Колебания, статическая и динамическая устойчивость трубопроводов большого диаметра

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Колебания, статическая и динамическая устойчивость трубопроводов большого диаметра

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Соколов Владимир Григорьевич

Санкт-Петербург 2011

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» на кафедре сопротивления материалов.

Научный консультант: член корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор Ильин Владимир Петрович

Официальные оппоненты:

академик РААСН, доктор технических наук, профессор Травуш Владимир Ильич

доктор технических наук, профессор Улитин Виктор Васильевич

доктор технических наук, профессор Якубовский Юрий Евгеньевич

Ведущая организация: Петербургский государственный университет путей сообщения (ПГУПС), г. Санкт-Петербург

Защита состоится « 17 » мая 2012 г., в 14³⁰ часов

на заседании диссертационного совета Д 212.223.03 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет», по адресу: 190005, г. Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, д.4, ауд. 219. Факс (812) 316-58-72 Электронная почта: rector@spbgasu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»,

Автореферат разослан «_____»_____________ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор Л.Н. Кондратьева

трубопровод колебание устойчивость



ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие нефтяной и газовой промышленности, растущая потребность транспортировки нефти и газа на большие расстояния способствует расширению сети магистральных трубопроводов. Например, построенный магистральный газопровод «Северный поток» из России в страны Западной Европы по дну Балтийского моря будет иметь протяженность 1200 км, а газопровод «Южный поток» по дну Черного моря 900 км. Эти сооружения выполняются из тонкостенных труб диаметром 1220 мм, и более. Статические и динамические расчеты при проектировании таких трубопроводов должны обеспечить надежность их эксплуатации. Следовательно, при проектировании трубопроводов необходимо использовать такие расчетные модели, которые наиболее полно отражают реальные особенности эксплуатации рассматриваемых конструкций. Расчеты, проводящиеся по СНиП и другим нормативным документам, как правило, базируются на стержневой теории, затрагивающие отдельные аспекты надежности эксплуатации трубопроводов. Принимаемая в расчете трубопроводов базовая расчетная модель в виде стержня с недеформируемым контуром поперечного сечения является приближенным представлением об эксплуатации тонкостенного трубопровода большого диаметра. По этой расчетной схеме не удается учесть многие важные факторы, свойственные реальным трубопроводам, а именно, невозможно учесть влияние внешнего или внутреннего давления на динамические характеристики и устойчивость трубопровода, не учитывает влияние криволинейных вставок, которые возможно рассчитать только с использованием теории тороидальных оболочек.

Настоящая работа направлена на совершенствование динамического расчета тонкостенных труб большого диаметра надземных и глубоководных трубопроводов.



Степень разработки проблемы.

Анализируется современное состояние вопроса, относящегося к теме диссертации. Приводится обзор работ, посвященных исследованию свободных колебаний и динамической устойчивости трубопроводов с протекающей жидкостью, как на основании стержневой теории, так и на базе теории оболочек.

Впервые задача о свободных колебаниях прямолинейного трубопровода, содержащего поток жидкости, была решена Х. Эшли и Ж. Хэвилендом с позиции теории стержней. Однако из-за неполного учета сил инерции протекающей жидкости ими был получен неточный результат. В последовавших работах В.И. Феодосьева, Г.В. Хазнера, В.В. Болотина, А.А. Гладских, С.А. Хачатуряна было получено основное уравнение движения прямой трубы, свободно опертой на концах, и развивались в направлении уточнения решения, учета новых факторов влияющих на свободные колебания трубопроводов. Так, например, влияние скорости потока жидкости, продольной сжимающей силы, упругого основания грунта. К экспериментальным исследованиям в этой области относятся работы А.П. Ковревского и Р. Лонга. Позднее подробный анализ работ, посвященный проблеме колебаний прямолинейных трубопроводов с потоком жидкости в рамках стержневой теории, выполнены академиком С.В. Челомеем и В.А. Светлицким.

Исследования свободных колебаний криволинейных участков трубопроводов с постоянным потоком жидкости в рамках стержневой теории рассмотрены в работах В.С. Ушакова, Т. Анни, И. Хилла, С. Девиса, М.П. Пайдуссиса, П.Д. Доценко, В.А. Светлицкого. Во всех этих трудах приводятся уравнения движения криволинейного плоского или пространственного трубопровода, решения которых и их анализ представлены в виде графиков зависимостей частот свободных колебаний от различных факторов (кривизны трубопровода, скорости потока жидкости и др.) Аналитических выражений приемлемых для практического использования эти работы не содержат. В работах А.К. Кохли, Б.С. Накра эта задача решается методом конечных элементов. Экспериментальные исследования свободных колебаний с потоком жидкости подробно описаны в работе Ватари Ацуси.

Колебания тонкостенных трубопроводов сопровождаются деформацией поперечных сечений. Вопросу исследования свободных колебаний цилиндрической оболочки посвящено большое количество статей, основанных на уравнениях В. Флюгге и теории пологих оболочек В.З. Власова. Наиболее полное решение задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки с учетом радиальных и тангенциальных сил инерции, а также внутреннего давления было получено В.П. Ильиным, О.Б. Халецкой на основе геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек Власова-Новожилова.

Свободные колебания криволинейных участков трубопроводов большого диаметра исследовались большей частью на основании теории тороидальных оболочек. Большинство этих работ относятся к замкнутым тороидальным оболочкам, поэтому эти результаты нельзя использовать для определения динамических характеристик криволинейных участков трубопроводов. В статье В.С. Гонткевича для незамкнутых криволинейных участков трубопроводов получено кубическое уравнение для определения собственных частот, которое решается приближенным методом. Влияние внутреннего давления на частоты свободных колебаний исследовалось в статье А.В. Булыгина, а К. Федергоф исследовал осесимметричные колебания. Позднее в работах Мак-Гила тороидальная оболочка рассматривалась с позиции линейной теории упругости и решение получено методом конечных разностей.

Проблеме взаимодействий оболочек с установившимся потоком жидкости посвящены работы В.В. Болотина, М.А. Ильгамова, А.С. Вольмира, М.С. Грача, С.Г. Шульмана, И.С. Фанга, И.А. Харингса, Е.И. Ниордсона, М.П. Пайдуссиса, И.П. Дениса, Д.С. Уивера, Т.Е. Анни. В работах рассматриваются теоретические и экспериментальные исследования свободных колебаний и устойчивости.

Приведенные решения задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки с потоком жидкости основаны на различного рода допущениях (полубезмоментная теория, теория пологих оболочек, пренебрежение тангенциальными составляющими сил инерции и др.). Они дают приближенное представление о частотах и формах колебаний таких оболочек.

Теория динамической устойчивости стержней, основы которой были заложены Н.М. Беляевым в 1924г., получила развитие в работах В.В. Болотина, Б.З. Брачковского, В.А. Гастева, Е.А. Бейлина, Г.Ю. Джанелидзе, Н.А. Леоньева, Л.И. Мандельштама, П.А. Папалекси и др.

Одним из первых исследований динамической устойчивости трубопроводов с протекающей жидкостью с позиции стержневой теории являются решения, полученные И.И. Гольденблатом Н.А. Картвелишвили, Н.С. Натансоном, В.П. Катаевым, А.А. Мухиным, А.П. Ковреским, А.А. Мовчаном, В. Роза, С.С. Чена и других исследователей, в которых рассматривался пульсирующий поток жидкости, приводящих к системе связанных уравнений Матье-Хила. Определены границы областей неустойчивости для прямых труб с различными условиями опирания концов. В статьях С.В. Челомея дан качественный и количественный анализ основного главного параметрического резонанса и комбинационных резонансов, возникающих при двух кратных корнях характеристического уравнения.

Во всех работах, посвященных оценке динамической устойчивости тонких цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью проводились на основе сложного решения связанных систем дифференциальных уравнений Матье. Система решалась численными методами для каждого частого случая.

В литературных источниках имеется недостаточно информации по динамическому расчету морских глубоководных трубопроводов, которая, в основном, базируется на стержневой теории. Например, монографии П.П. Бородавкина или статьи А.Н. Пануша и Р.А. Синяка. В работе Мемото Кенича рассматривается композитная цилиндрическая оболочка, подверженная действию внутреннего и внешнего давления. В работе Д.В. Гринспуна рассматривается цилиндрическая оболочка типа «сандвич». В статьях С.Н. Кукуджанова, А.А. Ефимова исследуются свободные колебания и устойчивость однослойных трубопроводов.

Информация о динамическом расчете двухслойных морских глубоководных трубопроводов большого диаметра с позиции теории оболочек автору диссертации в доступной литературе найти не удалось.

Таким образом, рассматриваемые вопросы о свободных и параметрических колебаниях трубопроводов большого диаметра нуждаются в дальнейших исследованиях.

Цель и задачи исследований. На основе единой расчетной модели трубопроводов большого диаметра в виде оболочки среднего изгиба решить научно-техническую проблему совершенствования теоретических основ и аналитических методов динамического расчета прямых и криволинейных, надземных и подводных продуктопроводов.

В соответствии с поставленной целью необходимо осуществить решение следующих задач:

- На базе геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории цилиндрических оболочек среднего изгиба получить уравнения движения прямолинейного трубопровода большого диаметра с учетом всех составляющих сил инерции, продольных сил, внутреннего и внешнего давлений с учетом протекающей жидкости;

- Полученные уравнения движения для разных вариантов закрепления концевых сечений участков трубопроводов решить методом Бубнова-Галеркина с использованием фундаментальных балочных функций;

- На основании полученного решения исследовать свободные колебания надземных трубопроводов с разными условиями закрепления концевых сечений с учетом внутреннего давления и продольных сил, определить критические значения этих сил, при которых трубопровод теряет статическую устойчивость;

- Используя полубезмоментную теорию неоднородных оболочек решить задачу об определении частот и форм свободных колебаний двухслойных морских глубоководных трубопроводов, лежащих на упругом основании морского дна, подверженных действию внутреннего рабочего и наружного гидростатического давления, с учетом присоединенной массы жидкости;

- При нестационарном потоке нефти и газа в морском глубоководном продуктопроводе получить дифференциальное уравнение Матье, исследовать параметрические колебания трубопровода большого диаметра и его динамическую устойчивость с помощью построения и анализа границ модифицированных диаграмм Айнса-Стретта;

- Определить гидродинамическое давление жидкости, протекающей в тороидальной оболочке на основе теории потенциального течения несжимаемой жидкости в тороидальных координатах с использованием функций Лежандра первого рода.

- Решить задачу об изгибных свободных и параметрических колебаний криволинейных участков трубопровода в тороидальных координатах для труб большого диаметра;

- Представить решения для динамической устойчивости криволинейных участков трубопроводов в виде удобных для инженерных расчетов формул с использованием модифицированных диаграмм Айнса-Стретта.

Объект исследований - Прямолинейные и криволинейные участки газо- и нефтепроводы большого диаметра при надземной и подводной прокладке.

Предмет исследования - Свободные и параметрические колебания прямолинейных и криволинейных участков трубопроводов, статическая и динамическая устойчивость надземных и глубоководных трубопроводов.

Теоретические и методологическая основа исследования. Теоретической и методологической основой диссертации явились труды отечественных и зарубежных специалистов в области проектирования и динамических расчетов надземных и глубоководных трубопроводов.

Методы исследований. Используемый в диссертации расчетный аппарат основан на геометрически нелинейном варианте полубезмоментной теории оболочек и теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости. В решениях использован современный математический аппарат строительной механики: метод Фурье разделения переменных, вариационный метод Бубнова-Галеркина, фундаментальные функции В.З. Власова, функции Бесселя и Лежандра. Для контроля решения разделяющей системы дифференциальных уравнений методом Бубнова-Галеркина дополнительно использовано решение уравнений методом Эйлера. Теоретические результаты, полученные автором, сравнивались с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Информационно-эмпирическая база исследования основана на данных анализа, литературных источников, нормативных актов и анализа результатов эксплуатации надземных и глубоководных трубопроводов.

Области исследования соответствуют паспорту специальности 05.23.17 «Строительная механика». Рассматриваются спектры собственных частот и форм колебаний, критические значения внешнего давления и критические скорости протекающей жидкости, а также области динамической неустойчивости при пульсирующем воздействии давления или потока жидкости.

Научная новизна - на основании единой расчетной модели тонкостенного трубопровода большого диаметра в виде цилиндрической оболочки для прямых трубопроводов и тороидальной для криволинейных решены в аналитическом виде задачи определения частот свободных изгибных колебаний, статической и динамической устойчивости надземных напорных трубопроводов с протекающей жидкостью и морских двухслойных неоднородных глубоководных трубопроводов. Разработаны и усовершенствованы методы динамического расчета надземных и подводных газо- и нефтепроводов, соответствующим реальным условиям эксплуатации.

Достоверность результатов - основных положений диссертации обеспечена применением современного математического аппарата строительной механики, удовлетворительным соответствием частных случаев, полученных в диссертации формул с известными результатами других авторов, а также удовлетворительным соответствием с результатами эксперимента.

Практическое значимость - результаты полученных в диссертации решений представлены в виде аналитических выражений (формул) или модифицированных диаграмм Айнса-Стретта для областей динамической неустойчивости трубопроводов. Эти результаты обладают всеми преимуществами аналитических решений и, кроме того, могут быть полезными для контроля решений, полученных с помощью современных программных комплексов, основанных на методе конечных элементов.

Апробация работы. Основные положения и основные результаты диссертации, докладывались на научных семинарах и конференциях:

- научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов ЛИСИ, г. Ленинград, 1977г., 1978г.,

- конференция НТО «Проектировщики и исследователи Тюмени в борьбе за эффективность и качество», г. Тюмень, 1983г.,

- всесоюзная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Н.М. Беляева «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», ЛИИЖТ, г. Ленинград, 1990г.,

- региональный семинар «Проблемы заводнения при выработке трудноизвлекаемых запасов», ТюмГНГУ, г. Тюмень, 2008г.,

- международная научно - техническая конференция, посвященная 40-летию кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений», ТюмГНГУ, г. Тюмень, 2008г.,

- VII международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, Санкт-Петербург, 2008г.,

- научный семинар кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ТюмГНГУ, г. Тюмень, 2008 г.,

- ежегодная научная конференция профессоров, преподавателей научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2009г., 2010 г., 2011г.,

- VIII международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, Санкт-Петербург, 2011 г.

На защиту выносятся:

- исследования свободных колебаний надземных газопроводов с учетом внутреннего рабочего давления и продольных сил при различных граничных условиях. Получен критерий применения теории оболочек для определения частот свободных колебаний, зависящих от длины прямолинейного участка трубы;

- влияние продольных сил на частоты свободных колебаний и статическую устойчивость надземных газопроводов;

- методы определения свободных и параметрические колебания с позиций тонкостенных оболочек, определение областей статической и динамической устойчивости магистральных глубоководных газопроводов, лежащих на упругом основании;

- свободные колебания и статическая устойчивость надземных и глубоководных трубопроводов с протекающей жидкостью с учетом действия продольных сил для разных граничных условий;

- параметрические колебания и динамическая устойчивость глубоководных нефтепроводов, лежащих на упругом основании;

- свободные колебания и статическая устойчивость криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью и стационарным внешним давлением;

- определение гидродинамического давления жидкости в криволинейной трубе, моделируемой тороидальной оболочкой;

- параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов под действием возбуждающих сил.

Публикации. Основные положения работы отражены в печатных публикациях, в том числе 1 монография в соавторстве, 27 статей, из них 15 в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Рукопись состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Работа содержит 314 страниц, 47 рисунков, 19 таблиц, 11 приложений, список литературы из 208 наименований, в том числе - 42 на иностранном языке.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приводятся сведения о новизне исследований, обосновывается выбор объектов для проведения исследований.

Первая глава «Обзор литературных источников по теме диссертации» рассматривается современное состояние проблем расчетов свободных и параметрических колебаний надземных и глубоководных трубопроводов, а также вопросы статической и динамической устойчивости под действием возбуждающих сил.

Во второй главе «Свободные колебания и статическая устойчивость прямых участков в магистральных газопроводов как тонких цилиндрических оболочек» решается задача о свободных колебаниях и статической устойчивости прямых участков надземных магистральных газопроводов. Газопровод рассматривается при различных условиях закрепления.

В третьей главе «Свободные и параметрические колебания, статическая и динамическая устойчивость магистральных глубоководных трубопроводов» разработана методика динамического расчета неоднородных изотропных глубоководных трубопроводов, лежащих на упругом основании.

В четвертой главе «Колебания и устойчивость прямых трубопроводов с протекающей жидкостью» рассматриваются задачи о свободных колебаниях и статической устойчивости прямых участков надземных магистральных нефтепроводов, при различных условиях закрепления с учетом протекающей жидкости.

В пятой главе «Свободные и параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости» решается задача об исследовании частот и форм собственных изгибных колебаний в плоскости кривизны данного участка трубопровода как тонкой тороидальной оболочки с учетом динамического влияния протекающей жидкости, внутреннего давления и деформации срединной поверхности оболочки при немалых перемещениях. Исследуются параметрические колебания и динамическая устойчивость криволинейных участков трубопровода при пульсирующем движении жидкости и внешнем давлении.

В шестой главе «Сопоставление результатов, полученных в диссертации, с данными других авторов и экспериментальными исследованиями» приводится сравнение полученных в диссертации результатов, вычисленных по аналитическим выражениям, с данными других авторов, полученных численными методами, включая метод конечных элементов. Проводится сравнение результатов, полученных в диссертации, с опубликованными в литературе экспериментальными данными.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Свободные колебания надземных газопроводов как тонких цилиндрических оболочек с учетом внутреннего рабочего давления и продольных сил при различных граничных условиях. Критерий применения теории оболочек для определения частот свободных колебаний, зависящий от длины трубы.

Рассматривается газопровод в условиях постоянного внутреннего рабочего давления p₀ и продольной сжимающей силы F. Трубопровод представлен в виде замкнутой цилиндрической оболочки с радиусом средней линии поперечного сечения R, разделенный на участки длиной L кольцами жесткости. Материал считается изотропным с плотностью =const, модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона .

Оболочка рассматривается в системе цилиндрических координат , где x - продольная координата, отсчитывается по оси трубы, и - полярный угол в плоскости поперечного сечения. Компоненты перемещений произвольной точки срединной поверхности по направлению координат и по внешней нормали к срединной поверхности, отнесенные к радиусу поперечного сечения трубы R, обозначаются u, v и w.

Задача о свободных колебаниях решается с помощью геометрически нелинейной теории тонких оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова и допущений полубезмоментной теории Власова-Новожилова:

1. Относительное удлинение в окружном направлении ₂ мало по сравнению с относительными перемещениями w и производной .

2. Относительный сдвиг срединной поверхности ^* мал по сравнению с углами поворота и .

3. Усилия и деформации связаны между собой отношениями:



(1)

где Т₁ - продольная нормальная сила, H - крутящий момент, S - сдвигающее усилие, - изгибающие моменты, - относительные удлинения в направлениях и , ^* - относительный сдвиг, - изменение кривизны линии , - деформации кручения срединной поверхности оболочки, - цилиндрическая жесткость.

4. В уравнениях равновесия продольных и поперечных сил общей теории оболочек можно опустить величины поперечных сил , а в последнем уравнении моментов - величину крутящего момента H.

Исходное уравнение движения оболочки в усилиях, полученное на основании указанных допущений, имеет вид:

(2)

Здесь принято - составляющие сил инерции материала оболочки с учетом внутреннего радиального давления:

(3)

Задача решается в перемещениях с использованием соотношений упругости (1) и следующих зависимостей между деформациями и перемещениями, записанными с учетом допущений полубезмоментной теории оболочек:

(4)

где - угол поворота касательной к срединной линии поперечного сечения оболочки в результате деформации контура поперечного сечения, ₀ - исходная деформация, определенная в предположении недеформируемости сечений, А - площадь поперечного сечения, R₁, R₂ - радиусы кривизны оболочки в деформируемом состоянии в продольном и поперечном направлениях.

После преобразований уравнения (2) с использованием соотношений (1), (3), (4) разрешающее уравнение движения в перемещениях запишется в виде:

(5)

полученную систему уравнений (4), (5) решаем методом разделения переменных. Представим возникающую при изгибных колебаниях нормальную составляющую перемещений w(, , t), которая должна удовлетворять граничным условиям на концах оболочки и условиям цикличности по координате , в виде:

(6)



где (t) - функция времени t, b_mn = const, m,n - волновые числа, определяющие формы колебаний оболочки в окружном и продольном направлениях, аппроксимирующая функция продольной координаты f_n() подбирается исходя из граничных условий на краях оболочки.

Остальные компоненты перемещения и угол поворота определяются из соотношений (4):

(7)

Полагая свободные колебания гармоническими, представим функцию времени (t) в виде:

(8)

где _mn - круговая частота свободных колебаний оболочки по формам, определяемым значениями волновых чисел m, n = 1, 2, …

Подставляя (6), (7), (8) в разрешающее уравнение (5), получим систему уравнений:

(9)

где L_mn- дифференциальный оператор, определяемый выражением:



Коэффициенты при неизвестных функциях системы (9) определяются выражениями:

(10)

где

Для решения поставленной задачи по определению частот изгибных колебаний к выражению (9) применим процедуру Бубнова - Галеркина:

(11)

где - фундаментальные балочные функции.

Учитывая вид дифференциального оператора L_mn с коэффициентами (10), получим после интегрирования (11) разрешающую систему однородных алгебраических уравнений. Чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо принять равенство нулю определителя, составленного из её коэффициентов, который является характеристическим уравнением матрицы А:

(12)

Здесь приняты обозначения:

(13)

Таким образом, поставленная задача о свободных колебаниях прямолинейного участка трубопровода с учетом продольной силы обжатия, сводится к задаче на собственные значения матрицы А.

Для определения частот и форм свободных колебаний используются фундаментальные балочные функции, задаются граничные условия на концах участка тонкостенной прямолинейной трубы. Эти условия могут быть симметричными и несимметричными. Для каждого типа закрепления подбираются свои фундаментальные балочные функции.

1. Шарнирное закрепление. Граничные условия имеют вид:

при (14)

Отсюда следует:

при (15)

Эти же условия, выраженные в функциях , имеют вид:

при (16)

Данному закреплению соответствует фундаментальная балочная функция:

(17)

2. Жесткое защемление на концах. При таком закреплении обоих концов граничные условия имеют вид:

при о = 0 и о = l; . (18)

Эти условия, выраженные через , можно представить

(19)

Фундаментальная функция, соответствующая данному виду закрепления, принимается:

(20)

где при .

3. Шарнирно-закрепленный один конец оболочки, другой - жестко закреплен. При таком несимметричном закреплении граничные условия запишутся так:

при и ; (21)

Такому условию закрепления концевых сечений оболочки соответствует функция:



(22)

где .

Уравнение (12) распадается на p независимых уравнений. Из каждого такого уравнения можно определить частоту волновых колебаний при волновых числах m, n и заданных граничных условиях на концах оболочки. Обобщая приведенные выше выражения для различных вариантов закрепления концов участков, получим общее выражение для квадрата наименьшей частоты свободных колебаний при значениях волновых чисел m=1, 2, 3, … и n=1:

(23)

где , параметры и зависят от вида закрепления концов участка газопровода: для случая шарнирного закрепления ; для жесткого закрепления одного конца и шарнирного закрепления другого ; для жесткого закрепления обоих концов ; - безразмерный параметр продольной силы; - эйлерова сила; осевой момент инерции поперечного сечения трубы.

Полученное выражение (23) для определения квадрата частоты свободных колебаний позволяет определить более широкий спектр частот при волновых числах m=1, 2, 3…, определить оболочечные формы колебаний с учетом деформаций поперечных сечений для участков газопроводов с тремя видами наиболее встречающихся на практике закреплений на концах. Определение частот колебаний по формуле (23) производится с учетом внутреннего рабочего давления и продольной сжимающей силы.

Вычисления проводились для стальных труб с относительной толщиной h/R от 1/20 до 1/40 и длины L/R от 10 до 20.

Из (23) следует, что минимальные частоты зависят от длины L участков, а именно, уменьшаются по мере увеличения длины. Наибольшее различие в значениях частот для разных условий закрепления концов участков проявляется в коротких участках (L=10R). При увеличении длины до L=20R это различие существенно уменьшается. Так, при L=10R величина при закреплении на концах типа «шарнир - шарнир» оказывается на 27% меньше, чем при закреплении типа «защемление - защемление».

При увеличении длины до L=20R эта разница уменьшается до 3%, а частоты при разных закреплениях почти совпадают по величине. Здесь играет роль влияние граничных условий на деформацию при изгибных колебаниях. Для коротких труб граничные условия на стеснение деформации поперечных сечений, сказываются сильнее, чем для длинных труб.

Более подробный анализ полученных по (23) значений показал, что при некоторой предельной длине L^* значения низших частот рассчитанных по теории оболочек и по теории стержней совпадают и зависят от тонкости трубы h/R.

Значения предельной длины L^*, определяющие критерий применения теории оболочек в определении наименьших частот свободных колебаний при m=1 и m=2 без учета внутреннего давления (p^*=0) и продольной силы с любыми закреплениями концов имеют вид:

(24)

Предельная длина L* трубопровода с учетом внутреннего давления:

(25)

Предельная длина L* трубопровода с учетом продольной сжимающей силы:

(26)

Из проведенного анализа можно сделать вывод, что если длина L равна или превосходит предельную длину L^*, наименьшие частоты свободных изгибных колебаний следует определять по стержневой теории.

Рис. 1. Зависимость частот участков трубопровода длиной L=10R от действия продольных сжимающих сил при разных условиях закрепления концов

Рис. 2. Зависимость частот свободных колебаний участков газопроводов с разными величинами h/R от для различных граничных условий

Анализ влияния продольных сил при различных условиях закрепления концов надземных участков газопроводов на значения частот свободных колебаний приведены на рис. 1. Из графиков видно, как снижаются частоты ₂₁ по мере увеличения параметра P = F/F_Э.

На рис. 2 представлены результаты исследования влияния внутреннего давления p₀ на частоты свободных колебаний с различными отношениями толщины стенки трубы к радиусу средней линии поперечного сечения, т.е. для h/R=1/20 и h/R=1/40 при различных закреплениях. Из графиков видно, что частоты, кроме ₁₁, увеличиваются по мере увеличения внутреннего давления, а по мере уменьшения h/R внутреннее давление оказывает более существенное влияние. Это объясняется тем, что внутреннее давление препятствует деформации (овализации) поперечных сечений труб и тем самым увеличивает жесткость участков трубопровода и соответственно увеличивает частоты колебаний.

Формула (23) позволяет определить величину критического параметра P_кр или значение сжимающей силы F_кр из условия получим:



(27)

По этой формуле, подставляя соответствующие данные участка газопровода, можно определить величину P_кр и значение критической силы.

Таким образом, более жесткое защемление концов участка газопровода увеличивает критическую силу. При этом следует иметь в виду, что участок газопровода теряет устойчивость как тонкостенный стержень с учетом деформации поперечных сечений, а не как короткая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии, теряющая устойчивость за счет местного выпучивания стенок оболочки.

Для контроля полученного выше решения задачи о свободных изгибных колебаниях надземного газопровода методом Бубнова-Галеркина был применен метод Эйлера решения линейных дифференциальных уравнений (11) с постоянными коэффициентами относительно неизвестных функций f_n() зависящих от граничных условий на краях оболочки. Анализ результатов, полученных двумя методами, показал, что различие между этими двумя методами не превышает 1-2%.

2. Свободные и параметрические колебания, статическая и динамическая устойчивость магистральных глубоководных газопроводов.

Решаются задачи о свободных и параметрических колебаниях, статической и динамической устойчивости прямолинейного участка газопровода при подводной прокладке, выполненного из тонкостенных труб большого диаметра. Газопровод подвергается в режиме эксплуатации действию постоянного внутреннего рабочего давления p₀=const и внешнего гидростатического давления q, определяемого глубиной прокладки, при этом достаточно большое внешнее давление можно считать равномерно распределенным по поверхности трубы, и при условии имеем суммарное нормальное к поверхности трубы внешнее давление

(28)

Расчетная схема трубопровода (рис. 3) рассматривается как замкнутая неоднородная двухслойная цилиндрическая оболочка конечной длины L. Она состоит из стальной трубы толщиной h₂, и железобетонного защитного слоя толщиной h₁, в предположениях: 1 - что оба слоя прочно склеены, так что при деформации оба слоя работают совместно без скольжения; 2 - для обоих слоев принимается коэффициент Пуассона равный v=0,3.

Используя гипотезы Кирхгофа-Лява, определяется координата исходной поверхности

(29)

где E₁ и E₂ - модули упругости 1 и 2 слоев, z₀ - расстояние от исходной поверхности до поверхности контакта слоев.

Приведенные жесткости двухслойной оболочки на растяжение (сжатие) - В и приведенная жесткость оболочки на изгиб - на основании работ В.П. Ильина имеют вид:

(30)

В дальнейшем принимаем за исходную поверхность, по аналогии со срединной поверхностью для однородной оболочки, ту поверхность, которая не испытывает деформацию растяжения, сжатия или сдвига при изгибе. При этом за расчетное значение радиуса поперечного сечения оболочки принимается радиус R₀ исходной поверхности.

При выводе уравнений движения использованы основные допущения полубезмоментной теории оболочек, в соответствии с которыми усилия и деформации двухслойной оболочки связаны соотношениями:

. (31)

Задача о свободных изгибных колебаниях магистральных газопроводов при подводной прокладке, подверженных действию суммарного внешнего давления q₀ с влиянием реакции упругого основания морского дна, решается на основе геометрически нелинейного варианта полубезмоментной теории цилиндрических оболочек.

В приведенном уравнении (2) силы инерции (3) дополняются тангенциальными и нормальной силами инерции железобетонной защитной оболочки, реакцией упругого основания и присоединенной массой жидкости, окружающей трубопровод. Они принимают вид:



(32)

где - приведенная плотность материалов слоев, - усредненный удельный вес двухслойной оболочки состоящей из металлической трубы (₂) и железобетонной оболочки (₁), h - суммарная толщина двух слоев оболочки (h=h₁+h₂), R₀ - радиус исходной поверхности цилиндрической оболочки, K - коэффициент постели грунта морского дна в соответствии с моделью Фусса-Винклера.

Погонная присоединенная масса жидкости, вовлекаемая трубопроводом при вертикальных упругих колебаниях, определяется выражением

(33)

где - поправочный коэффициент, зависящий от номера тона колебаний (j - номер тона колебаний), - присоединенная масса жидкости на единицу длины трубопровода, определяемая в работе Л.Г. Лойцянского по формуле Стокса:

(34)

где с_ж - плотность жидкости окружающей трубопровод, d - внешний диаметр трубопровода с учетом толщины h₁ защитного слоя.

Уравнение движения двухслойной неоднородной оболочки получается из (5) с учетом q₀по (28) и (31), (32):

(35)

В уравнении (35) введены безразмерные величины коэффициента неоднородности з и параметра толщины оболочки h_v:

, (36)

где B и D₀ определяются по формуле (30), Е_v - приведенный модуль упругости двухслойной оболочки на изгиб, Е₀ - приведенный модуль упругости двухслойной оболочки, по предложению Э.Л. Аксельрада принимается равным:

(37)

Разрешающая система уравнений о свободных колебаниях подводного трубопровода (4), (35) содержат четыре неизвестные функции координат u, н, w и и времени t. Решая эту систему методом Фурье, представим нормальную составляющую перемещения точки срединной поверхности оболочки w в виде:

(38)

удовлетворяющим условиям периодичности компонент перемещений u, н, w и угла поворота по окружной координате, а также тангенциальным граничным условиям на концах участка газопровода длиной L в местах установки колец жесткости для шарнирного опирания (15), где ; - волновые числа в окружном и продольном направлениях. Подставляя значения (38) с учетом (4) и приравнивая члены с одинаковыми тригонометрическими функциями, получим дифференциальное уравнение относительно функции времени (t):

(39)

где - параметр с размерностью [1/Мпа], , .

Полагая свободные колебания гармоническими, представим функцию времени ц(t) в виде:

(40)

Подставляя (40) в уравнение движения (39), получаем выражение для квадрата круговой частоты , позволяющее использовать свободные изгибные колебания по всем оболочным формам:

(41)

где .

Полученное выражение (41) позволяет определить критическое значение параметра . В соответствии с динамическим критерием устойчивости, при и :

(42)

Анализ (42) показал, что наименьшую величину критического внешнего давления определяет волновое число m=2 и - коэффициент неоднородности материала газопровода, зависящий от толщины защитного слоя бетона h₁.

Приведенные расчеты для стальных труб 1420 х10мм показывают, что критическое внешнее давление по мере увеличения толщины бетонного слоя h₁ увеличиваются, при этом на длинных участках L=50R₀ величина меньше, чем на коротких L=10R₀.

На рис. 4 показана зависимость наименьшей частоты свободных колебаний ₂₁ от величины коэффициента постели К, характеризирующий упругое основание морского дна. Из рис. 4 видно, что при увеличении значений К жесткость подводного газопровода повышается и, соответственно, повышаются частоты.

Далее решается задача о динамической устойчивости газопроводов при подводной прокладке, которые подвергаются воздействию внутреннего рабочего давления по закону

(43)

При совместном действии нестационарного внутреннего рабочего давления p и стационарного внешнего давления q при условии, что разность давлений q₀ = q - p(t) > 0,газопровод подвергается действию суммарного внешнего нестационарного давления

(44)

где г - частота возбуждения, определяемая технологией компрессорных станций, м - параметр возбуждения.

Подставляя выражение (44) в разрешающее уравнение (39) на место q₀ получим систему разделяющихся уравнений (т.к. m, n =1, 2, 3…) Матье:



, (45)

где _mn - коэффициент возбуждения, определяемый выражением:

, (46)

где , , a квадрат частоты свободных колебаний по (41).

Решение дифференциального уравнения Матье (45) позволяет построить области динамической неустойчивости конструкций.

Оценка динамической устойчивости подводных газопроводов, лежащих на упругом основании, заключается, во-первых, в построении областей динамической неустойчивости на плоскости параметров щ_mn и г при заданном условии внешнего давления q₀ и различных значениях K. Во-вторых, осуществляется непосредственная оценка динамической устойчивости заданного участка газопровода при известных значениях щ_mn, г и q₀ путем наложения точки, соответствующей этим значениям на плоскости параметров г, q₀, содержащей области динамической неустойчивости.

Области динамической неустойчивости определяются при соотношениях частот щ_mn и г:т

Основная, наиболее широкая область, называемая главной областью неустойчивости, осуществляется при коэффициентах k = 1, то есть при щ_mn= г/2. Второстепенные области неустойчивости при k > 1 имеют значительно меньшую ширину и обычно перекрываются главной областью. Решение уравнения Матье в обозначениях (45) для главной области неустойчивости, полученное в работе Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, представляет собой неравенство:

(47)



Основанная на этом решении, методика построения главных областей динамической неустойчивости для участков газопровода заключается в определении верхней и нижней границ этих областей.

Результаты расчета приведены на рис. 5, 6. Методика оценки динамической устойчивости газопровода сводится к нахождению положения точки (, q₀). Если эта точка попадает на плоскость, свободную от заштрихованных областей неустойчивости значит, устойчивость данного газопровода обеспечена. В противном случае следует изменить основные параметры газопровода (щ_mn , q₀ или г

Рис. 6. Области динамической неустойчивости глубоководного газопровода для металлической трубы 1420х10 мм и защитного железобетонного слоя h1=30 мм

3. Колебания и устойчивость трубопроводов с протекающей жидкостью.

Решается задача о свободных изгибных колебаниях надземного нефтепровода с учетом продольной силы и динамической устойчивости прямых участков морских глубоководных двухслойных нефтепроводов при комплексном воздействии двух параметрических возбуждений.

Для получения уравнения движения надземного нефтепровода с учетом влияния продольной сжимающей силы принято дифференциальное уравнение движения (2). В этом уравнении для учета воздействия на стенку трубы стационарного потока жидкости, необходимо нормальную составляющую сил инерции X₃, действующую на элемент средней поверхности оболочки, дополнить гидродинамическим давлением q:

(48)

где ₀ - плотность жидкости, и - модифицированные функции Бесселя первого рода порядка m (m - волновое число в окружном направлении) и их производные, ₀Ф_m- присоединенная масса жидкости.

Уравнение движения получается из (2) с учетом (48) и соотношениями (1), (4):

(49)

Систему уравнений (49) и (4) решаем методом Бубнова-Галеркина. После преобразований получаем выражение для квадрата круговой частоты надземного нефтепровода, с учетом влияния продольной сжимающей силы F, скорости протекающей жидкости V для различных граничных условий и волновых чисел m=1, 2, 3… и n=1:

(50)



где , коэффициенты и зависят от вида закрепления концов участка нефтепровода и по (23).

Анализ результатов расчетов по (30), для случая шарнирного опирания концов оболочки, показал следующее:

1. Наименьшая частота свободных изгибных колебаний реализуется по второй оболочной форме колебаний при m=2 и n=1, т.е. , что означает форму колебаний при симметричном сплющивании поперечных сечений трубы и при одной синусоиды в продольном направлении.

2. Скорость потока V, измеряющаяся в диапазоне реальных скоростей, протекающей в трубопроводах жидкостей (до 5 м/с), мало влияет на величины частот свободных колебаний и в дальнейшем скорость потока жидкости при значениях V до 5 м/с в (30) можно не учитывать.

3. Из (30) следует, что с увеличением безразмерного параметра Р происходит снижение частот ₂₁.

4. Частоты свободных изгибных колебаний нефтепровода при наличии жидкости, определенные по формуле (30) принимают значения на 10 - 60% ниже, чем у таких же труб газопроводов притом же внутреннем рабочем давлении и параметра продольных сил. Причина этого является присоединенная масса жидкости. Величину критического параметра продольной сжимающей силы P_кр , когда _mn=0, с учетом стационарного потока жидкости для шарнирного опирания участка нефтепровода имеет вид:

(51)

Так для трубы 1420х20 мм, L=10R при внутреннем рабочем давлении p₀ = 1 МПа, получим P_кр = 0,185. Откуда следует, что критическая сжимающая сила F_кр = 0,185F_э.

Далее проведено исследование свободных и параметрических колебаний глубоководного нефтепровода, лежащего на морском дне. Используем ту же расчетную схему (рис. 3). Для вывода уравнения движения свободных изгибных колебаний глубоководного нефтепровода с учетом скорости потока нефти V, использована система уравнений движения геометрически нелинейной теории цилиндрических оболочек (2). С учетом (32) радиальная составляющая силы инерции X₃ дополняется гидродинамическим давлением, обусловленным стационарным потоком жидкости:

(52)

Уравнение движения в перемещениях:

(53)

Решая систему (4), (53) методом разделения переменных для случая шарнирного опирания концов, и полагая, что свободные колебания изменяются по гармоническому закону, получим

(54)

Выражение (54) позволяет исследовать значения частот свободных колебаний глубоководных нефтепроводов, с учетом скорости потока нефти V, упругого основания, а так же исследовать влияние механических и геометрических характеристик при различных значениях волновых чисел m и n.

Далее решается задача о динамической устойчивости нефтепровода при подводной прокладке с пульсирующим потоком жидкости, когда скорость потока изменяется по закону

(55)

и при нестационарном внешнем давлении

(56)

Подставляя выражения (55), (56) в разрешающее уравнение (53) и используя методику расчета приведенную, в третьей главе, получим систему разделяющих дифференциальных уравнений Матье:

, (57)

где определяется по формуле (54), а выражением:

(58)

Решение каждого из системы разделяющих уравнений Матье при заданных значениях волновых чисел m=1, 2, 3…, n=1, 2, 3… позволяет исследовать динамическую устойчивость участка подводного нефтепровода при заданных значениях скорости потока V₀, внешнего гидростатического давления , коэффициента постели упругого основания морского дна. Данное исследование основано на построении областей динамической неустойчивости типа модифицированных диаграмм Айнса-Стретта. Главные области неустойчивости имеют верхние и нижние границы, определяемые по (47). На рис. 7 показаны главные области динамической неустойчивости для нефтепровода при изменении внешнего давления для стальной трубы 1020х20 мм и железобетонного слоя 60 мм при V₀=3 м/с. Штриховой линией показана главная область неустойчивости трубопровода без нефти.

Анализ результатов показал, что область неустойчивости нефтепровода с протекающим потоком нефти оказалась шире такой же области трубопровода без потока нефти и располагается ниже, т.е. в более опасной зоне низких частот возбуждения .

4. Свободные и параметрические колебания криволинейных участков трубопроводов с потоком жидкости.

Исследуются частоты и формы свободных изгибных колебаний в плоскости кривизны надземного криволинейного участка трубопровода как тонкой тороидальной оболочки с учетом динамического влияния протекающей жидкости, внутреннего давления и деформации срединной поверхности оболочки. Проводится анализ параметрических колебаний и динамической устойчивости криволинейных участков трубопровода при пульсирующем движении жидкости и внешнем давлении.

Задача о свободных изгибных колебаниях криволинейных участков тонкостенной трубы решается с помощью геометрически нелинейной теории тонких оболочек среднего изгиба Муштари - Галимова и допущений полубезмоментной теории оболочек Власова - Новожилова.

Оболочка рассматривается в системе тороидальных криволинейных координат в, и, где в означает центральный угол тора (), а и - полярный угол в плоскости поперечного сечения оболочки (). Компоненты перемещений произвольной точки срединной поверхности, отнесенные к радиусу поперечного сечения оболочки и направленные вдоль координат в, и, y и по внешней нормали к срединной поверхности, обозначаются u, v, w, W_y.

Геометрия криволинейного участка трубопровода показана на рис. 8 в виде тороидальной оболочки с радиусом R продольной оси, проходящей через центр тяжести её поперечных сечений. Поперечные сечения - круглые с радиусом средней линии r, толщина оболочки h. Величина отношения h/r считается малой, что позволяет использовать соотношения теории оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа - Лява. Концевые сечения оболочки полагаем закрепленными шарнирно. Внутри оболочки со скоростью V=const, протекает идеальная несжимаемая жидкость с плотностью ₀=const.

Гидродинамическое давление потока жидкости на стенку криволинейного участка трубопровода определяется на основании теории потенциального течения идеальной жидкости в тороидальных криволинейных координатах с использованием функций Лежандра.