Колебания, статическая и динамическая устойчивость трубопроводов большого диаметра

При рассмотрении срединной поверхности оболочки в криволинейных координатах в, и дифференциалы отрезков дуг координатных линий dS₁, dS₂ связаны через параметры Ламе A₁, A₂:

(59)

Радиусы кривизны оболочки в продольном и поперечном направлениях для деформированного состояния определяются соотношениями:

. (60)

Влияние внутреннего давления потока идеальной жидкости, действующей на стенку трубы, определяемое на основании теории потенциального течения жидкости

(61)

^. (62)

Здесь p₀ - внутреннее постоянное гидростатическое давление жидкости, и - функция Лежандра первого рода, и ее первая производная, б₀ - координата внешнего поперечного сечения тора.

Составляющие сил инерции () с учетом влияния гидростатического давления потока жидкости на стенку оболочки и внешнего радиального давления q примут вид

(63)

где с - плотность материала трубы.

Зависимости между деформациями и перемещениями, с учетом допущений полубезмоментной теории оболочек, запишутся в виде:

(64)

где - угол поворота касательной к средней линии сечения оболочки в результате деформации контура поперечного сечения.

Дифференциальное уравнение движения криволинейного участка трубопровода со стационарным потоком жидкости в перемещениях, записанного в тороидальных координатах с учетом (1), (63), (64) примет вид:

(65)

где - безразмерный параметр толщины стенки трубы, при условии q > p₀.

Для решения системы уравнений (64), (65) представим нормальную составляющую перемещения w(в,и,t), возникающую при изгибных колебаниях тороидальной оболочки, для шарнирного опирания в виде:

(66)

где ц(t) - функция времени t, b_m = const, m,n - волновые числа, определяющие формы колебаний оболочки в окружном и продольном направлениях соответственно.

Из соотношений (64) и (66) получим выражения для перемещений и угла поворота. Полагая, что свободные изгибные колебания участка трубопровода происходят по гармоническому закону с круговой частотой щ, получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных значений b_mn:

(67)

где m = 1,2,3…; m-1 > 0; m-2 > 0, коэффициенты a определяются выражениями:

(68)

где

Условие существования ненулевого решения системы однородных алгебраических уравнений (67) приводит к характеристическому уравнению где А - матрица коэффициентов системы уравнений (67). В развернутом виде:

(69)

где приняты обозначения:

(70)

Таким образом, поставленная задача о свободных колебаниях криволинейного участка трубопровода с протекающей жидкостью, сводится к задаче на собственные значения матрицы А, где _i - собственные значения матрицы, роль которых выполняют квадраты частот свободных колебаний .

Численный анализ решений характеристических уравнений (69) для конкретных участков трубопроводов при m = 1, 2, 3… показал, d_1,2, d_2,1, d_1,3,… весьма малы по сравнению с членами d_1,1, d_2,2,…, стоящими на главной диагонали. Пренебрежение второстепенными членами дает погрешность в величине корней характеристических уравнений частот порядка 1%.

Пренебрегая коэффициентами d_1,2, d_2,1, d_3,1… получим характеристическое частотное уравнение для всех значений m=1, 2, 3…

(71)

Далее из (71) получаем общее выражение для квадрата частоты свободных колебаний криволинейного трубопровода с протекающей жидкостью по формам колебаний при волновых числах m=1, 2, 3 и n=1, 2, 3…:

(72)

Выражение (72) получено для участка трубопровода с шарнирно закрепленными концевыми сечениями при значениях в=0 и в=р. Методика учета других видов закрепления концевых сечений с использованием фундаментальных балочных функций Власова изложена в главе 2 диссертации.

Анализ результатов расчетов при внешнем давлении, действующем на стенку трубы q=0, показал следующее:

1. Наименьшая частота свободных изгибных колебаний участков трубопроводов реализуется по оболочечным формам, то есть ₂₁ и ₃₁ при m= 2, 3 и n=1.

