Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе

По возможностям и методам регулирования риски бывают открытые и закрытые. Открытые риски не подлежат регулированию. Закрытые риски регулируются путём проведения политики диверсификации.

В представленной классификации ключевым критерием деления рисков является способность банка контролировать факторы их возникновения.

Риски операционной среды банк принимает на себя как регулируемая фирма, являющаяся ключевым звеном платежной системы. Они объединяют в себе те риски, которые стоят на страже интересов банка, но посредством которых над банком осуществляется контроль, а также те, которые генерируются средой деятельности коммерческого банка.

Риски управления включают в себя риск мошенничества со стороны персонала банка, риск неэффективной организации, риск неспособности руководства банка принимать твердые целесообразные решения, а также риск того, что банковская система вознаграждений не обеспечивает соответствующего стимула. То есть риски данной категории вызваны недостаточной квалификацией банковского персонала, корыстными целями, преследуемыми сотрудниками банка.

Риски, связанные с поставкой финансовых услуг, возникают в процессе предоставления банковских услуг и продуктов и подразделяются на технологический, операционный, стратегический риски и риск внедрения новой продукции.

Более подробно обратимся к финансовым рискам, так как именно эти риски требуют тщательного анализа и оценки.

Финансовые риски подразделяются на пять категорий: процентный риск, кредитный риск, риск ликвидности, валютный риск, рыночный риск. Первые три вида рисков являются ключевыми для банковской деятельности и составляют основу эффективного управления активами и пассивами банка.

Процентный риск - возможность понести убытки вследствие непредвиденных, неблагоприятных для банка изменений процентных ставок и значительного уменьшения маржи, сведения ее к нулю или к отрицательному показателю. Процентный риск возникает в случаях, когда не совпадают сроки возврата предоставленных привлеченных средств или когда ставки по активным и пассивным операциям устанавливаются различными способами (фиксированные ставки против переменных и наоборот). В последнем случае примером может служить ситуация, когда средства заимствуются на короткий срок по переменным ставкам, а кредиты выдаются на длительный срок по фиксированным ставкам в расчете на то, что переменные ставки не превысят ожидаемый уровень. Процентному риску наиболее подвержены те банки, которые регулярно практикуют игру на процентных ставках с целью извлечения спекулятивной прибыли, а также те, которые не уделяют достаточного внимания прогнозированию изменений ставок процента.

Кредитный риск - вероятность потерь в связи с несвоевременным возвратом заемщиком основного долга и процентов по нему. Кредитный риск - весьма емкое понятие, объединяющее в себе все вышерассмотренные риски (стратегический риск, риск инноваций, операционный и технологический риски, риск несбалансированной ликвидности и риск формирования ресурсной базы, процентный риск, валютный риск, рыночный риск). Выражением степени риска кредитных операций является наиболее высокая процентная ставка по операциям, имеющим кредитную природу (собственно кредиты, факторинг, учет векселей, предоставление гарантий) по сравнению с другими активами. Ставки по кредиту должны компенсировать банку стоимость предоставляемых на срок средств, риск изменения стоимости обеспечения и риск неисполнения заемщиком обязательств. Риск неисполнения заемщиком обязательств определяется большим количеством факторов, объединенным в понятие кредитоспособность клиента: юридическая правоспособность, финансовое положение, репутация клиента, качество предлагаемого обеспечения, прогноз развития фирмы, рыночный риск и так далее. Правильность оценки зависит от обоснованности выбора методики оценки, своевременного реагирования на изменение финансового состояния клиента.

Риск ликвидности - опасность потерь в случае неспособности банка покрыть свои обязательства по пассивам баланса требованиями по активам. При этом следует различать внутреннюю и внешнюю ликвидность. Внутренняя ликвидность воплощена в определенных видах быстрореализуемых активов, для которых имеется устойчивый рынок и которые являются надежным объектом помещения денег в глазах инвестора. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Введение в математическую теорию риска. - М.: МАКС-Пресс, 2000. С.194.

Валютный риск связан с неопределенностью будущего движения валютных курсов, то есть цены национальной валюты по отношению к иностранным, и выражается в том, что может произойти неблагоприятное изменение чистой банковской прибыли и/или чистой стоимости финансового посредника. Валютный риск особенно высок у тех банков, которые стремятся получить спекулятивный доход, образующийся из-за несовпадения курсов одних и тех же валют на различных валютных рынках или различия курса валюты в разные моменты времени. Валютный риск можно подразделить на курсовой риск и инфляционный риск.

Рыночный риск - тесно связан с процентным и валютным рисками. Рыночный риск означает возможные потери, непредвиденные расходы от изменения рыночной стоимости активов или пассивов, изменения степени их ликвидности. Особо подвержены такого рода риску вложения в ценные бумаги. Рыночная стоимость формируется соотношением спроса и предложения, то есть котируется. На котировку ценных бумаг могут оказать влияние и колебание нормы ссудного процента (рост процентных ставок ведет к обесценению ценных бумаг), изменение прибыльности и финансового благополучия компаний-эмитентов, инфляционное обесценение денег.

Специализация банка на определенных видах услуг оказывает существенное влияние на его профиль рисков. Например, банк, активно работающий на рынке кредитования предприятий нефинансового сектора, на межбанковском рынке, на рынке потребительского кредитования, будет подвержен в большей степени кредитным рискам, а банк, вкладывающий значительные ресурсы в фондовый рынок, - рыночному риску. Минимизировать риски с учетом воздействия внешней среды и специфики деятельности банка должна система управления рисками, наличие которой является обязательным условием успешной деятельности кредитной организации.

Целью управления рыночными рисками является поддержание принимаемого на себя Банком риска на уровне, определенном в соответствии с собственными стратегическими задачами. Приоритетным является обеспечение максимальной сохранности активов и капитала на основе уменьшения (исключения) возможных убытков и недополучения прибыли по вложениям Банка в финансовые инструменты, включая вложения в иностранную валюту и драгоценные металлы. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Обобщенные процессы риска. -- М.: МАКС-Пресс, 2000. С.173

Инструментами регулирования рыночных рисков являются:

· установление персональных лимитов открытых позиций на дилеров,

· установление лимитов по финансовым инструментам,

· установление лимитов допустимых потерь (stop-loss и stop-out) по торгуемым инструментам,

· управление дисбалансами (GAP) для удержания риска в границах общей политики Банка.

Соглашение Basel II («Международная конвергенция измерения капитала и стандартов капитала: новые подходы») является одним из наиболее актуальных нормативных актов, регулирующих банковский сектор. Его положения уже применяются в Евросоюзе, США, Канаде, Японии и Индии.

Первое соглашение (Basel Capital Accord, далее Basel I) было опубликовано Базельским комитетом по банковскому надзору в 1988 году, что существенно повлияло на развитие глобальной банковской системы. Положения Basel I легли в основу банковского регулирования и надзора практически во всем мире, включая Россию. Дальнейшее развитие эти принципы получили в соглашении Basel II.

С середины 90-х годов Базельский комитет активно занимался совершенствованием принципов регулирования. Эта работа была завершена к 2004 году, что ознаменовалось публикацией следующей итерации соглашения -- Basel II. Basel II предъявляет требования к минимальному размеру банковского капитала: организации обязаны оценивать операционные, рыночные и кредитные риски, а также резервировать капитал на их покрытие.

1.4.2 Система управления рисками

В связи с постоянным ростом влияния риска на финансовую деятельность особенно актуальной становится проблема банковского менеджмента - управления банковскими рисками, т.е. использование различных мер, позволяющих в определенной степени прогнозировать наступление рискового события в банковской деятельности и принимать меры по снижению степени данных рисков. Способы установления риска постоянно изменяются. Это связано с факторами, которые можно объединить в несколько групп:

Изменение структуры рынка, усиление конкуренции, универсализация коммерческих банков, расширение сети отделений, совершенствование структуры клиентов.

Увеличение диапазона колебаний процентных ставок, вызванных денежно-кредитной политикой Правительства, конъюнктурой и др.

Рост требований клиентов, выраженный в дифференцированном спросе на банковские услуги и связанной с ним чувствительности цен.

Рост расходов коммерческого банка.

Усиление значения и количественный рост постоянно присутствующих банковских рисков (кредитный, процентный и др.).

Снижение темпов экономического роста, имеющее значения для развития банков.

Однако, несмотря на перечисленные факторы, можно выявить основные теоретические аспекты управления банковскими рисками.

Управление банковскими рисками можно рассматривать как целенаправленное воздействие на развитие банковской деятельности и минимизацию потерь. Воздействие должно подчиняться определенным правилам и законам. Объектом управления является весь банк в целом. Субъектом управления в данном случае выступает специальная группа людей, которая посредством различных приемов и способов управленческого воздействия осуществляет целенаправленное функционирование объекта управления. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Обобщенные процессы риска. -- М.: МАКС-Пресс, 2000. С.15.

Через систему управления банковскими рисками практически осуществляются цели и задачи банковской политики. Управление банковскими рисками является важнейшим процессом механизма сознательного использования теории вероятности и рисков, на базе которых и возникает теория управления рисками. Она зависит от политики отдельно взятого банка - на микроуровне и Банка России - на макроуровне.

Управление банковскими рисками основывается на определенных принципах, основные из которых представлены на рисунке 1.

Рис 1. Принципы управления рисками

1. Осознанность принятия рисков. Банковский менеджер должен сознательно идти на риск, если он надеется получить соответствующий доход от осуществления банковской операции. Естественно, по отдельным операциям после оценки уровня риска можно принять тактику "избегания риска", однако полностью исключить риск из банковской деятельности невозможно, так как банковский риск - объективное явление, присущее большинству проводимых операций. Осознанность принятия тех или иных видов банковских рисков является важнейшим условием нейтрализации их негативных последствий в процессе управления ими.

2. Управляемость принимаемыми рисками. В состав портфеля банковских рисков должны включиться преимущественно те из них, которые поддаются нейтрализации в процессе управления независимо от их объективной или субъективной природы. Только по таким видам рисков банковский менеджер может использовать весь арсенал внутренних механизмов их нейтрализации, т.е. проявить искусство управления ими. Риски неуправляемые, например, риски форс-мажорной группы, можно только передать внешнему страховщику.

3. Независимость управления отдельными рисками. Один из важнейших постулатов теории риск-менеджмента гласит, что риски независимы друг от друга и банковские потери по одному из рисков портфеля необязательно увеличивают вероятность наступления рискового случая по другим банковским рискам. Иными словами, банковские потери по различным видам рисков независимы друг от друга и в процессе управления ими должны нейтрализоваться индивидуально.

4. Сопоставимость уровня принимаемых рисков с уровнем доходности банковских операций. Этот принцип является основополагающим в теории риск-менеджмента. Он заключается в том, что банк должен принимать в процессе осуществления своей деятельности только те виды банковских рисков, уровень которых не превышает соответствующего уровня доходности по шкале "доходность - риск". Любой вид риска, по которому уровень риска выше уровня ожидаемой доходности (с включенной в нее премией за риск) должен быть банком отвергнут (или соответственно должны быть пересмотрены размеры премии за данный риск). Соотнесение прибыльности с соображениями безопасности и ликвидности в процессе управления банковским портфелем, т.е. активами и пассивами банка и является основной задачей управления рисками. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Обобщенные процессы риска. -- М.: МАКС-Пресс, 2000. С.25.

5. Сопоставимость уровня принимаемых рисков с финансовыми возможностями банка. Ожидаемый размер потерь банка, соответствующий тому или иному уровню банковского риска, должен соответствовать той доле капитала, которая обеспечивает внутреннее страхование рисков. В противном варианте наступление рискового случая повлечет за собой потерю определенной части доходов, т.е. снизит его потенциал формирования прибыли и темпы предстоящего развития. Размер рискового капитала, включающего и соответствующие внутренние резервные фонды, должен быть определен банком заранее, и служить рубежом принятия тех видов банковских рисков, которые не могут быть переданы партнеру по операции или внешнему страховщику.

6. Экономичность управления рисками. Основу управления банковскими рисками составляет нейтрализация их негативных последствий для деятельности банка при возможном наступлении рискового случая. Вместе с тем, затраты банка по нейтрализации соответствующего банковского риска не должны превышать суммы возможных банковских потерь по нему даже при самой высокой степени вероятности наступления рискового случая.

7. Учет временного фактора в управлении рисками. Чем длиннее период осуществления банковской операции, тем шире диапазон сопутствующих ей рисков, тем меньше возможностей обеспечивать нейтрализацию их негативных банковских последствий по критерию экономичности управления рисками. При необходимости осуществления таких банковских операций банк должен обеспечить получение необходимого дополнительного уровня доходности по ней не только за счет премии за риск, но и премии за ликвидность (так как период осуществления операции представляет собой период "замороженной ликвидности" вложенного в нее капитала). Только в этом случае у банка будет сформирован необходимый потенциал для нейтрализации негативных последствий по такой операции при возможном наступлении рискового случая.

8. Учет общей стратегии банка в процессе управления рисками. Система управления банковскими рисками должна базироваться на общих критериях избранной банком стратегии (отражающей его идеологию по отношению к уровню допустимых рисков), а также банковской политики по отдельным направлениям деятельности. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Обобщенные процессы риска. -- М.: МАКС-Пресс, 2000. С.71

9. Учет возможности передачи рисков. Принятие ряда банковских рисков несопоставимо с финансовыми возможностями банка по нейтрализации их негативных последствий при вероятном наступлении рискового случая. В то же время осуществление соответствующей банковской операции может диктоваться требованиями стратегии и направленности банковской деятельности. Включение таких рисков в портфель совокупных банковских рисков допустимо лишь в том случае, если возможна частичная или полная их передача партнерам по операции или внешнему страховщику.

Формирование и реализация политики управления банковскими рисками предусматривает осуществление следующих основных процедур или этапов:

· Идентификация банковских рисков.

· Анализ рисков.

· Оценка рисков.

· Способы их предупреждения или уменьшения.

· Мониторинг и контроль за банковскими рисками.

· Оценка результатов.

На первом этапе распознавания риска выявляется, какому виду риска может быть подвержена иная банковская операция, с целью дальнейшего прогнозирования величины ущерба и принятия мер по его возмещению.

Процесс идентификации отдельных банковских рисков включает в себя следующие мероприятия:

· определение перечня внешних банковских рисков в разрезе каждого направления банковской деятельности или отдельных банковских операций;

· определение перечня внутренних банковских рисков, присущих отдельным видам деятельности или намечаемых банковских операций;

· формирование общего портфеля банковских рисков, связанных с предстоящей деятельностью банка.

В процессе решения этой задачи используется изучение документов, собеседование персонала банка с клиентами или контрагентами, получение информации от других банков, фирм и специализированных информационных служб.

Анализ рисков начинается с выявления его источников и причин, определяющих события, в которые могут вылиться риски. При этом важно определить, какие источники являются преобладающими. Необходимо также сопоставить возможные потери и выгоды. Анализ рисков может включать множество подходов, связанных с проблемами, вызванными неуверенностью в исходе операций. Этот анализ должен быть связан с пониманием того, что может случиться и что должно случиться. Анализ рисков помогает своевременно выбирать оптимальный вариант из множества альтернатив.

В условиях перехода к рыночной экономике в банковской сфере возрастает значение правильности оценки риска, который принимает на себя банк при реализации различных операций. Каждый субъект рыночных отношений действует по своим правилам, придерживаясь при этом закона. Банки в условиях нестабильной экономической ситуации в стране вынуждены учитывать все возможные действия конкурентов, клиентов, а также предвидеть изменения в законодательстве. Выбор конкретных методов оценки определяется следующими факторами:

· видом банковского риска;

· полнотой и достоверностью информационной базы, сформированной для оценки уровня вероятности различных банковских рисков.

В процессе оценки качества информационной базы проверяется:

· ее полнота для характеристики отдельных видов рисков;

· возможность построения необходимых рядов динамики (для оценки уровня рисков, проявляемых в динамике - инфляционного, валютного, процентного и т.п.) и требуемых группировок (при оценке статических видов рисков, например, кредитного);

· возможность сопоставимой оценки сумм банковских потерь в едином уровне цен;

· надежность источников информации (собственная информационная база, публикуемые статистические данные и т.п.).

Следует иметь в виду, что недостаточная или некачественная информационная база, используемая в процессе оценки уровня финансовых рисков, усиливает субъективизм такой оценки, а, следовательно, снижает эффективность всего дальнейшего процесса риск-менеджмента:

· уровнем квалификации банковских менеджеров (риск-менеджеров), осуществляющих оценку, степенью их подготовленности к использованию современного математического и статистического аппарата проведения такой оценки;

· технической и программной оснащенностью финансовых менеджеров (риск-менеджеров), возможностью использования современных компьютерных технологий проведения такой оценки;

· возможностью привлечения к оценке сложных банковских рисков квалифицированных экспертов и др.

Методы оценки риска позволяют определить величину банковских

рисков, дать им различную оценку. От правильности выбора метода оценки риска зависит правильность оценки прогнозируемых потерь.

Глава 2. Моделирование процесса управления операционным риском кредитных организаций

Основной целью применения методов количественного анализа в риск-менеджменте является построение прогнозов будущего поведения рассматриваемых объектов в некоторой стохастической ситуации с определенным уровнем достоверности. В качестве входных данных обычно выступают эмпирические наблюдения поведения данных объектов в прошлом, их взаимосвязи с другими экзогенными риск-факторами. В целях настоящего исследования рассматриваемым объектом выступают убытки кредитных организаций, причиной которых явились события операционного риска. Величина возможного убытка в стохастической ситуации до осуществления этой ситуации неизвестна и потому случайна. Таким образом, теоретико-вероятностным аналогом понятия убытка является случайная величина. Далее в работе будем рассматривать убытки от наступлений операционного риска как случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве (?, A, P). В качестве оценки будущих прогнозных значений будем понимать реализацию вероятностных моделей наступления убытков в течение некоторого будущего интервала времени с заранее заданным вероятностным интервалом. Объектами исследования являются, как индивидуальные. вероятностные распределения убытков по каждым из восьми категорий риска, так и совместное распределение агрегированных убытков, необходимое для оценки необходимой величины рискового капитала.

Перейдем к математической формулировке моделей АМА и LDA.

2.1 Математическая постановка задачи

Рассмотрим матрицу всевозможных событий операционного риска вида «направление деятельности/тип рискового события», где - число направлений деятельности, - число типов рисковых событий. Возьмём Введем следующие обозначения для убытков, произошедших в течение 1 года:

- величина и число убытков категории соответственно

- суммарная величина убытков категории ;

- агрегированная величина убытков по всем категориям ;

- математическое ожидание величины (ожидаемые убытки);

- квантиль совокупного вероятностного распределения величины уровня значимости (неожидаемые убытки): (в качестве уровня значимости Базель II устанавливает 99.9%);

- капитал на покрытие убытков категории :

(2.1)

CaR(Capital at Risk)- капитал на покрытие операционного риска всей кредитной организации:

(2.2)

Величина капитала на покрытие убытков является функцией от величины самих убытков. При предположении о наличии идеальной корреляции между убытками (метод LDA) величина AggLoss представляет сумму величин пои всем категориям . При данном подходе величина рискового капитала CaR может быть получена суммированием величин по всем категориям. Однако отказ от учета эффекта диверсификации рисков ведет к завышению реальной величины AggLoss и как следствие - завышению требуемой величины рискового капитала на покрытие операционных рисков. В отличие от страховых компаний, для которых консервативная (завышенная) оценка совокупной величины рисков страхователя ведет к увеличению премии и уменьшению принимаемого риска, кредитным организациям, напротив, выгодно в полной мере использовать эффект диверсификации для уменьшения величины страховой премии и высвобождения части рискового капитала для осуществления текущей финансовой деятельности. В целях упрощения расчетов, в рамках реализованного в работе подхода АМА были учтены корреляции между частотами возникновения убытков. Известно, что корреляции между величинами наступления событий могут быть симулированы за счет корреляций между частотами их возникновения.

Таким образом, для реализации количественных моделей АМА и LDA необходимо:

1. разработать методы масштабирования информации об убытках внешних организаций для дополнения собственной недостающей информации о понесенных убытках в зонах «хвостов» их вероятностных распределений;

2. построить вероятностную модель распределения величин наступления убытков -

3. построить вероятностную модель распределения частот наступления убытков -

4. разработать стохастический алгоритм моделирования совокупной величины убытков с заданной структурой зависимостей;

5. провести моделирование совместного многомерного распределения агрегированной величины убытков AggLoss;

6. разработать методы расчета величины капитала на покрытие операционных рисков (с учетом наличия различных страховых покрытий, структур зависимостей и мер риска), поставить и реализовать задачу поиска оптимального распределения рискового капитала между подразделениями кредитной организации;

7. разработать программный инструментарий, реализующий разработанные модели и методы комплексного управления операционным риском кредитной организации;

8. провести оценку чувствительности реализованных методов к различным возмущениям входных параметров;

9. определить предполагаемую экономическую эффективность внедрения разработанных моделей и методов, по сравнению с существующими подходами.

2.2 Моделирование величин убытков

Распределения величин убытков операционных рисков относятся к классу экстремальных. Накопленной кредитной организацией собственной статистической информации недостаточно для того чтобы оценить вид и параметры экстремальных распределений. Поэтому внутренняя информация о потерях должна быть дополнена масштабированными данными о потерях внешних кредитных организаций (внешними данными). При моделировании величин убытков использованы следующие утверждения и предположения:

Предположение 1

Выборки данных происходят из одних и тех же вероятностных распределений, но с разными порогами значимости для каждой организации.

Утверждение 1.

Параметр значимости потерь - случайная величина (минимальное значение величины потерь, начиная с которого кредитная организация предоставляет информацию) может быть достоверно оценена методами Теории Экстремальных Значений (EVT). Катилова Н.В., Сорин Э. Практика ключевых индикаторов для операционных рисков. Управление финансовыми рисками - №2, 2006. С.234

Утверждение 2.

Распределения величин операционных потерь принадлежат области притяжения семейства распределений Фреше. Таким образом, их условное превышение заданного порогового значения может быть аппроксимировано через обобщенное распределение Парето.

Мэппинг внешних данных.

Рассмотрим две независимые случайные величины . Обозначим плотность распределения условной вероятности превышений наблюдаемой случайной величины х порогового значение

(2.3)

где - плотность распределения случайной величины X;

- функция распределения вероятности случайной величины Н.

Воспользуемся следующими фактами EVT :

Определение (Maximum Domain Attraction - MDA)

Пусть H(x) - невырожденная функция распределения. Будем говорить, что функция распределения F(x) принадлежит области притяжения Н(х), если существуют последовательности

Теорема Фишера-Типпета (Об аппроксимации максимумов Н.О.Р.С.В) Сазыкин Б.В. Управление операционным риском в коммерческом банке. - М.: Вершина, 2008. С.113

Если предельное распределение максимумов независимых и одинаково распределенных случайных величин (Н.О.Р.С.В.) не вырождено для некоторой последовательности , то оно принадлежит области притяжения семейства распределений Фреше.

Теорема Балкена-де-Хана Пекандса (Об аппроксимации условных превышений Н.О.Р.С.В.) (Упрощенная формулировка) Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталёв Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. - М.: Фин. и стат., 2000. С.241.

Для некоторого фиксированного порогового значения условное распределение максимумов Н.О.Р.С.В. принадлежит области притяжения семейства распределений Фреше.

Таким образом, приведенные факты EVT и результаты исследований позволяют в дальнейшем воспользоваться Утверждением 2 (плотность распределения величин наблюдаемых внешних убытков может быть аппроксимирована распределениями семейства Фреше).

Пусть L - величина совокупного убытка, зафиксированного с порогом (=100 тысяч долларов США). - зафиксированное условное превышение ( при =1). Рассмотрим в качестве возможных распределений порогового значения нормальное и логистическое распределения.

Плотность распределения условной вероятности (2.3) превышений наблюдаемой случайной величины х порогового значение h можно переписать в следующем виде: при предположении о нормальном распределении порогового значения:

, (2.4)

при предположении о нормальном распределении порогового значения:

, (2.5)

- первоначальный момент фиксирования убытков.

Для того чтобы учесть временную стоимость денег (привести к одной

стоимости убытки, произошедшие в разные моменты времени) используем в качестве дисконтирующего множителя бескупонную кривую однолетних ставок Libor, действующих с момента наступления. Пусть убыток величины произошел в момент , и действующие однолетние ставки Libor, установленные с момента до текущего момента времени составляли , тогда приведенная стоимость (PV) убытка в текущий момент времени будет равна:

Нижняя граница условных убытков, превышающих порог и, имеет вид:

Таким образом, плотность распределения условной вероятности (2.3) будем рассматривать на полуотрезке:

Приведем краткое описание итерационного вычислительного алгоритма оценки параметров выражений 2.4, 2.5, реализованного в пакете MATLAB.

Оценка параметров.

Для некоторой фиксированной категории риска рассмотрим вектор данных вида , где - величина убытка категории , произошедшего в момент времени и превышающего начальный порог ,

Преобразуем вектор в вектор вида:, где - дисконт-фактор; - условные превышения.

Используя метод максимального правдоподобия (ММП), получаем:

Заменим и соответствующими распределениями:

(2.6)

Знаменатель формулы (2.5) представляет свертку распределений, последовательный расчет которых с вычислительной точки зрения довольно трудоемок. Для упрощения вычислений произведем расчет знаменателя отдельно в символьном виде и затем на заключительном шаге заменим символы соответствующими значениями.

Рассмотрим вектор дисконт-факторов

, не зависит от величины начального порога и .

Получим символьный вектор интегралов :

И затем подставим его в формулу (2.6):

(2.7)

2.3 Моделирование зависимых структур случайных величин. Копульные функции

В задачах моделирования сложных зависимых структур и объектов, часто возникающих в финансовой и актуарной математике, особое место занимает аппарат копульных преобразований или копулы. По сути копулы позволяют моделировать многомерные распределения из одномерных с заранее установленными параметрическими зависимостями. Остановимся более подробно на основных фактах теории копул, использованных при построении модели.

Виды зависимостей.

Определение (Коэффициент линейной корреляции Пирсона ).

Коэффициентом корреляции Пирсона двух случайных величин X, Y называется:

Рассмотрим двумерное распределение случайных величин (X, Y):

Лемма (Верхняя и нижняя границы Фреше)

Для любой двумерной функции распределения с маргинальными распределениями выполняется следующее неравенство:

Лемма (О симуляции случайных величин)

Пусть случайная величина, равномерно распределенная на [0,1]. Тогда кумулятивная функция распределения произвольной случайной величины X и совпадают:

Данная Лемма позволяет моделировать выборку из любого вероятностного распределения при помощи набора равномерно распределенных случайных величин. Генератор псевдослучайных равномерных случайных величин реализован во всех современных компьютерах. Однако, корреляция Пирсона не сохраняется при обратном преобразовании. Для того чтобы генерировать случайные выборки из произвольных многомерных вероятностных распределений с предопределенной структурой зависимостей, необходимо использовать коэффициенты корреляции, не зависящие от самих вероятностных распределений. Корреляционными мерами являются коэффициент Кендалла и ранговая корреляция Спирмена :

Рассмотрим две пары непрерывных случайных величин с маргинальными функциями распределения

Определение (Коэффициент (Kendall's tau))

Коэффициент зависимости т для пар равен:

Определение (Коэффициент RankCorr (Spearman's rho))

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена RankCorr равен:

Определение (Коэффициент предельной зависимости )

Коэффициент предельной ("хвостовой") зависимости равен:

Коэффициент предельной зависимости отражает вероятность того, что X будет «очень большой» при условии, что У- «очень большая», где «очень

Большие» понимаются в терминах эквивалентных квантитлей соответствующих вероятностных распределений.

Копульные структуры. Преобразование Холецкого

Определение (Копула (Copula)) Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учебн. Пособ.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007. С.198.

Копулой С называется совместное многомерное распределение равномерно распределенных случайных величин:

Теорема Склара

Для любой функции многомерного распределения существует единственная копула , такая что: , где - соответствующие непрерывные одномерные функции распределения.

Замечание

Условие единственности Теоремы Склара выполняется только в случае непрерывных одномерных распределений.

Остановимся более подробно на двух основных типах копул: экстремальные и эллиптических. Класс экстремальных копул включает следующие важнейшие копулы:

- независимая копула;

- нижняя граница Фреше;

- верхняя граница Фреше;

При копула называется комонотонной (comonotonic copula).

Эллиптические или неявные копулы получили наиболее широкое распространение в стохастической математике. В их основу заложены эллиптические распределения (многомерное нормальное, логнормальное, Стьюдента и др.).

Рассмотрим вектор , состоящий из одномерных стандартно-нормальных случайных величин с матрицей корреляций:



Разложим матрицу на произведение нижнетреугольной и верхнетреугольной (транспонированной) матрицы В. Для симметричных и положительно определенных матриц, какими являются корреляционные матрицы, данное преобразование - преобразование Холецкого - всегда существует и единственно. Элементы матрицы В формируются по следующей реккурентной схеме:

.

Преобразование Холецкого позволяет получить наборы зависимых стандартно-нормальных и равномерно распределенных случайных величин (с матрицей корреляций ) из набора независимых стандартно-нормальных случайных величин.

Пусть - независимые стандартно нормальные случайные величины. Тогда вектор - задает стандартно-нормальных случайных величин с корреляционной матрицей .

Вектор задает набор из равномерно распределенных случайных величин со структурой зависимости, определяемой матрицей .

Гауссова копула:

где - кумулятивная функция d -мерного нормального распределения;

- корреляционная матрица.

В случае нулевой корреляционной матрицы, Гауссова копула вырождается в независимую.

Коэффициент Гауссовой копулы:

Коэффициент Гауссовой копулы:

t - копула Стьюдента:

,

где - кумулятивная функция

d -мерного распределения Стьюдента с v -

степенями свободы;

- корреляционная матрица.

Коэффициент t - копулы Стьюдента:

Коэффициент предельной зависимости является однопараметрическим (параметр - число степеней свободы) и равен:

Перейдем к описанию алгоритма стохастического моделирования зависимых случайных величин при помощи аппарата копульных функций.

Алгоритм стохастического моделирования зависимых случайных величин.

Алгоритм генерирования двух зависимых случайных процессов с известными параметрами распределения и предопределенной структурой зависимости или RankCorr :

1. привести корреляцию Кендалла к линейной корреляции Пирсона;

2. выполнить преобразование Холецкого корреляционной матрицы к нижнетреугольному виду:

3. генерировать пару -независимых стандартно-нормальных случайных величин ;

4. получить пару зависимых стандартно-нормальных случайных величин с параметром корреляции ;

5. получить пару зависимых равномерно распределенных случайных величин с параметром корреляции ;

6. выполнить обратное преобразование , получить искомую пару (X,Y) - выборку из зависимых случайных процессов с параметром корреляции ;

7. повторить данный алгоритм, начиная с п.З раз, для того чтобы получить искомую выборку объемом : .

В современных специализированных программных продуктах часть приведенных преобразований интегрированы в пакет расчета копул. В частности, в пакете MATLAB, использованного в работе, п.2-5 данного алгоритма объединены в рамках одной копульной функции:

U = copulamd('Gaussian',,к), позволяющей сразу получать пар зависимых равномерно распределенных на [0,1] случайных величин с корреляционной матрицей .

Листинг программы приведен в Приложении «Листинг MATLAB».

2.4 Моделирование частот наступления убытков

В соответствии с исследованиями наиболее распространенными распределениями, применяемыми для моделирования частот наступления событий операционного риска, являются отрицательное биномиальное и смеси распределений Пуассона. В рамках реализации модели LDA учтены рекомендованные Базель II упрощения касательно наличия идеальной корреляции между убытками.

Калибровка распределений. Класс (а,Ь,0)

1. Распределение Пуассона: Сумма независимых Пуассоновых случайных величин (ссоответствующими параметрами распределения также распределена по закону Пуассона с параметром .

2. Отрицательное биномиальное распределение.

Благодаря наличию второго параметра, форма отрицательного биномиального распределения является более гибкой, что позволяет проще калибровать ее к текущему профилю операционных потерь. Оценки параметров распределений на основании метода максимального правдоподобия для распределений Пуассона и отрицательного биномиального имеют следующий вид:

Класс (a,b,0)

Определение

Дискретное распределение принадлежит классу , если существуют такие :

(2.8)

К классу относятся следующие распределения (Таблица 1):

Таблица 1. Распределения принадлежащие классу

Распределение
Пуассона
Отрицательное биномиальное
Биномиальное
Геометрическое

Рекурсивную формулу 2.8 удобно использовать для подбора наиболее подходящего распределения частоты наступления событий, на основе исторических данных:

2.5 Стохастическая модель Монте-Карло аппроксимации случайной суммы

Рассмотрим совокупную величину агрегированных убытков AggLoss, произошедших за один год:

Предполагается, что по каждой категории риска величины убытков распределены одинаково и попарно независимы для различных категорий . Частоты убытков распределены одинаково и имеют структуру зависимости, определяемую параметрами или RankCorr.

Пусть число итераций, требуемых для сходимости стохастического процесса, с точностью . Критерию выбора числа итераций и исследованию сходимости и устойчивости реализованной стохастической модели посвящен раздел 3.3 настоящего исследования.

На первом этапе необходимо смоделировать М коррелированных векторов случайных частот наступления убытков (frequency) с параметрами или RankCorr:



1. Приведем корреляцию Кендалла или Спирмена к линейной корреляции Пирсона для рассматриваемых к случайных процессов:

;

2. При помощи копулы С для корреляционной матрицы сгенерируем М векторов равномерно распределенных случайных величин с корреляционными параметрами или RankCorr.

Использованы следующие функции пакета MATLAB:

- Гауссова копула.

- t-копула Стьюдента с v-степенями свободы.

3. Выполним обратное преобразование и получим искомый набор зависимых векторов частот с заранее заданными параметрами корреляции или RankCorr.

На втором этапе для каждой категории риска на каждой смоделированной траектории частот возникновения убытков t необходимо получить распределение случайной суммы убытков

1. Проведем дискретизацию распределений величин убытков методом взвешенного среднего, получим векторов вида: - число точек дискретизации.

Рассмотрим t - шаг моделирования и категорию риска . Вектор частот убытков на t - шаге равен Распределение совокупной величины убытка по категории риска равно: .

2. Воспользуемся быстрым преобразованием Фурье для оценки свертки функций распределений .

· Применим FFT (быстрое преобразование Фурье) к вектору - дискретизации функции распределения : .

· Возведем вектор в степень : .

· Применим обратное преобразование Фурье к вектору : .

В соответствие с результатами, полученными ранее, вектор g задает искомое дискретное распределение случайной суммы для категории риска и количества произошедших событий (на t-траектории).

3. Выполним п. 2 для каждой категории и для всех точек траектории частот:

В результате выполнения п.З будут получены М векторов размерности [Dxk]:

задающих дискретное распределение случайных сумм для каждой точки траектории частот наступления убытков. Полученный набор векторов использован для расчета ожидаемой величины совокупного агрегированного убытка объема риска (показателей - VaR, ES) и величины рискового капитала (CaR).

2.6 Расчет величины рискового капитала

Определение

Мерой риска на вероятностном пространстве называется отображение , где G - множество ограниченных функций над (множество элементарных событий), R - вещественная прямая.

В исследованиях, посвященных теории риска, широкое распространение получил класс когерентных мер риска, как класс функций наиболее адекватно описывающих процессы финансового мира, в т.ч. эффект диверсификации рисков (свойство субаддитивности).

Определение

Мера риска называется когерентной, если она удовлетворяет следующим свойствам:

· Суббаддитвность:

· Монотонность:

· Положительная однородность:

Замечание

В определении когерентной меры риска присутствует условие инвариантности к сдвигу: , где г - некоторый безрисковый инструмент. В настоящей работе это требование опущено, т.к. является несущественным для получения основных результатов и, более того, имеет нежелательные следствия. Например, из него следует, что когерентная мера риска не может быть суммой когерентных мер. Пусть .

Тогда:



Определение

Для заданного уровня достоверности мерой риска VaR называется:

Замечание

В общем случае мера VaR не является когерентной (не выполняется свойство субаддитивности). Рассмотрим следующий пример, демонстрирующий нарушение свойств когерентности, для меры VaR.

Пусть и - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность вероятности 0.9 на отрезке [0, 1] и 0.05 на отрезке [-2, 0].

При

Одновременно:

Замечание

Если квантили распределений вычисляются в предположении о совместно нормальном распределении, то мера риска VaR является когерентной (условия субаддитивности, монотонности, положительной однородности и инвариантности к сдвигу выполняются).

Определение (Expected ShortFall - ES)

Для заданного уровня достоверности и меры риска VaR, определенной в соответствии с вышестоящим замечанием, мерой риска ES (Expected Shortfall) называется условное математическое ожидание:

Мера риска ES - является когерентной. В главе 3 приводится сравнения величин CaR, полученных с помощью ES и VaR для моделей АМА и LDA

Когерентное распределение рискового капитала. Вектор Лумана-Шепли.

Пусть, рассчитанная в соответствии с методикой LDA величина рискового капитала, на покрытие операционного риска i-ro подразделения или i-ro направления деятельности составляет: где - одна из рассмотренных выше мер риска. Меньшиков И.С., Шелагин Д.А. Кооперативное распределение рискового капитала. - М.: Вычислительный центр РАН, 2001.С.201

В соответствии с рекомендованной Базель II методикой LDA, суммарная величина капитала на покрытие операционного риска, рассчитывается как сумма капиталов по всем подразделениям:

Как видно из результатов сравнения величин капиталов, приведенных в главе 3, такой подход ведет к существенному завышению величины рискового капитала вследствие отказа от учета корреляции между рисками. Рассмотрим модификацию данного подхода, позволяющую учесть эффект диверсификации рисков на этапе их суммирования, без применения усложненных подходов, использованных в АМА.

Зададим принцип распределения капитала между подразделениями (подпортфелями) организации функцией П:

где (2.9)

Определение (компонентый VaR)

Распределением капитала с учетом корреляции рисков подразделений (компонентый VaR) называется:

Однако, как было показано ранее мера VaR не отвечает условию субаддитивности, поэтому применение компонентного VaR также является нежелательным. Определим критерием эффективного распределения рискового капитала выполнение условий когерентности.

Определение (Когерентное распределение капитала). Принцип распределения П капитала когерентен, если выполнены следующие свойства:

1. - свойство неотделимости.

2. Если при объединении произвольных подмножеств портфели и вносят одинаковый вклад в рисковый капитал, то . (свойство симметричности).

Распределение рискового капитала есть не что иное, как распределение затрат между несколькими подразделениями кредитной организации (игроками) с определенными ограничениями на вид меры риска (функции затрат) и некоторыми граничными условиями, поэтому кооперативная теория игр как нельзя лучше подходит для постановки задачи и получения конечных результатов. Перейдем к формулировке задачи когерентного распределения рискового капитала в терминах кооперативной теории игр

Необходимые факты кооперативной теории игр Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и моделей математической экономики. - М.: МАКС Пресс, 2005.С.178.

Пусть - конечное множество подразделений (подпортфелей). В рамках данного раздела, множество подразделений будем считать ограниченным и неделимым. Функция затрат c(S) определена на каждом подмножестве (называемом также коалицией) следующим образом:

Для когерентной меры риска функция затрат является субаддитивной:

Определение (Ядро игры)

Ядром игры называется множество распределений удовлетворяющих двум следующим свойствам:

1. - (условие эффективности);

2. - (принцип отделения).

Второе свойство означает, что коалиция никогда не заплатит цену, превосходящую те затраты, которые она понесет, если захочет обслуживаться самостоятельно.

На вопрос наличия непустого ядра кооперативной игры отвечает критерий О.Н.Бондаревой, а также более сильное достаточное условие - условие субаддитвности игры:. На основании теоремы О.Н.Бондаревой известно, что в игре с функцией затрат, определяемой когерентной мерой риска, ядро не пусто.

Встает вопрос: каким образом из ядра выбрать одно единственное распределение затрат, которое и будет искомым? Объект, ставящий в соответствие игре одно единственное распределение, называется значением или оператором значения.

Определение (Оператор значения игры)

Оператор значения есть отображение , ставящее в соответствие каждой игре (N, с) распределение величины c(N), такое что:

.

В теории игр на множество операторов значения накладывают три

следующих требования:

1. Симметричность: оператор значения симметричен, если он коммутирует с перестановкой агентов, т.е. - биекции множества N в себя и выполняется:

2. Аддитивность: ;

3. Аксиома «дурака»:

Теорема (Л. Шепли)

Существует только один оператор значения, удовлетворяющий свойствам симметричночти, аддитивности и аксиоме «дурака» - вектор Шепли:

(2.10)

Свойство аддитивности вектора Шепли дает следующий полезный результат: в случае, когда мера риска представляется суммой когерентных мер (например, рыночный плюс кредитный риск), для нахождения распределения с использованием вектора Шепли достаточно вычислить вектор Шепли для каждой из мер и затем их сложить.

Таким образом, вектор Шепли, в случае его принадлежности ядру игры, задает единственный искомый принцип распределения рискового капитала. Достаточным условием принадлежности вектора Шепли ядру кооперативной игры является вышеуказанное условие супераддитивности игры. Однако известно, что игра, определяемая когерентной мерой риска, удовлетворяет условию супераддтивности только в случае линейных мер риска. Линейность влечет отсутствие эффектов диверсификации рисков, поэтому рассматривать такие меры в задаче распределения рискового капитала нецелесообразно.

В классе кооперативных атомических игр задача когерентного распределения рискового капитала кредитной организации в общем случае решения не имеет. Было введено предположение ограниченности и неделимости множества подразделений (подпортфелей) N. Если отказаться от последнего требования (неделимости), то мы перейдем в более общий класс кооперативных игр - класс неатомических игр, для которых также существует обобщенный аналог вектора Шепли, который в свою очередь является единственным решением неатомической кооперативной игры и в, отличии от атомической игры, всегда принадлежит ее ядру.

Неатомические кооперативные игры.

Определим также как и в предыдущем разделе, конечное множество подразделений (подпортфелей). Предположим, что каждая коалиция может состоять из портфеля 1, у% портфеля 2 и т.д. Пусть компоненты вектора соответствуют возможным вкладам i-ro игрока (подразделения) в каждую коалицию.

Определение

Кооперативной неатомической игрой называется множество , где: N - конечный набор игроков, | N |= п; -алгебра над [0,1]; - функция затрат.

Функцию затрат коалиции будем определять через когерентную меру :

.

Определим оператор значения кооперативной неатомической игры в терминах задачи когерентного распределения рискового капитала К между подразделениями:

Определение

Оператор значения кооперативной неатомической игры задает принцип когерентного распределения капитала, если для него выполняются следующие 5 условий когерентности, и он принадлежит ядру игры:

1. Обобщенная инвариантность: Если для мер риска , некоторой матрицы и выполнено условие: , то ;

2. Непрерывность: отображение непрерывно в пространстве непрерывно дифференцируемых мер ;

3. Монотонность: пусть - неубывающая мера, тогда ;

4. Нечеткое ядро игры: отображение принадлежит ядру игры , если для всех выполняется:

5. Аксиома «дурака»: если -игрок - «дурак», т.е. где наборы и отличаются компонентом , , то ;

6. Оператор значения игры принадлежит ядру игры, если выполняется: , при этом . Ауман Р., Шепли Л. Значения для неатомических игр. - М. Мир, 1997.С1.9.

Теорема (Р. Ауман, Л. Шепли)

Существует единственный оператор значения кооперативной неатомической игры, удовлетворяющий пяти аксиомам когерентности и принадлежащий ядру игры - вектор Аумана-Шепли:

.

Для однородных мер риска (требование однородности меры является 3й аксиомой когерентности) вектор Аумана-Шепли удается выразить в явном виде:

Величина представляет маргинальный риск i-го подразделения (подпортфеля).

- градиент Аумана-Шепли функции затрат подразделения.

Таким образом, полученное аналитическое выражение вектора Аумана-

Шепли, является искомым принципом когерентного распределения рискового капитала кредитной организации. Величина рискового капитала определяется как: .

Известно, что маргинальный риск меры VaR представляется в виде:

Таким образом, при предположении о нормальном распределении риск-факторов принцип когерентного распределения рискового капитала

соответствует концепции компонентного VaR:

,

где и - математическое ожидание и матрица ковариации соответственно.

Глава 3. Реализация системы управления операционным риском