Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Актуальність моделей страхування життя полягає в тому, що вони призначенні для зменшення фінансових наслідків такої випадкової події, як невчасна смерть. Як показує світовий досвід, страхування життя завжди розглядалося як вигідне вкладання грошей. Застрахований за договором страхування життя може розраховувати на страхову суму або пенсію у разі дожиття до закінчення договору, що є засобом накопичення коштів. Страхування життя може бути й захистом спадщини застрахованого, оскільки дає йому змогу передбачити наслідки своєї смерті для, близьких і визначити частку спадщини, що призначається кожному з них. Отже, страхування, життя, сприяє полегшенню передачі майна, створенню грошових фондів (наприклад, витрат на успадкування, або поховання).

Окрім того значне поширення страхування життя сприяє зменшенню соціальної напруги та навантаження на соціальний бюджет країни. Довгострокове страхування життя, договори за якими можуть бути укладені і на 10, і на 20, і на 40 років, дає можливість накопичувати досить великі страхові фонди, тимчасово вільна частина яких може бути використана я,к джерело інвестицій у народне господарство, що сприяє стабілізації фінансового стану держави. При проведенні страхування життя, основними страховими випадками є дожиття до закінчення строку страхування або смерть застрахованого протягом його дії. Саме тому страховій компанії потрібно визначити ймовірність цих подій. Якщо взяти до уваги цей важливий момент, можна досягти еквівалентності у відносинах між страховиком і застрахованим і забезпечити страховикові можливість побудувати міцну фінансову основу своєї діяльності. На шляху до вирішення цього завдання, важливе місце має вимірювання норм смерті. З цією метою складають (таблиці тривалості життя) таблиці смертності, які базується на показниках статистичного обліку населенню або матеріалах самої страхової компанії.

Таблиця смертності містить розрахункові показники, які характеризують смертність населення, в окремих вікових групах і дожиття під час переходу до іншої вікової групи. Така таблиця показує скільки років у середньому може прожити з поміж тих, хто народився, або тих, хто досяг даного віку.

Об'єкт дослідження - основи актуарних розрахунків в страхуванні життя

Предмет дослідження - найпростіші типові договори страхування життя і відповідні методи розрахунку разових, щорічних нетто-премій і страхових резервів.

Мета дослідження - на основі розглянутих основних видів страхування життя систематизувати наявний матеріал, отримати розрахункові формули і розв'язати реальні задачі по знаходженню нетто-премій і резервів використовуючи при цьому характеристики тривалості життя з таблиці тривалості життя.

На основі об'єкта, предмета, мети дослідження поставленні такі основні завдання:

проаналізувати основні поняття актуарної математики страхування життя.

детально ознайомитися з основними видами страхування життя.

систематизувати та упорядкувати теоретичний матеріал з даної теми.

навчитися розраховувати показники ймовірності смерті для осіб певного віку та ймовірності дожиття при переході до іншої вікової групи.

систематзувати формули і методику розрахунків нетто-премії і резервів для різних видів страхування життя.

розглянути приклади конкретних розрахунків і порівняти вартості страхових контрактів залежно від віку і від статті особи.

В першому розділі були розглянуті загальні теоретичні питання пов?язані з математичними моделями, а саме: створення математичних моделей, методи побудови, характеристика та класифікація математичних моделей.

Розділ два присвячений страхуванню життя та страховим ризикам. В ньому було розглянуто такі питання: страхування як необхідний елемент економічної діяльності суспільства; необхідність і зміст страхування; витрати; страхові ризики та їх класифікація; загальні відомості про страхові премії.

В розділі три було розглянуто питання основ математики страхування життя, яке включає в себе: особливості моделей простих договорів страхування; тривалість майбутнього життя індивіда; страхування життя; довічні ануїтети та нетто - премії. У цьому розділі детально розглянуті тимчасове та довічне страхування, контракти чистого доживання та доживання, страхування з виплатою в момент смерті. В п.3.5. наведені методи розрахунку періодичних нетто-премій.

В четвертому розділі вивчалося питання страхових резервів, а саме - резервів нетто-премій: рекурентні співвідношення, ризик виживання, резерв нетто-премій довічного страхування, резерв нетто-премій при дробових термінах, конверсія стахування.

Останній 5-й розділ присвячений актуарій освіті. Було зроблено короткий опис стану актуарної освіти в Україні та закордоном, а також запропонована програма курсу «Основи актуарної математики страхування життя ».



Розділ 1. Математичні моделі і моделювання

1.1 Створення математичних моделей

Математична модель - це наближений опис довільного класу явищ зовнішнього світу. Математичне моделювання виступає як метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування та управління.

Математичне моделювання проходить такі етапи: [3]

- Постановка задачі, тобто прийняття рішення про необхідність моделювання і його мети(визначити і сформулювати мету).

- Побудова математичної моделі.

- Дослідження системи на моделі і прогнозування й управління оригіналом за результатами цих досліджень.

Побудова математичної моделі, тобто вивчення явища за допомогою математичної моделі, можна умовно розбити на 4 етапи:[3]

- Етап змістового опису - це формулювання законів, що пов'язують між собою об'єкти моделі. На цьому етапі визначаються об'єкти моделі і накопичуються факти, що стосуються досліджуваних явищ і дозволяють виявити їх взаємозв'язки. Цей етап закінчується записом в математичних термінах сформульованих якісних представлень про зв'язки між об'єктами моделі з вказанням граничних умов.

- Етап формалізації опису - виявлення математичних співвідношень, що характеризують оригінал з точки зору мети моделювання. На цьому етапі визначається форма представлення математичної моделі і проводиться дослідження математичних задач, які випливають з математичних моделей ( розв'язання прямої задачі ).

- Етап остаточної побудови моделі - виявлення того , чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень.

- Етап перегляду і вдосконалення моделі за результатами узагальнення емпіричного накопичення даних - аналіз моделі в процесі накопичення даних про досліджувані явища і модернізація моделі.

Метод математичного моделювання, який зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, посідає провідне місце серед інших методів досліджень, особливо завдяки наявності обчислювальної техніки.

1.2 Методи побудови математичних моделей

Вибір методів залежить від вихідних ситуацій і типу моделі. Серед математичних моделей розрізняють моделі теоретичні і емпіричні. Теоретичні моделі створюються в результаті дослідження процесів і їх раніше виявлених закономірностей, які притаманні даному класу об'єктів чи явищ. Емпіричні моделі створюються під час вивчення зовнішніх властивостей оригіналу вимірюванням фазових змінних на входах і виходах з подальшою обробкою результатів вимірювання.

Для отримання як теоретичних, так і емпіричних моделей елементів систем використовують так звані неформальні методи; формальні методи застосовують для отримання теоретичних моделей систем при відомих математичних моделях елементів.

Неформальні методи використовуються на всіх рівнях ієрархії і містять методи вивчення процесів і закономірностей, пов'язаних з оригіналом; методи виявлення суттєвих для мети моделювання властивостей, прийняття певного роду допущень та їх обґрунтування, інтерпретування відомих математичних залежностей тощо.

1.3 Характеристики математичних моделей

До основних характеристик математичних моделей належать:[3]

- Ступінь універсальності моделі;

- Точність моделі;

- Адекватність моделі;

- Економічність моделі.

Ступінь універсальності ММ характеризує повноту відбиття у моделі властивостей реального об'єкта; кількісно ступінь універсальності може бути описаний співвідношенням потужності множини відбитих властивостей до множини наявних властивостей системи. Будь-яка ММ відбиває лишень певні властивості модельованої системи. Н-д: ММ резистора у вигляді закону Ома характеризує його властивість пропускати електричний струм, але не відбиває габаритів резистора, його кольору, механічної міцності тощо.

Точність ММ оцінюється за збіжністю значень параметрів реального об'єкта і значень тих же параметрів, отриманих за допомогою побудованої моделі; ступінь збіжності розраховують через відхилення е цих параметрів.

Адекватність ММ - це її здатність відбивати задані властивості об'єкта з похибкою не більше заданої. Для коректної оцінки точності і адекватності моделі при їх розрахунку повинні використовуватися значення які не застосовувалися під час розрахунку внутрішніх параметрів моделі.

1.4 Класифікація математичних моделей

ММ є сукупністю математичних об'єктів ( чисел, змінних, векторів, множин тощо) і відносин між ними, яка відбиває властивості, що цікавлять проектувальника.

ММ класифікуються за різноманітними ознаками, зокрема:[3]

- За способом отримання ММ (теоретичні і емпіричні)

- За місцем в ієрархії описів (ММ на мікро-, макро- і метарівнях)

- За ступенем деталізації опису в межах заданого рівня (повні і макромоделі)

- За способом побудови (ідеальні і матеріальні)

- За ступенем повноти відбиття властивостей модельованого об'єкта(повні і неповні моделі)

- За ступенем загальності (стосовно об'єкта )

- За логічним типом (атрибутивні і реляційні)

- За характером відтворюваних властивостей об'єкта (субстанційні, функціональні і структурні)

- За характером прогнозів за моделями

- За призначенням моделей

За ступенем загальності стосовно модельованого об'єкта розрізняють:[3]

а) описові моделі (це моделі узагальнення, абстраговані від конкретних деталей)

б) моделі-інтерпретатори (моделі, що відбивають об'єкт стосовно часткових умов окремої задачі:комутаційні, теплові тощо)

в) моделі-аналоги (моделі, відмінні за формою представлення, але однакові за ступенем загальності відносно оригіналу).

Порівняно з фізичним, математичне моделювання є більш універсальним, воно:

а) дає змогу на основі одного пристрою здійснити розв'язання цілого класу задач, які мають однакові або подібні математичні описи;

б) забезпечує простоту переходу від однієї задачі до іншої;

в) дає можливість моделювати по частинах

г) прискорює моделювання за рахунок використання швидкодійної електронно-обчислювальної техніки

Недоліком ММ є те, що отримане рішення завжди має частковий характер і відповідає певним фіксованим значенням параметрів системи (або їх вельми обмеженому діапазону).



Розділ 2. Страхування та ризики

2.1 Страхування як необхідний елемент економічної діяльності суспільства. Необхідність і зміст страхування. Витрати

У кожного з нас є плани на майбутнє і деякі здогадки про те, що його чи її очікує в майбутньому. Інколи плани порушуються через те, що були основані на нереальних припущєннях. В інших випадках виникають несподівані, додаткові випадкові обставини. Страхування призначене саме для того, щоб захищати фізичних і юридичних осіб від серйозних фінансових змін, які виникають в результаті випадкових подій.

Основоположні обмеження страхового захисту:[2]

- По-перше, він обмежений тим, що зменшує наслідки тільки тих проявів випадкових подій, які можуть вимірюватися в грошових одиницях.

- Другим обмеженням є те, що безпосередньо страхування не тягне за собою зменшення ймовірності втрат.

Інститут страхування (система страхування) - це механізм скорочення несприятливого фінансового впливу випадкових подій, які перешкоджають виконанню розумних сподівань. Економічне обгрунтування інституту страхування полягає в тому, що він сприяє загальному добробуту, збільшуючи впевненість в тому, що накреслені плани не будуть зруйновані випадковими подіями.

Унікальність страхових систем полягає в тому, що пом?якшення фінансових втрат, число, розмір і час виникнення яких є випадковим, - це найважливіша причина їх існування. Страхова система може бути побудована тільки після того, як окреслена чергова група ситуацій, в яких можуть з'явитися випадкові втрати.[2]

Як тільки клас страхових подій визначено, можна отримати інформацію про очікувані корисності і про процес, який породжує витрати. Процеси, які визначають розмір і час настання втрат, можуть бути достатньо стабільними в часі, так що при плануванні системи можна використовувати інформацію за попередній період.

Витрати

Операції за страховою угодою вимагають певних витрат, взятих на себе або пенсійними фондами, або страховими компаніями. Для пенсійних фондів ці витрати найчастіше складаються в одну суму і розглядаються окремо від чисто технічного аналізу страхування. З іншого боку, у випадку страхових компаній, елемент вартості витрат вбудовується в модель настільки явно і точно, настільки це можливо.

Витрати можна розділити на три основні групи. [4]

А. Витрати придбання.

Вони складаються з усіх витрат, пов'язаних із видачею нового поліса: комісійних страховому агенту і його дорожніх витрат, медичного обстеження, заповнення поліса, реклами. Ці витрати стягуються з кожного поліса у вигляді однієї суми пропорційної страховій сумі. Відповідний коефіцієнт пропорційності позначається через б.

Б. Витрати зборів.

Ці витрати стягуються на початку кожного року, у якому збирається премія. Передбачається, що ці витрати пропорційні премії, навантаженій на витрати з коефіцієнтом пропорційності, що позначається через в.

В. Адміністративні витрати.

У цей пункт включено всі інші витрати, такі, наприклад, як зарплата, оренда, вартість обробки даних, вартість інвестування, податки, збори на ліцензію та інші. Ці витрати стягуються з поліса протягом всього терміну дії контракту, на початку кожного полісного року, звичайно пропорційно страховій сумі чи рівню платежів ануїтету. Відповідний коефіцієнт пропорційності позначається через г. Цей традиційний розподіл витрат трохи довільний. Деякі види витрат будуть завжди складати фіксовану величину, незалежно від розміру страхової суми.

Проте, припущення про пропорційність для простоти зберігається.

2.2 Страхові ризики та їх класифікація

Поняття та економічна суть страхових ризиків

Термін "ризик" походить від грецьких слів ridsikon, ridsa, що означає "стрімчак", "скеля".

Перехід до ринкової економіки, економічні перетворення в Україні створили середовище, в якому виник інтерес до такої категорії, як ризик, а теоретичне обґрунтування цього поняття, розкриття природи його виникнення, класифікації та розробки системи заходів попередження або мінімізації його негативних наслідків не тільки дістали свій подальший розвиток, але й стали важливим інструментом ринкової економіки.

Серед науковців немає однозначного тлумачення сутності ризику, що пояснюється декількома причинами. По-перше, в радянській економічній науці ризик як економічна категорія взагалі не знаходив визначення; по-друге, в умовах формування ринкової економіки трактування економічних категорій окремими науковцями дістало довільну форму.

Найбільш універсальним і структурованим за складовими ризику є його визначення як комбінації трьох елементів: певної події, її ймовірності та наслідків[2], оскільки:

1) будь-який ризик можливий лише за певної події;

2) має бути певна ймовірність виникнення події; сама ймовірність виникнення ризику служить методологічною базою управління ризиками;

3) від настання ризику мають бути наслідки, які можуть мати як негативний, так і позитивний характер.

Ризик є передумовою виникнення страхових відносин, без нього не існує страхування, бо без ризику немає страхового інтересу. Ризик визначає межі страхового захисту. За своїм змістом ризик є подією з негативними, особливо невигідними економічними наслідками, які можуть виникнути в майбутньому в будь-який момент у невідомих масштабах

У страхуванні ризик визначається декількома основними поняттями.

По-перше, ризик -- це конкретне явище або сукупність явищ (подія чи декілька подій), на випадок яких проводиться страхування й які має ознаки ймовірності та випадковості настання. Таке визначення наведено в Законі України "Про страхування" (2001). В такому контексті термін «ризик» виражає потенційну можливість виплати страхового відшкодування (страхової суми).

По-друге, ризик пов'язаний з конкретним об'єктом, щодо якого визначаються чинники ризику.

По-третє, ризик -- це розподіл між страховиком і страхувальником негативних економічних наслідків у страховому випадку.

Загалом ризики класифікують на дві великі групи:

1) страхові;

2) нестрахові (не включені в договір страхування).

Найбільш численну групу складають ризики, які можна застрахувати. Щоб встановити, чи є певний ризик страховим, застосовують такі критерії:

-- ризик, що включається в розмір відповідальності страховика, має бути з високим рівнем ймовірності;

-- ризик має виступати як випадковий, тобто небезпека не повинна бути відома ні в просторі, ні у часі, ні за розміром;

-- настання страхового випадку, яке виражається в реалізації ризику, не повинно залежати від волевиявлення страховика або інших зацікавлених осіб;

-- страхова подія не може мати розмірів катастрофічного лиха, тобто охоплювати масу об'єктів у рамках величезної страхової сукупності, спричиняючи масові збитки.

Сукупність страхових ризиків складає обсяг страхової відповідальності за договором страхування, який виражається за допомогою страхової суми договору. Ціна ризику в грошовому виразі оцінюється тарифною ставкою, яка, переважно, розраховується на 100 грошових одиниць страхової суми або у відсотках до її абсолютної величини.

Умовами здійснення будь-якого ризику є ризикові обставини. Усі вони, в єдності та взаємодії, визначають ситуацію ризику, що характеризує природний стан об'єкта страхування й оточення, в якому він знаходиться.

Ризикові обставини дозволяють оцінити можливість настання певної події у майбутньому. Проте тільки одна або декілька ризикових обставин призводять до реалізації ризику, що означає настання страхового випадку.

Страховий випадок -- подія, передбачувана договором страхування або законодавством, яка відбулася, і з настанням якої виникає обов'язок страховика здійснити виплату страхової суми (страхового відшкодування) страхувальнику, застрахованій особі або третій особі.

Основними характеристиками ризику, які мають велике значення для страхування є:

-- частота настання події щодо місця та часу -- визначає ступінь настання страхових випадків за тим чи іншим видом страхування. Розраховується як відношення кількості страхових випадків до кількості договорів страхування або кількості застрахованих об'єктів за певним видом страхування. На практиці спостерігаються періоди часу різкого підвищення страхового ризику, коли значно зростає кількість несприятливих подій із негативними наслідками;

-- важкість наслідків (величина збитку) -- визначається як матеріальний збиток, нанесений страхувальнику внаслідок страхового випадку. На основі величини збитку (з урахуванням системи страхового забезпечення) виконуються розрахунки страхового відшкодування.

Класифікація та характеристика ризиків у страхуванні

Ризик як складне багатогранне явище можна охарактеризувати за допомогою різних критеріїв, які пов'язані з походженням, місцем, величиною, особливостями прояву та іншими обставинами ризиків. Насамперед, потрібно врахувати, що страхування розповсюджується тільки на страхові ризики і такі, які можна виміряти у фінансовому відношенні. З огляду на це, ризики поділяють на:

1) чисті;

2) спекулятивні.

Такий поділ має важливе практичне значення, оскільки страхове відшкодування стосується лише чистих ризиків, при яких наслідок випадкової події завжди альтернативний -- збитки або їх відсутність. Спекулятивні ризики переважно виникають при азартних іграх, лотереях, які не потребують страхового захисту, адже передбачають як втрати, так і прибутки (виграш).

Залежно від джерела небезпеки (походження) ризики класифікують на:

-- природні (об'єктивні) -- зумовлені проявом стихійних сил природи. Природне походження ризиків характеризується цілковитою незалежністю причин їх виникнення від суб'єкта (випадкова подія, стихійне явище);

-- антропогенні (суб'єктивні) -- виникають як наслідок діяльності людей. Вони є похідною економічних, технологічних та організаційних змін, що являють собою необхідну умову розвитку суспільства.

З огляду на ризикогенні об'єкти ризики поділяють на:

-- майнові -- виявляються на майнових об'єктах та у майнових інтересах власників певних видів майна;

-- особисті -- притаманні людям. Це ризики фізичного, фізіологічного та соціального походження.

За обсягом відповідальності страховика ризики поділяють на:

-- індивідуальні -- характерні для окремих особливих предметів, таких як антикваріат, твори мистецтва тощо;

-- універсальні -- входять до обсягу відповідальності страховика за більшістю договорів страхування.

За кількісними параметрами (величиною збитку) ризики можуть утворювати певний ряд і поділятися на: катастрофічні, великі, середні, малі, незначні, а також звичайні ризики. Особливістю катастрофічних ризиків е велико-масштабність негативних наслідків, неможливість їх передбачення та розрахунку. Причинами катастрофічних ризиків можуть бути як прояви природних катаклізмів (землетруси, циклони, виверження вулканів, повені та інші стихійні лиха), так і різні види людської діяльності (політичної, економічної, винахідницької та ін.). Великі ризики є менш відчутними економічно, але виявляються з більшою закономірністю, піддаються точнішому передбаченню та розрахунку. З метою уніфікованого підходу до страхового обслуговування великих та катастрофічних ризиків усі ризики умовно поділені на дві основні категорії: великі та масові. Масові -- це ті ризики, які немає підстави відносити до великих. До великих ризиків належать ті ризики, які генеруються в найбільш ризикогенних галузях господарської діяльності, а саме -- транспортні та повітряні ризики, ризики кредиту та застави, майнові ризики, що виявляються на великих підприємствах.

У загальному розмежуванні ризиків виділяють такі їх групи: політичні, екологічні, транспортні й технічні.

Політичні ризики пов'язані з непередбачуваними діями, заходами чи акціями законодавчих або виконавчих органів влади, іноземних держав щодо конкретної суверенної держави, підприємств або приватних осіб цієї держави.

Екологічні ризики пов'язані зі забрудненням довкілля і зумовлені діяльністю людини у виробництві.

Транспортні ризики поділяють на ризики каско (страхуванні! різноманітних транспортних засобів) і карго (страхування вантажів, що перевозяться різними видами транспортних засобів).

Технічні ризики проявляються як аварії внаслідок раптового виходу з ладу машин, обладнання, збою в технології виробництва. Вони мають універсальний характер, можуть нанести збитки майну, життю, здоров'ю людей та майновим інтересам юридичних осіб.

В окрему групу об'єднують ризики, які рідко трапляються і мають, як правило, високу вартість. Вони отримали назву спеціальні (унікальні) ризики (наприклад, ризики, які супроводжують перевезення особливо цінних вантажів, грошей, творів мистецтва тощо). В окремих випадках виділяють групові ризики, які страхуються одночасно.

Термін «ризик» в професійній мові страховиків вживають ще в такому сенсі: під ризиком розуміють або один окремий страховий поліс, або групу страхових полісів, або весь портфель страхових полісів. Саме в такому сенсі будемо вживати термін «ризик» в подальших розділах пов'язаних із актуарною математикою.

2.3 Загальні відомості про страхові премії

Розрізняють три види премій: [4]

1. Одноразова премія.

2. Періодичні премії сталої величини (однакові премії).

3. Періодичні премії різної величини.

Страховий внесок, або страхову премію, можна розглядати з економічного, юридичного та математичного погляду.

Економічна сутність страхового внеску виявляється в тому, що він є частиною національного доходу, яку виділяє страхувальник з метою гарантування його інтересів від впливу негативних подій.

З юридичного погляду страховий внесок можна визначити як грошовий вираз страхового зобов'язання, обумовленого та підтвердженого шляхом укладання договору страхування між Його учасниками.

У математичному розумінні страховий внесок -- це платіж страхувальника страховику, який періодично повторюється.

Якщо прийняти загальний розмір зобов'язань страховика зі страхування життя за В, вартість однієї ренти - А_х, де х - вік особи, яка сплачує страховий внесок Р_х,то отримаємо, що Р_х=В/А_х в тому випадку, якщо страховий внесок сплачується по життєво, або Р_х=В/L_tA_x у тому випадку, якщо страхові внески мають строковий характер, де L_tA_x виражає вартість однієї термінової ренти.

Наведені дві формули свідчать про те, що страховий внесок у математичному розумінні може бути виражений тільки як середня величина.

За своїм призначенням страховий внесок поділяють на ризикову премію, накопичуваний внесок, нетто-премію, достатній внесок, брутто-премію.

Означення. Ризикова премія -- чиста нетто-премія. Частина страхового внеску у грошовій формі, призначеного для покриття ризику. Величина ризикової премії залежить від ступеня ймовірності настання страхового випадку. Ризиковий внесок можна розглядати як функцію, похідну від імовірності реалізації ризику в часі та просторі.

Накопичуваний внесок призначений для покриття платежів страхування у разі закінчення терміну страхування. Під час дії договору страхування розмір накопичувального внеску змінюється.

Означення. Премія називається нетто-премією (чистою премією) тоді, коли вона відповідає принципу еквівалентності E(L)=0 тобто, коли математичне сподівання загального збитку рівне нулю. [4]

Означення. Нетто-премія -- частина страхового внеску, яка потрібна для покриття страхових платежів за певний проміжок часу за певним видом страхування. Величина нетто-премії прямо залежить від розвитку ризику. Нетто-премія дорівнюватиме ризиковій премії у випадках, якщо простежується планомірний розвиток ризику.

Нетто-премія в майновому та особовому (особистому) страхуванні має різну структуру, зумовлену характером видів страхування та їхнім призначенням. Нетто-премія майнового страхування складається з ризикової премії та стабілізаційного навантаження (надбавки). В актуарних розрахунках особистого страхування нетто-премія складається з ризикової премії та накопичувального внеску. Інколи до них додають стабілізаційне навантаження (надбавки).

Достатній внесок дорівнює сумі нетто-премії та навантаження, введених до витрат страховика. Достатній внесок можна розглядати як брутто-премію або тарифну ставку.

Означення. Брутто-премія -- тарифна ставка страховика. Складається з достатнього внеску та надбавок на покриття витрат, пов'язаних із проведенням попереджувальних заходів, реклами, витрат на покриття збиткових видів страхування тощо. Кожний елемент, введений до брутто-премії, приводить до збільшення всієї тарифної ставки (страхового тарифу).

За характером ризиків страхові внески класифікують на натуральні та постійні премії.

Означення. Натуральна премія -- премія, призначена для покриття ризику за певний проміжок часу. Вона відповідає фактичному розвитку ризику. Натуральна премія в певний період дорівнює ризиковій премії; з часом натуральна премія змінюється. За різними видами страхування вона виражається різними ставками. У договорах страхування, розрахованих на тривалий час, ризикова премія не залишається незмінною. Вона повторює щорічні зміни ризику.

Означення. Постійні (фіксовані) внески -- страхові внески, які з часом не змінюються, а залишаються постійними.

За формою сплати страхові внески поділяють на одночасні, поточні, та річні.

Означення. Одночасний внесок -- страхова премія, яку страхувальник сплачує страховику за весь період страхування наперед. Суму одночасного внеску визначають до моменту укладання договору страхування.

Означення. Поточний внесок -- частина від загальних зобов'язань страхувальника стосовно страховика, тобто є частиною одночасного внеску. Сума поточних внесків за цим видом страхування буде більшою одночасного внеску.

Річний внесок (премія). Одночасний страховий внесок зазвичай вносять за договором, який має річний термін дії.

За часом сплати страхові внески поділяють на авансові платежі та попередню премію.

Означення.Авансовими платежами називають платежі, які страхувальник сплачує страховикові завчасно -- до настання терміну їхньої сплати, зазначеного в укладеній угоді. Авансові платежі зазвичай вносять за весь термін дії договору.

Означення. Попередня премія -- платіж, унесений страхувальником до настання терміну сплати.

Залежно від того, як страхові внески відображаються у балансі страховика, вони поділяються на перехідні платежі, ефективну премію та результативну премію.

Перехідні платежі. Страхові угоди досить часто укладаються на один рік або кілька років. Здебільшого простежується незбі-гання календарного та страхового року. У випадку, коли річний страховий внесок сплачують у поточному календарному році, але відносять на період, який охоплює наступний календарний рік, треба провести розподіл страхової премії.

Та частина страхової премії, яка розподілена на наступний календарний рік, називається перехідним платежем.

Результативна премія -- це різниця між річною нетто-премією та перехідними платежами поточного року, які віднесено на наступний рік. Величина результативної премії при інших рівних умовах залежить від періодичності сплати страхових платежів.

Означення. Ефективна премія -- сума результативної премії та перехідних платежів, зарезервованих у поточному році та перенесених на наступний рік. Ефективна премія -- це вся сума поточних страхових платежів, якими володіє страховик у поточному році.

Означення. Страхова премія -- грошова сума, що її сплачує особа, яка укладає угоду страхування і яка являє собою своєрідну плату за ризик, який бере на себе страхова компанія. Зазвичай страхова премія встановлюється як відсоток від суми угоди страхування, тобто тієї суми, яку страхова компанія сплатить особі у разі настання страхового випадку.[2]



Розділ 3. Основи математики страхування життя

В страховій математиці прийнята груба класифікація видів страхування на два класи:

- Страхування життя.

- Всі інші види страхування (загальне або ризикове страхування).

Для першого класу характерним є: довгостроковий термін і фіксована величина виплат, а для другого - короткостроковий термін і виплати, які залежать від величини збитків.

З математичної точки зору в 1 і 2 випадку моделювання індивідуального договору здійснюється за допомогою випадкової величини. Але в 1 - це випадковий момент виплат, а в 2 - випадкова величина збитків.

3.1 Особливості моделей простих договорів страхування

Характерною особливістю договорів страхування життя є їх довгостроковій термін дії, отже, виникає невизначеність у величині інвестиційного доходу від тимчасово вільних грошей від продажу полісів, отриманого до моменту виплати. Ця невизначеність викликана двома причинами:[4]

- невідома прибутковість інвестицій,

- невідомий термін інвестиційного періоду.

Для найпростіших договорів страхування життя для інвестиційного прибутку застосовують детерміністичну модель ( відома річна відсоткова ставка). Саме такі моделі будуть далі розглянуті. Отже, основна увага буде зосереджена на стохастичному характері тривалості інвестиційного періоду. Іншими словами, розглянемо моделі побудовані в термінах функції T, випадкової величини, яку називають тривалістю майбутнього життя.



3.2 Тривалість майбутнього життя індивіда

Будемо використовувати такі основні терміни і позначення :

- Т(х) - тривалість її майбутньої життя

_{- t} p_x - індивід віку х проживе принаймні t років.

_{- t} q_x - імовірність того, що індивід (х) вмре протягом t років

_{- t} p_x+s - умовну імовірність того, що індивід (х) проживе ще t років після досягнення віку x+s

_{- t} q _x+s - імовірність того, що (х) вмре протягом t років після досягнення віку x+s.

- µ- сила смертності

- К - називається очікуваною обмеженою тривалістю майбутнього життя(х)

- СТЖ - середня тривалість життя

3.2.1 Математична модель

Розглянемо людину у віці х років, назвемо її також індивідом віку х і позначимо символом (х). Позначимо тривалість її майбутньої життя через Т чи більш явно через Т(х). Таким чином, х + Т буде віком, у якому ця людина вмре.

Тривалість майбутньої життя Т є випадковою величиною з функцією розподілу

G(t) = P(T<t), t?0 (3.2.1.1)

Функція G(t) являє собою імовірність того, що дана людина вмре до закінчення t років (для кожного фіксованого t). Передбачається, що розподіл G випадкової величини Т відомо. Ми також припускаємо, що функція G неперервна і Т має щільність розподілу g(t)=G?(t). Таким чином



g(t)dt = P(t<T<t+dt) (3.2.1.2)

є імовірність того, що смерть наступить у нескінченно малому проміжку часу між х+t і x+t+dt (чи що вік індивіда (х) у момент смерті буде між x + t і х + t + dt).

Імовірності й очікувані значення можуть бути подані в термінах функцій g і G. Проте, міжнародне актуарне співтовариство використовує освячені часом традиційні позначення, яких ми будемо дотримуватись. Наприклад, імовірність того, що індивід (х) вмре протягом t років, позначається символом _tq_x ,

_t q_x : = G(t) (3.2.1.3)

Аналогічно

_t p_x = 1-G(t) (3.2.1.4)

позначає імовірність того, що індивід віку х проживе принаймні t років. Інший загальноприйнятий символ

_s|t q_x: = P(s<T<s+t) = G(s+t)-G(s)=_s+tq_x-_sq_x (3.2.1.5)

позначає імовірність того, що індивід х років проживе s років і потім вмре в наступні t років.

Позначимо через _t p_x+s умовну імовірність того, що індивід (х) проживе ще t років після досягнення віку x+s. Таким чином

_t p_x+s: = P(T > s+t| T >s) = (1-G(s+t)) /(1-G(s)) (3.2.1.6)

Аналогічно визначається

_t q_x+s: = P(T? s+t | T > s) = (G(s+t)-G(s))/(1-G(s)) (3.2.1.7)

- умовна імовірність того, що (х) вмре протягом t років після досягнення віку x+s.

Очікувана тривалість залишку життя індивіда у віці х є математичним сподіванням Е(Т), яке позначають також e_x і визначають за формулою

e_x = (3.2.1.8)

або, у термінах функцій розподілу

e_x = = _t p_xdt (3.2.1.9)

Якщо t=1, то індекс t в символах _t q_x , _t p_x , _s|t q_x зазвичай опускається. Таким чином, q_x є ймовірністю померти протягом наступного року, а _s| q_x є ймовірністю прожити s років, а потім померти протягом наступного року.

Для обчислення D(T) зручно використовувати фoрмулу:

E(T²) = _t p_xdt (3.2.1.10)

3.2.2. Сила смертності

Сила смертності для індивіда (х) віку x+t визначається як

µ _x(t):= µ _x+t:= = - (3.2.2.1)

З (3.2.1.2) і (3.2.1.4) можна отримати альтернативний вираз для ймовірності померти в проміжку між t i t+dt:

P(t < T < t+dt)= _t p_x µ_x+t dt (3.2.2.2)

Тепер очікувану тривалість залишку життя індивіда (х) можна записати у вигляді

ризик страхування життя математична модель

e_x = _t p_x µ_xdt (3.2.2.3)

Силу смертності можна також визначити як

µ_x (t):= µ_x+t:= - ln _tp_x (3.2.2.4)

Інтегрування (3.2.2.4) дає

_t p_x = (3.2.2.5)

3.2.3 Аналітичний закон розподілу Т

Ми називатимемо функцію G аналітичним або ”математичним” законом розподілу, якщо вона може бути виражена простою формулою. Існують різні причини для того, щоб постулювати деякий аналітичний закон розподілу випадкової величини Т.

У минулому намагались отримати універсальний аналітичний вираз для G(t) з деяких основних постулатів за аналогією з законами фізики. Ці зусилля з точки зору нашого століття здаються достатньо наївними і оточеними певною містикою.

Аналітична формула має ту перевагу, що G(t) можна швидко обчислити за невеликим числом параметрів. Зокрема, статистичні процедури полегшуються, коли треба оцінити лиш декілька параметрів. Це може виявитися важливим, якщо доступно небагато даних.

Аналітичні формули мають також деякі привабливі теоретичні властивості. Їх популярність має такий же характер, як і популярність нормального розподілу в статистиці: використання нормальної моделі частково мотивується центральною граничною теоремою, але, головним чином, легкістю математичної обробки.

Ось деякі приклади аналітичних розподілів, що носять імена своїх “винахідників”[4]

1. Де Мавр (1724) постулював існування максимального віку щ для людей і припустив, що Т рівномірно розподілена між віком 0 і щ-х, що призводить до g(t)=1/(щ-x) для 0<t< щ-x. Тоді сила смертності має вигляд

µ_x+t = (3.2.3.1)

2. Гомпертц (1824) постулював, що сила смертності зростає експоненційно

µ_x+t = Bc^x+t, t >0 (3.2.3.2)

(B=const>0, c=const? 1), що краще відображає закон старіння, ніж закон де Муавра і, крім того, знімає припущення про максимальний вік щ.

3. Закон Гомпертца був узагальнений Мейкхемом(1860), який постулював, що

µ_x+t = A+Bc^x+t, t > 0 (3.2.3.3)

де А=const, В=const, с=const ?1. Закон Мейкхема додає постійну компоненту А>0, що не залежить від віку, до експотенційно зростаючої сили смертності в законі Гомпертца.

3.2.4 Обмежена тривалість майбутнього життя

Тепер повернемось до загальної моделі, введеної в 3.2.1 і визначимо важливі до застосувань випадкові величини К=К(х), S=S(x), S^(m)= S^(m)(x), пов'язані з початковою випадковою величиною Т.[4]

Означення: Визначимо К=[T] (ціла частина Т) як кількість повних років життя індивіда (х), що залишилися, або обмежену тривалість майбутнього життя (х).

Розподіл дискретної цілочислової випадкової величини К має вигляд

P(K=k) = P(k ? T < k+1)= _kp_x g_x+k (3.2.4.1)

для k=0, 1, 2, …. Математичне сподівання величини К називається очікуваною обмеженою тривалістю майбутнього життя (х) і позначається символом е_х.

Отже,

e_x = = _kp_x q_x+k (3.2.4.2)

або

e_x = _kp_x (3.2.4.3)

Використання очікуваної обмеженої тривалості майбутнього життя має ту перевагу, що (3.2.4.1) і (3.2.4.2) легше обчислити, ніж (3.2.1.9) або (3.2.4.3). Іншою перевагою є те, що треба знати лише розподіл К, щоб знайти е_х.

Для обчислення дисперсії D(K) зручно використовувати фoрмулу:

E(K²)= _kp_x q_x+k = _k+1p_x (3.2.4.4)

Нехай S - дробова частина року смерті, протягом якої (х) залишається живий, тобто

T=K+S (3.2.4.5)

Зазвичай припускають, що випадкова величина S має неперервний розподіл між 0 та 1. Для цілих додатних m визначимо випадкову величину

S^(m) = [mS+1] (3.2.4.6)

Таким чином S^(m)отримуємо з S округленням до наступного більшого кратного 1/m. Розподіл S^(m) зосереджений в точках 1/m, 2/m,…, 1.

Стандартні припущення, які застосовують в практичних актуарних розрахунках:

- Незалежність К та S.

- Рівномірний розподіл S.

Незалежність К та S передбачає незалежність К та S^(m). Більш того, якщо S має рівномірний розподіл між 0 та 1, то S^(m) має дискретний рівномірний розподіл.

3.2.5 Таблиці тривалості життя

В попередніх параграфах розглядалася людина віку х. Імовірнісний розподіл тривалості її майбутнього життя можна побудувати, використовуючи таблицю тривалості життя.

Таблиця тривалості життя (таблиця смертності) є, по суті, таблиця ймовірності смерті q_x протягом одного року, яка повністю визначає розподіл величини К. Ми покажемо як апроксимувати розподіл Т за допомогою інтерполювання за цією таблицею. [4]

Таблиці тривалості життя будують на основі статистичних даних. Побудова такої таблиці включає техніку оцінки, зглажування і екстраполяції (остання використовується у розрахунках, що проводяться для змінних з часом моделей смертності).

Таблиці тривалості життя будуються для певних груп населення, які відрізняються за такими ознаками як стать, раса, покоління, тип страхування. Суттєвий вплив може мати і початковий вік х. Наприклад, нехай х позначає вік, в якому людина купує страховий поліс. Оскільки страхування життя пропонується тільки людям з гарним здоров'ям (іноді тільки після медичного обстеження), слід очікувати, що людина, яка тільки-но купила страховку, має краще здоров'я, ніж той, хто купив її декількома роками раніше, за умови, що інші фактори (зокрема, вік) у них однакові.

Це явище враховується у селективних таблицях тривалості життя. В селективній таблиці ймовірності смерті розділяються згідно віку вступу. Таким чином, q_[x]+t є ймовірність смерті протягом одного року для індивіда (x+t), де х - вік вступу. Селекція призводить до нерівностей

q_[x] < q_[x-1]+1 < q_[x-2]+2 < … (3.2.5.1)

Ефект селекції зазвичай припиняється після декількох років, скажімо r років після вступу.

Припустимо, що

q_[x-r]+r = q_[x-r-1]+r+1 = q_[x-r-2]+r+2 = … =q_x (3.2.5.2)

Термін r називається терміном селекції і таблиця, що використовується після закінчення терміну селекції, називається завершальною таблицею тривалості життя.

Розглянемо людину, яка купує поліс страхування життя у віці х. Щоб знайти розподіл величини К при трирічному терміні селекції, необхідні такі ймовірності

q_[x], q_[x]+1, q_[x]+2, q_[x]+3, q_[x]+4, q_[x]+5,… (3.2.5.3)

Якщо таблиця залежить тільки від досягнутого віку х, то вона називається сукупною таблицею тривалості життя. Вона зручна тим, що складена з даних одного типу, у той час як селективна таблиця містить дані двох типів. Ймовірність смерті протягом одного року для даного досягнутого віку в сукупній таблиці буде, як правило, зваженим середнім відповідних ймовірностей в селективній і основній таблицях.

У страховій теорії таблиця смертності визначається як упорядкований ряд взаємопов'язаних величин, що характеризують зменшення з віком деякої сукупності народжених унаслідок смертності. Таблиця є системою показників, які вимірюють частоту смертності в різні періоди життя та частоту дожиття до кожного наступного віку. Показники таблиці смертності побудовані як опис процесу дожиття та вимирання деякого покоління з фіксованою початковою чисельністю народжених .

Основні таблиці, як правило складають відповідні державні установи, а селективні, зазвичай, - самі страхові компанії.

Приклад: Додаток Б. Таблиця середньої очікуваної тривалості життя (2005-2006)

З таблиці видно, що середня очікувана СТЖ українця в 2006р становила 62,38року. На основі даних проведено порівняння середньої очікуваної тривалості життя для чоловіків і жінок.[6]

За таблицею смертності можна визначити, скільки з новонароджених доживе до того чи іншого віку, а також помре кожного року. Важливими інформативним показниками таблиці є ймовірність смерті та ймовірність дожиття до, відповідно, q _х та р_х. Використовуючи показники смертності, страхова компанія з високим ступенем імовірності може припустити , що впродовж найближчого року з певної кількості застрахованих у деякому віці може померти певна кількість. Таким чином, страховій компанії стає відомою кількість виплат при страхуванні на випадок смерті.

Відзначимо, що показники смертності мають варіативний характер для міської та сільської місцевості, для окремих регіонів і особливо для чоловіків та жінок. Усі ці моменти враховуються в більш детальних таблицях смертності та знаходять своє відображення при побудові тарифних ставок.[6]



3.2.6 Додаткові характеристики смертності

Розглянемо достатньо велику групу людей однакового віку, які спостерігаються щ років. Позначимо l_x кількість тих із них, які живі у віці x (0 ? x ? щ). Отже,

l_x показує скільки з l₀ народжених доживуть до віку х.

Тоді оцінка ймовірності дожити до віку x є

S(x):= (3.2.6.1)

За означенням умовної ймовірності отримуємо

_tp_x = P(T(0))>x+t/T(0)>x) = = (3.2.6.2)

Кількість людей, які померли у віковому проміжку [ x, x +1), дорівнює

d_x:= l_x - l_x+1 (3.2.6.3)

Тоді оцінка ймовірності того, що людина (x) помре на протязі наступного року, дорівнює

q_x = (3.2.6.4)

Ще дві характеристики смертності: m_х - очікувана смертність та L_х - середня кількість тих, хто вижив до [x, x + 1):

L_x = = (3.2.6.5)

m_x = (3.2.6.6)



Використавши (3.2.6.2) можемо переписати (3.2.4.3) так:

e_x = (3.2.6.7)

Найважливіші формули для розрахунку основних характеристик тривалості життя за допомогою таблиць тривалості життя

Характеристика	Формула
Ймовірність жити при переході від віку x до віку x+1;	рх = [lx +1] / lx
Ймовірність смерті при переході від віку x до віку x+1;	qx= dx / lx
Кількість людей, які померли у віковому проміжку [ x, x +1)	dx = lx+1 - lx
Oчікувана смертність	mx = dx / Lx
Cередня кількість тих, хто вижив до [x, x + 1)	Lx = dt
Ймовірності дожити до віку x	S(x)= lx / l0

Приклади

Приклад 1. Оцінити, яка ймовірність у жінки дожити до 60р.

Розв'язання:

Для встановлення ймовірності дожити до 60р використаємо формулу (3.2.5.1)

Тоді

S(60):=l₆₀/l₀

Підставляючи данні з (Додаток В) у формулу отримаємо

S(60):=85148/100000?0,85

Приклад 2. Використовуючи таблицю для функції виживання, необхідно визначити ймовірність _40|10q₂₀ того, що залишковий час життя чоловіка, котрому зараз 20 років, Т₂₀, лежить в проміжку від 40 до 50 років.

x	s(x)	x	s(x)	x	s(x)
0	1,000	40	0,949	80	0,432
5	0,985	45	0,936	85	0,280
10	0,983	50	0,915	90	0,142
15	0,982	55	0,883	95	0,050
20	0,977	60	0,837	100	0,012
25	0,971	65	0,771	105	0,002
30	0,965	70	0,682	110	0
35	0,958	75	0,568

Розв'язок:

Використовуючи формулу умовної ймовірності(3.2.1.5) ми маємо:

_40|10q₂₀ P(40<T₂₀<50) P(40<T-20<50|T>20)=

= = = 0,16

Приклад 3. Припустимо, що функція виживання задається формулою

s(x) = 0x

Потрібно підрахувати ймовірність того, що людина у віці 50р помре на протязі ближайшого року, а також його середній залишковий час життя.

Розв'язок:

Використовуючи формулу умовної ймовірності маємо:

q₅₀ P(T₅₀<1) P(T-50<1|T50) = =

= = 1 - = 1- 0,84%

Додаткова функція розподілення величини Т(50) задається формулою:

P(T(50)>t) P(T-50>t|T>50) = =

= = 0

Тому

e₅₀ET(50) = dt = ·(-60)(1-)^3/2 - (-60)(1- )^3/2 = 40

Приклад 4. Яка ймовірність того, що чоловік 85 років помре впродовж наступного рогу.

Розвязок:

Для знаходження даної ймовірності використовуємо формулу (3.2.5.4). Число чоловіків, які помирають на протязі з 85 по 86 рік

d_x=7831-6456=1375

Тоді ймовірність вмерти

q_x=1375/7381?0,18

3.3 Страхування життя

Будемо використовувати такі основні терміни і позначення :

- Z- поточна вартість

- А_х- разова нетто-премія контракту довічного страхування

- - разова нетто-премія контракту тимчасового страхування

- - разова нетто-премія контрату чистого дожиття

- - разова нетто-премія контрату дожиття

- - разова нетто-премія контракту страхування з виплатою в момент смерті

- (ІА)_х - разова нетто-премія контракту стандартного довічного зростаючого страхування

- - разова нетто-премія контракту тимчасового зростаючого страхування

- (І)_х - разова нетто-премія контракту страхування з виплатою в момент смерті

- К - обмежена тривалість майбутнього життя (х)

- S - дробова частина року смерті

В цьому розділі розглядаємо ситуацію, коли угода страхування життя передбачає, що страхова виплата складається з одноразового платежу або страхової суми. Час і величина цієї виплати можуть бути функціями випадкової величини Т, що була введена у пункті 3.2. Таким чином, час і величина страхової виплати самі можуть бути випадковими величинами.

Поточна вартість цієї виплати позначається через Z; вона обчислюється на основі фіксованої відсоткової ставки і (технічної відсоткової ставки).

Означення. Математичне сподівання Е(Z) поточної вартості страхової суми є разова нетто-премія (або чистий одноразовий внесок) даної угоди страхування. [4]

Ця премія ніяк не може повністю відображати ризику, який несе страхувальник. Щоб врахувати його, потрібні додаткові характеристики розподілу випадкової величини Z, наприклад, її дисперсія.

3.3.1 Елементарні типи страхування

3.3.1.1 Тимчасове та довічне страхування

1. Розглянемо довічне страхування, яке передбачає виплату суми 1 наприкінці року смерті. В цьому випадку страхова сума фіксована, тоді як час її виплати (К+1) є випадковим. Поточна вартість страхової виплати дорівнює

Z = х^K+1 (3.3.1.1.1)

Випадкова величина Z приймає значення х ,х², х³, … і її розподіл отримуємо з (3.3.1.1.1) і з розподілу К: