Непараметрический метод анализа рациональности биржевой статистки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

(Специализация 010956 “Математические и информационные технологии”)

Магистерская диссертация

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА РАЦИОНАЛЬНОСТИ БИРЖЕВОЙ СТАТИСТКИ

студента 873 группы

Рязанова Василия Владимировича

Научный руководитель

Шананин А.А., д.ф.-м.н., профессор

г. Долгопрудный

2014



Содержание

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О РАЦИОНАЛЬНОМ ПОТРЕБИТЕЛЕ
• 1.1 Традиционные экономические индексы
• 1.2 Постановка обратной задачи о рациональном поведении
• 1.3 Альтернативные постановки задачи о рациональном поведении
• 1.4 Индексы Конюса-Дивизиа
• 1.5 Свойства преобразования Янга
• 1.6 Условия рационализируемости в гладком случае
• 1.7 Дерево экономических индексов
• 2. УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛИЗИРУЕМОСТИ В НЕГЛАДКОМ И ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЯХ
• 2.1 Теория выявленного предпочтения
• 2.2 Непараметрический метод анализа торговой статистики
• 3. ОБОБЩЕННЫЙ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
• 3.1 Показатель нерациональности
• 3.2 Арбитражные цепочки на валютных рынках
• 3.3 Построение дерева экономических индексов с помощью ОНМ
• 4. МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ НАРУШЕНИЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ ТОРГОВЛИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ
• 4.1 Алгоритм исследования рациональности торговой статистики
• 4.2 Построение временного показателя нерациональности и его свойства
• 4.3 Выявление выбросов временного показателя нерациональности
• 4.4 Методика прогнозирования структуры потребительского спроса
• 4.5 Свойства множества прогнозов векторов спроса
• 4.6 Поиск вектора проекции на множество прогнозов и вектора отклонений
• 4.7 Нормировка вектора отклонений и выявление выбросов
• 5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
• 5.1 Исследование торговой статистики бирж США
• 5.2 Исследование торговой статистики европейских бирж
• 5.3 Исследование торговой статистики лондонской биржы
• 5.4 Использование алгоритма для поиска отделимых групп
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


ВВЕДЕНИЕ

Индексы потребительских цен и спроса представляют собой обобщенные показатели, позволяющие судить о тенденциях развития экономики в целом. Построению индексов и их анализу посвящено большое число работ([2], [8] и др.). Рассчеты ведутся статистическими службами на основе сравнения потребительской корзины в разные моменты времени (см. например [9]).

Тем не менее, традиционные экономоические индексы Ласпейреса и Пааше не всегда применимы из-за изменения потребительской корзины или структуры цен. В таких случаях происходит замещение товаров. Индексы же Ласпейреса и Пааше предполагают фиксированную потребительскую корзину.

Конюс и Бюшгенс в работах [11], [3] предприняли дальнейшее изучение экономических индексов. Предложенный ими подход учитывал изменение потребительской корзины вследствие перестройки цен и был основан на паретовской теории потребительского спроса [31], [32]. Индексы Конюса предполагают гипотезу рационализируемости. В случае, если экономические данные представляются в виде непрерывной зависимости потребления товаров от цен на них, то говорят, что заданы обратные функции спроса.

Важное условие рационализируемости было предложено Фробениусом и носит название условие интегрируемости. Оно определяет существование интегрирующего множителя у дифференциальной формы обратных функций спроса. Согласно П. Самуэельсону ([38]), данную проблему будем называть проблемой интегрируемости.

В дальнейшем, в ходе работы над теорией экономических индексов, П. Самуэльсоном была создана теория выявленного предпочтения, дающая набор важных эквивалентных условия. Данная теория затем легла в основу непараметрического метода.

Экономисты, как правило, имеют дело с торговой статистикой, которая представляет собой дискретный набор векторов цен и векторов спроса. Рационализируемость торговой статистики подразумевается как возможность продолжить её с дискретного набора точек до непрерывных рационализируемых обратных функций спроса. Опираясь на теорию выявленного предпочтения и теорему Африата-Вериана ([20], [21], [39], [40] ) А.А.Шананиным был предложен непараметрический метод анализа торговой статистики. Данный метод даёт возможность построения положительно-однородного индекса Конюса.

В случае неполной или нерационализируемой торговой статистики А.А.Шананиным ([15]) и М. Хутманом ([28]) было предложено обобщение непараметрического метода. Данный метод носит название обобщенного непараметрического метода (ОНМ). Для торговой статистики вводится скалярный параметр - показатель нерациональности, который характеризует степень нарушения гипотезы рационализируемости.

Дальнейшее исследование показало осмысленность вычисления индексов Конюса для изучения сегментации и структуры финансовых рынков.

При исследовании биржевой статистики, возникает ряд сложностей. Такие особенности биржи, как активность спекулянтов, игроки с приватной информацией и взаимозаменяемость акций приводят к значительному нарушению гипотезы рационализируемости.

Актуальным является выявление нерациональных игроков на рынке, а именно, поиск моментов времени и акций, на которых велись нерациональные торги.

Цель работы состоит в разработке алгоритма поиска нерациональных игроков на рынке, фильтрации моментов времени и номенклатуры товаров для выяления нерациональных точек. Такая фильтрация позволила бы помимо выявления нерациональных игроков, выкалывать из статистики нерациональные точки, для дальнейшего изучения сегментации или построения индексов.

Предложен алгоритм построения временного показателя нерациональности. Предложен алгоритм построения множества прогнозов спроса для выявленных временных точек. Изучены свойства полученных рядов и множеств прогнозов.

