Статистические данные

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Введение

Особенность статистики заключается в том, что статистические данные сообщаются в количественной форме, то есть статистика говорит я зыком цифр. Отображающих общественную жизнь во всем многообразии проявлений, в частности немаловажное значение статистика имеет в экономической сфере. Экономисту необходимо уметь читать данные прежде всего в цифровой форме, поскольку вся профессиональная деятельность экономиста связана с рассмотрением и расчетом цифр.

При этом статистику прежде всего интересуют те выводы, которые можно сделать на основе анализа надежным образом собранных и обработанных цифровых данных. Но ведь именно умение делать верные выводы после расчета всех показателей характеризуют профессионализм будущего экономиста.

Статистика осуществляет сбор, научную обработку, обобщение и анализ информации, характеризующей развитие экономики страны, в результате предоставляется возможность выявления взаимосвязей в экономике, изучение динамики её развитие, проведение международный сопоставлений и в конечном итоге принятие эффективных управленческих решений на государственном и региональном уровнях.

Из всего вышесказанного можно увидеть тесную взаимосвязь статистики и экономики, поэтому целью данной работы является расчет основных статистических показателей, выявление закономерности.

Также целью этой работы является умение делать верные выводы из полученных результатов.

1. Абсолютные, относительные, средние величины, показатели вариации, ряды распределения, корреляционно-регрессионный анализ

1.1 Произвести группировку по двум признакам, образовав равные интервалы.

В процессе группировки следует получить распределение близкое нормальному.

Группировка начинается с того, что отдельные единицы совокупности объединяются в группы. Число групп определяется по формуле Стэрджесса:

k=1+3.32* lg n (1.1)

где k- количество групп;

n- численность совокупности.

В нашем случае n=27, тогда по формуле (1.1) получим следующее количество групп k=1+3.32* lg27=5,75 Так как число групп не может быть дробным, то выделим 6 групп. Теперь необходимо определить величину интервалов. Эта величина определяется по следующей формуле:

i=, (1.2)

где i- величина интервала;

- максимальное значение признака

-минимальное значение признака,

k- количество групп.

Так, если максимальный объем производства 14380, а минимальный 13630, то величина данного интервала следующая:

Аналогично найдём величину интервала при группировке данных фондовооруженности, при этом максимальная фондовооруженность предприятий - 3730, а минимальная - 3330, то величина данного интервала следующая:

Рассчитаем число предприятий в каждой группе по каждому признаку и соответствующие результаты группировок оформим в виде таблиц (1,1) и (1,2).

Таблица 1.1 Группировка предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки	Число предприятий (частота) fi
А	Б	1
13630	-	13780	1	6
13780	-	13930	2	8
13930	-	14080	3	6
14080	-	14230	4	4
14230	-	14380	5	2
14380	-	14530	6	1
Итого:	7	27

Таблица 1.2 Группировка предприятий по фондовооруженности

Группировка предприятий по фондовооруженности	Код строки	Число предприятий (частота) fi
А	Б	1
3330	-	3410	1	10
3410	-	3490	2	2
3490	-	3570	3	6
3570	-	3650	4	5
3650	-	3730	5	1
3730	-	3810	6	3
Итого:	7	27

Данная группировка данных не привела к формированию ряда распределения близкого к нормальному. Следовательно, необходима вторичная группировка. Для этого сдвинем нижнюю границу первого интервала до 13551 и увеличим величину интервала до 200. Построим вторичную группировку по объему производства с изменёнными данными. Вторичная группировка по объему производства приведена в таблице (1.3)

Таблица 1.3 Группировка предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки	Число предприятий (частота) fi
А	Б	1
13551	-	13751	1	4
13751	-	13951	2	13
13951	-	14151	3	7
14151	-	14351	4	2
14351	-	14551	5	1
Итого:	6	27

Аналогично сделаем вторичную группировку предприятий по фондовооруженности, сдвинем нижнюю границу первого интервала до 3231, увеличим величину интервала до 100 и уменьшим количество интервалов до 5. Вторичная группировка по фондовооруженности приведена в таблице (1.4)

Таблица 1.4 Группировка предприятий по фондовооруженности

Группировка предприятий по фондовооруженности	Код строки	Число предприятий (частота) fi
А	Б	1
3231-3331	1	5
3331-3431	2	5
3431-3531	3	5
3531-3631	4	7
3631-3731	5	5
Итого:	6	27

1.2 Рассчитать относительные величины

а) структуры

б) координации, выбрав за базу одну из групп в соответствии с экономическим содержанием.

Относительные величины структуры (ОВС) определяются по следующим формулам:

ОВС, доли_едениц= (1.3)

ОВС, проценты = (1.4)

где _{I -}число предприятий в i-ой группе;

n-численность совокупности.

Относительные величины координации (ОВК) определяется по следующей формуле:

ОВК= (1.5)

где f_i -число предприятий, входящих в i-ую группу.

f_баз -число предприятий, входящих в группу, принятую за базисную.

Рассчитаем относительные величины структуры и координации предприятий по объему предприятий по формулам (1.3) (1.4) и (1.5). При этом выберем в качестве базовой группы группу предприятий с наибольшим уровнем объема производства -это группа с границами 14351-14551.

Например для группы предприятий с объемом производства от 14351 до 14551 эти расчеты будут следующими:

ОВС, доли_едениц=

ОВС, проценты =

ОВК=

Произведем аналогичные расчеты для всех остальных групп и оформим результаты в таблице 1.5

Таблица 1.5 Расчет относительных величин по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки	Число предприятий (частота) fi	Относительная величина
			структуры	координации
			доли единицы	%
А	Б	1	2	3	4
13551	-	13751	1	4	0,15	14,81	4,00
13751	-	13951	2	13	0,48	48,15	13,00
13951	-	14151	3	7	0,26	25,93	7,00
14151	-	14351	4	2	0,07	7,41	2,00
14351	-	14551	5	1	0,04	3,70	1,00
Итого:	6	27	1,000	100,00	-

Аналогично рассчитаем относительные величины структуры и относительные величины координации для групп предприятий по фондовооружённости. Для этого выберем в качестве базовой группы группу предприятий, имеющих наибольшую фондовооружённость - это группа с границами 3631-3731. Рассчитаем относительные величины структуры и координации по формулам (1.3), (1.4) и (1.5) для группы предприятий, имеющих фондовооружённость от 3231 до 3331.

ОВС, доли_едениц=

ОВС, проценты =

ОВК=

Произведём аналогичные расчёты для всех остальных групп полученные результаты оформим в таблицу 1.6.

фондовооруженность статистический корреляционный

Таблица 1.6 Расчет относительных величин по фондовооруженности

Группировка предприятий по фондовооруженности	Код строки	Число предприятий (частота) fi	Относительная величина
			структуры	координации
			доли единицы	%
А	Б	1	2	3	4
3231,00	-	3331,00	1	5	0,19	18,52	1,00
3331,00	-	3431,00	2	5	0,19	18,52	1,00
3431,00	-	3531,00	3	5	0,19	18,52	1,00
3531,00	-	3631,00	4	7	0,26	25,93	1,40
3631,00	-	3731,00	5	5	0,19	18,52	1,00
Итого:	5	27	1,000	100,00	-

1.3 По данным группировок построить

а) секторную диаграмму;

б) кумуляту;

в) полигон распределения.

Для более наглядного отражения структуры изучаемых явлений построим секторные диаграммы по объему производства и по фондовооружённости. Структура совокупности предприятий по объему производства будет представлена на рис. 1.1, а структура совокупности предприятий по фондовооружённости будет представлена на рис. 1.2.



Условные обозначения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с объемом производства от 13551 до 13751;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с объемом производства от 13751 до 13951;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с объемом производства от 13951 до 14151;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с объемом производства от 14151 до 14351;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с объемом производства от 14351 до 14551.

Рисунок 1.1 Распределение предприятий по объему производства, %

Из рисунка 1.1 видно, что наибольший удельный вес в общем объёме предприятий составляют предприятия, имеющие объем производства от 13751 до 13951 (48,15%), а наименьший удельный вес составляют предприятия с объемом производства от 14351 до 14551 (3,7%).



Условные обозначения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с фондовооруженностью от 3231 до 3331;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с фондовооруженностью от 3331 до 3431;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с фондовооруженностью от 3431 до 3531;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с фондовооруженностью от 3531 до 3631;

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

- доля предприятий с фондовооруженностью от 3631 до 3731.

Рисунок 1.2 Распределение предприятий по фондовооруженности, %

Из рисунок 1.2 видно, что наибольший удельный вес в общем объёме предприятий составляют предприятия, имеющие фондовооружённость от 3531 до 3631 (25,93%), а наименьший удельный вес составляют предприятия, имеющие фондовооружённость от 3231 до 3331 (18,521%).

Для построения кумуляты надо рассчитать накопленные частоты для каждого интервала, которые составят ряд накопленных частот. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не более чем рассматриваемое значение и определяются суммированием частот интервалов. Составим ряд накопленных частот по объему производства и по фондовооружённости

Таблица 1.7 Ряд накопленных частот при группировке предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки	Число предприятий (частота) fi	Накопительная частота fн
А	Б	1	2
13551	-	13751	1	4	4
13751	-	13951	2	13	17
13951	-	14151	3	7	24
14151	-	14351	4	2	26
14351	-	14551	5	1	27

Таблица 1.8 Ряд накопленных частот при группировке предприятий по фондовооружённости

Группировка предприятий по фондовооружености	Код строки	Число предприятий (частота)fi	Накопительная частота fн
А	Б	1	2
3231-3331	1	5	5
3331-3431	2	5	10
3431-3531	3	5	15
3531-3631	4	7	22
3631-3731	5	5	27

При построении кумуляты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе вся частота данного интервала. Верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота, равная сумме частот первых двух интервалов и т, д.



Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения:

fн- накопительная частота;

x - объем производства.

Рисунок 1.3 Кумулята ряда распределения предприятий по объему производства

Условные обозначения:

fн- накопительная частота;

y - фондовооружённость.

Рисунок 1.4 Кумулята ряда распределения предприятий по фондовооружённости

Закономерность распределения ряда можно установить также и по полигону частот. Построим полигон частот для распределения предприятий по объему производства и по фондовооружённости. На оси абсцисс откладываем границы интервалов, на оси ординат -численность предприятий. Из середины интервала на оси абсцисс восстанавливаем перпендикуляр высотой, пропорциональной числам предприятий. Вершины перпендикуляров соединяем отрезками прямой. Полученная ломанная и будет полигоном частот.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения:

fi- число предприятий (частота);

x - объем производства.

Рис. 1.5 Полигон частот для распределения предприятий по объему производства



Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения:

fi- число предприятий (частота);

y - фондовооруженность.

Рис. 1.6 Полигон частот для распределения предприятий по фондовооруженности

1.4 Рассчитать средние

а) простую арифметическую;

б) взвешенную арифметическую двумя методами;

в) моду;

г) медиану;

д) построить графики моды и медианы.

Найдём простую среднюю арифметическую по формуле:

(1.6)

где - средняя арифметическая;

-i-итое значение признака;

n- численность совокупности.

Подставим имеющиеся данные по фондовооружённости в формулу (1.6) и получим.

Подставим имеющиеся данные по объему производства в формулу (1.6) и получим:

Таким образом, средний объем производства предприятий в изучаемой совокупности равна 67417.89, а средняя фондовооружённость 3350.7.

Найдём среднюю арифметическую взвешенную по формуле:

(1.7)

где - средняя арифметическая взвешенная;

k- число выделенных групп;

- центральный вариант в i-той группе;

f_i- частота i-той группы;

-сумма частот.

Центральный вариант в этой формуле определяется как полусумма верхней и нижней границ интервала.

Для того чтобы найти данный показатель построим расчётные таблицы 1.9 и 1.10.

Таблица 1.9 Расчёт средней арифметической взвешенной объема производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки
А	Б	1	2	3
13551-13751	1	4	13651	54604,00
13751-13951	2	13	13851	180063,00
13951-14151	3	7	14051	98357,00
14151-14351	4	2	14251	28502,00
14351-14551	5	1	14451	14451,00
Итого:	6	27	-	375977,00

=

Таблица 1.10 Расчёт средней арифметической взвешенной фондовооруженности

Группировка предприятий по фондовооруженности	Код строки
3231-3331	1	5	3281	16405,000
3331-3431	2	5	3381	16905,000
3431-3531	3	5	3481	17405,000
3531-3631	4	7	3581	25067,000
3631-3731	5	5	3681	18405,000
Итого:	6	27	-	94187

=

Также среднюю арифметическую взвешенную можно определить методом момента, который основан на использовании свойств средней арифметической, В силу этого метод момента упрощает расчёты средней арифметической. При этом методе средняя взвешенная арифметическая определяется по следующей формуле:

=m*i+A, (1.8)

где - средняя арифметическая взвешенная;

т - момент;

A - постоянное число;

i - величина интервала.

Момент т определяется по формуле:

(1.9)

где т - момент;

f_i - частота 1-той группы;

- новое значение вариантов.

При методе моментов определяются новые значения вариантов по формуле:

, (1.10)

где , - новое значение вариантов;

- центральный вариант i-того интервала;

а - постоянное число;

i - величина интервала.

В нашем случае постоянное число A - это центральный вариант серединного интервала, значит A = 14051.

Для вычисления средней арифметической взвешенной методом момента составим расчётные таблицы 1.11 и 1.12.

Таблица 1.11 Расчёт средней взвешенной объема производства методом момента

Группировка предприятий по объему производства	Код строки			-A		*
А	Б	1	2	3	4	5
13551-13751	1	4	13651	-400	-2	-8
13751-13951	2	13	13851	-200	-1	-13
13951-14151	3	7	14051	0	0	0
14151-14351	4	2	14251	200	1	2
14351-14551	5	1	14451	400	2	2
Итого:	6	27	-	-	-	-17

= m*i+A=(-0,629626)*200+14051=13925,07

Таблица 1.12 Расчёт средней взвешенной фондовооружённости методом момента

Группировка предприятий по фондовооруженности	Код строки			-A		*
А	Б	1	2	3	4	5
3231-3331	1	5	3281	-200	-2	-10
3331-3431	2	5	3381	-100	-1	-5
3431-3531	3	5	3481	0	0	0
3531-3631	4	7	3581	100	1	7
3631-3731	5	5	3681	200	2	10
Итого:	6	27	-	-	-	2

.

= m*i+A=(-0,074074)*100+3481=3488,41.

Сравнив полученные результаты простой средней арифметической и средней взвешенной заметим между ними отличия. Это объясняется тем, что при расчёте средней взвешенной предполагается, что конкретные варианты равномерно распределены внутри интервала, но в действительности отдельные варианты могут быть распределены в пределах интервала неравномерно, а значит середина интервала будет в той или иной степени отличаться от центрального варианта. Эта степень расхождения объясняется в первую очередь небольшим числом единиц, входящих в интервал, так как, если на группу приходится малое число единиц, групповые средние могут находиться не только в середине, но и вблизи верхней или нижней границ интервала.

Кроме рассмотренных показателей для характеристики рядов распределения также используются мода и медиана.

Мода определяется по следующее формуле:



где - начальная граница модального интервала;

i - величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота предмодального интервала;

- величина послемодального интервала.

Выбираем модальный интервал - это интервал, имеющий наибольшую частоту. В случае с уровнем объема производства наибольшая частота равна 13, а соответствует она интервалу с границами 13751-13951. Аналогично определим модальный интервал для фондовооружённости - это интервал с границами 3531-3631 (частота 7).

Тогда найдём моду объема производства, предварительно заметив, что =13751, i=200, =13, =4, =7.

Найдём моду фондовооружённости, при этом =3531, i=100, =7 =5, =5.

Кроме того, моду можно найти и графически, построив для этого гистограмму распределения частот. После этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника с левым верхним углом последующего прямоугольника.

Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рисунка 1.7 и 1.8).



Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения: x - объем производства; fн - число предприятий. Рис 1.7 Гистограмма распределения предприятий по объему производства

Исходя из рисунка 1.7 можно определить моду объема производства:

М₀ =13851.

Исходя из рисунка 1.8 можно определить моду фондовооружённости:

М₀ =3581.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения: y - фондовооруженность; fн - число предприятий. Рисунок 1.8 Гистограмма распределения предприятий по фондовооруженности

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду используется следующая формула:

(1.12)

где - медиана;

-начальная граница медианного интервала;

- частота медианного интервала;

i - величина интервала;

k - сумма накопленных частот до медианного интервала.

Место медианы определяется по формуле:

место_медианы= (1.13)

где n - численность совокупности.

Для группировки предприятий по объему производства

место_медианы = 14, значит медианный интервал - это интервал с границами, 13751-13951. Для группировки предприятий по фондовооружённости

место_медианы = 14, значит медианный интервал - это интервал с границами, 3531-3631.

В соответствии с формулой (1.12) для группировки предприятий по объему производства =13751, k = 4, =13.

В соответствии с формулой (1.12) для группировки предприятий по фондовооружённости =3531, k = 10, =5.

Графически медиану можно определить по графику кумуляты. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения её с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой (см. рис. 1.9 и 1.10).

Таким образом, определим медиану по объему производства из рисунка 1.9 =13905

Определим медиану по фондовооруженности из рисунка 1.10 =3610

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения: f_i - накопленная частота; x - объем производства. Рисунок 1.9 Кумулята ряда распределения предприятий по объему производства



Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Условные обозначения: f_i - накопленная частота; y - фондовооруженность. Рисунок 1.10 Кумулята ряда распределения предприятий по фондовооружённости

1.5 По двум признакам рассчитать показатели вариации

а) размах вариации;

б) среднее линейное отклонение;

в) среднее квадратическое отклонение по сгруппированным и несгруппированным данным;

г) коэффициент вариации;

д) дисперсии: общую, межгрупповую, среднюю из внутригрупповых;

е) проверить правило сложения дисперсий.

Вариация характеризуется размахом. Размах определяется по формуле:

(1.14)

где R - размах вариации;

-максимальное значение признака;

- минимальное значение признака;

Для данных по объему производства: =14380, =13630, следовательно размах вариации равен: =14380-13630=750.

Для данных по фондовооружённости: =3730, =3330, следовательно, размах вариации равен: .=3330-3730=400.

Этот показатель показывает различие единиц внутри совокупности, но он весьма несовершенен, так как полностью зависит от случайных колебаний только двух крайних вариантов. Поэтому фактически эта характеристика указывает пределы вариации признака, и, следовательно, не может в полной мере определять совокупность. Следовательно, необходимо рассчитать другие показатели вариации.

Рассчитаем среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение по не сгруппированным данным.

Среднее линейное отклонение по не сгруппированным данным вычисляется по следующей формуле:

(1.15)

где - среднее линейное отклонение;

x- индивидуальное значение признака;

- простая средняя арифметическая;

n- численность совокупности.

Среднее квадратическое отклонение по не сгруппированным данным вычисляется по следующей формуле:

 (1.16)

где - среднее квадратическое отклонение;

x- индивидуальное значение признака;

- простая средняя арифметическая;

n- численность совокупности.

Для расчета этих показателей для данных по объему производства и для данных по фондовооружённости составим расчётные таблицы 1,13 и 1.14.

Таблица 1.13 Расчёт среднего линейного и среднего квадратического отклонений для данных по объему производства

Объем производства x	Код строки
А	Б	1	2	3
13730,00	01	-199,63	199,63	39851,9890
13630,00	02	-299,63	299,63	89777,9150
13675,00	03	-254,63	254,63	64836,2483
13735,00	04	-194,63	194,63	37880,6927
13850,00	05	-79,63	79,63	6340,8779
13765,00	06	-164,63	164,63	27102,9150
13836,00	07	-93,63	93,63	8766,5075
13850,00	08	-79,63	79,63	6340,8779
13890,00	09	-39,63	39,63	1570,5075
13875,00	10	-54,63	54,63	2984,3964
13773,00	11	-156,63	156,63	24532,8409
13833,00	12	-96,63	96,63	9337,2853
13830,00	13	-99,63	99,63	9926,0631
13848,00	14	-81,63	81,63	6663,3964
13930,00	15	0,37	0,37	0,1372
13940,00	16	10,37	10,37	107,5446
13956,00	17	26,37	26,37	695,3964
13940,00	18	10,37	10,37	107,5446
13970,00	19	40,37	40,37	1629,7668
13960,00	20	30,37	30,37	922,3594
14035,00	21	105,37	105,37	11102,9150
14030,00	22	100,37	100,37	10074,2112
14060,00	23	130,37	130,37	16996,4335
14096,00	24	166,37	166,37	27679,1001
14333,00	25	403,37	403,37	162707,6557
14350,00	26	420,37	420,37	176711,2483
14380,00	27	450,37	450,37	202833,4705
376100	28	-	3789,62963	947480,2963

Примечание: =13929.63

Тогда: =.

=

Таблица 1.14 Расчёт среднего линейного и среднего квадратического отклонений для данных по фондовооруженности

Фондовооруженность y	Код строки
А	Б	1	2	3
3330	01	-178,89	178,89	32001,23
3330	02	-178,89	178,89	32001,23
3330	03	-178,89	178,89	32001,23
3350	04	-158,89	158,89	25245,68
3540	05	31,11	31,11	967,90
3330	06	-178,89	178,89	32001,23
3480	07	-28,89	28,89	834,57
3330	08	-178,89	178,89	32001,23
3360	09	-148,89	148,89	22167,90
3390	10	-118,89	118,89	14134,57
3480	11	-28,89	28,89	834,57
3380	12	-128,89	128,89	16612,35
3500	13	-8,89	8,89	79,01
3530	14	21,11	21,11	445,68
3530	15	21,11	21,11	445,68
3550	16	41,11	41,11	1690,12
3580	17	71,11	71,11	5056,79
3770	18	261,11	261,11	68179,01
3550	19	41,11	41,11	1690,12
3600	20	91,11	91,11	8301,23
3630	21	121,11	121,11	14667,90
3380	22	-128,89	128,89	16612,35
3640	23	131,11	131,11	17190,12
3660	24	151,11	151,11	22834,57
3730	25	221,11	221,11	48890,12
3730	26	221,11	221,11	48890,12
3730	27	221,11	221,11	48890,12
94740	О28	-	3291,111111	544666,67

Тогда: =

=

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение можно рассчитать и по сгруппированным данным.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле:

(1.17)

где d - среднее линейное отклонение;

- центральный вариант i-того интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

_i - частота i-той группы.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле.

 (1.18)

где - среднее квадратическое отклонение;

- центральный вариант i-того интервала;

- частота i-той группы.

Для расчёта этих показателей для данных по производительности труда и для данных по фондовооружённости составим расчётные таблицы 1.15и 1.16.

Таблица 1.15 Расчёт среднего линейного и среднего квадртического отклонений для сгруппированных данных по объему производства

Группы предприятий по объему производства	Код строки				*		*
А	Б	1	2	3	4	5	6
13551-13751	1	4	13651	274,07	1096,30	75116,60	300466,39
13751-13951	2	13	13851	74,07	962,96	5486,97	71330,59
13951-14151	3	7	14051	125,93	881,48	15857,34	111001,37
14151-14351	4	2	14251	325,93	651,85	106227,71	212455,42
14351-14551	5	1	14451	525,93	525,93	276598,08	276598,08
Итого:	6	27	-	1325,93	4118,52	479286,69	971851,85

Тогда: .

Таблица 1.16 Расчёт среднего линейного и среднего квадратического отклонений для сгруппированных данных по фондовооружённости

Группы предприятий по фондовооруж.	Код строки				*		*
А	Б	1	2	3	4	5	6
3231-3331	1	5	3281	207,4074	1037,0370	43017,83265	215089,16324
3331-3431	2	5	3381	107,4074	537,0370	11536,35117	57681,75583
3431-3531	3	5	3481	7,4074	37,0370	54,86968	274,34842
3531-3631	4	7	3581	92,5926	648,1481	8573,38820	60013,71742
3631-3731	5	5	3681	192,5926	962,9630	37091,90672	185459,53361
Итого:	6	27	-	607,41	3222,22	100274,34842	518518,51852

Тогда:

.

Таким образом средняя величина колеблемости объема производства составляет: по среднему линейному отклонению 152.54, по среднему квадратическому отклонению 189.72. Средняя величина колеблемости фондовооружённости составляет: по среднему линейному отклонению 119.342 , по среднему квадратическому отклонению 138.5799.

Для характеристики вариации признака используется коэффициент вариации, который определяется по следующей формуле:

(1.19)

где V- коэффициент вариации;

- среднее квадратическое отклонение;

- средняя арифметическая взвешенная;

Для данных по объему производства имеем следующее:

=189.72 =13925.07

.

Для данных по фонднвооружённости имеем следующее:

=138.5799, =3488.41

Следовательно, вариация в ряду предприятий, сгруппированных по объему производства, считается небольшой V= 1.362434%<33.33%, а ряд устойчивым. Вариация в ряду предприятий, сгруппированных по фондовооружённости, считается небольшой V= 3.97258%<33.33%, а ряд устойчивым.

Для того чтобы определить, какие условия вызывают вариацию признака, необходимо использовать такие показатели вариации, как дисперсии. Среди них различают общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых.

Общая дисперсия характеризует вариацию под воздействием всех признаков, влияющих на изучаемый показатель. Она определяется по формуле:

,(1.20)

где - общая дисперсия;

X- Индивидуальное значение признака; - простая средняя арифметическая;

n- численность совокупности.

Из формулы (1.20) следует, что, зная значение среднего квадратического отклонения для несгруппированных данных, можно определить общую дисперсию. Для данных по производительности труда =187.3282, тогда: =(187.3282)² = 35089.53.

Для данных по фондовооружённости тогда: =142.03; =(142.03)²=201725.21.

Для того чтобы определить, насколько вариация единиц совокупности характеризуется условием, положенным в основу группировки совокупности, найдём межгрупповую дисперсию по формуле:

 (1.21)

где - межгрупповая дисперсия;

- средняя арифметическая i-той группы;

- простая средняя арифметическая;

- частота i -той группы.

В формуле (1.21) средняя арифметическая i-той группы рассчитывается как простая средняя арифметическая по всем элементам совокупности, входящим в данную i -тую группу совокупности, рассчитаем среднюю арифметическую групповую по формуле:

=, (1.22)

где , - средняя арифметическая i-той группы;

, - элементы совокупности, входящие в i-тую группу;

k - численность элементов совокупности, входящих в i-тую группу.

Для расчёта средних арифметических по группам, выделенным по объему производства и по фондовооружёноости составим расчётные таблицы 1.17 и 1.18.

Таблица 1.17 Расчёт средних арифметических по отдельным группам, выделенным по объему производства

Группы предприятий по объему производства	Код строки	Элементы группы
А	Б	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	113	14	15	16
13551-13751	1	13730	13630	13675	13735										4	54770	13692,50
13751-13951	2	13850	13765	13836	13850	13890	13875	13773	13833	13830	13848	13930	13940	13940	13	180160	13858,46
13951-14151	3	13970	13960	14035	14030	14060	14096	13956							7	98107	14015,29
14151-14351	4	14333	14350												2	28683	14341,50
14351-14551	5	14380													1	14380	14380,00

Рассмотрим методы заполнения таблицы на примере группы предприятий, имеющих объем производства от 14351 до 14551. В данную группу входят следующие элементы: 14380, тогда:

.

Аналогично определяются средние арифметические по другим группам.

Точно так же строится таблица расчётов средних арифметических по отдельным группам, выделенным по фондовооружённости.

Таблица 1.18 Расчет средних арифметических по отдельным группам, выделенным по фондовооружённости

Группы предприятий по фондовооруженности.	Код строки	Элементы группы
А	Б	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12
3231-3331	1	3330	3330	3330	3330	3330			5	16650,00	3330,000
3331-3431	2	3350	3360	3390	3380	3380			5	16860,00	3372,000
3431-3531	3	3480	3480	3500	3530	3530			5	17520,00	3504,000
3531-3631	4	3550	3580	3570	3550	3600	3630	3540	7	25020,00	3574,286
3631-3731	5	3640	3660	3730	3730	3730			5	18490,00	3698,000

Затем полученные средние арифметические по отдельным группам подставим в формулу (1.21). Для вычисления межгрупповых дисперсий по производительности труда и по фондовооружённости составим расчётные таблицы 1.19 и 1.20.

Таблица 1.19 Вычисление межгрупповой дисперсии по объему производства

Группы предприятий по объему производства	Код строки			-	(- )2	(- )2 *
А	Б	1	2	3	4	5
13551-13751	1	4	13692,50	-237,13	56230,46	224921,8450
13751-13951	2	13	13858,46	-71,17	5064,90	65843,6636
13951-14151	3	7	14015,29	85,66	7336,96	51358,7539
14151-14351	4	2	14341,50	411,87	169637,20	339274,4040
14351-14551	5	1	14380,00	450,37	202833,47	202833,4705
Итого:	6	27	-	-	-	884232,1370

Тогда: =

Таблица 1 .20 Вычисление межгрупповой дисперсии по фондовооружённости

Группы предприятий по фондовоору-женности	Код строки			-	(- )2	(- )2 *
А	Б	1	2	3	4	5
3231-3331	1	5	3330,000	-178,889	32001,23457	160006,1728
3331-3431	2	5	3372,000	-136,889	18738,56790	93692,83951
3431-3531	3	5	3504,000	-4,889	23,90123	119,5061728
3531-3631	4	7	3574,286	65,397	4276,74477	29937,2134
3631-3731	5	5	3698,000	189,111	35763,01235	178815,0617
Итого:	5	27	-	-	-	462570,7937

Тогда: =.

Для того чтобы определить, насколько вариация единиц совокупности характеризуется влиянием не учитываемых факторов, вычисляют среднюю из внутригрупповых дисперсий. Она определяется по формуле:

 (1.23)

где -средняя из внутригрупповых дисперсия;

- внутригрупповая дисперсия;

- частота i-ой группы.

Внутригрупповая дисперсия определяется по формуле:

=, (1.24)

где -внутригрупповая дисперсия;

x- индивидуальное значение единицы совокупности из i- ой группы; - частота i-ой группы; - простая средняя арифметическая i-ой группы.

Значит, сначала найдём внутригрупповые дисперсии для каждой группы, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсию.

Для вычисления внутригрупповых дисперсий для групп предприятий, выделенных по объему производства и по фондовооружённости, составим расчётные таблицы 1.21 и 1.22.

Таблица 1.21 Вычисление внутригрупповых дисперсий для групп, выделенных по объему производства

Группы предприятий по объему производства	Код строки	x		x-	(x- )2
А	Б	1	2	3	4
13551-13751	1	13730	13692,5	37,5	1406,25
	2	13630		-62,5	3906,25
	3	13675		-17,5	306,25
	4	13735		42,5	1806,25
Итого:	5	-	-	-	7425
13751-13951	6	13850	13858,5	-8,5	71,5976
	7	13765		-93,5	8735,06
	8	13836		-22,5	504,521
	9	13850		-8,5	71,5976
	10	13890		31,5	994,675
	11	13875		16,5	273,521
	12	13773		-85,5	7303,67
	13	13833		-25,5	648,29
	14	13830		-28,5	810,059
	15	13848		-10,5	109,444
	16	13930		71,5	5117,75
	17	13940		81,5	6648,52
	18	13940		81,5	6648,52
Итого:	19	-	-	-	31288,7
13951-14151	20	13970	14015,3	-45,3	2050,8
	21	13960		-55,3	3056,51
	22	14035		19,7	388,653
	23	14030		14,7	216,51
	24	14060		44,7	1999,37
	25	14096		80,7	6514,8
	26	13956		-59,3	3514,8
Итого:	27	-	-	-	17741,4
14151-14351	28	14333	14341,5	-8,5	72,25
	29	14350		8,5	72,25
Итого:	30	-	-	-	144,5
14351-14551	31	14380	14380	0	0
Итого:	32	-	-	-	0

В соответствии с результатами, полученными в таблице 1.21, найдём значения внутригрупповых дисперсий по формуле (1.24).

==, ==, ==, ==,

==,

Таблица 1.22 Вычисление внутригрупповых дисперсий для групп предприятий, выделенных по фондовооружённости

Группы предприятий по фондовооруженности	Код строки	x		x-	(x- )2
А	Б	1	2	3	4
3231-3331	1	3330	3330,0	0	0
	2	3330		0	0
	3	3330		0	0
	4	3330		0	0
	5	3330		0	0
Итого:	6	-	-	-	0
3331-3431	7	3350	3372,0	-22,0	484
	8	3360		-12,0	144
	9	3390		18,0	324
	10	3380		8,0	64
	11	3380		8,0	64
Итого:	12	-	-	-	1080
3431-3531	13	3480	3504,0	-24,0	576
	14	3480		-24,0	576
	15	3500		-4,0	16
	16	3530		26,0	676
	17	3530		26,0	676
Итого:	18	-	-	-	2520
3531-3631	19	3550	3574,3	-24,3	589,796
	20	3580		5,7	32,6531
	21	3570		-4,3	18,3673
	22	3550		-24,3	589,796
	23	3600		25,7	661,224
	24	3630		55,7	3104,08
	25	3540		-34,3	1175,51
Итого:	26	-	-	-	6171,43
3631-3731	27	3640	3698,0	-58,0	3364
	28	3660		-38,0	1444
	29	3730		32,0	1024
	30	3730		32,0	1024
	31	3730		32,0	1024
Итого:	32	-	-	-	7880

В соответствии с результатами, полученными в таблице 1.22, найдём значения внутригрупповых дисперсий по формуле (1.24).

==, ==,

==, ==, ==.

Для вычисления средних из внутригрупповых дисперсий по объему производства и по фондовооруженности составим расчетные таблицы 1.23 и 1.24.

Таблица 1.23 Вычисление из внутригрупповых дисперсии по объему производства

Группы предприятий по объему производства	Код строки			*
А	Б	1	2	3
13551-13751	1	4	1856,25	7425,000
13751-13951	2	13	2406,82	31288,710
13951-14151	3	7	2534,49	17741,429
14151-14351	4	2	72,25	144,500
14351-14551	5	1	0,00	0,000
Итого:	6	27	-	56599,639

Тогда: =.

Таблица 1.24 Вычисление из внутригрупповых дисперсии по фондовооруженности

Группы предприятий по объему производства	Код строки			*
А	Б	1	2	3
3231-3331	1	5	0,00000	0,00000
3331-3431	2	5	216,00000	1080,00000
3431-3531	3	5	504,00000	2520,00000
3531-3631	4	7	881,63265	6171,42857
3631-3731	5	5	1576,00000	7880,00000
Итого:	6	-	-	17651,42857

Тогда: =.

Установлено, что межгрупповая дисперсия и средняя из внутригрупповых дисперсия в сумме составляют общую дисперсию. Это соотношение носит название правила сложения дисперсий:

где - общая дисперсия;

- межгрупповая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсия.

Проверим правило сложения дисперсий, для этого подставим значения ,, в формулу (1.25).

Расчёты дисперсий по объему производства дали следующие результаты:

=35091,85;

=32749,34;

=2096,2829;

Тогда: +=32749,34+2096,2829=34845,623,, значит расхождение между и (+)составляет :

100%-=100%-=100%-0.99298*100%=0,70171

Расчёты дисперсий по фондовооружённости дали следующие результаты:

=20172,5209;

=17132,25;

=653,7566;

Тогда: +=17132,25+653,7566=17786,00823, значит расхождение полученное между и (+), составляет :

100%-=100%-=100%-0,99168*100%=0,8326

1.6 Построить кривые распределения

а) эмпирическую;

б) теоретическую.

Эмпирическая линия - это линия по фактическим данным. Для её построения необходимо отложить на оси абсцисс центральные варианты групп, а на оси ординат - частоты (см. рис. 1.5 и рис. 1.6). Теоретическая линия строится по теоретическим частотам, которые определяются для каждой выделенной группы. Теоретические частоты вычисляются по следующее формуле:

(1.26)

где - теоретическая частота для определённой группы;

i - величина интервала;

- среднее квадратическое отклонение;

- сумма частот ряда;

- математическая функция, определяемая по специальным таблицам в соответствии с рассчитанным значением t .

Значение t называется отклонением, оно определяется по формуле:

, (1.27)

где t - нормированное отклонение;

- центральный вариант i-того интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

Для вычисления теоретических частот рядов распределения предприятий по объему производства и по фондовооружённости составим расчётные таблицы 1.25 и 1.26. При этом для данных по объему производства

= 13925,07 = 189,72 i=200;

тогда: == 28,46*.

Для данных по фондовооружённости: = 3488,41 = 138,579 i=100,

тогда: == 19,48*.

Таблица 1 .25 Расчёт теоретических частот ряда распределения предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки			-	t
А	Б	1	2	3	4	5	6
13551-13751	1	4	13651	-274,07	-1,44	0,1415	4
13751-13951	2	13	13851	-74,07	-0,39	0,3697	11
13951-14151	3	7	14051	125,93	0,66	0,3209	9
14151-14351	4	2	14251	325,93	1,72	0,0909	3
14351-14551	5	1	14451	525,93	2,77	0,0086	1
Итого:	6	27	-	-	-	-	27

Таблица 1.26 Расчёт теоретических частот ряда распределения предприятий по фондновооружённости

Группировка предприятий по объему производства	Код строки			-	t
А	Б	1	2	3	4	5	6
3231-3331	1	5	3281	-207,41	-1,4967	0,1315	3
3331-3431	2	5	3381	-107,41	-0,7751	0,2966	6
3431-3531	3	5	3481	-7,41	-0,0535	0,3984	8
3531-3631	4	7	3581	92,59	0,6682	0,3209	7
3631-3731	5	5	3681	192,59	1,3898	0,1539	3
Итого:	6	27	-	-	-	-	26

На основе проделанных расчётов можно построить кривые теоретического распределения.



Условные обозначения: - число предприятий; x - объем производства; ___ кривая эмпирического распределения; ---- кривая эмпирического распределении Рисунок 1.11 Кривые эмпирического и теоретического распределения предприятий по объему производства

Условные обозначения: - число предприятий; y- фондовооруженность; Рисунок 1.12 Кривые эмпирического и теоретического распределения предприятий по фондовооружённости

1.7 Произвести анализ ряда распределения

а) рассчитать асимметрию;

б) рассчитать эксцесс;

в) оценить соответствие эмпирического распределения теоретическому по критериям Пирсона и Колмогорова.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс.

Чтобы оценить асимметрию используют показатель-коэффициент асимметрии, вычисляемый по следующее формуле:

(1.27)

где K_A- коэффициент асимметрии;

- средняя арифметическая взвешенная,

- среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных;

- мода.

Рассчитаем коэффициент асимметрии по имеющимся данным:

для данных по объему производства: =13871, =13925.07, =189.72

для данных по фондовооруженности : =3581, =3488.41 =138.5799

.

Вычисленные коэффициенты асимметрии по объему производства указывают на то, что имеет место правосторонняя асимметрия - K_A >0.

Для оценки "крутости", т. е. большего или меньшего подъёма кривой эмпирического распределения по сравнению с теоретической кривой, используется такой показатель, как эксцесс.

Эксцесс определяется по следующей формуле:

(1.28)

где: - эксцесс;

- центральный момент четвёртого порядка;

- вреднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

Центральный момент четвёртого порядка определяется по следующей формуле:

(1.29)

где - центральный момент четвёртого порядка;

- центральный вариант i-того интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- частота i-той группы.

Для вычисления момента четвёртого порядка для распределения предприятий по объему производства и по фондовооружённости составим расчётные таблицы 1.27 и 1.28.

Таблица 1.27 Вычисление центрального момента четвёртого порядка для распределения предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки			-	(-)4	(-)4*
А	Б	1	2	3	4	5
13551-13751	1	4	13651	-274,07	5642503307,04637	22570013228,18550
13751-13951	2	13	13851	-74,07	30106822,77054	391388696,01707
13951-14151	3	7	14051	125,93	251455194,46184	1760186361,23291
14151-14351	4	2	14251	325,93	11284326199,89790	22568652399,79580
14351-14551	5	1	14451	525,93	76506497616,85640	76506497616,85640
Итого:	6	27	-	-	-	124896738302,08800

Тогда:

=189,72 .

В силу того, что эксцесс положителен, имеем, что эмпирическая кривая распределения предприятий по объему производства имеет более высокую и "плоскую" вершину, чем теоретическая кривая.

Таблица 1.28 Вычисление центрального момента четвёртого порядка для распределения предприятий по фондовооруженности

Группировка предприятий по фондовворужености	Код строки			-	(-)4	(-)4*
А	Б	1	2	3	4	5
3231-3331	1	5	3281	-207,407407	1850533925,68507	9252669628
3331-3431	2	5	3381	-107,407407	133087398,22483	665436991,1
3431-3531	3	5	3481	-7,40740741	3010,68228	15053,41139
3531-3631	4	7	3581	92,59259259	73502985,27965	514520897
3631-3731	5	5	3681	192,5925926	1375809544,23915	6879047721
Итого:	5	27	-	-	-	17311690291

Тогда: , =138,5799

.

В силу того, что эксцесс отрицателен, имеем, что эмпирическая кривая распределения предприятий по фондовооружённости имеет более низкую и "плоскую" вершину, чем теоретическая кривая.

Для проверки близости теоретического и эмпирического распределений и однородности исследуемой совокупности выработаны различные критерии согласия. Наиболее распространённым является критерий согласия Пирсона. Этот критерий определяется по следующей формуле:

, (1.30)

где - теоретическая частота:

- эмпирическая частота.

Как видно из формулы (1.30) критерий Пирсона основывается на свойствах распределения, позволяющих оценивать значимость разности между эмпирическими частотами и теми частотами, которые следовало бы ожидать, если бы данные соответствовали теоретическому распределению.

Для расчёта критерия Пирсона по объему производства и по фондовооружённости составим расчётные таблицы 1.29 и 1.30.

Таблица 1.29 Расчёт критерия Пирсона для распределения предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки			-	(-)2
А	Б	1	2	3	4	5
13551-13751	1	4	4	0	0	0,0002
13751-13951	2	13	11	2	6	0,5832
13951-14151	3	7	9	-2	5	0,4984
14151-14351	4	2	3	-1	0	0,1333
14351-14551	5	1	1	0	0	0,0000
Итого:	6	27	27	-	-	1,2152

Тогда: ,

Это расчётное значение необходимо сравнить с табличным значением. Такие значения приводятся в специальных таблицах, где указана вероятность того или иного значения критерия Пирсона при определённых степенях свободы (число выделенных групп в ряду минус три). В соответствии с таблицей критических значений критерия Пирсона при вероятности 0,95 и числе степеней свободы 5 (в ряду выделено 5 групп) находим =9,5. Следовательно, в нашем случае значит, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что в основе эмпирического распределения предприятий по объему производства лежит закон нормального распределения. Значит можно сделать вывод о том, что расхождения теоретических и эмпирических частот в нашем примере случайны, эмпирический ряд однороден, исходное распределение близко нормальному.

Таблица 1.30 Расчёт критерия Пирсона для распределения предприятий по фондовооружённости

Группировка предприятий по объему производства	Код строки			-	(-)2
А	Б	1	2	3	4	5
3231-3331	1	5	3	2	6	2,3198
3331-3431	2	5	6	-1	1	0,1049
3431-3531	3	5	8	-3	8	0,9829
3531-3631	4	7	7	0	0	0,0000
3631-3731	5	5	3	2	4	1,3360
Итого:	5	27	26	-	-	4,7437

Тогда:

Это расчётное значение необходимо сравнить с табличным значением. Такие значения приводятся в специальных таблицах, где указана вероятность того или иного значения критерия Пирсона при определённых степенях свободы (число выделенных групп в ряду минус три). В соответствии с таблицей критических значений критерия Пирсона при вероятности 0,95 и числе степеней свободы 5 (в ряду выделено 5 групп) находим =9,5. Следовательно, в нашем случае значит, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что в основе эмпирического распределения предприятий по объему производства лежит закон нормального распределения. Значит можно сделать вывод о том, что расхождения теоретических и эмпирических частот в нашем примере случайны, эмпирический ряд однороден, исходное распределение близко нормальному. Далее рассмотрим близость эмпирического и теоретического распределения с помощью критерия Колмогорова (критерий - ). Для этого сравнивают кумулятивные частоты в вариационных рядах, и определяют по следующей формуле:

, (1.31)

где D - максимальная разность между накопленными эмпирическими и

теоретическими частотами;

n - численность совокупности.

Таблица 1.31 Сравнение значений кумулятивных частот эмпирического и теоретического распределений предприятий по объему производства

Группировка предприятий по объему производства	Код строки	Частота	Накопительная частота	-
А	Б	1	2	3	4	5
13551-13751	1	4	4	4	4	0
13751-13951	2	13	11	17	15	2
13951-14151	3	7	9	24	24	0
14151-14351	4	2	3	26	26	0
14351-14551	5	1	1	27	27	0

Из колонки 5 таблицы 1.31 можно найти, что максимальная разность между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами равна 1.

тогда при n = 27 и D = 2 получим следующее значение :

По таблице значений вероятности критерия Колмогорова находим значение вероятности достижения величины 0.3849, которая приблизительно равна 1,00. Следовательно, с вероятностью 1.00 можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических являются случайными и в основе эмпирического распределения лежит закон нормального распределения.

Таблица 1.32 Сравнение значений кумулятивных частот эмпирического и теоретического распределений по фондовооружённости

Группировка предприятий по объему производства	Код строки	Частота	Накопительная частота	-
А	Б	1	2	3	4	5
3231-3331	1	5	3	5	3	2
3331-3431	2	5	6	10	8	2
3431-3531	3	5	8	15	16	-1
3531-3631	4	7	7	22	23	-1
3631-3731	5	5	3	27	26	1

Тогда:

По таблице значений вероятности критерия Колмогорова находим значение вероятности достижения величины 0.3849, которая приблизительно равна 1,00. Следовательно, с вероятностью 1.00 можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических являются случайными и в основе эмпирического распределения лежит закон нормального распределения.

1.8 Построить аналитическую группировку. При построении аналитической комбинационной зависимости зависимый признак расположить в строках таблицы, а факторный признак в столбцах

Представим аналитическую группировку в виде корреляционной таблицы, которая является комбинацией двух рядов распределения, в строках которой расположим зависимый признак (объем производства), а в столбцах - факторный признак (фондовооружённость). В клетках, образованных пересечением строк и столбцов, запишем число единиц, обладающих соответствующими значениями х и y

Таблица 1.33 Зависимость объема производства от фондовооружённости

	Код строки	115-128	128-141	141-154	154-167	167-180	Итого:
А	Б	1	2	3	4	5	6
13551-13751	1	1				1	4
13751-13951	2	3	5	3	1	3	13
13951-14151	3	1		4	1	1	7
14151-14351	4				2		2
14351-14551	5				1		1
Итого:	6	5	5	7	5	5	27

Данная корреляционная таблица 1.33 уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии связи, также выяснить её направление. Так как частоты в данной таблице расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол т.е. большим значениям фактора соответствуют большие значения функции, то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между объемом производства и фондовооружённостью.

Кроме того, из таблицы видно, что частоты плотно сконцентрированы у диагонали. Следовательно, корреляционная таблица 1.33 свидетельствует о наличии тесной прямолинейной связи объема производства предприятий и фондовооружённостью.

1.9 Корреляционно-регриссионный анализ

а) построить поле корреляции;

б) определить форму зависимости, рассчитать коэффициенты регрессии и эластичности;

в) рассчитать:

линейный коэффициент корреляции;

корреляционное отношение;

теоретическое корреляционное отношение;

коэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла;

произвести оценку коэффициента корреляции по критерию Фишера.

Первоначальное ознакомление с имеющейся связью между эмпирическими данными можно осуществить по графику корреляционного поля. Построим поле корреляции в прямолинейной системе координат, где по оси абсцисс в определённом масштабе нанесём значения факторного признака (фондовооружённости), по оси ординат - значения зависимого признака (объема производства). На пересечении абсцисс и ординат соответствующих конкретным значениям признаков, отметим точки, совокупность которых и представляет корреляционное поле (рис. 1.13).

На рис. 1.13 в расположении точек ясно видна тенденция к повышению объема производства в зависимости от роста фондовооружённости. Поэтому связь между объемом производства и фондовооружённостью может быть описана уравнением прямой , где у - объем производства; x -фондовооружённость; -объем производства предприятия, не имеющего фондовооружённости (при x = о); - размер увеличения объема производства с ростом фондовооружённости.

Условные обозначения: y - объем производства; x - фондовооружённость. Рисунок 1.13 Корреляционное поле зависимости объема производства от фондовооружённости по 27 предприятиям

Найдём параметры прямой и методом наименьших квадратов, который приводит к системе двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Значит, для нахождения параметров прямой и необходимо найти Сделаем это в таблице (1.34).

Таблица 1.34 Расчёт параметров прямой связи объема производства и фондовооружённости

Объем производства y	Фондовооруженность x	Код строки
А	Б	В	1	2	3
13730	3330	01	11088900,00	45720900,00	13741,93789
13630	3330	02	11088900,00	45387900,00	13741,93789
13675	3330	03	11088900,00	45537750,00	13741,93789
13735	3350	04	11222500,00	46012250,00	13762,92206
13850	3540	05	12531600,00	49029000,00	13962,27167
13765	3330	06	11088900,00	45837450,00	13741,93789
13836	3480	07	12110400,00	48149280,00	13899,31916
13850	3330	08	11088900,00	46120500,00	13741,93789
13890	3360	09	11289600,00	46670400,00	13773,41414
13875	3390	10	11492100,00	47036250,00	13804,89040
13773	3480	11	12110400,00	47930040,00	13899,31916
13833	3380	12	11424400,00	46755540,00	13794,39831
13830	3500	13	12250000,00	48405000,00	13920,30333
13848	3530	14	12460900,00	48883440,00	13951,77959
13930	3530	15	12460900,00	49172900,00	13951,77959
13940	3550	16	12602500,00	49487000,00	13972,76376
13956	3580	17	12816400,00	49962480,00	14004,24001
13940	3570	18	14212900,00	52553800,00	14203,58962
13970	3550	19	12602500,00	49593500,00	13972,76376
13960	3600	20	12960000,00	50256000,00	14025,22418
14035	3630	21	13176900,00	50947050,00	14056,70044
14030	3380	22	11424400,00	47421400,00	13794,39831
14060	3640	23	13249600,00	51178400,00	14067,19252
14096	3660	24	13395600,00	51591360,00	14088,17669
14333	3730	25	13912900,00	53462090,00	14161,62128
14350	3730	26	13912900,00	53525500,00	14161,62128
14380	3730	27	13912900,00	53637400,00	14161,62128
376100	94740	28	332976800,00	1320264580,00	376100,00



,

Значит, уравнение связи между объемом производства и фондовооружённостью 27 предприятий будет иметь вид:

y = 10248.07363+ 1.049208*x. (1.35)

Подставим в уравнение (1.35) конкретные значения y и найдём для всех 27 предприятий y_m т. е. теоретические значения объема производства (см. колонку 3 таблицы 1.34). Теоретические и эмпирические значения объема производства не различаются, совпадают суммы этих уровней (376100 и 376100).

Вычисленный выше параметр прямой называется коэффициентом регрессии. В нашем случае =10248.07363>0, значит имеется прямая корреляционная зависимость между объемом производства и фондовооружённостью.

Также для оценки связи между х и у используется коэффициент эластичности, который определяется по следующей формуле:

, (1.36)

где Э - коэффициент эластичности;

- коэффициент регрессии;

- средняя арифметическая по фондовооружённости;

- средняя арифметическая по объему производства.

По проделанным ранее вычислениям имеем: =10248.07363, =3508.89. =13929.63.

Тогда подставим эти значения в формулу(1.36) и получим следующее значение коэффициента эластичности:

Это означает, что при изменении фондовооружённости на 1% объем производства изменяется на 0.2643%.

Кроме того, корреляцию можно охарактеризовать с помощью линейного коэффициента корреляции. Этот показатель определяется по следующей формуле:

, (1.37)

где r - линейный коэффициент корреляции;

x- средняя арифметическая по фондовооружённости;

y - средняя арифметическая по объему производства;

- среднее квадратическое отклонение по фондовооружённости;

- среднее квадратическое отклонение по объему производства.

- рассчитывается по следующей формуле:

, (1.38)

Для расчёта этого значения воспользуемся итоговым значением колонки 2 таблицы 1.34: