Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорія автоматичного керування

Курс лекцій

для студентів спеціальностей напряму 0925 «Автоматизація та комп'ютерно-інтегровані технології»

денної, заочної та скороченої форм навчання

Частина друга

Схвалено

на засіданні кафедри автоматизації

та комп'ютерно- інтегрованих технологій,

протокол № 7 від 26.12.2006 р.

Київ НУХТ 2006р.

Ладанюк А.П. Теорія автоматичного керування для студ. спец. напряму 0925 “Автоматизація та комп'ютерно-інтегровані технології” ден., заочн. та скороч. форм навчання - К.: НУХТ, 2006. - с.

Рецензент Б.М. Гончаренко, д-р техн. наук

А.П. Ладанюк, д-р техн. наук

@ А.П. Ладанюк, 2006р.

@ НУХТ, 2006

Вступ

Друга частина курсу лекцій з навчальної дисципліни “Теорія автоматичного керування” містить матеріал, який на основі викладених положень в частині першій, послідовно розкриває основи теорії з таких розділів: нелінійні системи; підвищення якості автоматичних систем та особливі системи; дискретні системи; оптимальні та адаптивні системи. Для вивчення названих розділів студент повинен в повному обсязі засвоїти матеріал, викладений в першій частині: загальні відомості та класифікація систем автоматичного керування; математичний опис лінійних систем; властивості та характеристики автоматичних систем регулювання; стійкість лінійних систем; якість перехідних процесів в лінійних системах; методи аналізу та синтезу лінійних систем; аналіз та синтез лінійних систем при випадкових сигналах.

При засвоєнні матеріалу другої частини необхідно звернути увагу та засвоїти такі положення:

призначення систем конкретного класу, область застосування;

структура систем, закономірності їх роботи та проходження сигналів;

основні розрахункові залежності, методи аналізу та синтезу конкретних систем.

Це дасть можливість отримати студенту передбачені програмою дисципліни знання, навички та вміння.

1. Нелінійні системи

1.1 Особливості нелінійних систем

Нелінійною системою (НЛС) називається така, яка має в своєму складі принаймні один нелінійний елемент, який описується нелінійним рівнянням. