Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Изучение движения искусственных спутников Земли представляет интерес не только для специалистов по астродинамике, занимающихся прогнозированием движения ИСЗ и проектированием их орбит. Проблема эта ныне интересует широкий круг ученых, и прежде всего астрономов, геофизиков и геодезистов. Определение постоянных гравитационного поля Земли и параметров земной атмосферы, изучение лунно-солнечных приливов и движения полюса -- вот неполный перечень задач, которые уже сейчас успешно решаются с помощью наблюдений ИСЗ. Можно думать, что в будущем появятся и другие не менее интересные и важные задачи, решение которых будет тесно связано с использованием наблюдений искусственных спутников.

Для исследования движения искусственных спутников Земли используются все методы небесной механики: численные, аналитические и качественные. Особое место среди них занимают аналитические методы, которые могут конкурировать по точности с методами численного интегрирования, а вместе скачественными позволяют нарисовать довольно полную картину движения спутника на больших интервалах времени. Очень важно, что они дают возможность просто и наглядно охарактеризовать влияние каждого фактора, действующего на движение спутника.

Как известно, на движение искусственных спутников Земли оказывает влияние целый ряд возмущающих факторов. Важнейшими из них являются несферичность Земли, сопротивление атмосферы, притяжение Луны и Солнца и световое давление. Однако наибольшие возмущения в движении близких спутников связаны с одним фактором, а именно со второй зональной гармоникой потенциала притяжения Земли. Она вызывает возмущения, которые в сотни и тысячи раз превосходят неравенства от других возмущающих сил. Поэтому, как и в теории Луны, здесь следует выделить главную проблему. Эта проблема заключается в интегрировании дифференциальных уравнений движения, правые части которых составлены с учетом лишь первых двух гармоник геопотенциала. Решение главной проблемы составляет первый этап построения аналитической теории движения ИСЗ. Второй этап состоит в определении остальных, уже менее значительных возмущений.

Главная проблема в теории ИСЗ может быть решена двумя способами: во-первых, с помощью классических методов возмущений и, во-вторых, путем построения промежуточных орбит на базе некоторых аппроксимирующих выражений для геопотенциала, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения в замкнутой форме. Поскольку результаты применения классических методов приведены во многих монографиях по небесной механике. При этом в основу построения промежуточных орбит будет положена обобщенная задача двух неподвижных центров, силовая функция которой включает в себя как вторую, так и третью зональную гармонику геопотенциала и позволяет проинтегрировать уравнения движения в квадратурах.



1 Гравитационное поле земли

1.1 Притяжение объемного тела

Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки Р единичной массы некоторым телом М. Будем предполагать, что тело имеет произвольную форму, а плотность распределения масс внутри него является кусочно-непрерывной функцией координат.

Возьмем прямоугольную, жестко связанную с телом систему координат О с началом в центре масс тела (рисунок. 1.1.1). Тогда потенциал притяжения или силовая функция тела М в точке Р с координатами будет даваться формулой

(1.1.1)

где -- постоянная притяжения,

Рисунок 1.1.1. Система координат

есть расстояние точки Р от текущей точки Р' с координатами в которой находится элемент объема , а интеграл берется по всему объему Т, занятому притягивающим телом.

Если через и обозначить радиусы-векторы точек Р и Р', а через -- угол между ними, то для и будем иметь

(1.1.2)

(1.1.3)

Потенциал U обладает следующими свойствами *):

1 потенциал U есть функция, непрерывная во всем пространстве, обращающаяся в нуль в бесконечности, причем

(1.1.4)

где m -- масса тела,

2 частные производные первого порядка потенциала U по координатам являются непрерывными функциями во всем пространстве, обращающимися в нуль в бесконечности,

3 если через X, Y, Z обозначить проекции силы притяжения точки Р телом М на координатные оси , , , то во всем пространстве

(1.1.5)

4 во внешнем относительно тела М пространстве потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа:

(1.1.6)

5 внутри тела М потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона:

Первые четыре свойства легко доказываются, когда плотность -- кусочно-непрерывная функция. Для доказательства же свойства 5 требуется наложить на плотность более жесткое условие. Наиболее общим таким условием является условие Гольдера. Плотность удовлетворяет условию Гольдера, если точку Р, лежащую внутри тела, можно заключить в такой объем, что для любых двух точек и этого объема имеет место следующее неравенство:

Где

а А и б -- постоянные, причем 0 <б < 1.

Очевидно, это условие будет выполнено, если плотность имеет непрерывные частные производные первого порядка.

Перечисленные свойства называются характеристическими, ибо согласно теореме Дирихле они вполне определяют потенциал притяжения тела, а поэтому могут быть использованы для его практического определения.

Второй способ нахождения потенциала заключается в непосредственном вычислении интеграла (1.1.1). Однако в конечном виде этот интеграл берется только в некоторых частных случаях, таких, например, как случай однородного шара или шара с концентрическим: распределением плотности и случай однородного двухосного или трехосного эллипсоида. Так, для концентрического шара потенциал дается формулой

(1.1.7)

где т -- масса шара.

Если же на форму тела и распределение масс внутри него не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые были сделаны в начале этой главы, интеграл (1.1.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наиболее распространенным в настоящее время разложением для потенциала является разложение по сферическим функциям. Применение сферических функций, позволяет получить довольно простую и удобную для практических приложений аналитическую формулу для потенциала.[1], [4]

1.2 Сила тяжести

Рассмотрим распределение силы тяжести на уровенной поверхности. Ускорение силы тяжести gдается формулой

(1.2.1)

где

Так как второе слагаемое правой части (1.2.1) имеет четвертый порядок малости, то с точностью до членов четвертого порядка включительно будем иметь

(1.1.2)

Вычислив частные производные по r и и подставив их в формулу (1.2.2), мы с принятой точностью найдем

.

Подставляя сюда вместо r его выражение, мы окончательно получим

(1.2.3)

где

Если подставить в формулу (1.2.3) численные значения для постоянных fm, r₀, q, и , то она примет вид

(1.2.4)

Приведем для сравнения формулу для нормальной силы тяжести g_n, полученную Гельмертом

(1.2.5)

На рисунке. 1.2.1. показано поведение разности g -- g_n в зависимости от геоцентрической широты. Максимальное значение этой разности составляет в южном полушарии

Рисунок 1.2.1. Разность g --gn как функция геоцентрической широты

— 9 мгл, а в северном -- 2,6 мгл.Заметим, что на такую или большую величину отличаются значения силы тяжести, вычисленные по различным нормальным формулам.

1.3 Возмущающий потенциал

В предыдущем главе мы ввели промежуточное гравитационное поле Земли, потенциал W которого определяется формулам. Пусть теперь

(1.3.1)

где через U, как и раньше, обозначен потенциал притяжения реальной Земли. Тогда можно назвать возмущающим потенциалом. Для находим следующее выражение:

(1.3.2)

Где

(1.3.3)

Если воспользоваться числовыми данными, то для постоянных получим (в единицах )

Числовые значения для находятся из табл. 1

1.4 Замечания

Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим функциям стало классическим. В силу простоты сферических функций оно очень удобно для аналитических и численных исследований движения искусственных спутников. Однако, как уже отмечалось, такое разложение обладает одним существенным недостатком, а именно медленной сходимостью, вследствие чего при точных исследованиях движения близких спутников необходимо учитывать достаточно большое число членов. Это обстоятельство заставляет искать другие формы разложения потенциала.

Пока еще трудно судить о том, насколько целесообразно использовать полученные разложения для решения дифференциальных уравнений движения спутника. Можно лишь заметить, что эти разложения также содержат большое число членов, а используемые в них функции являются более сложными, чем сферические.

По-видимому, самым существенным фактом является то, что для описания гравитационного поля Земли с нужной нам в настоящее время точностью требуется большое число постоянных (порядка 100, а может быть и больше). Трудности здесь обусловлены скорее физической стороной проблемы, чем математической.

Теперь о промежуточном гравитационном поле Земли. В гравиметрии гравитационное поле Земли обычно разбивают на две части: нормальную и аномальную. Под нормальным гравитационным полем понимают поле некоторой идеализированной Земли, потенциал которого содержит наиболее значительные члены разложения: нулевого, первого и некоторые члены второго порядка относительно сжатия Земли. В аномальный потенциал включают члены второго порядка и выше. В этом отношении промежуточное гравитационное поле Земли может рассматриваться как нормальное поле. Главное же отличие промежуточного потенциала W от других нормальных потенциалов заключается лишь в том, что он позволяет строго проинтегрировать дифференциальные уравнения движения спутника. [2], [3]



2. Первые интегралы уравнений промежуточного движения

2.1 Дифференциальные уравнения движения искусственного спутника

Мы ввели подвижную, жестко связанную с Землей, систему координат и соответствующие ей полярные координаты r, и . Возьмем теперь неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с началом в центре масс Земли такую, чтобы ось Oz была направлена в северный полюс, а ось Ох -- в точку весеннего равноденствия. Пусть, далее, w есть долгота, отсчитываемая от неподвижной оси Ох. Тогда (рисунок 2.1.1.)

(2.1.1)

Причем

(2.1.2)

где S есть гринвичское звездное время, которое можно представить формулой

(2.1.3)

Здесь -- угловая скорость вращения Земли;

t₀-- начальный момент времени; a

S₀ есть значение S при t = t_0.



Рисунок 2.1.1. Системы координат

Предположим сначала, что на спутник действует только сила притяжения Земли. Тогда на основании 1.1 дифференциальные уравнения движения запишутся в виде

(2.1.4)

где предполагается, что потенциал притяжения Земли U выражен посредством формул (2.1.1) и (2.1.2) через х, у, z.

Уравнения (2.1.4) не являются точными уравнениями движения спутника, поскольку они не учитывают таких сил, как сопротивление атмосферы, притяжение Луны и Солнца, световое давление и.т.д. [6], [8]

Пусть и R_s означают возмущающие функции, обусловленные соответственно действием Луны и Солнца, a , , -- составляющие возмущающего ускорения, вызванного сопротивлением атмосферы, световым давлением и другими факторами. Тогда, если ввести при помощи формулы (1.3.1) промежуточный и возмущающий потенциалы, то уравнения движения спутника в поле притяжения Земли с учетом влияния Луны, Солнца, сопротивления атмосферы, светового давления и.т.д. можно записать в следующем виде:

(2.1.5)

Где

Формула для R_T приводится в 1.3. Явные выражения для R_L, R_s и F_x, F_y, F_z мы дадим в тех главах, где будем рассматривать влияние соответствующих возмущающих факторов. Заметим лишь, что для близких ИСЗ функции и имеют примерно тот же порядок малости, что и функция R_T. Что касается F_x, F_y, F_z, то их величина зависит не только от высоты перигея орбиты, но и от массы и площади поперечного сечения спутника. Однако для большинства ИСЗ возмущения, вызываемые сопротивлением атмосферы и световым давлением, можно рассматривать как возмущения второго порядка относительно сжатия Земли. [5], [7]

В дальнейшем уравнения (2.1.5) мы будем называть уравнениями возмущенного движения, а функцию R -- возмущающей функцией. Если в этих уравнениях положить R = 0 и F_х = F_у = F_z = 0, то полученные уравнения

(2.1.6)

можно назвать уравнениями промежуточного движения, поскольку они имеют промежуточный характер между уравнениями возмущенного движения и уравнениями невозмущенного движения. Очевидно, последние имеют вид (2.1.6), если в качестве W взять функцию fm/r. Движения, описываемые уравнениями (2.1.6), будем называть промежуточными движениями, а соответствующие им орбиты -- промежуточными орбитами.

2.2 Интегрирование уравнений промежуточного движения

В этой части мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты спутника. Для этого мы воспользуемся методом Гамильтона -- Якоби и сфероидальными координатами которые связаны с прямоугольными координатами х, у, z формулами

(2.2.1)

Согласно в уравнениях (2.1.6) функция W определяется так:

Где

Поэтому в новых координатах функция W запишется в виде

(2.2.2)



Где

Пусть теперь Т -- кинетическая энергия спутника:

В координатах она будет дана формулой

(2.2.3)

Определяя импульсы формулами

(2.2.4)

из (2.2.3) найдем

(2.2.5)

Дифференциальные уравнения промежуточного движения теперь запишутся в виде

(2.2.6)

Где

(2.2.7)

Система (2.2.6) имеет интеграл энергии

(2.2.8)

где -- постоянная интегрирования. Составляя при помощи (2.2.8), (2.2.5) и (2.2.2) уравнение Гамильтона -- Якоби, получим

(2.2.9)

Полный интеграл этого уравнения будем искать в виде

где -- произвольная постоянная. Тогда для определения функций и приходим к следующим уравнениям:

где -- произвольная постоянная. Поэтому

(2.2.10)

Здесь и -- постоянные, которые будут определены позже, а и имеют вид

(2.2.11)

Общий интеграл системы (2.2.6) будет даваться уравнениями

Записывая первые из них в развернутой форме, имеем

(2.2.12)

где -- произвольные постоянные.

Из (2.2.12) легко находим следующие уравнения:

(2.2.13)

Если теперь вместо t ввести новую независимую переменную по формуле

то из уравнений (2.2.13) найдем

(2.2.14)

где и -- постоянные интегрирования, а и определим позже.

Итак, задача свелась к обращению квадратур (2.2.14). После того как мы найдем и в виде явных функций , третья координата определится следующей квадратурой:

(2.2.15)

которая легко выводится из третьего уравнения (2.2.13). Связь же переменной с временем t дается уравнением

(2.2.16)

В уравнениях (2.2.15) и (2.2.16) и -- произвольные постоянные, a -- начальный момент времени.

Формулы (2.2.14) -- (2.2.16) содержат семь постоянных . Но, как будет показано далее, постоянные и входят в окончательные формулы только посредством комбинации . Поэтому независимыми являются шесть постоянных.

Замечания:

В этой главе мы свели дифференциальные уравнения промежуточного движения к квадратурам и рассмотрели в общих чертах качественную сторону задачи. [9]



3.Формулы промежуточного движения

3.1 Эллиптические функции Якоби

В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного движения, позволяющие записать общий интеграл задачи в квадратурах. Поскольку функции и входящие в формулы (2.2.14), суть многочлены четвертой степени, то полученные квадратуры являются эллиптическими, вследствие чего общее решение задачи должно выражаться через эллиптические интегралы и эллиптические функции. Поэтому перед тем, как приступить к обращению квадратур, мы изложим основные сведения об эллиптических интегралах и функциях. [10], [11]

Пусть имеется интеграл вида

где R (z) есть многочлен четвертой степени. Всегда существует такая дробно-линейная подстановка, которая приводит его к виду

(3.1.1)

Интеграл (3.1.1) называется эллиптическим интегралом первого рода в нормальной форме Лежандра. Число к (0 <к< 1) называется модулем этого интеграла, а его дополнительным модулем.

Подстановкой t = sin эллиптический интеграл приводится к нормальной тригонометрической форме

(3.1.2)

Эллиптический интеграл, взятый в пределах от 0 до , называется полным эллиптическим интегралом первого рода и обозначается К (к):

Рассмотрим теперь равенство

(3.1.3)

С одной стороны, оно определяет и как однозначную функцию верхнего предела

С другой стороны, мы можем рассматривать верхний предел как функцию самого интеграла и. Такая функция обозначается

и называется амплитудой. Таким образом, a m(и, к) есть результат обращения эллиптического интеграла первого рода в нормальной тригонометрической форме Лежандра.

Эллиптические функции Якоби вводятся следующими формулами:

и называются соответственно эллиптическим синусом, эллиптическим косинусом и дельтой амплитуды.

Часто модуль к опускают и пишут просто

но всегда нужно помнить, что эти функции зависят от параметра к.

Отметим основные свойства эллиптических функций, считая и вещественным.

1 Функции snи и сnи периодические с периодом 4К, a dnи периодическая с периодом 2К.

2 Функции snи, сnu и dnи принимают значения в областях

Значения функций прии = 0, К, 2К, 3К, 4Кприведены в табл. 3.1.1.

Таблица 3.1.1-Значения эллиптических функций

u	0	K	2K	3K	4K

Величина К, таким образом, для функций snи и cnu играет роль, аналогичную роли для sinи и cosи.

3 Функция snи -- нечетная, а cnи и dnи -- четные функции и, т. е.

4 Функции sn и, cnu и dnи связаны между собой формулами

5 Функции snи,cnu, dnи вырождаются при k = 0 в тригонометрические функции, т. Е.

а при k= 1 в гиперболические функции, т. Е.

6 Функции snи и спи разлагаются в тригонометрические ряды:

(3.1.4)

(3.1.5)

Где

(3.1.6)

Для amи имеет место такое разложение:

(3.1.7)

Приведем еще разложение для К (к):

(3.1.8)

Все эти ряды сходятся при любых и и k< 1.

3.2 Определение элементов орбиты по начальным условиям

В предыдущих главах были выведены формулы, позволяющие вычислять положение спутника в пространстве для любого момента времени, если известны численные значения элементов а, е, i,, , и M₀. Элементы орбиты могут быть определены двумя способами. Во-первых, их можно вычислить, если для какого-нибудь момента времени t = t₀ нам даны положение спутника и его скорость. Во-вторых, они могут быть найдены по наблюдениям спутника. В этом параграфе мы рассмотрим первый способ. [13]

И так, пусть для момента времени t=t₀

Требуется определить постоянные а, е, i, , , и M₀. Задачу эту можно разбить на три части. Сначала по известным координатам и их производным находим постоянные интегрирования . Затем, зная эти постоянные, определяем первую группу элементов а, е, i. После этого легко находится вторая группа элементов , , и M₀.

Введем следующие обозначения:

(3.2.1)

(3.2.2)

(3.2.3)

Тогда из уравнений (2.2.1) для момента t = t₀ имеем



(3.2.4)

(3.2.5)

где через обозначены сфероидальные координаты для начального момента времени.

Для того чтобы однозначно определить из формул (3.2.4) и (3.2.5), мы должны воспользоваться следующими условиями:

Продифференцируем по времени уравнения (2.2.1) и положим t = t₀. Тогда получим

(3.2.7)

Интегралы (2.3.1), (2.3.7) и (2.3.3) теперь дают

(3.2.8)

(3.2.9)

(3.2.10)

Где

(3.2.11)



Перейдем теперь к определению постоянных а, е, i. Полагая

(3.2.12)

мы можем написать

Решая эти уравнения методом последовательных приближений, получим

(3.2.13)

(3.2.14)

(3.2.15)

Где

(3.2.16)

Квадрант угла i определяется однозначно, поскольку знак cosi совпадает со знаком постоянной , a sini?0.

Формулы (3.2.13)--(3.2.16) дают нам значения элементов а, е, i с точностью до включительно. Зная эти элементы, мы можем найти n₀. Однако для этой очень важной постоянной можно вывести другую и более точную формулу. Для этого сначала устанавливаем следующее равенство:

(3.2.17)

Поэтому

(3.2.18)

Перейдем к определению угловых элементов , , M₀. Найдем сначала значения переменных и для t = t₀. С этой целью положим

(3.2.19)

(3.2.20)

Тогда имеем

(3.2.21)

(3.2.22)

(3.2.23)

(3.2.24)

Зная и ,получаем

(3.2.25)

Определив теперь из равенства

(3.2.26)

мы можем найти ?₀ по формуле

(3.2.27)

Остается найти элемент М₀. Полагая в уравнениях t = t₀, будемиметь

(3.2.28)

(3.2.29)

Заметим, что в формулах (3.2.25), (3.2.27) и (3.2.29) были отброшены периодические члены, меньшие 0",01.



4. Дифференциальные уравнения для эйлеровых элементов промежуточной орбиты

4.1 Введение

В предыдущих главах было подробно изучено промежуточное движение искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения, введены элементы промежуточной орбиты и получены все необходимые формулы, позволяющие определять положение спутника и его скорость для произвольного момента времени. В настоящей главе будут выведены дифференциальные уравнения, которые дадут возможность находить возмущения, не принятые во внимание при построении промежуточной орбиты.

Подобно тому как это имеет место в классической теории возмущений, мы при решении уравнений возмущенного движения за искомые функции примем элементы промежуточного движения. Другими словами, мы будем считать, что в возмущенном движении координаты и составляющие скорости спутника определяются формулами промежуточного движения, в которых элементы орбиты не являются постоянными, а суть некоторые функции времени. [14]

Сначала мы рассмотрим только такие возмущающие силы, которые имеют силовую функцию, т. е. будем предполагать, что дифференциальные уравнения движения спутника могут быть записаны в следующем виде:

(4.1.1)

где возмущающая функция R зависит от координат х, у, z и времени t.

Принимая за обобщенные координаты величины и вводя формулами (2.2.4) обобщенные импульсы мы вместо системы (4.1.1) будемиметь

(4.1.2)

Где

(4.1.3)

(4.1.4)

причем Т есть кинетическая энергия, отнесенная к единице массы.

При R=О система (4.1.2) описывает промежуточное движение спутника, определяемое каноническими элементами и . В случае промежуточного движения эти элементы являются постоянными. В возмущенном движении они будут функциями времени, удовлетворяющими следующим уравнениям:

(4.1.5)

Канонические элементы и аналогичны каноническим элементам Якоби в кеплеровом движении. Известно, что элементы Якоби не являются удобными переменными при решении уравнений возмущенного движения. Их недостаток заключается в том, что в правых частях дифференциальных уравнений появляются смешанные члены, т. е. члены вида tsint, где -- постоянная. По аналогичным причинам элементы и необходимо заменить другими, болееудобными каноническими элементами. В теории кеплерова движения такими элементами служат элементы Делоне и элементы Пуанкаре. Здесь мы введем аналогичные системы элементов. Заметим, однако, что в данном случае задача существенно осложняется тем обстоятельством, что рассматриваемая промежуточная орбита характеризуется тремя частотами,в то время как кеплеровская орбита зависит только от одной частоты. Задача, тем не менее, и здесь успешно разрешается, если воспользоваться общей теорией условно периодических движений.

4.2 Задача об устойчивости движения спутника

Рассмотрим сначала промежуточное движение. Мы видели, что промежуточное движение спутника происходит в области, ограниченной двумя эллипсоидами и двумя гиперболоидами. Орбита спутника, как легко показать, касается одного эллипсоида, затем гиперболоида, второго эллипсоида и второго гиперболоида и. т. д. Согласно [2] движение спутника будет условно-периодическим с тремя периодами. Введем эти периоды.

Назовем аномалистическим периодом Т₁ промежуток времени между двумя последовательными касаниями внешнего (внутреннего) ограничивающего эллипсоида. Очевидно, этому промежутку времени соответствует изменение от некоторого до . Драконическим периодом Т₂ назовем промежуток времени между двумя последовательными пересечениями спутником плоскости z = с, например, с юга на север. Как легко видеть, этому промежутку времени будет соответствовать изменение от до . Так как плоскость z = с отстоит от экваториальнойплоскости на 7,5 км, то драконический период практически будет совпадать с промежутком времени между двумя последовательными пересечениями спутником плоскости экватора. Назовем, наконец, сидерическим периодом Т₃ промежуток времени, в течение которого долгота w₀ возрастает на 2 радиан. В соответствии с этим введем среднее аномалистическое движение , среднее драконическое движение п₂ и среднее сидерическое движение п₃ по формулам

(4.2.1)

Ясно, что все три периода изменяются от оборота к обороту, подвергаясь периодическим (и, вообще говоря, малым) колебаниям. Однако если пренебречь этими малыми колебаниями, то мы получим некоторые средние значения для этих периодов, которые и будут характеризовать движение спутника на больших промежутках времени.

Обращаясь к уравнениям, мы видим, что при изменении на 2 время t изменяется (в среднем) на величину, равную . Поэтому

Аналогичным образом находим, что

С принятой точностью, таким образом, будем иметь

(4.2.2)

Отсюда следует, что средние движения исоответственно три периода отличаются друг от друга величинами порядка .

Очевидно, что п_1, п₂, и п₃ представляют собой средние скорости изменения переменных , и , а периоды Т₁, Т₂ и Тз показывают, за какое время эти переменные изменяются (в среднем) на 2л.

Величины п₁, п₂ и п₃ в известной степени определяют характер движения спутника. Если п_1, п₂, п₃ несоизмеримы, то орбита спутника не будет замкнутой кривой.

В этом случае какую бы точку тороидального пространства, где происходит движение спутника, мы ни взяли, всегда найдется такой момент времени, когда спутник будет сколь угодно близко от этой точки. Другими словами, траектория спутника будет всюду плотно заполнять область возможности движения. Картина изменяется, если отношения этих постоянных являются рациональными числами. В этом случае орбита спутника будет замкнутой кривой, а его движение -- периодическим. Два условия периодичности будут связывать три элемента, а, е, i, от которых зависят постоянные п_1, п₂, п₃. Один из этих элементов можно выбрать произвольно, а два других будут принимать счетное множество значений. Три угловых элемента будут произвольными. Таким образом, уравнения промежуточного движения допускают периодических движений, период которых в общем случае является весьма большой величиной. [15]

Перейдем теперь к рассмотрению возмущенного движения. Предположим сначала, что на спутник действуют только силы гравитационной природы. Для определенности будем считать, что спутник подвержен возмущениям от зональных, тессеральных и секториальных гармоник потенциала притяжения Земли, а также влиянию Луны и Солнца. Тогда согласно 2.1 возмущающая функция R будет даваться формулой

Используя равенства, мы можем представить функцию R в виде следующего ряда:

(4.2.3)

Где



(4.2.4)

причем -- малый параметр,

k_1,k₂, . . . , s₃ -- целые числа;

-- угловая скорость вращения Земли;

и -- средние движения Луны и Солнца;

d₀ -- постоянная, а коэффициенты А суть функции элементов а, е, i или L, G, Н.

Будем рассматривать такую область пространства, чтобы функция R имела порядок . Тогда отношения частот п' и п"к п будут иметь порядок .

Вычислим теперь следующий определитель:

Где

Тогда получим

Сделанные предположения относительно функции R и тот факт, что , дают нам возможность воспользоваться теоремой В. И. Арнольда [3] об устойчивости канонических систем. Из этой теоремы следует, что для всех начальных условий израссматриваемой области, за исключением, быть может, некоторого множества малой вместе с меры, элементы L, G, Н можно представить сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, почти для всех начальных условий элементы L, G, Н будут изменяться в ограниченных пределах и тем самым почти все орбиты спутника будут устойчивыми по Лагранжу, ибо область пространства, где происходит движение спутника, полностью определяется элементами L, G, Н. Эта область, ограниченная двумя эллипсоидами и гиперболоидами, будет лишь пульсировать со временем, а не расширяться или сужаться вековым образом.

Заметим, однако, что возмущения от сопротивления атмосферы, приведут к тому, что расстояния между поверхностью Земли и ограничивающими эллипсоидами будут непрерывно сокращаться, и спутник рано или поздно упадет на Землю.

4.3 Постановка задачи о возмущениях элементов промежуточной орбиты

Полученные дифференциальные уравнения для элементов промежуточной орбиты позволяют довольно просто построить аналитическую теорию движения спутника со всей необходимой для практики точностью. Важной особенностью этих уравнений является то, что они дают возможность уже в первом приближении находить возмущения, обусловленные совместным влиянием различных возмущающих факторов и сжатия Земли.

Рассмотрим подробнее этот вопрос. Пусть есть параметр, характеризующий малость возмущающей функции R. Тогда, подставив в частные производные R по элементам формулы промежуточного движения, мы получим в правых частях дифференциальных уравнений члены, пропорциональные и. т. д. Поскольку имеет порядок , то интегрирования членов, пропорциональных .Что касается комбинированных возмущений, то они будут результатом интегрирования членов, пропорциональных и. т. д.

В ряде случаев комбинированные возмущения являются малыми, и их далеко не всегда нужно учитывать. Поэтому рассмотрим сначала задачу определения самых существенных возмущений. Эта задача, как мы сейчас увидим, решается весьма просто.

Возьмем дифференциальные уравнения, сохранив в них члены, линейные относительно производных R по элементам. Тогда они запишутся в виде

(4.3.1)

Где

(4.3.2)

После определения из первых пяти уравнений (4.3.1) элементов а, е, i, и как явных функций v шестое уравнение (4.3.1) позволит установить зависимость v от времени t.

При R = 0 первые пять уравнений (4.3.1) имеют решение:

(4.3.3)

Поскольку мы сначала будем пренебрегать комбинированными возмущениями, то в правые части уравнений (4.2.1) вместо можно подставить следующие упрощенные выражения:

(4.3.4)

(4.3.5)

(4.3.6)

Где

(4.3.7)

Интегрируя теперь уравнения (4.3.1) при условии (4.3.3), мы найдем все важнейшие возмущения первого порядка. Отброшенные неравенства будут примерно в 1000 раз меньше найденных.

Заметим, что такая упрощенная схема определения возмущений первого порядка хотя внешне и похожа на схему вычисления возмущений кеплеровых элементов, но существенно отличается от последней. Действительно, во-первых, в случае кеплеровых элементов все величины а, е, i ,, и М₀ в нулевом приближении постоянны, в то время как в нашем случае только неугловые элементы являются постоянными, а угловые суть линейные функции независимой переменной. Во-вторых, при использовании элементов промежуточной орбиты параметр имеет порядок и выше, а в уравнениях для кеплеровых элементов .

Решение уравнений (4.3.1) позволяет представить возмущенные элементы в следующем виде:

(4.3.8)

где и v' -- элементы в промежуточном движении;

а -- возмущения первого порядка. Зная возмущения этих элементов, можно найти возмущения других величин, описывающих движение спутника. Как следует, прямоугольные координаты х, у, z легко находятся, если известны а, е, i,, и . Но с принятой точностьюмы имеем

(4.3.9)

так что

(4.3.10)

где , и суть , и в промежуточном движении.

Вместо возмущения или можно рассматривать возмущение М элемента М, входящего в уравнения, связывающие с временем t. Его можно найти из формулы

(4.3.11)

Где

(4.3.12)

Равенства (4.3.11) и (4.3.12) выводятся, если в них отбросить члены, пропорциональные .

Далее, если потребуются возмущения элементов l, g, h, то, как легко видеть, они соответственно равны , и , так что возмущенные значения l, g, h определятся по формулам



где n, n' и n" -- значения средних движений в промежуточной орбите.



5. Возмущения от зональных гармоник

5.1 Возмущающая функция

В этой главе мы рассмотрим возмущения элементов орбиты спутника, обусловленные зональными гармониками потенциала притяжения Земли. Согласно (1.3.2) возмущающая функция, соответствующая этим членам потенциала, имеет вид

(5.1.1)

где f -- постоянная притяжения;

т и r₀ -- масса и средний экваториальный радиус Земли;

r и -- геоцентрические радиус-вектор и широта спутника;

j_n -- безразмерные коэффициенты, определяемые формулой (1.3.3).

Как уже отмечалось, коэффициенты j_n очень медленно убывают с возрастанием порядка гармоники, и мы в настоящее время не знаем, сколько членов ряда (5.1.1) нужно учитывать при построении точной теории движения спутника. Следовательно, задача должна ставиться таким образом, чтобы найти общие формулы, по которым можно было бы вычислять возмущения от любого числа гармоник. [16]

Поскольку величины j_n имеют порядок и выше, то при выводе формул для возмущений мы будем отбрасывать члены, пропорциональные . Поэтомув выражениях для r и , которые нужно подставить в формулу (5.1.1), мы будем пренебрегать членами, пропорциональными . Тогда согласно (4.3.4) и (4.3.5) будем иметь

(5.1.2)

(5.1.3)

В дальнейшем оказывается удобным вместо постоянной ввести постоянную

Если положить далее

То

Поэтому

(5.1.4)

Подставляя (5.1.2) и (5.1.4) в формулу (5.1.1), найдем

(5.1.5)

где s=sini.

Поскольку для определения возмущений мы будем пользоваться уравнениями (4.13.1), нам нужно найти также разложения для функций R', F' и Ф', определяемых формулами (4.13.2). Они имеют следующий вид:

(5.1.6)

(5.1.7)

(5.1.8)

Рассмотрим подробнее полученные выражения. Очевидно, функция R' может быть представлена в виде следующего ряда:

(5.1.9)

коэффициенты которого зависят от р, е и s. Аналогичный вид будут иметь и функции F' и Ф', только Ф' будет содержать вместо косинусов синусы.

Напомним, что те члены в (5.1.9), для которых к = j = 0, называются вековыми членами. Они вызывают вековые возмущения. Члены, для которых к = -j?0 и

k?-j, называются соответственно долгопериодическими и короткопериодическими. При интегрировании долгопериодических членов в возмущениях появятся малые знаменатели вида kv, где k -- целое число, av -- величина порядка . Интегрирование короткопериодических членов не приведет к малым знаменателям, и амплитуды таких возмущений будут пропорциональны . [17]

В дальнейшем мы будем пренебрегать короткопериодическими возмущениями. Таким образом, все упрощения, которые были здесь сделаны, позволяют нам получить вековые возмущения с точностью до , а периодические -- до включительно.

Введем теперь в рассмотрение коэффициенты и согласно формулам

(5.1.10)

(5.1.11)

Тогда, если в (5.1.6) отбросить короткопериодические члены, то, как легко видеть, для функции R' будем иметь следующее разложение:

(5.1.12)

Где

(5.1.13)

(5.1.14)

Аналогичным образом находим

(5.1.15)

(5.1.16)

Где

(5.1.17)

(5.1.18)

(5.1.19)

Причем

(5.1.20)

Методика вычисления коэффициентов (е), и (s) будет рассмотрена в следующих параграфах.

5.2 Сводка формул для возмущений

Приведем окончательные формулы для возмущений элементов промежуточной орбиты. Поскольку v отличается от только периодическими членами порядка и , то с принятой точностью мы можем представить в следующем виде:

(5.2.1)

Здесь , , , , и -- постоянные, и -- периодические возмущения; величины и v' даются формулами

где и -- коэффициенты вековых неравенств;

a , и определяются по формулам промежуточного движения, в которых а, е и i заменены соответственно на , и .

Для коэффициентов вековых неравенств мы имеем следующие формулы:

(5.2.2)

Где



(5.2.3)

(5.2.4)

Причем

(5.2.5)

Заметим, что в этих, а также в последующих формулах величины и и производные от них должны быть вычислены при е = е₀ и s = s₀.

Приведем теперь формулы для периодических возмущений. Они имеют следующий вид:

(5.2.6)

(5.2.7)

(5.2.8)

(5.2.9)

(5.2.10)

где коэффициенты , , , в случае четных индексов определяются формулами

(5.2.11)

(5.2.12)

(5.2.13)



(5.2.14)

а в случае нечетных индексов -- формулами

(5.2.15)

(5.2.16)

(5.2.17)

(5.2.18)

Причем

(5.2.19)

(5.2.20)

Переменная g' определяется формулой

(5.2.21)

Где

(5.2.22)

Но так как отличается от

лишь периодическими членами, то без потери точности можем считать, что

(5.2.23)

Где

(5.2.24)

Таким образом, полученные в этом параграфе формулы позволяют вычислять долгопериодические возмущения без предварительного вычисления v или . [18]

гравитационный движение искусственный спутник



6. Возмущения от тессеральных и секториальных гармоник

6.1 Постановка задачи

Долготная часть потенциала земного притяжения дается следующей формулой:

(6.1.1)

где r -- радиус-вектор;

-- геоцентрическая широта;

-- долгота, отсчитываемая от гринвичского меридиана;

-- присоединенная функция Лежандра;

и -- постоянные.

Как и в случае зональных гармоник, в выражении Rчерез элементы р, е, i, ?, и, v мы будем пренебрегать периодическими членами, пропорциональными . Поэтому будем считать, что в формуле (6.1.1) величины r, sin и равны

(6.1.2)

(6.1.3)

(6.1.4)

(6.1.5)

где через обозначена угловая скорость вращения Земли;

а через -- момент времени, когда гринвичский меридиан проходит через точку весеннего равноденствия.

Посмотрим теперь, как можно выразить функцию R через элементы промежуточного движения. Для этого рассмотрим сначала вторую секториальную гармонику

имеем

(6.1.6)

Пусть

(6.1.7)

Тогда согласно (6.1.4) и (6.1.5)

Но поскольку

то

(6.1.8)

Аналогично находим



(6.1.9)

Подставляя (6.1.8) и (6.1.9) в (6.1.6) и вводя вместо и переменную и* = и -- 90°, получим

(6.1.10)

Где

(6.1.11)

Причем

a определяется формулой (6.1.7).

В промежуточном движении мы, очевидно, имеем

(6.1.12)

Где

(6.1.13)

а , если отбросить периодические члены с и , есть уравнение центра, т.е.

Подставляя в (6.1.7) вместо t его выражение из (6.1.12) и (6.1.13), получим

(6.1.14)

Где

(6.1.15)

есть отношение угловой скорости вращения Земли к среднему аномалистическому движению спутника.

Сначала мы рассмотрим лишь случай близких спутников, когда величина мала. При этом в разложении функции R будем пренебрегать членами, пропорциональными , т.е. членами порядка . Вследствие этого можно считать, что

(6.1.16)

поскольку есть периодическая функция v.

Вторая секториальная гармоника, как показывает формула (6.1.1), имеет множителем величину . Ноприлюбом целом п мы имеем

(6.1.17)

где суть функции е.

Формулы (6.1.10) (6.1.16) и (6.1.17) показывают, что в случае второй секториальной гармоники функция R будет содержать члены вида



(6.1.18)

где j и k -- целые числа.

Подобные члены будут содержать и функции R', F' и Ф'.

Поскольку в промежуточном движении

где и -- постоянные, то, интегрируя члены вида (6.1.18), мы получим

(6.1.19)

Рассмотрим знаменатель выражения (6.1.19), в котором v и суть величины порядка . Он может быть мал в двух случаях:

1 малоиj + k = 0 ,

2 .

Очевидно, первый случай соответствует близким спутникам, а второй -- спутникам, периоды обращения которых равны 12^h, 24^h и. т. д.

Здесь мы ограничимся рассмотрением первого случая. Таким образом, мы будем учитывать только долгопериодические возмущения, для которых j + k = 0. Тогда функции R', F' и Ф' принимают весьма простой вид. Так, например

(6.1.20)

Причем

(6.1.21)

Амплитуды долгопериодических возмущений будут иметь порядок . Короткопериодические возмущения, которыми мы пренебрегаем, пропорциональны . [19]

6.2 Структура возмущений. Резонансные неравенства

Представим возмущающую функцию в следующем виде:

(6.2.1)

Где

(6.2.2)

(6.2.3)

В формулах (6.2.1) и (6.2.2) первые строчки соответствуют четным h -- q, а вторые -- нечетным h -- q.

Такое представление возмущающей функции дает возможность легко составить правые части дифференциальных уравнений для элементов и проинтегрировать их в первом приближении. Рассмотрим сначала возмущения элемента а. Как и раньше, будем пренебрегать членами порядка J_nq. Тогда имеем



Подставляя сюда (6.7.1), получим

(6.2.4)

где n -- среднее аномалистическое движение спутника, так что

(6.2.5)

В промежуточном движении величины и определяются формулами

(6.2.6)

(6.2.7)

Кроме того

(6.2.8)

где п' -- среднее движение перигея;

п" -- среднее движение узла;

-- скорость вращения Земли;

а , и -- постоянные.

Для возмущений элемента а найдем

(6.2.9)



Где

(6.2.10)

(6.2.11)

Подобным образом можно получить выражения для возмущений всех остальных элементов. Приведем окончательный результат:

где коэффициенты , ,….. определяются формулами

a дается формулой (6.2.11)

Рассмотрим подробнее структуру возмущений. Что если ? 0, то возмущения всех элементов содержат только периодические члены. Амплитуды этих членов существенно зависят от величины знаменателя .

Рассмотрим сначала случай близких спутников, когда отношение п к равно примерно 15ч10. Поскольку отношения п' и п" к п имеют порядок 10^-3, то амплитуды и периоды возмущений определяет в основном величина рп -- q. [20]

Пусть р?0. Тогда гармоники низших порядков дадут короткопериодические неравенства с амплитудами порядка . Гармоники высших порядков наряду с короткопериодическими возмущениями дадут также и долгопериодические неравенства, когда

Например, для = 12 долгопериодические неравенства будут вызывать гармоники с индексами 12,12; 13,12; 14,12 и.т.д. Амплитуды этих неравенств будут пропорциональны .

Пусть р = 0. Тогда мы будем иметь возмущения с общим периодом около суток. Наибольшие амплитуды этих неравенств будут при q = 1; 2. При больших q эти неравенства по величине мало отличаются от короткопериодических неравенств. Заметим, что такие неравенства не содержатся в возмущениях большой полуоси.

Рассмотрим теперь далекие спутники, когда < 10. В этом случае короткопериодические неравенства и возмущения с периодом около суток будут малыми. Самым значительным возмущениям будут подвергаться только спутники, для которых отношение п к близко к отношению целых чисел. Главное отличие этого случая от случая близких спутников заключается в том, что долгопериодические возмущения здесь вызывают не только высшие гармоники, но и гармоники низших порядков. [21]

Рисунок 6.2.1. Долгопериодические возмущения вдоль орбиты спутника 1963 49В

Так, например, для спутника с периодом около 12 часов долгопериодические возмущения будет вызывать вторая секториальная гармоника (q = 2, р = 1), а для спутника с периодом около 8 часов -- третья секториальная гармоника (q = 3, р=1).

И так, все неравенства можно разделить на три типа:

1 Короткопериодические неравенства.

2 Неравенства с периодом около суток

3 Долгопериодические или резонансные неравенства.

Неравенства первого и второго типов существенны только для близких спутников. При этом амплитуды неравенств второго типа отличаются от амплитуд неравенств первого типа множителем . Наиболее значительными, конечно, являются долгопериодические или резонансные возмущения. Для спутника 1963 49В они показаны на рисунке 6.2.1.



7. Лунно-солнечные возмущения

7.1 Постановка задачи

В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении спутника, обусловленные притяжением Луны и Солнца.

Пусть, как и раньше, Оxyz -- прямоугольная геоцентрическая система координат, плоскость ху которой совпадает с плоскостью экватора, ось Oz направлена в северный полюс, а ось Ох -- в точку весеннего равноденствия. Обозначим через х', у', z' координаты возмущающего тела (Луны или Солнца) относительно этой системы координат. Тогда возмущающая функция R, обусловленная притяжением внешнего тела, будет определяться формулой [22]

(7.1.1)

где т' -- масса возмущающего тела,

Обозначим через Н угол между радиусами-векторами спутника и возмущающего тела. Тогда

(7.1.2)

Поэтому



Разлагая функцию R в ряд по степеням отношения r/r' и отбрасывая при этом член, не зависящий от координатспутника, мы получим

(7.1.3)

Разложение (7.1.3) сходится для всех r<r'. В случае Солнца оно сходится настолько быстро, что можно ограничиться только первым членом. Но в случае Луны эта сходимость более медленна, поскольку отношение r к r' может быть и не малой величиной. Однако для близких спутников это отношение действительно невелико и мы можем в разложении (7.1.3) отбросить члены, зависящие от параллакса. Поэтому мы примем, что функция R дается формулой

(7.1.4)

И так, если отбросить параллактические члены, то возмущающая функция, обусловленная притяжением спутника Луной и Солнцем, будет равна

где индекс «L» относится к Луне;

а «S»-- к Солнцу.

Как и ранее, мы будем пренебрегать в выражении для R членами, пропорциональными и . Поэтому вместо координат спутника и координат возмущающего тела будем подставлять в (7.1.4) следующие выражения:

(7.1.5)

И

(7.1.6)

где p', e', i', u', v',' -- параметр, эксцентриситет, наклон, аргумент широты, истинная аномалия и долгота узла орбиты возмущающего тела соответственно.

7.2 Определение элементов Луны и Солнца

В формулы для возмущений элементов помимо масс и больших полуосей возмущающих тел входят также наклоны, долготы узлов и перигеев Луны и Солнца, отнесенные к плоскости экватора. [23]

Рассмотрим сначала вопрос о вычислении указанных величин, связанных с Солнцем. В этом случае, очевидно, ?' = 0 и i' = ', где ' -- наклон эклиптики к экватору. Поскольку движение перигелия Земли очень мало (годичное изменение равно примерно 1"), то можно принять, что v' = 0 и, следовательно, и' =, где -- средняя долгота Солнца. Таким образом, в случае Солнца мы имеем

(7.2.1)

Рисунок 7.2.1. Элементы орбиты Луны

При этом для вычисления может служить формула, которая приводится в Астрономическом Ежегоднике.

Перейдем теперь к случаю Луны. На рисунок 7.2.1. через J и обозначены наклон и долгота узла Луны, отнесенные к плоскости эклиптики, а через N обозначена дуга лунной орбиты от точки пересечения ее с экватором до точки пересечения с эклиптикой. Из сферического треугольника находим

(7.2.2)

(7.2.3)

(7.2.4)

Так как , и приводятся в Астрономическом ежегоднике, то формулы (7.2.2)--(7.2.4) дают возможность определить i', и N. Что касается аргумента перигея Луны и', то он может быть найден из равенства

(7.2.5)

где -- средняя долгота Луны, значения которой также приводятся в Астрономическом Ежегоднике.

Заметим, что поскольку и мало изменяются с временем и -- малая величина, то на промежутке времени около одного года i' может рассматриваться как величина постоянная. [24]



8. Возмущения от сопротивления атмосферы

8.1 Введение

В предыдущих главах были рассмотрены возмущения элементов орбиты спутника, вызываемые зональными и тессеральными гармониками геопотенциала и притяжением Луны и Солнца, т.е. силами, имеющими гравитационную природу. Характерной особенностью влияния этих сил является то, что в возмущенном движении неугловые элементы имеют вид

а угловые элементы могут быть представлены так

где , , , ,, и -- постоянные.

Хотя мы оставили в стороне вопрос о сходимости рядов для возмущений, но на основании результатов, полученных в последнее время А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом [25], можно думать, что эти рядысходятся для большинства начальных условий из интересующей нас области движения спутника. Во всяком случае, если иметь в виду ограниченные промежутки времени, то, как показывает сравнение теоретических выводов с наблюдениями, построенная в таком виде теория хорошо представляет движение спутника на достаточно больших временных интервалах.

В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении спутника, которые обусловлены сопротивлением атмосферы. Как мы вскоре увидим, влияние этой возмущающей силы качественно отличается от действия гравитационных сил. Если в случае гравитационных сил элементы а, е, i, полностью определяющие область пространства, где происходит движение спутника, подвержены только периодическим колебаниям, то сопротивление атмосферы вызывает в них вековые возмущения. Именно эти возмущения -- причина того, что близкие спутники имеют лишь ограниченный срок жизни. Что касается угловых элементов, то они подвержены возмущениям, пропорциональным квадрату времени.

Рассматриваемая задача имеет еще одну особенность. Если определение возмущений от гравитационных сил представляет собой главным образом математическую проблему, и точность теории зависит от совершенства применяемых методов и порядка учтенных в возмущающей функции членов, то здесь мы сталкиваемся прежде всего с трудностями физического характера, главными из которых являются не поддающиеся точному прогнозу колебания плотности атмосферы и неточные сведения о некоторых физических характеристиках, входящих в выражение для силы сопротивления. Эти трудности и накладывают серьезные ограничения на точность теории и на промежуток времени, на котором ею можно пользоваться.

Однако, несмотря на это, оказывается возможным нарисовать не только качественную картину, но и построить такую теорию возмущений от сопротивления атмосферы, которая, как показывает практика, дает вполне удовлетворительные результаты при изучении движения спутника на небольших промежутках времени.

8.2 Плотность атмосферы

Плотность воздуха верхней атмосферы определяется как непосредственно, при помощи аппаратуры, установленной на спутниках и ракетах, так и косвенным путем, при помощи изучения возмущений в движении спутника, вызываемых сопротивлением атмосферы. В последние годы наиболее плодотворным оказался второй метод. Он позволил нарисовать подробную картину изменения плотности воздуха с высотой и с временем.

На рисунке 8.2.1. приводится распределение плотности в зависимости от высоты h для 1961 г., полученное Кинг-Хили и др. [27]. Поскольку на этом рисунке шкала значенийплотности логарифмическая, то прямая линия строгосоответствует экспоненциальному закону изменения плотности с высотой.