Экономика и управление организацией

где rij, rik, rjk - выборочные коэффициенты корреляции.

Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда yt и yt+2 при устранении влияния yt+1 определяется по формуле:

где r(1), r(1,2), r(2) - выборочные коэффициенты автокорреляции между yt и yt+1, yt+1 и yt+2, и yt и yt+2 соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной AP(p), скользящей средней CC(q) или авторегрессионной модели скользящей средней APCC (p,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной - AP(p), скользящей средней - CC(q), авторегрессионной модели скользящей средней - APCC (p,q)).

Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС-модели, в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР-модели, и с помощью СС-модели.

Авторегрессионная модель порядка р (модель AP(p)) имеет вид:

где в0, в1, …, вр - некоторые константы.

Если исследуемый процесс, yt в момент t определяется его значениями только в предыдущий период t-1, то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель AP(1)).

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель CC(q)) имеет вид:

Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:

Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше р незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше q.

Нестационарные временные ряды.

Пусть имеется временной ряд

Предположим, что ошибки оt независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:

эконометрический моделирование регрессия прогнозирование

где

Если ряд является стационарным, то исходный нестационарный ряд называется интегрируемым (или однородным).

Нестационарный ряд называется интегрируемым (однородным) k-го порядка, если после k -кратного перехода к приращениям

где , получается стационарный ряд

Если при этом стационарный ряд корректно идентифицируется как APCC (p,q), то нестационарный ряд обозначается как АРПСС (p,k,q). Это означает модель авторегрессии - проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA (p,k,q)) порядков p,k,q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Модели с распределенными лагами

При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными. Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами:

В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:

Коэффициент b0 характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении хt на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:

Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Величины называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг (lMe) - представляет собой период времени, в течение которого будет реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

Оценка модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.

Метод Алмон.

Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:

(5.1)

Уравнение регрессии примет вид:

(5.2)

где (5.3)

Схема расчета параметров модели:

1. устанавливается максимальная величина лага l;

2. определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3. по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных zo, z1, ..., zk;

4. обычным методом наименьших квадратов определяются параметры уравнения линейной регрессии yt от zt (5.2);

5. рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).

Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:

0 < л < 1. (5.4)

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:

где

Определив параметры данной модели, находятся л и оценки параметров а и b0 исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b1, b2,... .

Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:

Пример 5. По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и доходах населения (X, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Значение R2= 0,98.

Задание:

1. Проанализировать полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дать интерпретацию параметров модели: определить краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определить величину среднего лага и медианного лага.

Решение.

1. Проверка значимости отдельных коэффициентов модели дает следующие расчетные значения t-статистики для коэффициентов:

tb0 = 0,50/0,06 = 8,33; tb1 = 0,25/0,04 = 6,25;

tb2 = 0,13/0,04 = 3,25; tb3 = 0,13/0,06 = 2,17.

Таким образом, все коэффициенты оказываются значимыми, и выбор величины лага l=3 является оправданным. Об адекватности полученной модели свидетельствует и высокое значение коэффициента детерминации.

2. Краткосрочный мультипликатор в модели равен b0 = 0,50. Он показывает, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. ведет в среднем к росту товарооборота на 0,5 млрд. руб. в том же периоде.

Долгосрочный мультипликатор для полученной модели составит:

b = b0+b1+b2+b3 = 0,50 + 0,25 + 0,13 + 0,13 = 1,01.

Получаем, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. в настоящий момент времени в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) приведет к росту товарооборота на 1,01 млрд. руб.

Рассчитаем относительные коэффициенты модели:

в0 = 0,50/1,01 = 0,495; в1 = 0,25/1,01 = 0,248;

в2 = 0,13/1,01 = 0,129; в3 = 0,13/1 ,01 = 0,129.

Следовательно, 49,5% общего увеличения товарооборота, вызванного ростом доходов населения, происходит в текущий момент времени; 24,8% - в момент времени (t+1); 12,9% - в моменты времени (t+2) и (t+3).

3. Средний лаг в модели определяется следующим образом:

Величина среднего лага меньше месяца, что подтверждает, что эффект роста доходов населения на объем товарооборота проявляется сразу же.