Была проведена проверка алгоритма на основе дневной торговой статистики мировых финансовых бирж за период 2004 - 2011 годы. Были проведены эксперименты при различной временной агрегации торговой статистики. Было произведено сравнение выявленных нарушений нерациональности с информацией о компаниях из печатных изданий.

Результаты показали, что метод даёт результаты, которые находят подтверждения в новостных сводках. Анализ цен и объёмов продаж показывает, что поведение статистики выявленных акций меняется в моменты временной нерациональности.

нерациональный игрок торговый финансовый биржа



1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О РАЦИОНАЛЬНОМ ПОТРЕБИТЕЛЕ

В данном разделе изложен обзор основных подходов и методов построения экономических индексов в случае когда статистика задается гладкими функциями спроса. Изложена постановка задачи о рациональном поведении.

1.1 Традиционные экономические индексы

Индексы потребительских цен и спроса представляют из себя обощенные показатели, позволяющие исследовать состояние целой экономической системы. Для построения индексов, как правило, используется торговая статистика, состоящая из дискретного набора векторов цен и потребления.

Опишем традиционный подход к построению индексов, основанный на оценке стоимости потребительской корзины (см. [9]).

Пусть - -мерный вектор потребления, а - -мерный вектор цен, где - количество различных товаров. Тогда стоимость потребительской корзины будет равна скалярному произведению . Обозначим период как базовый, а - как текущий. Величина называется индексом цен Ласпейреса, а величина - индексом цен Пааше. Т.к. в экономике присходит замещение подорожавших товаров подешевешими, то индекс Пааше, как правило, больше индекса Ласпейреса. Систематическое отличие между двумя этими индексами носит название эффекта Гершенкрона.

А.А. Конюс в работе [11] предложил подход к построению индексов, который учитывал бы изменение спроса при изменении цен. Исследование проблемы продолжил Бюшгенс [3]. Данный подход основан на паретовской теории потребительского спроса, в основе которой лежит гипотеза рационального поведения потребителя. Потребитель в каждый момент времени выбирает наилучший набор товаров, доступный в силу бюджетных ограничений.

На рисунке 1 продемонстрирован подход Конюса и Бюшгенса. Задана система поверхностей безразличия, на каждой из которых полезность для потребителя неизменна. Момент времени характеризуется спросом и уровнем полезности , а - спросом и уровнем полезности . Набор товаров, имеющий полезность и удовлетворяющий бюджетным ограничениям в момент времени обозначим как . Аналогичным образом обозначим . Величины и будем называть индексом спроса Конюса-Ласпейреса и индексом спроса Конюса-Пааше соответственно.

Рисунок 1.

1.2 Постановка обратной задачи о рациональном поведении

Опишем потребительское поведение с помощью обратных функций спроса . Функции выражают зависимость между векторами цен и векторами потребления . Пусть - класс вогнутых, положительно-однородных первой степени, непрерывных на множестве функций, положительных на множестве

Определение 1 Будем говорить, что обратные функции спроса рационализируемы в классе функций полезности если существует такая функция полезности что справедливо

При этом говорят, что функция полезности рационализирует обратные функции спроса . Данное определение означает то, что при ценах среди всех товаров, которые могли бы быть куплены при бюджете вектор товаров дает максимум функции полезности

1.3 Альтернативные постановки задачи о рациональном поведении

Отметим, что существует другие варианты постановки задачи построения экономических индексов, эквивалентных рационализируемости обратных функций спроса.

Предложение 1 Пусть Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. существуют такие что

2. существует функция такая, что справедливо где - преобразование Янга функции



3. существует рационализирующая обратные функции спроса

Таким образом, возможна постановка задачи о рациональном потребителе не только через обратные функции спроса, но и двойственная ей постановка через прямые функции спроса.

1.4 Индексы Конюса-Дивизиа

Справедливо следующее:

Предложение 2 Пусть функция полезности рационализирует обратные функции спроса .

Пусть (под этим обозначением здесь понимается супердифференциал функции) и , а и . Тогда , то есть индекс Конюса--Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше.

В связи с этим фактом, будем называть рассматриваемые индексы просто индексами Конюса.

Данные индексы являются хорошим средством описания потребительского поведения, т.к. при их использовании мы не сталкиваемся с явлением, подобным эффекту Гершенкрона.

Справедлив следующий факт: если функция полезности рационализирует обратные функции спроса ,то индекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.

В случае, когда - дифференцируемая функция, то условие максимума (2) в задаче (1) принимает вид основной формулы экономических индексов:

Таким образом, проблема построения индексов Конюса спроса и цен ( и ) сводится к поиску интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса

Индекс Дивизиа также пользуется большой популярностью в литературе по теории экономических индексов (см. [9]):

В общем случае, индекс Дивизиа зависит от пути интегрирования. Условия при которых индекс Дивизиа не зависит от пути интегрирования изучались в нескольких работах, например, в [29] и [34]. В случае рационализируемости обратной функции спроса в классе дифференцируемых функций из справедливо следующее утверждение:

Предложение 3 (см. [22]) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа вне зависимости от пути интегрирования.

Исходя из данного предложения рассматриваемые индексы будем называть индексами Конюса-Дивизиа.

1.5 Свойства преобразования Янга

В [1] установлено, что преобразование Янга переводит функции из класса в функции из класса . Также, если рассмотреть любую функцию и функцию , связанную с ней формулой , то справедливо двойственное соотношение:

Следовательно, преобразование Янга иновлютивно на классе.

Как известно, все функции класса являются положительно-однородными первой степени. Любая такая функция может быть однозначно задана своей поверхностью уровня. Т.е. функции и однозначно задаются поверхностями и соответственно. В следующем предложении сформулирован геометрический смысл преобразования Янга:

Предложение 4 ([19]) Если функция и , то

Т.к. переход к основной формуле теории экономических индексов предполагает дифференцируемость функции полезности , был выделен отдельный класс дифференцируемых функций, на котором преобразования Янга также инволютивно.

Определение 2 Назовем классом множество функций которые непрерывны на и удовлетворяют на следующим свойствам:

1) для любого

2)

3) для любого и любого

4) для любого

5) строго квазивогнута;

6) для любого задача минимизации имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение на .

1.6 Условия рационализируемости в гладком случае

Определяя индексы Конюса-Дивизиа в разделе 1.4, мы использовали предположение о существовании функции полезности. Рассмотрим условия, при которых данная функция существует.

Следующая теорема даёт условия рационализируемости обратных функций спроса в классе . Пусть - множество

Теорема 1 ([13], [17], [33]) Пусть обратные функции спроса непрерывно дифференцируемы на Для того чтобы функции были рационализируемы в классе функций полезности необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) для любого



2) (условия отделимости) для любых произвольного и любого справедливо соотношение:

3) для произвольных таких что ни при каком выполнено неравенство:

4) (условия интегрируемости Фробениуса) для любых различных чисел и любого справедливо равенство:

5) для любого справедливо соотношение:

Условия 1 и 5 носят технический характер и связаны с выбором класса функции полезности . Условие 2 называется условием отделимости и выражает полноту номенклатуры товаров. Данное условие будет подробнее рассмотрено в разделе “Дерево экономических индексов”. Условие 3 носит название усиленной однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения и выражает эффект Гершенкрона.

Условие 3 следует из закона Хикса, согласно которому для любого такого, что справедливо:

Известно (см. [17]) что условие 3 сохраняется при малых возмущениях в норме , т.е. оно является условием типа неравенства. Условие 4, наоборот, нарушается при аналогичных возмущениях и является условием типа равенства. Данное условие носит названия условия Фробениуса и выражает собой критерий существования интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса Нарушение данного условия при малых возмущениях относительно нормы носит название проблемы интегрируемости.

Данная проблема в экономической литературе впервые была сформулирована Дж.Антонелли [33] в 1886. Исследованием проблемы интегрируемости занимались многие экономисты XX века, в т.ч. Дж.Хикс, В.Парето, К.Эрроу и др. В результате их усилий была создана теория выявленного предпочтения, которая позволила переформулировать условия рационализируемости в удобной для экспериментальной проверки форме. Данная теория будет подробнее описана в главе 2.

1.7 Дерево экономических индексов

Обратимся к вопросу сегментации финансовых рынков. Полная совокупность различных товаров на международных рынках достигает размера в единиц. Безусловно, данное многообразие товаров распадается на группы взаимодополняемых-взаимозаменяемых единиц. Пропорции спроса на эти товары определяются пропорциями между ценами на них. Такие группы товаров принято называть отделимыми.

Определение 3 Будем говорить, что группа товаров отделяется от остальной номенклатуры товаров если перестановкой компонент вектор товаров можно представить в виде и функция полезности представляется в виде суперпозиции

В [4] показано следующее: если функции и непрерывно дифференцируемы, то обратные функции спроса на товары из группы удовлетворяют условию отделимости в следующей виде:

Предложение 5 Для любых выполнено:

где - обратная функция спроса на -ый товар из выделенной группы товаров .

Доказательство. Рассмотрим задачу максимизации функции полезности при ограничениях

Тогда пропорция цен равна:



Аналогично из свойств дифференцирования:

Итого, мы показали, что если группа является отделимой, то выполнены условия отделимости Фробениуса.

Всю номенклатуру товаров можно разделить на “полные” группы, для которых построение экономических индексов обосновано. Данную процедуру можно повторять рекурсивно, выявляя полные подгруппы в найденных ранее группах. Так строится дерево экономических индексов.



2. УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛИЗИРУЕМОСТИ В НЕГЛАДКОМ И ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЯХ

В главе 1 было показано, как проблема интегрируемости привела к созданию теории выяленного предпочтения, позволяющей исследовать негладкий случай. Дальнейшее изучение теории экономических индексов привело к созданию непараметрического метода построения индексов в случае торговой статистики, состоящей из дискретного набора точек.

2.1 Теория выявленного предпочтения

В [37] П. Самуэльсоном было введено понятие выявленного предпочтения:

Определение 4 Будем говорить, что выявлено предпочтительнее если выполняется неравенство

Отношение выявленного предпочтения можно проинтерпретировать следующим образом. Если , то при ценах потребитель мог приобрести как набор , так и набор , но тот факт, что был приобретён именно набор , и озночает, что выявленно предпочтительнее .

П.Самуэльсоном было сформулировано следующее свойство, дающее в двумерном случае (т.е. при ) необходимое и достаточное условие рационализируемости обратных функций спроса в классе .

Слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Если и и то и

Чтобы слабая аксиома оставалсь выполнимой на системе лучей необходимо и достаточно выполнение однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения ([19]):

Однородная слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Для любых и справедливо неравенство

Следует отметить, что однородная слабая аксиома теории выявленного предпочтения эквивалентна эффекту Гершенкрона.

Хаутеккером было предложено более сильное требование, необходимое и достаточное для рационализируемости обратных функций спроса при в классе, вообще говоря, не положительно однородных функций полезности из

Сильная аксиома теории выявленного предпочтения. Если и то

При из сильной аксиомы теории выявленного предпочтения следует слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Вплоть до работы Д.Гейла [26] неоднократно предпринимались попытки установить эквивалентность этих двух аксиом. Д.Гейл построил пример обратных функций спроса, удовлетворяющих слабой аксиоме теории выявленного предпочтения, но не рационализируемых.

Выполнение сильной аксиомы теории выявленного предпочтения на системе лучей эквивалентно однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА).

Определение 5 Будем говорить, что обратные функции спроса удовлетворяют однородной сильной аксиоме (ОСА), если для любого набора векторов из справедливо неравенство

Теперь сформулируем следующий критерий рационализируемости.

Теорема 2 [18] Пусть - неотрицательная , непрерывная на вектор-функция, такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. Обратные функции спроса рационализируемы в классе функций полезности

2. Система линейных неравенств

где ,, имеет решение , положительное и непрерывное на

3. Обратные функции спроса удовлетворяют ОСА.

4. Существуют такие индексы цены и спроса из класса , чт. В случае же когжа будет достигаться равенство

Следствие. Индексы цены и спроса можно выразить следующим образом через решение системы:

2.2 Непараметрический метод анализа торговой статистики

До сих пор мы рассматривали случай, когда вся информация задана обратными функциями спроса . На практике исходной информацией для вычисления индексов цен и спроса служит торговая статистика , представляющая набор значений обратной функции спроса в конечном числе точек . Под рационализируемостью торговой статистики мы будем понимать возможность продолжить её до обратных функций спроса, рационализируемых в классе . Теория выявленного предпочтения позволяет эффективно проверять рационализируемость торговой статистики и вычислять индексы Конюса. В основе алгоритма проверки лежит следующая теорема, которая является дискретным аналогом теоремы 2.

Теорема 3 (Африата-Вериана [21], [39]) Следующие свойства торговой статистики эквивалентны:

1. существует функция полезности , рационализирующая торговую статистику, то есть

2. торговая статистика удовлетворяет однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения (ОСА), то есть для любого упорядоченного набора моментов времени выполняются неравенства

3. существует решение у системы неравенств:

(1)

4. существует функция полезности, рационализирующая торговую статистику, вида



где удовлетворяют (1).

Теорема Африата-Вериана позволяет эмпирически проверять условия рационализируемости и сторить индексы Конюса-Дивизиа.

Предложение 6 Пусть где являются решениями системы линейных неравенств согласно условию 3 теоремы 3, а

Тогда

Данный метод построения экономических индексов называется непараметрическим методом.

Непараметрический метод в отличие от традиционных методов вычисления индексов Ласпейреса и Пааше позволяет на основе проверки отделимости изучать сегментацию рынков.

Опишем способ решения системы неравенств Африата-Вериана, носящий название алгоритма Варшалла-Флойда. Обозначим коэффициенты матрицы индексов цен Пааше через



В новых обозначениях система (1) имеет вид

(2)

Определим как максимум по всем возможным упорядоченным подмножествам множества произведений вида считая при этом, что пустому множеству соответствует то есть

Следствие из теоремы Африата - Вериана гласит, что система (2) разрешима, тогда и только тогда, когда Отметим, что если система (2) имеет положительное решение, то она эквивалентна следующей системе

Рассмотрим идемпотентное полукольцо с двумя операциями и Тогда

Здесь означает возведение матрицы в степень в идемпотентном смысле (т.е. вместо всех операций суммирования происходит операция взятия максимума). Когда на каком-то шаге вычисления идемпотентных степеней выясняется, что диагональный элемент больше 1, это означает, что все элементы матрицы равны и система неразрешима. В противном случае для вычисления ряда можно ограничиться первыми слагаемыми, и, таким образом, алгоритм вычисления имеет сложность порядка Решение системы (1) можно выбрать так:



3. ОБОБЩЕННЫЙ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

В главе 2 были установлены важные теоремы и свойства торговой статистики, удовлетворяющей ОСА. Текущая глава посвящена анализу торговой статистики в случае нарушения ОСА.

3.1 Показатель нерациональности

Не всякая торговая статистика удовлетворяет ОСА. Значит, теорема Африата-Вериана об эквивалентных условиях не может быть применима, а, следовательно, система не будет иметь решения и непараметрический метод построения индексов также не может быть применим.

В ([21], [15], [28]) было разработано обобщение непараметрического метода, которое применимо при нарушении гипотезы о рациональном поведении. Вводится параметр , с помощью которого модифицируется система линейных неравенств (2):

(3)

Очевидно, что существует положительное , при котором система разрешима и имеет положительное решение. Обозначим через минимальное допустимое значение Величина является мерой нарушения торговой статистики гипотезы о рациональности поведения.

В предыдущей главе мы рассматривали алгоритм Варшалла-Флойда и строили идемпотентное полукольцо. Сформулируем следующее предложение:

Предложение 7 Пусть элементы матрицы индексов Пааше положительны. Тогда система уравнений



имеет решение только при .

Т.к. матрица положительно-однородна, значит она неразрешима в идемпотентном смысле. В [6] было показано, что система (4) имеет решение, притом при единственном значении . Из теоремы о сходимости алгоритма Варшалла-Флойда следует (см [7]), что система линейных неравенств (3) имеет положительное решение если и только если для любого упорядоченного набора справедливо неравенство

Для величины справедливо выражение

,

которое совпадает с выражением [6] для значения , при котором система имеет положительное решение. Таким образом, предложение доказано.

