Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения

Изменение плотности воздуха с временем характеризуется следующими основными эффектами:

1 Суточный Эффект. В зависимости от времени суток плотность воздуха на данной высоте различна. Максимум плотности наблюдается примерно через 2 часа после полудня, а минимум -- между полуночью и рассветом. Этот эффект обусловлен изменением температуры

Рисунок 8.2.1. Плотность воздуха в в зависимости от высоты для 1961 г

в зависимости от высоты Солнца над горизонтом. Днем массы воздуха поднимаются вверх и поверхности постоянной плотности образуют горб, направленный к Солнцу. При h = 500 км этот горб имеет высоту около 100 км, так что дневные значения плотности на высоте 600 км примерно равны ночным значениям на высоте 500 км. Для высоты 650 км максимальные значения плотности могут в 10 раз превосходить минимальные значения. Разница между дневными и ночными значениями плотности для h =200км мала, но и она может составлять 40% средней плотности на данной высоте.

2 Колебания плотности с периодом 27 суток. Этот эффект, период которого равен периоду вращения Солнца вокруг своей оси по отношению к Земле, связан с количеством и активностью солнечных пятен на видимой стороне Солнца. Амплитуда колебаний плотности с таким периодом на высоте 200 км может составлять 20%, а на высоте 600 км -- 70% от средней плотности.

3 6-месячные колебания. Плотность воздуха подвержена колебаниям с периодом около 6 месяцев и амплитудой, достигающей на высоте 350 км около 40% от средней плотности. Максимумы этих колебаний бывают в апреле и октябре, а минимумы -- в январе и июне. Этот эффект связывают с наклоном оси вращения Солнца к плоскости эклиптики.

4 11-летний цикл. Самые большие вариации плотности связаны с 11-летним циклом солнечной деятельности (рисунок 8.2.2.). Между максимумами и минимумами

Рисунок 8.2.2. Одиннадцатилетний цикл

солнечной активности плотность воздуха убывает на высоте 300 км, примерно в три раза, а на высоте 600 км в 20 раз.

5 Иррегулярные изменения плотности. Имеются спорадические изменения плотности воздуха, связанные в первую очередь также с деятельностью Солнца. Эти изменения, которые трудно предсказать, могут длиться малое время (несколько суток или несколько часов), но могут достигать достаточно большой величины (рисунок 8.2.3.).

Нарисованная здесь картина, по-видимому, не является полной, ибо можно думать, что существуют и другие вариации плотности, такие, например, как приливные колебания, широтный эффект и. т. д.

Таким образом, атмосфера имеет весьма сложную структуру и построение необходимой для теории достаточно полной аналитической модели атмосферы является делом чрезвычайно сложным. Такая модель должна основываться на табличной динамической модели, которая дает зависимость плотности не только от высоты, но и от времени. Примером динамической модели может служить модель CIRA, 1965 [28].

Эта модель представляет собой совокупность таблиц, дающих плотность как функцию высоты в зависимости от местного времени и одного из

Рисунок 8.2.3. Иррегулярные изменения плотности

параметров , характеризующего среднюю на протяжении года солнечную активность. В качестве примера в Приложении приводятся значения плотности для случая слабой солнечной активности в зависимости от высоты и местного времени. На рисунок 8.2.4. приведены графики изменения от высоты для момента времени, равного 4^h, в случае слабой (F = 75) и в случае сильной (F = 200) солнечной активности. На рисунок 8.2.5. представлена зависимость от местного времени для разных высот.

Более полные сведения о плотности воздуха содержатся в Стандартной атмосфере CIRA, 1972 [29]. Эта модель дается таблицами и формулами, позволяющими находить плотность на данной высоте для данного момента времени. Основными входными данными Стандартной атмосферы, помимо высоты h и местного солнечного времени, являются широта точки , в которой определяется плотность, склонение Солнца , индексы и , характеризующие поток солнечного излучения на волне 10,7см, и геомагнитный индекс .

В силу весьма сложной зависимости плотности от времени, мы должны сначала пойти путем неизбежных упрощений. Прежде всего вместо динамической модели мы возьмем сначала статическую модель, дающую плотность как функцию одной высоты. Подходящую статическую модель мы можем выбрать, исходя из данных о солнечной активности и из момента местного времени, когда местный меридиан пересекает точку перигея орбиты.



Рисунок 8.2.4. Зависимость от h в случае слабой и в случае сильной солнечной активности

Рисунок 8.2.5. Зависимость lgс от местного времени

Сделаем дополнительные упрощения. Поскольку в теории движения спутника нас интересует только та область высот, в которой находится его орбита, то мы можем пользоваться локальной моделью, дающей поведение плотности в некотором ограниченном слое. Но, как показывают рис. 8.2.3 и 8.2.4., в первом приближении можно принять для плотности экспоненциальный закон:

(8.2.1)

где Н -- постоянная;

а -- значение плотности в исходной точке. Если взять за эту точку перигей орбиты спутника, то высоту h нужно отсчитывать от перигея.

Величина Н, называемая шкалой высот, в свою очередь является функцией высоты. На рис. 8.2.6. приводятсяграфики изменения Н с высотой для модели атмосферы CIRA, 1965. При изменении высоты от 200 до 800 км шкала высот Н возрастает примерно от 20 до 200 км. Таким образом, формула (8.2.1) тем лучше описывает распределение плотности, чем более тонкий слой рассматривается.

Рисунок 8.2.6. Зависимость шкалы высот Н от h

Взяв за основу формулу (8.2.1), мы можем найти главнейшие возмущения в движении спутника, вызываемые сопротивлением атмосферы. Изучив их, можно перейти к исследованию более тонких эффектов. Так, полагая в (8.2.1)

(8.2.2)

где и -- постоянные, можно найти неравенства, обусловленные изменением шкалы высот.

Далее, можно учесть суточный эффект, если воспользоваться формулой [5]

(8.2.3)

в которой а' и п' -- постоянные, а -- угол между радиусом-вектором спутника и осью атмосферного горба.

Так, шаг за шагом усложняя аналитическую модель атмосферы, мы можем добиться вполне удовлетворительного согласия теории с наблюдениями.

8.3 Сила сопротивления атмосферы

При изучении поступательного движения спутника принимают во внимание лишь ту компоненту аэродинамических сил, направление которой противоположно вектору относительной скорости спутника. Выражение длязаписывают в виде

(8.3.1)

где -- плотность воздуха;

V' -- скорость спутника относительно атмосферы;

А -- площадь миделева сечения;

а -- аэродинамический коэффициент лобового сопротивления (безразмерный).

Если средняя длина свободного пробега молекул воздуха значительно превосходит геометрические размеры спутника, то коэффициент близок к 2. В противоположном случае он мало отличается от единицы. Средняя длина свободного пробега молекул на высотах свыше 160 км составляет около 50 м. Поэтому для большинства спутников .

Для сферических спутников, движущихся по орбитам с высотой перигея от 180 до 500км, значение оказывается равным 2,1--2,2. Для цилиндрических спутников, движущихся по тем же орбитам, может принимать значения между 2,10 и 2,25. Поэтому с ошибкой, не превосходящей 5%, можно принять, что среднее значение равно 2,2.

Площадь поперечного сечения А для несферических спутников является величинойпеременной. Поэтому, строго говоря, для изучения поступательного движения спутника необходимо знать его вращательное движение. Однако, если предположить, что при вращении спутника вокруг центра масс различные его положения равновероятны, то для А можно взять среднее значение, равное 0,25 площади внешней поверхности спутника. [26]

Из предыдущего следует, что мы не можем с высокой степенью точности знать величины А и . Но нужно иметьв виду, что произведение А может определяться непосредственно из наблюдений. Что касается теории, то для нее важно то, чтобы это произведение было постоянным. Это требование имеет особое значение при определении короткопериодических возмущений и едва ли сколько-нибудь существенно при изучении долгопериодических и вековых неравенств.



9. Возмущения от светового давления

9.1 Давление света

В этом главе мы выведем формулу для возмущающего ускорения, вызываемого действием светового давления на спутник. Сначала мы предположим, что спутник имеет сферическую форму и рассмотрим отдельно случаи полного поглощения, зеркального отражения и диффузного рассеивания световой энергии. Затем перейдем к спутникам произвольной формы.

Давление света, экспериментально открытое знаменитым русским ученым П. Н. Лебедевым, довольно просто объясняется квантовой теорией. Согласно этой теории каждый фотон обладает энергией hv и импульсом где h -- постоянная Планка, v -- частота и с -- скорость света. Пусть на единичную поверхность, нормальную световому потоку, за единицу времени падает N фотонов. Тогда мощность светового потока Е и суммарный импульс р, сообщаемый единичной площадке, будут равны

Исключая отсюда N, находим

Рассмотрим сначала ситуацию, когда поверхность полностью поглощает световую энергию. При этом очевидно, что суммарный импульс р и есть давление света на нормальную поверхность.

Если световой поток падает на поверхность под углом к ее нормали, то на единицу поверхности попадет N фотонов и проекция силы светового давления на направление световых лучей будет

Предположим теперь, что спутник является шаром радиуса. Тогда в силу симметрии направление силы светового давления, действующей на спутник, будет совпадать с направлением светового потока, а ее величина Р определится формулой

(9.1.1)

где интеграл берется по всей освещенной поверхности спутника.

Обозначим через Е₀ мощность солнечной радиации на поверхности Земли (без учета поглощения в атмосфере). Тогда на расстоянии от Солнца мощность светового потока будет

(9.1.2)

где а' -- среднее расстояние от Земли до Солнца. Поэтому формула (9.1.1) примет вид

(9.1.3)

Величина Е₀ называется солнечной постоянной. Ее численные значения, взятые из работы [30], приводятся в таблице 9.1.1.



Таблица 9.1.1-Значения солнечной постоянной

Автор
Мун (1940) Аллен (1950) Олдрич (1954) Джонсон (1954) Стаир (1956)	1,374 1,357 1,396 1,430

Интеграл, стоящий в правой части (9.1.3), равен , т.е. площади миделева сечения спутника А. Поэтому в случае полного поглощения величина ускорения, сообщаемого спутнику световым давлением, будет даватьсяформулой

(9.1.4)

где -- масса спутника. Направление вектора ускорения совпадает с направлением распространения света.

Рассмотрим теперь случай, когда часть фотонов зеркально отражается от поверхности спутника. Пусть есть коэффициент отражения. Тогда отраженные фотоны сообщат единичной нормальной площадке дополнительный импульс

Если световые лучи падают на поверхность под углом к нормали, то дополнительный импульс по направлению светового потока, как это видно из рисунка 9.1.1., будет равен



Рисунок 9.1.1. Случай зеркального отражения

Для сферического спутника в силу симметриинаправление силы реакции отраженных фотонов совпадает с направлением распространения света, авеличина этой силы определится формулой

где интеграл берется по поверхности полусферы. Но, как легко проверить

Поэтому и P'=0.

Таким образом, при зеркальном отражении ускорение силы светового давления, действующее на сферический спутник, будет определяться той же формулой, что и в случае полного поглощения, т.е. формулой (9.1.4).

Рассмотрим, наконец, случай диффузного отражения. Предполагая, что диффузное отражение является полным, и принимая, что свет рассеивается по закону Ламберта, мы будем иметь [31]

Здесь -- мощность потока, падающего наединичную площадку под углом к ее нормали;

некоторый элементарный телесный угол;

-- угол между осью этого телесного угла и нормалью к рассматриваемой поверхности;

dE' -- элемент мощности отраженного потока (рисунок 9.1.2.).

Рисунок 9.1.2. Случай диффузного отражения

Возьмем телесный угол, образованный двумя бесконечно близкими круговыми конусами, общая ось которых совпадает с нормалью к отражающей поверхности. Углы между образующими этих конусов и их осью пусть будут и . Тогда

Поэтому

Так как отраженный поток симметричен относительно нормали, то сила давления, сообщаемая им площадке, будет перпендикулярна к поверхности. Следовательно, величина элементарного импульса будет определяться формулой

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до , найдем

(9.1.5)

Из соображений симметрии видно, что в результате диффузного отражения света на спутник действует дополнительная сила Р', направление которой совпадает с направлением световых лучей. Чтобы найти величину этойсилы, нужно умножить выражение (9.1.5) на и проинтегрировать но всей освещенной поверхности спутника. Но поскольку в случае сферы

то

Используя (9.1.2), мы для величины ускорения, сообщаемого отраженным потоком спутнику, находим следующую формулу:

(9.1.6)

Чтобы найти полное выражение для ускорения при диффузном отражении, нужно сложить давления, вызываемые падающим и отраженным потоками. При помощи (9.1.4) и (9.1.6) мы в результате получаем



(9.1.7)

И так, для сферического спутника величина возмущающего ускорения может быть представлена формулой

(9.1.8)

Где

(9.1.9)

В случае зеркального отражения и полного поглощения k = 1, а для полного диффузного рассеивания k -- 1,44.

В большинстве случаев, встречающихся напрактике, нам неизвестны отражательные свойства поверхности спутника, и, следовательно, неизвестно точное значение коэффициента k; этот коэффициент должен определяться непосредственно из обработки наблюдений спутника.

Для сферического спутника, таким образом, определение возмущающего ускорения является довольно простой задачей. Гораздо сложнее обстоит дело, когда спутник имеет несферическую форму. Возмущающее ускорение здесь существенно зависит от формы спутника и от отражательных свойств его поверхности. Однако задача эта во многих отношениях аналогична задаче о сопротивлении атмосферы. Поэтому если предположить, что спутник равновероятно занимает свои положения относительно направления на Солнце, то для возмущающего ускорения мы можем воспользоваться формулой (9.1.8), в которой под А нужно понимать площадь миделева сечения. Так как точные значения величин А и k нам неизвестны, то на практике численное значение коэффициента



(9.1.10)

следует определять из обработки наблюдений спутника.

Нужно заметить, однако, что для некоторых спутников направление вектора возмущающего ускорения не будет совпадать с направлением распространения света. Это замечание нужно иметь в виду, особенно при исследовании движения некоторых специфических спутников (спутники-антенны и др.), когда компоненты возмущающего ускорения, перпендикулярные к световым лучам, могут иметь решающее значение.

9.2 Влияние светового давления на движение спутников

Из дифференциальных уравнений и формул видно, что элементы L, G, Н, а следовательно, и а, е, i, не имеют (по крайней мере в первом приближении) вековых возмущений. В то же самое время элементы l, g, h подвержены вековым изменениям. Им соответствуют те члены в R и , для которых т = k, р = 1, q = j и r = r'.

Численные значения вековых возмущений рассмотрим на примере спутника «Пагеос», элементы орбиты которого равны

и отношение .



Рисунок 9.2.1. Изменение большой полуоси орбиты спутника «Пагеос»

Для этого спутника суточные вековые изменения составляют

Заметим, что если не учитывать эффект тени, то все элементы не имели бы вековых возмущений.

Из предыдущей главы следует, что все элементы подвержены долгопериодическим возмущениям. Этим возмущениям соответствуют те члены в R и , для которых т = ±k.

Для спутника «Пагеос» на рисунках 9.2.1.--9.2.3. показаны изменения элементов а, е, ? на промежутке времени около 500 суток. Эти рисунки показывают, что долгопериодические возмущения для некоторых спутников могут достигать весьма значительной величины.

Конечно, все элементы имеют короткопериодические возмущения с периодом, равным примерно одному периоду обращения спутника. В таблице 9.2.1. приводятся максимальные амплитуды таких возмущений четырех спутников.



Таблица 9.2.1-Короткопериодические возмущения

а (км)	7780 115 120 10 2 2 32 32	7400 52 70 2 0,4 0,4 25 25	10 600 130 450 20 4 4 22 23	7460 0,1 0,15 0,01 0,002 0,002 0,2 0,2

Изменения элементов а и е спутника «Эхо-1» на промежутке времени, равном одному обороту спутника,

Рисунок 9.2.2. Изменение эксцентриситета орбиты спутника «Пагеос»



Рисунок 9.2.3. Изменение элемента Qв случае спутника «Пагеос»

показаны на рисунке 9.2.4. и 9.2.5. Штрихованная линия соответствует возмущениям без учета тени, сплошная -- возмущениям с учетом теневого эффекта.

Изменения эксцентриситета орбиты за один оборот трех спутников приводятся в таблице 9.2.2. В этой таблице

Таблица 9.2.2-Возмущения эксцентриситета

в первой строке приведены результаты наблюдений, во второй -- возмущения, вычисленные с учетом тени, в третьей -- возмущения, найденные без учета тени.



Рисунок 9.2.4. Короткопериодические возмущения элемента a для спутника «Эхо-1»

Рисунок 9.2.5. Изменение элемента е за один оборот спутника «Эхо-1»

Сравнение теоретических результатов с данными наблюдений для спутника «Эхо-1» показано также на рисунке 9.2.6. и 9.2.7. На этих рисунках штрихованная линия дает изменения элементов без учета влияния световогодавления, сплошная -- изменения с учетом светового давления. Точки означают данные, полученные из наблюдений.

Как и в случае сопротивления атмосферы, возмущения от светового давления пропорциональны отношению А/т₀. Поэтому (и это подтверждают приведенные здесь численные результаты) возмущения от светового давления достигаютзначительной величины для спутников -- баллонов («Эхо-1», «Эхо-2», «Пагеос»), для которых это отношение велико (порядка 100 см²/г). Для большинства спутников

Рисунок 9.2.6. Изменение элемента спутника «Эхо-1»

Рисунок 9.2.7. Изменение элемента е спутника «Эхо-1»



величина А/т₀ имеет порядок 0,1 см²/г. Поэтому возмущения таких спутников малы. Однако при точных исследованиях и они должны приниматься во внимание.



10. Другие возмущения. вычисление возмущенных координат спутника

10.1 Введение

Помимо несферичности Земли, притяжения Луны и Солнца, сопротивления атмосферы и светового давления на движение спутника действует целый ряд других возмущающих факторов. К ним относятся прецессия и нутация экваториальной плоскости Земли, приливная деформация Земли, электромагнитные силы, притяжение атмосферы и релятивистские эффекты. Все эти факторы вызывают малые возмущения в движении спутника, которые, однако, при некоторых исследованиях нужно принимать во внимание.

В предыдущих главах мы предполагали, что положение плоскости экватора Земли как основной координатной плоскости является фиксированным в пространстве. Но вследствие прецессии и нутации система координат, связанная с экваториальной плоскостью, не является инерциальной и в результате в движении спутника появляются дополнительные возмущения. Эти возмущения могут рассматриваться как косвенные лунно-солнечные возмущения.

Влияние прецессии и нутации было рассмотрено в работах И. Козаи [32] и К. Ламбека [33]. Наиболее полные результаты получены в прекрасной работе И. Козаи и X. Киношиты [34]. Авторами были выведены формулы, дающие возмущения элементов орбиты спутника с весьма высокой точностью. Они подтвердили тот вывод, что в практике исследования движения искусственных спутников наиболее удобной системой координат является координатная система, предложенная Г. Вайсом и К. Муром. Наклон орбиты и аргумент перигея в этой системе отсчитываются от экватора даты (момента наблюдения), а долгота узла измеряется от точки весеннего равноденствия эпохи (скажем, 1950.0) вдоль фиксированного экватора до линии узлов экватора даты, а затем вдоль экватора даты (см. рисунок 10.1.1.).

Потенциал земного притяжения изменяется с временем также под действием приливной деформации Земли. Это приводит к возмущениям орбиты спутника. Формулы для этих возмущений были получены в работах И. Козаи, В. Каулы и П. Мюзена [35]. Наиболее значительными возмущениями, вызываемыми приливной деформацией Земли, являются вековые и долгопериодические возмущения с периодом около 18 лет. Точность современных наблюдений ИСЗ позволяет выявить эти возмущения из наблюдений.

Рисунок 10.1.1. Система координат Вайса-Мура

Возмущения, обусловленные электромагнитными силами, изучались в работах Г. Вестермана и Л. Сехнала . Л. Сехнал подробно исследовал возмущения наклона орбиты. Им показано, что эти возмущения очень малы. Для того чтобы их можно было обнаружить из наблюдений, необходим потенциал спутника в 100--1000 вольт. Однако, как отмечают в своей работе Д. Бирд и Ф. Джонсон , спутник при движении в атмосфере приобретает потенциал в несколько десятых долей вольта. Эти оценки подтверждаются измерениями на ракетах.

На движение искусственного спутника оказывает влияние не только сила сопротивления атмосферы, но и сила ее притяжения. Потенциал притяжения атмосферы подобно потенциалу притяжения Земли можно представить рядом по сферическим функциям. Поэтому задача о возмущениях элементов орбиты от притяжения атмосферы сводится к определению коэффициентов этого ряда. Если бы атмосфера была стационарной, то эти коэффициенты были бы постоянными и тогда их можно рассматривать как некоторые добавки к соответствующим коэффициентам геопотенциала. И все было бы просто. Однако плотность атмосферы зависит от времени. Поэтому зависят от времени и коэффициенты потенциала притяжения атмосферы. Сезонные изменения этих коэффициентов были исследованы В. Г. и Е. Б. Шкодровыми. Ими изучены также соответствующие возмущения долготы узла и аргумента перигея орбиты спутника.

Большой интерес представляет исследование релятивистских эффектов. Как известно, в теории движения планет наибольшими поправками к ньютоновскому движению являются поправки к вековым изменениям перигелиев орбит. Подобные эффекты имеют место и в случае движения спутников. Здесь следует также изучить аналогичные поправки к изменениям долгот узлов.

В этой главе мы рассмотрим все эти малые возмущения. При этом более подробно будет изложена теория возмущений, связанных с прецессией и нутацией экваториальной плоскости и приливной деформацией Земли. Эта теория представляет большой интерес как в практическом, так и в теоретическом отношении. Что касается теории остальных возмущений, то ее мы рассмотрим в более краткой форме.



10.2 Влияние электромагнитных сил

Пусть спутник обладает электрическим зарядом, равным Q. Тогда при движении в магнитном поле Земли на него будет действовать сила F, определяемая формулой

(10.2.1)

где V -- вектор скорости спутника;

а Ф -- вектор магнитной напряженности.

Компоненты вектора Ф можно найти из выражения для потенциала магнитного поля W, который подобно потенциалу гравитационного поля может быть разложен в ряд по сферическим функциям, так что

(10.2.2)

где r -- радиус-вектор;

-- долгота;

-- дополнение до широты спутника;

r₀ -- средний радиус Земли;

и.т.д.-- коэффициенты, характеризующие магнитное поле Земли. Так, например,

(10.2.3)

Здесь мы, следуя работе JI. Сехнала [9], рассмотрим влияние лишь первого члена в формуле (10.2.2). Заметим, однако, что слагаемые в W, содержащие долготу , не будут вызывать вековых возмущений и возмущений большого периода.

Введем в соответствии компоненты возмущающего ускорения S, Т, В. Поскольку

где означает истинную аномалию, то с помощью формул (10.2.1) и (10.2.2) легко находим

(10.2.4)

Где

(10.2.5)

причем m -- масса Земли;

m₀ -- масса спутника;

f -- постоянная притяжения.

Формулы (10.2.4) и (10.2.5) позволяют легко составить дифференциальные уравнения для элементов. Для этого нужно воспользоваться уравнениями 4.10, отбросив в них члены с и . Однако в силу малости ожидаемых эффектов мы не будем делать это для всех элементов. Как и в работе, мы ограничимся лишь рассмотрением измененийнаклона орбиты i.

С принятой точностью имеем

(10.2.6)

Примем теперь, что заряд спутника вследствие изменения ионизации атмосферы с высотой определяется формулой

(10.2.7)

где и k -- некоторые постоянные, а

(10.2.8)

Подставляя равенства (10.2.4), (10.2.7) и (10.2.5) в (10.2.6) и отбрасывая короткопериодические члены, мы при k = 1 придем к следующему уравнению для i:

(10.2.9)

Поскольку правая часть содержит , то интегрирование этого уравнения даст нам долгопериодическое возмущение с периодом, равным половине периода обращения перигея орбиты спутника.

Оценим теперь правую часть (10.2.9). Для простоты примем, что поверхность спутника представляет собой сферу радиуса . Тогда, если через U обозначить потенциал спутника в вольтах, то в согласии с (10.2.3) будем иметь



где должно измеряться в сантиметрах;

а т₀ -- в граммах.

Пусть далее орбита спутника такова, что

Тогда уравнение (10.2.9) нам даст

(10.2.10)

После интегрирования (10.2.10) мы получим периодическое неравенство, амплитуда которого равна примерно

Следовательно, такое неравенство можно обнаружить из наблюдений только в том случае, если потенциал спутника будет составлять величину порядка 100 вольт. Однако, как уже отмечалось, в работе Д. Бирда и Ф. Джонсона было показано, что спутник при своем движении в атмосфере может приобрести потенциал лишь в несколько десятых долей вольта. Такой потенциал свидетельствует о малом влиянии электромагнитных сил на движение спутника. Во всяком случае до настоящего времени не обнаружено каких-либо невязок, которые можно было бы интерпретировать как электромагнитные влияния. Но нужно признать также, что теория электромагнитных возмущений не является совершенной и заведомо нельзя отрицать, что в некоторых случаях эти возмущения нужно принимать во внимание.

10.3 Определение возмущенных координат спутника

Рассмотрим, наконец, общую схему вычисления возмущенных координат спутника.

Элементы орбиты. Примем за основную систему произвольных постоянных теории следующие величины:

(10.3.1)

где есть среднее аномалистическое движение спутника. Элемент определяется формулой

(10.3.2)

в которой

а постоянные fm и с равны

Соотношение (10.3.2), связывающей с постоянными а₀, е₀, i₀.

Помимо системы (10.3.1) будем рассматривать также систему элементов:

которые характеризуют Промежуточную орбиту. Эти элементы уже являются функциями времени.

Рассмотрим теперь элементы l, g, h, которые входят аргументами в периодические возмущения. Они даются формулами



(10.3.3)

Где

(10.3.4)

а коэффициенты , и равны

(10.3.5)

Заметим, что n' и n" являются соответственно средним движением перигея и средним движением узла орбиты спутника.

Определение вековых возмущений. Обозначим через значения элементов с учетом только вековых возмущений.

Тогда

Здесь , , , , и характеризуют возмущения от сопротивления атмосферы. Так, например,



Величины и характеризуют возмущения от несферичности Земли и притяжения Луны и Солнца; они могут быть представлены в виде

где и -- это значения и в промежуточном движении, т. е.

Причем

Что касается величин и ,, и , , и , то они представляют собой коэффициенты вековых возмущений, вызываемых соответственно зональными гармониками геопотенциала, притяжением Луны и Солнца. Так, например, для имеем

Где



а величина определяется формулой

(10.3.6)

Где

(10.3.7)

причем через , и обозначены масса, большая полуось и синус наклона орбиты Луны.

Если в формулах (10.3.6) и (10.3.7) заменить индекс «L» на «S» и под ,понимать массу, большую полуось и наклон орбиты Солнца, то они дадут величину .

Определение долгопериодических возмущений. Формулы для возмущенных значений элементов можно представить в виде

где a', e', . . ., означают элементы с учетом только вековых неравенств;

а , , . . ., -- суммарные периодические возмущения. Так, например,

Здесь индексы «z», «t», «L», «S» относятся соответственно к зональным гармоникам, тессеральным и секториальным гармоникам геопотенциала, Луне и Солнцу.

Возмущения от зональных гармоник даются формулами 5.2. Например, для имеем

Где

причем

аргумент g' определяется формулой

где g дается равенством (10.3.3).

Так, для возмущения , обусловленного второй секториальной гармоникой, мы имеем

Где



Здесь и -- коэффициенты, характеризующие вторую секториальную гармонику;

S -- звездное гринвичское время;

a h определяется третьей формулой (10.3.3).

В общем случае аргументы возмущений даются формулой:

где k, q, р -- целые числа;

a l, g, h определяются равенствами (10.3.3).

Аргументами лунных возмущений являются величины g, h, средняя долгота и долгота узла Луны, а аргументами солнечных возмущений -- величины g, h и средняя долгота Солнца .

Аналогичным образом учитываются остальные возмущения: возмущения от светового давления, возмущения, обусловленные прецессией и нутацией земной оси и.т.д. Аргументами этих возмущений будут величины g, h и элементы Луны и Солнца.

Определение прямоугольных координат. Прямоугольные координаты х, у, z должны быть вычислены по формулам промежуточного движения.

Замечание. Если в основу теории положить кеплеровы элементы, то, прямоугольные координаты нужно вычислять по формулам кеплерова движения но в этом случае к указанным здесь возмущениям необходимо добавить возмущения, обусловленные второй и третьей зональными гармониками геопотенциала, а в формулах (10.3.5) положить = = v = 0.

Размещено на Allbest.ru