Аналитическое исследование движения компонентов кормов в релятивных винтовых барабанах

Размещено на http://www.allbest.ru/

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ КОРМОВ В РЕЛЯТИВНЫХ ВИНТОВЫХ БАРАБАНАХ

Марченко Алексей Юрьевич

к.т.н., доцент

Общие замечания, постановка задачи

При анализе кинематики движения частиц компонентов кормов, рассматриваются релятивные винтовые барабаны, например, РЦ7.1.а и РЦ5.1а, имеющие особенность в том, что по периметру образованы явно выраженные условно цилиндрические винтовые линии [1.2] При вращении релятивных винтовых барабанов, частицы компонентов кормов совершают сложное пространственное движение, например, по трем винтовым линиям, непрерывно проходя вдоль его стенок. Если задаваться какой-то средней скоростью перемещения и временем выполнения технологического процесса приготовления кормов t_приг., то при перемещении частиц компонентов кормов вдоль оси вращения этого релятивного винтового барабана, можно оценить такой геометрический параметр как его длину (L_р.в.б.). Угол наклона образующей винтовой линии относительно оси вращения релятивного винтового барабана j = Const (рисунок 1, рисунок 2), а длина участка ребра плоских элементов ? является секущей этой линии, равная диаметру вписанной внутри релятивного винтового барабана сферы- d. Поэтому, для изучения кинематики движения частиц компонентов кормов и определения производительности, необходимо задать еще такой параметр как длина плоского элемента, а затем классифицировать рассматриваемые параметры следующим образом:

1. Неизменные угловые параметры релятивного винтового барабана, например, определяющие пространственную геометрию перемещаемых частиц компонентов кормов, где j = Const задают основную направленность этого перемещения, а поэтому являются основным угловым параметром.

2. Варьируемые линейные параметры:

-длина участка ребра плоских элементов -?;

-длина релятивного винтового барабана - L_р.в.б..

Эти параметры являются сложными функциями состояния кинематических параметров перемещения частиц компонентов кормов, времени выполнения технологического процесса [3].

Исходя из характера технологического процесса приготовления кормов, время приготовления должно быть оптимальным, что, безусловно, усложняет задачу определения параметров L_р.в.б. и ?, а, следовательно, и размеров релятивного винтового барабана, так как должна решаться задача оптимизации его конструкции в целом.

Рисунок 1 - Релятивный винтовой барабан РЦ 7.1.а

Рисунок 2 - Релятивный винтовой барабан РЦ 5.1.а

Для выявления качественной стороны процесса рассматриваемая задача определения параметра L_р.в.б. и ? может быть сужена до следующей: варьируя длину участка ребра плоских элементов - ? и время приготовления кормов t_приг. проводим моделирование параметров некоторого условного (при определенных допущениях) движения частиц компонентов кормов с целью получения аналитических выражений для описания этого движения. Характерной особенностью реального движения частиц компонентов кормов является то, что при отсутствии разности давлений от каких-то посторонних внешних источников на входе - выходе релятивного винтового барабана, перемещение будет вызвано одной активно действующей силой тяжести в направлении винтовых линий. С другой стороны, на данное перемещение определенное воздействие будут оказывать так называемые контактные силы - силы, образующиеся в результате соударения и обкатывания, суммарная работа сил трения, сопровождающая упругое скольжение в зоне контакта компонентов кормов, а также трение между перемещаемыми частицами компонентов кормов с внутренней поверхностью вращающегося винтового барабана. Нужно иметь в виду, что контактные силы участвуют в непосредственном выполнении технологических процессов, определяют, помимо физико-химических свойств процесса, состояние параметра времени обработки t_обр., и интенсивность их воздействия зависит от угловой скорости вращения релятивного винтового барабана щ. Они имеют двояко выраженную природу [4]:

-направленности, где участвуют совместно с силой тяжести в сложном пространственном движении частиц компонентов кормов, образуя суммарное воздействие;

-стохостичности, где вдоль сложных пространственных траекторий контакты (обкатывания и соударения) носят случайный характер.

Разумеется, разграничить эту природу достаточно сложно, но необходимо, для изучения реального процесса приготовления кормов в двух направлениях: кинематическом и технологическом.

В заключение отметим, что на сложное пространственное движение частиц компонентов кормов определяющее влияние при вращении релятивного винтового барабана оказывает достаточно сложная пространственная геометрия углов, образованных ребрами и плоскими элементами периметра винтового барабана, среди которых угол наклона образующей винтовой линии j=сonst к оси вращения релятивного винтового барабана следует считать основным, потому что он определяет характер перемещения вдоль трех винтовых линий. Поэтому, вначале проведем анализ движения компонентов кормов в релятивных винтовых барабанах.

1. Анализ движения частиц компонентов кормов в релятивных винтовых барабанах

При вращении релятивного винтового барабана частицы компонентов кормов совершают сложное пространственное движение по релятивным винтовым линиям, непрерывно проходя вдоль его стенок, угол наклона релятивных винтовых линий j, при этом j=сonst [1, 2].

Для проведения анализа кинематики движения компонентов кормов зададим правую тройку единичных векторов , , , где по правилу векторного произведения = + определяет направление вращения вектора угловой скорости релятивного винтового барабана = . В этом случае направление перемещения вдоль оси вращения релятивного винтового барабана частиц компонентов кормов будет происходить в противоположном направлении, т.е. в направлении «» (рисунок 3).

Таким образом, если на векторах , , строить соответственно оси пространственной неподвижной системы координат XYZ, то составляющие проекций продольного перемещения будут соответствовать скорости и пути V_z < 0, Z<0.

Рисунок 3 - Схема тройки единичных векторов, определяющих направление вращения угловой скорости винтового барабана

Поэтому, для изучения процесса движения частиц компонентов кормов вдоль направления релятивных винтовых линий, заданных углами наклона j = сonst, целесообразно исследовать поведение величины скорости перемещения V_j .

Введем некую упрощенную модель «условного перемещения»: при вращении релятивного винтового барабана частица компонентов кормов, при воздействии сил (активной силы тяжести) последовательно переходит с одного ребра винтовой линии на другое по следующей релятивной винтовой линии, скатывается вниз по направляющим релятивных винтовых линий, т.е. получает перемещения (вдоль чередующихся винтовых линий), которые мы будем считать согласно этой условной модели непрерывными (во времени).

Все непрерывные условные перемещения происходят под углами наклона j относительно геометрической оси вращения винтового барабана и, если известен вектор ускорений W_xy (в плоскостях поперечных сечений) плоскости XYZ (рисунок 3, рисунок 4), то образуется некоторое ускорение перемещения W_j вдоль направлений релятивных винтовых линий, которое может быть записано в виде:

_j= W_xy ·sin j, (1)

где W_j= - величина ускорения.

Эта формула вытекает из простых физических соображений.

Составляющая силы веса ц= - ·cos (2)

будет проектироваться на направление j по формуле:

_j =_y · sin j . (3)

Аналогично, по такой же зависимости, будут проектироваться и массовые силы (силы трения, соударения).

Согласно 2-му закону Ньютона:

_xy = · , (4)

где в _i входит и составляющая от силы веса_ц;

- направление вращения точки М в плоскости XOY;

P - вес частицы компонентов кормов;

P_ц - составляющая P на направление ;

P_ц = -P·cos - величина данной составляющей на направлении .

Из рисунка 3 видно, что ab + Mb, aM + OZ, поэтому угол bаM в силу скрещивающихся взаимно пар отрезков прямых OZ и bM, Ma и ab, следовательно и весь вектор _xy будет проектироваться на направление j согласно зависимости:_j = W_xy · sinj.

Тогда, непрерывное перемещение вдоль оси вращения (в направлении, противоположном выбору оси Z, см. рисунки 3, 4), можно записать:

_z = _z= _xy·tgj . (5)

где W_z = - величина ускорения вдоль оси Z.

Рисунок 4- Модель условных перемещений частиц компонентов кормов

Соотношение (5) непосредственно следует (рисунок 3) из условия:

cM = aM · tgj. (6)

Таким образом, согласно (1) и (5) в нашей модели «условного перемещения» векторы _z, _xy проектируются на направление j, при этом, выполняется условие:_j = _xy· sinj _z cosj.

Из этих двух соотношений, после интегрирования, определяется и другая характеристика (рисунок 3, рисунок 4):

V_j = V_z · cosj или V_z = , (7)

т.е. установлена связь между величинами скоростей перемещений, при условии, что при t₀ = 0, V_j0 = V_z0 = 0. Заметим, V_j< V_z,, вытекающее из выражения (7), является условием «кратчайшего перемещения» вдоль направления винтовых линий.

Отметим, что при с = r = const выше приведенная условная модель будет являться частным случаем - случаем винтовой линии, обладающей, как известно, следующими свойствами:

1. Касательные (в данном случае следует иметь в виду V_j - вектора) образуют постоянный угол (имеется в виду j = const) с некоторым неизменным направлением (в данном случае осью вращения релятивного винтового барабана).

2. Главная нормаль к винтовой линии во всех ее точках совпадает с нормалью к цилиндру, на котором начерчена винтовая линия.

3. Вдоль винтовой линии отношение радиуса кривизны к радиусу кручения - величина постоянная.

4. Кратчайшее расстояние (в нашем случае - перемещение) между двумя точками на цилиндре по винтовой линии проходит через эти точки (это свойство, пожалуй, и отражает V_j< V_z в нашей условной модели).

Таким образом, изучаемый (моделируемый условно) нами процесс (рисунки 3, 4) следует исследовать:

-в плоскостях поперечных сечений XOY (W₃) ;

-в плоскостях мгновенных вращений W_i ;

Причем скорости _zi проектируются под постоянными углами на направления векторов _ji, которые являются касательными векторами в каждой из точек релятивных винтовых линий, где через каждый вектор V_j и точку K_i , лежащую на оси вращения, проходит своя мгновенная плоскость W_i.

Зависимость (7) является специфической особенностью исследуемого реального движения частиц компонентов кормов, так как входит в выражение для результирующей величины скорости V (рисунок 4):

V = . (8)

Таким образом, любое моделирование рассматриваемого реального процесса следует проводить с учетом данных особенностей:

-сила тяжести, контактные силы (взаимодействия частиц компонентов кормов) при вращении релятивного винтового барабана и в зависимости от поперечного профиля сечения релятивного винтового барабана вызывают вращательно-поступательные движения в плоскости XOY;

-сила тяжести, как активная сила, направленная перпендикулярно к оси вращения релятивного винтового барабана, вызывает скатывание частиц компонентов кормов по релятивным винтовым линиям в противоположном направлении оси;

-движение в направлении j становится, в основном, известным при изучении движения в плоскости вращения XOY (W₃), так как при этом нужно только спроектировать рассматриваемые в этой плоскости силы на направление j, под направлением j следует понимать направление изучаемых движений вдоль векторов _ji;

-следует отменить, что несколько затруднительной при проектировании на направление j остается природа контактных сил.

Отсюда следует, что при моделировании, с целью получения аналитических выражений, придется как-то загрублять контактные силы, а также геометрию профиля поперечного сечения, следовательно, и точность исследуемой характеристики (7). А точность последней зависит от соотношения величин проекций на направление сил тяжести j и направленной результирующей от контактных сил. Моделирование можно проводить, изучая непрерывное движение всех частиц компонентов кормов в целом, а также и в отдельности каждой отдельной частицы.

Очевидным допущением при рассмотрении этих двух моделей является существенное условие:

-в первой модели частицы компонентов кормов рассматриваются как сплошная среда с некоторой условной переменной плотностью распределения масс материальных точек;

-во второй модели частицы компонентов кормов, представляющие совокупность частиц, рассматриваются как материальные точки различной массы.

2. Обзор математических моделей

2.1 Модель сплошного потока частиц компонентов кормов

В процессе непрерывной загрузки релятивных винтовых и комбинированных барабанов в каждой точке внутреннего пространства релятивного винтового барабана обратим внимание на векторы скоростей в выбранной, неподвижной относительно релятивного винтового барабана системы координат (произвольным образом). Вставляя в основные законы механики преобразованные выражения [5] можно прийти к системе уравнений движения потоков частиц компонентов кормов:

(9)

Здесь: i, j , x₁ = x , x₂ = y, x₃ = z

= ( x, y,z,t) - плотность;

Т = Т (x,y,z,t) - температура;

V_i = V_x, V_y, V_z - проекции от (x, y,z,t) на оси;

ж - коэффициент теплопроводности;

V_ij = - частные производные от V_x ;

V_y, V_z - по осям координат;

P_ij = P_ji - симметричный тензор напряжений (механических),

тензор второго ранга;

ѓ_i - проекции объемной силы оси x, y,z,;

u - энергия частиц компонентов кормов.

-вектор потока тепла в некотором объеме частиц компонентов кормов:

 = ж ??T = - ж ( ) (10)

Дивергенция вектора скорости может быть представлена в виде:

d_iv = + . (11)

Правые части данных содержат частные производные и получение аналитических выражений без предварительного выявления физических свойств процесса при их интегрировании в самом общем виде будет явно затруднено.

Поэтому есть смысл рассмотреть вторую модель с целью выявления определенных качественных особенностей моделируемого процесса и использования их для упрощения проведения интегрирования уравнений первой модели.

2.2 Модель энергетического баланса движения непрерывного потока частиц компонентов кормов

Составим уравнение энергетического баланса относительно некоторой воображаемой оси вращения (=const):

, (12)

где Т р.в.б. - кинетическая энергия релятивного винтового барабана (полой, без частиц компонентов кормов); Jр.в.б. (x, y, z) - момент инерции релятивного винтового барабана относительно начала координат или относительно оси вращения z.

Кинетическая и потенциальная энергия потока W_к, движущегося из n-го количества частиц компонентов кормов в релятивном винтовом барабане, определяется по формуле:

. (13)

Кинетическая и потенциальная энергия потока W_r, движущегося из N бесчисленного количества частиц компонентов кормов может иметь вид:

, (14)

Q_c -энергия, затрачиваемая на нагревание частиц компонентов кормов и релятивного винтового барабана, на смешивание и измельчение частиц компонентов кормов и другие процессы.

Соударения «взвешенной массы» частиц компонентов кормов под воздействием сил и моментов определить трудно без дополнительных ограничений и допущений. Поэтому ниже рассмотрим такую модель.

2.3 Модель движения частицы компонентов кормов как материальной точки

Пусть каждая движущаяся частица компонентов кормов некоторая условная материальная точка массы m участвует в плоскости во вращательно-поступательном движении в зависимости от профиля поперечного сечения релятивного винтового барабана. Тогда, вводя полярную систему координат, запишем в проекциях на координатные оси (рисунок 5):

, (15)

уравнения движения, которые могут быть использованы для определения V_X, V_y и, следовательно, для определения V_X²+V_y² при подстановке в выражение (8). Если проектировать контактные силы и силу тяжести в направлениях с, (в направлении изменения радиуса вращения и соответственно угла поворота), то можно записать известные дифференциальные уравнения движения материальной точки М в виде [8]:

, (16)

где = ; = ; = ; = .

Выражения в скобках левых частей представляют ускорения. Заметим, что если траектория движения точки М вдоль ломаной линии, то производные , будут скачкообразно изменяться при прохождении через угловые точки данной линии, а это вызовет дополнительные трудности при интегрировании данной системы.

Рисунок 5- Схема вращения точки М в полярной системе координат

Такие замкнутые ломаные линии будут представлять профили поперечного сечения релятивного винтового барабана с меняющейся геометрией от сечения к сечению в плоскостях, параллельных плоскости XOY в текущие моменты t. Поэтому необходимо как-то «скруглить» текущий радиус с(t) с целью непрерывного изменения этих производных в левой части системы (16), что, безусловно, является очередным допущением при рассмотрении этой модели.

Природа и характер проектируемых контактных сил на направления с, также может способствовать установлению основных свойств моделируемого процесса при его изучении в плоскости XOY. Если, например, распределение на направление величин проекций от действия активной силы тяжести и контактных сил окажется таковым, что F = 0, то мы имеем следующее свойство:

= const, (17)

где для получения этого выражения нужно при F_ц = 0 умножить левую и правую часть нижнего уравнения системы (16) на с, и увидим, что при свертывании = 0, а именно: с · (с·) = 0;· = 0; = =0; · dt = C ; = C,

где C - произвольная постоянная.

Тогда верхнее уравнение системы (16), в зависимости от характера величины силы F_с, может быть проинтегрированным (и, возможно, с достаточно точным приближением) в аналитическом виде, как, например, это делается в теории притяжения планет. При определенных условиях уравнения системы (16) могут быть разделены, или почти разделены, что позволит получить определенные ассимптотические разложения при их интегрировании. В зависимости от этого, а также в зависимости от угловой скорости вращения релятивного винтового барабана, движение в плоскости XOY может носить либо вращательный, либо вращательно-колебательный характер. Последний вид движения, возможно, будет носить характер вынужденных колебаний, сводящихся к квазилинейным. Важно, чтобы эти колебания не были затухающими, так как эта модель движения будет противоречить описанию реального процесса.

3. Характер моделирования контактных сил частиц компонентов кормов, при их движении в релятивных винтовых барабанах

Механическую систему, состоящую из вращающегося релятивного винтового барабана, частиц компонентов кормов, которые в свою очередь совершают сложное пространственное движение, нельзя отнести к категории газообразных, жидких или твердых сред, для которых законы движения изучаются с учетом своих особенностей (например, для частиц сыпучих материалов сумма всех внутренних действующих сил равна нулю и т.д.). Эта система, с точки зрения ее изучения занимает какое-то промежуточное положение между жидкими и твердыми средами. Контактные силы наделены в данной системе «особой природой». При вращении релятивного винтового барабана частицы компонентов кормов увлекаются стенками релятивного винтового барабана, соприкасаются, обкатываются, соударяются между собой и при их соприкосновении со стенками релятивного винтового барабана образуются дополнительные силы трения. Но, тем не менее, каждой выбранной неподвижной точке пространства релятивного винтового барабана, через которую проходит движущийся непрерывный поток материальных точек, в результате соударений присущи такие свойства как некоторая условная плотность, вязкость, сыпучесть. Это обстоятельство наводит на мысль, что для моделирования качественной картины процесса движения частиц компонентов кормов необходимо также моделировать силы трения, как силы сопротивления. Коэффициенты пропорциональности (коэффициенты трения - µ), участвующие в моделировании величин данных сил, должны быть невелики, по возможности носить постоянный характер, с целью удобства получения аналитических выражений при интегрировании системы (16).

Такое предположение, прежде всего, исходит из тех соображений, что контактные силы должны оказывать сравнительно слабое воздействие на продольное перемещение частиц компонентов кормов и на характеристику параметров выражений (7). Если данные коэффициенты и носят переменный характер, то они должны зависеть от соотношения объемов загрузки частиц компонентов кормов по отношению к объему внутренней полости релятивного винтового барабана; от пространственной геометрии вращающегося барабана, т.е. изменения профиля поперечного сечения с течением времени, относительно которого движутся частицы компонентов кормов; угловой скорости вращения; статистического столба оседающих частиц на дно внутренней полости релятивного винтового барабана, масса которых невелика, но тем не менее образуемое давление на дне внутренней полости релятивного винтового барабана должно быть выше по сравнению с верхними слоями: от кинематических параметров движения, температуры, физико - химических свойств процесса и других, неизвестной природы, характеристик.

По крайней мере, при предварительном анализе, следует обратить внимание на первые четыре характеристики. Если изменить соотношение объемов и угловую скорость вращения, то можно получить такое состояние процесса, что частицы компонентов кормов начнут в значительной мере увлекаться вращением, и при дальнейшем росте этих характеристик процесс будет подобен вращению твердого тела, когда внутренние силы будут стремиться к нулю. При малом соотношении объемов будут происходить одни соударения как между собой, так и со стенками релятивного винтового барабана. В обоих этих случаях эффективность взаимодействия частиц компонентов кормов будет снижена. Поэтому, эти характеристики должны быть оптимальными, а коэффициенты пропорциональности при изменении других, перечисленных выше параметров, могут оказаться слабоменяющимися величинами, хорошо раскладываться в степенные (например, ряд Тейлора) и другого вида ряды, хорошо аппроксимироваться. В конечном счете, они могут содержать какие-то постоянные величины и параметры малости, представляющие произведения малых параметров на параметры кинематики.

Например, при вращении в плоскости XOY такой коэффициент пропорциональности может быть представлен в виде:

µ = µ₀ + ѓ (), (18)

где - параметр малости;

ѓ - нелинейная функция.

Таким образом, если материальная точка перемещается относительно некоторой траектории в плоскости XOY, где параметры ее положения М(), то при, этом вращающийся релятивный винтовой барабан поворачивается относительно этой точки, в том же направлении контактные силы «захватывают ее» и она может закручиваться.

Величину этой контактной силы можно представить в виде поляры:

R= K₃ · , (19)

где n - степень, а k₃ - коэффициент захвата, имеющий такую же природу, как, допустим, в выражении (18), т.е. примерно равен сonst:

V_xy = . (20)

Так как М (ц) какая-то воображаемая условная точка (система объединенных точек с центром масс в этой точке), то радиус вращения может быть представлен как некоторый «сглаженный» для данного профиля поперечного сечения релятивного винтового барабана на данный момент. Это будет следующее очередное допущение. Такова модель контактной силы при непрерывном захвате и увлечении частиц в направлении вращении (против хода часовой стрелки) винтового барабана.

Теперь представим такой «вариант захвата»: точка М() захватывается один единственный раз, получая соответствующую «порцию кинетической энергии» в самой нижней точке траектории, где начальная скорость V₀. Под воздействием этой энергии, несмотря на наличие противодействующей силы тяжести и сопротивления контактной силы, она может осуществлять вращающиеся движения, или колебаться в сопротивляющейся среде около нижнего устойчивого положения равновесия, медленно перемещаясь вдоль стенок релятивного винтового барабана. При этом некоторый «сглаженный» радиус, а также контактная сила будет моделироваться как сила трения, направленная навстречу движения вдоль траектории, т.е. ее величина:

F_тр = µ · N, (21)

где - сила нормального давления, направленная по радиусу кривизны к траектории и представляющая суммарное сложение векторов (рисунок 6):

= _n+(- _n) = F_n - P_n, (22)

P - сила тяжести в направлении нормали n и направлении касательной ф к произвольной кривой в точке М;

_n - сила центростремительного ускорения, направленная по радиусу кривизны внутренней нормали .

Рисунок 6 - Схема действия сил на материальную точку М

Коэффициент µ определяется согласно выражению (18).

Возможно, что контактные силы в направлении винтовой линии следует моделировать несколько иначе, с учетом еще каких-то дополнительных условий с целью наибольшего упрощения при исследовании зависимости (16). Так как интегрирование системы (16) представляет значительные трудности, в основном из-за переменности радиуса с или отсутствия какой-либо дополнительной информации типа выражения (17), введем некоторый средний радиус:

r = · sin 70⁰ 32' · (23)

представляющий радиус вписанного в тетраэдр шара, где варьируемая длина ребра ?, а угол между гранями ? 70⁰32' (вместо с = War).

1. Если контактную силу R моделировать зависимостью (19), то необходимо использовать нижнее уравнение системы (16), где уже с учетом (21) вектор контактной силы будет направлен по касательной к его траектории в виде окружности, а сила тяжести P (P_r, P_??) может быть представленной на направления r, (рисунок 7), причем начало захвата материальной точки стенками релятивного винтового барабана будет происходить в М₀ , при ₀ = - .

Рисунок 7- Схема действия вектора контактных сил, действующих при движении точки М

Действие P на «скатывание точки М вниз» зависит от крутизны траектории по отношению к горизонтали. Чем она круче, тем больше скатывающаяся сила P_ц. Наибольшая крутизна моделируемого профиля поперечного сечения достигается при = 0, наименьшая, при = -, .

Поэтому P_ц направлена в обратном направлении по касательной в противоположную сторону увеличения угла и может быть представлена в виде:

P_?? = - P · cos . (24)

С учетом сказанного запишем:

m·r = R - P · cos, (25)

где c учетом (24) F = R + P = R - P · cos является частным случаем нижнего уравнения (16), где с = r = const ( = 0) и поэтому m · (с· = F преобразуется к виду:

m · r = F. (26)

Величину R, может быть, не целесообразно проектировать непосредственно на направление j , а представить, исходя из структуры (16) в виде:

R_j = K₃ , (27)

сократив только лишь форму моделирования. Тогда, вместо (25) запишем похожую зависимость, где под V_j подразумевается в силу взаимного расположения плоскостей (рисунок 4) W₃ и W_j

V_j = r · · sinj; (28)

m _i = R_j - P · cos · sinj, (29)

где R_j согласно зависимости (27).

Уравнения (28), (29) образуют совместную систему, из которой находят V_j, а затем V_z согласно зависимости (7).

2. Если использовать зависимости (21), (23) (в другом варианте модели определения контактной силы в виде силы трения F _тp ) при r = Const, для силы нормального давления запишем:

N = P · sin - F_n ; (30)

F_n = m · = m · = m · r · ,

где при движении точки по окружности радиуса r: V = · r.

Заметим, что в выражении (22) под мы подразумеваем вектор, направленный по внутренней нормали (рисунок 6). В данном случае мы направляли (рисунок 7) по r, а поэтому следует у проекции сил, в правой части векторного выражения (22), сменить знак, т.е. взять в виде (30).

Для направления j имеем:

N_j N · cos j ? N (31)

с учетом зависимостей (2.38), (2.39) имеем систему:

(32)

Иллюстрация (рисунки 8 и 9) к получению зависимостей (30), (31), (32), где вектор направлен вдоль направления, лежит в плоскости XOY.

В данном случае при r = const мы имеем дело с перечисленными выше свойствами винтовой линии, следовательно, и приближенность (32) очевидна. Поэтому (32) величину F_тр можно также полностью считать трансформированной на направление j, т. е. F_тр.j = F_трsin j по той же аналогии, как мы это делали выше с составляющей силы тяжести P (2).

Если не использовать зависимости (30), (31), то система (32) по сути своей представляет одно уравнение (29), рассмотренное выше.

Рисунок 8- Схема действия сил на точку М в плоскости, перпендикулярной оси вращения релятивного винтового барабана

Если же пользоваться зависимостями (30), (31), то, несмотря на серию проведенных выше упрощений, данную систему можно проинтегрировать лишь приближенно, пренебрегая слагаемыми F_тр.j ? 0 в частном случае (речь идет о трении качения), например, методом последовательных приближений.



Рисунок 9 - Наглядное изображение схемы действия сил на точку М, перпендикулярных оси вращения релятивного винтового барабана

Необходимо начать с нижнего уравнения, представляя его в виде

m· r = - (cos + µ· sin) P + µ ·r ·m (33)

и последовательно полагая начальное значение угловой скорости в нижней точке ₀ = при ₀ = - («захвате») ,., можно получать квадратуры типа t = t ().

Заметим, что моделирование контактируемых сил требует какого-то задания коэффициентов пропорциональности или каких-то постоянных величин при их моделировании, где на самом деле их природа достаточно сложна и требует, очевидно, части задания каких-то экспериментальных характеристик. Следовательно, проектируемые контактные силы, в виде выражений (25), (29), (32), представлены приближенным образом.

Поэтому, например, только для анализа характеристики V_z можно провести качественный анализ параметров движения, перечисленных выше, при условии «полного загрубления», т.е. при условии: µ = 0, (К₃ = 0), полагая, что продольное перемещение вызвано одной только силой тяжести.

4. Получение формул для расчета продольного перемещения компонентов кормов в релятивных винтовых барабанах

Для получения простейших формул и их анализа в системе (32) положим: F_тр ? F_тр.j

Имеем : (34)

Сначала проинтегрируем нижние уравнения этой системы. Представляя = и умножая левую и правую части (после предварительного сокращения на m), соответственно, на , затем сокращая на dt и интегрируя, имеем:

= С₁ - ·sin . (35)

Используя начальные условия, считая, что в самой нижней точке ₀ = щ, ₀ = - захват точки М (рисунок 7) происходит только один раз в точке М₀, находим значение С₁. Окончательно получим:

₂ = - ·(1 + sin)0 (36)

Вставляя нижнее уравнение системы (34) в верхнее, имеем:

V_j = r · sinj (37)

или

dV_j = r · sinj · d (38)

и, интегрируя (38) с учетом (36), запишем: V_j = r · sinj + C₂ ,

но так как ,

получим V_j = sinj . (39)

С учетом ₀ = - , зависимости (7), V_z0= 0 из условия того, что начальная скорость смещения в точке М₀ (см. рисунок 9) равна нулю, если на момент t₀ = 0 и последующие моменты давление в релятивном винтовом барабане в направлении «вход-выход» отсутствует вдоль оси вращения. Тогда окончательно, с учётом (7) и начальных условий, зависимоость для определения скорости продольного перемещения компонентов кормов имеет вид :

V_z = [ - · r + ] · tgj. (40)

Из условия (36) имеем соотношение между дифференциалами:

dt = . (41)

Представляя dz = V_z· dt, используя зависимости (40), (41) с учетом начальных условий: ц₀ = - , Z₀ = 0 интегрируя, окончательно запишем:

Z = r · tgj · (щ · t), (42)

где значение t только лишь может быть найдено из условия(42), т. е.

, (43)

где интеграл, стоящий справа, фактически представляет эллиптический интеграл 1-го ряда и должен быть преобразован в зависимости от значения величины характеристики

K = · 1. (44)

В частности, при К = 1 (43) вырождается в обычный интеграл. Переменная не совсем удобна при этих преобразованиях, поэтому положим:

1 + sin ц = 2·, (45)

где: = + , т.е., 0 - пределы изменения новой переменной при движении точки М в правой полуплоскости XOY от крайнего нижнего положения до крайнего верхнего. С учетом (45) и вместо (43) имеем:

·dt = , (46)

из которого следует смысл всех преобразований при условии (44).

Рассмотрим каждый из перечисленных случаев в отдельности.

1. При К 1 выражение (44) может быть представлено в виде:

·t = . (47)

Если ввести новую переменную ф = sin , т.е. dф = cos d ,

то (47) будет преобразовано к виду:

 · t = , (48)

эллиптического интеграла первого рода, где подобно тригонометрическим функциям ф выражается через эллиптические функции. А именно [5,7]: корм релятивный винтовой барабан

ф = sin = sin ();

cos = = Cn (). (49)

В зависимости от значений К (0 < К < 1) при интегрировании выражения (98) возможно и удобно (для приближенных вычислений) может оказаться использование ряда:

=(1+), (50)

в зависимости от задаваемых характеристик щ , r .

2. Условие K 1 вытекает непосредственно с учетом (36), (45), т.е.

, (51)

при соответственных выборах (задания) характеристик ,щ, r. Исходное положение (44) в этом случае преобразуется к виду

2·t = . (52)

Выберем новую переменную в виде:

sin, (53)

где уже sin = ; d = 2 dф

и вместо (52) имеем:

2· = (54)

и, пользуясь свойствами функций Якоби, подобно (49), запишем [7]:

sin = k ·sn (2·); (55)

cos = = dn (2),

которые будут выполнены при t₀ = 0, ₀ = 0 при извлечении корня нижнего выражения.

Заметим, что при = выражения (47), (54) являются полными эллиптическими интегралами 1-го ряда и могут быть найдены по таблицам [8].

3. В случае К = 1, нас вряд ли может заинтересовать, с той точки зрения, что период колебаний T при . В самом деле, если положить К = 1 в выражении (47), то имеем:

·t = = = 2·ln [tg () ], (56)

при . Значит, в этом случае текущая точка М (r, ц) будет крайне медленно двигаться вверх. Такой принцип вряд ли соответствует процессу перемещения частиц компонентов кормов, и поэтому мы его рассматривать не будем.

На этом мы заканчиваем исследование простейших полученных выражений. В заключение заметим, что при достаточных значениях выражения (40) может быть еще проще записано с учетом (45) при преобразовании и разложении в ряд:

V_z = - · si · tg j, (57)

А выражение (42) с - переменной может быть представлено в виде:

Z = r · tgj · ( - ). (58)

Нетрудно видеть, что V_z < 0, Z < 0, соответствует направленности реального процесса, но при этом выражение (57), можно сказать, почти не зависит от варьирования величины r , а, следовательно, и величины (формула 23).

Выражение (57) может оказаться «точнее» выражения (58). Это означает, что при определенных значениях ??, в принципе, можно при использовании (58) точнее оценить такой параметр, как длину релятивного винтового барабана L_р.в.б., если знать, например, какое-то среднее значение скорости:

V_z.ц. = ·_z ()·dt, (59)

где полупериод. Полупериод взят потому, что в верхней точке, при , V_z < 0 принимает наименьшее значение, а наибольшее при = 0. Можно брать среднее значение и относительно целого периода. В самом простом случае:

V_z.cp. = . (60)

Найдя время одного периода (оборота), задаваясь временем приготовления кормов t_обр., можно сопоставить величины по формулам (57), (58), (60), оценить длину релятивного винтового барабана, варьируя параметром При t = T согласно (58) можно оценить шаг витка при ₀ = 0, в нижней точке при непрерывном перемещении частиц компонентов кормов вдоль оси вращения.

5. Уточнение расчетной модели движения частиц компонентов кормов

В релятивном винтовом барабане уравнение движение материальной точки в полярной системе координат (с, ц) при условии j=const имеет вид:

m, (61)

где с -радиус вращения;

m= m₁ + m_{2 ,} в данном случае: m₁-масса частиц компонентов кормов-материального шара r₁-радиуса; m₂-масса частиц компонентов кормов-материального шара r₂-радиуса.

, , = -производные по времени.

Тогда из рисунка 10

(62)

и

(63)

Следовательно, становится известным

(64)

и все остальные параметры (при последовательном интегрировании) моделируемого условного движения, при этом, запишем с целью упрощения:

с = r_ср(а) = const (65)

где а-варьируемая величина ребра тетраэдра, равная для примера ?.

Рассматривая левую часть второго уравнения системы (61), с учетом (63) и интегрируя получим формулу определения продольной скорости движения частиц компонентов кормов в релятивном винтовом барабане.

, (66)

Иллюстрация к получению зависимости (66) показана на рисунке 10, где W_x= -ускорения вдоль оси x; W_y - величина ускорения вдоль оси y; - величина ускорения в направление-; - величина радиального (в данном случае при с=r=сonst) центростремительного ускорения, направленного к центру [5,6,9].

Рисунок 10- Схема действия сил на точку М при вращении релятивного винтового барабана

Нетрудно видеть, применительно к системе (61) при с = r =const, левые части ее уравнений соответственно содержат величины ускорений: = - г , =r . С другой стороны, это и легко показать (как видно из данного рисунка 10) применительно к зависимости (62):

=, (67)

где x =r · cosц, y=r · sinц.

Дифференцируя последние зависимости последовательно по переменной t (времени), имеем:

= - r;;

.

Подставляя, получаем:

. (68)

Но нас интересует в данном случае не величина W_xy, а её проекция на направление, т.е. величина , - второе уравнение системы (61).

Таким образом, в дальнейшем, скорость продольного перемещения компонентов кормов в релятивных винтовых барабанах будем оценивать зависимостью (66), и эта оценка сводится к изучению одной характеристики = , где постоянная интегрирования C в зависимости от этого может принимать те или иные значения. Как следует из второго уравнения системы (61), определяющей характер движущейся материальной точки М по окружности при его интегрировании, мы получим = в зависимости от моделирования сил в направлении, что не так просто в целях более полного отражения свойств реального процесса движения компонентов кормов. Уравнение первое этой системы можно рассматривать как условие динамического равновесия при движении по окружности радиуса r и в направлении, где F_с - какой-то характер изменения сил в этом направлении, который при r=const нас пока не интересует.

Поэтому необходимо более полно смоделировать совокупность сил F. Заметим, что в некоторых случаях, например, при значительных угловых скоростях вращения релятивного винтового барабана, направление движения и порядок характеристик уже могут быть оценены при рассмотрении одной единственной силы - силы тяжести (без учета остальных, так называемых массовых сил): увлекания стенками релятивного винтового барабана частиц компонентов кормов, контактных сил взаимного соударения, скольжения и обкатывания между частицами компонентов кормов, стенками релятивного винтового барабана и какой - то еще другой природы реальных сил, где совокупность их воздействия может рассматриваться как воздействие не гравитационного происхождения и, при этом, уже могут быть своеобразные сложности: например, время движения t=t(ц) уже представлено эллиптическим интегралом первого рода. Если при этом нас могут заинтересовать аналитические зависимости t=t(ц) при разложении данных интегралов в ряды, то такие разложения (в зависимости от характеристик щ, r) могут быть затруднены или невозможны. Заметим, что при снижении угловых скоростей релятивного винтового барабана щ могут приводить к исследованию процессов условных, далеко отличных от реального процесса движения. При этом, необходимо как-то учесть массовые силы, которые мы условно разделим на контактные и силы увлечения массы стенками релятивного винтового барабана.

Это наиболее сложные по своей природе силы, возникающие в результате стохастического (вероятного) контакта. Поэтому основная цель данного моделирования - описать стохастические явления так называемых «условных контактов», для которых целесообразно принять следующие допущения:

-пусть каждая частица компонентов кормов массы m₁-материальный шар испытывает серию последовательных контактов только с одной m₂;

-при этом, с частицей компонентов кормов (материальным шаром), где контактирование происходит равномерно по мере движения частиц m₂ и частиц m₁ по всей траектории, но с учетом разности давлений в нижней и верхней частях вращающегося релятивного винтового барабана;

-контактирование частиц компонентов кормов между собой (m₁ с m₁, m₂ с m₂) если и происходит, то это не приводит к изменению характера движения (условного моделируемого совместного движения совокупности m₁, m₂ - масс);

-шар m₁ своей поверхностью (каждый шар) поодиночке контактирует с каждой из поверхностей m₂ - шара только в плоскостях поперечных сечений релятивного винтового барабана (в плоскости ХОУ);

-каждый из последовательных контактов между m₁ и m₂ происходит в среднем за промежуток , а среднее время между контактами t_{i ср.} (вероятность одновременного контактирования с двумя и более контактируемыми массами m₂) пренебрежимо мало;

-по всей траектории движения массы m₁, массы m₂ независимо друг от друга буквально «бомбардируют» шар m_1, и возможное количество соударений n может быть подсчитано как n = ;

-на пути движения (в плоскости XOУ) из нижней части релятивного винтового барабана в верхнюю, т.е. при - , где t = - полупериод общего оборота релятивного винтового барабана;

-с физической точки зрения каждый контакт пусть будет представлять полуупругий удар (соударение с обкатыванием поверхностей m₁, m₂ и проскальзыванием относительно друг друга, можно рассматривать как один из вариантов данного моделируемого стохастического явления), где переходом механической энергии в теплоту следует пренебречь в силу тех соображений, что при контактировании частиц компонентов кормов массы m₁ и m₂ будут в данном случае подвержены незначительной деформации, а поэтому в процессе контактирований может быть использована теория полуупругого удара для определения контактных сил как сил трения;

-несмотря на контактирование пары m₁, m₂ движутся по окружностям r = r_ср.. Исходя из данных допущений, мы находимся в условиях Пуассоновского распределения потока контактирований [10], где каждое контактирование практически достоверно, но далеко не все контакты нас будут интересовать.

Нас будут интересовать направленные контакты K, т.е. такие, как поверхностей m₁ и m₂, а это означает, что появление одного такого контакта практически уже не будет являться достоверной величиной, хотя она так же будет достаточно высока. Число таких контактов будет уже меньшим и равно Kn, где в свою очередь число ожидаемых интересующих контактов m¹ может оказаться еще меньшим m¹K.

Очевидно, для моделирования контактных сил трения F_ц необходимо, чтобы точки контактирования располагались в направлении , образуя нормальные составляющие реакции давлений в данном направлении между контактируемыми поверхностями, шаров m₁ и m₂.

Этот постулат исходит из сущности реального процесса: при увлечении массы частиц компонентов кормов стенками вращающегося релятивного винтового барабана в радиальном направлении будут одновременно возникать контакты, обусловленные геометрией винтового барабана (профилем сечения в плоскости XOY), т.е. свойством ее стенок передавать давление по отношению m₁, m₂ в направлении моделируемого движения . Что касается направления, то там происходит, в основном, явление захвата массы и увлечение ее стенками релятивного барабана поверхностями частиц друг друга.

Итак, пусть происходит К интересующих, направленных, возможных контактов, распределенных по закону Пуассона, где ? К - число реально происходящих (могущих произойти из общего числа К). Необходимо найти вероятность их появления.

Тогда вероятность появления Пуассоновского распределения потока контактирований Р₁ хотя бы одного контакта, согласно данному распределению, равна Р₁ = 1 - e^-л() [10], где среднее ожидаемое число контактов Л() в направлении (математическое ожидание числа интересующих нас контактов в направлении) в зависимости от поворота будет рассмотрено ниже. Если считать достаточно высокий Р₁, то вероятность противоположного события q = 1 - Р₁ следует считать достаточно малой. Число К следует в этой связи считать достаточно большим числом, и K·q - характеристика будет представлять математическое ожидание среднего числа неконтактов.

Вероятность не появления ровно выразится из предельных свойств номинального распределения при большом числе опытов к распределению Пуассона и будет равна [10]:

= · . (69)

Очевидно, вероятность числа появленийm' расценивается как противоположное событие:

= 1 - , (70)

где q = e^-л().

Зависимость (69) отражает только вероятностное появление направленных, происшедших контактирований без учета направленности возможных контактирований из общего числа n, случайности их разброса стенками релятивного винтового барабана от направления. Поэтому, при рассмотрении этих случайных явлений как независимых, правая часть выражения (69) должна быть умножена еще на два вероятностных коэффициента.

Итак, нас интересует закон образования вероятностного коэффициента контактирований К из общего числа n, а следовательно, и принцип формирования контактных сил. Заодно обратимся к некоторым основным положениям теории полуупругого удара с абсолютно шероховатыми контактирующими поверхностями (в нашем случае это допущение более соответствует процессу соударений частиц компонентов кормов, хотя, в принципе, следует рассматривать промежуточное положение между абсолютно гладкими и абсолютно шероховатыми явлениями контактов). Так, например, в зависимости от скорости относительного скольжения U_ф между поверхностями соприкосновения шаров m₁ и m₂, ее знака и величины формируется та или иная модель трения скольжения. Если U_ф= 0, то соответственно направление силы трения[10]:

R = м · N, (71)

где N и R - нормальная и тангенциальная составляющие соответственно, и сила трения характеризуется данной формулой, м - в общем случае может быть коэффициент трения скольжения при контактировании шаров m₁ и m₂ или, например, при контактировании шаров m₁ и m₂ со стенками релятивного винтового барабана.

Если U_ф = 0, то, в общем-то R_0,ф = м N_0,ф вытекает из предыдущей формы записи, но вычисления по этой формуле происходят гораздо сложней, так как N_0,ф = , R_0,ф = представляют уже импульсы от сил R, N, где в свою очередь выражения N = m₁· ; R = m₁ через изменение нормальной U_г и U_t - тангенциальной U_t составляющей скоростей общей скорости движения в момент соударения. Поэтому, с этой точки зрения, R, N представляют законы изменения количества движений в данных направлениях (например, для массы m₁). Решая системы уравнений движения соударяющихся сил с учетом их вращений относительно осей, проходящих через центры их тяжести, можно представить уравнение вида [5,10]:

U_ф = A₀-A₁· N_0,ф - A₂· R_0,ф, (72)

где A₀- сonst;

A₁, A₂ - функции от m₁ , m₂, r₁ , r₂ ,U₁, U₂, ₁, ₂ параметров (в нашем случае шаров m₁ и m₂ центры которых движутся в направлении соответственно со скоростями U₁ и U₂); их угловые скорости вращений ₁, ₂ относительно центров в плоскости XOY).

И здесь следует разграничить при U_ф = 0 дополнительно еще два случая:

-в данном случае малого трения из (72) зависимости находят м (м - в роли коэффициента трения микроскольжения, например, в нашем случае 0,07 м 0,15 может быть), то полагают:

R_0,ф = , (73)

вычисление импульса трения более сложной зависимостью возможно графическими методами (заметим, что U_ф=0 принимает значение в конце ф - момента окончания контакта).

В общем случае вместо зависимости (72) есть смысл рассмотреть для U_ф кинематические зависимости, т.е. возможные случаи образования относительной скорости скольжения при возможных направлениях вращения шаров m₁ , m₂ в момент соударения (рисунок 11).