Основы статистики

Таким образом, средняя величина может быть вычислена по-разному. Выбор способа вычисления средней величины обусловлен:

-назначение средней

-сущностью усредняемых признаков

-характеристикой исходных данных

Средние величины подразделяются на:

-общие средние величины

-групповые (частные средние)

Средние величины имеют 2 формы:

-простую (невзвешенную)

-взвешенную

26. и 27. Средняя арифметическая простая и взвешенная. Условия её применения

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) вычисляется по след. формуле:

Х =?х / n или Х =?х / n

Х - индивидуальное значение признаков, т.е. варианты

n - количество единиц в изучаемой совокупности

Х = (Х1+Х2+Х3+…+Хn) / n

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчёт осуществляется по несгруппированным данным, т.е. когда варианты встречаются по 1 разу и имеют одинаковый вес в совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется:

Х = ?хf / ?f

f - количество единиц в данной совокупности. Частота или вес.

Х= (x1f1+x2f2+x3f3+…+xnfn) / f1+f2+f3+…+fn

Средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться несколько раз.

Таким образом при вычислении средней арифметической взвешенной варианты имеют различный вес в совокупности. Расчёт средней производится по сгруппированным данным, т.е. вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

На практике определить среднюю можно через исходное соотношение средней (ИСС). Расчёт средней производится через логическую формулу, т.е. необходимо исходить из экономического содержания исчисляемых показателей.



ИСС = суммарное значение осредняемого признака / число единиц совокупности

28. Вычисление средней арифметической по данным вариационного интервального ряда распределения

Интервальный ряд - это ряд, в котором варианты заданы в пределах «от» и «до».

При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо от интервалов к их серединам, т.е. интервальный ряд необходимо преобразовать в дискретный.

Середина (центр) интервала определяется 2-мя способами:

,

где i - величина интервала;

х0 - нижняя граница интервалов; х1 - верхняя граница интервалов

i = x1-x0

После преобразования интервального ряда в дискретный расчёты производятся по формуле средней арифметической взвешенной



29. Свойства средней арифметической и их использование для упрощения расчётов средних величин

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими её сущность, и в ряде случаев эти свойства используются при её расчёте.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака, т. е. вариант, от средней арифметической равна нулю.

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты.

3. Если все осредняемые значения, т.е. варианты, увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится на это же число.

4. Если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в несколько раз, например в i раз, то средняя арифметическая также соответственно увеличится или уменьшится в i раз.



а) б)

5. Если все частоты (f) увеличить или уменьшить, например в i раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.

При изменении частот средняя арифметическая не меняется.

Упрощения:

1. При вычислении средней можно частоты сокращать и взвешивание вариантов можно производить по сокращённым частотам.

Тогда

2. Упрощённый метод вычисления средней - это метод отсчёта от условного нуля или способ моментов.

, - момент 1-го порядка



30. Средняя гармоническая. Условия её применения

Средняя гармоническая - величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Средняя гармоническая простая (невзвешенная) вычисляется:

Х = n / ? 1/x

Средняя гармоническая простая (невзвешенная) редко применяется на практике.

Средняя гармоническая взвешенная применяется для вычисления средней такой совокупности, в которой отсутствует прямой показатель частоты, т.е. отсутствует количество единиц (f).

Она вычисляется:

Х= ?М / (?М /х)

M=xf f= M/x

X= M1+M2+M3+…+Mn / (М1/х1 + М2х2+М3х3+…+МnXn)

Если средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда неизвестен числитель, то средняя арифметическая применяется тогда, когда отсутствует знаменатель и его необходимо рассчитать

Пример: Имеются следующие данные о з/пл работников фирмы за апрель месяц:

№ группы	з/пл, тыс руб	Фонд з/пл, тыс руб
1	17,0	340,0
2	18,0	900,0
3	19,0	570,0
	х	М



Определить в среднем, какова з/пл работников фирмы за апрель.

Ср з/пл 1 раб = фонд з/пл / число работников =

(фонд з/пл) / (фонд з/пл / з/пл 1 работника)

Рсчёты произведём по формуле средней гармонической взвешенной:

Х= ?М / (?М /х) = M1+M2+M3+…+Mn / (М1/х1 + М2х2+М3х3+…+МnXn) = 340,0/17,0 + 900,0/ 18,0 + 570,0/19,0 = 1810,0/100 = 18,1

Х = 18,1 тыс руб

31. Средние из относительных величин. Средняя из групповых или частных средних

С помощью средних величин обобщаются не только абсолютные, но и относительные величины, т.е. когда варианты заданы в процентах. Способ их расчета зависит от того, какие относительные величины обобщаются, какие известны.

Пример относительных величин: процент выполнения плана, удельный вес в процентах продукции высшего сорта.

При вычислении средних из относительных величин необходимо исходить из экономического содержания исчисляемых показателей. Средняя из относительных величин всегда остается относительной величиной, т.е. результат всегда получается в %.

При вычислении таких средних применяются только 2 формулы:

X=(?x*f)/ ?f

X=?M/(?M/x)



Взвешенная средняя из частных или групповых средних равна общей средней:

Xобщ=(?xi*fi)/ ?fi

i-это номер группы 1,2,3…

xi- это индивидуальное значение признаков, т.е. варианты в каждой отдельной части

fi- это численность каждой отдельной взятой группы

Xi - это Средняя групповая или частная,т.е средняя,вычисленная для каждой группы отдельно.

Средняя групповая или частная вычисляется по формуле:

Xi=(?xi*fi)/ ?fi, где i - номер группы.

32. и 33. Структурные характеристики в.р. распределения: мода и медиана. Определение моды и медианы в вариационном дискретном ряду. Свойство минимальности медианы

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой или это вариант признака, которому соответствует наибольшая частота.

Медиана - возможные значения признака, которое делит ранжированную совокупность на 2 равные части.

Мода и медиана в дискретных рядах по несгруппированным данным определяется следующим образом:

Пр . 9 торговых фирм реализуют товар А по следующим торговым ценам (тыс.руб):



Мо= 4,3 тыс.рублей

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

Если ряд нечетный, то медианой является срединное (центральное) значение

Ме =4,4 тыс. рублей

Вывод: большинство фирм, как показывает мода, реализуют товар А по 4,3 тыс.рублей. медиана показывает, что половина фирм реализует товар А по цене меньше 4,4 тыс.рублей, а вторая половина фирм реализует товар А по цене выше 4,4 тыс. рублей.

Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных(серединных вариант).

Пр: рост студентов (см)

160 168 170 175 178 180 182 185

Ме =(175+178)/2 = 176,5 см

Вывод: половина студентов имеют рост ниже, чем 176,5 см, а другая половина студентов имеют рост больше 176, 5 см.

Если дискретный ряд имеет частоты, то определяется предварительно порядковый номер медианы как ? суммы всех частот (№ Ме= 1/2) . затем по накоплены3м частотам определяется вариант признака, соответствующий этому номеру, который и будет являться медианой.

Ме обладает так называемым минимальным свойством. Это главное свойство Ме: сумма абсолютных отклонение вариант от медианы меньше, чем от любой другой величины, в том числе и от средней арифметической.



Это свойство очень часто используется на практике. Например в строительстве, при проектировке расположения автобусных, трмвайных остановок; при строительстве школ, больниц в микрорайонах.

34. Расчет моды и медианы в вариационном интервальном ряду распределения

Мода и медиана в интервальных рядах определяются расчетным путем, то есть по следующим формулам:

Эту формулу предложил Орженцкий Р.М.

- нижняя граница модального интервала

I - величина интервала

I= -

- верхняя граница модального интервала

- частота модального интервала

- частота интервала, предшествующего модальному

- частота интервала, посдедующего за модальным



- нижняя граница медианного интервала

I - величина интервального интервала

I= -

- верхняя граница медианного интервала

? - порядковый номер медианы

- частота медианного интервала

- накопленные частоты(сумма частот) до медианного интервала

35. Понятие о семействе степенных средних. Правило мажорантности средних величин

Степенная средняя - общая формула представления различных средних величин.

Простая взвешенная:

Взвешенная:

Откуда получаем:



Изменение показателя степени к приводит к определенному виду средней:

при к = +1 получаем среднюю арифметическую простую или взвешенную:

пр. вз.

при к = +2 получаем среднюю квадратическую простую или взвешенную:

пр.кв. вз. кв.

Средняя квадратическая широко применяется при вычислении показателей вариации.

при к = +3 получаем среднюю кубическую простую или взвешенную:

пр. куб. вз. куб.

при к = -1 получаем среднюю гармоническую простую или взвешенную:

пр. гар. вз. гар.

при к = 0 получаем среднюю геометрическую простую или взвешенную:



геом. или сокращенно: геом.

П - знак произведения

n - число вариантов.

Средняя геометрическая хорошо применяется в «рядах динамики» при исчислении среднегодовых темпов роста и прироста.

Мажорантность (от фран. большой) средних заключается в том, что если для одной и той же совокупности или вариационного ряда вычислить различные виды средних, то их численные значения будут отличаться друг от друга. При этом по своей величине они расположатся в определенном порядке. Порядок их расположения определяется показателем степени к в формуле степенной средней.

к- степень	-1	0	+1	+2	+3
вид средней	Хгар.< Хгеом. < Хариф. < Хквад. < Хкуб.

В статистике такое расположение средних называется правилом мажорантности. Из формулы видно: чем больше показатель степени к, тем больше величина средней. Разница между этими средними тем значительнее, чем больше колеблемость осредняемого признака. При небольшой колеблемости, эта разница малоощутима. Подробное выяснение общего условия мажорантности впервые было произведено известным ученым Боярским.

36. Соотношение средней, моды и медианы в вариационных рядах распределения

Вариационные ряды, в которых частоты вариантов, равно отстоящих от средних, равны между собой, называются симметричными.

Особенностью симметричных вариационных рядов является равенство этих трех важнейших характеристик, т.е. средней, Мо и Ме.

=Мо=Ме

Вариационные ряды, в которых расположение вариантов вокруг средней неодинаково, т.е. частоты по обе стороны от средней изменяются по- разному, называются асимметричными (или скошенными)

Различают левостороннюю и правостороннюю асимметрии. При умеренно асимметричном расположении, моду можно определить иначе, по так называемой приближенной формуле

Мо= - 3( - Ме)

Таким образом, мода по этой формуле равна разности между средней величиной и утроенным значением разности между средней и медианы.

37. Вариация и причины ее возникновения. Показатели вариации

Средняя величина, являясь обобщающей характеристикой, вуалирует, т.е. скрывает индивидуальные различия признаков. За средней величиной нельзя усмотреть ту колеблемость, которая присуща отдельным единицам совокупности.

Средняя величина даже без самого простейшего показателя вариации не должна применяться в экономическом анализе.

С помощью показателей вариации проверяется существенность, надежность средней величины.

Средняя величина в том случае является надежной характеристикой, если нею скрывается случайная по характеру и незначительная по размеру вариация, только такие средние должны применяться и в планировании и в экономическом анализе.

Все показатели вариации подразделяются на 2 группы:

Абсолютные показатели вариации: размах вариации, размах колеблемости; интерквартильный размах вариации (инквартильный); усредненный размах вариации; среднее линейное отклонение; средний квадрат отклонения; среднее квадратическое отклонение.

Относительные показатели вариации: коэффициент вариации; линейный коэффициент вариации; коэффициент осцелляции (колеблемости, относительный размах вариации)

В первую группу входит размах вариации - разность между max и min значениями признака. R= X max -X min

Это достаточно простой показатель. Однако его недостаток состоит в том, что он оценивает только границы изменения признака и не отражает его коллеблимость внутри этих границ.

Этот недостаток можно устранить с помощью следующих показателей:

-интерквантильного размаха вариации

-усредненного

Интерквантильный показатель вычисляется как разность между третьим и первым квантилями. R инт= Q3-Q1 Квантили делят ряд на четверти.

Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 R инт = 9 - 3 =6 R = 12 - 1=11

Усредненный показатель вариации

Среднее значения X max и X min вычисляются по формуле средней арифметической простой, из 3х первых минимальных значений и 3х последних максимальных значений

Rуср. = X max -X min X min= (x1+x2+x3)/3 X max = (Xn-2 + Xn-1+Xn)/3



Среднее линейное отклонение - представляет собой среднюю арифметическую простую или взвешенную из абсолютных отклонений вариант от их средней.

- простая не взвешенная - взвешенная

Среднее линейное отклонение позволяет увидеть какова колеблемость внутри совокупности, но этот показатель не является безупречным, т.к. приходится отбрасывать знаки. С точки зрения математики это нарушение. Если знаки не отбросить, то по св-ву средней ариф. Сумма отклонений вариант от средней величины равна 0.

Дисперсия (средний квадрат отклонения) -вычисляется по формуле средней ариф. простой или взвешенной из квадратов отклонения вариант от их средней.

- простая не взвешенная - взвешенная

Дисперсия - величина отвлеченная, не имеющая экономическ содержание, т.е. нет размерности.

Для того, чтобы получить величину отклонения с реальным содержанием необходимо исчислить среднее квадратическое отклонение (стандартное). Среднее квадратическое отклонение - корень квадратный из дисперсии.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое имеют одинаковый смысл, но они различны по своей величине. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. СЛО и СКО показывают на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отличаются от среднего значения или от типичного уровня.

(руб)

38. Относительные показатели вариации. Их значение

1) коэффициент вариации - процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней величине.

2)линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение) представляет собой процентное отношение среднего линейного отклонения к средней величине.

3) коэффициент осцилляции (колеблемости), относительный размах вариации представляет собой процентное отношение размаха вариации к средней величине.



39. Оценка однородности совокупности и типичности средней с помощью показателей вариации

Информативность показателей вариации, особенно коэффициента вариации, повышаются, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели, рассчитанные по одной совокупности, сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупности, или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Нередко приходится сравнивать колеблемость одного и того же признака с разными или одинаковыми уровнями средних, либо приходится сравнивать колеблемость разных признаков. Для таких сравнений среднее линейное отклонение и среднее квадратичное отклонение не годятся. В этих случаях необходимо воспользоваться относительным показателем вариации - коэффициентом вариации:

V=*100%

Если коэффициент вариации меньше или равен 33%, то это означает, что изучаемая совокупность является качественно однородной. И средняя величина вычисленная по такой совокупности, является надежной характеристикой и ее можно использовать в экономическом анализе. Если же коэффициент вариации больше 33%, то это значит, что однородность изучаемой совокупности нарушена и средняя величина не является надежной характеристикой.



40. Соотношение показателей вариации при нормальном распределении единиц совокупности

СКО по условиям мажорантности всегда больше СЛО (? > d).

Если объём совокупности достаточно большой и распределение единиц совокупности близко к нормальному, то СКО=1,25 d (? = vП/2 * d; П=3,1415936)

СЛО =0,8? (d=v2/П *?)

Нормальное распределение единиц совокупности означает также, что в пределах:

1. Х ± ? находится под обследованием 68,3% всех единиц совокупности.

2. Х ± 2? находится 95,4% всех единиц совокупности.

3. Х ± 3? находится 99,7%

Это правило трёх сигм.

41. Математические свойства дисперсии. Упрощённые способа вычисления дисперсии

1. Увеличение или уменьшение индивидуальных значений признака (т.е. вариант) на одну и ту же величину не приводит к изменению дисперсии.

2. Увеличение или уменьшение индивидуальных значений признака в несколько раз, напр. в i раз, приводит к увеличению или уменьшению дисперсии в i? раз.

3. Пропорциональное изменение частот ряда (f) не приводит к изменению дисперсии.

4. Дисперсия от произвольной величины, напр. А, всегда больше искомой дисперсии от средней арифметической на квадрат разности между средней и величиной А. ??A > ??Xсред (Хсред-А)?

В математике известно, что сумма квадратов отклонений вариант от средней есть величина минимальная, т.е. ?(Х-Хсред)? = min

Упрощённые приёмы вычисления дисперсии

Используя свойства, дисперсию можно исчислить иначе:

1) дисперсия от любого условного числа А всегда больше дисперсии от средней арифм-й, т.е. искомой дисперсии, на квадрат разности между средней и величиной А. ??Хсред = ??А - (Хсред - А)?,

где ?? = ?(Х-А)?f/?f

2)дисперсию можно исчислить как разность между средней из вариант в квадрате и квадратом средней величинs

?? = (Х?)сред - (Хсред)?, где

(Х?)сред = ?Х?/n

(Х?)сред = ?Х?f/?f

(Хсред)? = (?Х)?/(n)?

(Xсред)? = (?Хf)?/(?f)?

3)дисперсию можно исчислить по способу моментов (способ отсчёта от условного нуля)

?? = i? * (m2 - (m1)?) где i - величина интервала

m1 = ?((X-A):i)f/?f где m1 - момент первого порядка

m2 = ?((X-A):i)?f/?f где m2 - момент второго порядка

Дисперсия по способу моментов может применяться для вычисления дисперсии интервальных рядов распределения.

А - вариант признака, которому соответствует наибольшая частота

i = X1 - X0 (величина интервала)

42. Дисперсия альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака - в случае альтернативной изменчивости признака, дисперсия вычисляется по формуле:

W - доля данного признака

(1-W)- доля противоположного признака

Альтернативная изменчивость - такая изменчивость (вариация), когда признак может принимать 2 взаимно исключающих друг друга значения «да» или «нет». Она характерна для атрибутивных (значимых) признаках: пол, доброкачественная или нет продукция.

43. Виды дисперсий: внутригрупповая, межгрупповая и общая по правилу сложения дисперсий. Их смысл и значение

Виды дисперсий: внутригрупповая, межгрупповая, и общая по правилу сложения дисперсий.

При изучении вариации для сгруп.данных выделяют 3 вида дисперсий: общую, внутригрупповую(частную), межгрупповую дисперсию.

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри каждой отдельно взятой группы.

i=1,2,3…n-я -номера группы



индивидуальные значения признаков отдельно взятой группы.

- внутригрупповая (частная) средняя, т.е. средняя, вычисляемая по каждой группе отдельно.

- численность каждой отдельно взятой группы.

Внутригрупповая дисперсия вызывается влиянием всех факторов, кроме признаков фактора, положенного в основу группировки, т.е. она измеряет случайную не изучаемую вариацию.

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых средних вокруг общей средней:

- средняя, вычисляемая по каждой группе отдельно.

- общая средняя, характеризующая всю совокупность в целом.

- численность каждой отдельно взятой группы.

Общая средняя вычисляется:

- общая средняя из группировочных средних

Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию, положенную в основу группировки, т.е. измеряет системную (изучаемую) вариацию, кот. вызывается влиянием признака, положенного в основу группировки.

Общая дисперсия = сумма средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии: -правило сложения дисперсий

Средняя из внутригрупповых (частных) дисперсий вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной, в кот.в качестве x берутся внутригрупповые дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов изучаемых и не изучаемых нами.

44. Использование правила сложения дисперсий для оценки тесноты связи между явлениями

Правило сложения дисперсий позволяет оценить степень влияния группировочного признака на результативный признак и количественно измерить степень этого влияния. Для этого применяется коэффициент детерминации, который вычисляется по формуле:

Коэффициент детерминации показывает, какова доля (удельный вес) влияния группировочного признака в общей колеблемости.

Для оценки тесноты связи применяется эмпирическое корреляционное отношение - это кв. корень из коэффициента детерминации:

Для характеристики тесноты связи и применяется таблица американского ученого Чэддока. О силе тесноты связи между изучаемыми признаками можно судить по его таблице:

Величина показателей тесноты связи	Характеристика тесноты связи
0,1 - 0,3	слабая
0,3 - 0,5	умеренная
0,5 - 0,7	заметная
0,7 - 0,9	высокая
0,9 - 0,99….	весьма высокая

45. Понятие об индексах. Задачи индексного анализа. Индексы индивидуальные и общие

Слово «индекс» (index) -- в переводе с лат. означает указатель, показатель, определитель.

Индексом в статистике называют относительный показатель (выражается в долях единиц и в %) характеризующий изменение величины какого-либо явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов) во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом и т.д.).

Главное назначение индексов в статистике - хар-ть степень изменения во времени сложных масс состоящих из непосредственно несоизмеримых элементов, различных по своим потребительским своиствам

С помощью индексов решаются следующие основные задачи.

1. индексы позволяют измерять изменение сложных явлений

2. можно определить влияние отдельных факторов на изменение динамики сложного явления;

3. индексы являются показателями сравнений не только с прошлым периодом (сравнение во времени), но и с другой территорией (сравнение в пространстве), а также с нормативами, планами, прогнозами и т.д..

По степени охвата единиц совокупности индексы делятся на индивидуальные и общие.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления (например, изменение объёма выпуска телевизоров определенной марки, рост или падение цен на акции в каком-либо акционерном обществе и т.д.)

Общий индекс отражает изменение всех элементов сложного явления. При этом под сложным явлением понимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию (физический объем продукции, включающий разноименные товары, цены на разные группы продуктов и т.д.).

При вычислении индексов различают отчетную (сравниваемую) величину и базисную, т.е. ту, с которыми сравнивается отчетная.

В индексных расчетах используются следующее обозначение:

q - Количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении

р - цена единицы товара;

z или с - себестоимость единицы продукции;

t - Затраты времени(труда) на производство единицы продукции (трудоемкость);

w - Выработка продукции в стоимостном выражении на 1 работника или в ед. времени; (

v - Выработка продукции в натуральных выражении на одного работника или в единицу времени; (

Т - общие затраты времени (T = tq) или численность работников;

pq - общая стоимость произведенной продукции данного вида или проданных товаров данного вида (товарооборот, выручка);

zq или cq - затраты в денежном выражении на производство всей продукции (издержки производства);

Индивидуальные индексы характеризуют соотношение во времени отдельных однородных элементов, из которых состоят сложные эк.явления: и.и. цен, и.и. кол-ва, и.и. себестоимости; и.и. стоимости; и.и. затрат на пр-во (zq); и.и. трудоемкости; и.и. затрат труда (tq); и.и. производительности труда.

49. Агрегатный индекс физического объёма продукции (товарооборота) в сопоставимых ценах. Его характеристика и экономический смысл

В статистике при вычислении индексов очень часто применяют показатель, называемый общей стоимостью или товарооборотом (pq или qp).

Показатель общей стоимости изменяется под влиянием двух факторов:

ь цен и количества

Для того, чтобы сравнением общих стоимостей показать изменение только количества, надо оценить товары отчётного или базисного периодов по ценам какого-либо одного периода (например базисного). Тогда формула общего индекса физического объёма продукции будет выглядеть:

Такая форма сводного индекса называется агрегатной (от лат. присоединяю). Агрегатный индекс - это совокупный индекс, составленный из отдельных слагаемых, т.е. суммируются стоимости товаров.

Этот индекс показывает на сколько в среднем изменилось количество проданных товаров в отчётном периоде по сравнению с базисным.

В этом индексе изменяется только количество, цены на уровне базисного периода остаются неизменными.



50. Агрегатный индекс стоимости продукции (товарооборота) в фактических ценах. Его характеристика и экономический смысл.

Числитель показывает стоимость или товарооборот в отчётном периоде, а знаменатель - стоимость или товарооборот в базисном периоде.

Стоимость берётся в фактических ценах, т.е. каждый период в своих текущих ценах.

Индекс показывает, как изменится стоимость в отчётном году по сравнению с базисным, т.е. как меняется в торговле выручка от продажи.

51. Средний арифметический и средний гармонический индексы, тождественные агрегатному. Условия их применения

Агрегатная форма индексов является основной определяющей формой, но исходные данные не всегда позволяют воспользоваться этой формой индексов. Любой агрегатный индекс с помощью соответствующих индивидуальных индексов может быть преобразован в другую форму индексов:

· арифметическую

· гармоническую

Арифметическая форма индексов:

1. Агрегатная форма индексов физического объёма продукции (товарооборота).



Для преобразования этого индекса в арифметическую форму надо воспользоваться индивидуальным индексом количества продукции:

iq=q1/q2 q1=iq*q0

Подставляем в агрегатную форму индексов вместо q1 равное ему выражение iq*q0. Получаем средний арифметический индекс физического объёма продукции (товарооборота):

2. Агрегатная форма индекса производительности труда:

Для преобразования этого индекса в арифметическую форму воспользуемся индивидуальным индексом производительности труда iv=t0/t1 > t0=iv*t1

В числитель вместо t0 подставляем равное ему выражение iv*t1, получаем средний арифметический индекс производительности труда:

В преобразованных индексах знаменатель остаётся неизменным. Можно отметить следующее: средний арифметический индекс будет тождествен агрегатному, т.е. будет давать тот же количественный результат, в том случае, если весами индивидуальных индексов являются слагаемые знаменателя агрегатного индекса.

Гармоническая форма индексов

1. Агрегатная форма индекса цен

Для преобразования этого индекса в гармоническую форму воспользуемся индивидуальным индексом цен: ip=p1/p0 > ip*p0=p1

P0=p1/ip p0=1/ip* p1

В знаменатель индивидуального индекса цен подставляем вместо p0 равное ему выражение 1/ip* p1, получаем средний гармонический индекс цен:

2. Агрегатная форма индекса себестоимости

Для преобразования этого индекса возьмём индивидуальный индекс себестоимости Iz=z1/z0. После соответствующего аналогичного преобразования получаем средний гармонический индекс себестоимости:



3. Агрегатная форма индекса трудоёмкости

Для преобразования его в гармоническую форму возьмём индивидуальный индекс трудоёмкости it=t1/t0, получаем средний гармонический индекс трудоёмкости:

В преобразованных индексах числитель остаётся без изменения, из этого следует правило: средний гармонический индекс будет тождествен агрегатному в том случае, если весами обратных значений индивидуальных индексов являются слагаемые числителя агрегатного индекса.

52. Индексный метод анализа динамики среднего уровня (индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов)

Индексный метод широко применяется для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава Iпер представляет собой отношение двух взвешенных средних величин, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя.

Величина этого индекса характеризует изменение средней взвешенной за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава Iфикс представляет собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (т.е. при постоянной структуре).

Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя у единиц совокупности.

Индекс структурных сдвигов Iстр характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя.

Под структурными изменениями понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности к общей их численности.

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средних величин имеет вид:

53. Базисные и цепные индексы. Два варианта сводных цепных индексов

В зависимости от базы сравнения индексы бывают базисными и цепными.

В системе базисных индексов сравнения уровней индексируемого показателя в каждом индексе производится с уровнем базисного периода, а в системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем предыдущего периода.

Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.

Ряды индивидуальных индексов просты по построению. Так, например, обозначив четыре последовательных периода подстрочными значениями 0, 1,2, 3, исчисляем базисные и цепные индивидуальные индексы цен:

· базисные индексы

; ; ;

· цепные индексы

; ; .



Любой агрегатный индекс может быть представлен как взвешенная величина из индивидуальных индексов

найдем

.

Подставим в общий индекс цены

,

тогда получим среднегармонический взвешенный индекс

.

,

отсюда q₁ = iq ?q₀, подставим в агрегатную форму общего индекса физического объема

Получили средневзвешенный индекс. Вот для каких целей используется индивидуальный индекс, т.е. расширяет возможности агрегатной формы индекса.

Использование исходной формы агрегатного индекса или среднегармонического, средневзвешенного индекса зависит от исходных данных, имеющихся в распоряжении исследователя.

54. Взаимосвязь цепных и базисных индексов

Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим -- произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода:

.

Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода:

; .

Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

Как известно, в каждом отдельном индексе веса в его числителе и знаменателе обязательно фиксируются на одном и том же уровне.

Если же строится ряд индексов, то веса в нем могут быть либо постоянными для всех индексов ряда, либо переменными.



55.Ряды индексов с постоянными и переменными весами

По виду весов индексы бывают индексы с постоянными весами и индексы с переменными весами. Система индексов с постоянными весами - система сводных индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, не меняющимися при переходе от одного индекса к другому. Система индексов с переменными весами - система сводных индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, последовательно меняющимися от одного индекса к другому.

В тех случаях, когда мы анализируем изменение во времени сравниваемой продукции, мы можем поставить вопрос о том, как в различных условиях (на различных участках) меняются составляющие индекса (цена, физический объем, структура производства или реализации отдельных видов продукции). В связи с этим строятся индексы постоянного состава, переменного состава, структурных сдвигов.

Индекс постоянного (фиксированного) состава по своей форме тождественен агрегатному индексу.

Объединение	Базисный	Отчетный
	p0	q0	p0	q0
1	15	5000	11	20000
2	18	10000	13	15000

Цена по обоим предприятиям изменилась на 27,2 %.

Этот индекс не учитывает изменение объема продажи продукции на различных рынках в текущем и базисном периодах.

Индекс переменного состава используется для характеристики изменения средней цены в текущем и базисном периодах.

При изучении динамики коммерческой деятельности приходится производить индексные сопоставления более чем за два периода.

Поэтому индексные величины могут определяться как на постоянной, так и на переменной базах сравнения. При этом, если задача анализа состоит в получении характеристик изменения изучаемого явления во всех последующих периодах по сравнению с начальным, то вычисляются базисные индексы. Например, сопоставление объёма розничного товарооборота II, III и IV кварталов с I кварталом.

Но если требуется охарактеризовать последовательно изменения изучаемого явления из периода в период, то вычисляются цепные индексы. Например, при изучении объёма розничного товарооборота по кварталам года сопоставляют товарооборот II квартала c I, III -- cо II и IV -- с III кварталом.

В зависимости от задачи исследования и характера исходной информации базисные и цепные индексы исчисляются как индивидуальные, так и общие.

Способы расчёта индивидуальных базисных и цепных индексов аналогичны расчёту относительных величин динамики. Общие индексы в зависимости от их вида вычисляются с переменными и постоянными весами -- соизмерителями.Используя индексный ряд за несколько периодов, можно получить динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т.е. в ценах какого - то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами. Для них действует правило: произведение цепных индексов даёт индекс базисный.

56. и 57. Взаимосвязи индексов. Индексный метод выявления роли отдельных факторов динамики

Взаимосвязь социально-экономических явлений находит свое отражение во взаимосвязи индексов, характеризующих эти явления.

Например, цена*количество продукции = стоимость (товарооборот)



ip * iq = ipq;

* =

Взаимосвязь конкретных индексов имеет место при наличии реальной связи между индексируемыми показателями. В индивидуальных индексах эта взаимосвязь проявляется всегда, в сводных же (общих) индексов эта взаимосвязь проявляется только при условии специального подбора весов-соизмерителей, т.е. если не нарушается принцип подбора весов, принятый в теории индексов.

Рассмотрим на примере Jp, Jq и Jpq.

Jp * Jq = Jpq

Jp в этой формуле берется по формуле Пааше.

* =

При построении такой системы индексов, веса и соизмерители должны браться на уровне разных периодов, а именно в индексах качественных показателей в роли веса необходимо брать количественные показатели на уровне отчетного периода, а в индексах количественных показателей в роли соизмерителей необходимо брать качественные показатели на уровне базисного периода.

Сделаем иначе, возьмем Jp с весами базисного периода, т.е. воспользуемся индексом Ласпейраса.

* = ; Jp * Jq = Jpq

При таком подходе мы не можем получить Jpq.

Система взаимосвязанных индексов широко используется для факторного анализа с целью определения влияния каждого отдельного фоктора на изменения сложных явлений.

При анализе себестоимости учитывается следующая взаимосвязь.

iz * iq = izq;

Такая же взаимосвязь и между сводными индексами себестоимости умноженная на индекс количества продукции и получаем свободный индекс затрат на производство продукции.

Эту взаимосвязь можно исправить для определения любого недостающего индекса, например Jq=Jq/Jz.

При анализе производительности труда можно также построить систему взаимосвязанных индексов.

Производительность труда=продукция/затраты рабочего времени

Jv=Jq/Jt(tq) > Jq=Jv*Jtq

Из взаимосвязи можно также получить индекс затрат рабочего времени(или затрат труда)

Jtq(t)=Jq/Jv

С помощью системы индексов можно рассматривать не только двух факторную связь, но и связь с 3 или более факторами, т.е. многофакторную.



58. Взаимосвязь индексов цен, физического объема продукции и стоимости (товарооборота), ее практическое использование

Пример: Цены на товары в отчетном периоде по сравнению с базисными возросла на 15%, физический объем реализации уменьшился на 10%. Как изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Дано: Jp=100+15=115% или 1,15

Jq=100-10=90% или 0,9

Jpq-?

Решение: Jpq=Jp*Jq=1,15*0,9=1,035 или 103,5%

Вывод: в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот(выручка от продаж) в среднем увеличилась на 3,5 %.

67. Понятие тенденции ряда. Сглаживание рядов динамики с помощью скользящей средней

Одной из важнейших задач анализа динамики социально-экономических явлений установление основной тенденции развития явления (тренда). Иногда уровни ряда, находясь под влиянием случайных колебаний, не обнаруживает четко выраженной тенденции развития явления. Чтобы освободить тенденцию ряда от тех или иных случайных колебаний необходимо ряд преобразовать. Одним из методов преобразования является сглаживание методом скользящей средней. Сущность этого метода состоит в замене абсолютных значений ряда рядом средних значений. Сглаживание может производиться скользящей средней, состоящей из нескольких членов ряда (3,4,5).

Пример:

Имеются следующие данные

дни месяца	выплата стали, тыс.т.	усл. обозначения
1	18	У1
2	20	У2
3	20	У3
4	23	У4
5	21	У5

Произвести сглаживание 3-х дневной скользящей средней для выявления тренда.

У1(с чертой)= (У1+У2+У3)/3=(18+20+20)/3=19,3

У2(с чертой)=(У2+У3+У4)/3=(20+20+23)/3=21,0

У3(с чертой)=(У3+У4+У5)/3=(20+23+21)/3=21,3

Новый ряд 19,3; 21,0; 21,3.Тенденция ряда выражена довольно отчетливо, но ряд получился укороченный.

Методом скользящей средней не всегда достигается полное освобождение тренда от случайных колебаний, поэтому применяют более сложный метод аналитическое выравнивание.

68. Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой. Определение параметров уравнения

Аналитическое выравнивание - замена эмпирического ряда рядом теоретическим. Эмпирический ряд - ряд фактических данных. Задачей аналитического выравнивания является нахождение такой математической формулы, которая бы давала возможность вычислить теоретические уровни, причем исчисленные уровни должны воспроизводить тенденцию эмпирических уровней. Для нахождения уровней теоретического ряда подбирается такое уравнение прямой линии или кривой, которой наилучшим образом отражает тенденцию развития явления.

Наиболее простой способ - выравнивание по прямой. Уравнение прямой применяется, когда по фактическим данным обнаруживается, что абсолютный прирост уровней в изучаемом периоде примерно одинаковый. Произвести выравнивание, значит найти новые значения уровней ряда Уt(с чертой) по уравнению прямой.

Уt(с чертой)=а₀ +а₁t

Для определения параметров этого уравнения применяется метод наименьших квадратов (МНК). Он основан на требовании о том, что сумма квадратов отклонений фактических уравнений от выровненных есть величина наименьшая, т.е. ?(У-Уt(с чертой))²=min

В математике доказывается, что этому условию удовлетворяет Т.И. система нормативных уравнений:

na₀ + a₁ ?t = ? У

a₀ ?t + a₁? t² = ? Уt, где n- число уравнений ряда.

Для того, чтобы упростить расчеты параметров а₀ и а_1можно произвести такие преобразования: отчет времени можно вести не с начала ряда, а с его середины, т.е. от какого-либо момента времени принятого за 0. При таком отсчете ?t = 0 При нечетном числе уровней вводятся следующие значения t:

даты	t	даты	t
1 2 3	-2 -1 0	4 5	+1 +2 ?t = 0



Если же количество уровней четное, то условные даты обозначаются:

даты	t
1 2 3 4 5 6 7 8	-7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7 ?t=0

a₀=?У/n=102:5=20,4 а₁=?Уt/?t²=9:10=0,9

69. Понятие интерполяции и эктраполяции. Простейшие методы прогнозирования на основе рядов динамики