Доверительные оценки в страховании

Например, И = 0,15, h = 0,3. Тогда M > ln 2 = 0,693. То есть минимальное значение M равно 0,693.

Итак, установлен предел, показывающий, насколько большой риск можно передать перестраховщику. Но это не означает, что определена оптимальная часть передаваемого риска. h > И, перестрахование уменьшает прибыль страховщика. Определяется компромисс между ожидаемыми прибылями и безопасностью. Перестрахование повышает безопасность, уменьшая вероятность разорения или увеличивая поправочный коэффициент.

В частности, для рассмотренного выше исследования можно показать

зависимость вероятности выживания от M (например, графически) и найти значение M*, при котором эта вероятность достигает максимума (на практике эта задача решается численно).

Если рассмотреть окрестность экстремума, то видно, что отклоняться от M* влево нецелесообразно. Передается слишком много риска по слишком высокой цене, что повышает вероятность разорения.

При отклонении вправо несколько повышается вероятность разорения при повышении ожидаемой прибыли.

На практике часто решают аналогичную задачу: минимизируют вероятность разорения. Соответственно меняется график.

Таким образом, выбор стратегии при перестраховании зависит от готовности руководства компании к риску ради возможной прибыли.

Следовательно, актуарий должен в общем случае подготовить несколько приемлемых вариантов и четко сформулировать их сравнительные достоинства и недостатки (и возможные последствия принятия различных решений).

2. Практическая реализация теоретического содержания

2.1 Задача о разорении 1

В течение года произведено 6 выплат (по графику)

В предыдущие 5 лет число требований k составило: 4, 3, 6, 2, 5.

Среднее значение страховой выплаты составляло 120 е.с.с.

Надбавка равна 25%. Найти совокупный страховой взнос за год.

Построить график процесса изменения активов.

Решение

Искомый взнос равен:

M(Z) Ч (1 +И)Чл = 120 Ч 1,25 Ч (4 + 3 + 6 + 2 + 5)/5 = 600

Тогда на 47-й день поступит взносов: 600Ч (47/365) = 77 и т.д.

Достроим таблицу

Нетто-взнос: 120*1.25*(4+3+6+2+5)/5 = 600.

Потребность в резерве по дням: 97 - 77 = 20; 201 - 163 = 38; 338 - 327 = 31.

Далее сумма взносов больше общего размера выплат, поэтому обращаться к резерву не приходится. Требуемый резерв равен: 20/77 = 26%, 38/163 = 23.3%, 31/327 = 9.5%.

Необходимость в начальном резерве в 26% от собираемых (ожидаемых) взносов косвенно объясняет размер относительной надбавки в 25%. Результат можно объяснить и иначе. Заметим, что если найти MAX (сумма выплат / сумма взносов) (97/77 = 1,259; 201/163 = 1,233; и т.д.), то становится понятным выбор надбавки 25%.

Следующий подход основан на "разбросе" при оценке резерва.

Так как M(k) = 4, D(k) = 2, D =1,41, K= D /M = 1,41/4 = 0,35 =35%. То при и = 25% (которой недостаточно) видна потребность в резерве: 20, 38, 31.

Можно попытаться рассуждать несколько иначе и проанализировать разброс числа требований.

k = 4; D(k) = 1/(n-1)*У=ni ¹

(ki - k)² = (0 + 1 + 4 + 4 + 1)/4 = 2.5;

2.50.5 = 1.58; СКО/МО = 1.58/4 = 0.4 = 40%.

И здесь относительная надбавка будет исчисляться, исходя из найденного коэффициента вариации в 40%.

Показано, что использование недостаточно обоснованных "эвристических" подходов существенно снижает как точность выводов, так и их надежность. Однако на практике они иногда используются.

2.2 Задача о разорении 2

Петя с папой играют в следующую игру. Петя бросает монету, предварительно сообщив папе, какая сторона, по его мнению, выпадет: <герб> или <решётка>. Если Петя угадал, то папа платит Пете 1 руб., в противном случае Петя платит папе 1 руб. Начальный капитал Пети составляет х = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, пока Петя не наберёт заранее определённую сумму s, либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал x. Найти вероятность того, что Петя разорится, так и не набрав желаемую сумму, если эта сумма s составляет: а) 110 руб.; б) 1 000 руб.

Решение. Пусть р(х) - вероятность того, что, имея х руб., Петя всё-таки разорится, событие А состоит в Петином разорении, гипотеза Н₁ - в том, что Петя выиграл на первом шаге игры, гипотеза Н₂ - в том, что Петя проиграл на первом шаге игры. При этом, очевидно, вероятность разорения при условии выигрыша на первом шаге составит , а вероятность разорения при условии проигрыша на первом шаге составит . Согласно классическому определению вероятности . По формуле полной вероятности

При этом, очевидно, . Решением уравнения является линейная функция , коэффициенты которой С₁ и С₂ найдём из условий и . Таким образом, .

В случае а) х = 100, s = 110, поэтому , а в случае б) х = 100, s = 1000 поэтому р(100) = 0,9.

2.3 Задача на тему влияния перестрахования на вероятность разорения

Определить размер годичных брутто-ставки и страхового платежа по страхованию на случай смерти по следующим данным:

Возраст страхователя - 18 лет,

Срок страхования - 5 лет,

Страховая сумма - 50,8 т.р.

Ставка дохода - 19%

Расходы на ведение дела - 1,84 руб. на 100 руб. страховой суммы

На проведение предупредительных мероприятий - 6% брутто-ставки

Прибыль страховой компании составляет - 16% брутто-ставки.

Решение

По данным таблицы смертности: Х (лет) х+1 (число умирающих при переходе от возраста х к х+1)

При страховой сумме 50,8 т.р. страховщику следует выплатить на первом году страхования:

93*50,8=4724,4

106*50,8=5384,8

119*50,8=6045,2

131*50,8=6654,8

143*50,8=7264,4

Определим современную стоимость предстоящих в течение 5 лет выплат по случаям смерти, применив соответствующие дисконтируемые множители: (4724,4*0,971) + (5384,8*0,943) + (6045,2*0,915) + (6654,8*0,888) + (7264,4*0,863) = 4587,04 + 5077,87 + 5531,36 + 5909,46 + 6269,18 = 27374,91.

Находим единовременную нетто-ставку по страхованию на случай смерти на страховую сумму 50,8 т.р. для лица в возрасте 18 лет при сроке страхования 5 лет: 27374,91:592=46,24.

Находим размер годичных брутто-ставки:

Тбс = Тнс + Рв.100

100-Н

Н = Пм+Пп

Н = 6%+16% = 22%

Тбс = 46,24+1,84.100

100%-22%

Тбс = 61,64 руб.

Вычислим страховой платеж по страхованию на случай смерти:

Годичная брутто-ставка = 61,64 руб.

Ставка дохода - 19%

Срок страхования - 5 лет

61,64*1,19*1,19*1,19*1,19*1,19=147,09 - 61,64= 85,45 руб.

Заключение

Человеку всегда было присуще желание как-то обезопасить себя от вредоносных последствий жизни или хотя бы попытаться свести их к минимуму. Для одних это связано с опасной работой, где высока доля риска. Многие граждане в преддверии старости и связанного с ней снижения трудоспособности хотели бы обеспечить себе хотя бы прожиточный минимум. Предприниматели опасаются, что при изменении рыночной конъюнктуры могут не оправдаться расчеты на получение прибыли. Любой человек может оказаться жертвой ограбления или катастрофы, что не так и редко в наши дни, внезапно заболеть - да мало ли какие неприятности могут произойти в жизни. Во всех указанных случаях люди могут прибегнуть к страхованию, при котором специализированные организации (страховщики) собирают взносы с граждан и организаций, заключивших с ними договоры страхования. За счет таких взносов у страховщика образуется особый страховой фонд, из которого при наступлении определенного, заранее оговоренного в договоре, события (смерти, утраты трудоспособности, уничтожения имущества, неполучения прибыли и т.д.) страховщик уплачивает застрахованному (или иному, указанному в договоре) физическому или юридическому лицу обусловленную сумму, как правило превышающую размер вносимых взносов. Это, конечно, не предотвратит наступление неблагоприятного случая, но поможет преодолеть его.

Библиография

1. Лезурн Ж. "Основные элементы теории полезности" - Thesis №3, 1993 г.

2. Гвозденко А.А. "Основы страхования: Учебник" - Москва, "Финансы и статистика", 1998 г.

3. Шахов В.В. "Страхование: Учебник для вузов" - Москва, "Страховой полис", "Юнити", 1997 г.

4. Корнилов И.А. "Элементы страховой математики. / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права" - Москва, 2003 г.

5. Шахов В.В. "Введение в страхование", издание 2-ое - Москва, "Финансы и статистика", 1999 г.

6. "Финансово-кредитный словарь" - Москва, "Финансы и статистика", 1994 г.