Доверительные оценки в страховании

19

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра "Электронная коммерция"

Курсовая работа по дисциплине

"Математическая экономика"

"Доверительные оценки в страховании"

Самара 2009

Цели и задачи

В данной курсовой работе я рассмотрела элементы теории полезности, доверительные оценки в страховании, задачи о разорении и их составляющие: вероятность разорения, сложные пуассоновские процессы, неравенство Лундберга и влияние перестрахования на вероятность разорения.

Введение

Считается, что саму идею страхования придумали английские купцы, несущие убытки из-за ушедших в плавание и так и не вернувшихся кораблей. Купцы решили в случаях гибели и пропажи кораблей распределять понесенный ущерб поровну, а не оставлять в беде одного. Для этого производились отчисления в общий фонд - какая-то часть от участвующего в экспедиции имущества. Из этого фонда и оказывалась помощь.

Но все же страхование - это, прежде всего, вид предпринимательской деятельности и невозможен без получения прибыли. Это достигается тем, что не по каждому договору наступает оговоренный случай и производится выплата. В нашей же стране вследствие событий последних лет появилось достаточно много страховых компаний - это может говорить только о том, что страховой бизнес - довольно прибыльное занятие. В условиях конкуренции страховые компании все более расширяют круг страховых рисков - событий, при наступлении которых страховщик выплачивает застрахованному лицу обусловленную сумму.

"Страхование - такой вид необходимой общественно полезной деятельности, при которой граждане и организации заранее страхуют себя от неблагоприятных последствий в сфере их материальных и личных нематериальных благ путем внесения денежных взносов в особый фонд специализированной организации (страховщика), оказывающей страховые услуги, а эта организация при наступлении указанных последствий выплачивает за счет средств этого фонда страхователю или иному лицу обусловленную сумму" (ГК РФ).

Функции страхования

Первая функция - это формирование специализированного страхового фонда денежных средств как платы за риски, которые берут на свою ответственность страховые компании. Этот фонд может формироваться как в обязательном, так и в добровольном порядке. Государство, исходя из экономической и социальной обстановки, регулирует развитие страхового дела в стране.

Функция формирования специализированного страхового фонда реализуется в системе запасных и резервных фондов, обеспечивающих стабильность страхования, гарантию выплат и возмещений. Если в коммерческих банках аккумулирование средств населения с целью, например, денежных накоплений, имеет только сберегательное начало, то страхование через функцию формирования специализированного страхового фонда несет сберегательно-рисковое начало. В моральном плане каждый участник страхового процесса, например при страховании жизни, уверен в получении материального обеспечения на случай несчастного события и при завершении срока действия договора. При имущественном страховании через функцию формирования специализированного страхового фонда не только решается проблема возмещения стоимости пострадавшего имущества в пределах страховых сумм и условий, оговоренных договором страхования, но и создаются условия для материального возмещения части или полной стоимости пострадавшего имущества.

Через функцию формирования специализированного страхового фонда решается проблема инвестиций временно свободных средств в банковские и другие коммерческие структуры, вложения денежных средств в недвижимость, приобретения ценных бумаг и т.д. С развитием рынка в страховании неизменно будет совершенствоваться и расширяться механизм использования временно свободных средств. Значение функции страхования как формирования специальных страховых фондов будет возрастать.

Вторая функция страхования - возмещение ущерба и личное материальное обеспечение граждан. Право на возмещение ущерба в имуществе имеют только физические и юридические лица, которые являются участниками формирования страхового фонда. Возмещение ущерба через указанную функцию осуществляется физическим или юридическим лицам в рамках имеющихся договоров имущественного страхования. Порядок возмещения ущерба определяется страховыми компаниями исходя из условий договоров страхования и регулируется государством (лицензирование страховой деятельности). Посредством этой функции получает реализацию объективного характера экономической необходимости страховой защиты.

Третья функция страхования - предупреждение страхового случая и минимизация ущерба - предполагает широкий комплекс мер, в том числе финансирование мероприятий по недопущению или уменьшению негативных последствий несчастных случаев, стихийных бедствий. Сюда же относится правовое воздействие на страхователя, закрепленное в условиях заключенного договора страхования и ориентированное на его бережное отношение к застрахованному имуществу. Меры страховщика по предупреждению страхового случая и минимизации ущерба носят название превенции. В целях реализации этой функции страховщик образует особый денежный фонд предупредительных мероприятий.

1. Теоретическое содержание

1.1 Элементы теории полезности

Теория полезности - теоретическое направление в экономической науке, развитое представителями австрийской школы в XIX-XX вв., основанное на объективном базисном понятии "полезность", воспринимаемом как удовольствие, удовлетворение, получаемое человеком в результате потребления благ. Основной принцип Теории полезности - закон убывающей предельной полезности, согласно которому приращение полезности, полученное от одной добавленной единицы блага, постепенно убывает.

Традиционная экономическая теория рассматривает индивида как потребителя и работника в экономике, в которой задан перечень производимых продуктов и их характеристики. Пусть общее число товаров и услуг равно n. Обозначим через q_i - объем потребления индивидом i-го товара (для товаров q_i?0, для услуг труда q_i?0) и через q - вектор потребления, компонентами которого являются q_i(i=1,2,…, n). Предполагается, что индивид среди всех возможных векторов потребления q выбирает наиболее предпочтительный для себя. Такая формулировка подразумевает моделирование как множества допустимых вариантов потребления, так и предпочтений.

1.1.1 Множество допустимых вариантов потребления

Чаще всего предполагают, что характеристики товаров совместимы с любым вектором потребления q в множестве Q = П_iR^е_i (где е_i= + для товаров и - для услуг труда), что означает, что объем потребления может быть взаимнооднозначно связан с множеством действительных чисел (положительных или отрицательных). Среди прочего, это означает, что потребительские товары являются бесконечно делимыми. Это предположение может быть названо Евклидовым предположением. Кроме того, общепризнано, что единственным ограничением, лимитирующим возможности потребления, является ограничение по доходу. Если p_i обозначает цену i-го товара, которая предполагается заданной и фиксированной, а r - доход индивида (не включающий дохода, полученного в обмен на услуги труда), то для любого допустимого вектора потребления должно выполняться неравенство:

?_ip_iq_i?r, (1.1)

которое определяет множество S в Rⁿ. Неравенство (1.1) может быть названо предположением об ограничении по доходу. Следовательно, множество допустимых вариантов потребления представляет собой бюджетное множество B:

B = Q?S. (1.2)

1.1.2 Предпочтения

При некоторых различиях между авторами обычно предполагается, что индивидуальные предпочтения обладают некоторым набором свойств, которые хорошо известны всем, начинающим изучать экономику (полнота, транзитивность, монотонность, выпуклость, непрерывность).

Если предпочтения удовлетворяют этим условиям, то существует непрерывное, монотонное, строго вогнутое отображение множества Q в R⁺, которое определяет порядковую (ординалистскую) функцию полезности U(q).

Выпуклость обеспечивает еще одно важное свойство - замещаемость, необходимое для того, чтобы исключить лексикографические функции полезности. Лексикографическими называются функции полезности, в которых различные наборы потребительских благ располагаются, как слова в словаре: все компоненты вектора полезности ранжируются по значимости и расставляются в порядке важности. Предпочтение отдается наборам благ с наивысшим значением первого компонента - словам с первой буквой "А", - среди них преимущество отдается тем, у которых наивысшее значение второго компонента, и т.д.

Замещаемость определяется следующим образом: в случае, если потребление одного из товаров уменьшилось на малую величину, то для любого набора товаров всегда есть возможность найти эквивалентный набор товаров за счет незначительного повышения уровня потребления какого-либо другого товара при сохранении уровня потребления всех остальных товаров.

Имея заданные таким образом порядковые функции полезности, экономисты классической школы исследовали их свойства с помощью психологической интроспекции. Предполагая, что U(q) - дважды дифференцируема, они рассмотрели предельные полезности ?U/?q_i и вторые производные ?²U/?q_i² и исследовали их поведение.

Таким образом, центральная проблема "экономической теории индивида" состоит в нахождении векторов потребления q, максимизирующих U на бюджетном множестве В.

При перечисленных предположениях вектор q является единственным и удовлетворяет следующим (n+1) условиям в случае, если U-дифференцируема:

?_ip_iq_i=r (весь доход используется на потребление), (1.3)

?U/?q_i-лp_i=0, если q_i>0 (потребительские товары), (1.4)

q_i<0 (услуги труда),

?U/?q_i-лp_i?0, если q_i=0. (1.5)

Здесь n+1 неизвестными являются q_i и положительный множитель Лагранжа л.

Теперь мы хотели бы перечислить и обсудить главные предположения (явные и неявные), на которых строится сегодняшняя экономическая теория. Такая попытка поможет нам осознать то обстоятельство, что экономисты забывают о значительном числе предположений, которые включены в их простейшие модели.

1.1.3 Гипотезы теории полезности

Н1. (Н - гипотеза) Один период и отсутствие неопределенности.

Н2. Единственность роли (индивид является потребителем благ или поставщиком труда, все прочие стороны его жизни не имеют никакого значения для рассматриваемой проблемы). Это опасное предположение. Человек - существо целостное, он не может потреблять блага и предлагать свой труд, не будучи членом семьи, избирателем, членом профсоюза, не принимая решений от имени организаций в качестве управляющего, цехового мастера, клерка и т.д.

Н3. Постоянство общего набора и характеристик товаров. Это очень сильная гипотеза, ибо фирмы часто запускают в производство новые продукты и постоянно модифицируют характеристики старых продуктов.

Н4. Евклидово предположение (для любого товара все возможные варианты его потребления могут быть связаны с точками полуоси действительных чисел). Это, очевидно, неверно, так как количества некоторых потребительских товаров (например, автомобилей) могут выражаться лишь несколькими целыми числами. Однако возможно, что данное упрощающее предположение имеет не столь далеко идущие последствия, как это принято считать.

Н5. Существование предпочтений (в отношении по крайней мере некоторых из предлагающихся ему потребительских товаров индивид выражает свои фиксированные предпочтения). Эта гипотеза исключает из рассмотрения целый ряд явлений: существуют индивиды, которые порой испытывают трудности при выборе. Для других же предпочтения зависят от мимолетных изменений настроения.

Н6. Независимость предпочтений (на предпочтения индивида не могут оказывать влияние социальная группа, члены его семьи, друзья, реклама). Подобная концепция функции полезности, "замкнутой" в рамках одной личности, не позволяет анализировать формирование в обществе привычек.

Н7. Эгоизм (индивид выражает предпочтения только в отношении своего потребления). На самом деле, в реальной жизни предпочтения индивида часто зависят от иных характеристик экономики, например, потребления или полезностей других людей (пассажир, едущий в вагоне второго класса, завидует своим попутчикам, едущим первым классом; мать готова пожертвовать своим потреблением ради увеличения потребления своих детей).

Н8. Полнота (индивид способен проранжировать любые два набора товаров). Это предположение - более сильное, нежели предположение H5. Часто индивид не может отдать предпочтение какому-либо набору товаров из тех, которые сильно различаются, либо не дают возможности непосредственного выбора.

Н9. Транзитивность. Хорошо известно, что некоторые акты выбора могут не быть транзитивными, хотя многие из приводимых в качестве иллюстрации этого факта примеров не вполне соответствуют предположению об одном периоде. Нетранзитивность может возникать в результате конфликта между различными измерениями полезности. Примером этого является "эффект Кондорсе" в правилах принятия групповых решений. (Транзитивностью называется свойство системы предпочтений, в соответствии с которым если А предпочитается В, а В предпочитается С, то А предпочитается С.)

Н10. Монотонность (увеличение объема потребления любого товара всегда является желательным). Однако реальностью является насыщение потребностей. Когда достигается уровень насыщения данным товаром, индивид не будет приписывать никакой ценности дальнейшему приросту его потребления. Он даже может испытать уменьшение полезности, если не сможет бесплатно избавиться от ненужного товара.

Н11. Замещаемость. Из свойства выпуклости следует, что линейная комбинация любых двух наборов товаров предпочтительнее по сравнению с менее предпочтительным из них или по сравнению с обоими, если они эквивалентны. Замещаемость означает, что всегда можно найти набор товаров, эквивалентный данному, путем изменения в противоположных направлениях уровней потребления только двух товаров. Однако индивид может рассматривать некоторые товары как приоритетные и учитывать уровни потребления остальных товаров только для того, чтобы проранжировать наборы товаров, эквивалентные с точки зрения уровней потребления приоритетных товаров.

Н12. Непрерывность. Для того, чтобы функция полезности была непрерывной, множество элементов, предпочитаемых элементу x, или тех, которым предпочитается x, должно быть открытым в Q. Можно представить себе ситуации, в которых существование порогов в предпочтениях исключает это условие.

Н13. Совершенная информация о существующих товарах (индивид знает весь список товаров). На самом деле никакой индивид никогда не знает всех существующих товаров. Хорошие хозяйки тратят массу времени в поисках новых продуктов. Модницы проводят часы в лавках модной одежды ради того, чтобы найти платье, которое бы им по-настоящему шло.

Н14. Совершенное осознание возможностей выбора. Это предположение подразумевает, что индивид полностью осведомлен о реальных характеристиках товаров. Он не является жертвой ошибок восприятия, происходящих под влиянием рекламы или недостаточной информации.

Данное предположение следует отличать от предположения Н13, которое касается знания о существовании товаров; от Н5, в соответствии с которым индивид имеет предпочтения в отношении возможностей выбора, и от Н6, которое исключает возможность влияния на предпочтения индивида после того, как его ощущения определились.

Н15. Доход как единственное ограничение. В действительности допустимое множество вариантов потребления определяют и многие другие ограничения: время, способности, правила, установленные центральными или местными органами власти, и т.д. Вы не можете быть доктором, не имея диплома. На автостраде скорость ограничена 70 милями в час.

Н16. Фиксированность дохода и цен. Однако доход зависит от решений, принятых индивидом в других своих ролях (собственник капитала выбирает некоторую фирму в качестве объекта для инвестирования; управляющий получает от своей фирмы пакет акций; рабочий получает некоторую часть оплаты в форме премий за достигнутую производительность труда и т.п.). Цены товаров зависят от их количества (например, в случае, когда, для того чтобы потребить товар, приходится нести некоторые фиксированные расходы).

Н17. Совершенная информация о ценах. Даже при отсутствии неопределенности окружающей среды знание индивида о ценах, предлагаемых производителями, несовершенно. В повседневной жизни опытной домашней хозяйке приходится затрачивать время на то, чтобы сравнивать цены одних и тех же товаров в разных магазинах.

Н18. Совершенство счетных способностей (используя имеющуюся у него информацию, индивид в состоянии немедленно и без затрат определить наиболее предпочтительный набор товаров). В действительности дело обстоит совершенно иначе. Индивид действует методом проб и ошибок. После длительного периода, когда его действия определялись рутиной, волей случая или необходимостью, он знакомится с новым товаром и "принимает" его (подобно ребенку, который до того, как он впервые попробует грибы, думает, что он их не любит, и т.п.). Этот факт может показаться тривиальным в случае обычных потребительских товаров. Однако это намного серьезнее в случае вступления в брак, выбора карьеры, образования для детей, варианта стратегических инвестиций фирмы.

Очевидно, что рассмотренные восемнадцать предположений имеют неодинаковое значение. Однако факт остается фактом: стандартная теория полезности исключает из рассмотрения очень многие важные экономические явления.

Современные достижения в области абстрактной и точной экономической теории в значительной мере усовершенствовали предыдущую теорию, однако в сущности не отразились на справедливости данного утверждения, поскольку они не были нацелены на ослабление предположений 2, 3, 6 и 13-18. Тем не менее, они являются хорошим отправным пунктом для новых исследований.

1.1.4 Функция полезности

Функция полезности - экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основоположным условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага i. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.



Исследование 1.4.1. Предположим, что наш потребитель способен измерить в некоторых условных единицах полезность, или удовлетворение, от потребления определенного количества сахара в неделю. При этом сахар он может употреблять различным образом:

А - добавляя в чай;

В-для выпечки торта или печенья;

С - для приготовления варенья из ягод и фруктов;

D - подслащивания для творога со сметаной.

Результаты его "измерений" сведены в таблицу.

Общая и предельная полезность

Измеримость полезности предполагает, что потребитель может измерить полезность любой дополнительной единицы сахара (в нашем примере - 100 г. в неделю). Полезность, которую потребитель извлекает из дополнительной единицы блага, называют предельной полезностью (MU). В свою очередь сумма предельных полезностей дает общую полезность (TU) некоторого количества сахара. Так, в нашем примере общая полезность 300 г. сахара в неделю, если они полностью растворяются в чае, будет складываться из трех предельных полезностей (24 = 10 + 8 + 6).

Теперь рассмотрим, какие правила положены в основу составления данной таблицы.

Правило 1. Предельная полезность "по вертикали" везде падает. Иначе говоря, как бы ни использовал потребитель сахар, очередная дополнительная порция всегда принесет меньше полезности, чем предыдущая. Таким образом, вторая ложка сахара, брошенная в стакан чая, придаст ему меньше "дополнительного" вкуса, чем первая. Утверждение, что предельная полезность убывает с увеличением общего объема блага, которым располагает потребитель, называют законом убывающей предельной полезности. Кавычки выражают гипотетический характер этого закона, его аксиоматическую сущность. Хотя иногда в качестве доказательства или обоснования этого закона используют психофизиологические свойства человека. Например, дополнительное увеличение освещенности будет тем меньше восприниматься органами зрения, чем больше общая освещенность; способность мышц оценить дополнительную нагрузку тем меньше, чем больше общая нагрузка, и т.д.

Правило 2. Предельная полезность "по горизонтали" также падает. Смысл принятого нами порядка в следующем: потребности, удовлетворяемые человеком при использовании некоторого блага, в данном случае сахара, имеют для него различную значимость и их можно упорядочить по мере ее убывания (от А к D). Таким образом, потребитель переходит от удовлетворения более настоятельных потребностей к удовлетворению менее настоятельных.

Наш следующий шаг заключается в том, чтобы связать общую и предельную полезность с поведением потребителя. Для этого сформулируем цель, к которой стремится рациональный потребитель, или, иными словами, критерий рациональности его поведения: потребитель стремится к достижению максимума общей полезности.

Вернемся теперь к таблице и посмотрим, как должен выбирать потребитель, чтобы получить наибольшую общую полезность. Предположим, что потребитель располагает только 100 г. сахара в неделю. Ясно, что все они будут положены в чай. Допустим, что он получил возможность расходовать еще 200 г. Наибольшее увеличение общей полезности будет при использовании дополнительных 100 г. для подслащивания чая и еще 100 г. для выпечки торта. Общая полезность 300 г. в неделю будет равна 26 единицам (10 + 8 + 8). Следующие 300 г. можно с одинаковым успехом использовать для целей А, В и С. При этом общая полезность 600 г. будет равна 44 (26 + 6 + 6 + 6). Как видим, предельная полезность играет роль путеводителя, указывающего наилучший "маршрут" использования блага: дополнительная порция сахара используется там, где она приносит наибольшую предельную полезность.

Исследование 1.4.2. В данном разделе наша задача - провести связь между предельной полезностью и индивидуальным спросом.

В нашем исследовании потребитель измерял полезность в условных единицах. В обыденной жизни мы в конечном счете оцениваем полезность в денежных единицах. В этом случае мы будем считать общей, или предельной, полезностью блага максимальную сумму денег, которую мы готовы отдать соответственно за некоторое количество блага или его дополнительную единицу. Таким образом, если мы согласны отдать за дополнительные 100 г. сахара 6 руб., то эта сумма и будет выражать предельную полезность. В таблице можно заменить условные единицы денежными, если принять, что 1 усл. ед. = 1 руб.

Выражение предельной полезности в денежных единицах дает возможность потребителю сопоставить ее с ценой товара. Предположим, что цена сахара равна 10 руб. за 100 г. Тогда потребитель ограничится покупкой 100 г., поскольку при покупке еще 100 г. он уже получит субъективный "убыток" в 2 руб., в то время как потребление первой порции не принесет ни "убытка", ни "прибыли".

Полагая последовательно цену равной 8, 6, 4 и 2 руб., можно определить, какое максимальное количество согласится купить наш потребитель: Но это и есть не что иное, как функция спроса от цены, представленная в табличной форме. По этим данным построим кривую спроса потребителя.

Исследование 1.4.3. Посмотрим теперь более внимательно на поведение покупателя. Какими правилами он руководствуется при покупке того или иного товара? Какие цели он при этом ставит? Сколько единиц данного товара он приобретет при определенных условиях?

Теория субъективной полезности опирается на следующие основные предположения

1. Потребитель стремится получить максимальное субъективное удовлетворение, или полезность, используя свой ограниченный доход.

2. Полезность, которую приносит каждая последующая единица данного товара (ее называют предельной полезностью), меньше полезности предыдущей единицы товара. Рассмотрим следующий пример (табл. 1).

TU - total utility (общая полезность);

MU - marginal utility (предельная возможность)

Таблица 1. Общая и предельная полезность абрикосов для отдельного потребителя

С увеличением количества абрикосов предельная полезность в нашем примере убывает. Каждый дополнительный абрикос приносит все меньшее дополнительное удовлетворение, или, иначе говоря, все меньше увеличивает общую полезность.

Обозначим общую полезность TU, предельную полезность MU, а общее количество Q и построим по данным табл. 1 соответствующие графики.

Таблица 2. Полезность, выраженная в денежных единицах (руб.)

Представим теперь данные табл. 2 графически

Попробуем теперь определить объем спроса нашего потребителя на абрикосы при различных значениях цены абрикосов. Предположим, что доходы потребителя, его вкусы и предпочтения, цены других товаров остаются без изменения.

Допустим, цена одного абрикоса равна 5 руб. Сколько абрикосов купит покупатель по этой цене? Вероятно, он будет сопоставлять полезность денег, которую он при этом теряет, с полезностью приобретаемого товара. Покупая один абрикос, покупатель теряет полезность, равную 5 руб., и приобретает полезность, также равную 5 руб. Таким образом, от этого обмена он не терпит убытка. Купит ли потребитель второй абрикос при данной цене? Полезность денег, которую он теряет, опять-таки равна 5 руб., но приобретает он только 4 руб. полезности. Он теряет полезность величиной 1 руб. Следовательно, он откажется от покупки второго абрикоса.

Сколько абрикосов купит наш потребитель при цене 4 руб.? Очевидно, два. Первый абрикос принесет ему увеличение общей полезности на 1 руб. (5 руб. - приобретает 4 руб. - теряет), второй абрикос дает эквивалентный обмен полезностей, а третий уже приносит "убыток". Предполагая последовательно цену абрикоса равной 3, 2, 1 руб., мы получим следующие результаты.

Используя эти данные, можно построить линию спроса потребителя.

Сравнив предыдущие рисунки можно сделать следующие выводы.

Линия предельной полезности является также линией спроса, если полезность выражается в денежных единицах и полезность денежной единицы остается постоянной. Таким образом, теория субъективной полезности выводит закон убывания объема спроса с ростом цены из аксиомы снижения предельной полезности. Объяснение характера спроса построено в данном случае на допущении возможности количественного измерения потребителем полезности благ. Такой подход получил название кардиналистского (от англ. cardinal - количественный).

Ординалистский подход (от англ. ordinar - порядковый), который подробнее будет изложен позднее, требует только возможности установления между различными благами отношений предпочтения или безразличия (без измерения полезности). Этот подход можно также назвать относительным.

Итак, мы можем сделать следующие выводы.

1. Исходным пунктом исследования спроса является изучение поведения отдельного потребителя.

2. В основе поведения потребителя лежит представление о полезности блага.

3. Уменьшение предельной полезности дополнительной единицы блага лежит в основе построения линии спроса.

1.1.5 Основные виды функции полезности

1) Функция полезности для совершенных товарозаменителей:

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимозаменяемым товарам, т.е. ситуации, когда уменьшение потребление, какого либо вида товара может быть компенсировано потреблением дополнительных единиц любого другого товара. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых один товар может быть заменен другим.

Исследование 1.5.1. Рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:

х1 - количество карандашей синего цвета,

х2 - количество карандашей красного цвета.

Очевидно, что эти товары являются полностью взаимозаменяемыми. Функция полезности потребителя u(x) = 2x₁ + 3x₂ показывает, что в наборе товаров каждые 2 единицы синих карандашей могут быть заменены 3 единицами красных (и наоборот) без изменения полезности набора для данного потребителя.

2) Функция полезности с полным дополнением благ (функция полезности Леонтьева):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя соответствующие полностью взаимодополняемым товарам, т.е. ситуации, когда потребителю важно приобретать товары в определенной пропорции. Коэффициенты представляют собой пропорции, в которых потребителю важно приобретать товары.

Исследование 1.5.2. Рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:

х1 - количество левых ботинок.

х2 - количество правых ботинок.

Очевидно, что полезность набора товара для потребителя будет изменяться лишь в том случае, когда количество левых ботинок будет соответствовать количеству правых. Функция полезности потребителя в данном случае имеет вид .

3) Неоклассическая функция полезности (функция полезности Кобба-Дугласа):

Данное семейство функций полезности описывает предпочтения потребителя, обладающие свойством выпуклости, т.е. ситуацию, когда потребителю важно включать в набор какое-то количество единиц каждого товара. При этом уменьшение потребления какого-либо товара может быть скомпенсировано за счет увеличения потребления других товаров. Здесь величины представляют весовые коэффициенты, описывающие предпочтения потребителя между различными видами товаров, А представляет собой масштабирующий множитель.

Исследование 1.5.3. Рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:

х1 - количество минут мобильной связи,

х2 - количество мегабайт потребляемого трафика сети Интернет.

Очевидно, что потребителю необходимо как наличие мобильной связи, так и наличие доступа в Интернет. Функция полезности потребителя в данном случае соответствует ситуации, когда эти товары одинаково важны для потребителя.

1.2 Понятие о доверительных оценках в страховании

В страховой компании часто возникает ситуация, при которой конкретный клиент в течение длительного времени периодически продлевает свой страховой договор (например, страхование дома). Компания накапливает информацию о нем за это время. Поэтому к данному клиенту может быть применен как подход, общий для всех клиентов из некоторой однородной группы, так и индивидуальный, основанный на его специфике. Следовательно, у компании есть два источника информации об этом клиенте.

Проблема состоит в том, как, используя эти два источника, получить сведения, не противоречащие, а дополняющие друг друга, и за счет этого уточнить представления об исследуемом объекте, а, следовательно, и цену его индивидуального контракта.

Исследование 2.1. Несколько лиц заключили определенные договоры на год, причем страховая компания впервые стала работать с этими рисками. Поэтому она устанавливает взносы на основе работы с подобными рисками (отдавая себе отчет в условности этого подхода). Затем прошло несколько лет работы по новым рискам (и новым договорам, тарифам), у компании появилась информация, которой ранее не было и которую теперь можно использовать.

Некий страхователь хочет продлить свой договор с компанией еще на один год. На каких условиях будет продлен договор?

Решение. Пусть х - среднее годичных страховых выплат (общая сумма всех произведенных выплат, деленная на число лет работы с этим риском). При определении размера страхового взноса на предстоящей год возможны следующие подходы:

1) страховщик игнорирует полученные ранее данные о новом риске и использует только данные из большего объема данных о подобных рисках, то есть оставляет прежний взнос m;

2) страховщик игнорирует подобные риски (так как у него уже накоплено достаточно информации о новом риске), поэтому взнос определяется только на основе нового риска и назначается х.

Очевидно, что каждая из этих двух позиций имеет свои недостатки. С одной стороны, нельзя игнорировать новый риск, характеристики которого могут отличаться от предшествующих аналогов. А с другой - как быть, если x = 0? И в какой момент следует переходить от расчетов по первой методике к расчетам по второй? Очевидно, необходим компромисс между двумя крайними позициями. Это и достигается с помощью доверительного взноса, который определяется, как взвешенная сумма взносов, рассчитанных по этим двум подходам, а веса определяются с помощью коэффициента доверия (к новым данным!) Z:

Z х + (1-Z)m, 0 < Z < 1.

Эта формула линейна от соответствующих оценок, коэффициент

доверия указывает на оценку страховщиком надежности прямых данных о новом риске, он возрастает с ростом числа наблюдений. С учетом возможности регулярного перерасчета формула обладает всеми требуемыми свойствами.

Исследование 2.2. Пусть известна цена подобного риска m = 25. Выплаты по новому риску составили по годам: 30, 26, 25, 35, 29, 35, 37. Страховщик использует формулу доверительного взноса:

V = Z х + (1 - Z) m, 0 < Z < 1.

При этом он считает, что в начале (при отсутствии информации о новом риске) Z = 0, а через 10 лет у него будет достаточно данных, чтобы опираться только на новую информацию Z = 1. Предполагается, что коэффициент Z возрастает равномерно

Решение. Средние выплаты по новому риску за предшествующие годы равны:

30/1 = 30

(30 + 26)/2 = 28

(30 + 26 + 25)/3 = 27

(30 + 26 + 25 + 35)/4 = 29

(30 + 26 + 25 + 35 + 29)/5 = 29

(30 + 26 + 25 + 35 + 29 + 35)/6 = 30

(30 + 26 + 25 + 35 + 29 + 35 + 37)/7 = 31

Тогда перед первым годом взнос рассчитывается, опираясь на m=25, а затем Z равен: 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7.

Следовательно, взнос V (по годам) будет принимать значения:

0.1*30 + 0.9*25 = 3 + 22.5 = 25.5

0.2*28 + 0.8*25 = 5.6 + 20 = 25.6

0.3*27 + 0.7*25 = 8.1 + 17.5 = 25.6

0.4*29 + 0.6*25 = 11.6 + 15 = 26.6

0.5*29 + 0.5*25 = 14.5 + 12.5 = 27

0.6*30 + 0.4*25 = 18 + 10 = 28

0.7*31 + 0.3*25 = 21.7 + 7.5 = 29.2

Новый риск несколько больше прежнего, поэтому взнос постепенно повышается (и темпы роста увеличиваются). В данном исследовании страховщик "недобирает" взносы (выплаты по новому риску не компенсируются). Но можно предположить, что рисковая надбавка несколько уменьшает этот негативный эффект. Возможен и подход, основанный на идеях Байеса. Ранее на их основе были получены значения оценок для нового клиента: $л=?л*f(л)*dл и указана корректировка представлений по мере поступления новой информации:

f (л/данные) = f(л)*f (данные/л)/f(данные).

1.3 Задача о разорении

Исследование 3.1. Компания должна получить за год суммарный страховой взнос 600 е.с.с. и рассчитывает, что взносы будут поступать равномерно в течение года, (так и бывает на практике), поэтому к определенному дню накопленная сумма взносов будет пропорциональна отрезку времени, прошедшему с начала года. Требование о выплате возмещения может поступить в любой момент и размер требования - случаен (известно лишь его распределение).

Например, компания надеется получить к 60-му дню года (2 марта) взносы в объеме: 600Ч(60/365) = 98,6 = 99 е.с.с. Тогда может возникнуть следующая ситуация (см. табл.):

К концу года все благополучно: суммарный размер выплат (534) меньше собранных взносов. Однако, к 96-му дню ситуация недопустимая: собрано 158, а необходимо выплатить 200. Аналогично и к 202-му дню: собрано 332, а выплатить придется 412.

Очевидно, что если у компании в начале года не будет капитала, то она окажется несостоятельной. В данном примере достаточно начального резерва 80 (изменение цены денег не учитывается). Активы на момент времени t = исходные активы + взносы на момент времени t - выплаты на момент времени t.

Итак, принцип определения исходных активов (начального капитала, резерва), в том, что на первом этапе, полагая их равными нулю, строим график изменения активов во времени. Эта ломаная линия может опуститься ниже горизонтальной оси (причем неоднократно). На втором этапе находим глобальный минимум. Теперь необходимо поднять ломаную линию настолько, чтобы она вся находилась над горизонтальной осью. То есть резерв по абсолютной величине должен быть больше найденного глобального минимума. (Рис. 3.1).



Рис. 3.1.

Актуария интересует вероятность разорения и, в частности, зависимость этой вероятности от резерва (начальных активов) и от рисковой надбавки. Очевидно, эта зависимость есть убывающая функция. В простейшем случае предположим, что требования оплачиваются немедленно, процентная ставка равна нулю (цена денег постоянна), издержки страховщика игнорируются.

Пусть для каждого t>0 есть случайная величина N(t) - число требований до момента t. Тогда семейство случайных величин (N(t)) t?0 - пример случайного процесса.

Пусть Xi - размер i-й страховой выплаты, Z(t) - общий размер страховых выплат до момента t. Тогда (Z(t)) t?0 - случайный процесс, описывающий общий размер выплат.

Z(t) = У Xi, i = 1,…, N(t).

Для единицы времени имеем: N(1) и Z(1), которые соответствуют N и Z в коллективных моделях.

Поступающие взносы исследуются на уровне портфеля; при этом предполагается, что взносы поступают непрерывно и с фиксированной скоростью `c' Активы обозначим U. Тогда:

U(t) = U + cЧt - S(t)

представляет случайный процесс изменения активов.

1.3.1 Вероятность разорения

С актуарных позиций разорение означает падение активов до нуля. Необходимо минимизировать вероятность разорения, а если это не получается, то не допустить выход этой вероятности выше некоторого критического уровня.

ф(U) = Pr (U(t) < 0,

при некотором t, 0<t<?) - вероятность окончательного разорения при некотором начальном резерве U. (Т.е. в момент t резерв стал отрицательным.)

Чтобы задача была корректной, необходимо предположить, что разорение происходит до некоторого фиксированного (конечного) момента t, (иначе при бесконечном t вероятность разорения равна 1 для любого U).

Логично считать, что при малом t:

ф (U, t) = ф(U)

Если на (0, t) произошли неблагоприятные для страховщика события (выплаты превысили поступления), то вероятность разорения возросла. На практике контроль активов осуществляется не непрерывно, а в дискретные моменты времени (например, раз в квартал).

1.3.2 Сложные Пуассоновские процессы

Предположим, что случайные величины Xi - независимы и одинаково распределены; что они не зависят от N(t) при любом неотрицательном t; что случайный процесс (N(t)) - пуассоновский с параметром л.

Pr (N(t) = k) = е-л*t * (л * t) k / k!, k = 0, 1, 2, 3,…

Ранее показано, что случайная величина S(t) при каждом t имеет сложное распределение Пуассона с параметром лЧt. Тогда процесс (S(t)) - сложный пуассоновский процесс с параметром л. Пусть P(x) - пуассоновская функция распределения, общая для всех Xi. Размеры требований - положительны, поэтому P(0) = 0. За единицу времени собранные взносы должны превосходить выплаты: c > л Ч M(Xi). Иначе (в терминах надбавки): c = (1 +И) Ч л Ч M(Xi).

1.3.3 Неравенство Лундберга

Если начальные активы не слишком малы, то существует достаточно простая оценка верхней границы вероятности разорения (причем аппроксимация - очень хорошая):

ф(U) < e - R*U,

где: R - поправочный коэффициент, зависящий только от функции распределения страховых выплат P(x) и от надбавки И. Это неравенство очень наглядно: при возрастании начальных активов U вероятность разорения существенно уменьшается, (как и с ростом R). Необходимо знать величину R. Для этого составляется уравнение:

Mx(R) = 1 + (1 +И) Ч M(Xi) Ч R

где: Mx(t) - производящая функция моментов распределения страховых выплат;

И - надбавка безопасности; M(Xi) - среднее распределения страховых выплат.

R - единственный положительный корень этого уравнения. Как правило, уравнение решается численно, но в одном важном частном случае его можно решить точно.

Исследование 3.3.1. Выплаты распределены экспоненциально:

P(x) = 1 - е-aЧx, x > 0.

Тогда производящая функция моментов: M(t) = a/(a - t), среднее 1/a, поэтому уравнение примет вид:

a/(a - R) = 1 + (1 +И) Ч R/a

Так как R > 0, то

R = a Ч И/(1 + И) = a - a/(1 + И)

При численном решении этого уравнения полезной является нижняя граница R.

1 + (1 + И) Ч M(Xi) Ч R = M(R) = ? exp (R Ч x) Ч p(x) dx >

> ?(1 + R Ч x + 0,5 Ч (R Ч x)²) Ч p(x) Ч dx =

=1 + R Ч M(Xi) + 0,5 Ч R² Ч M(Xi²)

т.е. 1 + R Ч M(Xi) + И Ч R Ч M(Xi) > 1 + R Ч M(Xi) + 0,5 Ч R² Ч M(xi²),

тогда: R < 2 Ч И Ч M(Xi)/M((Xi) 2).

Замечание. R является возрастающей функцией от надбавки И, (возрастание надбавки уменьшает вероятность разорения). Возрастание R снижает верхнюю границу ф(U).

На приведенном ниже рисунке показано, что поправочный коэффициент возрастает с ростом надбавки и что в случае экспоненциального распределения выплат этот коэффициент меньше, чем при постоянном распределении выплат.



Для экспоненциального распределения неравенство Лундберга дает очень хорошее приближение к точному значению вероятности разорения, причем с ростом начальных активов точность повышается.

Можно показать, что неравенство (граница) не зависит от единицы измерения денег, что вероятность ф(U) не зависит от л. ф(U) определяется на бесконечном интервале времени, а параметр л проявляет себя в конечный момент времени, когда происходит разорение; но параметр не влияет на вероятность разорения).

Для иллюстрации рассмотрим два риска. В первом общий размер выплат распределен по сложному пуассоновскому закону с л = 1, а выплаты имеют экспоненциальное распределение со средним 10. С учетом надбавки взнос равен 1 Ч 10 Ч (1 + И).

Второй риск отличается лишь параметром л = 0,5 и для него взнос вдвое меньше: 0,5 Ч 10 Ч (1 + И).

При исследовании процесса на бесконечном интервале времени можно первый риск оставить без изменения, а для второго ввести новую единицу времени `два года'. Тогда второй риск на этом промежутке времени будет иметь те же характеристики, что и первый на традиционном (1 год). Поэтому на бесконечном интервале оба эти риска имеют одинаковые вероятности разорения.

1.3.4 Влияние перестрахования на вероятность разорения

Перестрахование является необходимым условием обеспечения финансовой устойчивости страховых операций и нормальной деятельности любого страхового общества. Известно, что страхование базируется на теории вероятности, и законе больших чисел. Согласно этому закону совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при некоторых общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Случайность проявляется как закономерность. Перестрахование является системой экономических отношений, в процессе которых страховщик, принимая на страхование риски, часть ответственности по ним передает на согласованных условиях другим страховщикам с целью создания сбалансированного портфеля договоров страхований, обеспечения финансовой устойчивости и рентабельности страховых операций. Перестрахованием достигается не только защита страхового портфеля от влияния на него серии крупных страховых случаев или даже одного катастрофического случая, но и то, что оплата сумм страхового возмещения по таким случаям не ложится тяжелым бременем на одно страховое общество, а осуществляется всеми участниками коллективно.

Страховщик, принявший на страхование риск и передавший его полностью или частично в перестрахование другому страховщику, именуется перестрахователем или цедентом. Страховщик, принявший в перестрахование риски, именуется перестраховщиком. Содействие в передаче риска в перестрахование часто оказывает перестраховочный брокер. Приняв в перестрахование риск, перестраховщик может частично передать третьему страховщику. Такую операцию называют ретроцессией, а перестраховщика, передающего риск в ретроцессию - ретроцессионером.

При рассмотрении вопроса о перестраховании каждая страховая компания исходит из того, что оно должно быть экономически эффективным с точки зрения достижения цели, а также учитывать стоимость перестрахования. Под стоимость перестрахования следует понимать не только причитающуюся перестраховщику по его доле премию, но и те расходы, которые компания будет вести по ведению дела в связи с передачей рисков в перестрахование. Исходя, из сказанного, следует сделать вывод, что правильное определение размера перестрахования имеет важное значение для каждой страховой компании. В связи с этим определяющим фактором является собственное удержание цедента, представляющее собой экономически обоснованный уровень суммы, в пределах которой страховая компания оставляет на своей ответственности определенную долю страхуемых рисков и передавая в перестрахование суммы, превышающие этот уровень (эксцедентная форма).

Перестрахование может быть только следствием страхования, но начало ответственности страховщика и перестраховщика не обязательно должны совпадать по времени. Начало ответственности перестраховщика совпадает с началом действия договора. Однако ответственность перестраховщика распространяется только на договоры страхования, заключенные после начала действия перестраховочного договора, но и на все действующие договоры страхования, заключенные до начала вступления в силу перестраховочного договора, премия по которым уже получена страховщиком. Сумма премии, причитающаяся в таких случаях перестраховщику, должна быть рассчитана пропорционально времени и сумме принятой им на себя ответственности.

Каждая страховая организация стремится к созданию устойчивого, стабилизированного страхового портфеля. То есть к созданию такой совокупности принятых страхований, которая состояла бы из возможно большего количества страховых договоров, но с невысокой степенью ответственности по каждому принятому риску. Эта степень должна соответствовать финансовым возможностям страховой организации, чтобы при наступлении страхового случая или ряда случаев выплата страхового возмещения по убыткам не отражалась на ее финансовом положении.

Строго говоря, без системы перестрахования не мог бы нормально функционировать и сам институт страхования. В современном мире стоимостные выражения объектов растут с невиданной быстротой. Такие риски, как заводы-гиганты, огромные танкеры и лайнеры, космические спутники, другие дорогостоящие объекты, практически не может взять полностью на свою ответственность ни одна страховая компания, т. к. риск полной гибели слишком велик.

Правильное, экономически обоснованное определение доли, передаваемой в перестраховании имеет чрезвычайно важное значение для каждой страховой компании. Размер передач зависит от определяемого страховой компанией собственного удержания - это эксцедентная форма перестрахования, но можно определять долю (квоту) от каждого принятого риска.

Теперь рассмотрим общую схему принятия факультативного риска. Решив передать риск или часть его в перестрахование, передающая компания или цедент - направляет возможным перестраховщикам письменное предложение, с указанием все необходимой информации по риску. В случае согласия на перестрахование перестраховщики проставляют на предложении долю или сумму, какую каждый из них готов принять и ставят свою подпись и дату. Последняя стадия в осуществлении факультативного перестрахования - выпуск перестраховочного полиса, который является официальным юридическим документом, определяющим права и обязанности сторон.

При изучении перестрахования отмечалось, что для пропорционального перестрахования вопрос сводится к замене переменных, поэтому принципиальный интерес представляет эксцендентное перестрахование. По тем же соображениям и в этом разделе нас будет интересовать именно такой договор. Сначала обсудим ограничения на уровень собственного удержания M. Совокупный страховой взнос, собранный страховщиком (до перестрахования) за единицу времени, составил (1+И) Ч л. Взносы, собранные перестраховщиком за единицу времени (после перестрахования), равны:

с? = (1 + И) Ч л Ч M(Xi) - (1 + h) Ч л Ч M(Z)

Для страховщика его нетто-взнос (собранные суммы без перестраховочных платежей) должен превышать ожидаемые страховые выплаты, то есть:

(1 + И) Ч M(Xi) - (1 + h) Ч M(Z) > M(Y)

Ранее показано: M(Y) + M(Z) = M (Y + Z) = M(X), поэтому:

И Ч M(X) > h Ч M(Z)

Логично предположить, что И< h, иначе страховщик "уступает" весь риск перестраховщику, а прибыль оставляет себе.

Если И = h, то M(X) > M(Z), что справедливо при любом уровне удержания M. Стороны делят между собой риск.

Если И < h, то из условия M(X) > M(Z) возникает ограничение на M. Разница между h и И дает страховщику оценку того, какая часть риска может быть передана перестраховщику. Существует нижний предел M.

Исследование 3.4.1. Выплаты страховщика распределены экспоненциально со средним 1. Надбавки безопасности страховщика - И и перестраховщика - h, (h > И); уровень удержания M. Проанализировать целесообразность перестрахования.

Решение. Математическое ожидание выплат перестраховщика:

так как И Ч M(X) > h Ч M(Z), то

И > h Ч exp(-M), тогда M > ln (h/И).