Величина является идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона матрицы индексов цен Пааше . Условие , которое означает существование положительного решения системы, интерпретируется как идемпотентный аналог соответствующего утверждения из теоремы Фробениуса-Перрона [14]. Легко заметить, что увеличивая , мы расширяем множество решений системы. При имеется единственное положительное решение системы, которое и соответствует идемпотентному аналогу вектора Фробениуса-Перрона.



3.2 Арбитражные цепочки на валютных рынках

На мировых биржах торги ведутся в разных валютах. Чтобы изучать биржи в совокупности необходимо выработать механизм приведения цен к единой валюте. Обратимся к алгоритму, сформулированному и описанному в [11].

Пускай на рынке осуществяются попарные обмены типов валют. Через будем обозначать количество валюты -го вида, которое можно получить при обмене одной единицы валюты -го вида. Матрица , составленная из чисел называется матрицей кросс-курсов и описывает состояние валютного рынка.

Рассмотрим цепочку обменов при которой одна единица валюты обменивается на валюту затем все деньги обмениваются на валюту и так далее, в конце концов все деньги полученные при обмене в валюты в обмениваются в валюту В итоге получаем в валюте

Определение 6 Будем говорить, что матрица кросс-курсов допускает арбитражную цепочку если

При относительно небольшом количестве валют на рынке (даже несколько десятков) проверка отсутствия арбитражных цепочек прямым перебором - сложная вычислительная задача. Общее число цепочек равно

При реализации арбитражных цепочек, консолидированная банковская система несёт финансовые потери. Устранение потерь от арбитражных цепочек может быть достигнуто за счёт взимание пропорциональных комиссионных сборов. Задача о вычислении минимальной ставки комиссионных сборов, которые приводят к отсутствию арбитражных цепочек выглядит следующим образом: найти минимальное число такое, что для любой цепочки обменов любой длины будет выполнено:

Если данные неравенства выполнены при то арбитражные цепочки отсутствуют. В противном случае, уменьшение выплаты при обмене в раз приводит отсутствию таковых цепочек.

Пускай мы выбрали в качестве основной валюты - евро. Пусть - обменный курс -ой национальной валюты на евро. Чтобы при платежах не возникали потери из-за спекулянтов, необходимо чтобы обмен единицы -ой национальной валюты на -ую валюту при последующем переводе в евро не давал выигрыша по сравнению с непосредственным переводом единицы -ой валюты в евро.

Таким образом, вектор обменных курсов должен быть положительным решением системы линейных неравенств:

Для того чтобы такие обменные курсы на евро существовали необходимо и достаточно, чтобы матрица кросс-курсов была продуктивна в идемпотентном смысле.

Справделива следующая теорема Африата-Вериана, показывающая что существование таких обменных курсов связано с отсутствием у матрицы кросс-курсов арбитражных цепочек.

Теорема 4 (Африата-Вериана [21],[40]) Пусть положительная матрица. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

* система линейных неравенств (5) имеет положительное решение ;

* для любой цепочки обменов справедливо неравенство

Заметим, что данная теорема при эквивалентна теореме 3 в разделе 3.1. Если же положительного решения системы неравенств не существует, то можно ввести ставку

Найти решение систем неравенств можно, как и раньше, с помощью алгоритма Варшалла-Флойда. Методом деления отрезка пополам можно найти минимальную ставку комиссионных сборов , при которой отсутствуют арбитражные цепочки:

Следует отметить, что величина является аналогом минимального показателя нерациональности при исследовании торговой статистики, если положить .



3.3 Построение дерева экономических индексов с помощью ОНМ

Опишем процесс обработки торговой статистики статистическими службами. Вся номенклатура товаров разбивается на группы, далее та же операция повторяется и строятся подгруппы и т.д. В результате получается структура, которую можно представить как дерево, в котором все группы связаны отношением вложения. Отношение вложения определяет дерево на всем множестве товаров и это дерево называют деревом экономических индексов.

Как правило, отношение вложения определяется индивидуальными предпочтениями и опытом экспертов. Разные службы могут, таким образом, получить разные структуры дерева. Во время построения учитываются эвристические представления о родстве товаров, существующие на “гуманитарном” уровне. Однако потребительский спрос может менять свою структуру динамично и эвристические представления о разбиении не будут за ним успевать, а значит данная процедура построения дерева индексов может не в полной мере учитывать сложившиеся предпочтения в обществе. С помощью непараметрического метода можно обойти некоторые из этих трудностей.

Как показывалось ранее, непараметрический метод позволяет строить ряды индексов Конюса для рационализируемой торговой статистики. В случае статистики не удовлетворяющей ОСА вместо решения системы (2) берется решение системы (3) и строится аналогичный ряд индексов. Числовые значения индексов после введения показателя нерациональности изменяются незначительно.

В [16] были проведены эксперименты по обработке различных примеров торговой статистики. Можно отметить интересный результат, получившийся в ходе анализа статистики Голландии, которая состояла из 106 товаров за 1951 - 1977. Вся торговая статистика была рационализируемой, однако ни одна из групп товаров, которая была выделена экспертами, не удовлетворяла ОСА.

В работе [11] было произведено сравнения индекса Конюса с традиционными финансовыми индексами:

Рисунок 2: Фондовая биржа Нью-Йорка.

Рисунок 3: Фондовая биржа Лондона.



Рисунок 4: Фондовая биржа Франкфурта.

Графики наглядно демонстрируют поведение индексов. Индекс Конюса-Дивизиа повторяет поведение рынка, но отображает изменения в его состоянии более рельефно. Можно сравнить поведение индексов мировой статистики, отдельных бирж и секторов экономики.

Рисунок 5: Мировой индекс и Нью-Йоркская фондовая биржа.

Мировой индекс более изменчив, чем американский. Он показывал как более ускоренный рост, так и более резкое падение. Объясняется это тем, что рынок США давно уже сложился как развитый и устойчивый. Большое количество инвесторов совершают сделки в разных направлениях, не давая индексу резко менять своё направление. В то же время, при построении мирового индекса учитываются развивающиеся рынки, которые пока не сложились в устойчивую экономическую систему.

Рисунок 6: Развитые и развивающиеся рынки.

Также ОНМ позволяет строить индексы и для отдельных секторов экономики. Интерес представляет сравнение индекса финансового сектора с мировым.

Рисунок 7.



Индексы долгое время были близки, затем финансовый сектор испытал более резкое падение. Данное падение началось раньше падения мирового индекса, что согласуется с тем фактом, что мировой экономический индекс берёт своё начало с финансового сектора.



4. МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ НАРУШЕНИЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ ТОРГОВЛИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ

В первых трех главах автором был проделан обзор основных подходов к построению экономических индексов в случаях гладкой, негладкой и дискретной торговой статистики. Был произведён обзор непараметрического и обобщенного непараметрического методов.

В обобщенном непараметрическом методе показатель нерациональности служит не только для построения экономических индексов, но и является важной величиной характеризующей статистику. Показатель нерациональности является величиной, которая характеризует меру рациональности торговой статистики.

На финансовых рынках трейдеры зачастую ведут себя нерационально, искажая тем самым общую статистику и показатель нерациональности. Основные причины нерациональности трейдеров - активность спекулянтов, действия игроков с приватной информацией и взаимозаменяемость акций. Спекулянты, в отличие, от инвесторов оперируют короткими временными интервалами, игра на разности цен, которая зачастую противоположна основному тренду. Игроки с приватной информацией так же вносят существенный вклад в нерациональность статистики, совершая масштабные, неожиданные интервенции. Третья причина - на финансовом рынке большинство акций взаимозаменяемо, в отличие от товарных рынков.

Все эти три причины постоянно присутствуют на бирже и приводят к тому, что за исключением редких случаев показатель нерациональности оказывается больше 1. Логично предположить, что активность нерациональных игроков зависит от товара и от текущего момента времени. Например, спекулянты активизируются при выходе новостей о компании или её отчётности. Игроки с приватной информацией совершают свои операции накануне изменений в цене.

Таким образом, задача исследование рациональности торговой статистики по отдельным моментам времени и по отдельным акциям является актуальной. Возникает задача фильтрации временных точек и номенклатуры товаров.

Цель данной главы - выработать алгоритм сравнения рациональности отдельных точек торговой статистики, выработать алгоритм выявления товаров, торговля которыми приводит к увеличению показателя нерациональности.

4.1 Алгоритм исследования рациональности торговой статистики

Данный раздел ставит цель дать общий план анализа торговой статистики.

Пусть - исследуемая торговая статистика, рационализируемая с показателем нерациональности .

Алгоритм анализа рациональности торговой статистики:

1. Построение временного показателя нерациональности .

2. Поиск множества выбросов ряда .

Пункты 3-7 выполняются для каждой точки

3. Построение множества допустимых векторов спроса

4. Поиск проекции точки на множество , поиск вектора разности

5. Покомпонентная нормировка вектора .

6. Поиск множества выбросов вектора .

7. Анализ цен и спроса выявленных товаров из множества .

Каждый пункт требует детального объяснения и будет описан в данной главе.

4.2 Построение временного показателя нерациональности и его свойства

Пускай дана торговая статистика, которая не является рационализируемоей, то есть, по теореме Африата-Вериана, она не удовлетворяет системе неравенств .

При использовании обобщенного непараметрического метода анализа торговой статистики, система неравенств видоизменяется путём добавления показателя нерациональности :

Теперь сопоставим каждому моменту времени свой показатель нерациональности , где - количество временных точек торговой статистики.

Параметры ищутся путём решения следующей модифицированной системы неравенств:

Очевидно, что набор параметров, при котором система разрешима, существует. Можно в этом убедиться, подставив вместо всех показатель нерациональности .

Будем искать набор параметров, который делает систему разрешимой и при этом удовлетврояет условию .

Данная задача в некотором смысле эквивалентна поиску показателя нерациональности, но оптимизация здесь ведётся не по одному параметру, а по набору из параметров.



Таким образом, решается оптимизационная задача:

(6)

Система (6) эквивалентна системе (7)

(7),

где . Система (7) получается из системы (6) путём логарифмирования обеих частей. Т.к. все компоненты системы (6) положительны, то логарифмирование возможно, и система (7) эквивалентна системе (6). На практике удобнее искать решение системы (7), которое можно найти, например, методами линейного программирования.

Определение 7 Набор параметров , удовлетворяющей системе неравенств (6.1) и критерию (6.2) мы будем называть временным показателем нерациональности.

Отметим некоторые свойства временного показателя нерациональности.

Предложение 8 Пусть - показатель нерациональности торговой статистики , а -показатель временной нерациональности. Тогда выполнены следующие свойства:

1. , т.е. максимальный элемент временного показателя нерациональности не меньше показателя нерациональности .

2. , т.е. минимальный элемент временного показателя нерациональности не больше показателя нерациональности .

3. Если множество временных точек торговой статистики разбито на конечное число непересекающихся подмножеств (назовём их подстатистиками), т.е. , где - множества временных точек, -временной показатель нерациональности исходной торговой статистики, а - вектор, полученный объединение временных показателей нерациональности подстатистик , где объединение понимается в следующем смысле: , то .

Доказательство.

1. Допустим противное - . Подставим в систему (6) вместо величины . При таком наборе параметров система тоже будет разрешима, хотя и не будет давать минимума по оптимизационному критерию. Но раз у нас все показатели нерациональности равны, то они удовлетворяют и системе (3), если положить . По условию нахождения - минимальный параметр, который делает систему (3) разрешимой. Но, если , то это условие нарушено. Противоречие. Значит .

2. Допустим противное - . Рассмотрим ряд в котором все элементы равны . Т.к. , то и . Если все элементы ряда равны, то система (6) превращается в систему (3). Система (3) разрешима при показателе нерациональности , значит и система (6) разрешима при ряде . Но т.к. , значит . Это значит ряд не удовлетворяет критерию (6.1). Противоречие. Значит .

3. Докажем это свойство от противного, пускай . Пусть , а . получается в ходе решения системы , (3a) , а в ходе решения системы , (3b), где . Система (3a) содержит подсистему (3b). Если система (3a) разрешима при неком наборе параметров, то и любая её подсистема будет разрешима при том же наборе параметров. Следовательно если в качестве параметров взять - они удовлетворяет также системе (3b). Но, раз , то , то условие не выполнено. Противоречие. Значит .

Свойство 3 означает, что если мы разобъем торговую статистику на несколько торговых статистик по временным точкам, посчитаем для каждой полученной торговой статистики временной показатель нерациональности, соединим их в единый ряд, то любая компонента этого ряда будет не больше соответствующей компоненты временного показателя нерациональности исходной торговой статистики.

На рис.8 приведён график временного показателя нерациональности для дневной торговой статистики США за период с февраля по май 2007 года. Горизонтальной чертой отмечен показатель нерациональности торговой статистики. Видно, что свойства выполнены.



Рисунок 8.

4.3 Выявление выбросов временного показателя нерациональности

Временной показатель нерациональности неоднороден, среди его значений могут быть как отдельные выбросы, так и значения меньшие 1. Цель данного раздела - описать критерий по которому строится множество выбросов .

Пусть - исследуемая торговая статистика, рационализируемая с показателем нерациональности , - временной показатель нерациональности.

Разумно составлять множество из максимальных элементов . То есть последовательный алгоритм наполнения множества выглядит следующим образом:

Алгоритм. - временной показатель нерациональности, - подмножество временного показателя нерациональности, заданное следующим образом: .



1. .

2. Выбираем максимальный элемент , где

3. Включаем данную точку в множество выбросов:

4. Проверка критерия остановки. Если критерий не выполнен, то переходим на пункт 2, если выполнен - завершаем алгоритм.

Отдельно стоит остановиться на 4 пункте - критерии остановки. В данной работе использовался следующий подход - заранее выбиралось число исключаемых точек. Точки выбирались исходя из следующего критерия: исследовалось влияние удаления первых точек на временной показатель нерациональности. На рисунке 9 представлен график зависимости показателя нерациональности от текущего максимального значения для торговой статистики бирж Nyse, Nasdaq за 2005-2010 годы, агрегированной по месяцам.

Рисунок 9: Выбор порога .

Удалению подлежат первые точки, которые существенно уменьшают общий показатель нерациональности . Как только наступает горизонтальный участок графика , это означает, что удаление одной следующей точки существенно не меняет рациональность торговой статистики. Поэтому в данной дипломной работе выбиралось следующее число точек - минимальное число точек, которое нужно удалить до наступления горизонтального участка графика . Как правило, эти величины составляли 1-5 точек.

4.4 Методика прогнозирования структуры потребительского спроса

Путь дана торговая статистка , рационализируемая с показателем нерациональности . Рассмотрим задачу продолжения торговой статистики на новую временную точку с сохранением показателя нерациональности (более подробно данная задача прогнозирования рассматривалась в [5]).

Будем рассматривать задачу в следующей формулировке. Считаем, что в новой точке нам известен вектор цен , и требуется найти множество допустимых .

Через будем обозначать множество, состоящее из векторов , для которых торговая статистика , будучи расширенной на набор удовлетворяет однородной сильной аксиоме с параметром нерациональности .

Т.к. исходная торговая статистика была рационализируема с показателем нерациональности , то по теореме Африата-Вериана выполнено:



После добавления новой точки будем искать такие векторы , которые бы не нарушали условие интегрируемости, т.е. чтобы расширенная торговая статистика была рационализируема с тем же показателем нерациональности, что и раньше. Это означает:

Обозначим через следующие константы:

Константы легко находятся с помощью алгоритма Варшалла-Флойда. Расширенная торговая статистика должна удовлетворять следующей системе неравенств:

,

Данная система и задаёт множество допустимых прогнозов векторов . Аналогичным образом можно поставить задачу прогноза цен при известных объемах продаж. В следующем разделе мы отметим некоторые свойства данного множества.

4.5 Свойства множества прогнозов векторов спроса

Пусть , рационализируемая с показателем нерациональности . Рассматривается задача прогнозирования вектора объёмов продаж при известных векторах цен в новой точке. Пусть - множество прогнозов на векторы спроса, такое, что расширенная торговая статистика - рационализируемая с прежним показателем нерациональности .

Отметим, что множество всегда содержит вектор . Опишем важные свойства множества в следующем предложении:

Предложение 9 Пусть - множество прогнозов векторов спроса торговой статистики на новую точку при . Тогда справедливы следующие свойства:

1. - положительный конус с вершиной в точке .

2. содержит по крайней мере одну точку .

Доказательство.

1. Это свойство непосредственно следует из линейности неравенств , относительно вектора . Подставив вместо вектора вектор , получаем

,

Следовательно, если вектор , то и вектор . Это означает, что множество - положительный конус с вершиной в точке .

2. Для точек торговой статистики справедливо Пусть . Проверим, что . Для этого достаточно проверить неравенства и

выполнены, т.к. , а для t неравенства выполнены (т.к. исходная торговая статистика рационализируема с показателем нерациональности )

тоже выполнены, т.к. и .

Таким образом, мы показали, что если дана торговая статистика и мы пытаемся расширить её на новую точку с произвольными ценами , то можно подобрать такие объемы, что новая статистика будет рационализируема с исходным показателем нерациональности, а значит наше множество прогнозов при не пуст и его построение всегда осмысленно.

4.6 Поиск вектора проекции на множество прогнозов и вектора отклонений

К настоящему моменту мы определились с тем, какие точки исключать из торговой статистики и исследовать на нерациональность. Дальнейшее исследование проходит по следующей схеме.

- исследуемая торговая статистика, которая рационализируема с показателем нерациональности .

Пусть - множество точек торговой статистики, которые не являются выбросами, т.е. не находятся в множестве , - торговая статистика, суженная до множества , рационализируемая с показателем нерациональности - точка, которая является временным выбросом, а - вектор цен в данной точке.

Строится множество прогнозов на векторы спроса для торговой статистики . Множество состоит из векторов , таких, что - рационализируема с показателем нерациональности для .

После построения множества ищется проекция вектора на множество . Удобнее всего решать данную задачу следующим образом.

Рассматривается оптимизационная задача:

Решение данной задачи легко находится методами квадратичного программирования. После нахождения вектора вычисляется вектор разности .

При дальнейшем анализе возникают определенные сложности, которые связаны в первую очередь с нормировкой вектора .

4.7 Нормировка вектора отклонений и выявление выбросов

Номенклатура товаров имеет неоднородную структуру. Какие-то товары имеют небольшие объемы продаж и высокие цены, какие-то имеют большие денежные потоки, какие-то меньшие. Отклонение на 1000 акций по одному товару может составлять 1% от торгов, по другому 10%. Возникает задача выбора оптимальной нормировки вектора разности для дальнейшего анализа.

Автором сравнивались следующие варианты нормировки:

1. Отсутствие нормировки

2. Нормировка компонент вектора на средние объёмы, , где

3. Нормировка компонент вектора на текущие объёмы,

4. Нормировка компонент вектора на компоненты вектора проекции, .

5. Вычисление вектора отклонений по денежным объёмам, .

6. Вычисление вектора отклонений по денежным объёмам и его нормировка на средние денежные объёмы, , где .

Таблица 1: Различные варианты нормировок вектора и .

В таблице 1 приведены графики компонент векторов и в зависимости от нормировки.

Автором был выбран вектор отклонения по бюджетам в качестве основного и отклонения на данном векторе и рассматривались как акции, где велись нерациональные торги. Данный выбор обусловлен тем соображением, что при активности спекулянтов мерой воздействия на рынок должна служить именно денежная сумма, которая участвовала в нерациональной торговле. Нормировка на объёмы не даёт полноты картины, т.к. даже большое отклонение в объёмах может быть незаметно для рынка, если цена на данные акции невелика.



5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

В настоящей работе была проведена проверка работы метода на финансовой торговой статистике. Исследовались данные дневных торгов основных мировых бирж. Рассматриваемый период: январь 2004 - ноябрь 2011 года.

В работе исследовались биржи NYSE(USA), NASDAQ(USA), London, Euronext, Italy, Dax(Germany), Swiss, Spain.

Для проведения расчетов использовалась модифицированная среда “Индекс” [10].

5.1 Исследование торговой статистики бирж США

В данном разделе исследовалась рациональность дневной торговой статистики бирж Nyse, Nasdaq агрегированной по месяцам. Первый этап исследования состоял из исследования статистики за 2005-2010 годы.

Рисунок 10: Временной показатель нерациональности.



Рисунок 11: Выбор количества выбросов

На рисунке 10 представлен график временного показателя нерациональности . Рисунок 11 позволяет выбрать оптимальное выбросов . Исходя из визуального анализа, видно, что удаление одной точки не приводит к изменению показателя нерациональности, в то время, как удаление двух точек существенно уменьшает . Итого, .

Выбросами оказались две точки - №8 (август 2005 года) и №34 (октябрь 2007 года).



Рисунок 12: Отклонение .

Рисунок 13: Отклонение .

Исходя из анализа векторов отклонений по бюджетам на рисунках 12 и 13, следующие акции были помечены, как подозрительные:

Август 2005: 52(Google), 2(Exxon Mobil), 54(Cisco Systems), 60(Ebay).

Октябрь 2007: 5(Citigroup). 51(Apple), 52(Google), 55(Baidu) .