Медианный лаг для данной модели составляет чуть более 1 месяца.

Тема 6. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.

В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.

Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.

Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:

x(t) = ао + е(t),

где ао - неизвестный параметр, не зависящий от времени, е(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.

Экспоненциально взвешенная скользящая средняя ряда определяется формулой:

Для рядов с «бесконечным прошлым» формула запишется следующим образом:

Коэффициент сглаживания л, можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования, характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы видно, что веса лj уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое (с ростом j) - отсюда и название метода.

В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+ 1) для неизвестного значения x (t + 1) по известной до момента времени t траектории ряда x (t) строится по формуле:

где значение определяется по рекуррентной формуле:

В качестве берется, как правило, среднее значение ряда динамики или среднее значение нескольких начальных уровней ряда.

Случай линейного тренда:

В этом случае прогноз будущего значения определяется соотношением:

а пересчет коэффициентов и осуществляется по формулам:

Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.

Модель Хольта.

В модели Хольта введено два параметра сглаживания л1 и л2 (0 < л1, л2 < 1). Прогноз на l шагов по времени определяется формулой:

а пересчет коэффициентов и осуществляется по формулам:

Модель Хольта-Уинтерса.

Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз на l шагов по времени определяется формулой:

где - коэффициент сезонности, а Т - число временных тактов, содержащихся в полном сезонном цикле.

Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно. Формулы обновления коэффициентов имеют вид:

Модель Тейла-Вейджа.

Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мультипликативной сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.

Имеется модель:

Здесь - уровень процесса после устранения сезонных колебаний, - аддитивный коэффициент роста, - аддитивный коэффициент сезонности и - белый шум.

Прогноз на l шагов по времени определяется формулой:

.

Коэффициенты вычисляются рекуррентным способом по формулам:

Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные наборы их значений и сравнивают получившиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов.

Тема 7. Системы линейных одновременных уравнений

Нередко при моделировании реальных экономических объектов для объяснения механизма их функционирования приходится строить систем уравнений, состоящую из тождеств и регрессионных уравнений. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по разному:

Возможна система независимых уравнении, когда каждая зависимая переменная (у) рассматривается как функция одного и того же набора объясняющих факторов (х1, х2, …хт):



Каждое уравнение такой системы может рассматриваться самостоятельно, а для нахождения его параметров применяется метод наименьших квадратов.

Если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то можно построить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

Каждое уравнение такой системы также может рассматриваться самостоятельно, а его параметры оцениваются методом наименьших квадратов.

В системе линейных одновременных уравнений одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других. Такая система уравнений называется структурной формой модели. Каждое уравнение в системе одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, поэтому метод наименьших квадратов для оценки параметров неприменим.

В общем случае структурная форма модели имеет вид:



Зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, называются эндогенными переменными и обозначаются у.

Предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными переменными и обозначаются х.

Примером системы одновременных уравнений является модель спроса (Qd) и предложения (Qs) когда спрос на товар определяется его ценой (Р) и доходом потребителя (I), предложение - его ценой (Р) и достигается равновесие между спросом и предложением:

Переменные формируют свои значения внутри модели, согласно уравнениям системы, и таким образом, являются эндогенными переменными. Переменная I полагается заданной, ее значения формируются вне модели, и она является экзогенной.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов в модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов модель преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где - коэффициенты приведенной формы модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной приходится сталкиваться с проблемой идентифицируемости модели. Идентифицируемость - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;

• неидентифицируемые;

• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом, по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два и более, значений одного структурного коэффициента.

Необходимое условие идентифицируемости:

D + 1 = Н - уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н - уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > Н - уравнение сверхидентифицируемо,

где Н - число эндогенных переменных в уравнении, D - число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение.

Достаточное условие идентифицируемости:

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без единицы.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифициуемо. Если хотя бы одно из уравнений неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Рассмотрим ряд модификаций модели спроса-предложения.

1. Модель спроса-предложения с учетом тренда.

Если предположить изменение спроса со временем, то в первое уравнение системы необходимо добавить временной тренд:

Приведенная форма модели запишется в виде:

Система не оказывается идентифицируемой, поскольку параметр в5 является сверхидентифицируемым. Чтобы это показать, запишем систему в следующем виде:

Легко заметить, что оценку в5 можно получить двумя способами: как е/b и f/c.

2. Модель спроса-предложения с учетом налога.

Предположим, что продавцы товаров облагаются специальным налогом Т. Величина налога меняется со временем и представлена временным рядом. Тогда система уравнений запишется следующим образом:

В данном случае система является идентифицируемой, но если теперь предположить, что доход I на протяжении длительного времени является постоянной величиной, то в уравнении спроса переменную I следует исключить.

Данная система уравнений уже не является идентифицируемой. Получить идентифицируемое уравнение формирования предложения можно, наложив ограничение на структурные коэффициенты: в5 = -р. Смысл этого ограничения в том, что мы полагаем, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т.е. Р* = Р - Т.

Пример 6. Структурная форма модели имеет вид:

где:

Ct - личное потребление в период t,

St - зарплата в период t,

Pt - прибыль в период t,

Rt - общий доход в период t,

Rt-1 - общий доход в период t-1.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

Решение:

Модель представляет собой систему одновременных уравнений, состоящую из двух уравнений, которые необходимо проверить на идентифицируемость для определения способа оценки параметров, и тождества, параметры которого известны, поэтому необходимости в проверке его на идентифицируемость нет.

Модель включает три эндогенные переменные (Ct, St, Rt) и три экзогенные переменные (Pt, t в том числе одну лаговую переменную Rt-1).

Проверим уравнения модели на идентифицируемость.

1 уравнение.

Проверим выполнение необходимого условия идентифицируемости. Это уравнение включает две эндогенные переменные (Ct, St) и одну экзогенную переменную (Pt). Таким образом, Н = 2; число экзогенных переменных системы, не входящих в это уравнение, также равно двум D = 2. Получаем: D + 1 > Н, следовательно, первое уравнение сверхидентифицируемо.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости:

Запишем матрицу коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), не входящих в первое уравнение (Rt, Rt-1, t):

Номер уравнения	Rt	Rt-1	t
2	b21	b22	b23
3	-1	0	0

Ее ранг равен 2, так как определитель квадратной подматрицы 2 х 2 этой матрицы не равен нулю:

и достаточное условие идентифицируемости выполняется

2 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (St, Rt) и две экзогенные переменные (Rt-1, t). Таким образом, Н = 2; число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение, равно одному D = 1. Получаем: D + 1 = Н, и второе уравнение является точно идентифицируемым.

Теперь проверим достаточное условие идентифицируемости.

Запишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение (Ct, Рt)

Номер уравнения	Сt	Рt
1	-1	B12
3	0	1

Определитель этой матрицы не равен нулю, а ее ранг равен 2:



Таким образом, второе уравнение системы точно идентифицируемо. Но так как первое уравнение системы сверхидентифицируемо, то вся модель является сверхидентифицируемой.

Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Здесь v1, v2, и v3 - случайные ошибки.

Поскольку модель является сверидентифицируемой, то для оценки параметров уравнений следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов.

Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений

Наиболее распространенные методы оценки параметров системы одновременных уравнений:

• косвенный метод наименьших квадратов;

• двухшаговый метод наименьших квадратов;

• трехшаговый метод наименьших квадратов;

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Для оценки параметров идентифицируемой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для оценки коэффициентов сверидентифицируемой системы применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1. структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

2. для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты () обычным МНК;

3. коэффициенты приведенной формы модели преобразовываются в параметры структурной формы.

Основная идея ДМНК - на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

1. составляется приведенная форма модели, и определяются численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК;

2. выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3. обычным МНК определяются параметры структурного управления, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Таким образом, метод наименьших квадратов применяется дважды: при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических значений эндогенных переменных.

ДМНК является более общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК, поэтому в ряде компьютерных программ реализован только ДМНК.

Трехшаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Если случайные члены в модели не коррелируют, то трехшаговый метод наименьших квадратов сводится к двухшаговому.

Пример 7. Рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, структурная форма которой приведена в примере 6:

Задание:

1. Определить метод оценки параметров модели.

2. Изложить методику оценки структурных параметров модели.

Решение:

Проверка модели на идентифицируемость показала, что первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе - точно идентифицируемым (см. пример 6). Следовательно, для оценки параметров первого уравнения следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов, а для оценки параметров второго уравнения - косвенный метод наименьших квадратов.

Методика оценки параметров первого уравнения.

1. В соответствии со схемой ДМНК на первом этапе запишем приведенную форму модели:



Параметры каждого уравнения приведенной формы определяются обычным методом наименьших квадратов.

2. На втором этапе выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

В нашем примере переменная St, расчетные значения которой можно определить из второго уравнения приведенной формы модели.

3. В первое структурное уравнение, которое является сверхидентифицируемым, вместо фактических значений переменной St подставляем расчетные значения , найденные на втором шаге. Таким образом, получаем уравнение:

Параметры этого уравнения уже можно оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Методика оценки параметров второго уравнения.

Параметры приведенной формы модели уже были определены на первом этапе.

Сравнивая второе уравнение структурной формы модели и второе уравнение приведенной формы, видно, что для получения соответствия между ними необходимо из второго уравнения приведенной формы исключить переменную Рt и ввести переменную Rt.

Для этого из третьего уравнения приведенной формы модели выражаем переменную Рt:

и подставляем ее во второе уравнение приведенной формы:

Теперь раскрываем скобки:

Сопоставляя полученное уравнение со вторым уравнением структурной формы, определяем коэффициенты:

Таким образом, все параметры структурной формы модели определены.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ВАРИАНТ 1

Задача 1

Предполагается, что объем предложения некоторого блага Y для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены Х1 этого блага и заработной платы Х2 сотрудников этой фирмы. Исходные данные за 16 месяцев представлены в таблице 10.

Таблица 10.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	20	25	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
Х1	10	15	20	25	4	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
Х2	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 8 и остальным 8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

Изучается зависимость объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Хt, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R2=0,9.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Задача 3

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

где:

C - расходы на потребление в период t,

Yt - чистый национальный продукт в период t,

Yt-1 - чистый национальный продукт в период t-1,

Dt - чистый национальный доход в период t,

It - инвестиции в период t,

Tt - косвенные налоги в период t,

Gt - государственные расходы в период t.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 2

Задача 1

По данным, представленным в таблице 11, изучается зависимость объема валового национального продукта Y (млрд. долл.) от следующих переменных: Х1 - потребление, млрд. долл., Х2 - инвестиции, млрд. долл.

Таблица 11

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	8	9,5	11	12	13	14	15	16,5	17	18
Х1	1,65	1,8	2,0	2,1	2,2	2,4	2,65	2,85	3,2	3,55
Х2	14	16	18	20	23	23,5	25	26,5	28,5	30,5

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 5 и остальным 5 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Задача 3

Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

Задание:

1. Выберите метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор обоснуйте.

2. Определите возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

ВАРИАНТ 3

Задача 1

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. долл.) от ряда факторов: Х1 - денежные доходы населения, млрд. долл., Х2 - доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. долл., Х3 - численность безработных, млн. чел., Х4 - официальный курс рубля по отношению к доллару США.

Таблица 12

Месяц	Y	Х1	Х2	Х3	Х4
1	72,9	117,7	81,6	8,3	6,026
2	67,0	123,8	73,2	8,4	6,072
3	69,7	126,9	75,3	8,5	6,106
4	70,0	134,1	71,3	8,5	6,133
5	69,8	123,1	77,3	8,3	6,164
6	69,1	126,7	76,0	8,1	6,198
7	70,7	130,4	76,6	8,1	6,238
8	80,1	129,3	84,7	8,3	7,905
9	105,2	145,4	92,4	8,6	16,065
10	102,5	163,8	80,3	8,9	16,010
11	108,7	164,8	82,6	9,4	17,880
12	134,8	227,2	70,9	9,7	20,650
13	116,7	164,0	89,9	10,1	22,600
14	117,8	183,7	81,3	10,4	22,860
15	128,7	195,8	83,7	10,0	24,180
16	129,8	219,4	76,1	9,6	24,230
17	133,1	209,8	80,4	9,1	24,440
18	136,3	223,3	79,1	8,8	24,220
19	139,7	223,6	79,8	8,7	24,190
20	151,0	236,6	82,1	8,6	24,750
21	154,6	236,6	83,2	8,7	25,080
22	160,2	248,6	80,8	8,9	26,050
23	163,2	253,4	81,8	9,1	26,420
24	191,7	351,4	68,3	9,1	27,000

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:



В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Задача 3

Структурная форма макроэкономической модели имеет вид:

где:

Ct - расходы на потребление в период t,

Yt - чистый национальный доход в период t,

It - инвестиции в период t,

Tt - налоги в период t,

Gt - государственные расходы в период t,

Yt-1 - совокупный доход в период t-1.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 4

Задача 1

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. долл.) от ряда факторов: Х1 - товарные запасы в фактических ценах, млрд. долл., Х2 - номинальная заработная плата, руб., Х3 - денежные доходы населения, млрд. руб., Х4 - официальный курс рубля по отношению к доллару США.

Таблица 13

Месяц	Y	Х1	Х2	Х3	Х4
1	2	3	4	5	6
1	72,9	42,1	988	117,7	6,026
2	67,0	36,7	1000	123,8	6,072
3	69,7	37,9	1059	126,9	6,106
4	70,0	39,1	1040	134,1	6,133
5	69,8	39,6	1047	123,1	6,164
6	69,1	39,6	1122	126,7	6,198
7	70,7	38,8	1110	130,4	6,238
8	80,1	44,9	1052	129,3	7,905
9	105,2	42,9	1112	145,4	16,065
10	102,5	41,5	1123	163,8	16,010
11	108,7	46,9	1164	164,8	17,880
12	134,8	50,6	1482	227,2	20,650
13	116,7	48,3	1167	164,0	22,600
14	117,8	46,7	1199	183,7	22,860
15	128,7	50,4	1385	195,8	24,180
16	129,8	51,9	1423	219,4	24,230
17	133,1	54,2	1472	209,8	24,440
1	2	3	4	5	6
18	136,3	54,6	1626	223,3	24,220
19	139,7	54,4	1618	223,6	24,190
20	151,0	54,9	1608	236,6	24,750
21	154,6	57,0	1684	236,6	25,080
22	160,2	58,1	1716	248,6	26,050
23	163,2	63,1	1785	253,4	26,420
24	191,7	68,0	1808	351,4	27,000

Задание:

6. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

7. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

8. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

9. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

10. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и дохода населения (Хt, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии.

Значение R2=0,99.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Задача 3

Одна из модификаций модели спроса-предложения имеет вид:

где:

- предложение товара в период t,

- спрос на товар в период t,

Рt - цена товара в период t,

Рt-1 - цена товара в период t-1,

It - доход в период t.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 5

Задача 1

По данным, представленным в таблице 14, изучается зависимость чистой прибыли предприятия (Y, млрд. долл.) от следующих переменных: Х1 - оборот капитала, млрд. долл., Х2 - численность служащих, тыс. чел., Х3 - рыночная капитализация компании, млрд. руб.

Таблица 14

№ п/п	Y	Х1	Х2	Х3
1	0,9	31,3	43	40,9
2	1,7	13,4	64,7	40,5
3	0,7	4,5	24	38,9
4	1,7	10	50,2	38,5
5	2,6	20	106	37,3
6	1,3	15	96,6	26,5
7	4,1	137,1	347	37
8	1,6	17,9	85,6	36,8
9	6,9	165,4	745	36,3
10	0,4	2	4,1	35,3
11	1,3	6,8	26,8	35,3
12	1,9	27,1	42,7	35
13	1,9	13,4	61,8	26,2
14	1,4	9,8	212	33,1
15	0,4	19,5	105	32,7
16	0,8	6,8	33,5	32,1
17	1,8	27	142	30,5
18	0,9	12,4	96	29,8
19	1,1	17,7	140	25,4
20	1,9	12,7	59,3	29,3
21	0,9	21,4	131	29,2
22	1,3	13,5	70,7	29,2
23	2	13,4	65,4	29,1
24	0,6	4,2	23,1	27,9
25	0,7	15,5	80,8	27,2

Задание:

11. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

12. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

13. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

14. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

15. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

4. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

5. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

6. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Задача 3

Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

Задание:

3. Выберите метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор обоснуйте.

4. Определите возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

ВАРИАНТ 6

Задача 1

По исходным данным за 16 месяцев, представленным в таблице 15, постройте уравнение зависимой объема предложения некоторого блага Y для функционирующей в условиях конкуренции фирмы от цены Х1 этого блага и заработной платы Х2 сотрудников этой фирмы.

Таблица 15.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	20	25	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
Х1	10	15	20	25	4	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
Х2	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

Задание:

6. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

7. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

8. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

9. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

10. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 8 и остальным 8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

1. Используя исходные данные первой задачи и учитывая изменения экономической ситуации после 8 наблюдений, проверьте с помощью теста Чоу необходимость разбиения исходной выборки на две и построения для каждой из них отдельного уравнения регрессии.

2. Постройте уравнение регрессии с включением фиктивных переменных, учитывающее изменение ситуации после 8 наблюдения.

3. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

4. Сравните качество полученной модели и модели, построенной в задаче 1.

Задача 3

Структурная форма конъюнктурной модели имеет вид:

где:

Ct - расходы на потребление в период t,

Ct-1 - расходы на потребление в период t-1,

Yt - ВВП в период t,

It - инвестиции в период t,

It-1 - инвестиции в период t-1,

rt - процентная ставка в период t,

Mt - денежная масса в период t,

Gt - государственные расходы в период t.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

ВАРИАНТ 7

Задача 1

По данным за два года изучается зависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: Х1 - денежные доходы населения, млрд. руб., Х2 - официальный курс рубля по отношению к доллару США, Х3 - доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб., Х4 - индекс потребительских цен, в % к прошлому году.

Таблица 16

Месяц	Y	Х1	Х2	Х3	Х4
1	72,9	117,7	6,026	81,6	101,5
2	67,0	123,8	6,072	73,2	100,9
3	69,7	126,9	6,106	75,3	100,6
4	70,0	134,1	6,133	71,3	100,4
5	69,8	123,1	6,164	77,3	100,5
6	69,1	126,7	6,198	76,0	100,1
7	70,7	130,4	6,238	76,6	100,2
8	80,1	129,3	7,905	84,7	103,7
9	105,2	145,4	16,065	92,4	138,4
10	102,5	163,8	16,010	80,3	104,5
11	108,7	164,8	17,880	82,6	105,7
12	134,8	227,2	20,650	70,9	111,6
13	116,7	164,0	22,600	89,9	108,4
14	117,8	183,7	22,860	81,3	104,1
15	128,7	195,8	24,180	83,7	102,8
16	129,8	219,4	24,230	76,1	103,0
17	133,1	209,8	24,440	80,4	102,2
18	136,3	223,3	24,220	79,1	101,9
19	139,7	223,6	24,190	79,8	102,8
20	151,0	236,6	24,750	82,1	101,2
21	154,6	236,6	25,080	83,2	101,5
22	160,2	248,6	26,050	80,8	101,4
23	163,2	253,4	26,420	81,8	101,2
24	191,7	351,4	27,000	68,3	101,3

Задание:

16. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

17. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

18. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

19. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

20. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Задача 2

По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и дохода населения (Хt, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии.

Значение R2=0,97.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Задача 3

Структурная форма модели имеет вид:



где:

St - зарплата в период t,

Dt - чистый национальный доход в период t,

Mt - денежная масса в период t,

Ct - расходы на потребление в период t,

Ct-1 - расходы на потребление в период t-1,

Unt - уровень безработицы в период t,

Unt-1 - уровень безработицы в период t-1,

It - инвестиции в период t.

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

Размещено на Allbest.ru