Адаптивные модели сезонных явлений

2

Контрольная работа

по Статистическим методам прогнозирования в экономике

На тему «Адаптивные модели сезонных явлений»

Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. От характера этих колебаний их часто делят на два класса: мультипликативные и аддитивные.

При мультипликативных сезонных колебаниях предполагается, что амплитуда колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда (текущему среднему уровню ряда).

При аддитивном характере сезонности исходят из предположения о неизменности во времени, примерном постоянстве амплитуды периодических колебаний, ее независимости от уровня тренда. При этом для аддитивных колебаний характеристики сезонности будут измеряться в абсолютных величинах и отражаться в статистической модели в виде слагаемых, а для мультипликативных колебаний -- в относительных величинах и представляться в моделях в виде сомножителей.

Таким образом, экономические временные ряды, содержащие периодические сезонные колебания, могут быть описаны моделями как с аддитивным характером сезонности (1), так и с мультипликативным (2):

y₁=a_1,t*f_t+е_t; (1)

y₁=a_1,t*g_t+е_t, (2)

где a_1,t -- характеристика тенденции развития;

g₁, g_t-1,…,g_t-l+1 -- аддитивный сезонный фактор;

f_t, f_t-1,…,f_t-l+1 -- мультипликативный сезонный фактор;

l -- число фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений l=12, для квартальных -- l = 4);

е_t -- неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса.

В качестве примера рассмотрим модель с линейным характером тенденции и мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметрической модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса.

Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на ф шагов вперед определяется выражением:

y_ф(t)=(a_1,t+фa_2,t)?_t-l+ф (3)

Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

a_1,ф=a₁ y_t /?_t-l +(1-a₁)(a_1,t-1+a_2,t-1)

?_t=a₂ y_t /a_1,t+(1-a₂)?_t-l (4)

a_2,t=a₃(a_1,t - a_1,t-1)+(1- a₃) a_2,t-1

0<a₁,a₂,a₃,<1

Из (4) видно, что a_1,t является взвешенной суммой текущей оценки y_t /?_t-l полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных y_t , и суммы предыдущих оценок a_1,t-1+ a_2,t-1. В качестве коэффициента сезонности ?_t берется его наиболее поздняя оценка, полученная для аналогичной фазы цикла ?_t-l.

Затем величина a_1,t , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. Оценки a_2,t модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию.

Оптимальные значения для a₁,a₂,a₃ П. Уинтерс предлагал находить экспериментальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке значений. Критерием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки.

Примером другого подхода -- с аддитивной сезонностью -- может служить модель сезонных явлений с линейным ростом, предложенная Г.Тейлом и С.Вейджем.

Практическая значимость этой модели объясняется не только тем, что в экономических временных рядах довольно часто можно встретить этот тип динамики развития.

Опыт проведения экспериментальных расчетов свидетельствует о том, что динамика многих экономических показателей может быть описана с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальную тенденцию с мультипликативным сезонным эффектом. Прологарифмировав исходный временной ряд, на практике часто преобразуют экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативный сезонный эффект в аддитивный. Таким образом, динамику преобразованного показателя можно моделировать и прогнозировать с помощью модели Г.Тейла и С.Вейджа.

Рассмотрим подробнее адаптивную тренд-сезонную модель, сочетающую линейный рост с аддитивной сезонностью.

Прогноз по этой модели на ф шагов вперед определяется выражением:

y_ф(t)=a_1,t+a_2,t* ф + g_t-l+ф (5)

Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

a_1,t=a₁(y_t - g_t-l)+(1- a₁)(a_1,t-1+ a_2,t-1)

g_t=a₂(y_t -a_1,t)+(1-a₂)g_t-l

a_2,t=a₃(a_1,t - a_1,t-1 )+(1- a₃)a_2,t-1 (6)

0<a₁,a₂,a₃,<1

Прогнозные оценки на основе формул (3) и (5) получаются экстраполяцией тенденции линейного роста на основе последних значений коэффициентов a_1,t и a_2,t , а также добавлением (в виде сомножителя или слагаемого) самой свежей оценки сезонного эффекта для этой фазы цикла (?_{t-l+ ф} или g _{t-l+ ф}). Это справедливо для случая, когда время упреждения удовлетворяет условию: 0< ф<l

Очевидно, что для l< ф ? 2*l самой последней оценкой сезонного эффекта будут значения ?_{t-2*l+ ф} или g_t-2*l+ф и т.д.

Таким образом, в двух рассмотренных моделях прогнозные оценки являются функцией прошлых и текущих уровней временного ряда, параметров адаптации a₁,a₂,a₃ , а также начальных значений как коэффициентов a_1,0 , a_2,0 так и сезонного фактора для каждой фазы цикла.

В качестве a_1,0 , a_2,0 на практике берут МНК-оценки коэффициентов линейного тренда y_t=a₁+a₂*t, определенные по исходному временному ряду или его части. Начальные значения сезонного фактора для аддитивной модели определяют усреднением отклонений фактических уровней от расчетных (y_t) для каждой фазы цикла (например, для одноименных месяцев, кварталов). Для мультипликативной модели усреднением частного от деления фактических уровней на расчетные (y_t) для каждой фазы цикла.

Отметим, что по аналогичной схеме строятся модели с экспоненциальным и демпфирующим трендом в сочетании с сезонными эффектами обоих типов.

Адаптивные сезонные модели являются важной составной частью современных статистических пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач прогнозирования.

Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А., Статистические методы прогнозирования в экономике, М.-2003;

2. Дуброва Т.А., Архипова М.Ю. Статистические методы прогнозирования в экономике, М.-2004;

3. Гранберг А.Г. Статистическое моделирование и прогнозирование, Учебное пособие, М.-1990.