Аналіз інвестиційних проектів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналіз інвестиційних проектів

Вступ

Маючи на увазі будь-яке підприємство, спочатку подумай, чи точно воно тобі вдасться. (К. Прутков)

Оптимізація портфелю інвестицій при обмеженому бюджеті

Цілочисельна оптимізація

В результаті вивчення теми студенти повинні засвоїти:

· методи аналізу інвестиційних проектів;

· критерії ефективності довготермінових інвестицій;

· аналіз чутливості критеріїв ефективності;

· формування портфеля проектів при обмеженому бюджеті;

· моделювання розрахунків з використанням функцій ППП Excel;

· методи оптимізації в інвестиційному аналізі;

· використання інструменту «Поиск решения»

Розглянута у попередній темі концепція часової цінності грошей, а також пов'язані із нею методи обчислення характеристик грошових потоків служать тим фундаментом, а якому базуються сучасні методики аналізу ефективності довготермінових інвестиційних проектів.

Управління інвестиційними процесами, пов'язаними із вкладаннями грошових коштів у довготермінові матеріальні і фінансові активи, представляє собою найважливіший і найскладніший розділ фінансового моделювання. Рішення, що приймаються у цій сфері розраховані на тривалі періоди часу і , як правило:

· є частиною стратегії розвитку підприємства у перспективі;

· пов'язані із значними відтоками коштів;

· з певного моменту часу можуть стати необоротними;

· спираються на прогнозні оцінки майбутніх витрат і доходів.

Один із ключових моментів при прийнятті інвестиційних рішень складає оцінка ефективності передбачуваних капіталовкладень. Тому для менеджерів, що приймають такі рішення, велике значення мають як практичне оволодіння сучасними методами оцінки ефективності інвестицій, так і глибоке розуміння теоретичних концепцій, що лежать в їх основі.

Сукупність методів, що використовуються для оцінки ефективності інвестицій, можна розподілити на дві групи: динамічні (ті, що враховують фактор часу) і статичні (облікові). Класифікація методів, що найчастіше використовуються на практиці, відповідно до виділеної ознаки наведена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Класифікація методів інвестиційного аналізу

Предметом вивчення даної теми є динамічні методи, що дозволяють врахувати фактор часу, оскільки вони відображають найбільш сучасні підходи до оцінки ефективності інвестицій і переважають у практиці великих і середніх підприємств. Динамічні методи часто називають дисконтними, оскільки вони базуються на визначенні теперішньої величини (тобто на дисконтуванні) грошових потоків, пов'язаних із реалізацією інвестиційного проекту. При цьому робляться наступні припущення:

· потоки грошових коштів на кінець (початок) кожного періоду реалізації проекту відомі;

· визначена оцінка, виражена у вигляді процентної ставки (норми дисконту), у відповідності з якою кошти можуть бути вкладені у даний проект. В якості такої оцінки зазвичай використовуються: середня або гранична вартість капіталу для підприємства; процентні ставки по довготермінових кредитах; необхідна норма доходності на вкладені кошти та ін..

Суттєвими факторами, що впливають на величину оцінки, є інфляція та ризик. У подальшому, говорячи про оцінку, ми будемо абстрагуватися від її конкретного економічного змісту, використовуючи термін норма дисконту.

1. Метод чистої теперішньої вартості (NPV)

Основна ідея чистої теперішньої вартості (net present value - NPV) полягає у тому, щоб знайти різницю між інвестиційними витратами і майбутніми доходами, виражену у скоригованій в часі (як правило, до початку реалізації проекту) грошовій величині.

При заданій нормі дисконту можна визначити теперішню величину всіх відтоків і притоків грошових коштів впродовж економічного життя проекту, а також спів ставити їх один з одним. Результатом такого співставлення буде додатна або від'ємна величина (чистий притік або чистий відтік грошових коштів), котра показує, задовольняє чи не задовольняє проект прийнятій нормі дисконту.

Нехай - сума початкових витрат, тобто сума інвестицій на початок проекту; PV - теперішня вартість грошового потоку впродовж економічного життя проекту. Тоді чиста теперішня вартість дорівнює:

. (2.1)

Як показано у попередній темі, величину PV можна визначити по формулі (1.20):

, де

- норма дисконту;

n - число періодів реалізації проекту;

- чистий потік платежів у періоді t.

Підставивши формулу обчислення PV в (2.1) отримаємо:

 (2.2)

Якщо розрахована таким чином чиста теперішня вартість потоку платежів має додатний знак (NPV>0), це означає, що впродовж свого економічного життя проект відшкодує початкові затрати , забезпечить отримання прибутку відповідно до заданого стандарту r, а також її деякий резерв, що дорівнює NPV. Від'ємна величина NPV показує, що задана норма прибутку не забезпечується і проект збитковий. При NPV=0 проект тільки відшкодовує понесені витрати, але не приносить дохід.

У найпростішому випадку грошовий потік проекту складається із суми початкових інвестицій і подальших надходжень коштів від його реалізації - .

Приклад

Підприємство збирається вкласти кошти у придбання нового обладнання, вартість якого разом з доставкою і встановленням складе 100 000 гр. од. Очікується, що впровадження обладнання забезпечить отримання впродовж 6 років чистих доходів у 25 000, 30 000, 35 000, 40 000, 45 000 і 50 000 гр. од. відповідно. Прийнята норма дисконтування дорівнює 10%. Визначити економічну ефективність проекту.

У табл. 2.1 наведений повний розрахунок NPV для цього прикладу.

Таблиця 2.1 Розрахунок NPV проекту

t				PVt (Гр 3: Гр 4)	NPV
0	-100000,00		1,0000	-100000,00	-100000,00
1		25000,00	1,1000	22727,27	-77272,73
2		30000,00	1,2100	24793,39	-52479,34
3		35000,00	1,3310	26296,02	-26183,32
4		40000,00	1,4641	27320,54	1137,22
5		45000,00	1,6105	27941,46	29078,68
6		50000,00	1,7716	28223,70	57302,37
Разом	-100000,00	225000,00		157302,37	57302,37

Як бачимо, за умови правильної оцінки грошового потоку проект забезпечує повернення здійснених витрат (приблизно до кінця четвертого року) і отримання 10% чистого прибутку, а також додаткового (поверх встановленої норми) прибутку, що дорівнює величині NPV (57 302, 37).

Інше пояснення отриманого показника NPV могло б полягати у наступному: якщо проект фінансувався за рахунок довготермінової позики у 100 000 гр. од., взятої на 6 років під 10% річних, її величина і проценти могли б бути повністю виплачені із надходжень готівки від проекту. Окрім того, після розрахунків з кредиторами залишок отриманої від проекту готівки склав би суму у 57 302,37 гр. од.

При прогнозуванні потоків платежів по періодах повинні враховуватися всі види надходжень і виплат, пов'язаних з даним проектом, як виробничого, так і невиробничого характеру. Наприклад, амортизаційні відрахування, вивільнення оборотних коштів, надходження від ліквідації або продажу обладнання по закінченню проекту повинні включатися у доходи відповідних періодів.

Якщо проект передбачає послідовні початкові вкладення коштів впродовж декількох років або додаткові інвестиції у будь-які періоди реалізації проекту, вони також повинні бути враховані при розрахунку NPV.

Із врахування вищевикладеного формула розрахунку NPV для загального випадку набуде вигляду:

(2.3)

Розрахунок вручну показників, що базуються на дисконтних методах достатньо праце місткий. Тому при виконанні розрахунків будемо користуватися спеціальною групою фінансових функцій ППП Excel, призначених для автоматизації аналізу ефективності інвестиційних проектів (табл. 2.2).

Таблиця 2.2 Функції аналізу ефективності інвестиційних проектів

Найменування функції	Формат функції
Оригінальна версія	Локалізована версія
NPV	ЧПС (НПЗ)	ЧПС(ставка;значение1;значение2; ...)
IRR	ВСД (ВНДОХ)	ВСД(значения;предположение)
MIRR	МВСД	МВСД(значения;ставка_финанс;ставка_реинвест)
XNPV	ЧИСТНЗ	ЧИСТНЗ (ставка; значения; даты)
XIRR	ЧИСТВНДОХ	ЧИСТВНДОХ (значения; даты; предп)

Автоматизація розрахунку критерію NPV

Для обчислення чистої теперішньої вартості потоку платежів в ППП Excel реалізовано дві функції - ЧПС ( ) і ЧИСТНЗ ( ). Вони використовують наступні аргументи:

ставка	- норма дисконту (процентна ставка);
значения	- значення елементів грошового потоку;
даты	- дати платежів (тільки для функції ЧИСТНЗ ( )).

Розглянемо технологію використання цих функцій для розрахунку NPV.

Функція ЧПС (ставка; значение 1; значение2; …)

Функція ЧПС ( ) дозволяє визначити теперішню вартість потоку рівномірно розподілених у часі платежів (PV) із врахуванням заданої оцінки. Вона реалізує співвідношення (1.20).

Слід звернути увагу на те, що ця функція не враховує величину початкових витрат , тобто інвестицій, зроблених на момент часу t=0 Особливо уважними необхідно бути користувачам англомовної версії ППП Excel, так як назва функції NPV ( ) тут співпадає із загальноприйнятою абревіатурою для цього показника, що може увести в оману.. Тому для визначення показника чиста теперішня вартість (NPV) із отриманого результату необхідно вирахувати величину початкових вкладень .

При проведенні аналізу з використанням функції ЧПС ( ) зручно задавати як від'ємну величину. Тоді показник NPV можна розрахувати за формулою:

, <0. (2.4)

Розрахуємо показник NPV для прикладу 2.1. Введіть дані потоку платежів у будь-який неперервний блок комірок ЕТ, наприклад з В1 по В6, а в комірку В7 вираз:

-10000+ЧПС (0,1; В1:В6) (Результат: 57302,37)

Практичне використання цієї функції обмежене випадком рівномірного розподілу платежів у часі. Дане обмеження дозволяє подолати інша функція - ЧИСТНЗ ( ).

2. Функція ЧИСТНЗ (ставка; значения; даты)

Функція ЧИСТНЗ ( ) - найпотужніша у своїй групі. Вона дозволяє визначити показник NPV для потоків з платежами довільної величини, що здійснюються за будь-які проміжки часу. Техніка її використання практично аналогічна тільки що розглянутій. Відмінність полягає у тому, що для кожного платежу повинна бути вказана передбачувана дата його здійснення. Окрім того, на відміну від функції ЧПС ( ), її просунутий аналог ЧИСТНЗ ( ) коректно враховує величину початкових інвестицій і дозволяє розрахувати NPV безпосередньо, без виконання додаткових дій, реалізуючи співвідношення (2.3).

Проте використання даної функції із зазначенням в якості аргументів абсолютних величин породжує ряд незручностей, пов'язаних як із введенням (громіздкий і непривабливий вигляд формули), так із заданням аргументу даты. Пояснимо це.

При розрахунках ППП Excel перетворює дати у їх порядкові номера в році, при цьому відлік ведеться із 1900 р. Наприклад, дата «1 квітня 1996 р.» буде мати порядковий номер 35156 (тобто 35156-й день від початку 1900 р.).

Розглянемо наступний приклад.

Приклад

Вкладення на дату 12.03.94 суми у 100 гр. од. забезпечує отримання 02.07.94 суми у 50 і 23.08.95 суми у 70 гр. од. Визначимо ефективність операції при нормі дисконту у 10%.

=ЧИСТНЗ (0,1; {-100; 50; 70}; {34405; 34517; 34934}) Фігурні дужки у ППП Excel означають дані типу «масив». (Результат: 9,53).

Проблема полягає у складності визначення порядкових номерів дат вручну. Існує два шляхи її вирішення:

· використання функцій перетворення дат;

· задання аргументів у вигляді адресів, що містять їх комірки Excel.

Перший спосіб базується на можливості використання функції в якості аргументів інших функцій. Зокрема, у прикладі 2.2. замість порядкового номера дати 12.03.94 (34405) можна задати функцію, що його обчислює - ДАТА ( ), котра має формат:

=ДАТА (год; месяц; день)

Тоді формула обчислення показника NPV набуде вигляду:

=ЧИСТНЗ (0,1; {-100; 50; 70}; {ДАТА (1994; 3; 12); 34517; 34934}) (Результат: 9,53).

Таким самим чином можуть бути задані і дві решту дати. Проте у випадку великого числа платежів формула стане надто довгою і малозрозумілою.

Більш зручний і ефективний другий спосіб. Для його реалізації необхідно ввести вихідні дані у суміжні комірки електронної таблиці. При цьому всі необхідні перетворення ППП Eхcel виконає автоматично. Нехай дати введені у комірки з С1 по С3 (тобто у блок С1:С3), а величини платежів - з D1 по D3 (D1:D3). Тоді формула розрахунку набуде вигляду:

=ЧИСТНЗ(B1;D1:D3;C1:C3) (Результат 9,53).

Окрім компактності і наочності такий спосіб задання аргументів функцій має ще одну важливу властивість - забезпечує можливість швидкого та ефективного проведення багатоваріантного аналізу шляхом зміни даних у комірках таблиці. Ця важлива властивість табличних процесорів буде потрібна нам у подальшому, при аналізі показників на чутливість. А поки що побудуємо електронну таблицю для розв'язання прикладу 2.1. з використанням тільки що розглянутих функцій.

Для спрощення припустимо, що платежі по цьому проекту здійснюються один раз в рік, в один і той самий день. Дата покупки обладнання - 30.01.90.

Підготуйте таблицю, як показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Розрахунок NPV (приклад 2.1)

Можна прискорити процес створення даної таблиці, скориставшись командою Заполнить із теми головного меню Правка. Для цього введіть першу дату - 30.01.90 - у комірку А6. Виділіть Блок А6:А12. Виберіть команду Заполнить, підпункт Прогрессия. Після появи вікна діалогу (рис. 2.3), встановіть перемикач Прогрессия у положення по столбцам, перемикач Тип - у положення дата, перемикач Единича даты - у положення рік. У поле Предельное значение ввести останню дату - 30.01.96.

Рис. 2.3. Вікно діалогу підпункту Прогрессия

Результатом виконання цих дій повинно стати заповнення блоку комірок А6:А12 значеннями дат платежів. Введіть у блок комірок В6:В12 дані потоку платежів (оскільки значення платежів відрізняються одне від другого на постійну величину - 5000, тут також можна скористатися командою Заполнить).

Формули для обчислення NPV у комірках В15 і В16 (зверніть увагу на відмінності у заданні аргументів!) мають вигляд:

=ЧПС(B3;B7:B12)+B6 (Результат: 57302,37)

=ЧИСТНЗ(B3;B6:B12;A6:A12) (Результат: 57273,71).

Другий результат - точніший, оскільки функція ЧИСТНЗ ( ) враховує реальне число днів у кожному році.

Завершіть оформлення даної таблиці на свій розсуд і збережіть її на магнітному диску, оскільки вона буде використовуватися у подальшому при розгляді матеріалу лекції.

На практиці після визначення показників ефективності інвестицій здійснюють аналіз їх чутливості (sensitivity analysis) до змін можливих умов. У загальному випадку аналіз зводиться до дослідження змін отриманої величини в залежності від різних значень параметрів рекурентних співвідношень. Проведення аналізу чутливості особливо ефективний з використанням ППП, що реалізують функції електронних таблиць, і найбільш детально розглянуто у темі 5.

Розв'яжемо приклад 2.1 при ставці дисконту 20% (рис. 2.4)

Рис. 2.4. Чутливість NPV до зміни ставки дисконту

Величина NPV як і раніше додатна, проте вона зменшилася до 16040,81 (16003,67). Якщо збільшити ставку дисконту до 30%, величина NPV набуде від'ємного значення (перевірте це самостійно).

Відповідно ставка дисконту r має прямий вплив на термін окупності проекту і обернений - на величину NPV.

У розглянутому прикладі притік готівки від реалізації проекту збільшується з 25000,00 до 50000,00 впродовж 6 років. Розглянемо обернений випадок.

Нехай грошовий потік послідовно зменшується з 50000,00 до 25000,00 гр. од впродовж 6 років з тим самим інтервалом. Ставка дисконту дорівнює 10%.

Оскільки змінюється лише порядок надходження платежів скористаємося операцією Сортировка данных. Для цього просто виділіть блок комірок В7:В12 і клацніть мишкою по кнопці Обратная сортировка на панелі інструментів.

- кнопка [Обратная сортировка].

Розрахунок NPV для даного випадку наведений на рис. 2.5. Проведені розрахунки показують збільшення NPV.

Рис. 2.5. Чутливість NPV до зміни структури потоку

Таким чином, поряд із ставкою дисконту на величину NPV суттєвий вплив здійснює структура грошового потоку. Чим більші потоки гтівки у перші роки економічного життя проекту, тим більшою є кінцева величина NPV і відповідно тим швидше відбудеться відшкодування виробничих витрат.

Експерименти свідчать, що в цілому показник NPV належним чином відображає співвідношення між притоками і відтоками грошових коштів впродовж визначеного періоду часу, а також дає уяву як про відшкодування виробничих витрат, так і про досягнення заданої норми доходності вкладання коштів.

Будучи абсолютним показником, NPV володіє важливою властивістю - властивістю адитивності (NPV різних проектів можна сумувати).

NPV (A, B, C) = NPV (A) + NPV (B) + NPV (C).

До числа інших важливих властивостей цього критерію варто віднести реалістичніші припущення про ставку реінвестування коштів, що надходять. У методі NPV неявно передбачається, що кошти, що надходять від реалізації проекту, реінвестуються по заданій ставці дисконту r.

Використання критерію NPV теоретично обґрунтовано, і в цілому він вважається найбільш коректним вимірювальником ефективності інвестицій. Разом з тим застосування абсолютних показників при аналізі проектів з різними вихідними умовами (початковими інвестиціями, термінами економічного життя та ін.) може призводити до труднощів при прийнятті управлінських рішень.

Приклад 2.3

Припустимо, що розглядаються два проекти. Прийнята ставка дисконту складає 10%. Відповідні оцінки грошових потоків і розрахунок NPV наведені у табл. 2.3.

Таблиця 2.3 Умови реалізації проектів (приклад 2.3)

Проект	I0	CFt	PV	NPV
X	-10000,00	16500,00	15000,00	5000,00
Y	-100000,00	115000,00	105000,00	5000,00

Чиста теперішня вартість обох проектів складає 5000 і у випадку необхідності вибору не дозволяє однозначно визначити кращий варіант. Тому поряд із абсолютним показником ефективності інвестицій NPV використовуються також і відносні - індекс рентабельності і внутрішня норма доходності.

3. Індекс рентабельності проекту (РІ)

Індекс рентабельності (benefit-cost ratio, profitability index - PI) показує, скільки одиниць теперішньої величини грошового потоку приходиться на одиницю передбачуваних початкових витрат. Для розрахунку цього показника використовується наступна формула:

. (2.5)

Якщо величина критерію PI>1, то теперішня вартість грошового потоку проекту перевищує початкові інвестиції, забезпечуючи тим самим наявність позитивної величини NPV. При цьому норма рентабельності перевищує задану, і проект слід прийняти.

При РІ = 1величина NPV = 0, і інвестиції не приносять доходу. Якщо РІ<1, проект не забезпечує заданого рівня рентабельності і його слід відхилити.

Розрахуємо індекси рентабельності для прикладу 2.3.

;

.

Таким чином, проект Х забезпечує більшу рентабельність інвестицій і у випадку неможливості реалізації обох проектів йому слід віддати перевагу.

Незважаючи на те, що в ППП Excel нема спеціальної функції для обчислення індексу рентабельності, визначити його можна досить легко, діленням комірки, що містить функцію розрахунку NPV, на комірку, що містить величину початкових інвестицій, і подальшим додаванням до результату одиниці.

Розрахуємо індекс рентабельності для прикладу 2.1. Для цього у комірці В17 сформованої раніше таблиці задайте одну із наступних формул (рис. 2.6):

= - В15 / B6 + 1 (Результат: 1,57)

= - В16 / B6 + 1 (Результат: 1,57).

Знак мінус у формулі необхідний для отримання додатного результату, оскільки значення комірки В6 (початкові інвестиції) - від'ємна величина. Збережіть отриману таблицю на магнітному диску.

Рис. 2.6. Розрахунок індексу рентабельності

Застосування показника РІ часто буває корисним у випадку, коли існує можливість фінансування декількох проектів, але при цьому інвестиційний бюджет фірми обмежений.

Приклад

Фірма розглядає можливість участі у фінансуванні шести проектів, передбачувані умови реалізації яких наведені у табл. 2.4. Інвестиційний бюджет фірми дорівнює 250000 гр. од.

Таблиця 2.4 Умови реалізації проектів для прикладу 2.4

Проект	І	PV	NPV	PI
A	-80000,00	95000,00	15000,00	1,19
B	-60000,00	79000,00	19000,00	1,32
C	-70000,00	112000,00	42000,00	1,60
D	-100000,00	145000,00	45000,00	1,45
E	-40000,00	52000,00	12000,00	1,3
F	-110000,00	126500,00	16500,00	1,15

Як бачимо по даних табл. 2.4, всі проекти мають додатну NPV і, якщо б інвестиційний бюджет фірми не був би обмежений сумою у 250000 гр. од., їх слід було б прийняти. Проте в силу обмеженості бюджету може бути реалізований лише той набір (портфель) проектів, при якому сумарні інвестиції не перевищують 250000 гр. од.

У даному випадку існує декілька таких портфелів, тому виникає проблема вибору найбільш ефективної комбінації проектів. В умовах обмеженого бюджету найбільш ефективний (оптимальний) для фірми такий портфель проектів, котрий забезпечує найбільшу віддачу вкладених коштів і в кінцевому результаті генерує максимальну NPV.

Оптимальний портфель інвестицій у подібних умовах можна отримати шляхом послідовного включення проектів у порядку спадання індексів рентабельності і перевірки дотримання обмежень.

Розмістимо проекти, наведені у табл. 2.4, у порядку спадання індексів рентабельності.

Таблиця 2.5 Класифікація проектів за індексами рентабельності

Проект	І	PV	NPV	PI
C	-70000,00	112000,00	42000,00	1,60
D	-100000,00	145000,00	45000,00	1,45
B	-60000,00	79000,00	19000,00	1,32
E	-40000,00	52000,00	12000,00	1,3
A	-80000,00	95000,00	15000,00	1,19
F	-110000,00	126500,00	16500,00	1,15

Як бачимо по даних із табл. 2.5, оптимальний за цих умов портфель інвестицій буде складатися із проектів C, D i B. При цьому сумарна NPV портфелю дорівнює:

NPV = NPV (C) + NPV (D) + NPV (B) = 106000,00 гр. од.

Ефективніше рішення подібних проблем може бути отримане при використанні методів математичного програмування і буде розглянуто пізніше.

Індекс рентабельності не завжди забезпечує однозначну оцінку ефективності інвестицій, і проект із найбільшим РІ може не відповідати проекту з найвищою NPV. Зокрема, використання індексу рентабельності може привести до помилкових результатів при оцінці взаємовиключаючих проектів. Розглянемо наступний приклад.

Приклад

Фірма розглядає можливість участі у фінансуванні двох взаємовиключаючих проектів, передбачувані умови реалізації яких наведені у табл. 2.6. Прийнята ставка дисконту для проектів однакова і дорівнює 10%. Необхідно вибрати найефективніший проект інвестицій.

Таблиця 2.6 Потоки платежів проектів (приклад 2.5)

Проект	I	CF1	CF2	PV	NPV
1	-100,00	200,00	250,00	388,43	288,43
2	-10000,00	15000,00	25000,00	34297,52	24297,52

Визначимо індекси рентабельності для проектів 1 і 2:

;

.

Неважко помітити, що при наявності у фірми відповідних коштів другий проект є кращим, оскільки він генерує більшу NPV. Проте індекс рентабельності «віддає» перевагу першому проекту.

Зазвичай розрахунок індексу рентабельності доповнює розрахунок NPV з метою відбору проектів, що породжують максимальну теперішню вартість на одиницю витрат.

4. Внутрішня норма доходності (IRR)

Внутрішня норма доходності (internal rate of return - IRR) - найбільш широко використовуваний критерій ефективності інвестицій. Під внутрішньою нормою доходності розуміють процентну ставку, при якій чиста теперішня вартість інвестиційного проекту дорівнює нулю.

Внутрішня норма доходності визначається розв'язанням рівняння:

(2.6)

Це рівняння розв'язується відносно IRR будь-яким ітераційним методом.

Неважко помітити, що при NPV = 0 теперішня вартість проекту (PV) дорівнює за абсолютною величиною початковим інвестиціям І0, відповідно, вони окуповуються. У загальному випадку, чим вища величина IRR, тим більша ефективність інвестицій. На практиці величина IRR порівнюється із заданою нормою дисконту r. При цьому якщо IRR > r, проект забезпечує позитивну NPV і доходність, що дорівнює IRR - r. Якщо IRR < r, витрати перевищують доходи, і проект буде збитковим.

Розрахунок IRR ручним способом достатньо складний. Проте сучасні табличні процесори дозволяють швидко та ефективно визначити цей показник шляхом використання спеціальних функцій.

Автоматизація розрахунку показника IRR

У ППП Excel для розрахунку внутрішньої норми доходності реалізовані три функції - ВСД ( ) , МВСД ( ) , XIRR ( ).

Для коректної роботи цих функцій грошовий потік повинен складатися із хоча б одного від'ємного і одного додатного елемента (тобто повинні мати місце хоча б одна виплата і одне надходження коштів).

Функція ВСД (значение; [предположение])

Ця функція здійснює розрахунок IRR за формулою (2.6) для грошового потоку, заданного аргументом значение.

Розрахуємо внутрішню норму доходності для прикладу 2.1. Для цього введіть у комірку В18 формулу (рис. 2.7):

= ВСД (В6:В12) (Результат: 0,26 або 26%).



Рис. 2.7. Розрахунок внутрішньої норми доходності (ВСД ( ) )

Оскільки отриманий результат перевищує норму дисконту (10%), критерій IRR також рекомендує прийняти даний проект. При цьому ефективність даної операції складе: 26% - 10% = 16%.

Використовуючи отриману таблицю, самостійно проведіть аналіз чутливості даного показника до змін норми дисконту і структури потоку платежів.

5. Функція ЧИСТВНДОХОД (значения; даты; предп)

Функція ЧИСТВНДОХ ( ) дозволяє визначити показник IRR для потоку платежів з довільним розподілом у часі, якщо відомі їх передбачувані дати. Цю функцію зручно використовувати у тандемі із функцією XNPV ( ).

Модифікуємо у черговий раз таблицю для розв'язання прикладу 2.1.

Введіть у комірку В19 формулу (рис. 2.8):

=ЧИСТВНДОХОД (В6:В12; А6:А12) (Результат: 26%).

Рис. 2.8. Розрахунок внутрішньої норми доходності (ЧИСТВНДОХОД)

Показник IRR, розраховується у процентах, більш зручний ддддля використання в аналізі, ніж показник ЧПС, оскільки відносні велдичнини легше піддаються інтерпретації. Наприклад, ефективність проекту з IRR = 26% очевидна для прикладу, що розглядається, якщо необхідні для його реалізації грошові кошти можна позичити у банку під 10% річних.

Критерій внутрішньої норми доходності несе в собі також інформацію про приблизну величину межі безпеки для проекту. Якщо припустити, що у попередньому випадку при оцінці грошового потоку можлива помилка і IRR проекту виявиться рівним 20%, при попередній процентній ставці по кредиту (10%) проект все одно забезпечить отримання доходу.

При підвищенні вартості позики до 22 - 24% при IRR = 26% залишається надто мала межа безпеки на випадок помилки і, можливо, такий проект буде відразу відхилений і проведення подальшого аналізу не буде потрібним. Як показано нижче, ППП Excel дозволяє швидко та ефективно здійснити аналіз межі безпеки для інвестиційних проектів.

Розглянуті переваги критерію IRR пояснюють його популярність на практиці. Дослідження зарубіжного досвіду показують, що більше 40% фірм використовують цей критерій для оцінки ефективності інвестицій.

Разом із тим його недоліки також потребують серйозного розгляду. До одного із найсуттєвіших слід віднести нереалістичне припущення про ставку реінвестування.

На відміну від NPV критерій внутрішньої норми доходності неявно передбачає реінвестування отриманих доходів по ставці IRR. Якщо фінансування проекту у прикладі 2.1 здійснюється за рахунок банківської позики під 10% річних, то отримувані у процесі його реалізації доходи повинні бути реінвестовані по ставці 26% річних, тобто по ставці, що у 2,6 рази перевищує ставку по довготермінових кредитах! Очевидно, що це навряд чи здійснено на практиці.

Для коректного врахування припущення щодо реінвестування в ППП Excel реалізована функція МВСД ( ).

6. Функція МВСД (значения; ставка_финанс; ставка_реинвест)

Функція МВСД ( ) обчислює модифіковану внутрішню норму доходності (modified internal rate of return - MIRR). Дана функція має спеціальний аргумент - передбачувану ставку реінвестування.

Припустимо, що у прикладі 2.1 існує можливість реінвестування отриманих доходів по ставці 8% річних. Тоді модифікована норма доходності, задана у комірці В20, складе (рис. 2.9):

= МВСД (В6:В12; В3; 0,08) (Результат: 18%).

Рис. 2.9. Розрахунок внутрішньої норми доходності (МВСД ( ) )

Неважко помітити, що отримана модифікована норма рентабельності майже на третину менша за попередню, проте вища за задану, тому навіть при більш песимістичній оцінці реальних умов проект можна вважати прибутковим.

7. Варіюючи значення ставки реінвестування, прослідкуйте зміни показника MIRR

Другий недолік показника внутрішньої норми доходності пов'язаний із можливістю існування його декількох значень. У загальному випадку, якщо аналізується єдиний або декілька незалежних проектів із «звичайним» грошовим потоком (тобто після початкових витрат йдуть позитивні притоки грошових коштів), використання критерію IRR завжди приводить до тих самих результатів, що і NPV.

Проте у випадку чергування припливів і відпливів готівки (наприклад, у випадку капітального ремонту або модернізації обладнання) для одного проекту може існувати декілька значень IRR. Пояснення цього факту випливає із співвідношення (2.6). Неважко помітити, що IRR є коренем функції NPV = f® = 0, яка у загальному випадку задається поліномом n-го ступеня, де n - число періодів реалізації проекту. Відповідно до правила Декарта, поліном n-го ступеня може мати стільки коренів, скільки раз змінює знак задана ним функція. Таким чином, рівняння NPV = f(r) = 0 має стільки коренів, скільки разів змінюється знак потоку платежів.

Приклад

Фірма розглядає можливість реалізації проекту, що генерує наступний грошовий потік (табл. 2.7). Визначити ефективність проекту, якщо норма дисконту дорівнює 10%.

Таблиця 2.7 Потік платежів проекту із прикладу 2.6

Період	t0	t1	t2
Сума	-1600	10000	-10000

Визначимо NPV для даного проекту:

-1600 + ЧПС (0,1; {10000; -10000}) (Результат: -773,55).

Проведений розрахунок показує, що критерій NPV рекомендує відхилити проект. Виконавши ряд перетворень над виразом (2.6), визначимо величину IRR:

NPV = 0 = 1600 (1+IRR)2 - 10000 (1+IRR) + 10000.

Неважко помітити, що отримане співвідношення є квадратним рівняння і має два корені:

,

звідки IRR1 = 25% i IRR2 = 400%.

Моделювання залежності NPV від норми дисконту r, виконанне у середовищі ППП Excel для прикладу, що розглядається, представлено на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Множинні значення IRR

У цьому випадку прийняти однозначне рішення на основі показника IRR не можна. Найпростіше рішення в такій ситуації - керуватися найменшим значенням IRR серед всіх отриманих.

Нажаль, функції ППП Excel також не завжди забезпечують у такому випадку отримання правильного результату. Найкращий результат дає функція МВСД ( ). Можна спробувати знайти прийнятне значення IRR варіюванням значень необов'язкового аргументу прогноз (від 0,1 до 0,9).

Ще одним недоліком показника IRR є те, що як і показник РІ, він не завжди дозволяє однозначно оцінити взаємовиключні проекти.

Підводячи підсумки, відзначимо, що в цілому метод NPV дає достовірніші результати. Разом з тим найправильнішим підходом до аналізу ефективності довготермінових інвестицій буде використання всіх розглянутих показників, так як різні способи оцінки забезпечують осіб, що приймають рішення, більш повною інформацією.

Як показано у подальшому, використання ЕТ дозволяє швидко і ефективно визначити значення всіх необхідних критеріїв оцінки і провести аналіз їх чутливості.

Разом із тим, розробка універсального шаблону для ефективного аналізу інвестицій на практиці пов'язана із рядом проблем, породжуваних перш за все індивідуальними особливостями кожного конкретного проекту. Тому нижче наводиться методика розробки і використання найпростішого шаблону, що дозволяє автоматизувати процес розрахунку основних критеріїв ефективності інвестицій.

Приступимо до формування шаблону (рис. 2.11).



Рис. 2.11. Шаблон для аналізу ефективності інвестицій

Перша частина цього шаблону призначена для введення вихідних умов реалізації проекту: прийнятої норми дисконту - r, терміну реалізації - n, передбачуваної ставки реінвестування r1. Із врахуванням оформлення, заголовків і таблиці для введення вихідних даних ця частина шаблону займає перші вісім рядків ЕТ (блок комірок А1:В8).

Перед тим як приступити до проектування другої частини шаблону, корисно визначити власні імена для комірок, в які будуть вводитися вихідні дані. Передбачувані імена наведені у табл. 2.8.

Таблиця 2.8 Імена комірок шаблону

Адреса комірки	Ім'я
Блок А9:А10	Даты
Блок В9:В10	Платежи
В3	Норма_дисконта
В5	Ставка_реинвест
В9	Инцест
В12	ЧСС

інвестиційний аналіз рентабельність доходність

Друга частина шаблону призначена для введення вихідних даних - потоку платежів. Ця таблиця із двох граф: дата платежу і сума платежу.

Оскільки ми не можемо наперед знати розподіл потоку платежів для того або іншого проекту, ця частина таблиці складається із двох рядків, що дозволяють задати мінімально можливий потік. Такий потік складається із величини початкових інвестицій (комірка В9) і останнього (можливо єдиного) надходження коштів (комірка В10). Відповідно блок комірок А9:А10 призначений для зберігання дат платежів мінімального потоку.

Третя частина шаблону (блок комірок В12:В15) містить формули розрахунку значень критеріїв ефективності. Порядок виконання дій із введення формул наведений у таблиці 2.9.

Таблиця 2.9 Формули шаблону

Адреса комірки	Формула
В12	=XNpv(Норма_дисконта;Платежи;Даты)
В13	=-ЧСС/Инвест+1
В14	=МВСД(Платежи;Норма_дисконта;Ставка_реинвест)
В15	=ЧИСТВНДОХ(Платежи;Даты)

Маючи базовий шаблон, можна легко отримати таблицю для будь-якого числа періодів, вставивши необхідну кількість рядків у блок комірок А9:В10 перед десятим рядком. При цьому адреса комірок у формулах буде пере налаштована коректно, оскільки раніше ми забезпечили їх абсолютну адресацію заданням власних імен (табл. 2.8, 2,9).

Керуючись рис. 2.11 і табл. 2.8 - 2.9, завершіть формування шаблону і збережіть його на диску під іменем INVST_AN.XLT.

Перевіримо працездатність шаблону на наступному прикладі.

Приклад

Фірма розглядає можливість здійснення інвестиційного проекту, термін дії якого складає 6 років. Норма дисконту дорівнює ставці реінвестування і складає 10%. Потік платежів по проекту представлений у табл. 2.10.

Таблиця 2.10 Потік платежів проекту (приклад 2.7)

Дата	25.01.90	25.01.91	25.01.92	25.01.93	25.01.94	25.01.95
Платіж	-1000	-100	700	600	400	150

8. Визначити значення критеріїв ефективності для проекту

Розглянемо розв'язання прикладу по етапах.

1. Введіть вихідні дані у блок комірок В3:В5.

2. Зробіть активною комірку А10. Виділіть необхідну кількість рядків Дл8я підрахунку кількості рядків зручно використовувати формулу: k = n - 2, де n - число періодів. Для даног9о прикладу число рядків, що вкладаються, буде дорівнювати: 6 - 2 = 4.. Виберіть у головному меню тему Вставка пункт Строки. Результатом виконання цих дій буде поява нових рядків і розширення блоку А9:В10 до А9:В14.

3. Введіть вихідні дані у блок комірок А9:В14. Оскільки в даному випадку періодичність платежів однакова, при введенні дат можна скористатися командою Заполнить із теми меню Правка.

Отримана в результаті таблиця може мати вигляд, представлений на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Аналіз ефективності проекту (приклад 2.7)

Проведений аналіз показує економічну ефективність даного проекту, тому за відсутності інших альтернатив він може бути прийнятий.

Зазначені у п. 2 операції можна виконати і без використання головного меню, здійснюючи наступні дії.

1. Зробити активною комірку А10 і виділити необхідну кількість рядків.

2. Натиснути на панелі інструментів кнопку Вставка строк.

кнопка Вставка строк

9. Методи оптимізації в інвестиційному аналізі

Методи оптимізації не отримали належного поширення при розв'язанні задач фінансового аналізу, так як їх використання потребує певної математичної підготовки, а також використання комп'ютерів, оснащених відповідними пакетами прикладних програм. Разом із тим збільшені можливості персональних комп'ютерів і сучасні досягнення у сфері програмного забезпечення відкривають нові перспективи для застосування методів математичної оптимізації у фінансово-економічній сфері, роблячи їх доступними для широкого кола спеціалістів.

У широкому сенсі процес оптимізації (вироблення оптимального рішення) можна трактувати як пошук і вибір найкращого з деякої точки зору варіанту серед множини можливих або допустимих.

Математична оптимізація представляє собою процес знаходження екстремуму (максимуму або мінімуму) функції при заданих обмеженнях (умовна оптимізація) або без обмежень (безумовна оптимізація). Дослідження проблем розробки теоретичних і практичних методів розв'язання подібних завдань здійснюється в рамках спеціального наукового напрямку - математичного програмування.

На сьогодні практично всі популярні версії табличних процесорів включають вбудовані засоби розв'язання задач математичного програмування. Не є винятком і ППП Excel, що надає користувачу спеціальний засіб - Поиск решения, іменований на професійному жаргоні просто Решатель.

Решатель ППП Excel - це потужний інструмент оптимізації і розв'язання рівнянь, що володіє «дружелюбним» користувацьким інтерфейсом і дозволяє спеціалісту сформувати завдання із своєї предметної області в режимі діалогу. Зокрема, з його допомогою можна швидко та ефективно визначити найбільш оптимальний варіант використання обмежених ресурсів, він забезпечує максимізацію одних величин (наприклад, прибутку), або ж мінімізацію інших (наприклад, витрат).

Решатель дозволяє аналізувати задачі трьох типів:

· лінійні (всі залежності між змінними задачі лінійні);

· нелінійні (між змінними задачі існує хоча б одна непропорційна залежність);

· цілочисельні (результати розв'язання повинні бути цілими числами).

Говорячи «мовою» електронних таблиць, Решатель зручно використовувати у тих випадках, коли необхідно знайти оптимальне або задане значення для окремої комірки шляхом підбору значень інших комірок із врахуванням можливих і необхідних обмежень.

Таким чином, щоб використати Решатель, необхідно сформулювати задачу у термінах ППП Excel, тобто визначити у спеціальному вікні діалогу цільову комірку, змінні комірки і обмеження, якщо останні існують.

Цільова комірка (також називається цільовою функцією) - це комірка робочого столу, для якої необхідно знайти максимальне, мінімальне або задане значення. Вона повинна містити формулу, що прямо або побічно залежить від змінних комірок.

Змінні комірки (шукані змінні) - це комірки, значення яких будуть змінюватися до тих пір, поки не буде знайдено розв'язання. Як правило, вони містять ключові змінні моделі. У загальному випадку можна задати до 200 змінних комірок, які можуть містити як формули, так і посилання на блок, або несуміжні комірки. Несуміжні комірки повинні розділятися крапкою з комою.

Обмеження - це значення комірки, котре повинно знаходитися у певних межах або задовольняти цільові критерії. Обмеження можуть накладатися як на цільову, так і на змінні комірки. Для однієї моделі можуть бути визначені по два обмеження для кожної змінної комірки (верхня і нижня межі), а також до 100 додаткових. Як правило, обмеження накладаються шляхом використання операторів порівняння: <=, >=, =. Обмеження цілочисельності доцільно застосовувати у випадках, коли величина, що використовується в задачі або шуканий результат повинні приймати одне із двох значень - «Так» або «Ні», 0 або 1, або коли дробні значення результатів недопустимі (наприклад, при розрахунку числа об'єктів інвестицій, працюючих, машин, станків і т.д.).

Процедура розв'язання оптимізаційної задачі передбачає послідовне виконання ряду ітерацій. Після кожної ітерації відбувається перерахунок значень змінних комірок і перевірка заданих обмежень та критеріїв оптимальності. Виконання процедури завершується, якщо знайдено рішення з прийнятною точністю або якщо подальший пошук рішення неможливий. Останнє виникає у випадках, коли модель сформована некоректно, виконана максимально допустима кількість ітерацій або вичерпаний граничний час вирішення. Ви можете збільшити кількість виконуваних ітерацій, точність обчислень і час, відведений для пошуку рішення, шляхом коректування значень, встановлених по замовчуванні. Коректування значень виконується шляхом натискання кнопки Параметры ділового вікна Поиск решения і вказівкою необхідних величин у вікні Параметры поиска решения. Після завершення пошуку рішення ППП Excel пропонує три варіанти продовження роботи:

· зберегти отримане рішення або відновити вихідні значення на робочому листі;

· зберегти отримане рішення у вигляді іменованого сценарію;

· проглянути один із вбудованих звітів у ході рішення.

Найпростіші можливості Решателя продемонструємо на прикладі задачі аналізу межі безпеки при оцінці значень потоку платежів інвестиційного проекту.

Аналіз межі безпеки для оцінки потоку платежів

У загальному випадку подібна задача може бути сформульована наступним чином: визначити допустиму величину помилки оцінки значень потоку платежів, при якій забезпечується беззбитковість операції (тобто нульове значення NPV).

При розв'язанні задачі будуть використовуватися дані із прикладу 2.1.

Підготуйте ЕТ відповідно до рис. 2.13. Задані для обчислення формули наведені у табл. 2.11.



Рис. 2.13. Аналіз межі безпеки (вихідна ЕТ)

Таблиця 2.11 Формули таблиці аналізу межі безпеки

Комірка	Формула
С11	=B11*(1-Ошибка)
В18	=XNpv(B3;B10:B16;A10:A16)
В19	=-B18/B10+1
В20	=МВСД(B10:B16;B3;B5)
С18	=XNpv(B3;C10:C16;A10:A16)
С19	=-C18/C10+1
С20	=МВСД(C10:C16;B3;B5)

У цій таблиці використовується лише одне користувацьке ім'я - Ошибка, визначене для комірки В6, значення якої по замовчуванню дорівнює 0. Комірки блоку С11:С16 містять значення потоку платежів, скориговані на величину помилки (базова формула для формування цього блоку задана у комірці С11 і копіюється необхідну кількість разів). Оскільки по замовчуванні величина помилки дорівнює 0, значення скоригованого потоку платежів першопочатково співпадають із вихідними. Приступимо до розв'язання задачі. Перш за все необхідно визначити, яка комірка буде використовуватися в якості цільової. В даному випадку це повинна бути комірка, що містить формулу для обчислення NPV, тобто С18. Її величина залежить від значень потоку платежів (блоку комірок С11:С16) і в результаті розв'язання задачі повинна стати рівною 0.

Відповідно в якості змінюваної слід використовувати ту комірку, котра здійснює безпосередній вплив на значення потоку платежів, тобто комірку, що містить величину помилки - В6.

Виберіть із головного меню тему Сервис, пунк Поиск решения і заповніть поля вікна діалогу, що появилося, як показано на рис. 2.14.

Після натискання кнопки [Выполнить] на екрані появиться наступне повідомлення (рис. 2.15).

Натисніть кнопку [ОК]. Отримана в результаті таблиця буде мати вигляд, показаний на рис. 2.16.

Рис. 2.16 ЕТ з результатами рішення

Результати аналізу показують, що проект має хороший запас надійності і буде беззбитковим, навіть якщо помилка при оцінці значень потоку платежів складе 36%.

Очистивши блок комірок В3:В6 і видаливши рядки 11 - 16, ви можете отримати шаблон для аналізу подібних проблем.

Для вирішення даної задачі можна було скористатися простішим інструментом - Подбор параметра, технологія використання якого буде розглянута у темі 7.

10. Оптимізація портфелю інвестицій при обмеженому бюджеті

Вирішуючи проблему вибору інвестиційних проектів в умовах обмеженого бюджету із прикладу 2.4, ми використовували індекс рентабельності в якості рангу з ціллю відбору варіантів, що забезпечують максимальну рентабельність вкладених коштів. Ефективніший підхід до вирішення подібних проблем полягає у використанні методів математичного програмування і, зокрема, лінійної оптимізації.

У загальному випадку задача лінійної оптимізації формується у наступному вигляді:

, (2.7)

, (2.8)

. (2.9)

де А - матриця коефіцієнтів при змінних цільової функції; Х - вектор змінних цільової функції; С - коефіцієнти функції обмежень; В - вектор обмежень.

Технологію розв'язання задач лінійного програмування у середовищі ППП Excel розглянемо на прикладі 2.4.

Позначимо проект «А» через Х1, проект «В» через Х2 і т.д. (див табл. 2.4). Тоді цільова функція задачі може бути сформована у векторній формі:

. (2.10)

Визначимо обмеження для цієї задачі. За умовами інвестиційний бюджет фірми обмежений сумою у 250000 гр. од. Відповідно, сумарні початкові витрати на реалізацію проектів не можуть бути більшими за цю суму:

. (2.11)

Окрім того, ми не можемо реалізувати від'ємне число проектів, а також конкретний проект більше одного разу:

(k =1; 6) (2.12)

Реалізуємо модель (2.10) - (2.12) у середовищі ППП Excel. Підготуйте робочий лист відповідно рис. 2.17.

Рис. 2.17. Макет таблиці для лінійної оптимізації

Необхідні формули наведені у табл. 2.12.

Таблиця 2.12 Формули робочого листка

Комірка	Формула
D5	=B5*F5
E5	=C5*F5
D12	=СУММ(D5:D10)
E13	=СУММ(E5:E10)

Наведемо деякі пояснення. Блоки комірок В5:В10 і С5:С10 містять коефіцієнти при змінних цільової функції (2.10) і обмеженнях (2.11). Добуток коефіцієнтів і змінних для співвідношень (2.10) і (2.11) реалізовані формулами у блоках D5:D10 і Е5:Е10 (базові формули для формування цих блоків задані в комірках D5 і Е5, які потрібно скопіювати необхідну кількість разів). Для зберігання значень шуканих змінних відведений блок комірок F5:F10. Спочатку їх значення невідомі і передбачаються рівними 0. Співвідношення моделі (2.10) і (2.11) реалізовані формулами в комірках D12 і Е13 (цільова функція і функція обмеження відповідно).

Виберемо у головному меню ППП Excel тему Сервис, пункт Поиск решения і заповнимо вікно діалогу, що появилося вихідними даними, як показано на рис. 2.18. Для формування блоку обмежень клацніть мишкою по кнопці Добавить і заповнюйте поля вікна діалогу Добавления ограничений. Остання операція повторюється необхідну кількість разів.

Рис. 2.18. Заповнення вікна Поиск решения вихідними даними

Отримана після натискання кнопки [Выполнить] таблиця буде мати вигляд, представлений на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Результати оптимального вирішення

Із наведеного рішення випливає, що для досягнення мaксимальної величини NPV = 112000 необхідно реалізувати 0,5 проекти „Е», а також проекти «В», «С», «D».

Відзначимо, що оптимальне рішення забезпечує отримання більшої NPV порівняно з отриманою методом ранжування за індексом рентабельності.

Виконавши пошук рішення, ви можете зберегти всі значення, введені у діалогових вікнах Решателя у вигляді моделі, натиснувши в діалоговому вікні Параметры поиска решения кнопку [Сохранить модель]. Таким чином, у подальших сеансах роботи з ППП Excel вам не доведеться знову займатися постановкою задачі, щоб продовжити аналіз. Завантаження збереженої раніше моделі здійснюється натисканням кнопки [Загрузить модель] діалогового вікна Параметры поиска решения із зазначенням відповідного блоку комірок.

Ще зручніше зберігати параметри задачі у вигляді сценаріїв під певними іменами. Можливо, ви вже звернули увагу на те, що в діалоговому вікні Результаты поиска решения, наведеному на рис. 2.15, є кнопка [Сохранить сценарий]. При її натисканні активізується спеціальний інструмент ППП Excel Диспечер сценариев, який дозволяє присвоїти ім'я сценарію поточним значенням змінюваних комірок. Таким чином можна зберегти декілька сценаріїв (значень змінюваних комірок) для кожного листа робочої книги і використовувати їх у подальшому для проведення багатоваріантного аналізу виду «що буде, якщо».

Технологія проведення такого аналізу у середовищі ППП Excel з використанням інструменту Диспечер сценариев розглянута в темі 5.

ППП Excel дозволяє також провести подальше дослідження отриманого рішення з допомогою генерації звітів трьох типів:

· результати;

· стійкість;

· межі.

Генерація цих звітів здійснюється вибором мишкою необхідної позиції у списку Тип отчета діалогового вікна Результаты поиска решения і подальшого натискання кнопки [ОК]. При цьому вибраний тип звіту автоматично генерується у вигляді окремого листа робочої книги із відповідною назвою.

У звіті про результати наводяться значення цільової комірки, змінюваних комірок і обмежень. Звіт складається із трьох таблиць. Для цільової і змінюваних комірок у відповідних таблицях показуються всі вихідні і кінцеві величини. У таблицю оптимального рішення для обмежень включена інформація про стани: зв'язаний, якщо обмеження виконано повністю, і незв'язане, якщо існує резерв, величина якого показана у графі Разница.

Звіт про стійкість містить інформацію про чутливість цільової комірки (тобто отриманого рішення) до зміни параметрів його формули (ключових змінних задачі) і обмежень. Звіт містить два розділи: «Змінювані комірки» і «Обмеження». Дані про кожну змінювану комірку і комірку-обмеження виводяться на окремому рядку. Перший стовпчик містить інформацію про стійкість рішення, тобто показує, наскільки збільшиться (зменшиться) значення цільової комірки при збільшенні (зменшенні) на одиницю значення відповідної змінюваної комірки або обмеження.

Залежно від встановлюваного значення параметру Линейная модель діалогового вікна Параметры решения можуть бути отримані два варіанти цього звіту - для нелінійних задач (параметр відключений) і для лінійних (параметр включений).

У звіті про межі (обмеження) наводяться оптимальні значення кожної змінюваної комірки разом з нижніми і верхніми межами її змінювання, при яких не порушуються обмеження моделі.

Інтерпретація результатів звітів потребує знань основ математичної оптимізації і, зокрема, поняття подвійності (двойственности).

11. Цілочисельна оптимізація

На практиці часто зустрічаються проекти, котрі неможна реалізувати частинами. Окрім того, саме об'єкти інвестицій можуть не підлягати дробленню (наприклад, будівлі, персонал та ін.). У цих випадках доцільно скористатися цілочисельною оптимізацією.

Додамо у розроблену модель обмеження виду:

. (2.13)

Введемо це обмеження у робочий лист ( рис. 2.20).

Рис. 2.20. Додавання обмеження цілочисельності

Нове рішення задачі наведено на рис. 2.21.

Рис. 2.21 Розв'язання задачі цілочисельної оптимізації

Відповідно до отриманого рішення оптимальний портфель повинен складатися із проектів «В», «С», «D”. Сумарна величина NPV при цьому складе 106 000.

Неважко помітити, що в даному випадку результати оптимізації співпадають із рішенням, отриманим раніше по методу індексу рентабельності. Таким чином, накладення обмежень цілочисельності «погіршило» значення цільової функції. У загальному випадку введення додаткових обмежень завжди призводить до зменшення ефекту оптимізації.

Додавання обмеження цілочисельності може також значно ускладнити задачу і призвести до суттєвого збільшення часу її вирішення. Проте багато задач фінансового аналізу потребують обов'язкового задання цілочисельних обмежень. Особливо це стосується задач управління інвестиціями, в яких параметри часто приймають тільки неподільні або логічні значення - 0 або 1 (так або ні, відхилити або прийняти і т.д.).

Розглянуті приклади наглядно демонструють переваги оптимізаційного моделювання - можливість одночасного врахування більшого числа вимог, умов, обмежень, а також відносну свободу у їх перегляді у випадку необхідності.

Зокрема, якщо проекти «В» і «С» є взаємовиключаючими, достатньо додати у модель обмеження виду:

. (2.14)

Якщо ж ці проекти взаємозалежні (тобто проект «В» залежить від виконання проекту «С»), обмеження може бути задано наступним чином: