
53,14551195	-6106,94	37946611	2824,45
-4554,494657	53,14551	21230348	2,1Е+07
-426,4897698	-4554,49	17040424	181894
-5970,720141	-426,49	30738490	3,6Е+07
7331,218328	-5970,72	176941567	5,4Е+07
СУММА:	6,5Е+08	6,4Е+08

Таким образом, расчетное значение равно d = 6,5Е+08 / 6,4Е+08 = 1,02.

По таблице критических точек распределение Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости б, числа наблюдений п и количества объясняющих переменных т определить два значения: dн - нижняя граница и dв - верхняя граница (таблица 7).

Таблица 7

Статистика Дарбина-Уотсона, уровень значимости 0,05
т	1	2	3	4	5
п	dн	dв	dн	dв	dн	dв	dн	dв	dн	dв
20	1,20	1,41	1,1	1,54	1,00	1,67	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,66	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,90
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89

В нашем случае модель содержит 2 объясняющие переменные (т=2), нижняя и верхняя границы равны соответственно dн=1,19 и dв=1,55.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0 ? d ? dн. Следовательно, в ряду остатков существует положительная корреляция.

Тема 3. Линейные регрессионные модели с переменной структурой

При изучении социально-экономических процессов и явлений может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня, например, образование, пол, фактор сезонности. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Оценить влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уровня регрессии можно путем введения фиктивных переменных.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные) переменные, которые принимают всего два значения: «0» и «1». Например, при исследовании зависимости заработной платы от уровня образования Z можно рассмотреть k=3 уровня: начальное образование, среднее и высшее. Обычно вводят (k-1) бинарную переменную. В нашем случае потребуется ввести две фиктивные переменные:

х1, …, хт - экономические (количественные) переменные.

Наличие у работника начального образования будет отражено парой значений z1=0, z2=0.

Параметры при фиктивных переменных z1 и z2 представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы (в нашем примере это работники с начальным образованием).

При построении регрессионных моделей по неоднородным данным необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле, можно ли объединить их в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться тестом Г.Чоу.

По каждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид - Н0 : b' = b''; D(е') = D(е'') = у2.

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объема п = п1 + п2.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза Н0 отвергается на уровне значимости б, если статистика

> Fб;m+1;n-2m-2,

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, п = п1 + п2.

Для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного рядя можно также использовать тест Д.Гуйарати.

Пример 4. Рассмотрим полученную в примере 1 модель зависимости балансовой прибыли предприятия торговли Y (тыс. руб.) от следующих переменных:

Х2 - фонд оплаты труда, тыс. руб.; Х4 - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Известно, что первая выборка значений переменных объемом п1 = 12 получена при одних условиях, а другая, объемом п2 = 12, - при несколько измененных условиях.

Задание: Проверить, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х ?

Решение.

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

В соответствии со схемой теста построим уравнения регрессии по первым наблюдениям п1 = 12 наблюдениям. Результаты представлены в таблице 8.

Таблица 8

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,02Е+09	5,1Е+08	11,9033	0,002967
Остаток	9	ЕSS1 = = 3,85Е+08	4,3Е+07
Итого	11	1,40Е+09

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по оставшимся п1 = 12 наблюдениям, приведены в таблице 9.

Таблица 9.

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,87Е+09	9,33Е+08	57,1758	7,6549Е-06
Остаток	9	ЕSS2 = = 1,47Е+08	1,63Е+07
Итого	11	2,01Е+09

Результаты регрессионного и дисперсионного анализа модели, построенной по всем п = п1 + п2 = 24 наблюдениям, представленным в таблице 3 (ЕSS = 6,39Е+08):

Рассчитаем статистику F по формуле:

Находим табличное значение Fрасч = FРАСПОБР(0,05;1;18) = 3,15.

Так как, Fрасч< Fтабл, то справедлива гипотеза Н0, т.е. надо использовать единую модель по всем наблюдениям.

Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

Довольно часто соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами приходится описывать нелинейными функциями. Например, производственные функции (зависимость между объемом производства и основными факторами производства) или функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами и доходом).

Следует различать модели, нелинейные по параметрам, и модели, нелинейные по переменным.

Для оценки параметров нелинейных моделей существует два основных подхода:

1. Первый подход основан на линеаризации модели: преобразованием исходных переменных и введением новых, нелинейную модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется метод наименьших квадратов.

2. Если подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, то применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Если модель нелинейна по переменным, то используется первый подход, т.е. вводятся новые переменные, и модель сводится к линейной:

Переходим к новым переменным и получаем линейное уравнение:

Более сложной проблемой является нелинейность по оцениваемым параметрам. В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейному виду. Рассмотрим следующие модели, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная (мультипликативная) -

Степенная модель может быть преобразована к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Замена переменных: В новых переменных модель запишется следующим образом:

Степенные модели получили широкое распространение в экономическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.

• экспонента -

Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично:

Переходя к новым переменным , получаем линейную регрессионную модель:

• гипербола - .

Гиперболическая модель линеаризуется непосредственно заменой переменной :

Эти функции используются при построении кривых Энгеля, которые описывают зависимость спроса на определенный вид товаров или услуг от уровня доходов потребителей или от цены товара.

• логарифмическая модель:

При выборе формы уравнения регрессии важно помнить, что чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

В качестве примера использования линеаризующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:

где Y - объем производства, K - затраты капитала, L - затраты труда.

Путем логарифмирования обеих частей данную степенную модель можно свести к линейной:

Переходя к новым переменным получаем линейную регрессионную модель:

Эластичность выпуска продукции.

Показатели б и в являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала K и труда L. Это означает, что с увеличением только затрат капитала (труда) на 1% объем производства возрастает на б% (в%):

Эффект от масштаба производства.

Если б и в в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если K и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства. Если их сумма меньше единицы, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства. Например, K и L увеличиваются в 2 раза. Найдем новый уровень выпуска (Y*):

Если б+в = 1,2, то 2 б+в =2,30, а Y увеличивается больше, чем в 2 раза.

Если б+в = 1, то 2 б+в =2, и Y увеличивается также в 2 раза.

Если б+в = 0,8, то 2 б+в =1,74, а Y увеличивается меньше, чем в 2 раза.

Первоначально Кобб и Дуглас представляли функцию в виде , т.е. предполагали постоянную отдачу от масштаба производства. Впоследствии это допущение было ослаблено.

Если в модели б+в = 1, то функцию Кобба-Дугласа представляют в виде или .

Таким образом, переходят к зависимости производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Логарифмируя обе части уравнения, приводим его к линейному виду:

.

Функция Кобба-Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид:

,

где t - время, параметр и - темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу.

Тема 5. Модели стационарных и нестационарных временных рядов

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:

где: ut - тренд, vt - сезонная компонента, ct - циклическая компонента, еt - случайная компонента.

Стационарные временные ряды.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд уt называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений у1, у2,…, уп такое же, как и п наблюдений у1+ф, у2+ф,…, уп+ф при любых п, t и ф. Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда у1, у2,…, уп и у1+ф, у2+ф,…, уп+ф можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(ф):

Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции.

Функция r(ф)называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.

Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции):