Общая теория статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов-заочников, самостоятельно изучающих курс "Общая теория статистики", одну из фундаментальных экономических наук, формирующих специалиста-экономиста, бухгалтера, финансиста, менеджера. Роль статистики в обществе огромна, особенно в аналитической работе экономиста. Рыночная экономика и связанные с ней социально-экономические процессы требуют серьезной переориентации как в области информатики, так и аналитической деятельности. Расширение и углубление рыночных отношений, быстрый рост числа хозяйствующих субъектов, всех видов собственности многократно усложнили сбор и анализ статистической информации.

Современная статистика во всем мире по преимуществу становится областью прикладных работ, в значительной мере превращаясь в предмет коммерческих занятий. Закономерно, что ныне, как никогда, к ее методам и результатам все больший интерес проявляют деловые круги.

Известно, что в условиях неустойчивых отношений, какими по своей природе являются рыночные, когда экономические связи могут возникнуть внезапно и так же внезапно исчезнуть, а в некоторых случаях и вовсе не появиться на свет, вся целенаправленная деятельность представляется цепью сложных, по преимуществу коалиционных, решений, где обнаружение складывающихся тенденций и обоснование принимаемых решений возможны только тогда, когда наблюдения носят систематический, длительный и массовый характер.

Для практических целей требуется знание реального фона, то есть знание конкретных рыночных обстоятельств дела, позволяющие "поймать" ситуацию - найти способ предвидеть конъюнктуру.

То, что современная статистика может дать для предпринимателей, является наиболее надежным материалом для изучения рыночной конъюнктуры. Отсюда - необходимость совершенствования этих материалов, преодоления явных и скрытых их недостатков, улучшения методов обработки.

В этом отношении в первоочередном порядке необходимо поставить задачу качественных преобразований статистической информации, а именно: повышение степени свободы статистики как науки.

Предстоит преодолеть стереотип принимать статистику исключительно как составную часть сложившейся системы управления народным хозяйством.

Курс "Общая теория статистики" поможет хорошо овладеть основами статистической методологии для анализа происходящих социальных и экономических процессов.

Знание основных статистических показателей средних величин, показателей вариации, индексов, показателей корреляции и др. является необходимым условием анализа социально-экономических процессов, в том числе при изучении таких новых для российской экономики явлений, как числе при изучении таких новых для российской экономики явлений, как характеристика состояния и тенденций фондовых рынков, анализ и измерение финансовых рисков и т.д.

Учебное пособие состоит из 10 тем, в которых рассмотрены проблемы изучения статистической информации, значение метода группировок как основы системного анализа собранных данных, а также роль обобщающих статистических показателей, изучение их изменений во времени, исследование взаимосвязей с помощью индексного метода и корреляционного анализа.

1. Предмет и метод статистической науки

Предмет и метод статистической науки имеет большое значение не только для курса общей теории статистики, но и вообще для всех статистических дисциплин. В ней излагаются вопросы о предмете статистической науки, ее методе, теоретических основах и задачах. В результате изучения темы студент должен получить ясное представление о том, каково место статистики в системе наук, каковы ее теоретические основы и каковы задачи статистики на современном этапе.

Статистика является общественной наукой, изучающей свой предмет исследования и свои специфические методы.

Предмет статистики - это количественная сторона массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной в определенных условиях места и времени.

Статистика всесторонне характеризует экономику страны, образование, здравоохранение, искусство, науку, политическую жизнь страны, то есть изучает явления и процессы общественной жизни, поэтому и называется общественной наукой.

Говоря о количественной стороне, следует отметить, что общественные явления характеризуются величиной, степенью распространенности, соотношениями отдельных частей, изменением во времени. Изучая количественную сторону общественных явлений, статистика выражает ее в цифрах-показателях для того, чтобы показать конкретную меру этих явлений, выявить, как проявляются законы общественного развития в конкретной обстановке.

Количественная сторона общественных явлений неразрывно связана с их качественной стороной. Специфической чертой статистики является то, что статистические цифры всегда дают обобщенную характеристику закономерности.

Из специфики предмета статистики следует, что теоретической основой статистической науки являются исторический материализм и экономическая теория. Эти две науки формулируют и исследуют законы общественного развития. Статистика, характеризуя количественную строну общественных явлений в конкретных исторических условиях, создает фундамент из точных и бесспорных фактов.

Для изучения своего предмета статистика разрабатывает и применяет разнообразные методы, которые составляют статистическую методологию. Статистическая методология включает в себя:

· метод массовых наблюдений;

· метод группировок;

· методы анализа с помощью обобщающих показателей.

Изучая первую тему, необходимо уяснить, что статистика представляет собой систему научных дисциплин, а общая теория статистики является базовым курсом изучения профессиональной дисциплины статистики, так как формулирует общие правила и принципы статистического исследования массовых общественных явлений.

Поэтому всем экономистам, финансистам, плановикам, руководителям предприятий, хозяйственным работникам, коммерсантам, менеджерам, бухгалтерам необходимо овладеть методами общей теории статистики.

2. Статистическое наблюдение

Статистическая работа начинается со статистического наблюдения -сбора сведений об изучаемых явлениях. Это - первая стадия статистического исследования, на которой происходит планомерная научно-организованная работа по собиранию массовых данных о явлениях и процессах общественной жизни. Естественно, что от качества наблюдения зависит успех всего статистического исследования. Если в результате наблюдения будут получены неполные или неточные данные, недостаточно характеризующие процесс или искажающие его, то выводы из анализа этого материала будут неправильными.

