Дрібномасштабні нестійкості в передспалаховій плазмі петель в активній області Сонця

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ГОЛОВНА АСТРОНОМІЧНА ОБСЕРВАТОРІЯ

УДК 523.98

01.03.03 - Геліофізика і фізика Сонячної системи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ДРІБНОМАСШТАБНІ НЕСТІЙКОСТІ В ПЕРЕДСПАЛАХОВІЙ ПЛАЗМІ ПЕТЕЛЬ В АКТИВНІЙ ОБЛАСТІ СОНЦЯ

Кришталь Олександр Нектарійович

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Головній астрономічній обсерваторії Національної академії наук України, м. Київ.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Гнатик Богдан Іванович, НДЛ "Астрономічна обсерваторія" кафедри астрономії та фізики космосу фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, завідувач лабораторії;

доктор фізико-математичних наук, професор Соловйов Олександр Анатолійович, Головна астрономічна обсерваторія РАН, завідувач відділу фізики Сонця;

доктор фізико-математичних наук, професор Черемних Олег Костянтинович, Інститут космічних досліджень НАН та НКА України, завідувач відділу космічної плазми

Захист відбудеться 21 листопада 2008 р. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.208.01 при Головній астрономічній обсерваторії НАН України за адресою: ГАО НАНУ, 03680 МСП, м. Київ, вул. Академіка Заболотного, 27.

Початок засідань о 10 годині.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці ГАО НАН України за адресою: ГАО НАН України, 03680 МСП, м. Київ, вул. Академіка Заболотного, 27.

Автореферат розісланий " 6 " жовтня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук Васильєва І.Е.

Анотації

Кришталь О.Н. Дрібномасштабні нестійкості в передспалаховій плазмі петель в активній області Сонця. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.03.03 - Геліофізика і фізика Сонячної системи. - Головна астрономічна обсерваторія НАН України, Київ, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню дрібномасштабних нестійкостей і умов генерації хвиль в плазмі петель на самому початку спалахового процесу при наявності в петлях великомасштабного квазістатичного електричного поля.

Доведено, що в раніше не дослідженій просторово-часовій області, яка відповідає самому початку розвитку спалахового процесу, завдяки наявності там слабкого квазістатичного електричного поля і просторових неоднорідностей плазми, можлива поява нестійкостей з низьким порогом збудження. Запропоновано і застосовано концепцію досліджень дрібномасштабних нестійкостей. Доведено можливість генерації високочастотних хвиль - 1-ї та 2-ї квазібернштейнівських гармонік - в передспалаховій плазмі нижньої частини петлі за умови наявності там кілогаусових магнітних полів і відсутності пучків високоенергійних часток. Отримано вирази для інкрементів розвитку нестійкостей поздовжніх плазмових хвиль - низькочастотної іонно-звукової та високочастотної ленгмюрівської - в дослідженій області при наявності там слабкого електричного поля і з врахуванням впливу зіткнень. Доведенo можливість генерації в передспалаховій плазмі петлі кінетичної іонно-звукової хвилі (КІЗХ) внаслідок розпадної нестійкості кінетичної альфвенівської хвилі (КАХ), що з`являється на самому початку спалахового процесу. Отримано модифіковане дисперсійне рівняння (МДР) для низькочастотних хвиль за умови наявності зовнішнього електричного поля в магнітоактивній плазмі із зіткненнями. Досліджено умови генерації хвиль, отриманo вирази для інкрементів розвитку нестійкостей. Показано, що двом із чотирьох коренів МДР відповідають КАХ, а ще двом - дві хвилі раніше невідомого проміжного типу із діапазону КІЗХ. Всі досліджені нестійкості з`являються за умови, що середні масштаби просторових неоднорідностей температури і густини плазми є величини одного порядку. Знайдено відповідність між чітко визначеною послідовністю появи певних типів нестійкостей і адіабатично повільним зростанням амплітуди квазістатичного електричного поля в струмовому контурі петлі в АО.

Ключові слова: Сонце, активна область, хромосфера, великомасштабні електромагнітні поля, плазмові нестійкості, дисперсійне рівняння, післяспалахові петлі, субдрейсерівське поле.

Kryshtal A.N. Small-scale instabilities in preflare loop plasma in solar active region. - Manuscript.

Thesis for a degree of a Doctor of Sciences in Physics and Mathematics in specialty 01.03.03 - Heliophysics and Physics of Solar System. - Main Astronomical Observatory of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008. генерація високочастотний плазма

This thesis deals with study of small-scale instabilities and conditions of wave generation in the loop plasmas at the early stage of flare process in the presence of large-scale quasistatic electric field in a loop.

It has been proved that appearance of instabilities with low threshold of excitation is possible in the space-time area that corresponds to the origin of the flare process and which has not been earlier investigated. The presence of weak quasistatic electric field and space inhomogeneities of plasma in this area are the reasons of rise of these instabilities. The conception of small-scale instabilities study has been proposed and used. The possibility of generation of the high-frequency electron waves - the first and second quasi-bernsteinian harmonics - has been proved for preflare plasma near the loop footpoint, when the kilogauss magnetic fields are present there and high-energetic particle beams are absent. The expressions for the growth rates of instabilities of longitudinal plasma waves - low-frequency ion-acoustic and high-frequency Langmuir ones - have been obtained in the presence of weak electric field in the investigated area with taking into account influence of collisions. The possibility of generation of kinetic ion-acoustic wave (KIAW) due to decay instability of kinetic Alfvйn wave (KAW), which appears at the early stage of the flare process, has been proved for the preflare loop plasmas. The modified dispersion relation (MDR) for low-frequency waves in collisional magnetoactive plasma with external electric field has been obtained. The conditions of wave generation as well as the expressions for the growth rates of instabilities have been obtained. It has been shown that two roots of MDR correspond to the KAW`s, and another two roots correspond to the before unknown mixed type of the waves from the range of the KIAW`s. The investigated instabilities appear under condition that average characteristic scales of plasma temperature and density space inhomogeneities are the values of the same order. The correspondence between the clearly expressed sequence of rise of the instabilities of definite types of plasma waves and the adiabatically slow growth of quasistatic electric field amplitude in the loop current circuit has been found.

Key words: Sun, active region, chromosphere, large-scale electromagnetic fields, plasma instabilities, dispersion relation, post-flare loops, subdreicer field.

Кришталь А.Н. Мелкомасштабные неустойчивости в предвспышечной плазме петель в активной области Солнца. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.03.03 - Гелиофизикa и физика Солнечной системы. - Главная астрономическая обсерватория НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена исследованию мелкомасштабных неустойчивостей и условий генерации волн в плазме петель в активной области в самом начале вспышечного процесса при наличии в петлях крупномасштабного квазистатического электрического поля.

Исследована устойчивость мелкомасштабных периодических возмущений в ранее неизученной пространственно-временной области, соответствующей самому началу вспышечного процесса в петельной структуре. Показано, что в исследуемой области возможно появление неустойчивостей с низким порогом возбуждения. Их следствием может быть возникновение условий, необходимых для развития в плазме турбулентности, аномального сопротивления и зарождения токовых слоев, задолго до наступления фазы "предварительного нагрева". Предложена и разработана концепция исследования мелкомасштабных неустойчивостей в предвспышечной плазме петель, основанная на возможности развития этих неустойчивостей в рамках стационарного сценария и существенно использующая локальное приближение, формализм дисперсионного уравнения и полуэмпирические модели атмосферы активной области. Впервые получены выражения для инкрементов развития неустойчивости высокочастотных электронных волн - квазибернштейновских 1-й и 2-й гармоник - в магнитоактивной плазме со столкновениями, находящейся во внешнем электрическом поле. Доказана возможность генерации этих гармоник в предвспышечной плазме вблизи основания петель при условии наличия там килогауссовых магнитных полей и отсутствия пучков высокоэнергетичных частиц. Впервые получено выражение для инкремента развития ионно-звуковой неустойчивости в магнитоактивной "столкновительной" плазме с внешним электрическим полем для случая явной зависимости сдвиговой скорости электронов от амплитуды субдрейсерівского поля, а также при потере импульса электронами на пульсациях бернштейновской турбулентности. В рамках используемой концепции при аналогичных предположениях впервые получено выражение для инкремента развития неустойчивости высокочастотных ленгмюровских волн. Развитие этой неустойчивости более вероятно на фоне бернштейновской турбулентности, чем на фоне ионно-звуковой. Доказана возможность генерации в предвспышечной плазме петли на хромосферном участке ее токового контура кинетической ионно-звуковой волны (КИЗВ) вследствие распадной неустойчивости кинетической альфвеновской волны (КАВ), возникающей в самом начале вспышечного процесса. Впервые получено модифицированное дисперсионное уравнение для низкочастотных волн при наличии внешнего электрического поля в магнитоактивной плазме со столкновениями. Для случая квазипоперечного распространения возмущений исследованы условия генерации волн, получены выражения для инкрементов развития неустойчивости. Из четырех корней дисперсионного уравнения двум соответствуют КАВ, а еще двум - волны ранее неизвестного промежуточного типа из диапазона КИЗВ. В случае относительно слабых магнитных полей при одновременном наличии в плазме пространственных градиентов температуры и плотности, все неустойчивости проявляются в узкой области изменения параметра вблизи значения = -3, где есть отношение средних масштабов неоднородности плотности и температуры плазмы.

Впервые установлено соответствие между четко выраженной последовательностью "включения" различных типов плазменных неустойчивостей и адиабатически медленным ростом амплитуды субдрейсерівского поля на участке контура в нижней части петли. На основании полученного результата могут быть сформулированы необходимые условия краткосрочного прогноза вспышки в активной области.

Ключевые слова: Солнце, активная область, хромосфера, крупномасштабные электромагнитные поля, плазменные неустойчивости, дисперсионное уравнение, послевспышечные петли, субдрейсерівское поле.

Загальна характеристика роботи

Хвильові процеси в атмосфері Сонця багато років є предметом пильної уваги як з боку теоретиків [4*, 7*-10*, 13*, 15*, 20*, 23*, 26*, 27*, 36*, 40*, 41*], так і з боку астрономів-спостерігачів [6*, 14*, 21*, 22*, 24*, 39*]. В останній час цьому особливо сприяли успіхи широкомасштабних міжнародних місій Yohkoh, SOHO, TRACE та RHESSI [26*, 27*, 40*]. Навіть при побіжному погляді на сучасний стан проблеми неважко переконатися у вражаючому багатстві й різноманітті цих явищ. Це стосується і джерел хвиль [4*, 9*, 15*, 19*, 22*, 24*, 31*, 32*, 36*], і типів хвильових процесів [1*, 5*, 12*, 15*, 16*, 28*, 33*]. Тому при розв`язанні конкретної фізичної проблеми необхідно із самого початку чітко визначити фізичну природу джерел, масштаби хвильових рухів, розміри області генерації і характерні риси досліджуваних об`єктів.

Астрономи-спостерігачі давно відзначили чітко виражену кореляцію між розташуванням аркад петель в активній області й локалізацією спалахового процесу 4*, 6*, 10*, 20*, 21*, 38*, 41*: спалахи найчастіше відбуваються саме в тих аркадах (або поблизу їх), які залишилися після попереднього спалаху. Хвильові, а точніше квазіперіодичні процеси в аркадах, що спостерігалися в рамках місій SOHO та TRACE 26*, мають масштаби, близькі до середніх розмірів самих петель (L~109см). Вони за означенням відносяться до великомасштабних МГД-рухів плазми і тісно зв`язані з геліосейсмологією [6*, 19*-21*].

Дрібномасштабні періодичні рухи плазми в петлях із середньою довжиною хвилі, що є набагато менша ніж діаметр поперечного переріза петлі, програють великомасштабним хвилям в "наочності". Зате виграють багато в чому іншому, оскільки інформація, отримана при їхньому дослідженні, є найбільш важливою при вивченні динаміки спалахового процесу, нагрівання плазми в петлях, прискорення часток і може бути використана при побудові теорії короткострокового прогнозу спалаху в петельній структурі 4*, 15*, 21*, 22*. Джерелами таких хвиль найчастіше є різні типи плазмових нестійкостей, а область генерації обмежена відносно невеликою ділянкою струмового контуру петлі 2-7, 9-14. Для збудження дрібномасштабних нестійкостей не потрібні такі потужні джерела енергії, як у геліосейсмології [6*, 9*, 41*]. Для них цілком достатньо енергії слабкого електричного поля в контурі [9*, 10*, 13*]. Наявність такого великомасштабного квазістатичного поля підтверджується існуванням додаткового штарківського розширення, що надійно фіксується в лініях H бальмерівської серії з номерами [32*]. Дрібномасштабні нестійкості при наявності певної кількості додаткових умов можуть стати причиною виникнення в плазмі турбулентності [23*, 29*, 30*, 41*]. Турбулентність, у свою чергу, можна розглядати як необхідну умову появи СШ - струмових шарів [11*, 12*, 19*, 21*]. Згідно багатьох моделей і теорій спалаху [10*, 27*, 36*], саме в них і накопичується основна частина енергії, що витрачається в імпульсній і "флеш-фазах" спалаху [4*, 5*, 10*]. Таким чином виходить, що задовго до настання фази "попереднього нагрівання" [34*], у якій необхідні умови для утворення струмового шару виникають внаслідок розвитку бунеманівської нестійкості, можлива поява в плазмі турбулентного стану внаслідок розвитку зовсім інших типів нестійкостей [31*, 32*]. Отже, наявність слабкого електричного поля поряд з урахуванням впливу процесів дисипації й просторової неоднорідності плазми може істотно вплинути на весь хід спалахового процесу [10*, 19*].

Петля, з точки зору просторового розподілу мас і полів, є найбільш чітко просторово означеною частиною атмосфери активної області [27*]. У нижній частині петлі квазіпотенційне в цілому магнітне поле можна вважати практично однорідним і квазістатичним. У той же час квазістатичне і слабке електричне поле в цій області можна вважати практично паралельним магнітному [6*, 23*, 24*]. Цей факт може служити підставою для вибору теоретичної моделі плазми і дозволяє розраховувати на істотне підвищення точності прогнозів [21*, 29*, 30*].

Актуальність теми. Дослідження стійкості дрібномасштабних збурень у передспалаховій плазмі в петлях активної області має безпосереднє відношення одразу до декількох груп найбільш актуальних проблем сучасної сонячної фізики. Перш за все, це так звані "вічні" проблеми: нагрівання плазми в петлях й "хвильове" нагрівання корони, виникнення електромагнітної хвилі в атмосфері спалахового комплексу і її вихід з області генерації, вплив великомасштабних теплових потоків і зсувних рухів плазми, умови появи в петлях ударних хвиль [20*, 21*]. До них же, в принципі, слід віднести і групу проблем, пов`язаних з вивченням турбулентних явищ у плазмі сонячної атмосфери: умови виникнення іонно-звукової турбулентності, здатної відносно швидко нагрівати великі об`єми плазми [4*, 5*], ленгмюрівської турбулентності, що відіграє найважливішу роль у процесах прискорення часток [14*, 15*, 19*], й, нарешті, умови формування струмових шарів, у яких накопичується енергія спалаху [31*, 36*, 38*, 41*]. Дослідження в цій області стали актуальними давно і будуть залишатися такими, швидше за все, ще досить довго. Наступну групу утворюють проблеми, пов`язані з дослідженням джерел й умов генерації різних типів хвиль у плазмі активної області: визначення ролі процесів дисипації при генерації коливань високої добротності у передспалаховій плазмі [24*, 28*, 29*], а також вплив великомасштабних магнітних й електричних полів на процес розвитку плазмових нестійкостей як основне джерело генерації хвиль на ранній стадії спалахового процесу [4*, 5*, 11*]. І, нарешті, окрему групу задач складають дослідження, що є в тій чи іншій мірі модифікацією однієї головної проблеми: короткострокового прогнозу спалаху в активній області [7, 8], коли строк прогнозу формально обмежений часом виходу "нового" магнітного потоку з-під фотосфери [19*, 22*, 24*]. Актуальність цих досліджень визначається актуальністю прогнозування "космічної погоди" - проблеми життєво важливої й для безпілотних космічних апаратів, і для екіпажів космічних кораблів [27*, 29*]. Ці дослідження стають все більше актуальними із самого початку "космічної ери". Варто окремо відзначити дослідження кореляції між спалахами в активній області й неконтрольованими спонтанними вимиканнями гігантських енергетичних мегамереж типу об`єднаної енергомережі між США й Канадою в районі Великих озер [29*, 30*]. Відносно недавні "раптові" відключення енергомереж Нью-Йорка та Лондона - події з того ж ряду [30*]. Стійка тенденція, що позначилася в останні роки, до істотного підвищення точності вимірів амплітуд великомасштабних електромагнітних полів в активних областях [32*, 39*, 41*] - це ще одне підтвердження актуальності проведених теоретичних досліджень. В ситуації, коли нестійкість є основним "генератором" плазмових хвиль у петельній структурі, інкремент розвитку нестійкості надзвичайно "чутливо" реагує на зміни величин цих амплітуд. А зміни в умовах виникнення й розвитку нестійкості, у свою чергу, впливають на всю динаміку досліджуваного процесу.

Зв`язок з науковими програмами, планами, темами. Робота є частиною фундаментальних наукових досліджень, які проводилися в Головній астрономічній обсерваторії Національної академії наук України:

а) по темі 180В "Ефекти магнітної геометрії й хвильової турбулентності в динаміці сонячної й магнітосферної плазми" (1998-2002 рр., номер державної реєстрації 0198U001452);

б) по темі 205В "Процеси спектрального переносу й трансформації хвильової енергії в космічній плазмі" (2003-2005 рр., номер державної реєстрації 0103U001177);

в) по темі 204Ц "Нестаціонарні процеси на Сонці, у Сонячній системі й космічній плазмі" (2002-2006 рр., номер державної реєстрації 0102U003757);

г) по темі 227В "Дослідження впливу великомасштабного електричного поля на генерацію МГД-хвиль у петельних структурах, трансформацію й перенос хвильової енергії в сонячній атмосфері" (2005-2007 рр., номер державної реєстрації 0105U007101);

д) по темі 235В "Дестабілізація магнітоплазмових конфігурацій, формування структур, виділення й перенос енергії в космічній плазмі" (2007-2009 рр., номер державної реєстрації 0106U011371).

Дисертант був науковим співкерівником теми 227В, у темах 180В, 205В, 204Ц був виконавцем і є науковим керівником теми 235В.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи - дослідити на підставі концепції, що запропонована, дрібномасштабні нестійкості й умови генерації хвиль у плазмі петель в активній області на ранніх стадіях спалахового процесу. Оцінити вплив великомасштабного квазістатичного електричного поля в петлях на динаміку розвитку спалаху.

Об`єкт дослідження - передспалахова плазма атмосфери активної області (АО) при наявності в ній великомасштабного магнітного й електричного поля.

Предмет дослідження - стійкість різних типів дрібномасштабних плазмових хвиль й умови їхньої генерації в плазмі петель.

Метод дослідження - теоретичний аналіз процесів виникнення й розвитку нестійкостей на підставі запропонованої концепції з врахуванням наявних даних спостережень.

Завдання дослідження:

- розробити концепцію та з її допомогою дослідити стійкість дрібномасштабних періодичних і квазіперіодичних збурень у плазмі петель активної області на ранньому етапі розвитку спалахового процесу, коли потокова швидкість електронів відносно іонів набагато менша їхньої теплової швидкості;

- вивчити умови збудження й загасання дрібномасштабних хвиль у лінійному наближенні теорії збурень за умови, що основним джерелом нестійкості є сукупна дія таких факторів, як слабке електричне поле й просторова неоднорідність плазми;

- дослідити вплив процесів дисипації на виникнення й розвиток нестійкості хвиль у передспалаховій ситуації для двох граничних випадків: коли в плазмі домінують кулонівські зіткнення заряджених часток між собою та коли в плазмі домінують зіткнення електронів з пульсаціями певного типу турбулентності;

- установити критерій застосовності "безширового" наближення, коли впливом кривизни й скруту магнітних силових ліній на процес розвитку нестійкості можна знехтувати;

- на підставі аналізу стійкості різних типів хвиль сформулювати необхідні умови короткострокового прогнозу спалаху в активній області, а також умови, необхідні для формування струмових шарів.

Наукова новизна отриманих результатів. У процесі виконання роботи було вперше отримано наступні наукові результати:

1. Доведено, що існування слабкого квазістатичного електричного поля і просторових неоднорідностей плазми призводить до появи на хромосферній ділянці струмового контуру в нижній частині петлі дрібномасштабних нестійкостей з низьким порогом збудження. Всі досліджені нестійкості виникають і розвиваються при швидкостях руху електронів відносно іонів, які є набагато менші електронної теплової швидкості. Розглянута стадія спалахового процесу охоплює просторово-часову область, раніше не досліджену з погляду стійкості дрібномасштабних збурень. У моделі магнітних потоків, що взаємодіють, ця стадія повинна передувати стадії "попереднього нагрівання". Отже, фізичні умови в передспалаховій плазмі, необхідні для появи турбулентності, аномального опору й формування струмових шарів, можуть виникнути набагато раніше, ніж це передбачалося дотепер у всіх існуючих моделях спалаху.

2. Дослідження дрібномасштабних збурень здійснювалося за допомогою вперше запропонованої й розвинутої оригінальної концепції. Її основні положення такі: а) хвильові збурення на початку спалахового процесу генеруються в петлях внаслідок появи й розвитку нестійкості на лінійній стадії росту збурень. Тривалість цієї стадії визначається величиною інкременту; б) повільна в порівнянні із швидкістю розвитку нестійкості зміна амплітуд магнітного й електричного полів у петлях розглядається як наслідок посилення взаємодії магнітних потоків у рамках моделі спалаху Хейвартса-Приста-Раста (ХПР). Початок розглянутого етапу спалахового процесу відповідає нульовому рівню взаємодії потоків й "рівноважному" значенню густини струму на досліджуваній ділянці струмового контуру петлі. Про закінчення етапу свідчить виникнення в плазмі аномального опору. Слабкість квазістатичного електричного поля й вплив зіткнень, а також малість просторових градієнтів густини й температури плазми дозволяють реалізуватися стаціонарному сценарію розвитку нестійкості, коли рівноважна функція розподілу іонів за швидкостями є звичайна максвеллова, а електронів - зсунута максвеллова функція розподілу зі швидкістю зсуву, що явним чином залежить від амплітуди поля [1*] (тут me, e - маса і заряд електрона, еі - частота електронно-іонних зіткнень); в) у слабких (субдрейсерівських) полях відсоток електронів, що втекли, гранично малий. Нестійкості, розглянуті в рамках даної концепції, можна вважати "непучковими"; г) при дослідженні стійкості дрібномасштабних збурень у петлях необхідно враховувати стратифікацію плазми з висотою над рівнем фотосфери. Можливість знехтувати впливом кривизни й скруту магнітних силових ліній визначається критерієм, що зв`язує "термодинамічні" параметри плазми й амплітуду поля з характеристиками хвильового збурення; д) використання формалізму дисперсійного рівняння має певні переваги перед чисельним моделюванням МГД-рівнянь при дослідженні стійкості малих збурень у плазмі петель. Насамперед тому, що граничні умови для цих рівнянь не можуть бути відомі з необхідною точністю в області генерації.

3. Отримано дисперсійне рівняння для високочастотних електронних хвиль у магнітоактивній плазмі із зіткненнями, що перебуває в зовнішньому електричному полі. Розглянуто випадок квазіпоперечного відносно магнітного поля напрямку поширення хвиль. Отримано вирази для інкрементів нестійкості, досліджені фізичні умови її виникнення й розвитку. Вперше показано, що при наявності кілогаусових полів в нижній частині петлі розв'язками дисперсійного рівняння є квазібернштейнівські 1-а й 2-а гармоніки, модифіковані врахуванням зіткнень і наявністю субдрейсерівського електричного поля в плазмі. Показано, що при наявності таких полів у петлях гармоніки можуть генеруватися і за відсутності пучків високоенергійних часток. Граничне значення нормованої амплітуди електричного поля, при якому виникає нестійкість другої гармоніки, мало відрізняється від рівноважного значення в струмовому контурі петлі. Граничне значення для першої гармоніки при тих же значеннях температури й густини плазми, а також напруженості магнітного поля виявляється в середньому на два порядки вище, ніж для другої гармоніки.

4. Досліджено стійкість рішень дисперсійного рівняння для низькочастотних іонно-звукових хвиль у плазмі петель при наявності слабкого електричного поля. Рівняння модифіковано наявністю додатків, що описують як парні кулонівські зіткнення заряджених часток між собою, так і розсіяння електронів на пульсаціях насиченої бернштейнівської турбулентності, а також врахуванням залежності зсувної швидкості електронів від амплітуди квазістатичного електричного поля. Отримано вираз для інкременту розвитку нестійкості. Показано, що для плазми з високим ступенем неізотермічності іонно-звукова нестійкість може виникнути в петлі в широкому діапазоні висот над рівнем фотосфери. На самому початку розвитку спалахового процесу - в "період електронних зіткнень" - у досліджуваній області коли 1.7 t* 8 нестійкість іонно-звукових хвиль або взагалі відсутня і має місце їхнє загасання, або формально можлива, однак при таких додаткових обмеженнях, які виключають її реальну появу. У тім же діапазоні висот, коли 10 t* 20 нестійкість іонно-звукових хвиль може виникнути на тлі бернштейнівської турбулентності на більш пізньому етапі взаємодії магнітних потоків. Поява й розвиток нестійкості іонно-звукових хвиль в нижній частині петель малоймовірні на початку розвитку спалахового процесу й більш імовірні на пізній стадії - на тлі бернштейнівської турбулентності.

5. Вперше досліджено стійкість рішень дисперсійного рівняння для високочастотних електронних ленгмюрівських хвиль у передспалаховій плазмі за наявності квазістатичного електричного поля. Рівняння модифіковано врахуванням залежності зсувної швидкості електронів від напруженості електричного поля й наявністю додатків, що описують взаємні зіткнення заряджених часток, а також розсіяння електронів на пульсаціях бернштейнівської турбулентності. Отримано вираз для інкременту розвитку нестійкості. Порівняння граничних значень, при яких з`являється нестійкість ленгмюрівських хвиль, дозволяє зробити висновок про те, що її поява більш імовірна в "період бернштейнівської турбулентності" на пізньому етапі розвитку спалахового процесу, ніж в "період електронних зіткнень".

6. Вперше показано, що у передспалаховій плазмі петлі на хромосферній ділянці її струмового контуру можлива генерація кінетичної іонно-звукової хвилі (КІЗХ) внаслідок розпадної нестійкості кінетичної альфвенівської хвилі (КАХ), що з`являється на самому початку розвитку спалахового процесу.

7. Вперше отримано дисперсійне рівняння для низькочастотних хвиль за наявності зовнішнього електричного поля в магнітоактивній плазмі із зіткненнями. Густина і температура плазми вважалися неоднорідними. Розглянуто випадок квазіпоперечного поширення хвиль відносно напрямку магнітного поля петлі. Досліджено фізичні умови генерації хвиль, отримано вирази для інкрементів розвитку нестійкості. В області частот щ"Щi за наявності на хромосферній ділянці струмового контуру петлі відносно слабких магнітних полів дисперсійне рівняння для квазіпоперечних хвиль має вигляд полінома 4-го степеня відносно нормованої частоти. В області, що досліджується, чотирьом кореням дисперсійного рівняння відповідають дві кінетичні альфвенівські хвилі й дві ПС-хвилі з діапазону кінетичних іонно-звукових хвиль (тут ПС - передвісник спалаху). ПС-хвилі являють собою окремий тип хвиль, що не може бути віднесений до жодного з відомих. ПС-хвилі потрапляють у діапазон КІЗХ і мають таку ж дисперсію. За одночасної наявності в плазмі градієнтів температури й густини всі нестійкості з`являються у вузькій області зміни параметра поблизу значення = -3, де є відношення середніх масштабів неоднорідностей густини й температури. Розглянуті нестійкості досліджено для петель "з холодними ядрами", коли температура в поперечному перерізі петлі росте від центра до периферії.

8. Вперше показано, що за умови адіабатично повільного зростання амплітуди квазістатичного електричного поля на ділянці контуру в нижній частині петлі має місце певна часова послідовність появи нестійкостей різних типів плазмових хвиль. Перша з них з`являється при граничному значенні амплітуди поля, що ненабагато перевищує "рівноважне" значення, якому відповідає формальна відсутність взаємодії "старого" й "нового" магнітних потоків. Остання з нестійкостей з`являється вже при наявності в плазмі турбулентності й аномального опору - на межі використаних наближень.

Практичне значення отриманих результатів. Можливість існування у спалаховому процесі стадії, що передує фазі "попереднього нагрівання", а також можливість існування цілком певного набору нестійкостей, може позначитися насамперед на тім, що умови в передспалаховій плазмі, необхідні для появи турбулентності, аномального опору й формування струмових шарів (СШ), можуть виникнути в нижній частині петель, причому набагато раніше, ніж це передбачалося дотепер у всіх існуючих теоріях спалаху. Наявність такої своєрідної "цензури" може помітно вплинути на весь подальший хід спалахового процесу. Тому отримані в дисертації результати можуть знайти застосування у всіх теоріях спалаху, які ґрунтуються на взаємодії магнітних потоків. Необхідні умови короткострокового прогнозу, що визначаються появою різнорідних провісників у строго певній часовій послідовності, можуть бути використані для прогнозування "космічної погоди" у ближньому космосі й магнітосфері Землі.

Особистий внесок здобувача. Здобувачем була запропонована й розроблена загальна концепція досліджень і зроблені всі теоретичні розрахунки.

Роботи [2-4, 19-25] виконані без співавторів. У роботах [1, 17] здобувач виконував теоретичні розрахунки, брав участь в обговоренні результатів, у написанні та оформленні статей. У роботах [15, 18] здобувач брав участь у постановці завдання, виконував теоретичні розрахунки, брав участь в обговоренні результатів й оформленні статей. У роботах [5-14, 16, 26-31] здобувач ставив завдання, виконував теоретичні розрахунки й брав участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися або були представлені на наступних симпозіумах, конференціях і семінарах: симпозіумі МАС №138 "Solar Photosphere: Structure, Convection, Magnetic Fields" (Київ, СРСР, 1989 р.); симпозіумі МАС №223 "Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity" (Санкт-Петербург, Росія, 2004 р.); колоквіумі МАС №188 "Magnetic Reconnection in Solar Atmosphere" (Санторіні, Греція, 2002 р.); XXVI-ому симпозіумі ESLAB Європейського космічного агенства "Study of the solar-terrestrial system" (Кілларні, Ірландія, 1992 р.); XXIII-й конференції Європейського фізичного товариства "Керований термоядерний синтез і фізика плазми" (Київ, Україна, 1996 р.); XIII-ій консультативній нараді КАПГ з фізики Сонця (пам`яті В.Є. Степанова, Одеса, 1988 р.); міжнародних конференціях UKRASTRO-2000 (Київ, Україна, 2000 р.) і МАО-2004 - "Astronomy in Ukraine - Past, Present and Future" (Київ, Україна, 2004 р.); 11-ій Пулковській міжнародній конференції "Фізична природа сонячної активності й прогнозування її геофізичних проявів" (ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург, 2007 р.); першому міжнародному семінарі "Фізика космічної плазми" (Київ, Україна, 1993 р.); III-іх міжнародних Всехсвятських читаннях "Фізика, динаміка й космогонія малих тіл Сонячної системи, фізика Сонця й геліосфери" (Київ, Україна, 1995 р.); міжнародних конференціях "Фізика Сонця" (КрАО, Крим, 1998 р., 2006 р.); міжнародній конференції "Сонячна активність і внутрішня будова Сонця" (КрАО, Крим, 2001 р.); міжнародній конференції "Сонячна активність і параметри її прогнозу" (КрАО, Крим, 2002 р.); міжнародній конференції "Сонце й космічна погода" (КрАО, Крим, 2003 р.); VII-ій міжнародній конференції "Relativistic Astrophysics, Gravitation and Cosmology", присвяченій 100-річчю від дня народження О.Ф. Богородського (Київ, Україна, 2007 р.); міжнародній конференції пам`яті В.П. Цесевича "Modern problems of astronomy" (Oдеса, Україна, 2007 р.); міжнародній конференції "Навколоземна астрономія" (с. Терскол, Росія, 2007 р.); VIII-ій та XI-ій міжнародних конференціях "International Conference and School on Plasma Physics and Control Fusion " (Алушта, Крим, 2000 р., 2006 р.); першій і третій Українських конференціях з перспективних космічних досліджень (Київ, 2001 р.; Кацівелі, Крим, 2003 р.); шостому, дев`ятому й десятому щорічних семінарах "Фізика сонячної плазми" робочої групи "Спеціальні теоретичні й експериментальні дослідження сонячної плазми" секції "Сонце" Астрономічної ради й Ради "Сонце-Земля" АН СРСР (Київ, 1987 р.; Львів, 1990 р.; Пущино, 1991 р.); першій науковій конференції "Науки про Землю й Космос - Суспільству" (Київ, Україна, 2007 р.); об`єднаних астрофізичних семінарах астрономічної обсерваторії КНУ ім. Тараса Шевченка (1991 р., 2002 р., 2008 р.); семінарах відділу фізики Сонця ГАІШ МДУ (Москва, 1992 р., 2006 р., 2008 р.); семінарі з фізики плазми Інституту теоретичної фізики НАН України ім. М.М. Боголюбова (2003 р.); семінарі відділу космічної плазми ІКД НАН та НКА України (2007 р., 2008 р.); семінарі лабораторії фізики Сонця КрАО (Крим, 2007 р.); семінарі "Фізика космічної плазми" РІ НАН ім. Я. Брауде (Харків, 2007 р.); об`єднаних астрофізичних семінарах ГАО НАН України (2005-2008 рр.); об`єднаних семінарах "Комплексні проблеми фізики й астрофізики" ГАО НАН України (1990-2003 рр.); семінарах відділу фізики космічної плазми ГАО НАН України (1990-2008 рр.).

Публікації. Результати, викладені в дисертації, опубліковані протягом 1988-2007 рр.: 24 статті в рецензованих наукових журналах, 19 статей в інших виданнях.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п`яти розділів, висновків, списку використаних джерел, який містить 257 найменувань. Загальний обсяг - 326 сторінок, 43 рисунки, 3 таблиці.

Основний зміст роботи

У Вступі дається загальна характеристика роботи, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено наукову новизну і практичну цінність отриманих результатів, наведено відомості стосовно апробації роботи, а також публікації.

Розділ 1. Електричні і магнітні поля в атмосфері активної області: теорія і спостереження. У першому розділі наведено короткий огляд існуючих моделей електричних полів різних амплітуд і природи в плазмі сонячної атмосфери - як мікроскопічних, так і великомасштабних. В розділі також розглянуто основні методи діагностики магнітних полів в атмосфері спалаху в АО, наведено короткий огляд існуючих моделей і механізмів спалахового енерговиділення [4*, 10*, 21*]. Більш детально розглянуті модель "струмовий контур петлі" [10*, 24*] і модель "магнітних потоків, що взаємодіють", Хейвартса-Приста-Раста (ХПР) [34*].

Огляд, що зроблено, дозволяє сформулювати певні висновки. По-перше, додаткове штарківське розширення ліній, яке надійно фіксується в атмосфері АО, свідчить про високу імовірність існування в петлях слабкого квазістатичного електричного поля. Це поле в досліджуваній області може стати причиною виникнення певних типів слабкострумових нестійкостей в передспалаховій плазмі. По-друге, на початку спалахового процесу найбільшою просторовою визначеністю вирізняються великомасштабні електричне та магнітне поля в нижніх частинах петель. При моделюванні фізичних умов в області, що досліджується, значення амплітуди магнітного поля бажано вибирати поза межами інтервалу 0.015 Тл B0 0.030 Тл, оскільки в цьому діапазоні "вже погано" працює ефект Ханле і "ще погано" працює ефект Зеємана [39*, 40*]. По-третє, як видно із огляду, не існує одного універсального механізму спалахового енерговиділення, який би пояснював увесь величезний існуючий об`єм спостережуваних даних. Так, наприклад, область первинного енерговиділення може знаходитись в різних моделях як в корональній області, так і в хромосфері [4*, 10*]. Враховуючи специфіку методів спостережень [32*], слід зазначити, що більшість моделей описує "спалаховий" або "післяспалаховий" стан магнітної петлі, або петель в аркаді, в той час, як саме "передспалаховий" стан об`єктів є не менш важливим.

Розділ 2. Загальна концепція дослідження стійкості дрібномасштабних збурень та наближення, що використовуються. Дослідження дрібномасштабних плазмових нестійкостей в атмосфері активної області на початку спалахового процесу в петельній структурі тісно пов`язане з трьома важливими проблемами сонячної фізики:

1) Вивчення турбулентних явищ в плазмі сонячної атмосфери і перш за все, умов виникнення й динаміки розвитку струмових шарів;

2) Дослідження можливих джерел, а також умов генерації різних типів хвиль в атмосфері АО. Головну увагу має сенс зосереджувати на нестійкостях, що мають високу добротність, тобто відношення величини інкременту до основної частоти повинно бути дуже малим. Тоді процес розвитку збурення в часі можна надійно ідентифікувати як хвильовий. Врахування процесів дисипації робить всі ці нестійкості пороговими. Подібні хвильові процеси здатні відігравати вирішальну роль в таких явищах, як розпади і злиття хвиль, а також нагрівання плазми в петлях;

3) Короткостроковий прогноз спалаху в активній області. Для прогнозу, час якого повинен бути суттєво менший, ніж час виходу з-під фотосфери нового магнітного потоку [27*, 34*], аналіз лінійної стадії розвитку нестійкості реально може дозволити одержати тільки необхідні умови прогнозу. Головна причина цього, використання формалізму дисперсійного рівняння.

В роботі досліджувались дрібномасштабні нестійкості плазмових хвиль, що мають довжину набагато меншу, ніж радіус поперечного перерізу петлі. В процесі виконання роботи була запропонована і розвинута оригінальна концепція досліджень. Її основні положення такі: а) визначення просторово-часових границь області і процесу, що розглядаються. Область розташована в нижній частині петлі і приблизно відповідає хромосферній ділянці її струмового контуру. В часі початок процесу відповідає початку взаємодії магнітних потоків - "старого", що проходить через контур петлі в аркаді, і "нового", що виходить з-під фотосфери. Закінчується цей етап з появою в плазмі турбулентності і аномального опору; б) в досліджуваній просторово-часовій області дрібномасштабні хвильові збурення генеруються внаслідок появи і розвитку нестійкостей впродовж лінійної стадії росту збурень. Тривалість стадії визначається величиною інкременту. Причиною нестійкості є сукупна дія ефектів, пов`язаних з наявністю в петлях великомасштабних електричного і магнітного полів, врахуванням впливу зіткнень, а також просторової неоднорідності температури і густини плазми; в) використовується адіабатичне наближення, коли повільна в порівнянні з часом розвитку нестійкості зміна амплітуд магнітного і електричного полів у петлі є наслідком посилення взаємодії магнітних потоків. При цьому, згідно концепції, потокова швидкість електронів відносно іонів навіть в кінці досліджуваного етапу (при появі в плазмі аномального опору) не перевищує теплову електронну швидкість; г) слабкість квазістатичного електричного поля і вплив зіткнень, а також малість просторових градієнтів температури і густини плазми дозволяє реалізуватися стаціонарному сценарію розвитку нестійкості, коли рівноважні функції розподілу іонів та електронів не залежать явно від часу [1*, 11*, 17*]. У таких слабких електричних полях відсоток "електронів-втікачів" є гранично малий [1*]; д) в концепції використовується "локальне наближення" Михайловського [16*], коли в процесі розгляду дрібномасштабних нестійкостей, що мають високу добротність, можна знехтувати впливом границь; е) в дослідженнях використовується формалізм дисперсійного рівняння [1*, 17*]; є) врахування стратифікації плазми з висотою над рівнем фотосфери. Це означає використання певного "рівняння стану" плазми з певної напівемпіричної моделі сонячної атмосфери [35*, 42*]. Жодна із існуючих моделей атмосфери не дає залежності амплітуди магнітного поля від висоти, в результаті чого існує певна свобода вибору конкретних значень напруженості при моделюванні фізичних умов виникнення і розвитку нестійкості.

В розділі наведено принципи побудови і основні характерні риси найбільш відомих напівемпіричних моделей сонячної атмосфери. Модель Мачадо-Аврета-Вернаци-Нойєса [35*] менш, ніж будь яка інша, використовує припущення про наявність в хромосфері спалаху пучків високоенергійних часток. В цьому вона збігається з одним із основних положень розробленої концепції досліджень. Якщо на початковій стадії виконується умова для швидкості електронів відносно іонів де me і e є маса і заряд електрона, ei- частота електронно-іонних зіткнень, а VTe -теплова електронна швидкість, то значення амплітуди E0 електричного поля [36*] в одиницях напруженості локального поля Дрейсера теж буде малим:

При цьому особливо простий вигляд набуває формула для оцінки відсотку "електронів-втікачів" [1*].

З (3) витікає, що значення еR= 0.1 - 0.2 є критичними в рамках концепції, оскільки при них відсоток "електронів-втікачів" стає неприпустимо високим. Більш точно визначити верхню межу для еR можна із критерію "безшировості" магнітного поля. "Широм" (shear) традиційно називають або зсувні рухи плазми, або кривизну і скрут магнітних силових ліній [20*, 27*, 34*]. Якщо вертикальний масштаб в задачі досить дрібний, то із критерія Кадомцева-Погуце [12*] можна одержати умову, що дозволяє знехтувати кривизною і скрутом, та вважати магнітне поле "однорідним" [3]

Тут і є "іонне плазмове бета", тобто відношення газокінетичного тиску плазми до магнітного, kz є поздовжня (вздовж поля) Z-складова хвильового вектора збурення, і - іонний циклотронний радіус; А - відношення теплової електронної швидкості VTe до альфвенівської швидкості VА. Нижня межа для еR визначається, виходячи із величини рівноважної густини струму в контурі петлі за умови домінування електрон-іонних зіткнень на самому початку процесу взаємодії магнітних потоків [3, 4]. Якщо позначити через n густину кількості часток в плазмі, а R0 - малий радіус напівтора, яким моделюється петля, то відповідне "рівноважне" значення визначається виразом [3] де І є повний струм в петлі. Для типових значень "хромосферних" параметрів плазми величина поля змінюється в межах від 210-6 до 110-5. Досліджена просторово-часова область розташована "набагато раніше" області "попереднього нагрівання" в моделі ХПР, в якій за означенням виникають передумови для формування струмових шарів внаслідок розвитку бунеманівської нестійкості [34*]. Остання виникає за умови, що є протилежною до критерію (1). В розділі наведено короткий огляд основних типів дисперсійних рівнянь для хвиль в магнітоактивній однорідній та неоднорідній плазмах [1*, 11*, 16*, 17*]. Розглянуто типові наближення і критерії розвитку певних нестійкостей. У випадку, коли скалярну діелектричну проникність можна записати у вигляді [1*, 17*] із рівняння е0= 0 витікає, що при Im щ " Re щ дисперсія хвиль є розв`язком рівняння для дійсної частини проникності

При цьому інкремент описується виразом [17*]. Співвідношення (7)-(8) для е0 із (6) особливо зручні у використанні у випадку трансцендентного дисперсійного рівняння (ДР).

В розділі наведено вирази для ефективних частот різних типів зіткнень в плазмі. Проаналізовано вирази для ефективних частот зіткнень електронів з пульсаціями іонно-звукової та бернштейнівської турбулентностей [5*, 12*], а також оцінки для визначення меж застосування використаних фізичних наближень і одержаних виразів.

Розглянуто методи врахування впливу слабкого електричного поля на розвиток плазмових нестійкостей у випадку потенційних (поздовжні хвилі) або квазіпотенційних (моди Бернштейна) збурень. Брінка та Дісте [28*] запропонували метод отримання дисперсійного рівняння для "слабо нахилених" мод Бернштейна в магнітоактивній плазмі "без зіткнень" при наявності зовнішнього однорідного електричного поля.

Пайнс і Шріффер в [37*] довели, що вплив однорідного електричного поля на вигляд дисперсійного рівняння для поздовжніх хвиль, навіть за умови порушення критерію (11), можна врахувати, виходячи із вимоги форм-інваріантності цього рівняння.

В розділі показано, що в рамках запропонованої концепції у випадку повністю іонізованої плазми, в разі виконання певних додаткових умов, рівняння Больцмана для доданків першого порядку теорії збурень до рівноважних функцій розподілу заряджених часток має точний розв`язок, який можна виразити за допомогою функції гіперболічного циліндра. Модифіковане врахуванням наявності поля дисперсійне рівняння (ДР) буде мати точно такий же вигляд, як і ДР "без поля", якщо для температури зробити перетворення, аналогічне до перетворення Пайнса-Шріффера [37*].

Розділ 3. Квазібернштейнівські моди в передспалаховій плазмі в нижній частині петель. Особлива зацікавленість у вивченні бернштейнівських гармонік в сонячній атмосфері, що її виявляють останнім часом дослідники [1*, 5*, 25*, 43*], пов`язана не тільки із специфічними властивостями цих коливань, але і зі значною кількістю спостережень сплесків мікрохвильового випромінювання в досить широкому частотному діапазоні від кількох ГГц до кількох десятків ГГц, які спостерігають в різних частинах АО (досить часто - в петлях) на різних етапах розвитку спалахового процесу [14*]. Існує значна кількість механізмів та моделей цих явищ, які використовують бернштейнівські гармоніки [5*, 11*, 28*, 43*].

В модах Бернштейна електричний вектор хвилі майже паралельний до напрямку і сама хвиля близька до поздовжньої. Ці моди споріднені з хвилями, у яких щ = щPe (тут щPe - "електронна" плазмова частота) і щ = kvS (тут vS- швидкість іонного звука), які існують в плазмі без магнітного поля. При B0 > 0 вони переходять в високочастотні ленгмюрівські та низькочастотні іонно-звукові хвилі. Із найбільш загального вигляду дисперсійного рівняння (ДР) для цих хвиль [1*, 43*] витікає, що між інтервалами частот, всередині яких можливе розповсюдження бернштейнівських мод, знаходяться "заборонені" інтервали [43*]. Такі "щілини" є поблизу кожної гармоніки. В так званій "розрідженій" плазмі ДР дещо спрощується і закон дисперсії для бернштейнівських гармонік набуває відносно компактного вигляду [1*].

Так звані "нейтралізовані іонні" моди Бернштейна [1*] мають нерівну нулю малу поздовжню складову. Це значення "дозволяє" електронам перетікати вздовж поля і компенсувати розділення зарядів. Зазвичай основним джерелом генерації бернштейнівських гармонік [43*], вважається захоплений магнітною "пасткою" петлі пучок високоенергійних часток. В рамках запропонованої концепції замість нього джерелом генерації гармонік стає вплив великомасштабного субдрейсерівського поля, яке викликає появу і розвиток відповідної нестійкості [19-22].

В розділі розглянута ситуація, коли при наявності "кілогаусових" полів в нижній частині петлі [40*] слабке субдрейсерівське поле викликає появу нестійкості, а вплив кулонівських зіткнень заряджених часток і загасання Ландау, що виникає внаслідок розповсюдження хвиль під малим кутом нахилу до поперечного напрямку, може привести до її загасання. В рамках запропонованої концепції й узгодженої з нею моделі плазми, за умови виконання співвідношень а також співвідношень (2) і (4), додатки, що виникають в законі дисперсії для хвиль, мають вищий порядок малості, ніж відповідні додатки в інкременті. В першому наближенні, при отриманні виразу для інкременту закон дисперсії (13)-(14) можна вважати незмінним. При розрахунках також було використано "довгохвильове" наближення

Вважалося, що в досліджуваних шарах плазми частота електронно-іонних зіткнень суттєво переважає частути зіткнень заряджених часток з нейтралами, а внесок різних типів кулонівських зіткнень заряджених часток між собою враховувався на феноменологічному рівні [22]. Модифіковане дисперсійне рівняння було отримано із ДР за допомогою метода Брінки-Дисте [28*]. При цьому в ДР вже були враховані додатки, обумовлені зіткненнями і наявністю малої складової у хвильового вектора збурення. Оскільки закон дисперсії (13)-(14) є наближеним, то при підстановці його в точне ДР для мод Бернштейна виникає певний "залишок", або "нев`язка". Якщо поставити вимогу, щоб доданок в МДР, зумовлений "слабким нахилом" хвиль до поперечного напрямку розповсюдження, не перевищував за нормою означену "нев`язку", то це приведе до появи верхньої межі у величини із (15). Для кожної гармоніки номеру m буде своя величина (kR)max.