Предположим, что у инвестора имеется n (i=1…n) активов. Вес каждого в портфеле составляет w_i , стандартное отклонение i-го актива у_i , арифметическое среднее , геометрическое среднее g_i , ковариация у_ij .

На основе разложения геометрического среднего в ряд Тейлора известно, что с приближением до второго члена прогрессии геометрическое среднее равно арифметическому среднему минус половина вариации актива (Erb, Harvey 2006).

По определению

DR равен разнице между CAGR портфеля и среднему CAGR входящих в него активов (Erb, Harvey 2006).

Выразим из первого равенства и подставим во второе. Получим:

Разложим дисперсию портфеля как дисперсии входящих в него активов и подставим в равенство выше.

Сократим средние арифметические портфеля, т.к.

Заменим для удобства ковариацию на корреляцию.

(7)

Данный результат совпадает с полученным в (Willenbrock, 2011). Как уже опоминалось ранее выражение, в отличие от работы Erb и Harvey, показывает, что при единичной корреляции эффект DR полностью не пропадает, что далее будет продемонстрировано на реальных данных. Однако данное выражение подтверждает тот факт, что величина DR зависит исключительно от волатильности активов, входящих в портфель и тесноты связи между ними.

Найдём частный случай для равных долей, входящих в портфель активов. Тогда вес равен 1/n.

Теперь предположим, что дисперсии всех активов равны, получим:

Отметим, что, только введя предположение о равенстве дисперсий, мы получили, что выражение обратится в ноль, если корреляция будет равна единице. До этого даже при абсолютной скорелированности активов DR оказывался положительным. Иными словами DR, по сути, не является доходом от диверсификации, а полностью обязан применению ребалансировки. Кроме того, итоговая величина не зависит от количества активов в портфеле, как утверждалось в (Erb, Harvey 2006). Наши выводы соответствуют результатам, полученным в (Willenbrock, 2011) и показывают, что расхождение в выводах двух работ имело причиной именно упрощение, предполагающее замену дисперсий активов на показатель средней дисперсии активов в портфеле.

В вышеприведённой формуле не учитывается наличие транзакционных издержек, которые вынужден нести инвестор, прибегая к ребалансировке. Стратегия является активной и требует продавать и покупать активы в той степени, на которую они отклонились от первоначально заданных весов. Инвестор при этом несёт два вида издержек: первый - на совершение транзакции, т.е. комиссии брокера и биржи, второй - проскальзывания, т.е. покупка или продажа по цене хуже той, по которой планировалось совершить сделку. Второй вид издержек тем выше, чем ниже ликвидность актива. Соответственно, если использовать лишь ликвидные активы, то потери на проскальзываниях будут незначительны.

Интуитивно понятно, что величина транзакционных издержек должна влиять на принятие решения о применении стратегии. Очевидно также, что величину потерь от выравнивания весов в портфеле можно снизить, если снизить частоту ребалансировки. Однако в этом случае, уменьшится и выигрыш от DR (Ilmanen, 2011). Возникает вопрос: «какая периодичность является оптимальной?». Представим, что у инвестора есть портфель со стандартным отклонением у, в котором он корректирует веса раз в месяц. В этом случае каждый месяц он теряет доходность, которую мог бы получать, применяя ребалансировку к внутримесячной волатильности, которая, как правило, ниже, чем месячная. Например, для индекса S&P 500 дневное, недельное, месячное и годовое стандартное отклонение доходностей с 1950 по 2013 г. равны соответственно 0.95, 2.1, 4.2 и 16.8%. Зависимость от длины периода не линейна. Поэтому нельзя заранее сказать какова будет величина недополученной прибыли, если повысить период ребалансировки. Однако можно сравнить величину DR с заданным периодом с потерями доходности от транзакционных издержек. Если абсолютная величина DR превышает расходы на совершение операций, значит применение стратегии оправдано.

2.2 Симуляция DR на искусственных данных

Для проверки полученных выражений и сопоставления с выводами (Erb, Harvey 2006) и (Willenbrock, 2011) удобнее всего использовать данные с заданными параметрами волатильности, корреляции и доходности. Поэтому будем использовать искусственные данные доходностей с нормальным распределением.

Для начала подтвердим, что эффект существует даже на случайных данных с нулевой автокорреляцией, т.е. проявляется даже в условиях эффективного рынка, на котором по определению нельзя получить сверхдоходность. Для этого сформируем портфель из двух активов с равными весами (50/50%), стандартным отклонением одного в 20%, второго в 30%, нулевой корреляцией и средними на уровне нуля. Проведём тысячу симуляция и найдём средний показатель DR. Количество наблюдений в каждой симуляции при этом равно 10 тыс. Количество наблюдений и симуляций достаточно велико, чтобы по закону больших чисел статистики случайных рядов стремились к истинным значениям в генеральной совокупности.

Получили, что среднее значение DR составляет 1,31%, минимальное 1,24%, максимальное 1,38%, распределение следующее (рис. 10):

Рис. 10. Распределение величины DR на искусственных данных в ребалансированном портфеле.

Получилось, что даже на случайных данных эффект DR оказывается положительным и достаточно существенным. Стандартное отклонение портфеля при этом снизилось, составив в среднем для тысячи симуляций 19,3%.

При тестировании того же портфеля, но без проведения ребалансировки DR получился очень близок к нулю. Максимальное значение составило 0,0013%. Распределение DR (рис. 11):

Рис. 11. Распределение величины DR на искусственных данных в не ребалансированном портфеле.

Как видно из графика выше DR имеет исключительно положительные значения и, как и предполагалось, исходя из формул, стремится к нулю при отсутствии ребалансировки. Стандартное отклонение при этом снизилось даже сильнее, чем в случае с ребалансировкой и составило 17,9%. Это подтверждает довод о том, что получаемый сверхдоход обязан не снижению дисперсии, приводящему к повышению геометрического среднего, а именно применению стратегии.

Оценка влияния корреляции между активами показала следующую зависимость (рис. 12):

Рис. 12. Зависимость величины DR от корреляции активов.

Из рис. 12 видно, что зависимость от корреляции положительна и линейна, что полностью соответствует зависимости, выведенной в формуле 7. Также стоит отметить, что даже при коэффициенте корреляции, равном единице, DR полностью не исчезает. Это подтверждает выводы, полученные после введение упрощений в формулу 7.

Проверим также зависимость DR от величины стандартного отклонения активов. Для этого сгенерируем наблюдения для двух активов с меняющимися одновременно параметрами корреляции (от -1 до 1) и стандартного отклонения (от 1 до 23%). Получим (рис.12):

Рис. 13. Зависимость DR от стандартного отклонения и корреляции.

Из рис. 13 видно, что по мере роста волатильности активов DR растёт, достигая максимума при одновременном сочетании корреляции в -1 и максимального рассматриваемого стандартного отклонения.

2.3 Тестирование на реальных данных

Проверим наличие эффекта на реальных данных. Для этого возьмём индекс S&P 500 и фьючерс на кукурузу, обращающийся на Чикагской товарной бирже (CBOT) за период с 1 июля 1959 г. до 22 мая 2014 г. (659 месяцев). Периодичность данных и период ребалансировки - месяц. Веса равные. CAGR индекса и фьючерса за этот период составили 0,53 и 0,22% соответственно, стандартные отклонения - 4,28 и 7,54%, коэффициент корреляции 0,092.

В результате применения стратегии ребалансировки величина DR составила 0,085% в месяц или 1,01% в год. Расчёт по формуле 7 показал величину 0,086% в месяц. Небольшое отклонение возникает из-за того, что формула является приблизительной - при оценке соотношения арифметического и геометрического среднего после разложения в ряд Тейлора были исключены все члены, начиная с третьего. В целом она показывает корректный результат и может использоваться для быстрой оценки эффекта DR.

Рис. 14. Кумулятивные доходности ребалансированного портфеля, индекса S&P 500 и фьючерса на кукурузу за период с 1 июля 1959 г. до 22 мая 2014 г. (синий - индекс, красный - фьючерс, зелёный - портфель).

На рис. 14 синим цветом выделена кумулятивная доходность индекса S&P 500, красным - доходность фьючерса на кукурузу, зелёным - доходность портфеля. Видно, что ребалансированный портфель проиграл на данном промежутке индексу, что объясняется слишком существенной разницей в CAGR активов. Принцип, заложенный в стратегию, предполагает, что относительно более дорогой актив необходимо продавать, что сдерживает общий рост. В среднем портфель приносил в месяц 0,45% доходности, в то время как индекс 0,53%, т.е. каждый месяц недополученный доход составлял порядка 0,08%. Однако оценка эффективности стратегии по критерию Upside potential ratio (UPR) показывает, что портфель не уступает индексу - коэффициенты составляют 0,315 и 0,319 соответственно. При этом для расчёта UPR в качестве минимально приемлемой ставки использовался средний показатель инфляции в США, равный 2%, а коэффициент неприятия риска был выбран на умеренном уровне 1,1.

Причина равенства UPR при явном преимуществе индекса в доходности объясняется тем, что доходности портфеля более скошены в сторону положительных значений при меньшей вероятности получения доходностей ниже MAR. Именно для выявления подобных свойств мы и используем UPR. Более распространённый коэффициент Шарпа не выявил бы подобной зависимости, поскольку по величине стандартного отклонения S&P 500 также лучше - 4,28% против 4,5% у портфеля.

Возьмём теперь более схожие по доходности ряды, например те же бумаги, но за другой период. Начальный момент - 1 января 2007 г. (89 периодов), т.е. период повышенной волатильности из-за Великой рецессии и восстановления рынков вплоть до текущего момента (май 2014 г.). CAGR индекса и фьючерса составили 0,32 и 0,31% в месяц соответственно.

Рис. 15. Кумулятивные доходности ребалансированного портфеля, индекса S&P 500 и фьючерса на кукурузу за период с 1 января 2007 г. до 22 мая 2014 г. (синий - индекс, красный - фьючерс, зелёный - портфель).

На данном промежутке ребалансированный портфель (зелёная кривая) приносил доходность выше индекса (синяя кривая) - 0,44% против 0,32% у последнего. DR при этом составил 0,1258% в месяц или 1,52% в год (по формуле 0,123%). UPR также показал преимущество стратегии ребалансировки, составив 0,54 против 0,38 у S&P 500.

Несмотря на то, что на данном промежутке ребалансированный портфель показал доходность выше бенчмарка, в качестве которого выступал индекс S&P 500, стоит учитывать, что инвестирование в индекс является в большинстве случаев пассивной стратегией. Этому способствует наличие ETF, паевых фондов и прочих производных инструментов, не требующих вручную подгонять веса и структуру активов в соответствии с индексом. Как следствие транзакционные издержки почти отсутствуют (кроме первого и последнего периодов, когда вкладываются и забираются деньги). Ребалансировка же является активной стратегией, в результате чего каждый период необходимо нести издержки на совершение операции выравнивания долей активов в портфеле. Как уже указывалось, у инвестора возникает два вида издержек - на совершение операций и на проскальзывания. Первые оценим в среднем в 0,04% от суммы сделки (NYSE)[35], вторые также в 0,04%, т.е. как для ликвидных акций, найти которые в нужном количестве на американском рынке, к счастью, не проблема. Суммарно на совершение каждой операции будет расходоваться 0,08% от стоимости продаваемых или покупаемых активов. То есть издержки будут всё-таки не столь велики, поскольку не нужно будет полностью продавать все активы каждый раз из портфеля, а лишь нести расходы на коррекцию весов, отклонившихся от первоначально заданных.

Учтём теперь транзакционные издержки и протестируем стратегию на тех же данных, что и выше. Получим, что DR изменился незначительно, на 0,003%, составив 0,1228% или 1,48% в год (на 0,04% в год меньше). Таким образом, эффект полностью сохраняется и, по-прежнему позволяет опережать бенчмарк.

2.4 Тестирование рыночных аномалий

Результаты выше показали, что выгоды, которые возможно получить от использования ребалансировки, в значительной степени ограничены из-за сложности подбора актива, который был бы столь же доходен как бенчмарк, например тот же S&P 500, и в то же время имел с ним низкую корреляцию и высокую волатильность. Однако известны рыночные аномалии, такие как эффект стоимости (value) и моментум (momentum), которые могут подойти под эти критерии. Рассмотрим возможность применения ребалансировки для повышения доходности аномалий.

Возьмём готовые длинные ряды из библиотеки К.Френча [36]. Эффект стоимости будем определять как при помощи коэффициента BV/MV, входящего в трёхфакторную модель Фамы-Френча, так и при помощи показателя E/P (чистая прибыль к цене). Веса в библиотеке используются равные. В каждом случае разбивка отсортированного множества акций проводилась на 10 частей и брался крайний дециль - в случае эффекта стоимости с самыми высокими коэффициентами E/P и BV/MV, в случае моментума с самыми высокими и низкими доходностями за период с t-12 до t-1, если считать, что текущий месяц - это t. Рассматриваемый период - с января 1927 г. по декабрь 2013 г. (Для E\P с июля 1951 г.) Период - месяц.

Для начала рассмотрим эффект стоимости с критерием BV/MV. В данном случае показатели CAGR и UPR оказались следующие:

? для не ребалансированного портфеля: 0,98% и 0,56

? для ребалансированного: 1.53% и 0,71

? для индекса: 0,48% и 0,28.

Величина DR оказалась равна 0,55% в месяц или 6,8% в год.

Далее рассмотрим эффект стоимости с критерием E/P. В этом случае:

? у не ребалансированного портфеля CAGR и UPR: 1,28% и 0,57

? у ребалансированного: 1,52% и 0,65

? у индекса: те же 0,48% и 0,28.

Величина DR составила 0,23%.

Наконец рассмотрим показатели для стратегии моментум:

? у не ребалансированного портфеля CAGR и UPR: 0,79% и 0,51

? у ребалансированного: 0,34% и 0,41

? у индекса: те же 0,48% и 0,28.

Результаты тестирования показали, что ребалансировка существенно повышает доходность value стратегий. К тому же улучшается соотношение риск\доходность, что подтверждает показатель UPR. Существенный рост доходности для подходов, основанных на инвестировании в стоимость, отчасти может объясняться эффектом малых фирм. То есть в не ребалансированном портфеле вес маленьких компаний систематически оказывается небольшим, хотя доходность их выше. Как только они вырастают, их доходность постепенно падает, но вес сохраняется крупным, поскольку он пропорционален накопленной доходности (читай капитализации) компании. В случае же ребалансированного портфеля вес больших компаний оказывается равным весу маленьких компаний, что позволяет повышенной доходности последних оказывать существенное влияние на общую доходность портфеля. В то же время стратегия предполагает, что в портфель попадают акции компаний с высоким отношением балансовой стоимости капитала к рыночной (или чистой прибыли к рыночной стоимости). Получается, что ребалансировка позволяет сочетать выгоды от эффекта малых фирм и эффекта стоимости.

Выбивается из ряда моментум, показатели которого ухудшаются (как доходность, так и UPR) по сравнению с не ребалансированным портфелем. Это можно объяснить тем, что разница в доходностях разных акций в портфеле слишком велика. В результате повышения доли хорошо растущих акций не приводит к снижению их доходности, как в стратегии value, а вес при этом уравнивается с хуже растущими акциями. В результате часть доходности недополучается инвестором.

Теперь учтём транзакционные издержки при использовании ребалансировки совместно с каждым из вариантов рыночной аномалии. Для BV/MV CAGR снизился на 0,01% в месяц, UPR не изменился. Для E/P CAGR не изменился, UPR снизился на 0,01. Для моментума CAGR снизился на 0,01%, UPR не изменился.

Как и в случае с портфелем, сформированным из индекса S&P 500 и фьючерса на кукурузу, на показатели ребалансировки портфелей, построенных на основе рыночных аномалий, транзакционные издержки повлияли незначительно.

Заключение

В данной работе была рассмотрена стратегия ребалансировки, суть которой заключается в поддержании фиксированных, изначально выбранных весов активов в портфеле. При этом возникает ряд эффектов, которые позволяют улучшить показатель портфеля по критерию риск\доходность. Для оценки последнего был использован Показатель потенциала роста (Upside potential ratio - UPR), который позволяет учитывать такие параметры портфеля как скошенность распределения доходностей, высокая несклонность к риску, вероятность получения и минимально приемлемый уровень дохода, последний из которых отражает рискованность стратегии, если её доходы хоть и положительны, но ниже уровня, требуемого инвестором.

Два основных эффекта, которые проявляются при реализации стратегии ребалансировки - это снижение риска портфеля за счёт диверсификации и получение надбавки к CAGR портфеля по сравнению со средней доходностью входящих в него активов. Первый эффект не является прямым следствием стратегии, но всегда проявляются в силу того факта, что ребалансировка требует сочетания из активов с низкой корреляцией, что было показано как на примере математической зависимости, так и в ходе тестирования стратегии. Надбавка в литературе носит название дохода от диверсификации (diversification return) и при достаточно высокой волатильности компонентов портфеля позволяет опережать бенчмарк, в качестве которого использовался индекс S&P 500, как по доходности, так и по показателю UPR.

Ребалансировка, впрочем, обладает существенными ограничениями на применение. Помимо необходимости в низкой корреляции и высокой волатильности доходностей активов, сами доходности компонентов не должны иметь существенного различия. В противном случае стратегия приводит к недополучению прибыли из-за сдерживания роста более доходного актива.

В работе также было дано объяснение различий в выводах исследователей данной стратегии, представлена формула расчёта DR, которая может быть полезна инвесторам, желающим оценить величину эффекта, используя лишь общедоступные данные о дисперсиях и корреляциях активов, либо конструкторам торговых роботов для определения периодов, когда можно получить дополнительный доход за счёт ребалансировки портфеля.

В работе было обнаружено, что использование ребалансировки позволяет повысить доходность рыночных аномалий, связанных с эффектом стоимости (value effect). Это объясняется тем, что среди уже отобранных акций по показателям балансовая стоимость\рыночная (BV\MV) стоимость или чистая прибыль\рыночная стоимость (P\E) ребалансировка позволяет использовать ещё и эффект малых фирм. Стратегия наделяет компании с маленькой накопленной прибылью (читай капитализацией) равные веса с большими компаниями, в результате чего повышенная доходность первых положительно сказывается на общей результативности портфеля. Однако для аномалии моментум (momentum effect) ребалансировка ухудшает показатели.

Также было оценено влияние транзакционных издержек: комиссий торговой инфраструктуры и проскальзываний цен, и выявлено, что оные не оказывают существенного влияния на величину DR и тем более не способны нивелировать эффект полностью.

Оценка стратегий при помощи показателя UPR, более совершенного, чем привычные меры соотношения риск\доходность вроде коэффициента Шарпа, учёт транзакционных издержек при расчёте результативных характеристик ребалансируемого портфеля и описание взаимодействия стратегии с рыночными аномалиями value и momentum, выявившей возможность значительного повышения доходности, составляют научную новизну данной работы.

В последующих работах интересно было бы рассмотреть влияние переменных издержек (в зависимости от ликвидности акций) на величину DR. Это представляет научный интерес в силу того факта, что эффект малых фирм, предположение о возможном влиянии которого было сделано в данной работе, сопряжён существенными издержками проскальзывания. Также полезна была бы информация о влиянии периода ребалансировки на результаты направленных стратегий вроде моментума и возможности нивелирования хвостовых рисков, присущих последней.

Список литературы

1. Markowitz H.M. Portfolio selection. Efficient diversification of investments / H.M. Markowitz. - New York, 1959. - 344 p.

2. Pastor L. et al. Liquidity risk and expected stock returns. / L. Pastor, R.F. Stambaugh. Journal of Political economy, No. 3, 2003. - pp. 642-685

3. Guiso L. et al. Income risk, borrowing constraints, and portfolio choice / L. Guiso, T. Jappelli, D. Terlizzese. - The American economic review, No.1, 1996. - pp. 158-172

4. Sharpe W. F. Mutual funds performance / W. F. Sharpe - The journal of business, No.1, 1966. - pp. 119-138

5. Tobin J. Liquidity preference as behavior toward risk. / J. Tobin - 1958. - 26 p.

6. Sharpe W. F. Sharpe ratio / W. F. Sharpe - The journal of portfolio management, 1994. - pp. 49-58

7. Allais M. Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulatset Axiomes de l'Ecole Americaine. / M. Allais - Econometrica, No.2, 1953. - pp. 503-546

8. Kahneman D., Tversky A. Prospect theory:An analysis of decision under risk / Econometrica, No.2, 1979. - 263-291

9. Olsen R.A. Behavioral finance and its implications for stock-price volatility. / Financial analysts journal, No.2, 1998. - pp. 10-18

10. Sortino F.A., Satchel S. Managing downside risk in financial market / Elsevier ltd., 2001a. - 272 p.

11. Artzner P. et al. Coherent measures of risk / P. Artzner, F. Delbaen, J-M. Eber, D.Heath, 1998. - 24 p.

12. Agarwal V. et al. Risks and portfolio decisions involving hedge funds / V. Agarwal, Y.N. Narayan. - The review of financial studies, No.1, 2004. - pp.63-98

13. Stochastic dominance tests [online]. Режим доступа: http://www.vosesoftware.com/ModelRiskHelp/index.htm#Presenting_results/Cumulative_plots/Stochastic_dominance_tests.htm

14. Basel Committee Proposes Using Expected Shortfall Instead of VaR in Market Risk Management [online]. Режим доступа: http://www.numtech.com/news/basel-committee-proposes-expected-shortfall/

15. Sortino F., et al. The impact of downside risk on risk-adjusted performance of mutual funds in the Euronext markets / F. Sortino, A. Plantinga, R. van der Meer. 2001b. - 14 p.

16. Jegadeesh N. et al. Returns to buying winners and selling losers: implications for stock market efficiency / N.Jegadeesh, S. Titman. The journal of finance, No.1, 1993. - pp.65-91

17. Jegadeesh N. et al. Profitability of momentum strategies: an evaluation of alternative explanations / N.Jegadeesh, S. Titman. The journal of finance, No.2, 2001. - pp.699-720

18. Chabot B. et al. Price momentum in stocks: insights from Victorian age data / B. Chabot, E.Ghysels, R. Jagannatan. National bureau of economic research, 2008. - 48 p.

19. Rouwenhorst K.G. International momentum strategies / K.G. Rouwenhorst, 2002. - 18 p.

20. Chan K. et al. Profitability of momentum strategies in the international equity markets / K. Chan, A. Hameed, W. Tong. Journal of financial and quantitative analysis, No.2, 2000. - pp. 153-172

21. Chui A.C.W. Momentum, legal systems and ownership structure: an analysis of Asian stock markets / A.C.W. Chui, K.C.J. Wei, S. Titman, 2000. - 47 p.

22. Grundy B.D. et al. Understanding the nature of the risks and the source of the rewards to momentum investing / B.D.Grundy, J.S. Martin. The review of financial studies, No.1, 2001. - pp. 29-78

23. Liu (1999)

24. De Bondt W.F.M. et al. Does the stock market overreact? / W.F.M. De Bondt, R. Thailer. Journal of finance, No.3, 1985. - pp. 793-805

25. Michaely R. et al. Price reactions to dividend initiations and omissions: overreaction or drift? / R. Michaely, R.H.Thaler, K.I.Womack. The journal of finance, No.2, 1995. - pp. 573-608

26. Chordia T. Earnings and price momentum / T. Chordia, L. Shivakumar, 2005. - 44 p.

27. Lehmann B.N. Fads, martingales, and market efficiency / B.N. Lehman. Quartely journal of economics, No.1, 1990. - pp. 1-28

28. Daniel K. et al. Tail risk in momentum strategy return / K. Daniel, R. Jagannathan, S.Kim, 2012. - 34 p.

29. Erb C.B. et al. The tactical and strategic value of commodity futures / C.B. Erb, C.R.Harvey, 2006. - 60 p.

30. Agarwal V. et al. Transaction costs and value premium / V. Agarwal, L. Wang, 2007. - 51 p.

31. Lakonishok J. Good news for value stocks: further evidence on market efficiency / J. Lakonishok, R. La Porta, A. Shleifer, R. Vishny, 1995. - 24 p.

32. Willenbrock S. Diversification return, portfolio rebalancing, and the commodity return puzzle / S. Willenbrock, Financial analysts journal, vol. 64, No. 4, 2011. - 8 p.

33. Booth D.G. et al. Diversification returns and asset contributions / D.G. Booth, E.F.Fama, Financial analysts journal, vol.48, No. 3. - 7 p.

34. Ilmanen A. Expected returns: n Investor's Guide to Harvesting Market Rewards / A. Ilmanen, 2011. - 592 p.

35. Тарифы и документы. Открытие брокер [online]. Режим доступа: http://www.open-broker.ru/ru/investing/rates-docs/rates/

36. Kenneth French data library [online]. Режим доступа: http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html

Размещено на Allbest.ru