Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Управление портфелем активов

1.1 Оценка эффективности управления активами

1.2 Инвестирование на основе инерции (momentum)

1.3 Инвестирование на основе фундаментальных показателей (value investing)

1.4 Ребалансировка

Глава 2. Применение стратегии ребалансировки

2.1 Расчёт diversification return (DR) и учёт транзакционных издержек

2.2 Симуляция DR на искусственных данных

2.3 Тестирование на реальных данных

2.4 Тестирование рыночных аномалий

Заключение

Список литературы



Введение

Со времён первых комплексных методов портфельного управления ценными бумагами, предложенных Г. Марковицем, было выявлено множество белых пятен. В частности мера систематического риска, бета, ныне признана лишь одним из ряда факторов, отражающих риск, который должен быть компенсирован доходностью. Сама же бета в ряде случаев вообще не в состоянии объяснить колебания доходности активов (проблема слишком плоской SML-кривой). Выявлены аномалии, позволяющие получать прибыль сверх среднерыночной, что идёт в разрез с предположениями гипотезы эффективного рынка Ю. Фамы. Среди них обнаружены, например, моментум фактор, фактор стоимости, фактор размера компаний, календарные и поведенческие эффекты. Как результат, исследования в области ценообразования активов сосредоточились на выявлении различных источников риска и описании структуры рынка. Одним из пока плохо изученных феноменов стала ребалансировка портфеля. При всей простоте подхода, предполагающего поддержание весов компонентов портфеля на заданном уровне, оказалось, что это влечёт за собой неожиданные эффекты, способные существенно повлиять как на риск, так и на доходность стратегии. В ряде случаев прибыль возникала даже у активов с изначально нулевой доходностью.

При этом включение в портфели новых финансовых инструментов со специфическими профилями риска и доходности вроде cdo (collateralized debt obligations) создало понимание ограниченности общепринятых показателей вроде коэффициента Шарпа или VaR. В результате появились более продвинутые методы оценки результативности инвестирования, преодолевающие недостатки предшественников.

Актуальность работы обусловлена слабой освещённостью проблемы формирования структуры портфеля при включении в него разных активов и инвестиционных стилей, а также предполагаемой перспективностью использования стратегии ребалансировки для повышения эффективности управления портфелем ценных бумаг.

Объектом исследования в данной работе является стратегия ребалансировки портфеля ценных бумаг.

Предмет исследования - влияние стратегии ребалансировки на показатели портфеля ценных бумаг при использовании разных классов активов и стилей управления (рыночных аномалий).

Проблема исследования - отсутствие в практике управления портфелем ценных бумаг правил, обосновывающих необходимость поддержания и размер долей активов или стилей управления. На практике же данный вопрос регулярно встаёт при попытке оптимизации параметров портфеля ценных бумаг.

Цель исследования - оценить возможность улучшения эффективности управления портфелем при помощи стратегии ребалансировки. Для этого в рамках данной работы требуется выполнить следующие задачи:

· Исследовать методы оценки результатов управления портфелем, выбрать наиболее точные из них.

· Изучить суть, достоинства и проблемы стратегий инвестирования на основе фундаментальных показателей (value strategy) и моментум (momentum strategy), а также стратегии ребалансировки (rebalancing)

· Изучить влияние транзакционных издержек на показатели результативности управления портфелем при реализации стратегии ребалансировки

· Оценить величины эффекта стратегии ребалансировки при взаимодействии с рыночными аномалиями (value и momentum) при сопоставлении результатов на основе выбранного критерия оценки результатов инвестирования

В работе предполагается использование следующих методов:

· Для определения распределения доходностей, наиболее близкого к генеральной совокупности из эмпирических данных, необходимой для оценки показателей управления портфелем, будет использован метод бутстрапирования (bootstrap)

· Тестирование наборов правил для подбора оптимальных соотношений будет осуществляться при помощи построения портфелей с заданными торговыми правилами на данных фондового рынка США за последние 80 лет

· Тестирование стратегий будет проводиться также на искусственно сгенерированных данных

Расчёты будут проводиться в статистическом пакете R.

В первой главе магистерской диссертации будут рассмотрены исследования, отражающие современное понимание вопросов, связанных с использованием инвестиционных стратегий, оценки результатов управления портфелем и определения структуры портфеля, будут детально описаны особенности стратегии ребалансировки портфеля. Также будут обозначены основные проблемы и белые пятна, связанные с вышеозначенными вопросами.

Во второй главе, будет дано описание возможностей применения ребалансировки для повышения эффективности управления активами. Также будут представлены результаты тестирования стратегии совместно с рыночными аномалиями value и momentum и различными активами.



Глава 1. Управление портфелем активов.

1.1 Оценка эффективности управления активами

На данный момент при оценке эффективности управления портфелем в массе своей по-прежнему используются аксиомы, введённые Г.Марковицем, предполагающие, что инвесторы действуют в двух основных координатах: риск и доходность. При этом доходность, которая может измеряться по-разному, в общем случае предполагает, что инвестор при прочих равных предпочтёт получить большую доходность меньшей. Риск же отражает степень нестабильности доходности актива, и является той характеристикой, которой инвестор предпочитает избегать (Markowitz, 1959). В более современных исследованиях помимо этих двух характеристик добавляют, к примеру, ограничения заимствования (Guisoetal., 1996) и степень ликвидности (Pastor, 2003). Эмпирические исследования показывают, что эти характеристики оказывают влияние на ценообразование активов и при этом не могут быть объяснены влиянием прочих факторов, вроде эффектов стоимости, размера или моментума. Однако пока что их учёт при оптимизации портфеля активов сложен и слабо формализован. В то же время риск и доходность остаются наиболее важными характеристиками портфеля, поэтому в данной работе мы будем рассматривать только их.

Обычная оптимизационная задача (mean-variance optimization) предполагает нахождение ряда эффективных портфелей на основе параметров их риска и доходности. При этом с технической точки зрения аналитик может лишь определить набор портфелей, которые были бы лучшими из доступных. Такой набор известен как эффективная граница Марковица. Конечное же решение может принять лишь инвестор, исходя из своих предпочтений (Sharpe, 1966), т.е. объёма возможного принятия риска - пенсионные фонды почти всегда более консервативны, чем, к примеру, хедж-фонды. При этом если граница Марковица имеет переменный угол наклона, а соответственно и соотношение риска и доходности, то кривая CML (Capital market line), введённая на основе исследования Дж. Тобина (Tobin, 1958) позволила сделать его постоянным, добавив в модель безрисковый актив. Это дало возможность более эффективно проводить оптимизацию, поскольку появилась возможность оценивать разные портфели (и в т.ч. деятельность инвестиционных фондов) по коэффициентам, отражающим соотношение риска и доходности, не перебирая все возможные комбинации. Для наглядности покажем это на графике (рис. 1).

Рис. 1. Эффективная граница Марковица и CML (E - ожид. доходность, s.d. стандартное отклонение доход.портфелей, r.f. - безрисковая доходность)

На рисунке 1 представлена эффективная граница Марковица (чёрная линия), проходящая через точки ABC и кривая CML (синяя). В случае отсутствия в модели безрискового актива, простейший коэффициентE/s.d., отражающий соотношение риска и доходности, для портфелей ABC был бы непостоянным. Тогда самый высокий угол наклона и коэффициент был бы у портфеля C, что говорило бы о том, что за каждую единицу риска можно получить большую величину доходности. При этом инвестор всё равно мог выбрать портфель B или A, т.к. желает получить большую доходность, пусть и за счёт пропорционально большей величины риска. В случае же наличия безрискового актива инвестор оперирует кривой CML, поэтому соотношение риска и доходности портфелей, лежащих на ней, всегда будет постоянно. В этом случае мы можем предлагать инвестору эффективные портфели, не строя эффективной границы Марковица, а значит, не перебирать все возможные портфели активов на рынке, что существенно более удобно и быстро. Иными словами, появляется возможность оценивать соотношение риска и доходности при помощи коэффициентов.

Одним из наиболее распространённых показателей соотношения риска и доходности является коэффициент Шарпа, изначально рассчитывавшийся следующим образом (Sharpe, 1966):

, (1)

Где:

E_i - доходность актива (портфеля);

p - безрисковая ставка;

у_i - стандартное отклонение доходности актива (портфеля).

Позже, У. Шарп модифицировал его, посчитав, что индикатор, выраженный в показателях избыточной доходности относительно бенчмарка, более точно отражает цели управляющих фондами (Sharpe, 1994). Рассчитывается данный коэффициент следующим образом:

, (2)

Где:

R_F - доходность актива (портфеля);

R_B - доходность бенчмарка;

- дисперсия разницы между доходностью актива (портфеля) и бенчмарка.

Аналогичным образом построен ещё ряд известных индикаторов: коэффициент Трейнора (избыточная доходность по сравнению с безрисковой ставкой по отношению к бета), v2 (доходность в годовом выражении по отношению к среднеквадратичной величине относительных просадок (drawdown)), коэффициент CALMAR (доходность в годовом выражении по отношению к максимальной просадке), коэффициент Safety-first(разница между доходностью актива и минимально необходимой доходностью по отношению к стандартному отклонению доходности актива) и т.д.Каждый из них имеет некие достоинства и недостатки, поэтому сформулируем ряд характеристик, которыми должен обладать показатель риска.

Важным вопросом при определении фактора риска является описание того, как воспринимают риск сами инвесторы и управляющие фондами. Одна из первых работ, в которых изучалось поведение экономических агентов в условиях риска, была работа Мориса Алле (Allais, 1953). Он провёл следующий эксперимент:

Опрашиваемому задавали следующие вопросы

Какой вариант вы предпочтёте?

A. точно получить 100 млн. франков

B. получить:

· 500 млн. франков с вероятностью 10%

· 100 млн. франков с вероятностью 89%

· ничего с вероятностью 1%

Какой вариант вы предпочтёте?

C. получить:

· 100 млн. франков с вероятность 11%

· ничего с вероятностью 89%

D. получить:

· 500 млн. франков с вероятностью 10%

· ничего с вероятностью 90%

В соответствии с общепринятой и до сих пор широко используемой теорией ожидаемой полезности, разработанной Дж. фон Нейманом и О.Моргенштерном, индивиды должны максимизировать ожидаемую полезность. Тогда в случае эксперимента Алле, индивиды, если они рациональны, должны были выбрать B и D (матожидание 139 и 50 млн. соответственно). Однако на самом деле они выбирали A и D (100 и 50 млн. соответственно). Данное несоответствие известно как «парадокс Алле». Получалось, что индивиды крайне риск-несклонны, и не готовы пойти даже на небольшой риск, если есть альтернатива, позволяющая получить выигрыш со 100% вероятностью. Позже тот факт, что экономические агенты более остро реагируют на потери, чем на выигрыш, и потому по мере возможности избегают ситуаций неопределённости, был подтверждён в классической работе Д.Канемана и А.Тверски (Kahneman, Tversky, 1979) и получил развитие в рамках теории перспектив. С точки зрения поведенческих финансов, указывается также, что инвесторы в большей степени стремятся к получению удовлетворительных результатов, чем к достижению оптимальных (Olsen, 1998). Конечно, мы не знаем точно, как воспринимает риск тот или иной конкретный инвестор, равно как мы не знаем, какая мера риска должна быть идеальной, чтобы попытаться смоделировать показатель, наиболее близкий к ней. Однако большинство инвесторов всё же предпочли бы избегать рисков насколько это возможно, и исследования, в том числе и упомянутые выше, показывают, что по возможности незначительные просадки доходности более предпочтительны, поэтому имеет смысл включить в индикатор повышенный штраф за потери.

Ещё одним важным аспектом является то, что даже краткосрочные государственные бумаги могут быть рискованным активом с точки зрения инвестора, поскольку их доходность ниже, чем тот целевой уровень, которого он хочет достичь (Sortino, 2001a). Те величины, которые используются во многих показателях результативности портфеля для определения избыточной доходности, как например, безрисковая ставка или доходность бенчмарка, по сути лишь частные случаи более общей ситуации, когда управляющий фондом или инвестор может иметь любой показатель, который он считает минимально допустимым в качестве результата управления. Это может быть и доходность по альтернативному инструменту вроде депозита или бенчмарка, и плановый показатель, устанавливаемый для фонда государством, менеджментом, акционерами или кем-либо ещё. Общим остаётся то, что не достижение этой величины, назовём её также как Ф.Сортино MAR (minimum acceptable return), представляет собой риск. Поэтому вкладываясь в государственные бумаги с доходностью в 2-5% годовых при MAR в 10% будет означать, что этот актив не является безрисковым с точки зрения данного инвестора.

Также важно отметить, что оценки риска, полученные на основе исторических данных могут оказаться смещёнными в силу того факта, что рассматриваемый период окажется нерепрезентативными. Огромные убытки, которые характерны для какой-либо инвестиционной стратегии могут просто не реализоваться в тот период, на основе которого мы оцениваем показатели её деятельности. Попытка преодолеть данный недостаток сделана при разработке показателя Conditional Value atrisk (C-VaR или Expected Shortfall). Стоит сначала сказать, что широко распространённый сейчас показатель VaR, рассчитывается не на основе данных за определённый временной интервал, а, исходя из распределения доходностей того актива, риск которого оценивается. Это даёт возможность учитывать вероятность и размер потерь, которые ещё не случились, но могут произойти в будущем.

Однако VaR имеет ряд недостатков. Во-первых, данный показатель отражает величину потерь, которую можно понести при владении активом с заданными интервалом времени и вероятностью. Например, выбрав 5% уровень значимости, и период в 3 дня можем получить, что с вероятностью 95% убытки в течение 3-х дней не превысят величины X. Проблема состоит в том, что мы не знаем размер убытка, который мы получим, если риск всё же реализуется. Это может быть величина равная 100*X, и тогда события, наступающие с довольно низкой вероятностью в 5% и меньше, в случае возникновения могут оказаться критическими для портфеля. Во-вторых, при применении VaRнарушается естественное правило, при котором величина риска от ряда активов, включённых в один портфель, не может быть больше, чем величина риска от владения этими же активами одновременно, но по-отдельности. К примеру, есть два актива, Aи B, каждый из которых может принести убыток в 100 тыс. с вероятностью 4%. Тогда выберем для оценки VaR 5% уровень значимости, и рассмотрим два случая:

1. инвестор вкладывается полностью в актив A или в актив B. Тогда ожидаемый убыток составит 100 тыс. * 0,04 = 4 тыс. VaR же покажет ноль, поскольку вероятность его ниже уровня значимости в 5% (а именно 4%)

2. инвестор вкладывается поровну в A и B. Тогда ожидаемый убыток составит 0,5*100 тыс.*0,04+0,5*100 тыс.*0,03=3,5 тыс. VaR же покажет убыток в 100 тыс., поскольку вероятность превысит 5% и составит 6,88% (поскольку события являются совместными, т.е. могут произойти одновременно, и независимыми, т.е. наступление одного происходит вне зависимости от наступления другого, то вероятность наступления хотя бы одного из них составляет P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). В данном случае это будет P(A+B)=0.04+0.03-0.04*0.03=0.0688 (6.88%))

В результате, хотя ожидаемый убыток во втором случае меньше, VaR покажет, что он больше (100 тыс. против нуля). Формально говоря, это умозаключение известно как нарушение аксиомы о субаддитивности (Artzner, 1998), выполнение которой, помимо соответствия логике экономических явлений, является необходимым условием для осуществления диверсификации.

Эти проблемы решает показатель C-VaR (ConditionalValueatrisk), который рассчитывает не минимальную величину потерь с заданной вероятностью, а математическое ожидание потерь за пределами этой границы (Agarwal, 2004). В этом случае, вне зависимости от величины риска отдельного актива C-VaR будет адекватно отражать риск всего портфеля. Соответственно данная мера удовлетворяет аксиоме субаддитивности. Благодаря этим достоинствам, и особенно лучшему учёту «хвостового риска» (“tailrisk”), т.е. адекватной оценке риска существенных потерь, находящихся в хвосте распределения, данный показатель был принят в качестве основного при расчёте величины ожидаемого риска в рамках нового документа, регламентирующего деятельность банков, Базель III [14].

Ещё одним важным аспектом, который должен быть учтён в показателе результативности фонда или инвестора, является условие стохастического доминирования. Оно представляет собой требование о том, чтобы в случае наличия двух игр (либо любых вероятностных событий) доминирующая игра A для любого значения x даёт не меньшую вероятность наступления, чем в доминируемой игре B. Эта формулировка является определением стохастического доминирования первого порядка. Также должно выполняться условие стохастического доминирования второго порядка, предполагающего, грубо говоря, что игра A доминирует над B, если A более предсказуема (имеет меньший риск) и не меньшее среднее значение. При этом выполнение условия стохастического доминирования первого порядка автоматически приводит к выполнению стохастического доминирования второго порядка. Смысл этого легко понять на графиках:

Рис. 2. Стохастическое доминирование первого порядка [13].



Рис. 3. Стохастическое доминирование второго порядка [13].

На рис. 2 и 3 синим и красным показаны функции распределения двух портфелей, зелёным на графике 3 отмечена разница между функциями распределения.

Из рис. 2 видно, что, инвестор сможет получить прибыль, не превышающую 100 единиц в случае A лишь примерно с вероятностью 50%, и в 50% большую, в то время как в случае B те же значения прибыли могут быть получены лишь с вероятностью около 75% и 25% большую. Рис. 3 показывает, что, грубо говоря, в среднем (при всём распределении вероятностей) инвестор получит больше при стратегии A, чем при B, о чём говорит положительное значение разницы между их функциями распределения, отмеченного как D(z).

Требование о том, чтобы мера результативности управления портфелем учитывала возможность стохастического доминирования необходимо, поскольку иначе оценка может оказаться неадекватной. Традиционные методы оценки, вроде mean-variance optimization (M-V) не в состоянии корректно учесть данный факт, хотя с точки зрения любого инвестора именно факт стохастического доминирования может оказаться решающим при принятии решения об инвестировании. Это легко показать на графике:



Рис. 4. Доходности портфелей A и C (Sortino, 2001a).

Рис. 4 показывает, что риск портфеля C, традиционно оцениваемый через стандартное отклонение, выше, чем у портфеля A. При этом средняя доходность A также выше, чем у C. В соответствии с принципами M-Vданные портфели могут быть адекватной заменой друг друга, т.е. располагаться на границе Марковица. При этом любой реальный инвестор, основываясь на представленных данных, однозначно выберет портфель C, поскольку в этом случае он в среднем получит больше, но даже в худшем варианте почти всегда его доходность окажется выше, чем при выборе портфеля A.На практике это может, к примеру, выражаться в том, что акция, которая стабильно и сильно растёт, хоть и с существенными колебаниями будет предпочитаться той, которая достаточно стабильна, но показывает очень низкую доходность.

Ещё более остро проблема учёта распределений и моментов выше второго (не только среднего и дисперсии) стоит в случае инвестиционных стратегий, имеющих несимметричный профиль доходностей, к примеру, стратегий с использованием опционов. В качестве примера можно привести рис. 5:

Рис. 5. Плотности распределения двух инвестиционных стратегий (Sortino, 2001a).

На рис. 5 S&P представляет собой плотность распределения доходностей индекса S&P500, а S+P плотность распределения того же индекса и опцион пут. В S+Pоднозначно привлекательнее для инвестора, поскольку он с одной стороны застрахован от риска потерь, что видно из графика плотности распределения, а с другой сможет заработать не меньше, чем при инвестировании просто в индекс S&P500. Доходность в 10% худших случаев для S&P составляет 4,5% доходности, в то время как для S+P это 13,7%. При этом в 10% лучших случаев разница незначительна - 54,5% против 51,2%. Поскольку, среднее значение и стандартные отклонения для обеих стратегий одинаковы, то M-V не покажет между ними разницы, в отличие от меры результативности, способной учесть плотность вероятности.

При оценке показателя риска стоит отметить, что вариация, используемая при M-V, в силу своей симметричности вряд ли отражает именно риск. Исследования показывают, что риск в первую очередь ассоциируется с величиной потерь, а не с величиной волатильности. В Sortino, 2001a в отношении этого тезиса ссылаются на работу психолога Дж.Пэйна 1973 года, утверждавшего, что наиболее значимыми факторами для инвесторов являются частота просадок и величина возможных потерь.

Обобщая вышесказанное, отметим, что возможно мы не сможем оценить риск максимально точным образом, ведь каждый инвестор воспринимает его индивидуально. Кроме того, нет идеального критерия оценки результативности управления, с которым можно было бы сравнивать выбранный показатель. По этой причине мы можем лишь сказать, какой индикатор является лучше или хуже, исключить явные ошибки и недостатки, попытаться подобрать функцию, более точно отражающую восприятие риска большинством инвесторов, и, главное, построить показатель, который не расходился бы с практикой управления активами, отражал тот опыт, который используется при вложении средств на финансовом рынке.

Кратко обозначим основные критерии, которым должен удовлетворять показатель результативности управления портфелем (инвестиционной стратегии):

1. Учёт величины потерь (вместо оценки дисперсии)

2. Повышенный штраф за потери

3. Определение потерь относительно MAR (показатель может быть любым, фиксированным или изменяющимся)

4. Учёт функции распределения (не просто исторический ряд данных)

5. Выполнение условия субаддитивности

Одним из наиболее подходящих под данные критерии является показатель Upside potential ratio, разработанный Ф. Сортино, А. Плантингой и Р. Ванн дер Миром (F.Sortino, A.Plantinga, R. van der Meer) (Sortino, 2001b). В непрерывной форме он выглядит следующим образом:

, (3)

Где:

mar - минимально приемлемое значений доходности(minimum acceptable return);

r - доходность портфеля;

f(r) - плотность распределения вероятностей доходности портфеля;

б - степень неприятия риска.

Данный показатель в знаменателе показывает взвешенные по вероятности отклонения доходности портфеля от MAR. При этом в зависимости от коэффициента б инвестор может устанавливать величину штрафа за риск. Для более консервативных инвесторов этот показатель должен быть больше. В числителе аналогично находятся взвешенные по вероятности отклонения от MAR, но уже в положительную сторону. В целом показатель UPR отражает величину доходности за каждую единицу риска с учётом вероятности возникновения доходности. Чем выше данный показатель, тем больше доходности приходится на единицу риска, и тем выгоднее оцениваемая им инвестиционная стратегия.

1.2 Инвестирование на основе инерции (momentum)

Стратегия инвестирования на основе инерции цен активов представляет собой статистически обоснованный метод формирования портфеля, исходя из динамики цен за прошедший период. Обычно предполагается, что нужно покупать те активы, которые росли последнее время и «шортить» те, которые падали. Одной из первых работ, где была предпринята попытка системно проанализировать данный эффект на фондовом рынке стала статья Jegadeesh and Titman, 1993. Чтобы выявить эффект они отсортировали бумаги по доходности за последние три, шесть, девять и двенадцать месяцев, верхний дециль был назван портфелем «победителей», нижний дециль портфелем «проигравших». Затем бумаги «победителей» покупались, бумаги «проигравших» «шортились». Результаты показали, что такая стратегия приносит около 12% годовых в течение следующих шести месяцев. Аналогичные работы показывали, что стратегия оказывается прибыльной на других интервалах времени и на других рынках. В частности сами Jegadeesh and Titman, 2001 проверили её в период с 1965 по 1999 гг. и пришли к выводу, что эффект устойчив, в отличие от эффектов размера и стоимости и сохраняет примерно те же величины доходности, как и в их предыдущей работе. Эффект инерции был обнаружен даже на интервале с 1866 по 1907 гг. в Великобритании (Chabot et al., 2008). Также возможность получения прибыли была подтверждена на примерах большого числа стран: в 12 европейских странах (Rouwenhorst,2002), на индексах 23 стран (Chan et al., 2000), на 8 азиатских странах (Chui et al., 2001).

Эмпирическое подтверждение инерции цен активов противоречит постулатам гипотезы эффективного рынка (Efficient market hypothesis - EMH) Ю. Фамы, предполагавшего, что даже в слабой форме EMH цены активов не должны зависеть от предыдущих значений, в противном случае инвесторы смогут систематически извлекать безрисковую прибыль. Поэтому были предприняты попытки объяснить наличие данного эффекта как компенсации за принятие риска. Другие исследователи предполагали, что сверхприбыль от данной стратегии появляется за счёт интеллектуального анализа данных (data mining). Однако попытки выявить конкретные факторы риска не увенчались успехом. Jegadeesh and Titman (2001), Grundy and Martin (2001), Liu (1999) пришли к выводу, что инерция не может быть объяснена ни дополнительными рисками, ни интеллектуальным анализом данных. Последнее в частности вытекает из наличия эффекта на рынке Великобритании в Викторианскую эпоху, когда статистические методы исследования рынка были практически не распространены (Chabot B. et al., 2008). В результате попытки объяснения инерции сместились в сторону поведенческих финансов.

При анализе действий индивидов было выделено два основных эффекта: эффект чрезмерной реакции (overreaction) и недостаточной реакции (underreaction). Один из возможных вариантов тестирования первого эффекта был представлен De Bondt et al., 1985. Логика теста предполагала, что если имеет место чрезмерная реакция, то акции, которые росли в течение некоторого периода времени («победители»), в дальнейшем покажут отрицательную доходность, поскольку рост был избыточным относительно внутренней стоимости бумаг, и наоборот, упавшие акции («проигравшие») будут в дальнейшем расти. Исследователи выделили 35 наиболее сильно выросших и упавших за последние 5 лет бумаг, сформировали из них портфель проигравших и победителей с равными весами. Затем держали такие портфели ещё 5 лет. Формирование новых портфелей (при сохранении старых) происходило каждый год в течение 46 лет. В результате портфели проигравших показали в среднем кумулятивную доходность выше уровня бенчмарка (индекс NYSE) в течение 36 месяцев после формирования портфеля в 19,6%, портфель победителей в свою очередь имеет тот же показатель в -5%. Иными словами, предположение об эффекте чрезмерной реакции подтверждается в долгосрочном периоде (до 60 месяцев).

Также существует ряд подтверждений эффекта недостаточной реакции. Например, после объявления величины дивидендов, оказавшейся выше, чем ожидалось, инвесторы склонны не проявлять реакцию на это событие сразу. Отмечается, что моментальная реакция составляет лишь около 50% общего изменения цены под влиянием объявления дивидендной доходности. Кроме того, проявляются также и долгосрочные эффекты изменения цен акций (Michaely et al., 1995). Также Chordia et al. (2005) выявили, что доходность длинных позиций по акциям компаний, объявивших о более высокой прибыли, чем ожидалось, и короткие по акциям компаний с фактической прибылью меньше прогноза в среднем составила порядка 10% годовых. Данный эффект получил название earnings momentum.

Несмотря на факт подтверждения наличия эффекта инерции цен активов, он имеет ряд особенностей. Как уже указывалось (De Bondt et al., 1985), в долгосрочном периоде наблюдается реверсия, т.е. бывшие «победители» в интервале 3-5 лет начинают приносить отрицательную доходность, в то время как бывшие «проигравшие» приносят существенную прибыль. Кроме того, реверсия была выявлена и в краткосрочном периоде. Lehman, 1990 показал, что на недельном интервале ставка на реверсию цен акций приносит порядка 1,79% в месяц. Он занимал длинные позиции по бумагам «победителей» и короткие по бумагам проигравших «проигравших» за последнюю неделю. После этого эти портфели держали неделю и проводили перебалансировку. Также Jegadeesh, 1990 выявил краткосрочную реверсию на интервале в 1 месяц. Стратегия предполагала покупку 10% акций «проигравших» и продажу 10% акций победителей. Последующее удержание портфеля приносило в среднем по 2,49% в месяц.

Несмотря на достаточно высокую стабильность доходностей, приносимых стратегией моментум, у неё есть существенный «хвостовой» риск. Daniel et al., 2012 отмечают, что при тестировании стратегии на исторических данных за 1002 месяца, с 1927 по 2010 гг., в 13 случаях потери превышали 20% в месяц, а в одном составили -79%.



Рис. 6. Месяцы потерь по стратегии моментум более 20%.

В силу того, что портфели в рамках стратегии формируются на промежуток от 2 до 12 месяцев, в случае существенных колебаний на рынке, цены акций, включённых в портфель, могут «развернуться», что принесёт существенные убытки. Изменить же структуру портфеля до окончания изначально установленного периода времени в рамках традиционной стратегии инерции нельзя. Необходимо введение дополнительных параметров, которые указывали бы на возможность «разворота» цен акций. В этом заключается идея, предложенная Daniel et al., 2012. Они предложили определять месяцы с повышенной турбулентностью, т.е. волатильностью рынка. На рис. 5 красными точками отмечены месяцы, в которые стратегия моментум приносила убыток более, чем в 20%. Линиями отмечены месяцы повышенной турбулентности. Оказалось, что все 13 месяцев, в которые наблюдались существенные убытки, были периодами повышенной турбулентности. Кроме того, в это время стратегия моментум в среднем приносила -0,65% в месяц. Исключение этих периодов из рассмотрения позволило повысить коэффициент Шарпа в 2 раза. Отдельным достоинством этого подхода является то, что методика авторов статьи позволяет определять периоды турбулентности заранее, т.е. ex ante, что позволит на практике избегать существенных убытков при использовании данной стратегии.

Обобщая вышесказанное, стратегия моментум характеризуется среднесрочной инерцией цен активов, а также кратко- и долгосрочной реверсией. Наличие данного эффекта было подтверждено на большом числе временных интервалов и на многих рынках. При этом получение сверхрыночной доходности не может быть объяснено традиционными факторами риска. Тем не менее, тестирование стратегии на длинных временных интервалах показало, что её присущ значительный «хвостовой» риск, который отчасти может быть нивелирован учётом величины турбулентности фондового рынка.

1.3 Инвестирование на основе фундаментальных показателей (value investing)

Данный принцип достаточно хорошо разработан как в академической литературе, так и в практике управления фондами. Он предполагает, что компания имеет некую «внутреннюю» стоимость, которая обосновывается с точки зрения фундаментальных показателей - прибыли, величины капитала, уровня долга, перспектив роста и т.д. При этом рыночная цена не всегда отражает истинную стоимость компании, что даёт возможность заработать на этом. Если компания на самом деле стоит больше, чем за неё сейчас дают на рынке, то имеет смысл купить её акции, если она выглядит слишком дорогой, то лучше продать её или даже «зашортить».

Подобный принцип является сейчас настолько базовым, что даже менеджмент компании, если видит недооценку рынка, стремится выкупить акции с рынка, тем самым уменьшая расхождения между фактической ценой и внутренней. Ровно также поступают и инвесторы, в результате чего цены на эффективном рынке должны приходить в некое равновесное состояние.

Эмпирические исследования показывают, что инвестируя в стоимость, можно систематически получать прибыль выше рыночной, по этой причине value investing относят к аномалиям рынка или инвестиционным стилям. К.Френч и Ю.Фама включил данный фактор в модель ценообразования активов как один из 3-х основных, объясняющих динамику цен акций, помимо традиционной меры рыночного риска, беты, и эффекта размера компаний. Как индикатор меры стоимости компании Фама и Френч использовали разности между доходностями компаний, имеющих низкий и высокий коэффициенты BV/P (балансовая стоимость собственного капитала к цене акций). Соответственно бумаги компаний с высоким BV/P стали носить название акции ценности, а с низким - акции роста (также известны как «гламурные акции»).

Вообще метод оценивания акций по коэффициентам известен ещё со времён Б.Грэма и Д.Додда, однако одним из первых, кто выявил систематический эффект влияния соотношения цены и ценности на доходность инвестиций был Basu's (1977). Он показал, что при сортировке акций по показателю доход/цена, акции с высоким значением E/P имеют будущие доходности, превосходящие доходности, предсказанные в рамках CAPM. Авторы Basu (1983) and Keim (1983) пришли к выводу, что акции с низким соотношением балансовой стоимости капитала к чистой прибыли, генерируют более высокие доходности. Аналогичные выводы были сделаны и для акций, торгующихся с низким мультипликатором EV/Sales. Rosenberg, Reid и Lanstein (1985) обнаружили положительную связь между показателем «BV/МV» (балансовая стоимость капитала/рыночная стоимость) и ожидаемыми доходностями акций.

Одним из объяснений наличия систематического эффекта стоимости дают представители направления поведенческих финансов. Они основываются на том, что компании с высоким показателем BV/MV, как правило, являются компаниями, финансовое положение которых существенно ухудшается в периоды нестабильности (Lakonishok, Shleifer and Vishny (1994), Fama and French (1995). Ранжирование компаний согласно критерию BV/MV становится причиной чрезмерной реакции инвесторов на периоды стабильности и нестабильности. Дело в том, что инвесторы, принимая решение о покупке активов в свой портфель, экстраполируют результаты прошлых лет, чтобы предсказать будущее поведение ценных бумаг. Тем самым цены акций еще больше отдаляются от своей справедливой оценки в большую сторону для компаний роста (низкое значение BV/MV). Компании стоимости (высокий BV/MV), напротив, становятся все более недооцененными. По мере исчезновения чрезмерной реакции инвесторов, цены акций корректируются, приближаясь к своим справедливым оценкам. Так, акции стоимости обеспечивают высокие доходности, в то время как акции роста генерируют низкие прибыли.

Эффект стоимости был доказан многими академиками на разных временных периодах и для большинства классов активов по всему миру (обзор представлен в Hawawini and Keim (2000)).

Эффект размера («size effect»)

Banz (1981) впервые обратил внимание на феномен, свидетельствующий об отрицательном отношении между доходностями ценных бумаг и рыночной стоимостью собственного капитала, который наблюдался на американском рынке. Впоследствии, был введен термин «эффект размера», подразумевающий, что акции небольших компаний являются более рискованными и, соответственно, согласно концепции «риск-доходность» ассоциируется с более высокой доходностью по сравнению с бумагами крупных компаний в долгосрочной перспективе. Практические результаты действительно показали, что акции низкокапитализированных компаний в среднем приносят более высокую доходность, чем бумаги высококапитализированных фирм. Эффект размера, по аналогии с эффектом стоимости, был доказан на разных временных периодах и для большинства классов активов по всему миру (Hawawini and Keim (2000)).

Claessens, Dasgupta and Glen (1993, 1995, 1998) протестировали данную рыночную аномалию на развивающихся рынках и пришли к выводу, что бета не может объяснить наличие избыточной доходности от инвестирования в маленькие компании. Тем не менее, они пришли к выводу, что на развитых рынках данный эффект проявляется сильнее.

Barry, Goldreyer, Lockwood и Rodriguez исследовали эффект размера и стоимости на данных по 35 развивающимся рынкам в течение 15-летнего периода 1985-2000 гг. Авторы подтвердили, что эффект размера имеет место при оценке его относительно локального рынка, а не по абсолютным величинам. Также они выявили и наличие устойчивого эффекта стоимости.

При попытке объяснить данный эффект, также как и эффект стоимости исследователи пытались увязать его с рациональными причинами. Предполагалось, что рынок всё же проявляет черты эффективного, в результате чего дополнительная доходность в долгосрочном периоде невозможна, соответственно инвестирование в маленькие компании даёт дополнительную доходность лишь потому, что приносит дополнительный риск. Данные рассуждение не лишены смысла, Agarwal, Wang, 2007 показали, что эффект стоимости может исчезать при полном учёте транзакционных издержек. В случае с маленькими компаниями и эффектом размера, очевидным является низкая степень ликвидности бумаг небольших фирм. В результате дополнительный доход будет доступен лишь отдельным инвесторам с небольшим количеством средств под управлением.

Данные эффекты, хоть и проявляются на протяжении существенного периода времени, имеют свои недостатки. В частности, инвестирование в стоимость и размер может не приносить прибыли несколько лет подряд, что может привести к потере контроля надо фондом из-за оттока вкладчиков, к увольнению портфельного управляющего. Увидеть это можно на графике:

Рис. 7. Доходности рыночных аномалий (синим - доходность рынка минус безрисковая ставка, красным - эффект малых фирм, зелёным - value эффект, фиолетовым - безрисковая ставка).

Мы предполагаем, что данный недостаток может быть устранён при помощи комбинирования стратегии инвестирования в стоимость и размер с, к примеру инвестированием в моментум. Эти стили являются отрицательно скоррелированными, что даст возможность диверсифицировать портфель. Ребалансировка же поможет в этом случае не только получить доходность от диверсификации, но и, возможно, сделать рост доходности портфеля более стабильным вне зависимости от фазы рынка, что является одним из наиболее важных условий при разработке автоматических стратегий инвестирования, что и является нашей целью.

1.4 Ребалансировка

Принцип ребалансировки предполагает, что инвестор стремится поддерживать веса активов в портфеле на определённом уровне. Необходимость в этом возникает из-за различий в доходностях активов и их волатильностях. Например, если в портфель изначально были включены два актива с равными весами: высокодоходный, например акция, и низкодоходный, например облигация, то со временем доля высокодоходного станет существенно выше 50% за счёт более быстрого нарастания его стоимости. Вместе с этим у портфеля поменяется и соотношение риска и доходности в пользу высокодоходного. Если доля последнего через определённый промежуток времени приблизилась, скажем, к 70%, то нужно продать «лишние» 20% акций и докупить на полученные деньги облигаций, т.е. ребалансировать портфель к первоначальным весам 50/50.

Зачастую ребалансировка используется именно как необходимое условие для поддержания выбранного уровня риска. Эффект снижения волатильности за счёт диверсификации, описанный Г.Марковицем, будет стремиться к исчезновению, если какой-то высокодоходный, а, значит, и высокорискованный актив, будет доминировать в портфеле.

Подавляющая часть современной портфельной теории (Modern portfolio theory - MPT), предполагает, что риск и доходность любого актива имеют положительную взаимосвязь. Есть ряд исключений, упоминавшихся в данной работе ранее, таких как стратегии value и momentum, которые долгосрочно приносят доходность выше рынка, не имея явных рисков, способных обосновать подобную прибавку. Несмотря на попытку объяснить данные феномены за счёт учёта транзакционных издержек, налогов или предположения о наличии рисков, которые пока что не обнаружились, они сохраняют статус рыночных аномалий. Дополнением к ним может стать стратегия ребалансировки. Есть работы (Erb, Harvey 2006), (Booth, Fama, 1992), которые показывают, что при определённых условиях подобные стратегии позволяют повысить доходность портфеля, снизив при этом риск. В работе (Erb, Harvey 2006) приводится такой пример. Изначально имевшиеся два актива - фьючерсы на мазут (heating oil) и индекс S&P500 - имели среднегеометрическую доходность в 8,2 и 6,8% соответственно. Стандартные отклонения составляли 43,5 и 19,8% соответственно. В результате объединения их в портфель в равных долях доходность составила 10,9%, а риск 21,2% (рис. 8). Средняя доходность активов по-отдельности при этом составляет 7,5%, а стандартное отклонение в среднем 31,65%.

Рис. 8. Параметры портфеля при включении туда мазута и индекса S&P500

Если снижение волатильности в данном случае легко объясняется давно известным эффектом диверсификации, то повышение доходности является неожиданностью. Из рис. 7 при этом видно, что подобный портфель по соотношению риск-доходность оказывается значительно ближе к эффективной границе Марковица, чем любой из входящих в него активов по-отдельности. инвестирование учет valueinvesting

В той же работе (Erb, Harvey 2006) указывается, что исследованные фьючерсы на товары (commodities) за рассматриваемый период в среднем имели примерно нулевую доходность и слабую корреляцию между собой. При этом включение их в ежемесячно ребалансируемый портфель приводило к возникновению положительной доходности, что было названо авторами «превращение воды в вино».

Ранее в работе (Booth, Fama, 1992) уже был описан подобный эффект. Авторы показали, что вклад актива в CAGR портфеля превышает CAGR самого актива в результате снижения итоговой волатильности. При этом приводится аппроксимация формулы геометрического среднего, разложенного в ряд Тейлора, которая показывает, что CAGR подвержен влиянию волатильности - чем последняя выше, тем ниже геометрическое среднее по сравнению с арифметическим.

(4)

Где:

- арифметическое (ожидаемое) среднее актива j;

- дисперсия доходности актива j;

- среднее геометрическое актива j.

При этом, разумеется, адекватной оценкой доходности портфеля представляется именно геометрическое среднее, что легко показать на примере. Предположим у инвестора имеется 1000 руб., вложенных в актив. В первый период доходность составила -50%, во второй +100%. Понятно, что первоначальная сумма при этом не изменилась - мы сначала потеряли 500 руб., а потом вновь заработали те же 500 руб., т.е. доходность в итоге составила 0%. При этом арифметическое среднее составляет
(-50%+100%)/2=25%, а среднее геометрическое . Видно, что среднее арифметическое завысило доходность.

Соответственно, на основе полученных формул, делается вывод, что основная причина возникновения доходности портфеля, превышающей среднее доходностей компонентов, является подавление волатильности, которая измеряется показателем дисперсии, что приводит к росту геометрического среднего. Получается, что дополнительный доход образуется за счёт диверсификации, соответственно он и был назван доходом от диверсификации (diversification return - DR).

Erb и Harvey, придерживаясь того же мнения относительно источника DR, утверждают, что на него влияют два разнонаправленных эффекта. Первый - иссушение вариации (variance drain - VD), которое увеличивает DR за счёт снижения дисперсии, т.е. диверсификации, как и было описано у (Booth, Fama, 1992). Второй - смещение ковариации (covariance drag - CD), названный так потому, что авторы определяют его как величину ковариации актива с его весом в портфеле. Следуя этой логике, они предполагают, что, если вес из-за отсутствия ребалансировки меняется, то ковариация его с доходностью актива растёт и это снижает общий эффект. Если вес постоянен, то, естественно, ковариация с постоянной величиной равна нулю и CD исчезает.

Также в работе приводится формула для расчёта величины DR, выведенная для равных весов каждого из активов, входящего в портфель и усреднения показателей дисперсии и корреляции.

(5)

Где:

K - количество активов в портфеле;

- средний коэффициент дисперсии активов в портфеле;

- средний коэффициент корреляции активов в портфеле.

Из этой формулы видно, что рост величины DR происходит при росте дисперсии активов, росте числа активов в портфеле и снижении их средней корреляции. При этом при корреляции, равной единице, эффект полностью исчезает.

К сожалению в работе не объясняется природа возникновения CD, причина, по которой этот эффект имеет отрицательное влияние на DR и почему по величине он примерно равен самому эффекту DR.

Попытка объяснить феномен даётся в работе (Willenbrock, 2011). Автор утверждает, что то, что называют доходом от диверсификации (DR) правильнее было бы назвать доходом от ребалансировки, потому что именно она приносит доход. Диверсификация же является просто следствием объединения активов в портфель, но никак не причиной возникновения сверхдохода. В подтверждение этому приводится выражение, предполагающее единичный коэффициент корреляции между активами.

(6)

Где:

- вес актива i;

- стандартное отклонение доходностей актива i.

Из выражения следует, что даже при полной скорелированности доходностей активов, что исключает возможность диверсификации в привычном понимании, DR всё равно остаётся положительным. Это укладывается в объяснение, данное Willenbrock, который приписывает возникновение DR тому факту, что ребалансировка к фиксированным весам является фактически реализацией стратегии частичной продажи активов с относительно более высокими ценами и частичной покупки актива с относительно более низкими ценами. Это легко показать на графике (рис. 9). Предположим, что мы сформировали портфель, состоящий из актива А, имеющего значительную волатильность, но нулевую доходность и актива B, являющегося альтернативой текущего депозита, т.е. не имеющего доходности. На рис. 9 показаны 4 периода, в которые производится ребалансировка портфеля, веса устанавливаются равные. В каждый период до вертикальной черты показана стоимость актива в портфеле до момента ребалансировки, но после роста\падения, сразу за чертой стоимость актива после ребалансировки. Изначально портфель составляет 100%.

Рис. 9. Показатели ребалансировки в зависимости от динамики доходности актива

На графике видно, что в конце первого периода, когда актив А понизился в стоимости, мы, ребалансируя портфель, извлекли часть денег с текущего счёта (актив B) и купили на эти деньги немного актива А. После этого уже большее количество актива А (если считать в количестве акций, например) выросло, увеличив общую стоимость портфеля на 1,25% за 2 периода. Далее, когда актив А продолжил расти, мы продали его часть в конце 3 периода, сохранив часть заработанных денег на депозит, после этого падение происходило с уже меньшим количеством актива А.

Получается, что ребалансировка является автоматической стратегией, реализующей принцип «покупай дешево, продавай дорого». Дополнительная прибыль получается из-за того, что после роста одного актива часть прибыли «сберегается» в другом, который в это время оказывается ниже собственного тренда доходности. То, что прибыль от относительно более дорогого актива именно сохраняется, гарантирует наличие отрицательной или слабой корреляции между активами - когда один растёт второй либо падает, либо стоит на месте. При этом чем выше волатильность, тем больший доход можно сохранить на подъёме цены актива и больше падающего актива купить на спаде.

Такое объяснение соответствует выводам Willenbrock, поскольку даже, если активы полностью скорелированны, но волатильности у них разные, то доход также «сберегается» в менее волатильном активе на фазе подъёма и «извлекается» из него же на фазе спада. Естественно, что в отсутствие ребалансировки никакого сверхдохода получено быть не может. Сами Erb и Harvey отметили, что у не ребалансированных портфелей (их DR равен нулю) снижение дисперсии иногда даже превышает показатели ребалансированных портфелей, но при этом всё равно утверждали, что источник сверхдохода лежит в снижении вариации за счёт диверсификации. Несмотря на это, их формулы вполне подходят для расчёта величины эффекта, получаемого в результате реализации стратегии ребалансировки.

В литературе отмечается, что ребалансировка обладает значительным недостатком - она снижает общую доходность, если активы, входящие в портфель, имеют существенно различающуюся индивидуальную доходность. В этом случае неизбежное усреднение параметров компонентов портфеля приводит к регулярным потерям от роста более доходного. Если величина DR при этом недостаточно высока, то суммарно ребалансировка будет приводить к потерям. При этом по показателям, отражающим соотношение риска и доходности, стратегия всё равно может быть лучше за счёт одновременного снижения риска. Но, чтобы в этом случае добиться необходимых показателей доходности придётся прибегать к рычагу, который в ряде случаев недоступен и во всех случаях не бесплатен.



Глава 2. Применение стратегии ребалансировки

2.1 Расчёт diversification return (DR) и учёт транзакционных издержек

Чтобы объяснить различие в результатах, полученных в работах (Erb, Harvey 2006) и (Willenbrock, 2011) возьмём предпосылки первой и, в отличие от авторов, выведем зависимость DR от волатильности, измеряемой дисперсией, и корреляции между активами в общем виде. То есть мы отказываемся от упрощения, предполагающего, что веса всех активов равны, а зависимость выражается при помощи средних показателей вариации и корреляции.