Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Каландарбеков И.

Москва - 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете и Таджикском техническом университете

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич

доктор технических наук, профессор

Смирнов Владимир Анатольевич

доктор технических наук, профессор

Мамин Александр Николаевич

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский и проектный институт по градостроительству РААСН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проектирование зданий и сооружений в районах с высокой сейсмичностью опирается на результаты исследований в области теории сейсмостойкости, которая непосредственным образом связана с теорией колебаний. Развитие и совершенствование методов расчёта одна из важнейших задач строительной механики.

Существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостью. Поэтому актуальным является вопрос разработки метода расчета, в наилучшей степени учитывающего конструктивные особенности элементов. Метод сосредоточенных деформаций (МСД), который развивается в данной работе, позволяет учитывать свойства этих систем. Кроме того, этот метод менее трудоемок по сравнению с МКЭ.

Разработка эффективных методов решения динамических задач строительной механики, в том числе задач теории сейсмостойкости, имеет важное народнохозяйственное значение. Метод упругих сосредоточенных деформаций, предложенный А.Р. Ржаницыным для пластинок, нагруженных в своей плоскости, являющийся разновидностью метода конечных элементов, оказался особенно эффективным для расчета диафрагм зданий и других конструкций, составленных из прямоугольных блоков и панелей. Метод упругих сосредоточенных деформаций получил развитие в работах М.И. Додонова, в которых были введены понятия о реальных, фиктивных и комплексных швах при расчете железобетонных конструкций.

В настоящей диссертации развит метод сосредоточенных деформаций применительно к динамическим задачам, позволяющий с меньшей трудоемкостью и достаточной точностью получить полную картину напряженно-деформированного состояния несущих конструкций зданий.

Учет специфики деформирования железобетона с помощью применяемых в распространенных программных комплексах универсальных конечных элементов требует составления сложных и громоздких расчетных схем. Так, даже при упругих расчетах монолитного многоэтажного здания число узлов в расчетных схемах достигает нескольких десятков тысяч. Поскольку в расчетной модели МКЭ предполагается постоянство характеристик в пределах каждого конечного элемента, учет физической нелинейности и податливости соединений между сборными конструкциями требует введения дополнительных узлов. Их общее количество начинает измеряться сотнями тысяч, что приводит к значительному усложнению ввода исходных данных и анализа результатов, повышению вероятности ошибок, резкому возрастанию трудоемкости и длительности выполнения и проверки расчетов.

Актуальность работы состоит в том, что развитый метод позволяет учитывать конструктивные особенности элементов без дополнительных узлов, что существенно упрощает расчеты и уменьшает трудоемкость подготовки к расчетам.

Одним из важнейших направлений является также анализ упругопластических колебаний сооружений, который составляет одну из центральных проблем современной теории сейсмостойкости.

Цель диссертационной работы - развитие метода сосредоточенных деформаций для статических и динамических задач строительной механики с учетом податливости соединений.

Научная новизна работы состоит в том, что:

-метод сосредоточенных деформаций впервые развит и применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических сил; при этом формирование матрицы внутренней жесткости в трехмерных задачах выполняется с учетом податливости реальных связей;

-впервые метод сосредоточенных деформаций применен к решению динамических задач по расчёту балок и плит на упругом основании и плоской динамической задачи теории упругости;

-разработана методика и получены новые результаты расчета многомассовой системы с учетом физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмического воздействия;

-разработаны программы решения на ЭВМ статических и динамических задач;

-получено решение динамических задач с учетом продольно - сжимающей силы;

-сформирована дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий; с учетом податливости реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

Научная ценность определяется комплексом проведенных исследований, включая развитие метода сосредоточенных деформаций, на основе которого разработаны алгоритмы и программы, позволяющие получить решения прикладных задач строительной механики, имеющих важное народнохозяйственное значение.

Достоверность полученных результатов, сформулированных в диссертации, определяется корректным применением основных закономерностей и гипотез механики деформируемого твердого тела, численным исследованием сходимости решений, многочисленными сопоставлениями полученных результатов с известными, в том числе и с имеющимися точными решениями, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.

Практическое значение работы заключается в том, что:

- разработанные алгоритмы и программы используются в инженерных расчетах с применением ЭВМ;

- разработанный метод решения динамических задач строительной механики применен при исследовании напряженно-деформированного состояния пластинчатых систем с учетом податливости связей;

- предлагаемые алгоритмы и методы решения плоской задачи теории упругости позволяют исследовать односвязные и многосвязные системы при статических и динамических воздействиях;

- предлагаемая модель трехмерной системы может быть использована для решения задач сейсмостойкости с учетом пространственного характера сейсмического воздействия.

- рассчитаны диафрагмы жесткости, диск перекрытия и многоэтажных монолитных каркасных зданий, возводимых в республике Таджикистан.

Реализация работы. Результаты разработок использованы в Институте сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан при расчёте зданий на сейсмические воздействия по теме «Формирование динамических расчетных схем и разработка математических моделей сооружений для решения задач теории сейсмостойкости» и внедрены в практику проектирования и научно-исследовательских работ Акционерного общества открытого типа «Гипропром», Государственного унитарного предприятия «Научно-исследовательский институт строительства и архитектуры», Общество с ограниченной ответственностью «Ориён Арк» и Общество с ограниченной ответственностью «Файз-2003». Теоретические и прикладные задачи диссертации внедрены в учебный процесс Таджикского технического университета (ТТУ) по специальностям 2903 - ПГС, 2911- мосты и транспортные туннели, Хорогского государственного университета по специальности 2904 - Гидротехническое строительство. Акты о внедрении даются в приложении диссертации.

Апробация диссертации. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались: на Х координационном совещании “Исследование, конструирование и расчет дисков перекрытий высоких зданий различных конструктивных систем” (Москва, 1984); республиканских научно-теоретических конференциях (Душанбе, 1984, 1985, 1988, 1989 г.г.); итоговой научно-теоретической конференции (Душанбе, 1989 г.); расширенном заседании кафедры промышленного и гражданского строительства ТТУ (Душанбе, 2004 г.); на областных научно-технических конференциях (Хорог, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008г. г.); на международной конференции “Развитие горных регионов Центральной Азии в XXI веке” (Хорог, 2001 г.), международной научно-практической конференции “16 сессия Шурои Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и её историческая значимость в развитии науки и образования” (Душанбе, 2002 г.); международной научно-практической конференции “Перспективы развития науки и образования в XXI веке” (Душанбе, 2004 г.); III Центрально-Азиатском международном геотехническом симпозиуме “Геотехнические проблемы строительства на просадочных грунтах в сейсмических районах”; том 2 (Душанбе, 2005 г.); на республиканском симпозиуме “ Экономика и наука ГБАО: прошлое, настоящее и будущее” ( Хорог, 2005 г.); международной научной конференции “Современные аспекты развития сейсмостойкого строительства и сейсмологии” (Душанбе, 2005 г.); на международной научно-практической конференции “Перспективы развития науки и образования в XXI веке” (Душанбе, 2007 г.); на республиканской научной конференции «100 лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии» “Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий” (Душанбе, 2007 г.); на международной научно-практической конференции «Научно-технический прогресс и развитие инженерной мысли в ХХI веке» Худжандский филиал Таджикского технического университета им. акад. М.С. Осими (Худжанд, 2007 г.); в лаборатории «Моделирования сейсмических явлений и воздействий» института сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан (Душанбе, 2008 г.); на расширенном заседании кафедры строительной механики и сейсмостойкости сооружений ТТУ (Душанбе, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов и строительной механики Московского государственного строительного университета (Москва, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета (Москва, 2009 г.);

На защиту выносятся:

1.Математические модели статических и динамических состояний стержневых систем, разработанные на основе МСД с учетом податливости соединений и продольно-сжимающей силы.

2. Решение статических и динамических задач плит и балок на упругом основании при различных воздействиях и результаты расчета крупнопанельного здания на винклеровом основании по МСД (с применением сплайновой аппроксимации скоростей и ускорений).

3.Численные результаты расчета пластинок на действие статических и динамических нагрузок с учетом реальных связей; решение тестовых статических и динамических задач односвязных и многосвязных пластин на действие равномерно распределенного мгновенного импульса.

4. Результаты статического и динамического расчета пластинчатых систем с учетом податливостей соединений.

5. Динамические модели зданий при сейсмических воздействиях, а также с учетом гасителя колебаний.

6.Результаты динамического расчета зданий с учетом физической нелинейности.

Публикации: по теме диссертационной работы опубликована монография “Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики» (соавтор Низомов Д.Н.). Основное содержание диссертации опубликовано в 44 статьях в России и Республике Таджикистан.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, общих выводов, списка литературы из 352 наименований, приложения и содержит 392 страниц основного текста, включая 143 рисунков, 103 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении изложены направление исследований, их актуальность, дан обзор литературы по численным методам, излагаются цели диссертационной работы, научная новизна, практическая ценность и достоверность полученных результатов.

Развитию методов расчета конструкций посвящены работы А.В.Александрова, Д.В. Вайнберга, В.З.Власова, А.С.Городецкого, Б.Г.Коренева, А.М.Масленникова, А.Р.Ржаницына, Л.А.Розина, А.Ф.Смирнова, В.А.Смирнова А.П.Филина, Н. Н.Шапошникова, Дж. Аргириса, К. Бате, Е. Вилсона, О. Зенкевича, Р. Клафа, Дж. Одена и др.

Методы, идейно близкие к методам теории потенциала, предложены в работах В.И. Андреева, С.К.Годунова, С.С.Заргаряна, А.Б.Золотова, А.А.Касумова, Б.Г.Коренева, Н.Н.Леонтьева, О.В.Лужина, Л.Г.Петросяна, В.И.Прокопьева, В.С.Рябенко, В.Н.Сидорова, Д.Н.Соболева, В.И.Травуша, А.И.Цейтлина и др.

Методам граничных интегральных уравнений посвящены работы Р. Баттерфилда, П. Бенерджи, К. Бреббия, Л. Вроубеля, Р.В. Гольдштейна, С.Н.Гордиевой, В.П. Ильина, В.П. Клепикова, С. Крауча, С.В. Кузнецова, А.М. Линькова, С.Е. Михайлова, В.А.Сорокина, А. Старфилда, Ж. Теллеса, А.Г. Угодчикова, С. Уокера, Н.М.Хуторянского и других.

Предложенный А.Ф.Смирновым численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью специальной числовой матрицы, позволяющей последовательно выражать младшие производные через старшие, получил дальнейшее развитие в работах А.В. Александрова, Р.Ф.Габбасова, Б.Я.Лащеникова, В.А.Смирнова.

Первыми работами, относящимися к динамическому расчету сооружений за пределом упругости на воздействие импульсивного характера, являются исследования А.А.Гвоздева и И.М.Рабиновича. В дальнейшем аналогичные работы провели Я.Г.Пановко, А.Р. Ржаницын, а применительно к сейсмостойкости сооружений - Я.М.Айзенберг, И.И.Гольденблат, С.С.Дарбинян, Н.А.Николаенко, А.С. Тян, Э.Е.Хачиян и др.

К достоинствам МСД относятся: простота формирования матриц жесткости; четкое деление сложного напряженно-деформированного состояния на элементарные составляющие (изгиб, растяжение-сжатие и др.); простота учета податливых соединений между элементами или в опорных устройствах, а также учета концентрации напряжений в угловых точках конструкций; возможность резко снизить число элементов МСД по сравнению с обычным применяемым числом конечных элементов без потери точности в описании напряженно-деформированного состояния, лучше отражает реальное поведение конструкций зданий в узлах.

К недостатку МСД можно отнести: ограничения на применение разработанного метода к конструктивным элементам сложной конфигурации.

Завершается введение формулировкой задач исследования.

В первой главе приведён обзор работ по МСД. Рассмотрены области применения МСД. На примерах численно исследован вопрос о точности и сходимости МСД. Разработана математическая модель МСД.

Вторая глава посвящена реализации МСД на примере плоской задачи поперечного изгиба балок с учётом продольной деформации. Материал этой главы имеет методический характер, где на примере статического и динамического расчёта балок с тремя и десятью элементами демонстрируется реализация МСД.

Строительные конструкции в основном состоят из отдельных элементов, соединенных между собой швами, имеющих соответствующие коэффициенты жесткости при растяжении (сжатии), изгибе и сдвиге. Учет податливости реальных швов в расчетной схеме строительных конструкций зданий и сооружений представляет практический интерес.

В отличие от расчета сплошной конструкции, где в фиктивных швах сосредотачивались деформации, при расчете конструкций с реальными швами возникает необходимость в введении понятия комплексного шва. Комплексный шов состоит из реального шва заполнения и фиктивного шва.

Податливость такого шва с учетом соединения разнотипных элементов вычисляется исходя из последовательного соединения элементов тремя швами по формуле,

(1)

где B - податливость комплексного шва,

податливость фиктивного шва, обусловленная деформациями смежных элементов,

В₀ - податливость реального шва.

Реальный шов с высотой и толщиной (рис. 1), где значительно меньше длины элемента МСД, представим как дополнительный элемент с упругими характеристиками при растяжении (сжатии), изгибе и сдвиге. При растяжении (сжатии) удлинение реального шва определяется по формуле

,

где - модуль упругости материала шва, площадь поперечного сечения реального шва.



Рис.1. Комплексный шов.

Приводим для примера коэффициент жесткости комплексного шва при растяжении (сжатии):

, (2)

где соответственно жесткости реального шва и примыкающих к нему элементы и .

На основе полученного алгоритма разработана программа статического расчёта балки.

Для учёта влияния податливости опорных закреплений рассматривается дискретная модель с упругоподатливыми опорами.

Учет влияния податливости реальных швов позволяют получить уточняющие результаты до 20%. Примеры расчета приведены в диссертации.

Во второй главе также рассмотрено применение МСД к решению динамических задач плоских стержневых систем и динамических задач по расчёту балок. Из общего динамического состояния и при учете сжимающих сил в балке следует, что система уравнений равновесия может быть представлена в матричной форме

, (3)

где диагональная матрица масс; - матрица демпфирования; - матрица геометрической жесткости; вектор-столбец перемещений; вектор-столбец ускорений; вектор-столбец скорости; вектор-столбец внешних динамических сил.

Матрица жесткости формируется так же, как при решении статической задачи.

Записав систему уравнений (3) в момент времени t_n+1 дискретной оси времени и используя аппроксимации

(4)

(5)

получим

(6)

где коэффициенты аппроксимации, шаг по времени.

Систему уравнений (6) можно представить в виде

(7)

в которой приведенная матрица жесткости приобретает вид

(8)

(9)

- вектор свободных членов.

Из решения (7) определяется вектор искомых перемещений соответствующий моменту времени Далее вычисляется вектор деформаций, соответствующий также моменту времени

(10)

а затем формируется вектор внутренних усилий

(11)

На тестовых примерах исследуются вопросы сходимости, устойчивости решений и точности метода при решении динамических задач.

Рассматривались поперечные колебания балки ступенчато-переменного поперечного сечения при действии мгновенного импульса.

В третьей главе рассматривается решение плоских статических и динамических задач теории упругости. Матрицу внутренней жесткости для k-го элемента с учетом совместного действия всех сил получаем исходя из учета его взаимодействия с другими элементами при равенстве внутренних усилий на плоскостях сосредоточенных деформаций.

Матрица внешней жесткости для k-го элемента формируется по формуле

.

Система дифференциальных уравнений дискретной расчетной модели плоской задачи представляется в виде

(12)

где

.

момент инерции поворота плиты; - момент, действующий в плоскости пластинки.

Используя аппроксимирующие функции векторов скоростей и ускорений (4) и (5) из (12) получим систему алгебраических уравнений (7), в которой обобщенная матрица внешней жесткости определяется по формуле.

(13)

Разработанный алгоритм решения динамической задачи плоских систем позволяет получать и решения статических задач.

Рассматривалась также плоская система, состоящая из элементов, соединенных между собой реальными швами. Предполагается, что каждый ?_k-й элемент соединен с окружающими его элементами ?_k-1, ?_k-m, ?_k+m, ?_k+1 с помощью комплексных швов, на которых сосредотачиваются деформации элемента и шва. Если при разбивке реальные швы совпадут с фиктивными швами, то количество неизвестных внутренних усилий не изменится, а изменятся главные коэффициенты матрицы внутренней жесткости. При этом формулы для определения главных и побочных коэффициентов - заменяются на:

,

,

, (14)

,

где , - коэффициенты жесткости собственных и реальных швов на сжатие- растяжение между элементами ?_i и ?_j. Заменив в (14) на, получим главные коэффициенты матрицы внутренней податливости k-го элемента, соответствующие изгибу, например

, (15)

где - коэффициенты жесткости собственных и реальных швов, соответствующие повороту граней между элементами ?_i и ?_j. Заменив в (15) на , получим главные коэффициенты матрицы внутренней податливости k-го элемента, соответствующие сдвигу; приведем как пример формулу для :

, (16)

где - коэффициенты жесткости собственных и реальных швов, соответствующие сдвигу между элементами ?_i и ?_j. После того как сформирована матрица внутренней жесткости системы, дальнейшие вычисления проводятся как обычно. МСД позволяет определять перемещения и напряжения в зоне концентрации напряжений.

На основе разработанного алгоритма решены тестовые задачи. Рассмотрено решение статической задачи по расчету квадратной балки-стенки с жестко защемленными боковыми гранями под действием равномерно распределенной нагрузки, приложенной к верхней грани (рис. 2). Полученные результаты сопоставлены с решениями Р.Ф. Габбасова по МПА, Н.Н. Шапошникова по МКЭ и М.И. Длугача по МКР (табл.1).

В третьей главе также рассматривается плоское напряженное состояние многосвязных пластин. Отмечаются работы В.Кирша, Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили, Г.Н.Савина по определению напряженного состояния пластинки, ослабленной отверстием.

Таблица 1

Результаты статического расчета балки - стенки при разбивке 6х12

№ точек	МКЭ 6x12	MKP 6x12	МПА 6x12	МСД 6х12
00	-1	-0,684	-1	-0,755	-1	-0,774	-1	-0,741
20	-0,804	-0,104	-0,798	-0,103	-0,810	-0,113	-0,806	-0,110
40	-0,441	0,013	-0,442	0,010	-0,446	0,011	-0,443	0,013
60	-0,146	0,041	-0,151	0,042	-0,145	0,046	-0,147	0,043
80	0	0,268	0	0,299	0	0,330	0	0,296



Рис. 2. Расчетная схема балки-стенки.

Решение задач многосвязных пластин методом сосредоточенных деформаций строится на основе обшей процедуры расчета односвязной области, в которой учитываются граничные условия на внутреннем контуре. Граничные условия на внутреннем контуре пластинки могут быть учтены введением упругоподатливых элементов по направлениям степеней свободы. При этом на внутреннем контуре записываются дополнительные условия, соответствующие свободному краю, где коэффициенты жесткости упругих опор стремятся к нулю. Численные эксперименты, проведенные на тестовых задачах, показали, что развитый МСД имеет хорошую сходимость и достаточную точность.

С целью учета податливости реальных швов решена динамическая задача пластинки размером 80х100м при разбивке 10х10.

Результаты, представленные в табл. 2, соответствуют моментам времени и для перемещения и нормальной силы без учета реального шва(первая строка) и и с учетом реального шва(вторая строка). Сравнение показывает, что учет податливости шва приводит к увеличению перемещения и уменьшению нормальной силы.

Таблица 2

Сравнение результатов с учетом деформации реального шва

, м
1	11	21	31	41	51	61	71	81	91
0,029	0,085	0,158	0,228	0,302	0,362	0,407	0,460	0,516	0,562
0,018	0,056	0,106	0,155	0,217	0,352	0,431	0,505	0,575	0,642
,
0-1	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10
77,7	47,7	22,2	2,3	-12	-18,3	-20,6	-24,9	-32,5	-41,6
42,0	25,4	12	1,7	-6,3	-12,6	-15,8	-16,4	-15,3	-14,8

Рис. 3. Горизонтальное перемещение элемента №91.

На рис.3. показаны графики изменения горизонтального перемещения элемента 91 без учета (кривая 1) и с учетом податливости реального шва (кривая 2). Можно отметить, что податливость шва приводит к увеличению перемещения на 14% и периода основного тона колебаний на 21%.

Четвертая глава посвящена численному решению динамических задач по расчёту изгибаемых пластин.

Для получения дискретной динамической модели исходная пластина разбивается на прямоугольные элементы размером (рис.4), которые рассматриваются как абсолютно жесткие, а их собственная деформативность при изгибе, кручении и сдвиге сосредотачивается по границам между ними введением фиктивных связей соответствующего типа.

Уравнения равновесия k-го элемента выражают равенство нулю суммарного момента всех сил вокруг осей^', ,^' проходящих по центру элемента и сумму проекций всех сил элемента на ось . Уравнение моментов всех сил относительно оси ^' запишется так:

?Hk,k-1 - Myk,k-m? Qyk,k-mbk/2+Myk,k+m? Qyk,k+mbk/2+Hk,k+1? Mxk?=0, (17)

где Hk,k-1 =, Myk,k-m =, Qyk,k-m =, Myk,k+m = , Qyk,k+m = =, Hk,k+1=; - распределенные по граням элемента внутренние усилия; Мxk- заданный момент; - инерционный момент.

Система дифференциальных уравнений движения дискретной расчетной модели пластинки представляется в форме (12).

Рис.4. Равновесие конечного элемента.

Матрица внешней жесткости пластинки формируется на основе матрицы внутренней жесткости, которая включает в себя жесткости фиктивных и реальных связей между элементами. Например, в случае комплексного шва между элементами ?k и ?k+1 жесткость связей на изгиб определяется по формуле

, (18)

где -жесткости фиктивных связей, отражающих изгибную жесткость -го -го элементов; -жесткость реальных связей между этими элементами. По аналогичной формуле вычисляются жесткости комплексных швов на линиях сосредоточенных деформаций вдоль границ опирания пластинки:

, (19)

где -изгибная жесткость опорной конструкции (ригель); -изгибная жёсткость реального шва между ригелем и плитой. При жестком защемлении края пластинки

== и .

После того как сформирована матрица внутренней жесткости, формируется матрица внешней жесткости пластинки. Решение динамической задачи сводится к системе уравнений, аналогичной (7)

, (20)

где - диагональные матрицы масс и демпфирования пластинки. Затем вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий.

В качестве тестовой задачи рассмотрена квадратная шарнирно опертая по внешнему контуру плита с квадратным отверстием, имеющим свободные края (рис.5). Результаты статического расчета сравниваются с решениями Р.Ф. Габбасова по МПА и Д.В. Вайнберга, полученным вариационно-разностным методом, а также с результатами МКЭ, полученными с использованием гибридных элементов (табл. 3).

Рис. 5. Схема разбивки четверти плиты.

Рассматривалось также численное решение динамических задач изгибаемой пластинки на основе разработанного алгоритма метода сосредоточенных деформаций. Разработан алгоритм решения задач МСД по определению перемещений и изгибающих моментов в угловых точках изгибаемых плит. Исследована (численно) сходимость и устойчивость решения динамических задач на тестовых примерах. Результаты статических и динамических расчётов были сопоставлены с аналитическими решениями. Сравнение показывает, что результаты численного решения достаточно хорошо совпадают с результатами аналитического решения.

Таблица 3

Результаты статического расчета и их сравнение

Наименование метода
МПА n = 8	0,00094	0,0151	0,00171	0,0361	0,00245	0,0214
МПА n =16	0,00099	0,0147	0,00184	0,0433	0,00259	0,0214
МПА n =32	0,00101	0,0144	0,00189	0,0515	0,00263	0,0214
МКЭ n =8	0,00109	0,0107	0,00207	0,0338	0,00286	0,0220
ВРМ n =8	0,00130	0,0179	0,00246	0,0367	0,00342	0,0274
МСД n =8	0,00127	0,0165	0,00238	0,0365	0,00331	0,0271
n =16	0,00132	0,0161	0,00249	0,0394	0,00346	0,0270
n=32	0,00134	0,0159	0,00253	0,0428	0,00351	0,0270

В пятой главе МСД применяется к решению статических и динамических задач по расчету балок и плит на упругом основании. Рассматривается балка на винклеровом основании при её разбивке на три элемента. Задача решается вручную как пример.

Учет упругого основания осуществляется тремя главными коэффициентами - матрицы жесткости, а остальные коэффициенты остаются без изменений. В результате находим прогиб в середине балки

, (21)

где , . Из (22), при следует прогиб балки без упругого основания

, (22)

а при стремится к нулю.

Из вышеизложенного примера можно заключить, что матрицу жесткости балки на упругом основании можно получить из матрицы жесткости обычной балки путем добавления параметра в диагональных элементах, соответствующих вертикальным перемещениям

, . (23)

Полученные результаты численного решения сравниваются с результатами аналитического решения.

Система динамических уравнений равновесия для дискретной модели балки на упругом основании представляется в виде (12) с заменой на ,

где - матрица жесткости балки с учетом реактивного давления. Матрица жесткости формируется как сумма двух матриц

, (24)

где - матрицы жесткости балки и основания соответственно. Матрица является диагональной.

Внося аппроксимирующие функции (4) и (5) в (12), получим систему разрешающих уравнений, которая записывается в матричной форме в виде (7) с заменой на . Обобщенная матрица жесткости в зависимости от вида представления матрицы может быть записана по-разному.

(25)

(26)

где - матрица коэффициентов потерь в связях системы, матрица нормированных собственных форм, диагональная матрица коэффициентов потерь для каждой формы собственных колебаний.

Предлагаемый алгоритм расчета позволяет исследовать динамическое поведение балок на упругом основании при различных внешних воздействиях.

На основе изложенного можно заключить, что динамическая модель на основе МСД позволяет получать в достаточной степени удовлетворительные результаты в рамках технической теории изгиба балок. Исследован вопрос (численно) устойчивости, сходимости и точности МСД. На основе численных экспериментов было установлено, что предлагаемый алгоритм динамического расчета является устойчивым. Сравнение показывает, что с уменьшением шага по времени результаты приближаются к истинному решению задачи.

В этой же главе на основе МСД рассматриваются задачи расчёта балки на упругом основании при действии вибрационной нагрузки, а также решение динамической задачи прямоугольной плиты, лежащей на упругом основании. Реакция упругого основания учитывается только в главных коэффициентах матрицы внешней жесткости по направлению третьей степени свободы элемента пластинки

. (27)

Следовательно, матрица внешней жесткости пластинки на упругом основании формируется, как сумма двух матриц , где диагональная матрица жесткости основания

. (28)

Из решения системы дифференциальных уравнений

(29)

определяется вектор перемещений, а затем по аналогичному алгоритму, как для пластинки без упругого основания, вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий.

На рис.6 представлены кривые изменения прогиба, изгибающего момента в центре пластины и углового элемента в зависимости от шаг по времени.

На основе проведенных численных экспериментов установлено, что разработанный алгоритм по МСД позволяет получать решения динамической задачи балки и плит на упругом основании с достаточной степенью точности.

Рис. 6. Графики колебания пластинки на упругом основании: 1-прогиб в центре, 2-прогиб в центре углового элемента, 3-изгибающий момент в центре.

Шестая глава посвящена развитию МСД в расчете пластинчатых систем. Моделирование пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций сводится к следующему. Несущие конструктивные элементы системы плоскостями сосредоточенных деформаций разбиваются на конечные элементы (рис. 7).

При этом каждый конечный элемент может иметь шесть степеней свободы. Несущие конструктивные элементы соединяются между собой при помощи шпонок, выпуска арматуры или закладных деталей, создавая тем самым вертикальные и горизонтальные швы. Плоскостями отмечаются комплексные швы, состоящие из реальных и фиктивных связей. На торцевых гранях элемента концентрируются деформации данного элемента. Эти деформации могут быть выражены через податливости упругих связей, распределенные по граням элемента. В результате пересечения плоскостей со срединными плоскостями конечных элементов , образуются линии , в которых стекаются деформации смежных элементов. Два смежных элемента в силу своих физико-механических данных могут иметь различные характеристики податливости, сконцентрированные на линиях . В пространственной модели на линиях могут быть сосредоточены деформации двух, трех и четырех элементов, а также одного обобщенного реального шва. Предполагается, что реальный шов между элементами является непрерывным и его податливость (жесткость) равномерно распределена по граням элементов. Для определения деформаций реальный шов рассматривается как невесомый элемент с заданными размерами поперечного сечения. Стеновые панели могут быть установлены на ленточном фундаменте или на фундаментной плите. Ленточный фундамент, в зависимости от податливости основания, моделируется либо как отдельный элемент с упругоподатливыми опорами, либо заменяется невесомыми опорными стержнями. В случае фундаментной плиты учитывается упругое основание с двумя коэффициентами постели.



Рис. 7. Фрагмент пространства элементов МСД.

деформация нелинейность импульс сейсмический

Двумя взаимно перпендикулярными плоскостями несущие конструкции разбиваются на конечные элементы МСД. Колонны и ригели аппроксимируются пространственными призматическими стержнями, в которых внутренние усилия являются функциями координат в продольном направлении. При этом каждый элемент как твердое тело имеет шесть степеней свободы. Элементы плит перекрытия и диафрагм жесткости рассматриваются как пластины, каждая из которых деформируется как в своей плоскости, так и из плоскости. Эти элементы также имеют по шесть степеней свободы. Навесные стеновые панели учитываются как присоединенная масса к несущим конструкциям.

В рамках трехмерной модели МСД можно также рассматривать массивные системы (толстые пластины, массивные фундаменты, плотины и др.). Поверхностями сосредоточенных деформаций, которые могут иметь любое очертание, массивное тело разбивается на конечные элементы. Каждый элемент МСД, как твердое тело, независимо от его формы, будет иметь по шесть степеней свободы. Если тело разбивается на тетраэдры, то деформации сосредотачивают на четырех гранях, а в случае призматического прямоугольного элемента таких граней будут шесть.

Несущие элементы крупнопанельного здания (продольные и поперечные стены, плиты перекрытия) соединяются между собой реальными горизонтальными и вертикальными швами, объединяющими, как правило, два, три или четыре элемента. Линию пересечения срединной плоскости элементов в реальных швах обозначим черезгде -число реальных швов. Множество этих линий образует «каркас» пространственной системы, который «заполняется» несущими элементами. Если в первом приближении ограничиться разбивкой пространственной системы в пределах указанного каркаса, то получим расчетную модель объекта, состоящую из суперэлементов МСД, каждый из которых имеет область . В этом случае на линиях сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных связей. В общем, такая расчетная модель будет иметь степеней свободы, где - число суперэлементов, включая элементы фундаментной плиты на упругом основании. По полученным данным напряженного состояния пространственной модели производится расчет каждого из суперэлементов на заданные усилия по их граням.

С целью более точного анализа напряженно-деформированного состояния системы область с помощью плоскостей , перпендикулярных к срединным поверхностям суперэлементов, разбивается на ряд неперекрывающихся подобластей или элементов , где - число элементов, на которые разбивается каждый суперэлемент. На линиях , полученных в результате пересечения плоскостей со срединными поверхностями , сосредотачиваются собственные деформации элементов . Таким образом, расчетная модель пространственной системы метода сосредоточенных деформаций состоит из множества конечных элементов, соединенных между собой упругими или упругопластическими связями, в которых сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных швов. Три линейных и три угловых перемещения, соответствующих центру масс элемента, определяют его деформированное состояние. Положение произвольного элемента как твердого тела в пространстве можно определить относительно неподвижной (инерциальной) системы прямоугольных координат . Положение подвижной системы , неизменно связанной с телом, относительно неподвижной системы определяется тремя координатами ее полюса и тремя углами между осями и , которые характеризуются направляющими косинусами.

Рассматривается модель МСД, состоящая из элементов, в которых помимо мембранных усилий возникают также изгибные усилия из плоскости (рис. 8). Элементы будут соединены между собой горизонтальными и вертикальными швами, где сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных связей. Две взаимно перпендикулярные срединные плоскости элементов ипересекаются и образуют линию в ребрах системы. Предполагается, что линия является осью невесомого элемента сечением и длиной, равной длине граней соединяемых элементов. Величины можно принять равными соответствующим толщинам элементов. Мысленно отделив элемент (рис. 9), из его статического условия равновесия получим

, (30)

, (31)

Рис. 8. Элемент МСД. Рис. 9. Элемент углового шва.

где и - мембранные (нормальные и сдвигающие силы, моменты) и изгибные усилия (поперечные силы, крутящие и изгибающие моменты) на гранях элементов. Равенства (31) имеют место только в том случае, если влиянием моментов от сдвигающих и поперечных сил можно пренебречь ввиду малости ипо сравнению с размерами элементов. Из (30) и (31) следует, что количество неизвестных усилий в ребрах сокращается от 12 до 6. В случае, когда является линией пересечения трех плоскостей, на трех гранях элемента будут действовать 18 внутренних усилий. Если принять, что элементы и лежат в одной плоскости, а элемент лежит в плоскости, перпендикулярной к ним, то исходя из условия статического равновесия элемента (рис. 10), получим

. (32)

Из условия (32) следует, что независимых усилий в реальной связи с тремя элементами остается 12.

Далее рассматривается реальный шов с четырьмя элементами ,и , попарно расположенными во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 11). В этом случае из условия статического равновесия следует, что все 24 внутренних усилий, входящие в векторы , , , , являются неизвестными.



Рис. 10. Элемент реальной связи на стыке из трех пластин.

Таким образом, если пространственная модель из суперэлементов имеет реальных швов, где - число реальных швов с двумя, тремя и четырьмя элементами соответственно, то общее число неизвестных внутренних усилий будет равняться: . Например, коробка из шести суперэлементов, опирающаяся на упругое основание, где , , имеет разрешающую систему уравнений с вектором перемещений из компонентов, при этом вектор внутренних сил будет содержать компонента. Если внутреннюю область коробки разделить на четыре подобласти, где , ,,, то вектор искомых перемещений будет иметь неизвестных, а вектор внутренних усилий - элементов. Число определяет порядок матрицы внутренней жесткости , элементы которой для каждого компонента внутренних сил вычисляется по формуле

, (33)

где коэффициенты , в зависимости от вида деформации, могут быть представлены в виде

, , ,

что соответственно относится к деформациям изгиба, кручения и сдвига, - момент инерции поперечного сечения элемента толщиной .

Разработанный алгоритм расчета пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций является универсальным и применим к любой системы. Характерными также являются приграничные элементы. Если одна из граней элемента совпадает с вертикальным или горизонтальным ребром, то на этой грани будет действовать только сдвигающее усилие. В элементах, где опорные стержни установлены непосредственно в центре грани, их влияние учитывается введением дополнительного члена в коэффициент жесткости.

Таким образом, с учетом граничных условий составляются системы уравнений для всех элементов, на основе которых составляется общая система уравнений с неизвестными внутренними усилиями в сечениях комплексных и собственных швов. Для учета жесткости реальных связей рассматривается пластинчатая система, которая состоит из пластинок, соединенных между собой связями.

Для решения динамической задачи необходимо сформировать обобщенную матрицу жесткости. Система динамических уравнений равновесия, записанная для динамической модели метода сосредоточенных деформаций, где каждый конечный элемент представляет собой твердое тело с соответствующей степенью свободы, записывается в виде (12).

Используя выражения для векторов скоростей и ускорений (4) и (5), получим:

+ (34)

где - вектор, компонентами которого являются линейные перемещения и углы вращения центра масс. Систему уравнений (34) запишем в форме (7). Вектор правой части в (7) можно записать в виде суммы трех составляющих:

, (35)

Реализация предлагаемой математической модели динамического расчета пластинчатой системы рассмотрена на конкретных примерах.

На основе разработанного алгоритма проведены численные эксперименты и получены результаты расчета пластинчатой модели с учетом податливости реальных связей на сдвиг. Горизонтальные и вертикальные опорные реакции совместно с опорными моментами удовлетворяют уравнениям равновесия сил в направлении оси и моментов относительно оси , что подтверждает достоверность полученных результатов.

Полученные уравнения МСД использованы для статического расчета экспериментальной модели фрагмента АЭС (рис. 12,а). Модель представляет собой пластинчатую систему в виде куба с размерами в плане 140х140 мм и толщиной пластины =8мм.

Вследствие симметрии рассмотрена выделенная из рис 12,а пунктирными линиями четверть конструкции (рис.12,б). Обозначим плоскости: I-крыша, II- первая грань, III- днище, IV- передняя грань. На рис. 13 показаны: безразмерные длины рассчитываемых участков, представлена развертка четвертинки куба со схемой разбивки системы по направлениям координатных осей и номера сечений. Сечение V-V рассекает половину четвертой части, выделенной из куба пунктирной линией (I- II- III- IV). Рассчитываемая конструкция рассмотрена как система соединенных между собой пластин, каждая из которых

деформируется как в своей плоскости, так и из плоскости.

Рис.12. Пространственная пластинчатая система.

Рис.13. Разбивка системы и направление координатных осей.

Разработанный алгоритм расчета для пластинчатой системы с учетом податливости соединения элементов с помощью обобщённых уравнений МСД был реализован по фортран - программе на ЭВМ.

Расчет пластинчатой системы выполнен на сетке 10х10. На рис.14 представлены результаты расчета МСД и результаты, полученные на основании линейной и нелинейной теории по обобщенным уравнениям МКР и экспериментальные данные. Сравнение результатов показывает, что напряженное состояние конструкции по МСД качественно совпадает с данными эксперимента.

Рис. 14. Эпюры нормальных напряжений на наружном контуре в сеч. V-V. 1-по эксперименту, 2- по нелинейным уравнениям МКР, 3- по линейным уравнениям МКР, 4- по МКЭ, 5- по МСД.

Седьмая глава посвящена решению задач теории сейсмостойкости по МСД. Рассматривается формирование расчётных динамических моделей сооружений при сейсмических воздействиях.

Рассматривается элемент МСД, в котором помимо продольных деформаций, деформации изгиба и сдвига возникает деформации кручения.

При наличии эксцентриситета между центрами масс и жесткостей возможны и крутильные колебания в плоскости перекрытий (рис.15,а).

При учете крутильно-поступательного движения массы перемещения выражаются следующими зависимостями (рис. 15,б):

, (36)

Система уравнений представляется в виде (опускаем индекс m)

(37)

а) б)

Рис. 15. Поступательные и крутильные движения диска перекрытия.

Уравнения (37), записанные для всех точек дискретной модели, можно представить в матричной форме

(38)

(39)

,

,

, ,

.

Здесь: - вектор - столбец из элементов продольных перемещений; - вектор - столбец из элементов угловых, крутильных и линейных перемещений; - диагональная матрица сосредоточенных масс; единичный вектор; - линейные перемещения в продольном (вертикальном) и поперечном направлениях; - угловые и крутильные перемещения масс относительно оси и; - диагональная матрица с сосредоточенными и инерционными массами; - сосредоточенные массы, совершающие поступательные движения вдоль осии; - матрица масс размера nx3; число этажей; - матрица сосредоточенных масс; - вектор-столбец сейсмического воздействия; ускорения грунта основания в продольном (вертикальном) и поперечном направлениях; - ускорения вращательных движений основания вокруг оси X и Y соответственно.

Объединив (38) и (39) в единую систему, можно получить матричное уравнение, которое с учетом затухания записывается в виде (12),

где

.

Особенность предлагаемой модели состоит в том, что она позволяет определять напряженно-деформированное состояние здания при многокомпонентном сейсмическом воздействии и с учетом поворота и кручения масс.

Податливость связей, сосредоточенных по линиям между смежными i-м и i+1-м элементами, с учетом кручения будет характеризоваться матрицей, составленной по аналогии с (1).

В том случае, когда опорные закрепления являются упругоподатливыми, с учетом деформации кручения и коэффициента жесткости бруса при кручении

, (40)

где М_хА - крутящий момент на опоре А, получим матрицу податливости

(41)

Отсюда следует, что матрица внутренней жесткости опорного сечения является диагональной матрицей четвертого порядка

(42)

Общая матрица внутренней жесткости системы представляется в виде

(43)

Рассматривалось многоэтажное здание, для которого можно выбрать динамическую расчетную схему в виде многомассовой консольной системы. Сосредоточив массу здания на уровне перекрытий, а также принимая во внимание массу фундамента, получим динамическую расчетную схему, где помимо поступательных учитываются вращательные движения масс. При этом предполагается, что фундамент здания покоится на упругом основании с коэффициентами жесткостии соответствующим линейным движениям и повороту. Принимая в качестве неизвестных перемещения точек сосредоточения масс, получим динамическую расчетную модель со степенями свободы. Продольную деформацию, деформации изгиба и сдвига сосредоточим в узлах .

Таким образом, разработанная динамическая расчетная схема позволяет исследовать сейсмическую реакцию здания при кинематическом возбуждении основания с учетом податливости последнего.

Исследована (численно) устойчивость и сходимость решения динамической модели. Численные эксперименты, проведённые на тестовых задачах, показали, что предлагаемая динамическая модель и разработанный алгоритм на основе МСД позволяют проводить исследования задачи сейсмостойкости.

Следует отметить, что учет податливости основания и реальных связей приводит к увеличению перемещения в конце консоли и уменьшению момента и поперечной силы в опорном сечении.

Рассматривалось решение динамической задачи по расчету зданий на действия вибрационной горизонтальной нагрузки.

В этой же главе также рассматривается учёт влияния динамического гасителя колебаний. Сравнение результатов показывает, что введение гасителя в систему приводит к значительному снижению ее сейсмической реакции.

Предлагаемый алгоритм расчета дает устойчивое решение. Сопоставление результатов при различных разбиениях по времени и пространству показывает, что имеет место достаточно хорошая сходимость.

В восьмой главе рассматривается решение динамических задач с учётом упругопластических деформаций. Учет пластических деформаций при расчете сооружений на сейсмические воздействия приводит к существенному уменьшению величин сейсмических нагрузок по сравнению с методами упругого расчета, что имеет большое значение для сейсмостойкого строительства. Этим обстоятельством объясняется актуальность исследования задач упругопластических сейсмических колебаний.

Рассматривается решение динамической задачи со многими степенями свободы на основе билинейной диаграммы деформирования, в которой восстанавливающая сила определяется в предположении, что свойства рассматриваемой системы характеризуются законом линейного упрочнения. Из равновесия сил, действующих на массу , для систем рассматриваемого типа получаем следующие уравнения свободных колебаний

,для, (44)

, для ,

где коэффициенты затухания.

С учетом и из (44), получим

,

, (45)

,

где постоянный коэффициент, принимающий значения 0 или 1 в зависимости от того, в какой зоне диаграммы находится колебательный процесс; коэффициент упрочнения.

Приращения скоростей и смещений по высоте здания выражаются следующими формулами

, , .

При этом считается, что перемещение в опорной части здания будет задано согласно начальным условиям.

Систему уравнений (45) представим в векторно-матричной форме

, (46)

где - матрица жесткости с учетом упругопластических деформаций, - матрица начальной жесткости