Общая теория статистики

1. В зависимости от объектов исследования индексы делятся на: а) индексы объемных показателей, например, индекс физического объема проданной продукции (I_q):

где q₁ - количество проданной продукции в отчетном периоде;

q₀ - количество проданной продукции в базисном периоде;

p₀ - цена единицы продукции базисного периода.

б) индексы качественных показателей, например, индекс цен (I_p) или индекс себестоимости (I_z):

где p₁ - цена единицы продукции отчетного периода;

р₀ - цена единицы продукции базисного периода;

z₁ - себестоимость единицы произведенной продукции отчетного периода;

z₀ - себестоимость единицы произведенной продукции базисного периода;

q₁ - количество проданной (произведенной) продукции отчетного периода.

2.С точки зрения охвата элементов совокупности индексы делятся:

a)индивидуальные;

б)общие, которые в свою очередь делятся на

- агрегатные;

- средние из индивидуальных;

в) групповые.

Индивидуальные индексы дают сравнительную характеристику отдельным элементам изучаемой совокупности.

Например, индивидуальный индекс цен (i_p) показывает, как изменилась цена в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом только по одному наименованию товара;

или индивидуальный индекс физического объема товарооборота (i_q) характеризует, как изменился объем продаж в отчетном периоде по сравнению с базисным только на один из видов товаров:

или индивидуальный индекс себестоимости (i_z) характеризует изменение себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным только по одному виду произведенной продукции:

Общие индексы характеризуют изменение совокупности в целом. Например, общий индекс цен (I_p) характеризует изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным на все товары:



или общий индекс физического объема товарооборота (I_q) показывает изменение объема продажи в отчетном периоде по сравнению с базисным по всем товарам:

Групповые индексы показывают изменение не всей совокупности, а только ее части. Например, индекс по продовольственным товарам или по непродовольственным.

3.С точки зрения методологии расчета индексы делятся на:

а) цепные;

б) базисные.

Например,

базисный индекс цен с постоянным весом;

цепной индекс цен с постоянным весом.

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы. В результате преобразования агрегатных индексов получают средние из индивидуальных.

Чтобы рассчитать общий индекс, характеризующий изменение совокупности в целом, нужно проводить нессуммарность отдельных элементов изучаемой совокупности. С этой целью в индекс вводят дополнительный показатель, который выступает в виде его веса.

Например, чтобы при сравнении цен на разные товары проводить их несуммарность, в индекс вводится количество проданных товаров, которые являются неизменными как для отчетного периода, так и для базисного и выступает в индексе в виде его веса.

Произведение количеств товаров на их цены образуют стоимость товаров, которую можно сравнивать. Так как в индексе цен количество товаров берется неизменным, как для отчетного, так и для базисного периодов, исключается влияние на стоимость товаров количества товаров. И в индексе сравниваются только цены.

Агрегатным называется индекс, когда в числителе и знаменателе индексного отношения будут суммы произведений индексируемых единиц на их веса.

Рассмотрим расчет агрегатных индексов на примере.

Пример 1. Имеются следующие данные о проданных товарах:

Таблица

Товар	Единицы измерения	Количество прод. товара за период, тыс. ед.		Цена за ед. тов. в период, руб.
		базисный	отчетный	базисный	отчетный
А Б	кг л	35 50	40 47	28 8	42 10

Определить:

1)Индивидуальные индексы цен и физического объема товарооборота.

2)Агрегатные индексы:

1. цен;

2. физического объема товарооборота;

3. индекс товарооборота в фактических ценах,

3)Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения:

1. цен;

2. количества проданного товара;

3. за счет цен и количества вместе.

4)Показать взаимосвязь 3 исчисленных общих индексов.

Решение:

1)Определим индивидуальные индексы:

По товару А

цены на товар А выросли в отчетном году на 50%;

объем продаж по товару А увеличился на 14,3%.

По товару Б

цены на товар Б выросли в отчетном периоде на 25%;

товара Б было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 6% меньше.

2)а)Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров, примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость каждого товара:

- в отчетном периоде в ценах базисного периода и произведения сложим:

Уq₁p₀ = 40 · 28 + 47,8 = 1496 (тыс. руб.),

-в базисном периоде в ценах базисного периода и произведения сложим:

Уq₀p₀ = 35 · 28 + 50 · 8 = 1380 (тыс. руб.).

Отношение стоимости товаров, проданных в отчетном периоде к стоимости товаров, проданных в базисном периоде дает агрегатный индекс физического объема товарооборота:

то есть объем продаж товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом увеличился в целом на 8,4%.

Разность между числителем и знаменателем индекса физического объема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменных ценах:

?pq(q) = Уq₁p₀ - Уq₀p₀ = 1496 - 1380 = 116 (тыс.руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде за счет увеличения количества проданного товара на 8,4% составил 116 тыс. руб.

б)Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим образом:

В целом цены на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом выросли на 43,7%.

Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:

?pq (p) = Уp₁q₁ - Уp₀q₁ = 2150 - 1496 = 654 (тыс. руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 654 тыс. рублей за счет увеличения цен на 43,7%.

в)Чтобы определить изменение товарооборота в фактических ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:



Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 55,8%.

Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:

?pq = Уp₁q₁ - Уp₀q₀ = 2150 - 1380 = 770 (тыс. руб.).

Индексный метод широко применяется для анализа влияния отдельных факторов на динамику изучаемого явления. Например, на динамику товарооборота в фактических ценах оказывает влияние как изменение цен на товары, так и изменение количества проданных товаров.

Связь между изменениями объема товарооборота, количеством продажи товаров и уровнем их цен выражается в системе взаимосвязанных индексов:



Произведение двух индексов (I_p · I_q) дает нам показатель динамики товарооборота в фактических ценах (I_pq), то есть за счет роста цен на 43,7% и увеличения объема продаж на 8,4%, товарооборот увеличился в отчетном году на 55,8%.

Если посмотреть в абсолютной сумме увеличения товарооборота, то очевидно, что за счет роста цен товарооборот увеличился на 654 тыс. рублей, за счет увеличения объема продаж на 116 тыс. руб., а в целом за счет цен и количеств на 770 тыс. рублей.

Путем преобразования агрегатных индексов получают средние из индивидуальных. При исчислении средних индексов могут быть использованы только две формы средних: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Например, рассмотрим, как производится преобразование агрегатного индекса физического объема товарооборота в индекс среднеарифметический.

Исходной формой возьмем агрегатный индекс физического объема товарооборота

Для преобразования агрегатного индекса в индекс среднеарифметический воспользуемся индивидуальным индексом физического объема товарооборота

из этой формулы q₁ = i_q q₀, подставив .значение q₁ в формулу агрегатного индекса, получим:

В таком виде индекс физического объема товарооборота выступает как средняя арифметическая величина из индивидуальных индексов, взвешенная по стоимости продукции базисного периода в измененных базисных ценах. Причем только при этой системе весов средний арифметический индекс физического объема товарооборота будет тождественен агрегатному индексу физического объема товарооборота и даст тот же количественный результат.

Пример 2. По данным примера 1.

Таблица

Товар	Стоимость товара в базисном периоде, тыс. руб.	Индивидуальный индекс физического объема, т/об
А Б	980 400	1,143 0,94

Определить общий индекс физического объема товарооборота.

Решение:



то есть получили тот же количественный результат, что и у агрегатного индекса.

Если для расчета aгрегатного индекса физического объема товарооборота необходимо иметь данные о количестве продукции, проданной в отчетном и базовом периодах, и данные о ценах базисного периода, то для расчета среднеарифметического индекса физического объема товарооборота необходимо иметь данные об индивидуальных индексах объема и данные о стоимости продукции базисного периода.

Агрегатный индекс может быть преобразован не только в индекс среднеарифметический, но и в индекс среднегармонический.

Рассмотрим на примере индекса цен. Исходная форма агрегатного индекса цен:

Для преобразования воспользуемся индивидуальным индексом цен



Подставив значение р₀ в формулу агрегатного индекса цен, получим:

В таком виде индекс цен выступает как средняя гармоническая величина из индивидуальных индексов, взвешенная по стоимости продукции отчетного периода. Причем только при такой системе весов среднегармонический индекс цен будет тождественен агрегатному и даст тот же количественный результат.

Пример 3. По данным примера 1.

Таблица

Товар	Стоимость товара в отчетном периоде, тыс. руб.	Индивидуальный индекс цен
А Б	1680 470	1,5 1,25

Определить общий индекс цен.

Решение: Воспользуемся среднегармоническим индексом цен:



Получим тот же количественный результат, что и при расчете агрегатного индекса цен.

Если для расчета агрегатного индекса цен необходимы данные о ценах отчетного и базисного периодов, данные о количестве проданной продукции в отчетном периоде, то для расчета среднегармонического индекса цен нужны данные об индивидуальных индексах цен и достаточно иметь сведения о фактическом объеме товарооборота за отчетный период.

Индексный метод широко применяется также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (осередняемого) показателя.

Индекс переменного состава для любых качественных показателей имеет следующий вид:

Величина этого индекса характеризует изменение средневзвешенной величины за счет влияния двух факторов:

1)изменения осередняемого показателя у отдельных единиц совокупности;

2)изменения структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава представляет собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (при постоянной структуре). В общем виде он может быть записан следующим образом:

Для расчета индекса постоянного состава можно использовать агрегатную форму индекса:



Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя у отдельных единиц совокупности.

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя и рассчитывается по формуле:

Под структурными изменениями понимается изменение удельного веса отдельных групп единиц совокупности в общей их численности.

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики среднего уровня качественного показателя имеет вид:

Пример 4. Динамика себестоимости и объема производства продукции характеризуется следующими данными:

Таблица

На основании имеющихся данных вычислите:

1. индекс себестоимости переменного состава;

2. индекс себестоимости постоянного состава;

3. индекс изменения структуры.

Покажите взаимосвязь трех исчисленных индексов.

Решение:

1.Индекс себестоимости переменного состава определим по следующей формуле:

Средняя себестоимость единицы продукции по двум заводам возросла на 12,9%.

2.Индекс постоянного состава определим по агрегатному индексу себестоимости:



Это означает, что в среднем по двум заводам себестоимость единицы повысилась на 13,4%.

3.Индекс структурных сдвигов определим по формуле:

Средняя себестоимость единицы по двум заводам снизилась на 0,4% за счет изменения удельного веса на отдельном заводе в общем выпуске продукции.

4.Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов:

I_z = I_z · I_стр или 1,129 = 1,134 · 0,996.

Общий вывод; Если бы происшедшие изменения себестоимости продукции не сопровождались перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции по двум заводам выросла бы на 13,4%. Изменение структуры выпуска продукции в общем объеме вызвало снижение себестоимости на 0,4%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю себестоимость продукции по двум заводам на 12,9%.

С точки зрения методологии расчета индексы бывают цепные и базисные, которые в свою очередь могут быть с постоянными и переменными весами.

Цепные индексы получают путем сопоставления показателя рассматриваемого периода с показателем предшествующего периода.

Например: Цепные агрегатные индексы физического объема продукции с постоянными весами:

Цепные агрегатные индексы физического объема продукции с переменными весами:

Цепные агрегатные индексы цен с постоянными весами:

Цепные агрегатные индексы цен с переменными весами:

Базисные индексы получают сравнением показателя рассматриваемого периода с показателем какого-нибудь одного периода, принятого за базу сравнения.

Например: Базисные агрегатные индексы физического объема с постоянными весами:

Базисные агрегатные индексы физического объема с переменными весами:



Базисные агрегатные индексы цен с постоянными весами:

Базисные агрегатные индексы цен с переменными весами:

Между цепными и базисными индексами, построенными на основе постоянных весов, существует взаимосвязь, то есть от цепных индексов можно перейти к базисным и наоборот, пользуясь двумя правилами:

1)произведение цепных индексов равно конечному базисному.

Например. Рассмотрим на примере общего индекса цен:

2)частное от деления двух смежных базисных индексов равно промежуточному цепному.

Например: Рассмотрим на примере общего индекса физического объема продукции:

9. Выборочное наблюдение

статистический колебание выборочный наблюдение

Наиболее совершенным и научно обоснованным способом не сплошного наблюдения является выборочное наблюдение, получившее в настоящее время широкое применение в работе органов Государственной статистики, научно-исследовательских институтов, предприятий. Его использование позволяет лучше организовать наблюдение, обеспечивает быстроту проведения, экономию труда и средств на получение и обработку информации, а иногда является единственно возможным.

Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их части, отобранной в случайном порядке.

То есть обследованию подвергается только часть единиц совокупности, и данные, полученные на основе отобранной части, являются характерными для всей совокупности.

Основное требование выборочного метода заключается в том, чтобы обеспечить всем единицам совокупности равную возможность быть отобранными для проведения выборочного наблюдения. Выборочное наблюдение дает возможность, не прибегая к сплошному обследованию, получить обобщающие показатели, которые правильно отражают характеристики всей совокупности единиц.

Вся совокупность единиц, из которой производится отбор, принято называть генеральной совокупностью. Численность генеральной совокупности обозначается "N".

Совокупность отобранных единиц из генеральной совокупности для проведения выборочного наблюдения называется выборочной совокупностью. Численность выборочной совокупности обозначается "л".

При выборочном наблюдении дело имеют с двумя категориями обобщающих показателей: относительными и средними величинами.

Если необходимо дать характеристику совокупности по атрибутивному признаку, то используют относительные величины, определяют долю тех единиц (их удельный вес), которые обладают интересующим признаком.

Различают:

- генеральную долю P =

где N- число всех случаев;

М- число случаев, благоприятствующих данному событию;

- выборочную долю W =

где m - число единиц в выборочной совокупности, обладающих изучаемым признаком;

п - число единиц выборочной совокупности.

Задача выборочного метода наблюдения состоит в том, чтобы на основе выборочной доли дать правильное представление о доле в генеральной совокупности.

Если необходимо дать характеристику совокупности по количественному признаку, то используют средние величины, показатели, характеризующие среднее значение варьирующего признака.

Среднее значение варьирующего признака во всей совокупности (в генеральной совокупности) называется генеральной средней (x).

Среднее значение из единиц, которые подверглись выборочному наблюдению, называется выборочной средней (х ).

В этом случае задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы на основе выборочной средней дать правильное представление о средней в генеральной совокупности.

Так как обследованию подвергается не вся совокупность единиц, а только их часть, то заранее можно сказать, что показатели выборочной совокупности никогда не будут совпадать с показателями, характеризующими всю совокупность. То есть генеральная доля или генеральная средняя всегда будут отличаться от выборочной доли или выборочной средней на какую-то величину. В данном случае нельзя говорить о том, чтобы добиться абсолютного совпадения этих показателей, речь идет о том, чтобы узнать возможные пределы отклонений показателей выборочной совокупности от показателей генеральной совокупности и условия, от которых зависит величина этих отклонений.

Возможные пределы отклонений выборочной доли и выборочной средней от доли и средней в генеральной совокупности носят название ошибки выборочного наблюдения. Ошибки бывают двух видов: тенденциозные, случайные.

Тенденциозные ошибки - когда преднамеренно отбирают лучшие или худшие единицы совокупности.

Случайные ошибки - когда производят случайный отбор единиц совокупности.

Величина средней ошибки выборочного наблюдения может быть рассчитана:

- для количественно изменяющегося признака (ошибки для средней величины):

- для качественно изменяющегося признака:

- средняя ошибка для генеральной доли

- средняя ошибка для выборочной доли.

Выборочное наблюдение может быть повторным и бесповторным. При бесповторном способе отбора для уточнения ошибки выборки в формулу ошибки вводится дополнительный множитель

доля единиц выборочной совокупности в генеральной совокупности. При бесповторном способе отбора средняя ошибки будет иметь вид:

средняя ошибки для средней величины при бесповторном способе отбора;

средняя ошибки для генеральной доли при бесповторном способе отбора;

средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора.

В практике бывает необходимо определить не только величину ошибки, но и пределы, за которые она не должна выходить.

Пределы, за которые не выйдет величина конкретной ошибки выборочного наблюдения, можно установить не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности.

Доказано, что генеральные характеристики не отклоняются от выборочных

x = xЮ ± м p = w ± м

на величину большую, чем величина ошибки выборочного наблюдения (ц,), и всегда имеют равную вероятность 0,683. Т.е. можно утверждать, что из 1000 случаев в 683 случаях выборочная средняя или выборочная доля будут отличаться от генеральной средней или генеральной доли на величину средней ошибки выборочного наблюдения (м), а в 317 случаях может отличаться больше, чем на 1м.

Может быть:

х = хЮ ± 2м p = w ± 2м

В этом случае степень вероятности повышается до 0,954.

При x = w ± 3м p = w ± 3м

степень вероятности повышается до 0,997.

Ошибка выборочного наблюдения, исчисленная с заданной степенью вероятности, называется предельной ошибкой выборки (?):

? = м · t,

где t - коэффициент доверия (кратности).

Следовательно, величина предельной ошибки выборочного наблюдения зависит от величины средней ошибки и коэффициента доверия, а коэффициент доверия в свою очередь зависит от степени вероятности, с которой проводится выборочное наблюдение.

В зависимости от принятой вероятности определяется значение коэффициента доверия (или кратности) (t) по удвоенной нормированной функции Лапласа:

где Ф (t) - интеграл Лапласа (см. Приложение 2).

Формулы предельной ошибки выборочного наблюдения можно записать так:

* для количественно изменяющегося признака при бесповторном способе отбора

* для качественно изменяющегося признака при бесповторном способе отбора

Определение пределов генеральных характеристик с заданной степенью вероятности на основе показателей, полученных по данным выборки, можно выразить следующим образом:

* доверительные интервалы для средней

х = хЮ ± ?_x xЮ - ?_x ? x ? xЮ + ?_x;

* доверительные интервалы для генеральной доли

р = w ± ?_w w - ?_w ? р ? w + ?_w.

Пример 1. Для определения качества партии товара 3% от всего количества изделий были подвергнуты выборочному обследованию. Из 800 проверенных изделий 200 были нестандартными. Определить с вероятностью 0,954 долю нестандартных изделий во всей партии.

Решение: По условию задачи дано:

Определим предельную ошибку выборочного наблюдения:

Доверительные интервалы для доли будут равны:

p = w · ?_w р = 25% ± 3%, тогда 25% - 3% ? р ? 25% + 3%.

Доля нестандартных изделий во всей партии будет находиться в пределах от 22 до 28% при вероятности 0,954.

Пример 2. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 10%-ная механическая выборка, в которую попало 200 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом - 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находиться средний срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности.

Решение. Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах:

xЮ - ?_x ?x ? xЮ + ?_x.

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах от 28 дней до 32 дней.

10. Статистические приемы изучения взаимосвязей

Все явления общественной жизни сложны и многообразны, они формируются под действием многочисленных и взаимосвязанных факторов.

В определенных связях и отношениях находятся и статистические показатели. Причем одни показатели статистики выступают как признаки причины, другие - как признаки следствия. Задача анализа заключается в том, чтобы выявить эти связи, а если можно, то измерить тесноту зависимости признака следствия от признака фактора.

Студенту следует усвоить, какие же используются виды взаимосвязей и статистические приемы исследования.

Связи, существующие между статистическими показателями многообразны и различны по характеру. Чтобы их выявить и измерить, применяются различные статистические приемы исследования:

1.Метод группировок - с помощью которого изучают факторные связи. При этом единицы совокупности разбивают на группы по значению признака фактора. В каждой группе исчисляется среднее значение признака фактора и результативного признака. Следствие - между факторным и результативным признаками существует зависимость.

Например, в годовых отчетах сахарных заводов содержатся данные о размерах производственных фондов и среднесуточной переработке сахарной свеклы. Сравнение этих данных обнаруживает, что между размером основных производственных фондов и среднесуточной переработкой сахарной свеклы у отдельных заводов имеют место различные соотношения. В одних случаях среднесуточная переработка сырья возрастает с увеличением производственных фондов, в других случаях имеет место обратное соотношение. В ряде случаев заводы имеют почти одинаковые по размерам производственные фонды, но перерабатывают далеко не одинаковое количество сахарной свеклы в сутки.

Чтобы охарактеризовать зависимость среднесуточной переработки сахарной свеклы от размера стоимости основных производственных фондов, наличие которой теоретически бесспорно, произведем группировку 245 заводов по величине основных производственных фондов (табл. ЮЛ.).

Таблица 10,1. Зависимость среднесуточной переработки сахарной свеклы от размера основных производственных фондовp

Группы заводов по размеру осн. произв. фондов, млн. руб.	Число заводов	Переработано сахарной свеклы, тыс, т	Длительность работы заводов по переработке сах. свеклы, тыс. т	Среднесуточная переработка сах. свеклы, тыс. т
А	1	2	3	4
До2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 св. 10	54 98 45 28 4 6	56280 141163 103608 63364 35292 15943	6616 12951 6689 4097 2126 899	8,5 10,9 15,5 15,7 16,6 17,7
Итого	245	415650	33318	12,5

Из таблицы видно, что зависимость между среднесуточной переработкой сахарной свеклы и размером основных производственных фондов есть, и она прямая. Чем больше размер основных производственных фондов, тем больше среднесуточная переработка сахарной свеклы.

2.Индексный метод - при помощи которого изучается компонентный вид связей, когда сложное явление изменяется под влиянием входящих в него компонентов. Например, товарооборот изменяется под влиянием входящих в него компонентов - изменения цен и изменения количества проданных товаров. Для выявления этой зависимости используют систему взаимосвязанных индексов:

I_pq = I_p · I_q, 1,26 = 1,2 · 1,05,

то есть можно сказать, что товарооборот вырос на 26% за счет увеличения цен на 20% и увеличения объема продаж на 5%.

3.Балансовый метод - при помощи которого изучаются связи и пропорции между образованием ресурсов и их распределением. Балансовый метод используется для выявления взаимосвязи между отраслями народного хозяйства, между производством и реализацией продукции, для характеристики региональных связей и т.д. Балансовый метод позволяет также провести увязку и контроль взаимосвязанных статистических показателей.

Это наглядно можно видеть из следующих данных:

Таблица 10.2. Межрегиональный грузообмен, тыс. т

Эта таблица показывает межрегиональные связи по грузообороту, а также размер внутрирегионального обмена грузами, выделенный по диагонали таблицы. Так цифра 100, значащаяся против района А как по горизонтали, так и по вертикали, выражает объем грузооборота внутри этого района. Цифра 20 по строке А означает, что из региона А отправлено в район Б 20 тыс. т груза. Вместе с тем таблица показывает, что из района Б отправлено в район А 40 тыс. т груза и т.д.

Таблица дает возможность определить и общий грузообмен каждого региона со всеми остальными регионами. Если из итогов по каждой строке и каждой графе вычесть внутрирайонный грузооборот, то в итогах по строкам будет объем вывоза груза из данного региона в другие регионы, а в итогах по графам - объем ввоза в них.

Например, регион А вывозит в другие регионы всего 85 тыс. тонн грузов, а ввозит 180 тыс. т, то есть больше получает грузов, чем отправляет.

4.Корреляционный анализ взаимосвязей. Связи между явлениями могут быть полными (функциональными) и неполными (корреляционными). Для функциональной зависимости характерным является то, что изменение признака следствия целиком определяется изменением признака фактора. Например, площадь круга выражается формулой S = рR², то есть площадь круга изменяется от изменения квадрата ее радиуса.

Корреляционные связи характеризуются тем, что величина признака следствия изменяется под влиянием нескольких факторов. При этом одни факторы оказывают влияние на все единицы изучаемой совокупности, а другие - только на отдельные из них. Корреляционные связи проявляются отчетливо только в большом числе факторов, так как при этом сглаживаются индивидуальные особенности и второстепенные факторы.

Например, анализируя производительность труда на предприятии, можно видеть зависимость ее от уровня энерговооруженности труда. Но производительность труда зависит и от других факторов: от режима работы предприятия, организации снабжения, квалификации работников и т.д. Поэтому зависимость производительности труда от уровня энерговооруженности труда не может быть полной, а является корреляционной.

При корреляционном анализе связей между явлениями ставятся задачи:

Обнаружить в фактическом материале зависимость между изучаемыми показателями.

Установить форму связи.

Изменить полноту связи между изучаемыми показателями.

Для выявления корреляционных зависимостей используют метод группировок. В этом случае сравниваются не отдельные данные, а групповые средние.

Например, если мы сгруппировали банки по размеру процентной ставки и по каждой группе подсчитали сумму выданных кредитов, то увидели, что между ними существует зависимость, причем обратная, то есть с увеличением размера процентной ставки уменьшается размер суммы выданного банком кредита.

Одним из показателей корреляционной зависимости является эмпирическое корреляционное отношение (з) и коэффициент детерминации (з²):

коэффициент детерминации говорит о том, какая доля вариации признака обусловлена признаком, положенным в основу группировки.

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между групповым и результативным признаком и изменяется от 0 до +1. Чем ближе эмпирическое корреляционное отношение к 1, тем более тесная связь между изучаемыми признаками.

Пример 1. Для изучения тесноты связи между суммой выданного банком кредита (результативный признак - у) и размером процентной ставки (факторный признак - х) по данным примера 1 в теме 3 вычислить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Решение: Коэффициент детерминации определяем по формуле (см. выше).

Для расчета межгрупповой дисперсии строим расчетную таблицу.

Таблица 10.3. Расчет межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру процентной ставки	Число банков	Сумма выданных кредитов на 1 банк	уi - y0	(уi - y0)2	(yi - y0)2 n
А	1	2	3	4	5
11-14 14-17 17-20 20-23 23-26	4 6 4 3 3	26,39 19,62 13,21 6,61 2,25	11,26 4,49 -1,92 -8,52 -12,88	126,79 20,16 3,69 72,59 165,89	507,15 120,96 14,75 217,77 497,68
Итого	20	15,13	-	-	1358,31

Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле

Для расчета общей дисперсии возведем все значения "у" в квадрат.

Таблица 10.4.

Рассчитаем общую дисперсию по формуле.

Тогда коэффициент детерминации будет:

Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на 96,4% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 3,6% - прочими факторами.

Эмпирическое корреляционное отношение будет равно:

Оно показывает, что связь между суммой выданных банком кредитов и размером процентной ставки очень тесная.

Теоретическую формулу связи выбирают в виде математического уравнения. Например,

уравнения линейной связи: у_x = a₀ + а₁x;

уравнения гиперболы: у_x = а₀ + a₁

уравнения параболы 2-го порядка и т.д. y_x = а₀ + а₁х + а₂x².

Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой:

y_x = a₀ + a₁x ,

где у - индивидуальные значения результативного признака;

х - индивидуальные значения факторного признака;

a₀, a₁ - параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);

у_x - теоретическое значение результативного признака.

Найти теоретическое уравнение связи - это значит рассчитать параметры прямой линии способом наименьших квадратов, который дает систему двух нормальных уравнений:

где п - число показателей.

Теоретическое уравнение у_x = а₀ + а₁х выражает функциональную зависимость у от х. Это возможно допустить, если прочие факторы, влияющие на y, не оказывают в данном случае существенного влияния. Это бывает, когда корреляционная зависимость между у и х высокая. В этом случае параметр а₁ при х в уравнении регрессии приобретает большое практическое значение. Этот параметр, который называется коэффициентом регрессии, характеризует, в какой мере увеличивается у_x с ростом величины х.

Пример 2. Имеются выборочные данные по 5 однородным предприятиям:

Таблица

Данные			Номер предприятия
	1	2	3	4	5
Энерговооруженность труда 1 рабочего, квт.-ч.	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Выпуск готовой продукции на 1 рабочего, шт.	25	20	25	30	32

Вычислить уравнение корреляционной связи и построить график.

Решение: Предположим, что между энерговооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой:

у_x = а₀ + а₁х.

Факторным признаком является энерговооруженность труда, а результативным - выпуск готовой продукции.

Вычислим параметры прямой с помощью системы двух нормальных уравнений:

Для решения системы построим расчетную таблицу.

Таблица 10.5. Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по не сгруппированным данным

№ предприятия	Энерговооруженность труда на 1 рабочего, квт.-ч. x	Выпуск продукции на 1 рабочего, шт. y	ху	х2	yx
1 2 3 4 5	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	25 20 25 30 32	25 30 50 75 96	1,0 2,25 4,0 6,25 9,0	21,6 24,0 26,4 28,8 31,2
Итого	10,0	132	276	22,5	132

Подставив в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы 10.5, получим:

Решим систему методом исключения, то есть умножим каждый член первого уравнения на (-2), получим:

Уравнения сложим. Получили 2,5a₁ = 12, откуда

Подставим значение a₁ в первое уравнение и определим а₀:

В нашем уравнении регрессии а₁ = 4,8 показывает, что с увеличением энерговооруженности труда одного рабочего на 1 квг.-ч. выпуск готовой продукции возрастает на 4,8 штуки. Построим график корреляционной зависимости между энерговооруженностью труда одного рабочего и выпуском готовой продукции на одного рабочего. Определим все значения у_x, подставляя в уравнение все значения х, и данные занесем в таблицу 10.5.

Рис. 10.1. График корреляционной зависимости энерговооруженности труда одного рабочего и выпуском готовой продукции на одного рабочего.

Одним из важнейших этапов исследования корреляционной связи является измерение ее тесноты. Для этого применяются: линейный коэффициент корреляции и индекс корреляции.

Индекс корреляции применяется для измерения тесноты связи между признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной. Индекс корреляции можно вычислить только после того, как определена форма связи и исчислена теоретическая линия регрессии.

Индекс корреляции рассчитывается по формуле:



где у²_y

- общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию;

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих неучтенных факторов.

Индекс корреляции изменяется от 0 до 1: чем ближе индекс к 1, тем теснее связь между признаками.

Частным случаем индекса корреляции является линейный коэффициент корреляции, который применяется только при линейной форме связи:

В отличие от индекса корреляции линейный коэффициент корреляции показывает не только тесноту связи, но и направление связи (прямая или обратная) и изменяется от -1 до +1.

Пример 3. По данным примера 2 измерить тесноту связи между производительностью труда и энерговооруженностью труда линейным коэффициентом корреляции и индексом корреляции.

Решение: Для расчета линейного коэффициента корреляции построим расчетную таблицу.

Таблица 10.6. Расчет показателей для определения линейного коэффициента корреляции

№ предприятия	Энерговооруженность труда на 1 рабочего, квт.-ч. x	Выпуск готовой продукции на 1 рабочего, шт. y	ху	х2	у2
1 2 3 4 5	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	25 20 25 30 32	25 30 50 75 96	1,0 2,25 4,0 6,25 9,0	625 400 625 900 1024
Итого	10,0	132	276	22,5	3574

Подставим данные таблицы в формулу линейного коэффициента корреляции:

Связь между энерговооруженностью труда и производительностью труда довольно-таки тесная.

Для расчета индекса корреляции необходимо предварительно вычислить общую и остаточную дисперсии, для чего построим расчетную таблицу.

Таблица 10.7. Расчет показателей для вычисления общей и остаточной дисперсий

№ предприятия	Энерговооруж. труда 1 раб., квт.-ч. x	Выпуск гот. продукции на 1 раб., шт. y	у - у	(у - у)2	yx	у - уx	(у - уx)2
А	1	2	3	4	5	6	7
1 2 3 4 5	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	25 20 25 30 32	-1,4 -6,4 -1,4 3,6 5,6	1,96 40,96 1,96 12,96 31,36	21,6 24,0 26,4 28,8 31,2	3,4 -4,0 -1,4 1,2 0,8	11,56 16,0 1,96 1,44 0,64
Итого	10,0	132	-	89,2	132	-	31,6

Рассчитаем общую дисперсию:

Рассчитаем остаточную дисперсию:

Теперь рассчитаем индекс корреляции:

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между производительностью труда и энерговооруженностью труда. Так как r = R, то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Подведем оценку адекватности регрессионной модели y_x = 16,8 + 4,8x, выражающей зависимость между производительностью труда и энерговооруженностью труда, с помощью F-критерия Фишера:

где т - число параметров модели;

п - число единиц совокупности

Табличное значение Fт с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (2-1), (5-2) равно 10,13 (см. Прил. 4).

Эмпирическое значение критерия Fз сравнивается с критическим (табличным) FT с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (m - 1), (n - m). Если Fз > Fт, to уравнение регрессии признается значимым. В нашем примере Fз < Fт значит уравнение регрессии можно признать неадекватным.

Библиографический список

1. Громыко Г.Л. Теория статистики. М.: Инфра-М, 2000.

2. Гусаров В.И. Теория статистики. М.: ЮНИТИ, 2000.

3. Ефимова М.Р. Общая теория статистики / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. М.: Инфра-М, 1996.

4. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики / М.Р. Ефимова, О.И. Ганченко, Е.В. Петрова. М.: Финансы и статистика, 1999, 2002.

5. Ефимова М.Р. Статистика: Учебное пособие. М.: Инфра-М, 2000.

6. Симчера В.М. Практикум по статистике. М.: ЗАО "Финстатинформ", 1999.

7. Спирин А.А. Общая теория статистики / А.А. Спирин, О.Э. Башина. М.: Финансы и статистика, 2000,2001.

8. Харченко Л.П. Статистика: Курс лекций / Л.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г. Ионин. Новосибирск: Инфра-М, НГАЭиУ, 1998.

9. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики. М,: Финансы и статистика, 2001.

10. Шмойлова Р.А. Теория статистики. М.: Финансы и статистика, 2001.

Приложения

Приложение 1

Таблица расчета средних темпов роста







Рис.

Приложение 2

Значения интеграла вероятностей нормального закона распределения



Приложение 3

Критические значения корреляционного отношения з² и коэффициента детерминации R²

а) уровень значимости б =0,05

Приложение 4

Критические значения F-критерия

Размещено на Allbest.ru