2. С увеличением параметра кривизны трубы, частоты свободных изгибных колебаний участков трубопроводов _mn при m=1, 2, 3 и n=1 существенно возрастают.

3. При уменьшении h/R при постоянной кривизне трубы происходит снижение частот.

4. Скорость потока V, измеряющаяся в диапазоне реальных скоростей, притекающих в трубопроводах жидкостей (до 20 м/с), мало влияет на величины частот свободных колебаний участков трубопроводов.

5. Внутреннее гидростатическое давление существенно повышает частоты свободных колебаний по оболочечным формам. Наибольшее увеличение частот происходит для пологих и наиболее тонкостенных криволинейных участков. Это объясняется тем, что внутреннее давление препятствует деформации контура поперечных сечений при изгибных колебаниях.

Приведенное решение (72) позволяет исследовать широкий спектр частот свободных колебаний _mn криволинейных участков глубоководного нефтепровода при различных значениях волновых чисел m, n =1, 2, 3… от суммарного влияния на стенку трубы статического давления q₀ = q - p₀ > 0. Влияние на частоты свободных колебаний суммарного давления можно только оценить при значениях волнового числа с учетом деформации поперечного сечения.

Анализ результатов показал, что с увеличением глубины прокладки трубопроводов, величина частот свободных колебаний уменьшается и зависит от параметров h/r и r/R.

Во-первых, частоты колебаний при уменьшении параметра h/r при фиксированном значении параметра кривизны трубы r/R уменьшаются. Темп уменьшения частот тем выше, чем меньше параметр h/r .

Во-вторых, с уменьшением кривизны участка трубопровода, то есть отношения r/R при h/r=const, частоты свободных колебаний уменьшаются. Темп уменьшения частот тем выше, чем меньше r/R.

В-третьих, приведенное решение (72) для позволяет в соответствии с динамическим критерием устойчивости, когда _mn = 0, определить критическое значение параметра при

(73)

Проведенные расчеты показали, что существенно зависит от параметров h/r и r/R. Эта зависимость иллюстрируется графиками на рис. 9. Анализ полученных значений показывает, что критическое внешнее давление растет по мере увеличения параметра толщины h/r. При этом необходимо отметить, что для труб с большой кривизны r/R=1/10, величина критического давления больше, чем у труб с меньшей кривизной r/R=1/30.

Рис. 9. Зависимость критического внешнего давления q0,кр от параметра толщины и относительных кривизн

Для труб большого диаметра малой кривизны, когда r/R=1/80, критическое внешнее давление с малой погрешностью следует определить по формуле:

(74)

Далее решается задача о динамической устойчивости подводных магистральных трубопроводов при совместном действии стационарного внешнего давления q и нестационарного внутреннего давления q(t) при условии, что разность этих давлений q₀ = q - q(t) > 0. Трубопровод подвергается действию суммарного нестационарного внешнего давления

(75)

Подставляя выражение (75) в разрешающее уравнение (65) на место q₀, после отбрасывания малых слагаемых, соответствующих второстепенных членам и , получим систему разделяющих уравнений Матье (так как m, n=1, 2, 3…):

(76)

где коэффициент возбуждения и определяется выражением:

(77)

а квадрат частоты свободных колебаний участка трубопровода - по формуле (72).

Решение уравнений Матье (76) при заданных значениях волновых чисел m, n =1, 2, 3…позволяет построить области динамической неустойчивости в виде диаграмм Айнса-Стретта на плоскости параметров «-q₀», ограниченную верхней и нижней границами. Точки этих границ определяются по формулам (47). Из графиков рис. 10 следует, что при относительно больших значениях h/r, например, прядка 1/12 или 1/15, области неустойчивости проявляются при больших частотах возбуждения (=200 - 300 Гц) и попадания в эти области даже при большом значении q₀ для трубопроводов маловероятно. Но при малых значениях h/r, например, для тонкостенного трубопровода с h/r=1/20 область неустойчивости располагается ниже уровня частот возбуждения порядка =100 Гц. В этом случае возможность потери устойчивости вполне реальна.

5. Сопоставление методик расчета, полученных в диссертации, с известными данными других авторов и экспериментальными исследованиями.

Полученная формула (50) для определения частот и форм свободных изгибных колебаний позволяет учесть влияние гидродинамического давления q, вызванного потоком жидкости со скоростью V, внутреннее рабочее давление p₀ продольную силу F и получить общепринятые формулы, применяемые при динамическом расчете магистральных трубопроводов.

Так, например:

во-первых, если принять , то выражение (50) переходит в известную формулу для определения частоты свободных колебаний, рекомендованную в нормативных документах и полученную по стержневой теории;

во-вторых, при , формула (50) принимает вид формулы В.И. Феодосьева для определения спектра частот свободных колебаний с учетом протекающей жидкости со скоростью V и при _1n = 0 выражение по определению критической скорости протекающей жидкости в трубе;

в-третьих, для прямого участка трубопровода без жидкости (), подвергнутого действию продольных сжимающих сил F, принимает вид формулы В.В. Болотина.

Общее аналитическое выражение (72) для квадрата круговой частоты изгибных колебаний криволинейного участка трубопровода с шарнирными закреплениями концевых сечений с учетом протекающей жидкости со скоростью V=const позволяет исследовать колебания по оболочечным формам при любых числах m и n. В известных литературных источниках содержатся только данные, полученные по стержневой теории. Поэтому далее проводится сопоставление расчетных данных по формуле (72) при m=1 с формулами стержневой теории. Сравнение результатов, полученных С.С. Чженем, с результатами расчетов по формуле (72) показали, что при скорости потока V=0 расхождение получалось 3,3%, а при V=50 м/с расхождение составляло всего 7%. Расхождение с результатами, полученными по формуле стержневой теории для круговых арок трубопроводов без жидкости, не превысило 6%.

Сравнение полученных результатов по динамической устойчивости и параметрических колебаний прямых участков трубопровода с пульсирующим потоком жидкости сравнивались с данными, полученными в работах С.С. Чженя, М.П. Пайдуссиса, В.В. Болотина и др. на основании стержневой теории. Неразделяющую систему дифференциальных уравнений Матье - Хилла решали по методике С.С. Хсу, В.В. Болотина с применением численных методов. Сравнение результатов по исследованию областей неустойчивости с приведенными в диссертации показало, что относительная погрешность не превышает 5,5%.

Далее проведено сравнение результатов, полученных в диссертации по определению критической скорости, протекающей в трубе с данными эксперимента выполненными М.П. Пайдуссисом и Д.П. Денисом, В.Е. Бреславским Р.Х. Лонгом по определению частот свободных колебаний для стальных замкнутых цилиндрических оболочек с шарнирно закрепленными концами, находящихся под действием внутреннего давления р₀. Сравнение результатов полученных экспериментально и по предложенной методике показал расхождение не более 7%.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. На основании единой расчетной модели тонкостенного трубопровода большого диаметра в виде цилиндрической оболочки для прямых трубопроводов и тороидальной для криволинейных трубопроводов, решены в аналитическом виде задачи определения частот свободных изгибных колебаний, статической и динамической устойчивости надземных напорных трубопроводов с протекающей жидкостью и морских глубоководных трубопроводов из неоднородного материала. В результате разработаны и усовершенствованы методы динамического расчета надземных и подводных газо- и нефтепроводов, соответствующие реальным условиям.

2. Задача определения частот свободных колебаний надземного прямого газо-нефтепровода с разными условиями закрепления концевых сечений решена на основании геометрически нелинейной полубезмоментной теории оболочек с применением фундаментальных балочных функций Власова-Новожилова. Решение получено методом Бубнова-Галеркина с проведением общего анализа этого решения аналитическим методом. В качестве воздействий, оказывающих влияние на свободные колебания, учтены внутреннее давление, продольное обжатие, а для нефтепровода дополнительно гидродинамическое давление, вызванное стационарным потоком нефти.

3. Получено аналитическое решение в виде формулы, учитывающей разные граничные условия на концевых сечениях. Проведенное исследование показало существенное влияние учтенных воздействий и граничных условий на значения частот и статическую устойчивость газопроводов.

4. Установлен критерий применения теории оболочек для определения наименьших частот свободных колебаний газопровода в виде предельного значения длины трубы L^*. Если расчетная длина L газопровода равна или больше предельной (), наименьшие частоты следует определять по формулам стержневой теории. В противном случае следует использовать аналитическое выражение, полученное в диссертации на основании теории оболочек.

5. На основании теории неоднородных изотопных оболочек разработана методика динамического расчета морских глубоководных газо-нефтепроводов, лежащих на упругом основании морского дна. Полученные уравнения движения учитывают тангенциальные и нормальные силы инерции железобетонной защитной оболочки, внутреннее и внешнее гидростатическое давление, реакцию упругого основания и присоединенную массу жидкости.

6. В результате приведенного решения получено аналитическое выражение для квадрата круговой частоты свободных изгибных колебаний морского глубоководного газо-нефтепровода, а также выражение для оценки критического внешнего давления, вызывающего статическую потерю устойчивости газопровода.

7. Для подводного газопровода, подверженного воздействию суммарного внешнего пульсирующего давления получена система разделяющихся дифференциальных уравнений Матье, позволяющая определить границы областей динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов, исходя из коэффициентов в полученных уравнений. Предложена методика построения областей динамической неустойчивости морских глубоководных газопроводов в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта, иллюстрированная построением главных областей неустойчивости газопроводов с разной толщиной железобетонного защитного слоя.

8. Проведено исследование динамической устойчивости прямых участков морских глубоководных двухслойных нефтепроводов при комплексном воздействии двух параметрических возбуждений - от пульсирующего потока нефти и от пульсации внешнего суммарного давления, зависящего от глубины погружения подводного нефтепровода. Получена система разделяющихся уравнений Матье и построены главные области динамической неустойчивости нефтепровода в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта, позволяющие оценить динамическую неустойчивость. Области динамической неустойчивости, построенные по двум параметрическим возбуждениям, оказались значительно шире областей при одном возбуждении.

9. Для оценки частот и форм свободных колебаний криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью впервые решена задача по определению величины гидродинамического давления стационарного потока жидкости на стенку криволинейного трубопровода. Поставленная задача решалась методами гидродинамики на базе теории потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в криволинейном трубопроводе в тороидальной системе координат с привлечением функций Лежандра и с использованием обоснованного допущения о пренебрежении силами инерции, вызванными кориолисовым ускорением.

10. На основании общих соотношений геометрически нелинейной теории оболочек среднего изгиба Муштари-Галимова с привлечением допущений полубезмоментной теории Власова-Новожилова получена система уравнений движения в тороидальных координатах криволинейного участка надземного трубопровода с протекающей жидкостью с заданными граничными условиями на концах. В результате решения уравнений методом Бубнова-Галеркина получено аналитическое выражение для квадрата круговой частоты свободных изгибных колебаний с учетом протекающей жидкостью и внутреннего давления.

11. Исследование решения показало существенное влияние геометрических характеристик трубопровода, внутреннего давления и скорости протекающей жидкости на значения частот. Показано, что с увеличением кривизны продольной оси трубопровода, частоты свободных колебаний в плоскости кривизны возрастают, а с увеличением скорости жидкости - снижаются.

12. Для криволинейных участков подводных трубопроводов с протекающей жидкостью, подверженных действию суммарного внешнего пульсирующего давления и находящихся в условиях, способствующих возникновению параметрических колебаний, получена система разделяющихся уравнений Матье, позволяющая определить границы областей динамической неустойчивости криволинейных участков, исходя из коэффициентов полученных уравнений. Разработана методика построения областей динамической неустойчивости в виде модифицированных диаграмм Айнса-Стретта и приведены примеры построения главных областей неустойчивости для криволинейных участков с разными параметрами тонкостенности.

13. Разработанные в диссертации основы динамического расчета прямых и криволинейных надземных и подводных трубопроводов с разными граничными условиями, в том числе с протекающей жидкостью, представлены в виде аналитических выражений (формул) и методик оценки динамической устойчивости трубопроводов. Полученные на базе теории оболочек аналитические выражения, определяющие частоты свободных колебаний по оболочечным формам , в частном случае первой формы колебаний при m=1 переходят в известные формулы С.П. Тимошенко, В.И. Федосьева, В.В. Болотина и др., полученные по стержневой теории.

14. Сравнение полученных в диссертации результатов, вычисленных по аналитическим выражениям, с данными других авторов, полученных численными методами, включая метод конечных элементов и экспериментами, опубликованными в литературе:

- расхождение данных для частот свободных колебаний цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью - не более 10%;

- расхождение данных для частот свободных колебаний криволинейного трубопровода с протекающей жидкостью, оказалось, от 6 до 15% в зависимости от скорости потока;

- расхождение данных для прямого трубопровода с протекающей жидкостью с результатами расчета методом конечных элементов оказалось не более 7%;

- сравнение результатов для главных областей динамической неустойчивости трубопровода с пульсирующим потоком жидкости с данными работы С.С. Чженя, показало расхождение не более 6%.

- расхождение с данными экспериментов В.Е. Бреславского составило не более 14%;

- расхождение с данными эксперимента Р.Х. Лонга, выполненного в Калифорнийском технологическом институте, составило не более 5%;

- расхождение с широко известными экспериментами канадских ученых М.П. Пайдуссиса и Д.П. Дениса по определению критической скорости протекающей в трубопроводе жидкости составило не более 15%.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ

1. Соколов, В. Г. Колебания упругих тороидальных оболочек, содержащих поток жидкости [Текст] / Н. П. Кушакова, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2001. - №1. - С. 56-59.

2. Соколов, В. Г. Уравнения движения криволинейного участка трубы с потоком жидкости [Текст] / А. В. Березнев, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2004. - №6. - С. 76-80.

3. Соколов, В. Г. Решение задачи о свободных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью [Текст] / А. В. Березнев, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2005. - №1. -С. 80-84.

4. Соколов, В. Г. Уравнение движения тороидальной тонкостенной оболочки, содержащей поток жидкости, при различных граничных условиях [Текст] / Е. П. Матвеев, В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. - 2009. - №4 (21). - С. 41-44.

5. Соколов, В. Г. Влияние закрепленных концов магистральных трубопроводов большого диаметра на частоты свободных колебаний [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2009. - №12. - С.52-54.

6. Соколов, В. Г. Свободные колебания трубопровода с потоком жидкости, обжатого продольной силой, при различных граничных условиях на концах [Текст] /В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. - 2010. - №2 (23). - С. 61-64.

7. Соколов, В. Г. О демпфирующем влиянии воды на свободные колебания морских глубоководных трубопроводов [Текст] / В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. - 2010. - №3 (24). - С. 39-41.

8. Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейного надземного трубопровода с протекающей жидкостью [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2010. - №7. - С. 45-46.

9. Соколов, В. Г. Свободные колебания магистральных глубоководных газопроводов с учетом упругого основания [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2010. - №8. - С. 46-47.

10. Соколов, В. Г. Параметрические колебания и динамическая устойчивость морских глубоководных газопроводов [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов //Вестник Томского гос. архит.-стр. ун-та. - 2011. - №1. - С. 130-138.

11. Соколов, В. Г. Исследования параметрических колебаний и динамической устойчивости криволинейных участков трубопроводов при подводной прокладке [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2011. - №3. - С. 61-62.

12. Соколов, В. Г. Свободные колебания двухслойных неоднородных глубоководных нефтепроводов с учетом упругого основания морского дна [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2011. - №5. - С. 49-50.

13. Соколов, В. Г. Свободные колебания нефтепровода с учетом потока жидкости и продольной силы [Текст] / В. Г. Соколов // Промышленное и гражданское строительство. - 2011. - № 7(1). - С. 32-33.

Публикации в других изданиях

14. Соколов, В. Г. О свободных колебаниях цилиндрических оболочек с учетом влияния протекающей жидкости [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Строительство и Архитектура. - 1979. - №12. - С. 26-31.

15. Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости [Текст] / В. Г. Соколов // Строительство трубопроводов. - 1981. - №6. - С. 25-26.

16. Соколов, В. Г. Влияние внутреннего давления жидкости на устойчивость тонкостенного трубопровода [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Тезисы доклада на обл. совете НТО №Проектировщики и исследователи Тюмени в борьбе за эффективность и качество. - Тюмень, 1983. - С. 42-43.

17. Соколов, В. Г. Исследование параметрического резонанса в трубопроводах, содержащих пульсирующий поток жидкости [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Вопросы механики строительных конструкций и материалов. Межвузовский тематический сборник. - Л., 1987. - С. 6-10.

18. Соколов, В. Г. К определению гидродинамического давления жидкости, протекающей в тороидальной оболочке [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Межвузовский тематический сборник трудов «Исследования по механике строительных конструкций и материалов». - СПб., 1999. - С. 16-21.

19. Соколов, В. Г. Свободные колебания криволинейных участков трубопровода со стационарным потоком жидкости [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов //Тезисы докладов на IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте». - СПб.: ПГУПС, - 1999. - С. 120-121.

20. Соколов, В. Г. Определение давления протекающей жидкости в криволинейной трубе большого диаметра [Текст] / В. П. Ильин, Е. П. Матвеев, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 1999. - №4. - С. 116-120.

21. Соколов, В. Г. Исследование влияния гидродинамического давления при изменении кривизны трубы [Текст] / Н. П. Кушакова, Т. В. Чикирева, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2000. - №1. - С. 90-92.

22. Соколов, В. Г. Свободные колебания тороидальной оболочки со стационарным потоком жидкости [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // СПб.: ГАСУ. Межвузовский тематический сборник трудов «Исследования по механике строительных конструкций и материалов». - СПб., 2000. - С. 42-49.

23. Соколов, В. Г. Колебания и устойчивость магистральных газопроводов при подводной прокладке [Текст] / А. А. Ефимов, В. Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. - 2007. - №1 (10). - С. 36-41.

24. Соколов, В. Г. Динамическая устойчивость стальных газопроводов при подводной прокладке [Текст] / А. А. Ефимов, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2007. - №4. - С. 47-51.

25. Соколов, В. Г. Внеплоскостные колебания тороидальных оболочек с протекающей жидкостью [Текст] / Е. П. Матвеев, В. Г. Соколов // Известия ВУЗов. Нефть и газ. - 2007. - №5. - С. 95-99.

26. Соколов, В. Г. Исследование свободных колебаний кривой трубы с потоком жидкости [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Изд. Сарат. ГТУ, «Успехи строительной механики и теории сооружений» Сб. трудов СГТУ РААСН. - 2010. - С. 88-93.

27. Соколов, В. Г. Динамическая устойчивость подводных трубопроводов [Текст] / В. П. Ильин, В. Г. Соколов // Тезисы докладов на VIII международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» 2011 г. - СПб.: ПГУПС, 2011. - С. 54-55.

Монографии

28. Соколов, В. Г. Расчет строительных конструкций из вязкоупругих материалов [Текст] / Л. Е. Мальцев, В. П. Ильин, В. Г. Соколов. - Ленинградское отделение : Стройиздат, 1991. - 250 с.

Размещено на Allbest.ru