Вимоги до членства в (SAO) включають складання 6 іспитів для отримання статусу Асоційованого члена і ще двох - Дійсного члена. Екзамени мають репутацію особливо складних. На підготовку до 1 екзамену за приблизними підрахунками необхідно десь біля 400 годин, а на 6-8 іспитів -2400-3200 годин впродовж декількох років. Лише після цього студента актуарія можуть офіційно називати «актуарієм» і надавати відповідну посаду і платню. Слід зазначити, що,зазвичай, страхові компанії підтримують заходи по професійній освіті і автоматично підвищують посаду і заробітну плату після складання іспитів. Дуже часто успішне складання актуарних іспитів порівнюють з отриманням PhD з математики або фінансів.

Не менш складною є атестація актуаріїв У великобританії під егідою Факультету і Інституту Актуаріїв (Institute and Faculty of Actuaries), що включає декілька рівнів . Особи, які успішно склали екзамени і одержали відповідні дипломи(сертифікати) можуть розраховувати на успішне працевлаштування в різних країнах світу.

Перший рівень посвідчується спеціальним ”Диплом з актуарних розрахунків“. Для його отримання потрібно скласти 8 іспитів:

СТ1: Фінансова математика (Financial Mathematics)

СТ2: Фінанси і фінансова звітність (Finance and Financial Reporting)

СТ3: Теорія ймовірностей і математична статистика (Probability and Mathematical statistics)

СТ4: Моделі (Models)

СТ5: Математичні основи страхування життя (Contingencies)

СТ6: Актуарна математика страхування майна (Statisticals Methods)

СТ7: Економіка

СТ8: Фінансова економіка

З 2005р діє Європейська актуарна академія (ЕАА)створена актуарними товариствами Німеччини, Австрії, Щвейцарії, Нідерландів, диплом якої теж сприяє успішному працевлаштуванню актуарія в Європейських країнах.

5.2 Актуарна освіта в Україні

В Україні навчальні курси з актуарної математики викладаються в Львівському, Ужгородському, Донецькому, Прикарпатському, Харківському політехнічному університеті, Кіровоградському педагогічному університеті, Київському національному університеті на механіко-математичному і економічному факультетах. З 2010р кафедра теорії ймовірностей і математичної статистики КНУ реорганізована в кафедру теорії ймовірностей,математичної статистики та актуарної математики, і з 2012р на цій кафедрі розпочнеться навчання за магістерською програмою з актуарної і фінансової математики.

Кваліфікаційні вимоги до актуаріїв в Україні регулюються законом України ” Про страхування “ і розпорядженням № 3519 від 8.02.2005р Державної Комісії з регулювання ринків фінансових послуг (Держфінпослуг). Згідно з ним особа, яка претендує на право займатися актуарними розрахунками та посвідчувати їх повинна мати:

а) вищу освіту;

б) досвід роботи з виконання актуарних розрахунків у межах України не менший ніж 3 роки;

в) кваліфікаційне свідоцтво, видане Держфінпослуг;

г) документ про успішне складання професійних екзаменів за британською та/або американською екзаменаційними системами.

Зокрема, для отримання ”свідоцтва на право займатися актуарними розрахунками та посвідчувати їх“ без обмеження терміну його дії потрібно скласти екзамени за британською системою за кодами СТ1-СТ8; для отримання свідоцтва терміном на 3 р досить скласти меншу кількість екзаменів, а саме:

- для занять актуарними розрахунками зі страхування життя - СТ1,СТ3-СТ-5 британської системи.

- для занять актуарними розрахунками з інших видів страхування - СТ1,СТ3,СТ4,СТ6.

На сьогодні в Україні працюють десь близько 30 сертифікованих актуаріїв - це особи, які пройшли навчання, організоване представниками Інституту і Факультету актуаріїв (Британія) в 1999р., і склали відповідні екзамени, та особи, які склали іспити за Британською системою в інші роки.

З 2005р. при Київському національному університеті ім. Т. Шевченка діє Екзаменаційний центр Британського Інституту Актуаріїв, де можна скласти іспити з усіх предметів Британської екзаменаційної системи, та Навчальний центр для актуаріїв і фінансових аналітиків, де можна пройти курси підготовки до актуарних іспитів. Проте ця діяльність не вирішує проблему підготовки кадрів вцілому, вихід - в розширенні підготовки спеціалістів-актуаріїв у ВНЗ України.

5.3 Викладання курсу актуарної математики

На основі порівняльного аналізу навчальних планів за американською. Британською системами досвіду викладання актуарних дисциплін у ВНЗ Європи і України може бути запропонована така програма курсу «Основи актуарної математики страхування життя » обсягом 26-30годин:

Основи актуарної математики страхування життя

Тема 1. Основи фінансової математики. Моделі на основі простих і складних відсотків. (2 години)

Відсоткові ставки, ренти, ануїтети.

Тема 2. Моделі тривалості життя. (2 години)

Тема 3. Основні типи страхування життя. (4 години)

Довічне і тимчасове страхування, чисте доживання, страхування з виплатою в момент смерті.

Тема 4. Ануїтети. (2 години)

Тема 5. Нетто-премії.(4 години)

Розрахунок нетто-премій у випадку: довічного і тимчасового страхування, чистого доживання, відтермінованих довічних ануїтетів, премій, що виплачуються N разів на рік, полісів з поверненням премій.

Тема 6. Резерви нетто-премій.(4 години)

Тема 7. Декременти.(2 години)

Тема 8. Групове страхування. (2 години)

Тема 9. Оцінювання ймовірності смерті. Математичні основи демографії. (2 години)

Таблиці тривалості життя. Селективні таблиці. Діаграми Лексиса.

Тема 10. Навантаження на премії. (2 години)

Тема 11. Моделі портфелю страхових договорів. (4 години)

Для засвоєння курсу необхідно мати базові знання з теорії ймовірностей, математичної статистики, математичного аналізу, елементи теорії диференціальних рівнянь. Зауважимо, що розділ «Основи фінансової математики. Моделі на основі простих і складних відсотків» потребує лише знань в обсязі шкільної програми, тому цей розділ має сенс включити в матеріал факультативних занять у спеціалізованих математичних класах, ліцеях, гімназіях.



Висновки

1. Сучасна ринкова економіка не може існувати без розвинутого ринку страхових послуг. Страхування життя не тільки дає змогу убезпечити юридичних і фізичних осіб від неочікуваних фінансових збитків, але слугує джерелом довгострокового інвестування і сприяє зменшенню соціальної напруги та навантаження на бюджет країни. Хоча, доля страхування життя в Україні складає десь 1% від усього обсягу страхового ринку, а обсяг зібраних страхових внесків - лише 1/30 всіх страхових премій, в останні роки ринок страхування життя в Україні зростає в шість разів швидше за всі інші види страхування, що відповідає загальносвітовим тенденціям.

2. Роль страхування життя особливо зростає в теперішній час у зв'язку з впровадженням в Україні медичного страхування і початком другого етапу пенсійної реформи (впровадженням державних і недержавних накопичувальних пенсійних фондів).

3. Успішне функціонування страхової компанії не можливе без застосування математичних моделей і методів і залучення спеціалістів (математиків-актуаріїв), які цими методами володіють. Основні завдання - визначення страхових тарифів і резервів , що забезпечують конкурентоздатність і платоспроможність компанії.

4. Адекватними моделями простих індивідуальних договорів страхування і страхових ануїтетів є функції від випадкової величини - тривалості майбутнього житя застрахованого.

5. Розглянуті в роботі базові методи актуарних розрахунків для основних типів страхових контрактів (контракти довічного та тимчасового страхування, контракти доживання та чистого доживання, контракти страхування з виплатою в момент смерті), зокрема, методи знаходження поточної вартості страхових контрактів, разових та періодично сплачуваних премій та відповідних резервів і реальні приклади таких розрахунків свідчать про те, що наведені формули досить прості і розрахунки за ними можуть бути виконані за допомогою простого програмного забезпечення.

6. Більш складні договори страхування, а саме: зі стохастичною прибутковістю, з преміями (внесками), що сплачуються щорічно або декілька разів на рік, з виплатами, що відбуваються щорічно або декілька разів на рік і розмір яких змінюється за складним правилом(це особливо важливо для страхових ануїтетів і пенсій), з урахуванням інфляції , а також моделі портфелів страхових договорів, вимагають для їх вивчення і застосування складнішого математичного апарату, а відповідні розрахунки - спеціального програмного забезпечення.

7. Застосування сучасних методів актуарних розрахунків вимагає залучення спеціалістів відповідної кваліфікації, отже, і підвищення рівня підготовки кадрів, що може бути досягнуто удосконаленням вузівської підготовки в галузі актуарної математики. Запропонована навчальна програма слугує цій меті.



Додатки

Додоток А

1. Основи фінансової математики

У питаннях страхування життя фундаментальну роль відіграють дві області математики: теорія складних відсотків і теорія імовірностей.

Основні терміни і позначення:

- і - фактична річна відсоткова ставка;

- i^(m)- номінальна річна відсоткова ставка з виплатою відсотків m;

- д - (нормою) відсоткового прибутку;

- С - поточна вартість капіталу;

- d - річна фактична ставка дисконту;

- d^(m) - номінальна ставка авансового відсоткового прибутку;

- Період конверсії (капіталізації) - період часу, в кінці якого зараховується прибуток.

- Фактична відсоткова ставка - період конверсії збігається з основною одиницею часу.

- Номінальна відсоткова ставка - період конверсії не збігається з основною одиницею часу.

- Дисконтована вартість - відсотковий прибуток, виплачуваний на початку кожного періоду конверсії

1.1 Фактична відсоткова ставка

Відсоткова ставка завжди встановлюється у відповідності з основною одиницею часу; наприклад, можна говорити про ставку 6% у рік. Крім того. Повинен бути встановлений період конверсії (капіталізації), тобто інтервал часу, наприкінці якого відсотковий прибуток прибуткується

Означення. Відсоткова ставка називається фактичною, якщо період конверсії збігається з основною одиницею часу; у цьому випадку відсотковий прибуток виплачується наприкінці основної одиниці часу.[4]

Нехай і-фактична річна відсоткова ставка(для простоти-та сама для всіх років). Розглянемо рахунок (чи фонд), куди поміщений початковий капітал F₀ і куди наприкінці к-го року вноситься додаткова сума r_k, для k=1,…,n. Яким буде його баланс наприкінці n-го року? Нехай F_k - баланс наприкінці k-го року, що включає платіж r_k. Відсотковий прибуток від балансу попереднього року дорівнює iF_k-1. Таким чином,

F_k =F_k-1 +iF_k-1 +r_k, k=1,…,n (1.1.1)

Можна записати цю рекурентну формулу у вигляді:

F_k - (1+i)F_k-1= r_k (1.1.2)

Якщо помножити обидві частини цього рівняння на (1+i)^n-k і просумувати за всіма значеннями k, то всі доданки в лівій частині, крім двох, скоротяться і ми одержимо

F_n = (1+i)ⁿF₀ + r_k (1.1.3)

Означення. Степені числа 1+і називають коефіцієнтами накопичення, чи накопичувальними множниками.[4]

Накопичена вартість початкового капіталу С після h років дорівнює (1 + i)^h С. Рівняння (1.1.3) ілюструє очевидний результат: капітал наприкінці даного проміжку часу складається з накопиченої вартості початкового капіталу і суми накопичених вартостей проміжних депозитів.

Множник, що дисконтує, чи коефіцієнт дисконтування х, визначається як

х = (1.1.4)

Тепер рівняння (1.1.3) можна записати у вигляді

хⁿF_n = F₀ + r_k (1.1.5)

Отже, поточна вартість капіталу С, виплачуваного в момент h, є х^hC. Записуючи рівняння (1.1.1) у вигляді

F_k -F_k-1 = iF_k-1 +r_k (1.1.6)

і підсумовуючи по к, отримаємо

F_n-F₀ = F_k-1 + (1.1.7)

Таким чином, збільшення даного фонду складається з отриманого сумарного відсоткового прибутку і суми всіх проміжних депозитів.

1.2 Номінально відсоткова ставка

Означення. Якщо період конверсії не збігається з основною одиницею часу, відсоткова ставка називається номінальною.[4]

Приклад. Річна відсоткова ставка 6% із тримісячним періодом конверсії означає, що відсотковий прибуток, рівний 6%/4 = 1.5%, виплачується наприкінці кожного кварталу. Таким чином, початковий капітал, рівний 1, зросте до (1.015)⁴ = 1.06136 до кінця першого року. Тому річна номінальна ставка 6% відсоткового прибутку, конвертованого щокварталу, еквівалентна річній фактичній відсотковій ставці 6.136%. [1]

Нехай тепер задана річна фактична відсоткова ставка i. Визначимо i^(m)як номінальну річну відсоткову ставку з виплатою відсотків m раз у рік, еквівалентну i. Рівність накопичувальних множників для одного року приводить до рівняння

(1+) = 1+I (1.2.1)

з якого випливає, що

i^(m) = m((1+i)^1/m -1) (1.2.2)

Граничний випадок при m > ? відповідає неперервному приросту капіталу.

Величина

= (1.2.3)

називається силою (нормою) відсоткового прибутку, еквівалентною ставці i.

Записуючи (1.2.2) у вигляді

= (1.2.4)

маємо, що д є похідна функції (1+і)^х при х=0, тобто

= (1.2.5)

чи

(1.2.6)

Таким чином, накопичувальний множник для періоду h років дорівнює (1+і)^h=e^дh; множник, що дисконтує, для того ж періоду х^h= e^-дh. Тут довжину періоду h можна вважати будь-яким дійсним числом.

1.3 Неперервні платежі

Розглянемо фонд, як і в параграфі (фактична відсоткова ставка), але тепер припустимо, що платежі в нього надходять неперервно з річною миттєвою інтенсивністю r(t). Таким чином, сума, що надходить у фонд за нескінченно малий проміжок часу від t до t+dt, дорівнює r(t) dt. Позначимо через F(t) баланс даного фонду в момент t. Припустимо, що відсотковий прибуток виплачується неперервно з нормою д(t), що, можливо, залежить від часу. Тоді відсотковий прибуток за нескінченно малий проміжок часу від t до t+dt дорівнює F(t)д(t)dt. Отже, повне збільшення капіталу за цей проміжок часу складає

dF(t) = F(t) + r(t)dt (1.3.1)

Щоб розв'язати відповідне диференціальне рівняння запишемо його у вигляді

(r(t) (1.3.2)

Інтегруючи по t від 0 до h, одержуємо

(1.3.3)

Таким чином, вартість на момент 0 деякої суми, що підлягає виплаті в момент t (тобто її поточна вартість), знаходять множенням на коефіцієнт

(1.3.4)

Далі, з (1.3.3) одержуємо

F(h) = F(0) + r(t)dt (1.3.5)

Таким чином, вартість на момент h деякої суми, виплаченої в момент t<h (тобто накопичена вартість), знаходять множенням її на коефіцієнт

(1.3.6)

1.4 Авансований відсотковий прибуток

Дотепер передбачалося, що відсотковий прибуток прибуткується наприкінці кожного періоду конверсії (чи є заборгованим). Але іноді корисно припустити, що відсотковий прибуток прибуткується авансом на початку кожного періоду конверсії. Означення. Відсотковий прибуток, виплачуваний на початку кожного періоду конверсії, називають також дисконтом, а відповідну ставку називають ставкою дисконту, чи дисконтною ставкою.

Нехай d - річна фактична ставка дисконту. Особі, яка інвестує суму С, буде негайно виплачений відсотковий прибуток, рівний dC , а інвестований капітал С буде повернутий наприкінці року. Інвестуючи відсотковий прибуток dC на тих же умовах, інвестор одержить додатковий відсотковий прибуток d(dС) = d²C, а додатково інвестована сума d буде повернута наприкінці того ж року; повторне інвестування відсоткового прибутку приносить додатковий відсотковий прибуток d(d²C) = d³C. Повторюючи цей процес до нескінченності, ми бачимо, що інвестор одержить загальну суму

C + dC + d²C +…+ dⁿC… = C (1.4.1)

наприкінці року від інвестування капіталу С. Еквівалентна фактична річна відсоткова ставка i знаходиться з рівняння

(1.4.2)

яке приводить до співвідношення

d = = 1- х (1.4.3)

Цей результат має очевидне тлумачення: якщо інвестується капітал 1, то відсотковий прибуток d, виплачуваний на початку року, дорівнює дисконтованій вартості відсоткового прибутку i, виплачуваного наприкінці року. Крім того, з (1.4.2) випливає, що

i = (1.4.4)

Таким чином, відсотковий прибуток, виплачуваний наприкінці року, дорівнює накопиченій вартості відсоткового прибутку, виплачуваного на початку року. Нехай d^(m) -- номінальна ставка авансового відсоткового прибутку, виплачуваного m раз у рік, еквівалентна d. Інвестор одержує, таким чином, прибуток (d^(m) /m)C на початку періоду конверсії і його капітал С повертається наприкінці цього періоду. Рівність коефіцієнтів накопичення для 1/m-ої частини року має вигляд

= 1+ = (1+i)^1/m (1.4.5)

Це приводить до

d^(m) = m(1-(1+i)^-1/m) (1.4.6)

За аналогією з (1.4.3) одержуємо

d^(m) = (1.4.7)

що дає просте співвідношення між i^(m) і d^(m) :

= (1.4.8)

Приклади

Приклад 1. Наступна чисельна ілюстрація дається для i = 6%.

m	1	2	3	4	6	12	?
d(m)	0.05660	0.05743	0.05771	0.05785	0.05799	0.05813	0.05827

Приклад 2. Недержавний пенсійний фонд нараховує на пенсійні рахунки і=7% річних. 1 січня 2005 року вкладчик перерахував F₀=8500грн. Які відсотки будуть нараховані на цю суму до 31 грудня2011 року?

Розв'язок:

З 1 січння 2005р до 31 грудня 2001р пройде h=7 років. Використовуючи формулу складних відсотків до 31 грудня 2011р на пенсійному рахунку буде

F_k=F₀(1+i)^h=8500•(1,07)⁷?8500•1,60578=13649,14.

Відсотки складають

F_k-F₀?13649,14-8500=5149,14 грн.

Приклад 3. Номінальна відсоткова ставка дорівнює j. Період конверсії дорівнює півроку. Платежі величиною 1 здійснюються кожен рік. Вартість такої угоди страхування-5,89. Обчислити відсоткову ставку j.

Розв'язок:

Використовуючи формулу (1.2.2) маємо

j=2((5,89)^1/2-1)=2(2,43-1)=2,86.

2. Безстрокові ренти та ануїтети

2.1 Безтермінові ренти

Тепер ми введемо деякі типи безтермінових платіжних потоків чи безтермінових рент і підрахуємо їхні поточні вартості. Одержувані формули дуже прості і використовуються при обчисленні поточної вартості рент зі скінченним терміном тривалості. Розглянемо безтермінові ренти, що складаються із щорічних виплат величини 1.

Означення: Якщо перша виплата здійснюється в момент 0, то така рента називається прямою безтерміновою рентою (чи безтерміновою рентою пренумерандо) і її поточна вартість позначається через

Таким чином

= 1+ х+ х² +… = (2.1.1)

Означення: Якщо ж перша виплата здійснюється наприкінці першого року, то така рента називається безпосередньою безтерміновою рентою (чи безтерміновою рентою постнумерандо).

Її поточна вартість позначається через і дорівнює

= х+ х² +… = = (2.1.2)

Розглянемо тепер такі безтермінові ренти, де сума 1/m виплачується m разів на рік. Якщо платежі здійснюються авансом (перша виплата суми 1/т здійснюється в момент 0), то поточна вартість такої ренти позначається через і дорівнює



= + х^1/m + х^2/m + … = = (2.1.3)

Якщо ж платежі здійснюються з затримкою (перша виплата суми 1/m здійснюється в момент 1/m), то поточна вартість такої ренти позначається через і має вигляд

= х^1/m + х^2/m + …=(= = (2.1.4)

Розглянемо тепер неперервний безтерміновий платіжний потік з постійною інтенсивністю виплат r = 1, що починається в момент 0. Його поточна вартість позначається через і має вигляд

= (2.1.5)

Конкретний тип безтермінових рент зі зростаючими платежами визначається двома параметрами: m (числом платежів у рік) і q (числом зростань у рік). Припускають, що q ділить m. Якщо, наприклад, m = 12 і q = 4, то платежі здійснюються щомісяця, а зростають щокварталу. У загальному випадку платежі такої зростаючої ренти пренумерандо визначаються в такий спосіб

Час	Платіж
0 1/m … 1/q-1/m	1/(mq)
1/q 1/q+1/m … 2/q-1/m	2/(mq)
2/q 2/q+1/m … 3/q-1/m	3/(mq)
3/q 3/q+1/m … 4/q-1/m	4/(mq)
і т.д.

Зокрема, останні m/q платежів k-ro року складають кожен no k/m.

Поточну вартість такого платіжного потоку позначають через (I^(q).

Її можна підрахувати, зображаючи послідовність зростаючих платежів у вигляді суми безтермінових рент із постійними платежами величиною 1/mq, внесеними m раз у рік з початком в моменти 0, 1/q, 2/q, … Таким чином, одержуємо

(I^(q)(1+…) = = (2.1.6)

Відповідна безпосередня рента відрізняється лише тим, що кожний платіж здійснюється на 1/m роки пізніше, отже,

(I^(q) (I^(q) = = (2.1.7)

розглянемо безтермінову ренту з довільними щорічними платежами величиною r₀, r₁, r₂, ... (у моменти 0,1,2,...). Її поточна вартість, що позначається через , є

= r₀+ r₁+r₂+… (2.1.8)

Таку змінну безтермінову ренту можна зобразити у вигляді суми постійних безтермінових рент у такий спосіб

Щорічний платіж	r0	r1-r0	r2-r1	r3-r2	і т.д.
Момент платежу	0	1	2	3

Отже вартість цієї ренти

{r₀+ (r₁-r₀)+r₂-r₁) +…} (2.1.9)



2.2 Ануїтети

На практиці ануїтети зустрічаються частіше, ніж безтермінові ренти. Означення: Ануїтет визначається як послідовність платежів з обмеженим терміномтривалості, який ми позначимо через n.

Розглянемо деякі стандартні типи ануїтетів чи, як їх іноді називають, правильні ануїтети.

Поточна вартість прямого ануїтету з n щорічними виплатами по 1, що починаються в момент 0, позначається через Вона задається формулою

1+ х+ х² +…+ х^n-1 (2.2.1)

Зобразивши цей ануїтет у вигляді різниці двох безтермінових рент (однієї -- з моменту 0, а іншої -- з моменту n), знаходимо, що

- хⁿ = - хⁿ = (2.2.2)

Аналогічно з (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) можна одержати формули

= (2.2.3)

= (2.2.4)

= (2.2.5)

Остаточна чи накопичена вартість ануїтетів також становить інтерес. Вона визначається як накопичена вартість даного платіжного потоку в момент n і звичайно позначається через s. Остаточну вартість отримуємо множенням початкової вартості на коефіцієнт накопичення (1+і)



= (2.2.6)

= (2.2.7)

= (2.2.8)

= (2.2.9)

Легко одержати й інше співвідношення між поточною та накопиченою вартістю постійного ануїтету

= + i (2.2.10)

Приклади

Приклад 1. Вартість довічної ренти, яка забезпечує виплату суми 10 кожні три роки, починаючи з кінця шостого року після придбання ренти, рівна 32.

Використовуючи ту саму процентну ставку і, знайдіть вартість запізнілої довічної ренти, яка забезпечує виплату постійної суми 1 кожні чотири місяці.

Розв'язок:

Ми знаємо, що коефіцієнт дисконтування визначається як х =

Тоді вартість першої ренти рівна

а?=10•(х⁶ + х⁹ + х¹² + …)= 10(х⁶/1-х³).

Використовуючи умову а?=32, для х отримаємо наступне рівняння

10х⁶ + 32х³ - 32 = 0,

звідки

х³ = .

Тепер можемо знайти вартість другої ренти:

= х^1/3 + х^2/3 + х^3/3 +…= = 39,835

Приклад 2. Знайдіть поточну вартість прямого ануїтету з двома щорічними виплатами по 1, що починається в момент 0. Відсоткова ставка і=6%

Розв'язок:

Для визначення вартості даного прямого ануїтету можна використати формулу (2.2.1) або аналогічну (2.2.2)

Маємо:

= (1- хⁿ)/d , де n = 2, d = 1 - х, а х = 1/(1+і).

Підставляючи у формулу отримаємо:

= (1-(1/(1+і))²)/1-1/(1+і) .

Провівши спрощення

= (і+2)/(і+1)=1,14.



Додаток Б

Таблиця середньої очікуваної тривалості життя (2005-2006)

Вік, років	Імовірність не дожити до наступного року	Імовірність дожити до наступного року	Число осіб, які вмруть у наступному році	Число осіб які доживуть до даного року	Число осіб які живуть у даному році	Середня очікувана тривалість життя	Коефіцієнт дожиття
х	qx	px	dx	lx	Lx	ex	Px
0	0,01142	0,98858	1142	100000	99429	62,38	0,99365
1	0,00122	0,99878	121	98858	98798	62,10	0,99904
2	0,00070	0,99930	69	98737	98703	61,17	0,99931
3	0,00067	0,99933	66	98668	98635	60,22	0,99937
…	…	…	…	…	…	…	…
34	0,00649	0,99351	601	92652	92352	31,64	0,99326
35	0,00697	0,99303	642	91051	91730	30,84	0,99272
36	0,00759	0,99241	694	91409	91602	30,05	0,99226
…	…	…	…	…	…	…	…
98	0,44668	0,55332	63	142	111	1,46	0,55856
99	0,42992	0,57008	34	79	62	1,23	0,56452
100	0,40357	0,59643	18	45	35	0,78	0,57054



Список використаних джерел

1. Актуарная математика. /[Н.Бауэрс, Х.Гербер, Д.Джонс, С.Несбит, Дж. Хикман]. - М.: Янус-К,2001.-656 с.

2. Вовчак О.Д. Страхова справа.Підручник/О.Д. Вовчак - К.:Знання,2009.- 425с.

3. Гліненко Л.К., Сухоносов О.Г. Основи моделювання технічних систем.Навч. посібник./Л.К.Гліненко, О.Г.Сухоносов.

Львів:Видавництво «Бескид Біт»,2003.-176с.

4. Гербер Х. Математика страхования жизни. Пер. с англ./Х.Гербер-М.: Мир,1999.-156с.

5. Закон України «Про страхування»

6. Заюков І.В. Дослідження тривалості економічно активного життя населення в аспекті оцінки трудового потенціалу України І.В.Заюков//Вісник Бердянського університету менеджменту і бізнесу. -2010.-№3.-с.80-84.

7. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах.-2-е изд., перераб. и доп./Г.И.Фалин, А.И.Фалин-М.: ФИЗМАТЛИТ,2003.-192с.

8. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику Г.И.Фалин, А.И.Фалин-М.,1994

9. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании./ Г.И.Фалин-М.,1994

10. Збірник задач з актуарної математики/ Упорядник А.Я. Оленко. -К.:ВПЦ «Київський університет», 2005.-67с.

Размещено на Allbest.ru