Геоцентрическая система К. Птолемея

44

КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ

Знаменитый александрийский астроном, математик и географ II века п. э. Клавдий Птолемей -- одна из крупнейших фигур в истории науки эпохи позднего эллинизма. В истории же астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия -- от Гиппарха (II в. до и. э.) до Бируни (X--XI в. н. э.).

История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у историков той эпохи, когда он жил, даже приблизительные даты рождения и смерти Птолемея неизвестны, как неизвестны и какие-либо факты его биографии.

Почти все его основные сочинения сохранились и были по достоинству оценены потомками, начиная от его младших современников (Веттий Валент и тот же Гален) и кончая астрономами наших дней. Основной труд Птолемея, широко известный ныне под названием «Альмагест», был переведен с греческого на сирийский, средпеперсидский (пехлеви), арабский, санскрит, латынь, а позднее -- па французский, немецкий, английский и русский языки. Вплоть до начала XVII в. он был основным учебником астрономии.

Широкий круг читателей обычно связывает с именем Птолемея так называемую «систему мира Птолемея», где в центре расположена Земля, а вокруг нее по круговым орбитам обращаются Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн. При этом пять планет движутся не непосредственно вокруг Земли, а по малым кругам -- эпициклам, центры которых обращаются вокруг Земли по другим кругам -- деферентам.

Геоцентрическая система Птолемея противопоставляется гелиоцентрической системе Коперника, который совершил поистине революционный переворот, поставив в центр нашей планетной системы Солнце и низведя Землю до положения рядовой планеты, и якобы устранил эпициклы, показав, что они были нужны лишь для представления движения Земли вокруг Солнца.

Эта упрощенная схема, глубоко укоренившаяся среди многих лекторов, учителей, студентов и даже научных работников, на самом деле в лучшем случае неточна, а кое в чем ошибочна.

Земля у Птолемея не совпадала с центрами деферентов, а положение эпициклов и самих планет на них зависело от положения Солнца; в теории планетных движений Птолемея фигурировали и другие круги, о которых в учебниках и популярных книгах обычно не пишут (эквант, эксцентр).

В «Альмагесте» Птолемей широко использует результаты наблюдений и построения своего великого предшественника Гиппарха (II в. до н. э.). Не случайно «Альмагест» был переведен за полтора тысячелетия на столько языков и служил учебником астрономии во многих странах мира. Каждый уважающий себя ученый Арабского Востока и Средней Азии считал своим долгом составлять комментарии к «Альмагесту». Некоторые из них подвергали те или иные положения Птолемея критике.

Коперник и Кеплер в своих работах также исходили из построений Птолемея. Первый из них превратил геоцентрическую систему Птолемея в гелиоцентрическую, но сохранил принцип равномерного движения по кругам и широко использовал математический аппарат Птолемея. Второй, отказавшись от этого принципа, тем не менее использовал построения Птолемея, чтобы найти истинную форму планетных орбит. Обо всем этом мы расскажем ниже.

Кроме «Альмагеста» Птолемей оставил ряд других сочинений, причем не только по астрономии, но и по математике, оптике, географии, музыке. Ему принадлежит разработка основ математической картографии и составление списка координат 8000 географических пунктов (определенных, правда, весьма приближенно).

По-видимому, своими успехами в области астрономии Птолемей во многом обязан знаменитой Александрийской библиотеке, которой он широко пользовался. Так стали ему известны труды Гиппарха (не дошедшие, увы, до нас), а также таких древнегреческих ученых, как Метон (V в. до н. э.), Евклид, Аристотель, Каллини (IV в. до и. э.), Аристилл, Тимохарис, Архимед, Аристарх Самосский, Эратосфен (III в. до н. э.), Аполлоний Пергский (III--II вв. до и. э.). Птолемей широко использовал также наблюдения астрономов Вавилона, не называя их, правда, по именам. Это в основном наблюдения лунных и солнечных затмений, а также некоторых других явлений (покрытий звезд Луною, соединений планет), проводившиеся вавилонскими астрономами начиная с VIII в. до н. э. Эти наблюдения послужили Птолемею для создания теории движения Луны, которой пользовались десятки поколений астрономов, моряков, путешественников.

Мировоззрение Птолемея

«Истинные философы, Сирус, были, я полагаю, совершенно правы, отличая теоретическую часть философии от ее практической части» -- такими словами Птолемей начинает «Альмагест». И дальше он проводит ту мысль, что, прежде чем приниматься за какую-либо практическую задачу, надо ясно представить себе общий смысл явлений, которые хочет анализировать и объяснять исследователь.

«Даже практическая философия,-- продолжает Птолемей,-- прежде чем стать практической, оказывается теоретической, несмотря на то, что очевидно большое различие между обеими; в первую очередь, для многих людей возможно обладать некоторыми из моральных достоинств, даже не обучаясь им; далее, в первом случае (практической философии) извлекают большую прибыль из постоянной практики в реальных делах, тогда как в другом случае (теоретической философии) -- путем совершенствования в теории».

Деление философии на теоретическую и практическую заимствовано Птолемеем у Аристотеля. Надо сказать, что в ту эпоху (и много позднее тоже) философией называли науку о природе вообще. Теоретическая философия делилась на три раздела: теологию, математику и физику. Это деление принимает и Птолемей.

«Первопричину первого движения вселенной, попросту говоря, можно рассматривать как некое невидимое и неподвижное божество; раздел теоретической философии, изучающий это, может быть назван теологией, поскольку этот вид деятельности можно представить себе только где-то высоко, вплоть до высочайших пределов вселенной, и он полностью отделен от ощутимой реальности»,-- пишет Птолемей .

Дальше он дает определения физики и математики. Физика, по Птолемею, изучает материю и вечно движущуюся природу, а также качества типа «белый», «влажный», «сухой», «теплый» и им подобные, относящиеся к разложимым на составные части телам, находящимся под сферой Луны (как принято говорить, «в подлунном мире»), «Надлунный мир» -- область приложения математики.

Математика, по Птолемею, изучает числа, а также форму, размеры, место, время и другие свойства, выражаемые числами. И не случайно свое сочинение он назвал математическим построением.

В своем мировоззрении Птолемей почти точно следует Аристотелю. И дело, разумеется, не столько в геоцентризме обоих, сколько в их взгляде на основные категории бытия. Вслед за Аристотелем Птолемей считает все сущее состоящим из материи, формы и движения, причем ни одна из этих категорий не может существовать без двух других. Это значит, что материя не может существовать без движения и движение нельзя себе представить без материи.

Классики марксизма высоко оценивали учение Аристотеля о категориях бытия. Как отмечал Ф. Энгельс, в этом учении нашла свое яркое выражение диалектическая концепция развития. Он писал: «Два философских направления: метафизическое с неподвижными категориями, диалектическое (Аристотель и особенно Гегель) -- с текучими...».

В своем конспекте «Метафизики» Аристотеля В. И. Ленин отмечал его материалистический подход как к вопросу о реальном существовании вещей, так и к классификации наук. «Прелестно! Нет сомнений в реальности внешнего мира»,-- записывает В. И. Ленин³. Очевидно, что этот отзыв может быть распространен и на взгляды Птолемея.

Однако и Аристотель, и Птолемей не были ни последовательными материалистами, ни последовательными диалектиками. «Путается человек именно в диалектике общего и отдельного, понятия и ощущения etc., сущности и явления etc.» -- пишет об Аристотеле В. И. Ленин.

Уже из приведенных выше выдержек из «Альмагеста» ясно, что Птолемей допускал (вместе с Аристотелем) «первый толчок», допускал существование божества. Но это божество играет во взглядах Птолемея весьма ограниченную роль: оно только создало и пустило в ход «небесный механизм», управляющий движениями светил небесных. Больше о боге и о его влиянии на процессы во Вселенной в «Альмагесте» не говорится ничего.

Более того, приведя описанную выше схему классификации наук, Птолемей отдает явное предпочтение математике перед теологией и физикой. Вот как он это аргументирует: «Из всего этого мы заключаем, что первые два раздела теоретической философии должны быть названы скорее предположениями, чем знанием: теология -- вследствие ее совершенно невидимой и неуловимой природы, физика -- вследствие непостоянной и неясной природы материи ...только математика может обеспечить надежное и нерушимое знание для ее энтузиастов при условии строгого к ней подхода»

Не приходится удивляться столь критическому суждению Птолемея о физике. Тогда физика переживала свое детство, даже младенчество, а природа материи действительно была неясна. О свойствах материи судили чисто качественно. Было общепринято предложенное еще Гераклитом (ок. 544--484 до н. э.) разделение всех веществ на четыре элемента: землю, воду, воздух и огонь. Аристотель изобразил даже четыре сферы, расположенные концентрически снизу вверх: сфера земли, сфера воды, сфера воздуха и сфера огня. Земля -- холодная и сухая, вода -- холодная и влажная, воздух -- теплый и влажный, огонь -- теплый и сухой. За сферой огня следует уже сфера Луны, а затем -- сферы других планет и сфера звезд .

Несмотря на то, что Птолемей и сам занимался некоторыми вопросами физики (например, оптикой), он отдает решительное предпочтение математике и астрономии. В дальнейшем он применит эти точные науки для нужд географии, точнее, геодезии, а математику -- еще и к теории музыки!

Не лучше, чем к физике, выглядит отношение Птолемея и к теологии. Теология в его описании предстает перед нами как нечто столь же возвышенное, сколь и неясное. Правда, у Птолемея есть целый труд, посвященный астрологии,-- «Четырехкнижие», но не следует отождествлять приверженность к астрологии с отношением к религии. В «Четырехкнижии» Птолемей пытается обосновать некие физические воздействия небесных светил на земные явления, иначе говоря, он пытается подвести некоторый физический «базис» под астрологические представления. Этот вопрос мы рассмотрим отдельно (в гл. 15), здесь же для пас важно то, что астрология Птолемея не была основана на религиозных представлениях.

Таким образом, по своим религиозным убеждениям Птолемей был весьма умеренным деистом, иначе говоря, он признавал существование бога, но не приписывал ему никаких конкретных функций, за исключением создания мира и «первого толчка».

С этой точки зрения историческим курьезом является то обстоятельство, что спустя тысячу лет учения Аристотеля и Птолемея были официально признаны христианской церковью как истинные. Правда, произошло это далеко не сразу. Первые переводы трудов Аристотеля и Птолемея на латинский язык появились в Европе в конце XII в; это были переводы с арабского. Переводы работ Аристотеля непосредственно с греческого были сделаны (Вильгельмом Мербекским) уже в 60-х годах XIII в. Вскоре после этого взгляды Аристотеля подверглись жестоким нападкам со стороны доминиканцев, в первую очередь Альберта Великого (1206--1280) и Фомы Аквинского (1225--1274). Вместе с тем оба они приложили немало усилий, чтобы с помощью хитроумно составленных комментариев приспособить, адаптировать учение Аристотеля к канонам христианской религии. Альберт Великий положительно относился и к системе мира Птолемея. В начале XIV в. она приобрела известное влияние в христианском мире, а в середине XIV в. получила полное признание сначала во Франции, а потом и в других странах.

Причин такого отношения христианской церкви к сочинениям «язычников» Аристотеля и Птолемея было несколько. Одна из них состояла в том, что учения обоих ученых были основаны на геоцентрической системе мира, полностью удовлетворявшей догмам христианства о том, что человек создан богом по своему образу и подобию, а потому он должен жить на неподвижной Земле, в центре мира. О других причинах мы скажем ниже.

Рассмотрим геоцентризм Птолемея, опираясь на его собственное изложение в I книге «Альмагеста». Доказав, что небесный свод подобен сфере (что позволяет использовать для определения видимых положений светил сферические координаты), а также, что и Земля имеет форму шара (что тоже позволяет применять сферические координаты точек земной поверхности: долготу и широту), Птолемей переходит к доказательству того, что Земля находится в середине небесного свода, в центре небесной сферы.

Птолемей доказывает это утверждение от противного. Если Земля не находится в центре небесной сферы, то она должна быть либо смещена к одному из полюсов мира, либо вообще не должна находиться на оси мира. В первом случае горизонт делил бы небесную сферу на две неравные части (та, что прилегает к ближайшему полюсу, была бы меньше), во втором случае звезды при вращении небесной сферы то приближались бы к Земле, то удалялись бы, меняя свой блеск, а Солнце и Луна -- видимые размеры. Поскольку ни то, ни другое не наблюдается, значит, Земля находится в центре небесной сферы. Дальше Птолемей доказывает (совершенно правильно), что размеры Земли ничтожно малы по сравнению хотя бы со сферой «неподвижных звезд», что ее по сравнению с этой сферой можно принимать за точку. Доказательство состоит в том, что из разных мест земного шара небесные светила кажутся одинаковых размеров в любое время. Это означает, что размеры Земли действительно ничтожно малы по сравнению с расстояниями до небесных тел.

Доказательства центрального положения Земли, которые мы только что привели, основаны на двух ошибочных предположениях. Во-первых, это предположение о том, что размеры небесной сферы, хотя и очень велики, но конечны, а потому смещение Земли внутри небесной сферы к одному из полюсов приведет к неравенству северного и южного сегментов (здесь уже нельзя сказать «полусфер»). Во-вторых, это предположение, что суточное вращение небесной сферы происходит само по себе, независимо от Земли. Но мы знаем, что это вращение является лишь отражением реального вращения Земли вокруг оси, а потому второе предположение Птолемея ошибочно в своей основе. Что касается первого предположения, то несомненно, что Птолемей обсуждал все возможные последствия сдвига Земли из центра сферы, пользуясь моделью, где маленький шарик (Земля) находился внутри большого полого шара (небесной сферы). Мы знаем, что расстояния до звезд настолько велики, что даже движение Земли вокруг Солнца по орбите диаметром 300 миллионов километров не приводит к заметным смещениям звезд. Эти смещения (годичные параллаксы звезд) оказались столь малы, что понадобилось 17 столетий после Птолемея и два с лишним столетия после изобретения телескопа, чтобы они смогли быть обнаружены.

После доказательства центрального положения Земли Птолемей доказывает ее неподвижность в пространстве. В самом деле, утверждает он, если бы Земля имела какое-либо движение, она бы смещалась со своего центрального положения, и тогда имели бы место те же эффекты, как и в случае нецентрального положения Земли относительно небесной сферы. Но так как эти эффекты не наблюдаются, значит, Земля неподвижна.

Вторым доказательством неподвижности Земли, которое приводит Птолемей, является вертикальное свободное падение тел во всех местах Земли. Все тела стремятся к центру, и поскольку они падают вертикально вниз на всех широтах Земли, значит, она и есть этот центр., И если бы земная поверхность не преграждала путь падающим телам, они падали бы дальше вниз, до самого центра Земли. И хотя Земля велика и тяжела, не следует удивляться тому, что она никуда не падает и не требует опоры. Ведь Земля мала по сравнению с Вселенной, которая оказывает на нее равномерное давление со всех сторон, а потому Земля и не может никуда сдвинуться. Земля тяжелее известных нам падающих тел, а потому, если бы она тоже могла куда-нибудь падать, она падала бы быстрее, и мы не могли бы этого не заметить.

Здесь же Птолемей объясняет понятия верха и низа: низ -- это направление к центру Земли, верх -- направление, ему противоположное. Тяжелые, плотные тела стремятся вниз, легкие, разреженные -- вверх. Направления «вверх» и «вниз» различны в разных пунктах Земли.

Дальше Птолемей вступает в полемику со сторонниками вращательного движения Земли, не называя их, правда, по именам. Очевидно, он имеет в виду Гераклита Понтийского и Аристарха Самосского, считавших, что суточное вращение совершает Земля, а не небо. Птолемей признает, что среди небесных явлений нет ничего, противоречащего гипотезе о вращении Земли, но совсем иначе обстоит дело с явлениями на земле и в воздухе. «Они должны допустить,-- пишет Птолемей,-- что вращательное движение Земли должно быть самым быстрым из всех движений, связанных с ней, учитывая, что Земля должна совершать одно обращение за столь короткое время; в результате все предметы, не опирающиеся на Землю, должны казаться совершающими такое же движение в обратном направлении; ни облака, ни другие летающие или парящие объекты никогда не будут видимы движущимися на восток, поскольку движение Земли к востоку будет всегда отбрасывать их, так что эти объекты будут казаться движущимися на запад, в обратном направлении». Даже если предположить, рассуждает далее Птолемей, что и воздух движется в том же направлении и с той же скоростью, что и Земля, плавающие и парящие в воздухе тела не должны следовать его движению. Если же они связаны с воздухом так, что следуют его движению, то нам они казались бы неподвижными, чего на самом деле нет.

Так Птолемей «опровергает» взгляды сторонников вращения Земли. Некоторые его доводы сейчас могут показаться наивными, но не надо забывать, что и полтора тысячелетия спустя именно к таким доводам прибегали противники Коперника и Галилея. Именно эти доводы заставляет Галилей в своих «Диалогах» приводить защитника системы Птолемея -- Симпличио.

Птолемей не обсуждает предположения Аристарха о движении Земли вокруг Солнца. По-видимому, покончив с гипотезой о вращении Земли вокруг оси, он не счел нужным даже упоминать о более сложном и крупномасштабном движении Земли. Тем более что приведенные им аргументы говорили вообще против любого движения Земли.

Но в приведенных выше рассуждениях Птолемея, кроме тех наивных аргументов, о которых мы говорили, есть и здравые мысли. Так, подчеркнем мысль Птолемея, что ход небесных явлений не противоречит гипотезе о вращении Земли. Птолемеи прав и в том, что вращательное движение Земли быстрее всех прочих известных в ту эпоху движений. Если бы он попробовал вычислить ее скорость (а у него были для этого все необходимые данные: окружность Земли по Эратосфену и широта Александрии), он нашел бы эту величину равной 385 м/с, что в десять раз быстрее ураганного ветра. Но он не мог понять, что воздух увлекается вращением Земли, а все плавающие или летающие в воздухе тела тоже участвуют во вращении Земли.

Таким образом, Птолемей предстает перед нами как последовательный геоцентрист. Но свой геоцентризм он старается обосновать соображениями, основанными на физике явлений, а не схоластическими рассуждениями или ссылками на авторитеты.

Геоцентризм Аристотеля и Птолемея был нужен христианской церкви по трем причинам. Во-первых, на геоцентрическом мировоззрении «держался» основной догмат христианства -- догмат искупления⁸, а также ряд других положений Библии, терявших смысл, если признать Землю движущейся, а тем более рядовой планетой. Во-вторых, система Птолемея как бы согласовывала геоцентризм с математическим объяснением видимых движений Солнца, Луны и планет. В-третьих, для большинства людей неподвижность и центральное положение Земли, движение небесных светил казались очевидными, повседневно наблюдаемыми фактами -- тут ничего не надо было ни объяснять, ни доказывать.

Остановимся несколько подробнее на значении второй из перечисленных причин. Математическое описание движений планет, Солнца и Луны в системе мира Птолемея достигло такой точности, что позволяло предвычислять положения этих светил на небе, а также наступление некоторых небесных явлений, связанных с их движением (например, солнечных и лунных затмений), с весьма высокой для того времени точностью. Таким образом, математическая модель Птолемея имела большую прогностическую ценность.

В то же время христианская церковь в странах Европы в результате ряда объективных факторов взяла на себя роль «хранителя учености». От периода заката античной науки (совпавшего с развитием христианства) и до начала эпохи Возрождения христианские богословы были практически единственными носителями знания. Конечно, отдавая первенствующее место среди наук того времени богословию и подчеркивая его превосходство над философией, эти деятели исходили из ошибочных философских позиций. С этих же позиций они начиная с XIII в. адаптировали, приспособили для своих целей идеи Аристотеля и математические построения Птолемея.

Эти причины способствовали сохранению господства системы Птолемея в науке на протяжении полутора тысяч лет.

Небесная сфера: расчеты и измерения

Установив, что небесный свод имеет форму сферы, Птолемей формулирует некоторые ее свойства и закономерности. Он вводит понятия полюсов мира, небесного экватора и эклиптики. Далее он проводит через полюсы экватора и эклиптики еще один большой крут (колюр солнцестоянии), перпендикулярный к обоим. Точки пересечения эклиптики с экватором -- это точки равноденствий, точки пересечения эклиптики с колюром солнцестояний -- это точки солнцестояний.

Два основных движения небесной сферы -- суточное и годичное. Первое увлекает все светила, второе -- Солнце и планеты, но последние имеют еще свои, индивидуальные движения .

Затем Птолемей вводит понятие о хорде угла. Птолемей доказывает несколько теорем, которые позволяют ему составить таблицу хорд всех углов от 0 до 180°.

Имея хорды нескольких углов, Птолемей доказывает теорему, что хорда разности двух углов может быть найдена, если известны хорды этих двух углов. Для этого он прежде доказывает другую теорему, которую можно сформулировать так: произведение диагоналей произвольного четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон. Эта теорема получила название теоремы Птолемея.

Есть указания, что таблица хорд, рассчитанная по формуле хорд половинных углов (без формул хорд сумм и разностей углов), была составлена еще Гиппархом. Но в столь полном виде, да еще с первыми разностями (приращениями хорды на один градус угла), она, несомненно, была вычислена Птолемеем впервые.

Из этого примера мы видим, каким усердным математиком и вычислителем был Птолемей. Стоит сравнить его в этом отношении с Иоганном Кеплером, которому в поисках истинной формы планетных орбит также приходилось по многу раз производить одни и те же вычисления, чтобы согласовать наблюдения Марса с теорией. Рассказывая в «Новой астрономии» о ходе своей работы по вычислениям (методом проб и ошибок) радиуса орбиты Марса, долготы его афелия и расстояний от центра круговой (тогда еще круговой!) орбиты Марса до Солнца и до центра экванта, Кеплер писал: «Если этот обременительный способ работы вам не нравится, вы можете справедливо пожалеть меня, поскольку я вынужден был проделать это по меньшей мере 70 раз с большой затратой времени». Сохранившиеся до нашего времени черновики расчетов Кеплера занимают 900 листов, исписанных мелким почерком.

Об объеме математических вычислений и построений Птолемея говорит количество чертежей, иллюстрирующих его доказательства и выкладки: их в книге около двухсот. Кроме того, Птолемей приводит двадцать пять больших и малых таблиц, причем многие из них занимают по несколько страниц. В числе таблиц -- звездный каталог, включающий положения 1025 звезд, таблицы солнечных и лунных затмений, движений планет, Луны, восходов и заходов светил и т. д.

Покончив с определением и табулированием хорд (напоминаем, что хорды заменяют ему весь набор современных тригонометрических функций), Птолемей развивает основные положения и теоремы сферической тригонометрии. Важное место среди них занимают две теоремы Менелая о соотношениях хорд дуг четырех больших кругов, пересекающих друг друга. Птолемей доказывает, что эти дуги связаны соотношениями которые в переводе на современные обозначения имеют вид

 Эти теоремы были впервые доказаны александрийским математиком и астрономом Менелаем, жившим и работавшим во второй половине I в. н. э. Птолемей и здесь не делает ссылки на приоритет Менелая (как не ссылается он на Евклида и Архимеда), хотя он не мог не читать его «Сферику», где изложены эти теоремы. В дальнейшем он упоминает лишь о наблюдениях Менелая.

Далее Птолемей вводит понятия sphaera recta (прямая сфера) и sphaera obliqua (наклонная сфера), которыми он в дальнейшем неоднократно пользуется. Под «прямой сферой» он понимает такое положение небесной сферы, когда небесный экватор перпендикулярен горизонту (мы знаем, что такое расположение обоих больших кругов наблюдается на экваторе). Под «наклонной сферой» Птолемей понимает любое другое положение небесной сферы, когда экватор наклонен к горизонту под острым углом.

Для нас эти термины звучат немного странно, но ведь именно от «прямой сферы» берет начало всем известный термин прямое восхождение (одна из двух сферических координат в экваториальной системе). В самом деле, если наблюдатель расположен па экваторе, разность времен восхода светила и точки весеннего равноденствия, переведенная в единицы дуги (помня, что 1 ч соответствует дуге в 15°), как раз и будет прямым восхождением светила. Если точка весеннего равноденствия находится на горизонте, то дуга, которую прошло светило с момента его восхода, также будет равна прямому восхождению.

Следующей задачей, которую решает Птолемей, является вычисление «таблицы наклонений», как она названа кем-то из переписчиков или переводчиков «Альмагеста», а точнее, склонений точек на эклиптике в функции дуг самой эклиптики (т. е. небесных долгот), отсчитываемых от точки весеннего равноденствия через градус. Именно для этого расчета Птолемею и была нужна первая теорема Менелая.

В наше время расчет склонений центра диска Солнца (который движется по эклиптике) или интересующих нас точек на эклиптике делается без громоздкой теоремы Менелая, с помощью формул сферического треугольника, образованного дугами эклиптики, экватора и круга склонения данной точки. Птолемей не мог решать сферический треугольник современным способом не только из-за отсутствия в то время понятия косинуса, столь же нужного в формулах сферической тригонометрии, как и синус (последний можно было заменить хордой двойного угла), но и потому, что в эти формулы входят функции двугранных углов (например, между плоскостями экватора и эклиптики), а Птолемей мог иметь дело только с дугами. И хотя он использует угол наклона эклиптики к экватору, но, в сущности говоря, он оперирует не с двугранным углом, а с дугой колюра солнцестояний, равной наибольшему расстоянию эклиптики от экватора.

От склонений Птолемей переходит к расчету прямых восхождений точек эклиптики, выбранных через 10° по долготе. На двух примерах он показывает, в каком порядке следует вести вычисления, после чего дает небольшую табличку прямых восхождений девяти точек эклиптики. Собственно, Птолемеи приводит не прямые восхождения, а проекции на экватор десятиградусных и тридцатиградусных дуг эклиптики -- от точки весеннего равноденствия до точки летнего солнцестояния (т. е. в интервале долгот 0--90°). Но получить отсюда прямые восхождения не составляет труда -- это простая арифметика. Равным образом нетрудно распространить расчет на всю эклиптику: ввиду симметричного расположения обоих кругов, те же десятиградусные дуги будут фигурировать и в остальных трех квадрантах эклиптики, что подчеркивает, заключая I книгу, Птолемей.

Своей дотошностью подходит Птолемей к изложению своих математических методов. Его доказательства теорем безукоризненны с точки зрения математической логики и в то же время просты и понятны. Свои построения он поясняет чертежами. Так и кажется, что он писал свою книгу в расчете не на таких же маститых астрономов, как он сам, а на студентов. И действительно, «Альмагест» в течение полутора тысяч лет был стандартным учебником астрономии: по нему учились будущие ученые и студенты в первых европейских университетах.

Во второй книге своего труда Птолемей ставит и решает ряд задач, как бы мы выразились теперь, практической астрономии. Прежде всего он уточняет, что «наша часть обитаемого мира» находится в северном полушарии и занимает по долготе менее 180°. Неясно, какими данными располагал Птолемей для последнего вывода. Долготы были известны далеко не для всех стран, о которых мог знать Птолемей. Так, он знал о существовании Британии далеко на западе и, несомненно, Индии и Китая на востоке (о них должны были рассказывать ему александрийские и иностранные купцы). Но достоверное определение разности долгот он имел лишь одно: лунное затмение--330 сентября 20 наблюдалось одновременно в Карфагене (долгота ок. 10°) и в Арбеле, на реке Тигр (долгота ок. 46°). Об этом факте сообщается в «Географии» Птолемея, Тем не менее он был прав в своих представлениях о расположении «нашей части обитаемого мира».

После этого введения Птолемей ставит и решает следующие практические задачи:

1) определить угловое расстояние полюса от горизонта или (равное ему) зенитное расстояние небесного экватора, измеряемое вдоль небесного меридиана;

2) для тех мест, где Солнце достигает зенита, определить, когда и как часто это происходит;

3) определить отношения полуденных теней от гномона в дни равноденствий и солнцестояний;

4) определить разность между длительностью самого длинного и самого короткого дня и длиной дня во время равноденствий;

5) определить приращение и убывание длительности дней и ночей в разные времена года;

6) определить дуги экватора, которые восходят и заходят одновременно с заданными дугами эклиптики (эта задача нужна для вычисления так называемых гелиакических восходов и заходов);

7) определить величины углов между эклиптикой и

наиболее важными большими кругами: небесным меридианом, горизонтом и кругом высоты (большим кругом, проходящим через зенит и надир).

Результаты своих расчетов Птолемей приводит в виде таблиц.

Однако Птолемей не только доказывал теоремы и производил вычисления, он еще и вел наблюдения. Это были в основном позиционные наблюдения, сводившиеся к определению астрономических координат небесных светил.

Птолемей использует две системы астрономических координат, применяемые и в наше время: экваториальную и эклиптическую. В экваториальной системе первая координата -- уже известное нам прямое восхождение б, отсчитываемое по дуге экватора EQ от точки весеннего равноденствия Y до основания D круга склонения светила, т. е. большого круга, проведенного через оба полюса небесной сферы (полюсы мира) РР₁ и светило S. Вторая координата -- склонение д -- отсчитывается от небесного экватора D до светила S по кругу склонения PD. Эти координаты в принципе построены так же, как и географические долгота и шпрота, причем в обеих системах есть и полюсы, и экватор, и параллели (параллели небесных светил называют суточными параллелями, поскольку светило описывает свою параллель в течение суток). Вот только вместо географических меридианов, сходящихся у полюсов Земли, в экваториальной системе фигурируют круги склонения, также сходящиеся в полюсах мира.

Совершенно аналогично построена эклиптическая система координат, только в ней основная плоскость -- плоскость эклиптики, основной большой круг -- эклиптика eq. У нее также есть два полюса, северный Р₁ и южный Р₁', располагавшиеся, как считал Птолемей, на расстоянии 23°51'20" от соответствующих полюсов мира (мы уже указывали на на ошибку, допущенную Птолемеем в оценке этого угла). Первая координата -- долгота л -- отсчитывается вдоль эклиптики от точки весеннего равноденствия Y против часовой стрелки до основания круга широты светила К, Вторая координата -- широта в -- отсчитывается по кругу широты KР₁ от эклиптики до светила S (рис. 8). Эклиптические долготу и широту не надо путать с одноименными географическими координатами.

Трудность определения астрономических координат из наблюдений состоит в том, что ни точка весеннего равноденствия (начало отсчета прямого восхождения и долготы), ни экватор, ни эклиптика ничем на небе не обозначены. Как выходил из этого затруднения Птолемей (а до него Гиппарх), мы скоро узнаем.

Птолемей дает уже в конце первой книги описание одного из своих приборов. Правда, он не изобразил ни одного из них хотя бы схематически, но по его подробным описаниям это сделали исследователи его трудов.

Схемы приборов Птолемея, воспроизводимые в этой книге, заимствованы у них.

Для измерения дуг в вертикальной плоскости Птолемей использовал следующий прибов. На прочном вертикальном столбе укреплено также в вертикальной плоскости бронзовое кольцо, разделенное на градусы и доли градуса. Внутри этого кольца и в одной с ним плоскости поворачивается другое кольцо -- с двумя стрелками-указателями, лежащими точно на 180° одна от другой на одной прямой. Бронзовое кольцо устанавливается строго вертикально (что проверяется отвесом) и в плоскости небесного меридиана. Как именно осуществляется установка этого инструмента в плоскости меридиана, Птолемей не сообщает, предполагая, что эта плоскость каким-то путем проложена заранее. Плоскость меридиана устанавливалась по трем положениям тени гномона. Несомненно, этот метод был известен Птолемею, хотя возможно, что он использовал и какой-либо другой метод, например метод равных высот. Этот метод основан на том, что высоты светила в точках, симметричных относительно небесного меридиана, равны. Но тогда и длина тени гномона в моменты, когда Солнце находится в таких точках, будет одинакова. Поэтому достаточно начертить на горизонтальной площадке, где стоит гномон, несколько концентрических дуг с северной стороны, центром которых будет основание гномона, и отмечать положения кончика тени, когда он будет касаться этих окружностей. Если затем провести биссектрисы углов АОВ, COD и т. д. (теоретически они должны совпасть), то мы получим направление полуденной линии, а тем самым и положение плоскости небесного меридиана.

В пятой книге (гл. 12) Птолемей описывает третий угломерный прибор, названный им параллактическим инструментом. Такое название Птолемей дал этому прибору потому, что он использовал его для определения параллакса Луны.

Птолемей утверждает, что он наблюдал Луну в таком положении, но не сообщает даты наблюдения. Поскольку, однако, известно, что 1 октября 135 г. Птолемей наблюдал Луну в 5° к северу от точки зимнего солнцестояния, линия узлов должна была сделать пол-оборота, чтобы реализовалось положение, описанное выше (Луна на 5° севернее точки летнего солнцестояния). Это значит, что Птолемей мог наблюдать Луну в этом положении либо в июне--июле 126 г., либо в начале января 145 г. Обе даты выходят за пределы периода, когда Птолемей проводил астрономические наблюдения, упоминаемые в его книге (26 марта 127 г.--2 февраля 141 г.). Конечно, нет ничего невозможного в том, что Птолемей начал наблюдать на 9 месяцев раньше, чем это зафиксировано сообщаемыми им датами наблюдений, или провел дополнительное наблюдение Луны в 145 г. Возможно также, что наблюдение Луны в 126 г. провел и передал Птолемею упоминаемый им не раз математик Теон.

Параллактический прибор Птолемея, получивший впоследствии название трикветр, применялся многими астрономами после него. Его описание и чертеж мы находим в классическом труде Коперника «О вращениях...», а также в «Механике обновленной астрономии» Тихо Браге. Именно он изображен на знаменитой картине польского художника Яна Матейки «Коперник» (1873 г.). Интересно, что подлинный трикветр Коперника спустя 40 лет после его смерти попал в руки Тихо Браге и был им подробно описан в вышеупомянутой книге, вышедшей в 1598 г.

Последний и самый сложный прибор, описанный Птолемеем в той же пятой книге «Альмагеста» это -- армиллярная сфера с диоптрами для наблюдения. Впрочем, Птолемей называет свой прибор астролябией (буфсплбвпн), что буквально означает «для определения положений светил». Этот прибор стал «моделирующим» для астролябий, получивших распространение на арабском Востоке в IX--XIII вв., изображавших небесную сферу в стереографической проекции (введенной Птолемеем в «Планисферии»). Армиллярной сферой Птолемей называл другой (демонстрационный) прибор.

С помощью этого прибора светило можно наблюдать не только в меридиане, но в любом положении на небе. По идее Птолемея после наведения диоптров bb на светило можно было по делениям круга 2 отсчитать его долготу, а по делениям круга 4 (отсчитываемым с помощью круга 5, который для этого должен быть установлен в одной плоскости с кругом 2) -- широту.

Однако наблюдения с этим прибором требовали известного навыка со стороны наблюдателя. В отличие от современных астрономических приборов, в которых наведение на светило осуществляется поворотом трубы прибора вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, в астролябии Птолемея нужно было поворачивать подвижные части прибора вокруг трех осей: вокруг полярной оси dd, вокруг оси эклиптики ее и вокруг оси колец 1 и 2, лежащей в плоскости эклиптики (по аналогии с осью склонений современных телескопов-экваториалов ее можно назвать осью широт).

Впоследствии, в 1581 г., искусный наблюдатель Тихо Браге воспроизвел по описанию Птолемея его прибор, назвав его «зодиакальными армиллами» (слово «армилла» означает «кольцо»; Тихо Браге употреблял это слово во множественном числе). Видимо, этот прибор не удовлетворил Тихо Браге, и спустя три года он заменил его «экваториальными армиллами», где, кроме меридиана, имеются лишь два кольца: небесный экватор и круг склонения, а поворот осуществляется вокруг двух взаимно перпендикулярных осей: полярной и оси склонений.

С помощью описанных здесь приборов Птолемей и производил все свои наблюдения положений небесных светил. Естественно, все они велись невооруженным глазом. Их точность зависела от точности наведения шпеньков или диоптров, от правильности установки самого инструмента, наконец, от точности делений и их правильного считывания (большинство наблюдений проводилось ночью). Точность наблюдений Птолемея не превышала 10 мин дуги. Еще ниже была точность наблюдений, связанных с регистрацией времени (моменты затмений, покрытий звезд Луной, прохождений светил через меридиан). Точных часов в те времена не было, а существовавшие солнечные, песочные и водяные часы давали точность не выше 15 мин времени, что в переводе на единицы угла могло привести к ошибкам в определении прямых восхождений и эклиптикальных долгот в 3-4°.

Теория движения Солнца

В третьей книге «Альмагеста» Птолемей развивает первую из своих теорий движения «блуждающих» светил -- теорию движения Солнца. Это -- самая простая теория из всех. Солнце движется точно по эклиптике, значит, отсутствует смещение по широте. Солнце не описывает по небу петель, как планеты, значит, у него нет так называемого второго неравенства. Даже по сравнению, с Луной движение Солнца гораздо проще.

Но прежде чем строить теорию движения Солнца, Птолемей рассматривает вопрос о длительности тропического года. Здесь он приводит наблюдения солнцестояний на протяжении нескольких веков, которые собрал до него Гиппарх, и выводы, сделанные из них Гиппархом. Птолемей принимает Гиппархову длину года: 365¹/₄ - ¹/₃₀₀ сут, не пытаясь уточнить ее на основании собственных наблюдений. Мы уже рассматривали вопрос о погрешности этой величины в гл. 3, посвященной Гиппарху.

На основании принятой им длины года Птолемей вычисляет среднее суточное движение Солнца по эклиптике (по долготе) и находит, что в шестидесятеричной записи оно равно, что соответствует в привычных нам единицах

Умножая на 365 (число дней в египетском году), он находит среднее годовое движение Солнца, или, что то же самое, приращение его долготы за один египетский год:

Птолемей делает эти выкладки с потрясающей точностью: одна единица последнего разряда шестидесятеричной системы равна примерно 2*10^-11 градуса или 7*10^-8 угловой секунды. Разумеется, реальная точность его результатов гораздо ниже. Даже если бы принятая им длина тропического года (365;14,48) была точна до последней единицы второго шестидесятеричного разряда, т. е. до 7*10^-7 длины года, все расчеты имело смысл вести только с такой точностью. Но, как мы уже установили в гл. 3, принятая Птолемеем (вслед за Гиппархом) длина года была ошибочна на 0,0042 сут, или на 10^-5 года.

Основы своей солнечной теории Птолемеи заимствовал у Гиппарха. Он использовал и выведенную Гиппархом среднюю длительность года, и найденный последним эксцентриситет орбиты Солнца (фактически -- орбиты Земли), и даже долготу перигея солнечной орбиты. В гл. 3 мы приводили эти величины. Там же мы обратили внимание читателя на то, что Птолемей не потрудился проверить долготу перигея Солнца, найденную Гиппархом, и принял ее постоянной, тогда как в действительности она возрастает примерно на 1°43' в столетие, и за 300 лет, отделяющих эпоху Птолемея от эпохи Гиппарха, долгота перигея должна была увеличиться на 5°.

Чтобы выявить смещение перигея Солнца, Птолемей должен был не только повысить точность своих собственных определений моментов равноденствий и солнцестояний хотя бы до ±2 ч (это в принципе было возможно), но и иметь в распоряжении столь же точные наблюдения Гиппарха (а это было вообще невозможно). Поэтому не следует винить Птолемея в том, что он не заметил смещения перигея -- он и не мог его заметить. Напротив, получив длины сезонов почти такими же, как и Гиппарх, он с легким сердцем сделал вывод, что перигей Солнца не смещается.

Только аль-Баттани (850--929), имея в распоряжении наблюдения, сделанные на десять с лишним столетий после Гиппарха, когда длительность сезонов заметно изменилась, смог вычислить смещение перигея Солнца. К тому времени оно достигло 16°.

Эти обстоятельства (недостаточная точность наблюдений Гиппарха и Птолемея) были выяснены более 40 лет назад бельгийским историком науки А. Ромом, затем на него указали голландские исследователи В. Петерсен и О. Шмидт. (Однако наш расчет был выполнен совершенно независимо и другим методом, чем у них). Авторы указанных работ показали, что ошибка в определении момента солнцестояния или равноденствия всего на 1 ч (!) привела бы к погрешности в определении положения перигея на 1°. Но точность в 1 ч была недоступна ни Гиппарху, ни Птолемею.

Птолемей вычисляет из чисто геометрических соображений, основанных на определениях длительности сезонов, эксцентриситет орбиты Солнца. Он получает в единицах, где радиус эксцентра равен 60^р, расстояние от Земли до центра эксцентра 2; 29¹/₂^р. Этой величине соответствует эксцентриситет орбиты 0,04153, что мало отличается от величины, полученной Гиппархом, 0,04167. Величину максимального уравнения центра x_max (см.. с. 32). Птолемей получил равной 2° 23' (как и Гиппарх).

Птолемей приводит таблицу аномалий движения Солнца, т. е. величины х в функции угла М при его изменении от 0 до 360°. Максимальное значение этой величины у него, как мы уже говорили, равно 2°23' (по Гиппарху).

Последний вопрос, который рассматривает Птолемей в книге III «Альмагеста», это вопрос о неравенстве длительности суток.

Птолемей правильно указывает две причины, влияющие на изменение длительности суток (считая от полудня до полудня) в течение года. Одна из них -- это только что рассмотренное первое неравенство, вызываемое эксцентриситетом круговой орбиты Солнца. Вторая причина -- изменение моментов прохождения Солнца через меридиан из-за наклона эклиптики к экватору. Даже при равномерном перемещении Солнца по эклиптике сутки были бы неравны между собой, потому что вблизи равноденствий дуге эклиптики в 1° соответствует дуга экватора в 1° cos е (где е = 23°51' -- наклон эклиптики к экватору), равная 55', тогда как вблизи солнцестояний той же дуге соответствует дуга экватора в 66' (из-за расхождения кругов склонения от полюса к экватору). Нетрудно подсчитать, что в первом случае сутки будут на 44 с короче, чем во втором. Накопление этих разностей приводит к смещению момента истинного полудня относительно среднего. Их разность называется уравнением времени.

Уравнение времени складывается из двух составляющих: уравнения от наклона эклиптики, график которого имеет вид синусоиды с двумя максимумами и двумя минимумами (в дни равноденствий и солнцестояний оно равно нулю), и уравнения от эксцентриситета, выражаемого синусоидой с одним максимумом и одним минимумом (в дни прохождения Солнца через перигей и апогей оно равно нулю). Суммарная кривая, отражающая оба эффекта, имеет более сложный вид: с двумя неравными максимумами и двумя минимумами. На рис. 16 изображен современный график уравнения времени и обеих его составляющих. В эпоху Птолемея этот график имел несколько иной вид все из-за того же смещения солнечного перигея и апогея. Как уже говорилось, Солнце тогда проходило эти точки примерно на месяц раньше, чем в наши дни. Поэтому кривую уравнения от эксцентриситета следует сместить на один месяц влево.

Во времена Птолемея не умели чертить графиков. В геометрических построениях пользовались только циркулем и линейкой: Птолемей мог вычислить таблицу уравнения времени на каждый день года. Но он не сделал этого. Зато он дал подробные указания к вычислению этой величины, а также (с ее учетом) долготы истинного Солнца на любой день любого года.

Птолемей ввел ряд важных понятий, используемых в астрономии и поныне. К ним относятся и понятие среднего Солнца, и среднего суточного движения, и понятие средней долготы, и уравнение времени. Так что не следует с его именем связывать одни эпициклы, как это делают некоторые авторы популярных книг, преподаватели или лекторы.

Теория движения Луны

Теория движения Луны -- задача намного более трудная, чем задача о видимом движении Солнца, в котором как бы отражается реальное обращение Земли вокруг Солнца. Мы уже приводили в гл. 3 ряд свидетельств в пользу этого заключения. Но чтобы сразу понять, в чем дело, посмотрим па обе задачи с современной точки зрения.

Земля обращается вокруг Солнца под действием его притяжения. Влияние других тел Солнечной системы -- планет -- ничтожно по сравнению с притяжением Солнца. Самая крупная из планет -- Юпитер уступает Солнцу по массе в 1000 раз, а кроме того, она находится от Земли в среднем в 5 раз дальше, и из-за одного этого ее притяжение еще в 25 раз слабее. Венера гораздо ближе, порой в 3,5 раза ближе Солнца, но ее масса уже в 400 тыс. раз меньше солнечной, значит, ее притяжение слабее солнечного в 35 тыс. раз. Действие других планет еще слабее: Сатурн уступает Юпитеру втрое по массе и находится вдвое дальше, Уран и Нептун -- еще дальше и меньше, Марс -- дальше и меньше Венеры, о Меркурии и говорить нечего. И все же действие планет влияет на движение Земли. На его долю приходится 18' из 1° 43' смещения перигелия Земли (или перигея Солнца), остальное -- следствие прецессии. Сама прецессия частично вызывается действием Луны, малая ее часть -- действием планет, остальное -- опять-таки Солнцем. Под действием притяжения планет происходит вековое изменение не только долготы перигелия, но и других элементов орбиты Земли, в частности эксцентриситета. Сейчас эксцентриситет земной орбиты медленно убывает. Примерно через 35 тыс. лет он достигнет минимума -- значения 0,002 (сейчас он равен 0,017), затем начнет расти, достигая в некоторые эпохи величины 0,05 -- почти как у орбиты Луны [79].

Луна -- спутник Земли. И в этом вся трудность построения ее теории. Массивное Солнце теперь надо рассматривать как возмущающее тело. Посмотрим, велико ли возмущающее ускорение Солнца по сравнению с ускорением, сообщаемым Луне Землей. Возмущающее ускорение Солнца -- это разность ускорений, сообщаемых им Луне и Земле. В эпохи новолуний и полнолуний, когда Солнце, Луна и Земля находятся на одной прямой, это ускорение достигает своего максимального значения

Были наблюдения солнечных и лунных затмений, выполненные в древнем Вавилоне, затем в Греции, на Родосе (Гиппархом) и в Александрии (в том числе его собственные наблюдения), почти за девять веков. Были позиционные наблюдения Гиппарха и его, Птолемея. Были точные определения длительности четырех лунных месяцев, полученные Гиппархом из его знаменитых циклов. Были основы теории, заложенные тем же Гиппархом. Дальше надо было действовать самому.

И вот перед нами книга IV «Альмагеста». Птолемей ни на минуту не забывает, что он пишет руководство по астрономии, хотя, конечно, не имеет представления о том, что пишет на века. И не на один-два века, а на целых пятнадцать.

Приступая к построению своей теории, Птолемей сначала вычисляет средние суточные движения Лупы по долготе (относительно точки весеннего равноденствия), по аномалии (относительно перигея лунной орбиты), по широте (относительно ее узла) и по элонгации (относительно Солнца). Затем он вычисляет средние движения Луны за час, за месяц (30-суточный), за год и за 18-летний цикл. Таким образом, как и в случае Солнца, Птолемей начинает со среднего движения Луны и строит таблицу, позволяющую рассчитать четыре названных выше угла на любой день и час любого года от начала эры Набонассара (--746 г.) до 64 г. н. э. Причина такого ограничения -- все те же 45 строк, которые можно было расположить на папирусе. Впрочем, по данным Птолемея таблицу легко можно было продолжить и на последующие годы и века.

Дальше Птолемей начинает вычислять первое, или простое, неравенство в движении Луны, аналогичное первому неравенству в движении Солнца. Еще раз доказав эквивалентность моделей с эксцентром и с эпициклом, он для дальнейших операций выбирает модель с эпициклом (эксцентр ему еще понадобится). Первое неравенство вызвано, по Птолемею, эксцентричным положением орбиты Луны относительно Земли. Но ради удобства геометрических построений и основанных на них расчетов Птолемей строит такую модель