Динамика и управление посадкой МКТС

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ ПОСАДКОЙ МКТС



Введение

Многократное применение одной и той же МКТС для выполнения различных полётных заданий основано на спасении конструкции и всех систем МКТС на каждом этапе выполнения космического полёта. Завершающий этап - это посадка на поверхность, которую при полёте на Луну МКТС проходит дважды: сначала прилунение на поверхность Луны, а затем приземление на поверхность Земли. Посадка на поверхность Земли и Луны, как и причаливание к МКС и астероиду, - это наиболее ответственный этап космического полёта, который МКТС проходит с помощью маршевых ракетных двигателей, т.е. тех ракетных двигателей, с помощью которых проходил разгон и выход на орбиту [91,92,93,99].

Регулирование силы тяги ракетных двигателей выполняется бортовой системой управления (СУ) по определённому алгоритму, основу которого составляет вычислительная процедура, устанавливающая однозначное соответствие между текущими измеряемыми параметрами движения МКТС при посадке и величинами ускорений, изменяемых за счёт дросселирования тяги двигателя. С другой стороны, при проектировании МКТС также используют алгоритмы управления, с помощью которых проводят математическое моделирование вертикальной посадки и по его результатам определяют основные проектные параметры: запас топлива, максимальную величину силы тяги, диапазон регулирования силы тяги и др. По ряду причин алгоритмы управления, применяемые в проектировании, отличаются от алгоритмов управления, используемых в эксплуатации готовой МКТС. Например, в бортовом алгоритме управления решающую роль играют факторы простоты, быстродействия и надёжности, в то время как при проектировании МКТС важную роль играют программы торможения, оптимальные по тому или иному критерию, по которым выбирают основные проектные параметры. Различия между проектным и бортовым алгоритмами управления являются причинами ухудшения качества проектирования. Но если избыток эффективности управления или чрезмерный запас топлива не всегда требуют оперативного вмешательства в проект МКТС, то ухудшение проектных параметров в противоположном направлении однозначно требует пересмотра конструкции МКТС и выбора новых проектных параметров.

Задача разработки алгоритмов управления летательными аппаратами вообще и алгоритмов торможения МКТС в частности заключается в том, чтобы уже на этапе проектирования разработать и апробировать алгоритмы, которые будут использоваться при эксплуатации создаваемой МКТС. Одно из решений задачи разработки единых алгоритмов торможения находится методом многошагового терминального управления (МТУ). Его суть состоит в том, что временной интервал полёта разбивают на ряд достаточно коротких временных шагов управления, на каждом из которых по текущим измеренным параметрам движения формируют программу торможения. Программа торможения - это зависимость силы тяги тормозных двигателей в функции времени на всей продолжительности торможения, но которая в полёте выполняется в течение одного временного шага. По его истечении опять замеряют параметры движения, составляют новую программу торможения, которая выполняется в течение следующего шага и т.д. [86,87,88].

Наиболее простая программа торможения - это постоянная сила тяги, выдерживаемая в течение всей продолжительности приземления. Её величина находится из аналитического решения дифференциальных уравнений так называемой модельной системы, получаемой из исходной системы дифференциальных уравнений, адекватных физическому процессу торможения МКТС, в результате приложения к ней некоторых допущений, упрощений или предположений. Последовательность программных торможений, выполненных в многошаговом процессе посадки при номинальных характеристиках МКТС и в невозмущённых условиях полёта, называется программой многошагового торможения. В реальных условиях на торможение оказывают воздействие неопределённые, хотя и ограниченные по величине, внешние и параметрические возмущения. При численном интегрировании дифференциальных уравнений исходной системы они имитируются аддитивными добавками к номинальным значениям параметров МКТС, параметров ракетных двигателей и характеристикам внешней среды. Реализующиеся зависимости изменения силы тяги торможения при различных возмущениях представляют собой исходные данные для проектирования МКТС.

Приземление МКТС на поверхность Земли осуществляется в атмосфере, сопротивление которой способствует торможению, после которого вертикальная посадка начинается при отвесном падении с высоты 1-2 км со скоростью 100-150 м/с. Посадка на поверхность Луны проходит в пустоте и торможение осуществляется только с помощью ракетных двигателей.

Вертикальная посадка с помощью сил тяги ракетных двигателей достаточно строго описывается системой из трёх дифференциальных уравнений [94]:

(1)

где - масса МКТС; - скорость; - высота; - сила лобового сопротивления; - сила тяги ракетного двигателя; - скорость истечения частиц сгорания ракетного топлива; - удельный импульс двигателя; - сила притяжения; - возмущающая сила от ветрового воздействия; 9,81 м/с².

Для системы (6.1) заданы начальные условия:



, , , ,(2)

которые соответствуют непосредственному началу торможения для приземления или прилунения.

Посадка завершается конечными параметрами движения:

, , , ,(3)

где время ограничено разумными пределами , а конечная масса - располагаемым запасом топлива. Силы , и считаются положительными, а их направление действия в системе (1) учитывается соответствующими знаками. Силу лобового сопротивления представим в виде:

,(4)

где - коэффициент силы лобового сопротивления, - характерная площадь, - плотность атмосферы.

Сила притяжения определяется центральным полем:

,(5)

где 6371 км - радиус Земли при приземлении; 1737,1 км - радиус Луны при прилунении; 9,81 м/с² - ускорение силы притяжения на поверхности Земли и 1,62 м/с² - на поверхности Луны.

После деления первого уравнения системы (6.1) на получаем дифференциальное уравнение:

,(6)

где - баллистический параметр; - тормозное ускорение; создаваемое тягой ракетного двигателя; ; - внешнее возмущающее ускорение.

Кроме внешних возмущений, исходная система (1) в общем случае подвержена воздействию параметрических возмущений, представляющих реальные, но неизвестные отличия величин конструктивных и аэродинамических характеристик от их номинальных проектных значений, а также ошибкам измерений характеристик движения , , , .

Упрощение системы (1) проводится различными приёмами, в результате которых образуются несколько модельных систем. В каждой модельной системе находятся аналитические решения дифференциальных уравнений, из которых образуются нелинейные алгебраические уравнения для определения текущей программы торможения, составляющей основу программы торможения и соответствующего алгоритма многошагового торможения. По результатам моделирования в условиях воздействия внешних и параметрических возмущений определяются основные проектные параметры МКТС для разработанных алгоритмов управления торможением.

При проектировании МКТС операции измерения и создания тормозящего ускорения имитируются численным интегрированием обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений движения, а операция определения величины тормозящего ускорения выполняется по единому алгоритму, используемому как в проектировании, так и при эксплуатации готового изделия.

Многошаговый алгоритм торможения формируется в системе модельных дифференциальных уравнений, получаемых из исходной системы (1) на основе допущений, позволяющих получить аналитические решения для переменных , , . Подстановка начальных (2) и конечных (3) условий превращает аналитические решения в систему нелинейных алгебраических уравнений относительно управляющих параметров, составляющих закон управления силой тяги ракетного двигателя. Тормозящее ускорение в модельной системе назовём законом программного торможения. Для каждой из рассмотренных модельных систем ставится и решается задача программного торможения с общим допущением .

Построение программы торможения. Программа торможения - это такая величина ускорения , создаваемого ракетным двигателем, которая при отсутствии внешних и параметрических возмущений,, при касании МКТС поверхности, , обеспечивает нулевую скорость, , за конечное время при ограниченном расходе топлива ракетного двигателя .

Примечание. Если ракетных двигателей больше одного, то ускорение считается как сумма ускорений от всех ракетных двигателей.

Задача программного торможения решается на основе допущений в системе (1), позволяющих найти аналитические решения дифференциальных уравнений с приемлемыми погрешностями относительно численных решений исходной системы уравнений движения при имитации реальных условий полёта МКТС.



1. Простейшие программы торможения

Простейшая модельная система образуется из исходной (1) при допущениях: атмосфера отсутствует, , и масса МКТС не изменяется, :

, , .(7)

Интегрирование (6.7) с учётом принятого допущения даёт решение задачи 1 в виде постоянного тормозящего ускорения:

, (8)

действие которого рассчитано до момента касания поверхности:

.(9)

Величина силы реактивной тяги определяется по формуле:

, (10)



массовый секундный расход рассчитывается из простого соотношения:

,(11)

полный расход топлива на приземление составляет:

.(12)

Пример 1: Пусть МКТС массой 40 т начинает торможение с высоты 1000 м при скорости 100 м/с. По формулам (6.9), (6.8), (6.10), (6.11), (6.12) получаем:

20 с, 14,81 м/с², 592,4 кН,

236,96 кг/с, 35260,8 кг.

Полный расход топлива составляет: 4739,2 кг.

Пример 2: Пусть эта же МКТС, 40 т, начинает торможение с меньшей высоты, 500 м, при той же скорости 100 м/с. Вычисления дают:

10 с, 19,81 м/с², 792,4 кН,

316,96 кг/с, 36830,4 кг,

Полный расход топлива: 3169,6 кг. Продолжительность приземления сократилась в два раза, расход топлива уменьшился в полтора раза, силу тяги потребовалось поднять 1,3 раза.

Пример 3: Приземление с повышенной начальной скоростью: 40 т, 500 м, 110 м/с.

9,091 с, 21,91 м/с², 876,4 кН,

350,56 кг/с,36494,4 кг.

Полный расход топлива: 3505,6 кг. Увеличение начальной скорости на 10% приводит к такому же увеличению расхода топлива.

1.1 Программа оптимального торможения

Оптимальное торможение при заданной высоте начала начинается при такой скорости , при которой расходуется минимальное количество топлива. Найдём её величину. Из третьего уравнения (1) имеем:

.(13)

С учётом (10) получаем:

.(14)



Интегрирование (14) даёт:

.(15)

В момент приземления определяем конечную массу:

.(16)

Подстановка (9) и (10) в (16) даёт выражение для определения конечной массы (или полного расхода топлива) в зависимости от начальных условий:

.(17)

Из (17) следует, что полный расход топлива тем меньше (конечная масса тем больше), чем меньше высота начала торможения . Но при этом, как следует из (8), (10), увеличивается требуемая величина силы тяги. Исследуем величину на экстремум, считая её функцией начальной скорости:

,

откуда следует оптимальная величина скорости начала торможения, обеспечивающая минимальный расход топлива двигателей при торможении



.(18)

Максимальная конечная масса МКТС, которая будет при минимальном запасе топлива на приземление, определяется формулой:

.(19)

В примере 2 вычисления дают:

99,045 м/с,

кг.

Минимальный запас топлива для торможения равен 3169,5 кг. Результат почти совпал с результатом примера 2, поскольку начальная скорость практически совпадает с начальной скоростью в примере 2. Оптимальная величина реактивного ускорения при торможении равна:

.(20)

Время оптимального торможения определяется выражением:

.(21)

Если падение МКТС начинается при произвольных значениях высоты и скорости: , то возможны два случая.

1) Случай . Скорость возрастает, высота падает, и наступит момент , когда выполняется равенство: . Решение дифференциальных уравнений свободного падения даёт время достижения момента начала оптимального торможения:

,(22)

скорость падения в этот момент определятся формулой:

,(23)

высота начала оптимального торможения равна:

.(24)

Пусть на высоте 500 м МКТС имеет скорость м/с, которая меньше оптимальной 99,045 м/с. Торможение следует начинать, когда скорость достигнет значения:

90,028 м/с,

которому соответствует высота:

413,1 м.

2) В случае торможение начинается сразу, параметры приземления определяются по формулам (8) - (12).

Вместо (10) запишем более строгое выражение для величины силы тяги:

,(25)

с учётом переменности массы ВКА, . Тогда имеем:

.(26)

Интегрирование (26) при даёт:

.(27)

В конце торможения получаем массу МКТС:

.(28)

С учётом (8) и (9) получаем выражение для конечной массы МКТС:

.(29)



Исследование как функции от на экстремум даёт:

,(30)

что совпадает с результатом (18). Подстановка (30) в (29) даёт:

.(31)

В примере 2 получаем:

36952,9 кг.

Более строгий расчёт показывает уменьшение полного расхода топлива на 122,4 кг по сравнению с результатом кг, полученным по приближённым формулам. Поскольку величина оптимальной начальной скорости одинакова в обоих случаях, то рассмотренная выше стратегия торможения с минимальным расходом топлива остаётся прежней.

Алгоритм оптимального торможения. Алгоритм оптимального торможения представляет собой вычисление тормозящего ускорения по формуле (8) на каждом шаге торможения , , длина которого выбирается с учётом продолжительности торможения (9) на основе параметров движения , . А их измерения имитируются численным интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений (1) с учётом воздействия внешних и параметрических возмущений. Интегрирование проводится методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом 0,01 с. Плотность атмосферы от высоты изменяется по экспоненциальному закону:



,(32)

где 1,225 кг/м³ - плотность на поверхности Земли, . Значение константы необходимо выбирать в зависимости от высоты начала торможения, но поскольку в расчётах эта высота изменялась в узком диапазоне от 250 м до 1200 м, то значение константы во всех случаях выбрано неизменным 10,3 км. Характеристики МКТС приняты следующими: 40 т, 5, 15 м², 2500 м/с. Величина реактивного ускорения на каждом шаге торможения определяется по формуле:

, , (33)

где количество шагов выбирается исходя из протяжённости шага торможения =0,5 с и продолжительности торможения , вычисляемой по формуле (9).

Зависимость изменения тормозящей силы тяги от времени , полученная интегрированием системы дифференциальных уравнений (1) в номинальных условиях, представляет собой программу многошагового торможения и имеет вид ступенчатого изменения силы тяги ракетного двигателя.

1.2 Программа комфортного торможения

Комфортным считается приземление, при котором касание поверхности происходит не только с нулевой скоростью, но и с нулевым ускорением [105]. Один из возможных законов регулирования тормозящего ускорения для выполнения комфортного приземления является линейное уменьшение тормозящего ускорения от некоторой начальной величины до нулевой в конечный момент:

,(34)

где - коэффициент линейности; - продолжительность торможении. Подстановка (34) в первое уравнение (6.1) даёт:

.(35)

Интегрирование (35) при даёт решение для скорости:

.(36)

В конечный момент, , получаем:

.(37)

Интегрирование второго уравнения системы (1) с учётом (36) даёт решение для высоты:

.(38)



В конечный момент, , из (38) выражаем коэффициент линейности:

,(39)

а из (37) получаем выражение для продолжительности торможения:

.(40)

Теперь программа комфортного торможения определена полностью:

.(41)

В начальный момент тормозящее ускорение равно:

.(42)

Конечная масса в результате выгорания топлива равна:

.(43)



В рассматриваемом примере 2 с начальными условиями 500 м, 100 м/с, получаем: 15 с, 0,8889 м/с³, 36234,8 кг, полный расход топлива равен 3765,2 кг.

Исследование на экстремум величины как функции от начальной высоты даёт оптимальную высоту начала торможения:

.(44)

Подстановка (44) в (43) определяет максимальную величину конечной массы:

,(45)

или минимальную величину полного расхода топлива:

.(46)

В примере 2 получаем: =121,305 м/с, 36300,6 кг, =3699,4 кг. Расход больше, чем с программой постоянного торможения на 529,8 кг. Увеличение расхода есть плата за комфортность приземления.

После начала свободного падения, , , , оптимальная стратегия торможения состоит в том, чтобы дождаться момента времени , при котором выполняется условие . Если и такой момент наступит через промежуток времени:

.(47)

При этом на высоте:

(48)

скорость равна:

.(49)

В рассматриваемом примере 2 получаем:

109,023 м/с, 403,9 м,

0,920 с.

Скорость увеличилась на 9 м/с, а высота уменьшилась почти до 400 м.

1.3 Программа торможения с ограниченной тягой

На практике величина силы тяги для торможения ограничивается физическими возможностями ракетного двигателя и в течение некоторого времени после начала торможения сила тяги может удерживаться постоянной. В связи с этим возникает задача определения наименьшей высоты, с которой принципиально обеспечивается приземление с программой заданного постоянного торможения. При заданной величине тормозящего ускорения и известных начальных условиях необходимо определить момент времени свободного движения и соответствующие параметры движения, при которых торможение выполняется при постоянной тяге.

Параметры свободного падения при отсутствии атмосферы определяются выражениями:

,

.(50)

Интегрирование уравнений торможения с момента с параметрами (50), до конечного момента , с параметрами , даёт соотношения:

,

,(51)

которые образуют систему из двух нелинейных уравнений с неизвестными и . Она решается следующим образом. Из первого уравнения (51) выразим продолжительность торможения:



,(52)

Это выражение (52) подставим во второе уравнение (51). В результате получаем квадратное уравнение относительно :

,(52)

решение которого имеет вид:

.(53)

Из (52) следует продолжительность торможения с постоянной тягой:

.(54)

Из первого уравнения (51) получаем скорость в момент начала торможения:

.(55)

Из второго уравнения (50) следует выражение для высоты начала торможения с постоянной тягой:



.(56)

С учётом (56) выражение для скорости (55) принимает вид:

.(57)

С учётом (6.55) момент начала торможения определяется простым выражением:

.(58)

Пусть 25 м/с². Тогда в рассматриваемом примере 2 получаем:

396,2 м, 109,711 м/с,

0,990 с.

Результаты исследования динамики торможения МКТС, приведённые в данном разделе, на основе аналитических решений дифференциальных уравнений без учёта влияния сопротивления атмосферы, кроме научного интереса, имеют большое значение в установлении общих закономерностей, распространяющихся на другие многошаговые алгоритмы торможения. Полученные формульные выражения позволяют оперативно оценить динамические характеристики разрабатываемой МКТС. Полученные результаты полезны при синтезе других алгоритмов торможения, когда простейшая программа торможения используется в качестве начального приближения при нахождении программы торможения в более строгих модельных системах. В таких модельных системах учитывается сопротивление атмосферы, в которой плотность от высоты изменяется по экспоненциальной зависимости, и уменьшение массы МКТС в результате выгорания топлива в ракетных двигателях, в которых нарастание тяги при пуске и спад тяги при останове происходит по соответствующим экспоненциальным зависимостям.



2. Лунная программа торможения

Программа торможения при посадке на Луну вычисляется по модельной системе, которая образуется из исходной (1) в отсутствии атмосферы, , и с учётом переменности массы в результате выгорания топлива в ракетном двигателе. Модельная система с точностью до изменения гравитационного ускорения от высоты тождественна строгой математической модели прилунения:

, , .(59)

Подстановка третьего уравнения системы (59) в первое даёт:

.(60)

После умножения (60) на получаем:

.(61)

Примем допущение о линейной зависимости расхода топлива по времени:

.(62)



Интегрирование (62) даёт зависимость текущей массы от времени:

,(63)

где - удельный массовый секундный расход топлива.

Интегрирование (61) с учётом (63) даёт выражение для текущей скорости:

.(64)

Интегрирование второго уравнения для высоты в системе (59) с учётом (64) даёт зависимость текущей высоты от времени:

. (65)

Поскольку при необходимо иметь , , то, считая , получаем систему из двух нелинейных алгебраических уравнений:

(66)

для определения двух неизвестных и . Из первого соотношения последовательно записываем:



, , ,(67)

получаем зависимость коэффициента , выраженную через :

.(6.68)

Подстановка выражений (67) и (68) во второе уравнение системы (66) и несложные преобразования дают нелинейное квадратное уравнение:

.(69)

После определения вычисляем тормозящее ускорение:

.(70)

Отметим, что без последнего слагаемого выражение (69) представляет квадратное уравнение для определения времени свободного падения тела постоянной массы при отсутствии атмосферы, решение которого имеет вид:

.(71)



В рассматриваемом примере 1 это время равно 7,350 с.

Уравнение (69) решается методом деления пополам, причём решение не может быть меньше значения, полученного по формуле (71), и больше значения (9), которое получается с простейшей программой торможения при отсутствии учёта атмосферы и переменности массы.

В примере 1 время приземления составляет 18,5 с. Удельный массовый секундный расход топлива согласно формуле (68) равен:

1/с.

Вычислим массовый секундный расход топлива:

230,24 кг/с.

Определим конечную массу в результате выгорания топлива по формуле (63):

35740,56 кг.

Для приземления требуется сжечь топливо массой:

4259,44 кг,

что составляет 10,6 % от начальной массы ВКА. Определим необходимую силу тяги ракетного двигателя:

575,6 кН.

После чего определяем тормозящее ускорение:

14,39 м/с².

По сравнению с простейшей программой постоянного торможения лунное программное торможение учитывает изменение массы и имеет преимущество по всем показателям: требуемая тяговооружённость уменьшилась в 1,029 раза, полный расход топлива для торможения уменьшился на 1,2 % (11,8-10,6=1,2%). В абсолютном выражении экономия топлива составляет 479,76 кг.

Поскольку полученное время приземления меньше времени приземления в предыдущей задаче, то последнее выражение следует использовать в качестве верхней оценки при выборе первого приближения к нахождению времени торможения.

2.1 Лунный алгоритм приземления

Программа торможения в многошаговом алгоритме прилунения находится интегрированием системы (1) в номинальных условиях при отсутствии атмосферы. Лунный алгоритм приземления на поверхность Земли состоит в следующем. На каждом шаге торможения по текущим измеряемым параметрам движения , вычисляются оставшееся время торможения из нелинейного алгебраического уравнения:

.(72)

текущий удельный массовый секундный расход топлива:

,(73)

текущий массовый секундный расход топлива:

,(74)



текущая сила тяги торможения:

(75)

и, наконец, текущее тормозящее ускорение:

.(76)

Вычисление продолжительности торможения из нелинейного алгебраического уравнения (72) выполняется последовательными приближениями, когда нулевое приближение выбирается между значениями, полученными по формулам (71) и (9).

Несмотря на название, математическое моделирование лунного алгоритма многошагового торможения проведено для земных условий, когда ускорение силы тяжести вычисляется по формуле:

,(77)

где м³/с², м - радиус Земли, атмосфера считается изотермической, плотность которой определяется формулой:

,(78)

где 1,225 кг/м³ - плотность воздуха на поверхности Земли, 10,3 км.

Интегрировании системы дифференциальных уравнений (1) проведено методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом с.

Управление посадкой МКТС состоит в приложении тормозящего ускорения, создаваемого с помощью силы тяги , и в вычислении в течение этого шага торможения новой силы тяги для следующего шага по времени. Шаги торможения и вычисления проходят с равными промежутками времени , где - постоянное натуральное число. Алгоритм многошагового торможения - это вычисление силы тяги двигателя на каждом шаге. Сила тяги принимается постоянной до следующего шага торможения и вычисления. Если выполняется хотя бы одно из условий при или , где - высота начала торможения и - высота окончания торможения, то тяга обнуляется: .

Таким образом, аналитические решения для параметров движения в модельной системе доведены до нелинейного уравнения относительно времени торможения, решение которого находится последовательными приближениями при существующих хороших оценках диапазона изменения искомого решения. Его границы определяются справа временем торможения по простейшей программе и слева временем свободного падения в вакууме.

Рис.1. Изменение силы тяги в лунном алгоритме приземления



Программа многошагового торможения при посадке МКТС по лунному алгоритму показана на рис. 1. Она получена в условиях изменения массы при отсутствии сопротивления атмосферы и возмущений. Другими словами, программа торможения, показанная на рис. 1, получена в результате численного интегрирования исходной системы (1), в которой учтено сопротивление атмосферы, когда вычисление тормозящего ускорения проводится по модельной системе, в которой сопротивление атмосферы и действие возмущений не учитываются.



3. Программа торможения в однородной атмосфере

Рассмотрим построение программы торможения в модельной системе, учитывающей однородную атмосферу, , при неизменной массе, [99]. Уравнение (6) принимает вид:

.(79)

Полагая , после разделения переменных в уравнении (79) приходим к уравнению с разделёнными переменными:

,(80)

интегрирование которого в пределах от параметров начального состояния , до соответствующих текущих параметров , в предположении, что , даёт решение для скорости вертикального приземления:

.(81)

Подстановка (81) во второе уравнение (1) и последующее интегрирование даёт решение для текущей высоты вертикального приземления:



.(82)

С учётом (81) получаем выражение:

.(83)

Решение задачи программного торможения состоит в одновременном получении следующих параметров поступательного движения:

, , .(84)

Тогда из (82) с учётом (81) и (83) следует:

,(85)

откуда получаем величину реактивного ускорения, необходимую для торможения вертикальной скорости при мягком приземлении МКТС:

.(86)

Выражение (86) определяет программу торможения с помощью силы тяги, создаваемой ракетным двигателем:



,(87)

где полная продолжительность торможения следует из (81):

.(88)

В рассматриваемом примере 6.1 примем 5 и 14 м² и получим следующие результаты:

0,875 10^-3 м²/кг.

Плотность атмосферы примем равной соответствующему значению на уровне моря, 1,225 кг/м³. Тогда 0,001072 1/м. Из (86) получаем:

11,233 м/с².

Сила тяги равна 449,335 кН. Из (88) при определяем продолжительность приземления:

31,272 с.

Массовый секундный расход равен: 179,734 кг/с. Вычислим полный расход топлива: 5620,642 кг.

По сравнению с лунным алгоритмом приземления (раздел 2) в примере 1 тормозящее ускорение уменьшилось с 14,39 м/с² до 11,232 м/с² и сила тяги снизилась с 575,6 кН до 449,335 кН. Однако из-за увеличения продолжительности приземления с 18,5 с до 31,272 с полный расход топлива возрос с 4259,44 кг до 5620,642 кг. Если же в данном примере принять такую же силу тяги торможения 575,6 кН, то это позволит уменьшить высоту начала торможения до величины:

562,6 м.

К этой высоте скорость свободного падения уменьшится до величины:

=98,340 м/с,

и тормозящее ускорение будет составлять значение:

14,239 м/с².

Видим, что полученное значение тормозящего ускорения практически совпадает с тем значением, которое использовано при вычислении высоты начала торможения (14,39 м/с²). Продолжительность торможения сокращается до значения:

14,395 с.

Определим силу тяги торможения 14,395·40000=575,799 кН. При массовом секундном расходе, 230,320 кг/с, полный расход топлива составляет 3315,4 кг. В результате получаем заметную экономию топлива для полученной программы торможения в однородной атмосфере при одинаковой начальной силе тяги торможения.

3.1 Алгоритм приземления с программой торможения для однородной атмосферы

Алгоритм приземления с программой торможения, полученной в однородной атмосфере, отличается от алгоритма с простейшей программой торможения (раздел 1) более точной модельной системой. Для неё в предположении постоянной плотности атмосферы получены аналитические выражения для вычисления текущего тормозящего ускорения. В модельной системе с простейшей программой торможения атмосфера совсем не учитывается. Полученные результаты позволяют более точно оценить проектных параметров МКТС, что количественно подтверждает необходимость составления и получения аналитических решений в более точной модельной системе, т.е. менее отличающейся от исходной системы дифференциальных уравнений. Алгоритм раздела 3 обеспечивает на каждом шаге торможения вычисления текущей величины баллистического параметра:

(89)

и текущей величины тормозящего ускорения:

(90)

при интегрировании системы дифференциальных уравнений (1).

На рис.2 представлена полученная моделированием в номинальных условиях полёта программа многошагового изменения силы тяги ракетного двигателя по полученному алгоритму приземления для МКТС с баллистическим параметром 0,000875 м²/кг, когда торможение начинается с высоты =500 м и тормозящее ускорение изменяется с шагом 0,5 с. Касание поверхности произошло через =21,070 c со скоростью =1,9 м/с. При этом масса МКТС уменьшилась до 37203 кг, что соответствует выгоранию 2793 кг топлива. В начальный момент торможения сила тяги составляла 650 кН, к концу торможения она уменьшилась до 600 кН. Таким образом, требуемое регулирования величины тяги в номинальных условиях равно 50 кН, что составляет 7,7 % от начальной тяги. В условиях преодоления внешних и параметрических возмущений возникает необходимость большего регулирования, но для реальных ракетных двигателей на жидких компонентах топлива регулирование ограничено увеличением силы тяги на 15%.

Рис.2. Изменение силы тяги по алгоритму раздела 3, h₀=500 м, 0,5 с

Полученный алгоритм приземления с программой торможения, рассчитываемой в модельной системе с однородной атмосферой - это шаг в направлении сближения модельной и исходной систем дифференциальных уравнений. Следующий шаг в сближении этих систем заключается в нахождении программы торможения в модельной системе с экспоненциальной атмосферой.



4. Торможение в экспоненциальной атмосфере

Рассмотрим модельную систему:

,,,(91)

в которой плотность атмосферы изменяется по экспоненциальному закону (78).

После умножения числителя и знаменателя левой части первого уравнения (91) на скорость с учётом второго уравнения системы (91) получаем линейное уравнение первой степени относительно :

,(92)

в котором переменность коэффициента перед вторым слагаемым определяется плотностью атмосферы. Рассмотрим однородное уравнение, получаемое из (6.92) отбрасыванием свободного члена:

.(93)

Общее решение (93) имеет вид:

,(94)



где - константа интегрирования. Заменим её неизвестной функцией :

.(95)

Дифференцирование (95) по переменной даёт:

.

Подстановка полученного выражения и выражения (95) в (92) после несложных преобразований даёт:

.(96)

После разделения переменных в (96) имеем уравнение:

.(97)

Сделаем замену переменных:

, , , ,(98)



после чего получаем:

.(99)

Интегрирование (99) даёт:

.(100)

Возвратимся к исходным переменным с учётом (95):

.(101)

Константу определим по начальным условиям и :

,

после чего выражение для квадрата скорости принимает вид:

.(102)



При и получаем величину тормозящего ускорения:

.(103)

Решение для скорости (102) и выражение для тормозящего ускорения (103) содержат бесконечный ряд, для которого необходимо определить сумму. Сходимость ряда и реальное число слагаемых суммы зависят от значения баллистического параметра , которое для ВКА и МКТС превышает 0,001 м²/кг. Число слагаемых может быть весьма значительным. Например, при 0,000875 м²/кг, где 5, для вычисления суммы с достаточной точностью число слагаемых должно быть равным 2 При этом вычисления связаны с получением больших чисел в числителе и знаменателе, деление которых друг на друга может приводить к большим ошибкам.

Таким образом, аналитические решения для параметров движения доведены до выражения требуемого тормозящего ускорения через бесконечный ряд, прямое вычисление суммы которого затруднено арифметическими действиями с огромными числами, которые дают большие погрешности. Для упрощения вычислений сумма ряда была заменена интегралом, приближённо вычисляемым на каждом шаге торможения методом средних прямоугольников.

4.1 Алгоритм приземления с программой торможения для экспоненциальной атмосферы

В полученном алгоритме приземления по сравнению с первыми тремя алгоритмами (разделы 1, 2, 3) модельная система дифференциальных уравнений наиболее близка к исходной системе дифференциальных уравнений и отличается от неё только отсутствием изменения массы от выгорания топлива и переменности ускорения силы притяжения от высоты.

Многошаговый алгоритм приземления с программой торможения, вычисляемой по модельной системе, в которой плотность атмосферы изменяется по экспоненциальному закону, состоит в вычислении на каждом шаге торможения ускорения, создаваемого ракетным двигателем:

,.(104)

На рис.3 представлена полученная моделированием в номинальных условиях полёта зависимость изменения силы тяги ракетного двигателя по алгоритму раздела 4 для МКТС с 0,000875 м²/кг, когда торможение начинается с высоты h₀=500 м и тормозящее ускорение изменяется с шагом 0,5 с. Касание поверхности произошло через =9,762 c со скоростью =0,4 м/с. При этом масса МКТС уменьшилась до 37405 кг, что соответствует выгоранию 2595 кг топлива. Сила тяги 560 кН в начале торможения увеличилась до 775 кН в конце. Регулирования тяги составило 115 кН или 20,5%. Диапазон регулирования почти в 3 раза превышает соответствующий проектный показатель предыдущего алгоритма в разделе 3, но при этом расход топлива уменьшился почти на 200 кг.



Рис.3. Изменение силы тяги по алгоритму раздела 6.4, h₀ =500 м, 0,5 с.

Теперь найдём программу торможения непосредственно в исходной системе дифференциальных уравнений (1), имея в виду, что это постоянная величина тяги, сохраняющаяся во всё время торможения. Простым перебором, интегрируя систему (1) в номинальных условиях (без возмущений), находим идеальную программу торможения с силой тяги P=604,622 кН, которая с высоты примерно 500 м в течение около 9,5 с обеспечивает приземление со скоростью 1,5 м/с. Идеальный алгоритм потребовал 2887 кг топлива. По сравнению с алгоритмом, полученным в данном разделе, это, как ни странно на первый взгляд, на 292 кг больше. Объясняется это тем, что по полученному алгоритму диапазон изменения силы тяги составляет от 550 кН до 780 кН. Средняя сила тяга 665 кН превышает постоянную силу тяги идеального алгоритма, за счёт чего и образуется экономия расхода топлива. Большая требуемая сила тяги и больший необходимый диапазон регулирования силы тяги - это плата за экономию в полученном алгоритме приземления, если не учитывать физическую ограниченность диапазона регулирования тяги ракетного двигателя, имеющего большую массу при создании большей величины силы тяги.

Для сравнения различных многошаговых алгоритмов приземления их необходимо приводить к одинаковым условиям эксплуатации с реальными характеристиками тормозного двигателя - это максимальная сила тяги, диапазон регулирования тяги, динамика перехода тяги с одного уровня на другой, которая определяется постоянными времени двигателя при пуске и останове, и др. Идеальным многошаговым алгоритмом приземления будет такой алгоритм, в котором вычисление силы тяги на текущем шаге торможения проводится по исходной системе дифференциальных уравнений. Это достигается многократным численным интегрированием. Однако если исходная система становится весьма сложной, учитывающей также переменность массы и динамику изменения тяги ракетных двигателей, то численное интегрирование в бортовом компьютере может занимать слишком много времени, что не позволяет делать шаг торможения достаточно малым. Кроме того, повышение порядка исходной системы является причиной расходимости вычислительного процесса в самые неожиданные, трудно прогнозируемые моменты.



5. Параметрическое проектирование МКТС И ВКА

Параметрическое проектирование построено на том, что лётно-технические свойства проектируемого объекта управления, характеристики рулевых органов и характеристики внешней среды представляют параметрами, которые в номинальных условиях полёта сохраняют постоянные значения. Если характеристика не постоянная и имеет, например, линейный характер изменения, то её представляют двумя параметрами, если квадратичный характер, то тремя и т.д. Все параметры считаются случайными величинами, каждая из которых описывается математическим ожиданием, т.е. номинальным проектным значением, и дисперсией. Утроенный корень квадратный из дисперсии представляет собой расчётное параметрическое возмущение, которое может увеличивать или уменьшать номинальный проектный параметр. Моделирование алгоритма приземления проводится с увеличенным и уменьшенным значениями каждого параметрического возмущения, но в проектировании участвует параметрическое возмущение с тем знаком, при котором происходит наихудшее изменение выбранного критерия качества. Наихудшее изменение критерия рассчитывается по каждому возмущению. Затем вычисляется корень квадратный из суммы квадратов всех наихудших изменений критерия. Полученный результат представляет собой количественную добавку к исследуемому критерию качества, в результате чего получаем то значение параметра, которое принимается в проектировании МКТС.

Результаты параметрического проектирования оказываются близкими к результатам статистического моделирования при выполнении следующих условий:

- случайные величины статистически независимы друг от друга;

- количество случайных величин достаточно большое;

- наихудшее и наилучшее изменения критерия примерно одинаковые;

- наихудшие изменения критерия качества сравнимы по каждому возмущению.

В рассматриваемом случае параметрического проектирования таким критериями качества являются три проектных параметра - запас топлива, максимальная сила тяги и диапазон регулирования силы тяги.

Сравнительное проектирование проведено для алгоритма раздела 6.3, в котором программа торможения вычисляется по однородной атмосфере (алгоритм ОА) и алгоритма раздела 4, в котором программа торможения вычисляется по экспоненциальной атмосфере (алгоритм ЭА).

Примем характеристики МКТС: масса в начале торможения 40 т (практически это масса конструкции, оставшаяся после выполнения космического полёта, с запасом топлива на приземление); коэффициент лобового сопротивления , площадь миделевого сечения, образуемая двумя корпусами 14 м². Баллистический параметр равен значению:

0,875 10^-3 м²/кг.

Высота начала торможения принята равной 1200 м. Рассмотрены параметрические возмущения: неточность измерения начальной массы МКТС составляет 500 кг в обоих направлениях (±1,25%), отклонение силы тяги от проектной (nominal) величины равно ±2,0%, погрешность знания номинальной величины коэффициента лобового сопротивления принята на уровне ±20,0%. В качестве внешнего возмущения приняты отличия плотности атмосферы на ±20,0% от стандартной величины.

1. Параметрическое проектирование по алгоритму раздела 4

Результаты моделирования процесса приземления с помощью алгоритма ЭА, в котором программа торможения на каждом шаге вычисляется в экспоненциальной атмосфере, при воздействии внешних и параметрических возмущений приведены в табл.1. Отличительная особенность алгоритма ЭА для данной высоты начала торможения - это практически неизменная программа силы тяги торможения в номинальных условиях: в начале и конце приземления сила тяги постоянна: 410 кН. Она заметно изменяется только при воздействии параметрических и внешних возмущений.

В табл.1 и 2 приняты обозначения: - расход топлива для каждого из случаев воздействия возмущения, - продолжительность торможения, - разность между расходом топлива в номинальном случае и расходом топлива в каждом возмущённом случае. Запас топлива для приземления определяется как алгебраическая сумма массы топлива в номинальном случае и массы топлива, дополнительно расходуемого на преодоление возмущений. Масса топлива, дополнительно расходуемая на преодоление каждого из возмущений, представлена в шестом столбце табл.1 и табл.2 соответствующим числом с положительным знаком.

Таблица 1 Алгоритм ЭА, 1200 м, 0,5 с

Возмущения	, с	, кг	, кН	, кН	, кг
Номинал	31,497	5275	410	410	0
-0,02	28,799	4872	400	470	-403
+0,02	37,186	6056	430	340	+781
=-0,2	24,884	4513	410	480	-762
+0,2	40,102	6246	410	370	+971
	24,884	4513	410	480	-762
	40,102	6246	410	370	+971

Дополнительная масса топлива, расходуемая на преодоление возмущений, определяется как геометрическая сумма масс топлива по каждому возмущению, т.е. корень квадратный от суммы квадратов:

1652,5 кг.

Запас топлива на приземление с помощью алгоритма ЭА равен:

=5275+1652,5=6927,5 кг.

Подобным методом, называемым квазистатистическим методом учёта возмущений, определяются максимальная и минимальная величины силы тяги, создаваемые ракетным двигателем при воздействии возмущений. Сначала вычисляется дополнительная сила тяги, на которую необходимо увеличить номинальную силу тяги при преодолении возмущений, как корень квадратный от суммы квадратов разностей между номинальной величиной силы тяги и увеличенной силой тяги:

130,4 кН,

а затем рассчитывается максимальная величина силы тяги:

410+130,4=540,4 кН.

Аналогично вычисляется минимальная величина силы тяги:

108,2 кН,

410-108,2=301,8 кН.

При максимальной величине силы тяги двигателя 540,4 кН диапазон регулирования величины силы тяги составляет 238,6 кН.

2. Параметрическое проектирование по алгоритму раздела 3

Алгоритм ОА раздела 3 построен на программе торможения, вычисляемой в однородной атмосфере. Результаты моделирования процесса приземления с помощью алгоритма ОА с учётом возмущений представлены в табл.2.

Дополнительная масса топлива, расходуемого на преодоление возмущений, определяется как геометрическая сумма масс топлива по каждому возмущению:

2724,2 кг,

и полный запас топлива равен:

=6083+2724,2=8807,2 кг.

Отклонения силы тяги в большую сторону по алгоритму ОА небольшие:

17,3 кН,

в результате чего максимальная величина силы тяги незначительно отличается от номинальной величины:

440+17,3=457,3 кН.

Таблица 2 Алгоритм ОА, 1200 м, 0,5 с

Возмущения	, с	, кг	, кН	, кН	, кг
Номинал	37,074	6083	440	375	0
=-500 кг	36,034	4400	440	400	-1683
=+500 кг	45,828	7639	440	325	+1556
-0,02	32,898	5496	400	440	-587
+0,02	47,659	7514	450	330	+1431
=-0,2	29,278	5189	450	430	-894
+0,2	47,585	7298	435	345	+1215
	29,278	5189	450	430	-894
	47,585	7298	435	345	+1215



Гораздо большее изменение силы тяги происходит в меньшую сторону:

79,5 кН,

хотя минимальная величина силы тяги в алгоритме ОА слабо отличается от соответствующей величины в алгоритме ЭА:

375-79,5=295,5 кН.

Таким образом, при максимальной величине силы тяги 457,3 кН, которая меньше, чем в алгоритме ЭА, диапазон регулирования величины силы тяги составляет 161,8 кН, который несколько меньше соответствующего диапазона в алгоритме ЭА. Меньшей величиной объясняется больший запас топлива, необходимый в алгоритме ОА. Если эту величину приблизить к соответствующей величине алгоритма ЭА, а это делается уменьшением высоты начала торможения, то можно улучшить одну из важнейших проектных характеристик, т.е. уменьшить запас топлива в алгоритме ОА. Результаты моделирования алгоритма ОА по преодолению возмущений с высоты начала торможения 1100 м показали, что при таком уменьшении высоты начала торможения величины силы тяги в обоих алгоритмах примерно одинаковые.

В результате незначительного возрастания максимальной силы тяги (460 вместо 457,3 кН) и незначительного расширения диапазона регулирования силы тяги (162,2 кН вместо 161,8 кН) уменьшение высоты начала торможения на 100 м (1100 м вместо 1200 м) привело к значительному сокращению запаса топлива на торможение с помощью алгоритма ОА: 7471,5 кг вместо 8807,2 кг. Но этот запас топлива остаётся большим, чем в алгоритме ЭА. Моделирование показывает ещё большее влияние уменьшения высоты начала торможения до 1000 м на сокращение требуемого запаса топлива.

3. Выводы по моделированию алгоритмов ЭА и ОА

В разделах 3 и 4 методом многошагового терминального управления (МТУ) выполнена разработка двух алгоритмов ЭА и ОА торможения с помощью ЖРД при вертикальном приземлении МКТС. Алгоритмы многошагового приземления получены в результате аналитических решений соответствующей модельной системы дифференциальных уравнений движения. В первом алгоритме ОА атмосфера принята однородной, во втором алгоритме ЭА - плотность атмосферы изменяется по экспоненциальному закону. Каждый из разработанных алгоритмов обеспечивает мягкое касание поверхности в условиях непрерывного воздействия неопределённых внешних и параметрических возмущений. Однако количественные показатели работы алгоритмов по таким проектным параметрам, как полный расход топлива, необходимая максимальная величина силы тяги ЖРД, требуемый диапазон регулирования силы тяги оказываются различными.

Таким образом, приходим к следующим выводам.

1. Достаточно простые алгоритмы управления силой тяги ЖРД обеспечивают МКТС мягкое касание поверхности при значительной неопределённости условий приземление из-за внешних и параметрических возмущений.

2. Более совершенный алгоритм управления, в котором модельная система дифференциальных уравнений движения максимально приближена к исходной математической модели, позволяет получить лучшие проектные параметры МКТС.

3. Использование одного и того же алгоритма управления, начиная с ранних этапов разработки и кончая эксплуатацией МКТС, обеспечивает наивысшее качество проектирования при абсолютной надёжности мягкого приземления.

Отметим, что при выполнении условий квазистатистического моделирования, перечисленных в начале раздела 5, полученные результаты параметрического проектирования можно воспроизвести численным моделированием. Конечно, если проинтегрировать систему (1) со всеми возмущениями сразу, задаваемыми своими предельными значениями со знаками, обеспечивающими наихудшее влияние по выбранному критерию, то будет получен результат, ничего общего не имеющий с действительным движением МКТС при приземлении. Как правило, предельные значения параметрических возмущений задаются на уровне вероятности «три сигма». Одновременное действие таких возмущений невозможно. Задача состоит в том, чтобы определить весовой коэффициент, отличный от «трёх», для каждого из возмущений, участвующих в численном моделировании. Это достигается последовательным численным интегрированием системы (1) с уменьшением коэффициента «3» до тех пор, пока в результате моделирования выбранный критерий не будет примерно равным полученному значению в параметрическом проектировании.



6. Программа торможения из обратной задачи динамики

В отличие от прямой задачи динамики, в которой по заданному движению определяются силы, обратная задача динамики состоит в определении движения точки по известным силам. В данном случае силы задаются законом управления, устанавливающим зависимость изменения силы тяги ракетного двигателя от времени.

6.1 Обратная задача программного торможения

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений торможения (1) с прежними обозначениями параметров в виде:

;;,(105)

где время принадлежит отрезку , в котором начальный момент задан, а конечный момент не фиксирован. Здесь параметры , , , (коэффициент аэродинамического сопротивления, плотность атмосферы, удельная тяга, ускорение свободного падения) и внешнее возмущение , вызываемое порывами ветра с различными силой и направлением, содержат известные номинальные составляющие , , , , и неопределенные ограниченные отклонения от них , , , .

Задача состоит в определении закона управления , , который обеспечивает достижение конечного состояния:



, ,(106)

за конечное время .

Задачу решаем методом МТУ, согласно которому постоянная суммарная сила тормозных реактивных двигателей на каждом шаге управления, определяется путем аналитического решения модельной системы дифференциальных уравнений движения МКТС, полученной упрощением системы (105):

, (107)

с начальными условиями , , и конечными условиями (106). Параметры движения измеряются в полете в начале каждого шага построения управления. Остальные величины, а именно: и , , в модели (107), вычисляются в полете в начале каждого шага без учета неопределенностей и с номинальными составляющими и принимаются на всем оставшемся промежутке постоянными и равными своим значениям при и ,,=,. Внешнее воздействие считается известным.

При решении задачи мягкого приземления, как и многих других задач, на первое место выходит не критерий быстродействия и даже не критерий минимального расхода топлива, а соображение простоты и, следовательно, надежности бортового алгоритма управления силами торможения. Другим важным фактором является комфортабельность всего процесса посадки МКТС, что достигается сравнительно малыми скачками в изменении тяги в процессе снижения и в особенности возможно меньшей тормозящей силы в момент касания МКТС посадочной поверхности.

Таким образом, решается терминальная задача: найти наиболее простой и надежный по реализации в бортовом компьютере метод построения МТУ МКТС по упрощенной модели (107) с измерениями и вычислениями координат реального состояния системы управления (отображаемой при моделировании на ПК системой (1) с вычисленным на предыдущем шаге управлением ) в начале каждого - го шага управления ; метод должен обеспечивать приведение МКТС в терминальную точку с заданными координатами:

; ;(108)

где - заданное конечное (терминальное) значение ускорения, например, равное нулю или , с требуемой точностью:

,,,(109)

где , , - заданные погрешности приведения МКТС в терминальное состояние (108).

6.2 Решение обратной задачи программного торможения

В требованиях к терминальному состоянию (108) рассмотрим условие балансировки: при . Из модельной системы (107) следует, что при таком условии выполняется равенство:



(110)

где индекс "к" указывает значения соответствующих величин в момент .

Величина , рассчитываемая по формуле (110), - это та постоянная составляющая управления, ниже которой значение силы тяги торможения не задаётся. Кроме того, исключим из управления составляющие, которые дают сила аэродинамического сопротивления и ветровые воздействия . Наконец, введем в структуру управления составляющую, линейно зависящую от времени так, чтобы в момент приземления она обращалась в нуль. Итак, закон управления силой тяги принимает вид:

(111)

где - максимальное значение силы тяги, а - масштабный множитель, соответственно с размерностями Н и 1/с. Подставим управление (111) в систему (107):