Динамика и управление посадкой МКТС

(112)

Сумму последних двух слагаемых в (112) с большой степенью точности можно считать равной нулю, тогда получаем:

(113)



Проинтегрируем уравнение (113) на отрезке времени от до . Учитывая постоянство массы , получаем:

(114)

С учетом (114) проинтегрируем второе уравнение в модельной системе (107):

(115)

Из (114) при , , получаем:

(116)

Из (115) при , , имеем:

С учётом (116) получаем:

откуда следует выражение для неизвестного коэффициент:

.(117)



Из выражения (114) с учетом (116) следует:

,

а с учётом (117) получаем:

(118)

Подставляя (117), (118) в закон управления (111), получим выражение для силы тяги:

,(119)

представляющее синтезированный закон изменения тормозящей тяги в функции скорости на отрезке но действующий фактически только на одном шаге , многошагового процесса приземления:

,

(120)

Изменение параметров движения при торможении по закону (120) описывается, согласно решению (114), (115), выражениями:



(121)

где

Благодаря малости шага управления 0,4 с, , не обязательно строго выдерживать найденный закон управления (120) тягой в функции скорости, достаточно вычислять тягу при и выдержать ее постоянной в течение шага Фактически это означает, что вместо квадратичного закона управления (120) на каждом шаге реализуется кусочно-постоянное управление:

(122)

аппроксимирующее полученное управление (120).

6.3 Моделирование вертикального приземления МКТС по многошаговым алгоритмам разделов 3 и 6

В начале торможения заданы следующие параметры движения:

с;100 м;40 м/с;8800 кг.

Параметры МКТС имеют следующие значения:

=0,005 м/кг; .

Учитываемые возмущения записываются в виде:



,

где ; кг/м³; км; км;

с; м²; ;

м/с²; м; м/с².

Неопределенные возмущения удовлетворяют ограничениям:

;;

;.

Моделирование системы (1) на ПК проведено с управлением МТУ (122) и с управлением МТУ , разработанным в разделе 3.1, в следующем порядке.

1. Ввести начальные условия .

2. Задать начальные значения ; ; ; ; ; 0,4 с.

3. Вычислить номинальные значения плотности атмосферы , коэффициента силы аэродинамического сопротивления (в расчётах принято значение ), ускорения силы притяжения Земли .

4. Вычислить значение тормозящей силы , если оно окажется больше максимального значения тяги , то принимается =.

Интегрировать систему (6.1) с шагом и определить значения параметров , в конце текущего шага управления.

6. Проверить условие и, если оно выполняется, то вычислить момент начала следующего шага управления , фиксировать значения , , , и перейти к действию 8.

7. Вычислить дробный шаг интегрирования и перейти к действию

8. Проверить условие м, если оно не выполняется, то положить =, , и перейти к действию 3.

9. Окончание вычислений.

6.4 Результаты моделирования и сопоставление методов МТУ

Моделирование системы (1) при номинальных и возмущенных характеристиках МКТС и внешней среды показало решение поставленной задачи приземления: , , при с обоими алгоритмами и . Отмечены следующие результаты.

1. Алгоритм обеспечивает решение задачи приземления, но приводит к резкому возрастанию силы тяги с последующим уменьшением, тогда как алгоритм (122) обеспечивает монотонное и без резких изменений уменьшение тяги к моменту приземления.

2. Время приземления с алгоритмом затягивается до 7,6 с (а при учете запаздываний в вычислениях силы торможения - до 10,3 с), в то время как с алгоритмом это время составляет лишь 6,3 с и практически не изменяется при учете запаздываний.

3. Полный расход топлива с алгоритмом составляет 336,6 кг (423 кг при учете запаздывания), тогда как с алгоритмом он равен 298,1 кг (299,9 кг).

4. Перегрузка, измеряемая как отношение кажущегося ускорения к ускорению силы притяжения , принимает значение 20,09/9,81 с алгоритмом и 23,59/9,81 с алгоритмом .

Уменьшение начальной высоты приводит в обоих алгоритмах к увеличению потребной максимальной тяги , но к меньшему расходу топлива и наоборот.

Таким образом, полученный алгоритм мягкого приземления (122) позволяет, как и алгоритм приземления раздела 3 , решать задачу без предварительного определения или настройки каких-либо коэффициентов. Это особенно важно для практической реализации алгоритмов приземления в бортовой системе управления, готовой обеспечить мягкое приземление в широком диапазоне начальных условий, исходных данных и неопределённых возмущений. Данное преимущество обусловлено учетом всех основных нелинейностей в модельной системе, по которой находится программа торможения для многошагового алгоритма торможения.

Представленные в данной главе результаты имеют общий характер и пригодны для формирования управления мягким вертикальным приземлением посадочных модулей различного типа при торможении с помощью ракетных двигателей.

6. Обсуждение результатов разделов 1 - 6

В разделах 1-6 главы 5 представлены результаты синтеза ряда многошаговых алгоритмов приземления многоразовой космической транспортной системы (МКТС) при вертикальном приземлении с помощью ракетных двигателей методом многошагового терминального управления (МТУ). Его основу составляют полученные аналитические решения дифференциальных уравнений вертикального поступательного движения ВКА в атмосфере, большинство из которых представлены впервые.

Полученные алгоритмы отличаются друг от друга модельными системами дифференциальных уравнений, по которым формируется программа торможения в многошаговом процессе приземления. Простейшие программы торможения получены в разделе 1 по модельной системе, не учитывающей сопротивление атмосферы и изменение массы от расхода топлива ракетных двигателях. Лунная программа торможения получена в разделе 2 по модельной системе, в которой учтено уменьшение массы МКТС при выгорании топлива в ракетных двигателях.

В модельной системе раздела 3 учтено торможение МКТС в атмосфере с постоянной плотностью. В модельной системе раздела 4 учтено сопротивление атмосферы с экспоненциальной плотностью. Наконец в разделе 5 проведён синтез многошагового алгоритма приземления с программой торможения, полученной на основе обратной задачи динамики.

Как показали результаты численного моделирования, все разработанные многошаговые алгоритмы приземления при полном измерении в полёте параметров движения обеспечивает мягкое вертикальное приземление МКТС в условиях преодоления постоянного воздействия неопределённых внешних и параметрических возмущений. Отличия результатов моделирования по различным алгоритмам состоят в различных величинах основных проектных параметров, получаемых при проектировании МКТС, в котором используется тот или иной многошаговый алгоритм приземления. Из основных проектных параметров рассмотрены: максимальная величина силы тяги ракетного двигателя, диапазон регулирования силы тяги, и запас топлива для приземления. При этом в главе 2 показано, как следует модифицировать полученные алгоритмы, учитывая динамику нарастания тяги при пуске реального двигателя и спад тяги двигателя при его останове, которые проходят по соответствующим экспоненциальным зависимостям. Сами процессы приземления отличаются характером изменения силы тяги, создаваемой ракетным двигателем для торможения. Зависимость изменения силы тяги может быть монотонной или с экстремумом, плавной или резкой. Именно от этих указанных параметров и характера их изменения в значительной степени зависят габаритно-массовые и лётно-технические характеристики проектируемой МКТС.

Для каждого алгоритма приземления существуют оптимальные проектные параметры, отличающиеся от оптимальных проектных параметров остальных алгоритмов. Причём различные наборы проектных параметров могут быть оптимальными по различным критериям и достигаться в различных режимах эксплуатации, одним из важнейших показателей которой является высота начала торможения. Её увеличение приводит к уменьшению силы тяги и к увеличению полного расхода топлива во всех алгоритмах.

Влияние возмущений на основные проектные параметры в каждом алгоритме проявляется тем больше, чем больше сила тяги торможения, поэтому стремление снизить необходимый запас топлива за счёт уменьшения высоты начала торможения необходимо соизмерять с существующей реальностью ухудшения проектных параметров. Для каждого алгоритма следует отыскивать оптимальную высоту начала торможения, при которой достигаются наилучшие проектные параметры.

Наиболее совершенным представляется многошаговый алгоритм приземления с программой торможения, формируемой по модельной системе, в которой плотность атмосферы изменяется по экспоненциальному закону и которая получена из исходной системы дифференциальных уравнений с меньшим числом допущений. Для этого алгоритма существуют такие условия эксплуатации (высота и скорость начала торможения), при которых ВКА приобретает оптимальные основные проектные параметры, которые лучше оптимальных основных проектных параметров, полученных с другими алгоритмами, по всем критериям, кроме простоты и, следовательно, надёжности. Что объясняется не простыми вычислениями текущего тормозящего ускорения. Поэтому лучшим алгоритмом, единым в проектировании и эксплуатации, может оказаться алгоритм приземления с программой торможения, формируемой по модельной систем с однородной атмосферой, который, незначительно проигрывая по основным проектным параметрам, может оказаться значительно более надёжным в эксплуатации.

Идеальным алгоритмом приземления, применяемым при проектировании и последующей эксплуатации штатной МКТС, представляется такой, в котором модельная система совпадает с исходной и текущая величина тормозящего ускорения находится численным интегрированием исходных дифференциальных уравнений, адекватно описывающих физические процессы торможения и вертикального приземления. Реализацию идеального алгоритма принципиально может обеспечить современный бортовой компьютер при выполнении указанного интегрирования за 0,1-0,2 с. Однако итерационные численные методы имеют склонность к неустойчивости и расходимости, что при эксплуатации МКТС недопустимо. Поэтому разработанные алгоритмы приземления могут не только давать начальное приближение для получения решения с заданной точностью, но также дублировать выдачу текущего решения в случае возникновения аномального расходящегося вычислительного процесса.

Ещё одним важным фактором, влияющим на надёжность эксплуатации ВКА, является точность измерения параметров движения в полёте. Как показывают результаты моделирования, точность инерциальных измерений, проводимых с помощью акселерометров и датчиков угловой скорости и используемых при решении навигационной задачи, не всегда обеспечивает безопасное и комфортное приземление. Необходима коррекция инерциальных показаний, например, с помощью аппаратуры спутниковой навигации (АСН) на заключительном участке приземления. Другой способ повышения точности знания параметров движения - это применение фотонных высотомеров, которые в диапазоне высот от 0 до 10 м при скорости сближения от 0 до 15 м/с дают измерения высоты с погрешностью не более 3%. При этом они не требуют антенны, работают через корпус ракеты или обшивку самолёта, через плазменную струю ракетного двигателя.



7. Выводы по исследованию вертикального приземления

Проведённые исследования по разработке алгоритмов управления силой тяги штатных ЖРД при вертикальном приземлении многоразовой первой ступени гипотетической ракеты космического назначения показали следующее.

1. Разработаны четыре алгоритма многошагового торможения (МТ) для мягкого вертикального приземления посадочных модулей (ПМ), которыми могут быть ступени ракет космического назначения, предназначенные для повторного применения, возвращаемые космические аппараты, космическая ракета в целом. Алгоритмы МТ отличаются различной степенью точности каждой из модельных систем дифференциальных уравнений, для которых получены аналитические решения, из которых формируются алгебраические уравнения для определения управляющих параметров в законе регулирования силы тяги торможения ракетного двигателя:

1.1. Наиболее простой алгоритм МТ-1 на основе модельной системы, в которой не учитываются атмосфера и переменность массы ПМ, обусловленная сгоранием топлива, позволяет провести исчерпывающее аналитическое исследование законов управления и динамики торможения, результаты которого полезны при исследовании других алгоритмов торможения.

1.2. Алгоритм МТ-2 построен на основе модельной системы предыдущего алгоритма, в которой учтено изменение массы от выгорания топлива в двигателе при вырабатывании тормозящего импульса. Аналитические решения модельной системы для параметров движения доведены до нелинейного алгебраического уравнения относительно времени торможения, которое находится последовательными приближениями при существующих хороших оценках на диапазон изменения искомого решения, определяемый справа временем торможения из модельной системы алгоритма МТ-1 и слева временем свободного падения в вакууме.

1.3. Алгоритм МТ-3 сформирован из модельной системы, учитывающей однородную атмосферу и не учитывающей изменение массы. Её аналитические решения для параметров движения доведены до простых алгебраических уравнений относительно величины тормозящего ускорения и времени торможения.

1.4. В модельной системе алгоритма МТ-4 учтено экспоненциальное изменение плотности атмосферы. Её аналитические решения для параметров движения доведены до выражения требуемого тормозящего ускорения через бесконечный ряд, прямое вычисление суммы которого затруднено арифметическими действиями с огромными числами, которые дают большие погрешности. Для упрощения вычислений сумма ряда была заменена интегралом, приближённо вычислением на каждом шаге торможения.

2. Все разработанные алгоритмы МТ при точном измерении параметров движения принципиально обеспечивают мягкое вертикальное приземление ПМ со скоростью касания поверхности не более 1 м/с.

3. Отличие разработанных алгоритмов МТ друг от друга состоит в различных значениях проектных параметров - запаса топлива, максимальной величины силы тяги двигателя, требуемого диапазона регулирования силы тяги, которые определяются при численном моделировании алгоритмов в условиях преодоления постоянно действующих неопределённых внешних и параметрических возмущений.

4. Результаты моделирования показывают, что проектные параметры тем лучше, чем точнее модельная система, т.е. чем меньше модельные дифференциальные уравнения отличаются от исходных дифференциальных уравнений. Наилучшее проектирование обеспечивают алгоритм МТ-4 при посадке в атмосфере и алгоритм МТ-2 при посадке на поверхность в отсутствии атмосферы.

Идеальным алгоритмом МТ, пригодным для применения как при проектировании, так и при последующей эксплуатации штатного ПМ, представляется такой, в котором модельная система совпадает с исходной и текущая величина тормозящего ускорения находится на основе численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений, адекватно описывающих физические процессы реактивного торможения и вертикального приземления. Реализацию идеального алгоритма может обеспечить современный вычислитель при выполнении указанного интегрирования за 0,1 - 0,2 с.

6. Уменьшение высоты начала торможения требует увеличения силы тяги тормозных двигателей, что в номинальных условиях приводит к уменьшению полного расхода топлива.

7. Влияние возмущений проявляется тем больше, чем больше сила тяги торможения, поэтому стремление снизить необходимый запас топлива за счёт уменьшения высоты начала торможения необходимо соизмерять с существующей реальностью ухудшения проектных параметров. По-видимому, следует отыскивать оптимальную высоту начала торможения, при которой достигается наилучшее проектирование.

8. На основе аналитического решения дифференциальных уравнений квазиустановившегося падения ПМ, предшествующего торможению, разработан алгоритм параметрической идентификации, по которому точность определения реального баллистического параметра по измеряемым параметрам движения в четыре раза превосходит проектную



8. Горизонтальная посадка МКТС

Исходная при старте и заключительная при приземлении двухкорпусная компоновка МКТС может обладать аэродинамическим качеством, достаточным для выполнения горизонтального приземления. Такое предположение основано на том факте, что благодаря интерференции корпусов подъёмная сила может вырасти не в два раза по сравнению с одним корпусом, в значительно большее число раз. При этом сила лобового сопротивления может не только не увеличиться, но даже уменьшиться при оптимальном выборе геометрической формы двух головных обтекателей. Предполагается, что угол атаки, необходимый для получения подъёмной силы и, следовательно, аэродинамического качества, МКТС будет получать с помощью рулевых ракетных двигателей, расположенных в соответствующих отсеках каждого из двух корпусов МКТС в пакетной компоновке.

Чтобы исключить шасси, которое имели космические челноки и которое, кроме сложности и ненадёжности, существенно поднимает удельную стоимость полезной нагрузки, выводимой в космос и возвращаемой на Землю, посадку предлагается совершать на посадочную платформу, перемещающуюся по взлётно-посадочной полосе с определённой скоростью. Её разгон, как и торможение, осуществляются с помощью тех же ракетных двигателей, которые используются на самой МКТС в качестве маршевых или рулевых.

Больше того, как показывают оценки, горизонтальный старт МКТС при разгоне с помощью подвижной платформы может оказаться более эффективным, чем с помощью самолёта-разгонщика, благодаря её неограниченным размерам и мощности ракетных двигателей, используемых для разгона и торможения платформы.



8.1 Кинематические параметры траектории посадки МКТС

МКТС заходит на посадку, как обычно, в начало ВПП, где находится посадочная платформа, обладающая свободой передвижения в попутном направлении с максимальной скоростью, совпадающей со скоростью МКТС в момент касания платформы. После закрепления МКТС на поверхности платформы с момента времени платформа тормозит движение вплоть до полной остановки.

Как и для обычного самолета, посадка МКТС состоит из планирования и выравнивания. Планирование начинается на высоте примерно 500 м, проходит под углом около 2,5° и выполняется путём удержания продольной оси по вектору скорости за счёт стабилизации углового движения по радиолинии, соединяющей самолёт с приемником-ответчиком, размещаемым на ВПП [95]. Выравнивание начинается с некоторой высоты и проходит по определённой траектории, обеспечивающей касание ВПП с допустимой скоростью.

Планирование происходит без участия силы тяги маршевого двигателя под воздействием только сопротивления атмосферы. Учитывая, что наклон вектора скорости к горизонту очень малый, будем считать полёт горизонтальным, при котором сила веса практически не оказывает влияния на скорость полёта, и для его описания воспользуемся следующим дифференциальным уравнением

,(123)

где - координата продольного перемещения МКТС; - её масса; - коэффициент силы лобового сопротивления; - плотность атмосферы; - площадь миделевого сечения; - скорость полёта. С учётом последнего соотношения уравнение (123) представим в виде:

.(124)

После разделения переменных и интегрирования получаем решение для скорости:

,

откуда выражаем время:

.

Введём обозначение и представим последние два выражения в соответствующем виде:

,(125)

.(126)

Теперь проинтегрируем кинематическое уравнение:

(127)



с учётом решения (125) в пределах от до и от до :

.(128)

Выразим из (126) и подставим в (128). Получаем зависимость текущей дальности полёта от скорости:

.(129)

К моменту достижения заданной конечной скорости МКТС преодолевает расстояние:

.(130)

Пусть МКТС представляет собой трансформирующуюся аэродинамическую компоновку из двух ракет, каждая из которых имеет диаметр 2 м и пустую массу 10 т. Примем коэффициент =1,0 для одного корпуса и будем считать, что аэродинамическая интерференция между корпусами отсутствует. Вычисления для пакетной двухосной компоновки МКТС дают:

0,0001925 1/м.

Выравнивание полёта обычного самолёта начинается при скорости около 300 км/час (83,333 м/с) и заканчивается касанием ВПП при скорости около 200 км/час (55,555 м/с). Вычисление по формуле (130) показывает протяжённость выравнивания =2106,3 км. По времени, как это следует из формулы (126), выравнивание продолжается в течение 31,170 с.

К этому моменту и в этой точке ВПП платформа массой , разгоняемая двигателем с тягой , должна иметь соответствующую скорость 55,555 м/с. Предположим, что приёмник-передатчик, по которому МКТС наводится на ВПП, расположен на платформе и поэтому, чтобы платформа не ушла из зоны радио-видимости, разгон платформы начинается в момент начала выравнивания. Из уравнения горизонтального разгона:

,(131)

где - приведенная масса МКТС плюс платформа, следует, что для достижения скорости 55,555 м/с за время 31,170 с необходимое ускорение равно:

1,782 м/с².

Изменение высоты траектории выравнивания самолёта обычно близко к экспоненциальной зависимости:

,(132)

где начальная высота и постоянная времени определяются из конкретных условий приземления. Назначим конечную высоту выравнивания , тогда из (132) следует:



.(133)

Продифференцируем (132) по времени:

.(134)

Вертикальная скорость в начале выравнивания равна:

-3,635 м/с.

Тогда из (134) получаем ещё одно уравнение:

.(135)

Итого имеем два уравнения (133) и (135) для определения двух неизвестных и . Подставляя (135) в (133) получаем уравнение относительно :

.(136)

При 1 м с учётом 31,170 с из (136) после нескольких приближений получаем значение постоянной времени =5,3 с. После чего из (135) получаем начальную высоту выравнивания 19,266 м.

При условии начала планирования с высоты 500 м из геометрических построений находим протяжённость участка планирования:

км.

Используя формулу (130) и зная значение конечной скорости планирования 83,333 м/с, найдём начальную скорость планирования:

755,481 м/с.

По формуле (126) получаем продолжительность планирования 55,462 с.

Рис.4. Посадка МКТС на подвижную платформу

Таким образом, определили кинематические параметры траектории посадки МКТС, состоящей из планирования и выравнивания. Эти данные используются для начального проектирования и последующей разработки алгоритмов управления горизонтальным приземлением ВКТС на подвижную платформу без помощи шасси. Кроме того, эти данные позволяют оценить балансировочные возможности полёта МКТС на угле атаки с подъёмной силой, уравновешивающей силу тяжести.



Рис. 5. Траектория горизонтальной посадки МКТС на посадочную платформу

Для горизонтального приземления и старта МКТС детальной проработки требуют следующие схемно-технические решения.

1. Посадка ВКТС с горизонтальным приземлением на посадочную платформу, которая находится в начале посадочной полосы и ожидает приближения спускающейся МКТС. В некоторый момент времени она разгоняется до определенной скорости так, чтобы касание МКТС с посадочной платформой осуществляется со скоростью, близкой к нулевой. После этого платформа тормозит свою скорость с находящейся на ней МКТС.

2. Посадочная платформа имеет воздушную подвеску, что позволяет уменьшить трение в ходовой части посадочной платформы.

3. Подвеска посадочной платформы образована электромагнитными силами, создаваемыми электрическим током, генерируемым при преобразовании кинетической энергии МКТС в электрическую.

4. Вместо посадочной платформы используется самолёт-разгонщик, на верхнюю часть фюзеляжа которого осуществляет посадку МКТС.

Подвижная платформа используется для горизонтального разгона МКТС при старте.

6. Подвижная платформа используется для разгона самолёта-разгонщика с находящейся на нём МКТС.

8.2 Многоразовый космический транспортный самолёт

Актуальность проработки предложенных технических решений обусловлена тем, что отсутствие взлётно-посадочного шасси на борту МКТС повышает надёжность безопасного старта и, в особенности, горизонтальной посадки, так как надежность срабатывания столь сложного и ответственного устройства как шасси снижается с увеличением продолжительности пребывания МКТС в космосе. Кроме того, посадка МКТС без шасси позволяет увеличить массу доставляемых на орбиту и возвращаемых на Землю грузов на величину массы шасси, а само приземление становится намного комфортабельнее в силу близких к нулевым значениям горизонтальной и вертикальной составляющих скорости МКТС относительно платформы в момент ее касания.

Повысить аэродинамическое качество до величины, необходимой для горизонтального приземления, предлагается с помощью одного из двух конструктивно-компоновочных решений, после которых приходим к ККС многоразового космического транспортного самолёта с двумя фюзеляжами с прежней аббревиатурой МКТС.

1. По первому решению каждый из двух фюзеляжей МКТС имеет по одной несущей горизонтальной плоскости, образующей левое и правое крылья, которые оборудованы механизацией в виде закрылков и/или зависающих элеронов. Имеется вертикальное оперение в виде поворотного руля - киля. При старте, разгоне манёврах в космосе, а также при посадке МКТС имеет пакетную компоновку самолета с двумя фюзеляжами (рис.7).

2. По второму решению каждый из двух фюзеляжей оборудован поворотным рулём хвостового горизонтального оперения, используемым для управления и получения аэродинамического качества, достаточного для горизонтального приземления.

В одноосной аэродинамической компоновке МКТС при входе в атмосферу ориентируются своей одной продольной осью перпендикулярно вектору скорости и тем самым приобретают максимально возможное лобовое сопротивление (рис.8). Для получения аэродинамического качества, позволяющего регулировать перегрузку, снизить ее величину до 2-3 и сделать спуск комфортным даже для космического туриста, в поперечной плоскости симметрии предусматривается возможность смещения центра масс. Тогда МКТС в аксиальной компоновке и с сочлененными горизонтальными плоскостями устанавливался на балансировочном угле, при котором сочлененные фюзеляжи ориентированы навстречу набегающему потоку, обеспечивая аэродинамическую тень горизонтальным плоскостям.

Рис.6. МКТС с двумя фюзеляжами в пакетной компоновке

Крылья и хвостовое оперение принимают участие в создании подъемной силы, не подвергаясь непосредственному воздействию тепловых потоков и, тем самым, сохраняя свои аэродинамические обводы в целости для выполнения горизонтальной посадки. Вертикальное оперение в виде двух поворотных рулей - килей используется как для управления направлением спуска, так и для разворота МКТС вокруг продольной оси.



Рис.7. МКТС с двумя фюзеляжами в аксиальной компоновке

После гашения скорости и выхода в отвесное вертикальное падение с высоты 10-15 км МКТС совершает обратное трансформирование в пакетную компоновку из двух фюзеляжей и, используя высокое аэродинамическое качество (6-8), создаваемое крыльями на трансзвуковых и дозвуковых скоростях, совершает горизонтальную посадку на посадочную платформу.

Рис.8. Вид на МКТС в пакетной компоновке сбоку



9. Управление движением посадочной платформы

Применение шасси в горизонтальной посадке возвращаемых космических аппаратов (ВКА), как, например, у американских космических челноков, связано с чрезмерным снижением эффективности эксплуатации ВКА - масса полезной нагрузки уменьшается на величину массы шасси как при выходе на орбиту, так и при возвращении на Землю. В данном разделе рассматривается принцип горизонтальной посадки МКТС без шасси на специальную посадочную платформу (ПП), перемещающуюся по уложенным рельсам с помощью двух ракетных двигателей. Один двигатель создаёт силу тяги для разгона платформы, а другой - силу тяги для её торможения так, чтобы в заданный момент на заданном расстоянии посадочной полосы произошло касание МКТС поверхности платформы, когда скорость ПП равна горизонтальной посадочной скорости МКТС.

Задача управления движением ПП состоит в построении закона управления, т.е. в установлении момента выключения первого ракетного двигателя, который создаёт силу тяги для разгона платформы, и момента включения второго двигателя, который осуществляет её торможение. В начальный момент времени состояние платформы определяется параметрами:

,,,(137)

где - координата текущего положения платформы на взлётно-посадочной полосе (ВПП); - скорость перемещения платформы.

В конечный заданный момент времени состояние платформы должно определяться следующими заданными параметрами движения:



,,,(138)

которые определяются из прогноза поведения МКТС, заходящего на посадку.

Структуру закона управления ракетными двигателями представим в виде импульса положительной силы тяги ракетного двигателя, направленного на разгон платформы, импульса отрицательной силы тяги двигателя, направленного на торможение, и паузы между включениями двигателей, как показано на рис.9.

9.1 Простейшая задача управления двигателями платформы

В простейшей задаче движение посадочной платформы рассматривается только под действием сил тяги ракетных двигателей, которое описывается следующими дифференциальными уравнениями:

,(139)

где ; - сила тяги, одинаковая для обоих ракетных двигателей; - масса платформы. Положительный знак принимается при разгоне, отрицательный - при торможении. Решение задачи конструирования закона управления движением платформы получим на основе аналитических решений дифференциальных уравнений поступательного движения (139) с начальными условиями (137) последовательно на трёх промежутках: , и . При этом параметры движения в конце первого и второго промежутков принимаются в качестве начальных условий для уравнений движения соответственно на втором и третьем промежутках.

1. Первый промежуток - полуинтервал, . На нём проводится разгон, описываемый уравнениями , , с начальными условиями (137). Последовательное интегрирование уравнений даёт выражения для текущих величин скорости и дальности при разгоне на первом полуинтервале:

,

.

В конце первого полуинтервала величины скорости и дальности определяются следующими выражениями:

,

.(140)

2. Второй полуинтервал, . Здесь движение платформы осуществляется с выключенными ракетными двигателями, которое описывается уравнением , , с начальными условиями (140). Интегрирование даёт следующие выражения для скорости и дальности:



,

.

В конце второго отрезка величины скорости и дальности определяются выражениями:

,

.(141)

Подстановка второго выражения из (140) во второе выражение системы (141) даёт величину дальности в конце второго полуинтервала:

.(142)

3. Третий промежуток - отрезок, . На этом отрезке осуществляется торможение, которое описывается уравнениями , , с начальными условиями (141, первое выражение) и (142). Последовательное интегрирование даёт следующие выражения для текущих величин скорости и дальности на третьем отрезке:

,

.

В конце третьего промежутка величины скорости и дальности определяются выражениями:



,

.(143)

Подстановка первого выражения из (141) и выражения (142) в уравнения системы (143) после преобразований даёт:

,

.(144)

При заданных значениях и имеем систему (144) из двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и . Упростим решение системы (144), полагая начальный момент времени равным нулю . Из первого уравнения (144) выразим момент времени

.

Его выражение подставим во второе уравнение (144), после несложных преобразований приходим к квадратному уравнению относительно момента времени , решение которого при даёт формулу для вычисления момента выключения двигателя разгона:

(145)



и формулу для вычисления момента включения двигателя торможения:

.(146)

Таким образом, определили закон управления работой ракетных двигателей в решении простейшей задачи: разгона посадочной платформы до заданной скорости на заданной дальности за заданное время - это прогнозируемые параметры движения ВКА, совершающего посадку на подвижную платформу. Двигатель разгона выключается в момент времени , а двигатель торможения включается в момент времени . В течение паузы двигатели отключены. После этого платформа с закреплённым ВКА совершает торможение соответствующим двигателем до полной остановки. Такое движение описывается уравнением с начальными условиями: и . Последовательное интегрирование даёт выражения для текущих величин скорости и дальности:

,

.

В момент остановки , скорость равна нулю:

,



Откуда определяем момент окончания посадки:

,(147)

на расстоянии от начала движения посадочной платформы, определяемом формулой:

.(148)

Пример 4. Пусть посадочная платформа разгоняется и тормозится двумя ракетными двигателями, создающими ускорение 50 м/с² каждый. Требуется построить закон включения - выключения двигателей, чтобы за время 10 с на расстоянии 2 км скорость движения составляла 250 м/с.

Решение. По формуле (145) со знаком минус перед радикалом получаем значения момента выключения двигателя разгона :

5,564 с.

По формуле (146) со знаком плюс перед радикалом получаем значение момента включения двигателя торможения:

9,436 с.

Таким образом, получили: посадочная платформа разгоняется с ускорением 50 м/с² в течение с до скорости:

м/с,

затем в течение 9,436-5,564=3,872 с движется с постоянной скоростью до момента с. С этого момента она тормозится в течение 10-9,436=0,564 с с таким же ускорением 50 м/с² до заданного момента с. В этот момент скорость достигает заданного значения:

250 м/с

на заданной дальности:

2000 м.

Суммарное время работы двух ракетных двигателей составляет:

с.

Пусть платформа имеет массу 10 т. Тогда для получения ускорения 50 м/с² сила тяги одного двигателя равна: кН. С удельным импульсом 300 с массовый секундный расход топлива одного двигателя равен: 169,895 кг/с. За время работы обоих двигателей сжигается топливо массой:

1041,1 кг.

9.2. Управление двигателями платформы с учётом атмосферы

Решение задачи разгона платформы в атмосфере облегчается тем, что её плотность остаётся неизменной и равной 1,225 кг/м³ в течение всего движения платформы [109]. Уравнения поступательного движения платформы с учётом сопротивления атмосферы имеет вид:

,,(149)

где - коэффициент силы лобового сопротивления; - площадь поперечного сечения платформы; - масса платформы; - плотность атмосферы.

1. Первый полуинтервал, . Разгон платформы описывается уравнением:

,(150)

с начальными условиями (137). После разделения переменных и введения обозначений приходим к уравнению:

,(151)

где ,. Последний коэффициент имеет смысл баллистического параметра, умноженного на величину плотности. Поскольку движение ПП происходит на поверхности, то коэффициент всего лишь в 1,225 раз превышает параметр .

Примем начальную скорость движения платформы нулевой: . Интегрирование (151) в пределах от до даёт зависимость для текущей скорости разгона от времени:

.(152)

Используя выражение для гиперболического тангенса, получаем:

.(153)



В конце первого промежутка трёхсоставной траектории скорость определяется по формуле:

.(154)

Интегрируем второе уравнения системы (149) в пределах от до и от до с начальными условиями: :

.

Получаем зависимость текущей дальности разгона от времени:

.

С учётом ранее введённых обозначений получаем следующее выражение:

.(155)

Протяжённость полуинтервала разгона составляет:

.(156)



2. Второй промежуток - полуинтервал, , . Движение без тяги двигателя описывается уравнением:

.(157)

с начальными условиями (154) и (156). Интегрирование (157) даёт:

.

Подстановка (154) с учётом даёт зависимость текущей скорости от времени:

.(158)

В конце второго полуинтервала получаем выражение для скорости:

.(159)



Интегрируем уравнение для дальности:

.

В результате получаем зависимость текущей дальности от времени:

.

В конце второго промежутка платформа прошла расстояние:

.

Подстановка (156) даёт выражение для дальности:

.(160)

3. Третий промежуток - отрезок, . Торможение платформы описывается уравнением:

,(161)

с начальными условиями: (159), (160). Разделение переменных с уже введёнными обозначениями приводит к уравнению:



.

Интегрирование в пределах от до даёт зависимость текущей скорости торможения от времени:

.

Подстановка (159) даёт новое выражение:

.

В конце разгона скорость равна:

,(162)

где и - заданные значения. Интегрируем уравнение для дальности на третьем промежутке в пределах от до и от до :

.



Приходим к зависимости текущей дальности от времени:

.

В конце третьего отрезка дальность равна заданной величине:

.

Подстановка (160) в последнее выражение даёт:

.

Преобразование последнего уравнения даёт:

.(163)

Таким образом, получили систему из двух нелинейных алгебраических уравнений (162) и (163) с двумя неизвестными и , определяющими соответственно момент отключения разгонного двигателя и момент включения тормозного двигателя.

Пример Пусть платформа с площадью миделевого сечения 10 м² имеет коэффициент лобового сопротивления . Требуется построить закон управления двигателями такой, чтобы через 8 с после начала движения на расстоянии 1,126 км скорость движения платформы составила 250 м/с.

Решение. Вычислим параметры и :

1/м;285,714 м/с.

Решение поставленной задачи дают следующие параметры закона управления: ,6,8 с,7,6 с. Время работы ракетных двигателей составляет: с. Сила тяги ракетных двигателей равна: кН. Массовый секундный расход топлива равен: =169,895 кг/с. Суммарный расход топлива составляет: 169,895?7,2=1223,244 кг. торможение атмосфера космический летательный

Отметим, что полученные результаты по исследованию посадки на подвижную платформу позволяют поднять эффективность применения самолёта-разгонщика при старте МКТС за счёт дополнительной скорости разгона ПП, а также отсутствия шасси у самолёта при посадке на эту же платформу [4,5].



Библиографический список

1. Сиразетдинов Т.К. Богомолов А.И. Аналитическое проектирование сложных систем I // Изв. вузов. Авиационная техника. - 1978. - № 2. - С.83-91.

2. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Синтез гибридных управлений в регулировании колебаний на скользящем режиме при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ. - 2013. - № 4. - С.272-281.

3. Шкадов Л.М., Буханова Р.С, Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального проектирования движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение, 1972. - 244 c.

4. Халфман Р.Л. Динамика. М: Наука, 1972. - 568 с.

5. Афанасьев В.А., Дегтярёв Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. Идентификация эффективности управления ракетными двигателями в полете космического аппарата // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2012. - № 1. - С.136-145.

6. Афанасьев В.А. и др. Патент на изобретение № 2298898 «Корпус». Патентообладатель: Федеральное государственное унитарное предприятие «Государственный ракетный центр «КБ имени академика В.П. Макеева», (RU). Заявка № 2005410035. Приоритет изобретения 23 декабря 2005 г. Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 13 апреля 2007 г. Срок действия патента истекает 23 декабря 2025 г.

7. Афанасьев В.А. и др. Патент на изобретение № 2366137 «Атмосфера». Патентообладатель: Открытое акционерное общество «Государственный ракетный центр имени академика В.П. Макеева», (RU). Заявка № 2008410001. Приоритет изобретения 11 января 2008 г. Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 05 августа 2009 г. Срок действия патента истекает 11 января 2028 г.

8. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз., 1957. - 336 с.

9. Величко И.И. Мечи на орала // Авиация и космонавтика. - 1993. - № 5. - С.42-44.

10. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. Методы терминального управления планированием космического летательного аппарата на скользящих режимах // Изв.вузов. Авиационная техника. - 1998 - № 4. - С.9-17.

11. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. К воспроизведению модельного планирования космическим летательным аппаратом на скользящих режимах в условиях неопределенных возмущений // Изв.вузов. Авиационная техника. - 1999. - № 2. - С.11-15.

12. Афанасьев В.А., Дегтярев Г.Л., Мещанов А.С., Сиразетдинов Т.К. Воспроизведение модельного планирования космического летательного аппарата с заданной точностью на многошаговых скользящих режимах // Изв.вузов. Авиационная техника. - 2000. - № 1. - С.3-6.

13. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределённых интегралов // Справочник. М.: Наука, 1986. - 192 с.

14. Афанасьев В.А., Хайруллин В.Р. Синтез управления космическими аппаратами в атмосфере по аналитическим решениям уравнений движения // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2009. - № 3. - С.98-102.

15. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Аналитический синтез управлений возвращаемыми космическими аппаратами методом сопряжения типовых траекторий // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2009. - № 4. - С.96-102.

16. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Аналитическое конструирование траекторий полета возвращаемых космических аппаратов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - № 4. - С.161-170.

17. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Модельная задача перехвата летательного аппарата в однородной атмосфере // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - № 2. - С.118-121.

18. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1978. - 832 с.

19. Афанасьев В.А, Маливанов Н.Н., Мещанов А.С. Метод аналитических решений в моделировании и проектировании систем управления возвращаемых космических аппаратов // Авиакосмическое приборостроение. - 2006. - № 5. - С.49-54.

20. Афанасьев В.А., Маливанов Н.Н., Мещанов А.С. Настраиваемая математическая модель полета снаряда в атмосфере // Авиакосмическое приборостроение. - 2008. - № 7. - С.14-18.

21. Афанасьев В.А., Маливанов Н.Н., Мещанов А.С. Аналитическое программирование угловых разворотов космического аппарата с помощью ракетных двигателей // Авиакосмическое приборостроение. - 2012. - № 5. - С.3-9.

Размещено на Allbest.ru