Целесообразно подразделить тему следующим образом:

1.Формы, виды и способы статистического наблюдения. В этой части нужно выяснить различия отдельных форм, видов и способов наблюдения, выделяемых в статистике на основе ряда признаков.

Статистическое наблюдение производится в двух формах: 1) сбор отчетности от предприятий, организаций, хозяйств; 2) специально организуемые статистические наблюдения, проводимые Государственным комитетом по статистике Российской Федерации.

От организационных форм необходимо отличать виды статистических наблюдений. Виды определяются или моментом времени, к которому относится сбор сведений (текущие, периодическое и единовременное), или степенью полноты охвата тех явлений, которые подвергаются обследованию (сплошное и не сплошное).

Способы наблюдения определяются тем, как должен быть получен исходный статистический материал: при опросе (корреспондентский, экспедиционный и саморегистрация) или путем непосредственного учета фактов (подсчет, измерение, взвешивание и т.д.).

2.Программно-методологические вопросы наблюдения. Сюда включаются понятия об объекте, единицы наблюдения, единице совокупности, о целях и задачах наблюдения, о программе наблюдения и принципах ее разработки, о статистическом формуляре и инструкции.

3.Вопросы организации статистического наблюдения: органы наблюдения, место и время проведения наблюдения, критический момент времени наблюдения, подготовка наблюдения и меры по обеспечению достоверности данных.

4.Специфические вопросы организации и проведения специально организованного статистического наблюдения.

5.Вопросы точности наблюдения: погрешности (ошибки), которые могут возникнуть в процессе статистического наблюдения, меры борьбы с ними и способы контроля материалов статистического наблюдения.

6.Вопросы организации первичного учета и отчетности.

3. Статистическая сводка и группировка

Вторым этапом статистического исследования является сводка и группировка статистических материалов, на котором материал, полученный в результате наблюдения, систематизируется и подвергается обработке.

В процессе изучения данной темы нужно твердо уяснить, что метод группировок в единстве с методами обобщения статистических данных является могучим средством социально-экономического познания. Студенту необходимо знать основные научные принципы сводки и группировки статистических данных, составивших новую эпоху в развитии статистики. Эти принципы в целом сводятся к тому, что группировки должны обеспечивать: во-первых, выделение социально-экономических типов и форм явлений, во-вторых, установление взаимосвязи признаков явлений, в-третьих, установление состава и структуры изучаемой совокупности, в-четвертых, выделение нового, передового в развитии общества (такая группировка способствует выявлению неиспользованных резервов).

Студенты должны твердо усвоить, что сводка и группировка являются ведущим звеном в статистическом исследовании. Можно собрать прекрасный статистический материал, но испортить его неумелой сводкой и группировкой.

Статистическая сводка состоит из следующих основных этапов: контроль собранных в результате статистического наблюдения данных; группировка статистических материалов; получение системы показателей для характеристики групп и подгрупп; подсчет групповых и общих итогов; оформление результатов сводки в статистические таблицы.

Основным методом обработки и анализа статистических материалов является метод группировки. Именно с его помощью можно выделить типы явлений, изучить формы и направления процессов развития общественной жизни, взаимосвязи и взаимоотношения явлений.

Под статистической группировкой понимают разделение единиц изучаемого общественного явления на однородные группы по существенным признакам. Признак, по которому производится группировка, называется основанием группировки.

Виды группировок - это типологические, структурные и аналитические.

Вопрос о выборе группировочных признаков имеет исключительно большое значение, особенно для типологической группировки. Исходя из задач исследования для осуществления группировки необходимо из множества признаков выбрать определяющие, которые наиболее полно и точно характеризуют изучаемый объект, позволяют выбрать его типичные черты и свойства.

Группировочные признаки могут быть атрибутивными и количественными. Атрибутивные признаки регистрируются в виде текстовой записи. Количественные признаки имеют цифровое выражение. По атрибутивному признаку можно образовать ограниченное число вполне определенных групп. При группировке по количественному признаку число групп определяется в зависимости от характера изменения признака и задач исследования.

Если количественный меняется прерывно (дискретно), то есть принимает значения целых чисел, то число групп должно соответствовать количеству значений признака. При непрерывном изменении признак принимает любые значения, поэтому группы ограничиваются значениями признака в интервале "от - до". Интервалы бывают равные и неравные.

При группировке единиц с равными интервалами определяют число групп (n) и величину интервала (i). Оптимальное число групп может быть определено по формуле Стерджесса:

п = 1 + 3,322 lgN,

где N - число единиц совокупности.

Величина равного интервала рассчитывается по формуле:

где X_max и X_min - максимальное и минимальное значения признака; п - число групп.

Результаты статистической сводки и группировки обычно оформляются в виде статистических таблиц. Студент должен знать, что статистическая таблица состоит из двух элементов: подлежащее и сказуемое, а также иметь ясное представление о видах статистических таблиц (простых, групповых и комбинационных), правилах их построения, чтения и анализа.

Таблица 3.1. Размеры процентных ставок и кредитов, предоставляемых коммерческими банками предприятиям, организациям

№ банка	Процентная ставка, %	Кредиты, млн. руб.
1	2	3
1.	20,2	9,54
2.	17,3	13,56
3.	14,2	22,33
4.	11,5	27,43
5.	17,1	13,58

Таблица

1	2	3
6.	23,6	3,25
7.	11,0	27,70
8.	14,5	21,20
9.	17,5	13,50
10.	24,0	2,50
11.	15,8	19,63
12.	22,4	5,10
13.	16,1	17,90
14.	18,0	12,20
15.	26,0	1,00
16.	12,4	26,5
17.	13,9	23,88
18.	15,0	20,18
19.	22,3	5,20
20.	16,7	16,45

Для изучения связи между размером процентной ставки и величиной выданного кредита произвести группировку по размеру процентной ставки, образовав пять групп с равными интервалами.

Решение:

Прежде всего определим величину интервала:

Производим группировку банков по процентной ставке с интервалом в 3%, для чего строим рабочую таблицу 3.2.

Таблица 3. 2. Распределение банков по процентной ставке

№ п/п	Группы банков по размеру процентной ставки, %	№ банка	Процентная ставка	Сумма кредита, млн. руб.
A	Б	1	2	3
1.	11 - 14	4	11,5	27,43
		7	11,0	27,70
		16	12,4	26,55
		17	13,9	23,88
	Итого	4	48,8	10,56

Таблица

A	Б	1	2	3
2.	14 - 17	3 8 11 13 18 20	14,2 14,5 15,8 16,1 15,0 16,7	22,33 21,20 19,63 17,90 20,18 16,45
	Итого	6	92,3	117,69
3.	17 - 20	2 5 9 14	17,3 17,1 17,5 18,0	13,56 13,58 13,50 12,20
	Итого	4	69,9	52,84
4.	20 - 23	1 12 19	20,2 22,4 22,3	9,54 5,10 5,20
	Итого	3	64,9	19,8
5.	23 - 26	6 10 15	23,6 24,0 26,0	3,25 2,50 1,00
	Итого	3	73,6	6,75
Всего	20	349,5	302,68

Для установления наличия и характера связи между процентной ставкой и суммой выданных кредитов по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу (табл. 3.3.)

Таблица 3. 3. Зависимость суммы выданного банком кредита от размера процентной ставки

Данные табл.3.3. показывают, что с ростом процентной ставки, под которую выдается банком кредит, средняя сумма кредита, выданная одним банком, уменьшается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует обратная корреляционная зависимость. Теснота связи может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением (расчет см. в теме 10 данного учебного пособия).

4. Абсолютные и относительные показатели

Абсолютные и относительные величины являются обобщающими показателями, характеризующими количественную сторону общественных явлений.

Задача настоящей темы курса заключается в ознакомлении с абсолютными и относительными величинами, в выяснении и сущности и научной методологии применения в анализе явлений общественной жизни. При изучении данной темы следует обратить особое внимание на следующие вопросы: сущность и виды абсолютных и относительных величин, их значение и формы выражения и способы вычисления.

Абсолютные величины - именованные числа, имеющие определенную размерность и единицы измерения. Они характеризуют показатели на момент времени или за период. В зависимости от различных причин и целей анализа применяются условно-натуральные, денежные и трудовые единицы измерения. Абсолютные величины могут быть индивидуальными и итоговыми.

На основе абсолютных величин исчисляют относительные величины.

Относительные величины - показатели, которые дают числовую меру соотношения двух сопоставляемых статистических величин.

Относительные величины выражаются в коэффициентах, если базисная величина принимается равной 1, в процентах, если базисная величина принимается за 100, в промилле, если базисная величина принимается за 1000.

При рассмотрении отдельных видов относительных величин нужно уяснить роль каждого из них в статистической практике.

В зависимости от задач, содержания и познавательного значения выражаемых количественных соотношений различают следующие виды относительных показателей: 1) планового задания; 2) выполнения плана; 3) динамики; 4) структуры; 5) сравнения; 6) интенсивности; 7) координации,

1. Относительные показатели планового задании (ОВПЗ) - отношение уровня, запланированного на предстоящий период (у_пл.), к уровню показателя, достигнутого в предыдущем периоде (у_o):

Пример 1. Во II квартале товарооборот магазина составил 200 млн. руб., в III квартале планируется товарооборот в 280 млн. руб. Определить относительную величину планового задания.

Таким образом в III квартале планируется увеличение товарооборота магазина на 40%.

2.Относительные показатели выполнения плана (ОВВП) -отношение фактически достигнутого уровня в текущем периоде (у₁) к уровню планируемого показателя за этот же период (y_пл.):

Пример 2. Товарооборот магазина в III квартале составил 292,5 млн. руб. при плане 280 млн. руб. Определить степень выполнения плана товарооборота магазина в III квартале.

Решение:



План по товарообороту магазина выполнен на 104,5%, т.е. перевыполнение плана составило 4,5%

3.Относительные показатели динамики (ОВД) - характеризуют изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Относительные величины динамики иначе называют темпами роста (Т):

Пример 3. Во II квартале товарооборот магазина составил 200 млн, руб., в III квартале товарооборот составил 292,5 млн. руб. Определить относительную величину динамики по товарообороту магазина в III квартале по сравнению со II кварталом.

Решение:

Товарооборот магазина возрос в III квартале по сравнению со II кварталом на 46,3%.

4. Относительные показатели структуры (d) - характеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельный вес элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности ко всему объему совокупности:

где d - удельный вес частей совокупности

Пример 4. Имеются следующие данные о розничном товарообороте РФ за 2000-2001 гг., млрд. руб.:

Таблица

год	I квартал	II квартал	III квартал	IV квартал	Всего за год
2000	514,2	538,9	594,1	688,6	2335,8
2001	658,7	722,4	775,5	883,3	3039,9

Исчислить относительные величины структуры розничного товарооборота РФ по кварталам за каждый год.

Решение: Исчислим относительные величины структуры розничного товарооборота за 2000 г. и 2001 г.

Исчисленные относительные величины структуры представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Структура розничного товарооборота Российской Федерации по кварталам 2000-2001гг.

Кварталы	Удельный вес розничного товарооборота, %
	2000 г.	2001 г.
I	22,0	21,7
II	23,1	23,8
III	25,4	25,4
IV	29,5	29,1
Итого	100	100

Данные таблицы 4.1. свидетельствуют о том, что в изучаемые годы удельный вес розничного товарооборота закономерно pacтeт от I к IV кварталу.

5. Относительные показатели сравнения (ОВС) - характеризуют отношения одноименных абсолютных показателей, относящиеся к одному и тому же периоду или моменту времени, но к различным объектам или территориям.

Пример 5. Средняя продолжительность жизни в 1994г. в Японии составляла 79,5 лет, в России 64,4 лет. Исчислить относительную величину сравнения, приняв за базу сравнения среднюю продолжительность жизни в России.

Решение:

Следовательно, средняя продолжительность жизни в Японии больше, чем в России в 1994 году в 1,2 раза.

6. Относительные показатели интенсивности - характеризуют степень насыщенности или развития данного явления в определенной среде и могут быть выражены в именованных числах или процентах, или в промиллях, или кратных отношениях.

Пример 6. Средняя численность населения Российской Федерации в 2000г. составила 145,5 млн. человек, число родившихся - 1338,6 тыс. чел. Определить число родившихся на каждую 1000 человек населения (относительную величину интенсивности, характеризующую рождаемость).

Решение:

На каждую 1000 человек населения рождаемость 9,2 человека.

7. Относительные показатели координации (ОВК) - характеризуют отношения частей изучаемой совокупности к одной из них, взятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой или сколько единиц одной части приходится на 1,10,100,1000,10000 единиц другой части.

Пример 7. Имеются следующие данные о численности экономически активного населения России по состоянию на начало 2001г., млн. человек:

Таблица

экономически активное население	71,2
в том числе: занятые в экономике	64,9
безработные	6,4.

Исчислить, сколько безработных приходится на 1000 занятых в экономике России.

Решение:

Следовательно, на каждые 1000 занятых в экономике России приходится 98,6 безработных.

5. Средние величины

При изучении данной темы следует обратить внимание на следующие вопросы: сущность и значение средних величин, их виды, способы вычисления и условия применения.

Средняя - это обобщающая количественная характеристика совокупности единиц однотипных явлений по какому-либо признаку. Отличительной чертой средних величин является то, что в них взаимно погашаются индивидуальные различия признака.

В зависимости от характера изучаемых явлений, конкретных задач и целей статистического исследования могут применяться различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая и структурные средние (мода, медиана). Выбор вида средних зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая применяется в том случае, когда отдельные значения признака (каждый вариант) не повторяются в совокупности несколько раз (встречаются один раз). Они исчисляются по формуле:

где х - индивидуальные значения признака (вариант);

X - среднее значение признака;

п - число значений признака.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,6; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3 тыс. руб. Определить средний доход банка по данной операции.

Решение: Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами определим по средней арифметической простой:

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака (варианты) встречаются в совокупности несколько раз. Она исчисляется по формуле:

где f - частота (как часто встречается каждый вариант).

Пример 2, В трех партиях изделий с количеством 1200, 1800, 2400 штук обнаружен следующий процент брака:

· первая партия - 2,5%

· вторая партия - 1,8%

· третья партия - 0,5%.

Требуется определить средний процент брака.

Решение: Доля брака представляет собой отношение числа бракованных изделий ко всей партии изделий. Процент брака обозначим через х, число изделий в партии через f Если процент брака (х) умножим на число изделий (f), то получим число бракованных изделий во всей партии. Значит, следует применять формулу средней арифметической взвешенной.

Подставляя значения в формулу, получим:

Следовательно, средний процент брака составляет 1,38%.

Наряду со средней арифметической применяется в статистической практике обратная ей величина - это средняя гармоническая, которая тоже может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда объем признака w = 1, то есть x f - величина постоянная (хf = const).

Исчисляется по формуле:

где х - отдельные значения признака;

X - среднее значение признака;

п - число признаков.

Средняя гармоническая взвешенная применяется в том случав, когда не известна численность совокупности (f) и варианты (x) приходится взвешивать по объему признака (w).

Средняя гармоническая взвешенная исчисляется по формуле:

где w - объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = xf.

Пример 3. Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

Таблица

№ банка	Средняя процентная ставка, %	Доход банка, тыс. руб.
1	32	750
2	40	1200
3	38	800

Определить среднюю процентную ставку банков.

Решение: Основой выбора вида средней является реальное содержание определяемого показателя:

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах (f). Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (w) на процентную ставку (х). Средняя процентная ставка будет равна;



Особыми статистическими характеристиками являются структурные средние (мода, медиана).

Модой называется величина признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности.

В дискретном вариационном ряду мода определяется по наибольшей частоте.

В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

где x_Mo - начальное значение модального интервала;

i_Mo - величина модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_{Mo - 1} - частота интервала, предшествующего модальному;

f_{Mo + 1} - частота интервала, следующего за модальным.

Пример 4. Имеются данные о выполнении норм выработки работниками предприятия:

Таблица

Группы работников по выполнению норм выработки, %	Число работников
80 - 90	3
90 - 100	7
100 - 110	22
100 - 120	48
120 - 130	16
130 - 140	4
Итого	100

Определить модальную норму выработки.

Решение: Прежде всего определяем модальный интервал. Наибольшей частоте соответствует модальный интервал. Наибольшее число работников 48 человек выполняют норму выработки в интервале 110-120 (%), который и является модальным интервалом:

Большинство работников на предприятии выполняют норму выработки на 114,5%.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда, то есть делит ряд пополам.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности:

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

где x_Me - начальное значение медиального интервала;

i_Me - величина медиального интервала;

- половина суммы частот;

S_{(Me - 1)} - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Медианным интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Комулятивная частота образуется путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Пример 5. По данным примера 4 рассчитать медиану.

Решение: Определяем медианный интервал. Для этого подсчитаем сумму частот - 100, половинка суммы (100 : 2) = 50, то есть комулятивная частота не должна быть ниже 50 (чел.).

Образуем комулятивную частоту, накапливая частоты от интервала 80-90 (3 + 7 + 22 + 48 = 80). Значит, медиальный интервал будет от 110 до 120, где находится медиана:

Из расчета видно, что половина работников выполняют норму выработки до 113,8%, а половина выше 113,8%. То есть норма выработки 113,8% делит ряд пополам.

Виды средних: средняя хронологическая; средняя геометрическая -смотрите в теме 7 "Ряды динамики".

6. Показатели вариации

В ходе анализа средних величин возникает вопрос о степени колеблемости признака. Необходимость изучения вариации вызывается тем, что на величине средней отражаются лишь общие условия, присущие данной совокупности, и не находят отражения индивидуальные особенности, порождающие вариацию признака у отдельных единиц совокупности. Исследование вариации является необходимым звеном в анализе экономических явлений и процессов. Показатели вариации служат вместе с тем и характеристикой типичности самой средней.

Студентам необходимо понять смысл и изучить методику расчета различных показателей вариации: размаха вариации, среднего линейного отклонения, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации. Размах вариации:

R = x_max - x_min,

где x_max, x_min - максимальное и минимальное значение признака.

Размах вариации дает только общее представление о колеблемости признака, но не показывает, как колеблется признак внутри совокупности.

Среднее линейное отклонение_- (d) определяется по формулам:

1)для не сгруппированных данных (первичного ряда)

2)для п вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение (у) рассчитывается по следуюшей формуле:



Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в тех же единицах измерения варьирующего признака.

Пример 1. По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Таблица

Размер вклада, руб.	До 400	400 - 600	600 - 800	800 - 1000	Св. 1000
Число вкладчиков	32	56	120	104	88

Определить средний размер вклада и среднее квадратическое отклонение.

Решение: Для расчета среднего размера вклада и среднего квадратического отклонения строим расчетную таблицу 6.1.

Таблица 6.1. Расчет среднего квадратического отклонения

Группы вкладчиков по размеру вклада. руб.	Число вкладчиков	x	xf	х - х	(х - х)2	(x - x)2f
А	Б	1	2	3	4	5
До 400 400 - 600 600 - 800 800 - 1000 св. 1000	32 56 120 104 88	300 500 700 900 1100	9600 28000 84000 93600 96800	- 480 - 280 - 80 +120 +320	230400 78400 6400 14400 102400	7372800 4390400 768000 1497600 9011200
Итого	400	-	312000	-	-	23040000

Определим средний размер вклада:

Определим среднее квадратическое отклонение:

Дисперсия признака (у²) - это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:

Для сравнения размеров вариации различных признаков, а также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации -коэффициент вариации (V), который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:



По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу:

Небольшая колеблемость признака, то есть средний вклад 780 руб., -реальная величина и может представлять данную группу вкладчиков по размеру вклада.

Расчет среднего квадратического отклонения представляет собой трудоемкую операцию. Эти расчеты можно значительно упростить, если применить способ отсчета от условного нуля, то есть способ "моментов".

Суть способа "моментов" заключается в том, что:

1)из всех вариант вычитается постоянное число "А" (значение серединной варианты или варианты, имеющей наибольшую величину);

2)все варианты делятся на постоянное число, а именно: на величину интервала (i).

Получаем новую среднюю, которая называется моментом первого порядка (m1):



тогда средняя арифметическая будет равна х = m₁ · i + A

Для расчета среднего квадратического отклонения находим момент второго порядка (m₂):

и среднее квадратическое отклонение будет равно:

у = i v m₂ - m₁²

Пример 2. Рассмотрим расчет среднего квадратического отклонения способом "моментов", используя данные примера 1.

Таблица 6.2. Расчет среднего квадратического отклонения способом "моментов"



Средний размер вклада составил 780 руб.

Получим тот же результат, что и в примере 1.

7. Ряды динамики

Изучив эту тему, студент должен понять, что такое ряды динамики, их элементы, виды рядов динамики, средние показатели рядов динамики, цель и методы выравнивания рядов динамики.

Статистика изучает различные социально-экономические явления в их развитии. Процесс развития общественных явлений во времени называется динамикой.

Статистические ряды динамики - это форма отображения развития явления во времени.

Ряды динамики подразделяются на ряды динамики абсолютных, средних и относительных величин. По признаку времени ряды динамики абсолютных величин подразделяются на моментные и интервальные ряды динамики.

Моментный ряд динамики характеризует состояние явления на определенный момент (дату) времени.

Интервальный ряд динамики характеризует какие-либо итоги за определенный промежуток времени. Интервалами в ряду динамики могут быть различные периоды времени.

Каждый ряд динамики состоит из двух элементов: периодов или моментов времени; уровней ряда.

Уровни ряда динамики должны быть сопоставимы по методологии расчета показателя, территории, продолжительности периодов, охватываемого объекта, единицам измерения и другим признакам.

В тех случаях, когда вначале имеются уровни ряда, исчисленные по одной методологии или в одних границах, а затем уровни, исчисленные по другой методологии или в других границах, уровни ряда динамики оказываются несовместимы между собой. Чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому, годному для анализа виду, необходимо произвести смыкание рядов динамики.

Пример 1. Имеются данные об объеме транспортной работы (грузообороте) автотранспортных предприятий, обслуживающих регион грузовыми перевозками:

Таблица 7.1. Динамика грузооборота автотранспортных предприятий региона за 1997-2001гг. (млн. ткм)

№ п/п	Грузооборот			Год
		1997	1998	1999	2000	2001
1.	В прежних границах	250	280	-	-	-
2.	В новых границах		380	405	415	438
3.	Сопоставимый ряд	350	380	405	415	438

Два ряда динамики (в прежних и новых границах) привести к сопоставимому виду.

Решение: Определим коэффициент пересчета (коэффициент соотношения двух уровней) в 1998 году, в котором произошло изменение границ региона:

Умножая на этот коэффициент уровни ряда динамики в прежних границах, приводим их к сопоставимым уровням в новых границах:

250 · 1,4 = 350 млн. ткм.

Теперь представим полученные данные о грузообороте (млн. ткм) в виде ряда динамики (см. табл. 7,1.)

Таблица

1997г. 350	1998г. 380	1999г. 405	2000г. 415	2001г. 438

Данные сопоставимого ряда характеризуют рост грузооборота в регионе за 1997-2000гг., и они могут быть использованы для расчета аналитических показателей динамики.

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда во времени исчисляются следующие аналитические показатели динамики: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютные значения одного процента прироста.

Перечисленные показатели динамики можно исчислить с переменной или постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики). Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или уровнем, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой сравнения (базисные показатели динамики). База сравнения должна выбираться обоснованно, в зависимости от экономических особенностей явления и задач исследования.

Методы расчета аналитических показателей динамики следующие:

1)Абсолютные приросты определяются как разность уровней ряда:

Абсолютные приросты показывают, как изменяется изучаемое явление за определенный период времени в именованных числах. Измеряется абсолютный прирост в тех же единицах, что и уровни ряда.

2)Темпы (коэффициенты) роста определяются как отношение уровней ряда:

Измеряются темпы роста либо в коэффициентах, либо в процентах и показывают, во сколько раз уровень рассматриваемого периода больше или меньше уровня предыдущего или базисного периодов.

Если темпы роста выражены в коэффициентах, то всегда можно перейти от цепных темпов к базисным и наоборот, пользуясь двумя правилами:

а)Произведение цепных темпов роста дают базисный темп роста.

б) Частное от деления базисных темпов роста равно промежуточному цепному.

3)Темпы прироста определяются как отношение абсолютного прироста к первоначальному уровню, и выражено в процентах:

или другая методика расчета:

?k = k% -100.

Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился уровень изучаемого явления за определенный промежуток времени.

4)Абсолютные значения одного процента прироста определяются как отношение абсолютного прироста к темпу прироста:

или: первоначальный уровень, деленный на 100:

При расчете показателей приняты следующие условные обозначения:

у_i - уровень ряда рассматриваемого периода;

y_{i -1} - уровень ряда предыдущего периода;

у_o - уровень ряда базисного периода.

При анализе развития явлений часто возникает потребность дать обобщенную характеристику интенсивности развития на длительный период. Для чего используют средние показатели динамики:

1. средний абсолютный прирост

где п - число абсолютных приростов цепных;

где n - число периодов, включая базисный.

2. средний темп роста

где Пk- произведение цепных темпов роста;

n - число этих цепных темпов роста;

где у_n - конечный уровень ряда;

у_o - базисный уровень ряда;

т - число периодов, включая базисный.

3. средний уровень ряда:

а)в интервальном ряду динамики по средней арифметической простой, если интервалы равны:

где у - уровень ряда динамики;

n - число уровней;

б)в интервальном ряду динамики по средней арифметической взвешенной, если интервалы не равны:

где t - показатель времени;

в) в моментном ряду динамики по средней хронологической:

где у - уровень ряда

n - число уровней.

Пример 2. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, млн. руб.: 1/I - 500; на 1/II - 550; на 1/III - 575; на 1/IV - 560.

Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.

Решение: По условию задачи имеем моментный ряд динамики с равными интервалами, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической:

Пример 3. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия за 1996-2001 гг. (в сопоставимых ценах), млн. руб.:

Таблица

1996г. 101	1997г. 108	1998г. 110	1999г. 117	2000г. 122	2001г. 128

Определить аналитические показатели ряда динамики производства продукции предприятия за 1996-2001 гг.:

1. абсолютные приросты (цепные и базисные);

2. темпы роста (цепные и базисные);

3. темпы прироста (цепные и базисные);

4. абсолютное значение одного процента прироста;

5. средний абсолютный прирост;

6. средний темп роста за 1996-2001 гг. и среднегодовой темп прироста;

7. среднегодовое производство продукции;

8. построить график производства продукции.

Полученные показатели представить в итоговой таблице.

Решение:

1)Определим абсолютные приросты:

2) Определим темпы роста:

3)Определим темпы прироста:



4)Определим абсолютное значение одного процента прироста:

Все перечисленные показатели динамики оформляем в итоговую таблицу.

Таблица 7.2. Показатели динамики производства продукции предприятия за 1996-2001гг.

5)Средний абсолютный прирост определяется двумя способами: а) как средняя арифметическая простая (через сумму цепных абсолютных приростов):

где п - число цепных абсолютных приростов;

б) как отношение базисного прироста к числу периодов:

где п - число периодов, включая базисный;

6) Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

k = ⁿ v k₁ · ... · k_n = ⁿ vПk,

где п - число цепных темпов роста;

П - знак произведения;

k = ⁵ v 0,069 · 1,018 · 1,064 · 1,043 · 1,049 = ⁵ v1,267 = 1,048 или 104,8 %.

Мы знаем правило взаимосвязи цепных и базисных темпов роста: произведение цепных темпов равно базисному темпу. Поэтому среднегодовой темп роста может быть исчислен из отношения конечного (у_n.) и базисного (уо) уровней по формуле:

где т - число периодов, включая базисный;

Среднегодовой темп роста за 1996-2001гг. равен 104,8 %.

Среднегодовой темп прироста исчисляется следующим образом:

?k = k % - 100% = 104,8 - 100 = 4,8%.

Таким образом, производство продукции за период 1996-2001гг. увеличивалось за год в среднем на 4,8%.

7)В нашем примере мы имеем интервальный ряд динамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовое производство продукции исчислим по формуле средней арифметической простой:

где у - уровни ряда

п - число уровней ряда.

8) Построим график производства продукции предприятия за 1996-2001гг.



Рис. 7.1. График производства продукции предприятия за 1996-2001 гг.

Важным направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических явлений и процессов является изучение обшей тенденции развития (тренда). Для того, чтобы отчетливее выявить тенденцию в развитии того или иного явления, применяют несколько способов обработки рядов динамики. Наиболее распространенными и простейшими методами являются:

· укрупнение интервалов в рядах динамики;

· метод скользящей средней;

· аналитическое выравнивание ряда динамики.

Метод укрупнения интервалов применяется для выявления тренда в рядах динамики колеблющихся уровней, затушевывающих основную тенденцию развития. Главное в этом методе заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды более продолжительных периодов (месячные в квартальные, квартальные в годовые и т.д.).

Пример 4. Имеются данные о производстве магнитофонов за 2001 год, тыс. штук:

Таблица

январь - 3,1	июль - 2,9
февраль - 1,8	август - 3,4
март - 2,6	сентябрь - 3,1
апрель - 1,6	октябрь - 3,5
май - 2,6	ноябрь - 3,3
июнь - 4,5	декабрь - 4,8

Решение: Различные направления изменений по отдельным месяцам уровней данного ряда динамики затрудняют выводы об основной тенденции производства магнитофонов. Решение этой задачи упрощается, если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные, то есть укрупнить интервалы до трех месяцев:

I. квартал - 7,5 тыс. шт.

II. квартал - 8,7 тыс. шт.

III. квартал - 9,4 тыс. шт.

IV. квартал - 11,6 тыс. шт.

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства магнитофонов стала очевидной, тыс. шт.:

7,5 < 8,7 < 9,4 < 11,6.

Метод скользящей средней. В основу этого метода положено определение по исходным данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде некоторой плавной линии.

Пример 5. Используя пример 4, провести сглаживание ряда динамики шестимесячными скользящими средними.

Решение: Средние уровни ряда:

за январь - июнь



Результаты расчета шестимесячной скользящей средней представим в таблице.

Таблица 7.3. Динамика производства магнитофонов за шесть месяцев 2001 г., тыс. шт.

Месяц	Производство по месяцам, тыс. шт. yi	Скользящие шестимесячные суммы Уy1	Шестимесячные скользящие средние (Уyi)/n
А	1	2	3
январь	3,1 (y1)	-	-
февраль	1,8 (y2)	-	-
март	2,6 (y3)	-	-
апрель	1,6 (y4)	16,2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 +	2,7(y1)
май	2,6 (y5)	17,3 (y2 + y3 + y4 + y5 + y6 +	2,9 (y2)
июнь	4,5 (y6)	17,6 (y3 + y4 + y5 + y6 + y7 +	2,93 (y3)
июль	2,9.,.	18,1 ...	3,1 (y4)
август	3,4...	19,6...	3,3...
сентябрь	3,1...	20,7...	3,4...
октябрь	3,5 ...	21,0(y7 + y8 + ... + yn)	3,5 (yn)
ноябрь	3,3 ...	-	-
декабрь	4,8 (yn)	-	-

В результате обработки ряда динамики методом скользящей средней появилась тенденция к росту производства магнитофонов.

Рис. 7.2. Производство магнитофонов по месяцам в 2001 году

Из графика тоже отчетливо видна тенденция роста производства магнитофонов.

Аналитическое выравнивание ряда динамики. Одним их условий обоснованного применения метода аналитического выравнивания в анализе рядов динамики является знание типов развития социально-экономических явлений во времени, их основных отличительных признаков.

Аналитическое выравнивание фактических уровней ряда динамики может быть проведено по прямой или какой-либо другой линии (параболе второго, третьего и т.д. порядков; гиперболе), выражающей функциональную зависимость уровней ряда динамики от времени.

Если изучаемое явление развивается равномерно, выравнивание производят по прямой линии, если абсолютные приросты по периодам изменяются (замедляются или ускоряются), то подбирают более сложную кривую.

Рассмотрим, как производится выравнивание по прямой линии. Уравнение прямой может быть выражено в виде следующей формулы:

y_i = a_o + a₁t,

где у_i - значение выравненного ряда;

а_o, а₁ - параметры прямой линии (которые необходимо вычислить);

t - показатель времени.

Задача состоит в том, чтобы фактические уровни ряда (у) заменить теоретическими (у_i).

Для расчета параметров прямой линии а_o и а₁ используем способ наименьших квадратов, который дает систему двух уравнений:

где п - число членов ряда;

у - фактические уровни ряда;

t - показатель времени.

Дано указание: Если t являются показателями времени, то им всегда можно дать такие значения (условно), чтобы их сумма была равна нулю (Уt = 0).

Пример 6. По данным примера 4 произвести аналитическое выравнивание и построить график.

Решение: Уравнение прямой имеет вид:

у_t = a_o + a₁t.

Для нахождения параметров прямой решаем систему нормальных уравнений:

Для решения системы строим расчетную таблицу 7.4.

Таблица 7.4. Расчетные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выравненных теоретических значений (у_t)

Так как Уt = 0, то система нормальных уравнений примет вид:

отсюда:

Уравнение прямой будет иметь вид:

y_t = 3,1 + 0,142t.

Подставив в это уравнение значения t (табл. 7.4. гр. 2), получим выравненные теоретические значения y_t (табл. 7.4. гр. 5).

После решения уравнения наносим на график фактические уровни и исчисленную прямую линию, характеризующую тенденцию динамического ряда.

Рис. 7.3. Динамика производства магнитофонов по месяцам

Повседневная жизнедеятельность людей в условиях периодической сменяемости сезонов сопровождается специфическими изменениями интенсивности динамики социально-экономических процессов. Поэтому студентам следует изучить еще один вопрос в этой теме - о сезонных колебаниях.

Сезонные колебания - это сравнительно устойчивые внутригодичные колебания, то есть когда из года в год в одни месяцы уровень явления повышается, а в другие - снижается. Они обуславливаются специфическими условиями, влиянием многочисленных факторов, в том числе и природно-климатических .

Перед статистикой стоит задача - выявить колебания и измерить их. Наличие сезонных колебаний выявляют с помощью графического метода. В этом случае применяют линейные диаграммы, на которые наносят данные об объеме явления по месяцам не менее чем за три года.

Измеряются сезонные колебания при помощи особых показателей, которые называются индексами сезонности. Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы, выбор которых зависит от характера общей тенденции ряда динамики. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции развития, то индексы сезонности исчисляют непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для расчета индексов сезонности необходимо иметь помесячные данные минимум за три года.

Для каждого месяца рассчитывается средний уровень (y_i), затем исчисляется среднемесячный уровень для всего анализируемого ряда (у). По этим данным определяется индекс сезонности (I_s) как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:

где y_i - среднемесячные уровни ряда (по одноименным месяцам);

у - общий средний уровень ряда (постоянная средняя).

Пример 7. Реализация картофеля на рынках города за три года характеризуется следующими данными, т:

Таблица

Определить индексы сезонности.

Решение: Применяя формулу средней арифметической простой, определим среднемесячные уровни за три года

Таблица 7.5. Реализация картофеля на рынках города за три года, т

Исчислим общую среднюю (постоянную):

Теперь можно рассчитывать индексы сезонности:

Индексы сезонности показывают, что наименьший спрос приходится на январь-февраль, а наибольший - на сентябрь-октябрь.

Для наглядности построим график сезонной волны реализации картофеля (рис. 7,4.).

Рис. 7.4. Сезонная волна реализации картофеля (изменение индексов сезонности в среднем за три года)

8. Индексы

В этой теме рассматривается один из наиболее распространенных видов обобщающих показателей - индекс. Изучение следует начать с определения самого понятия "индекс" как показателя, характеризующего среднее изменение явления во времени или соотношения в пространстве.

Индекс - это обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию.

Всякий индекс является относительной величиной, так как он получается путем сравнения двух абсолютных величин. Та величина, которую сравнивают, называют отчетной величиной, а та, с которой сравнивают - базисной.

Индексы могут быть выражены в коэффициентах и в процентах. Если индекс больше "1" или 100%, то уровень изучаемого явления растет. Если меньше "1" или 100%, то уровень явления снижается.

Для удобства применения индексного метода, составления формул индексов и их использования в статистйко-экономическом анализе в теории статистики разработана определенная символика, применяются соответствующие условные обозначения.

Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение:

· q - количество продукции одного вида в натуральном выражении;

· р - цена за единицу продукции;

· z - себестоимость единицы продукции;

· t - затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции.

Индексы по отдельным элементам изучаемого сложного экономического явления (индивидуальные индексы) обозначаются символом "i", у которого проставляется символ соответствующий индексируемой величины. Например:

i_q - индивидуальный индекс физического объема (продукции) отдельного вида продукции;

i_p - индивидуальный индекс цен на отдельный вид товара;

i_z - индивидуальный индекс себестоимости единицы отдельного вида продукции;

i_pq - индивидуальный индекс стоимости (или товарооборота) отдельного вида продукции;

i_zq - индивидуальный индекс затрат на выпуск одного вида продукции.

Общий индекс изучаемого сложного экономического явления обозначается символом "I", у которого отражается символ индексируемой величины. Например:

· I_q - общий индекс физического объема продукции;

· I_p - общий индекс цен;

· I_z - общий индекс себестоимости;

· I_pq - общий индекс стоимости всех видов товаров или индекс товарооборота в фактических ценах;

· I_zq - общий индекс затрат на производство всех видов продукции.

Для отражения базисных периодов времени применяются специальные обозначения, которые пишутся в низу символа используемых при написании индекса величин. Базисный период, с данными которого производится сравнение, обозначается нулевым значением (0), первый отчетный период -единицей (1) и т.п.

Прежде, чем приступить к расчету индексов, студенты должны хорошо усвоить классификацию индексов: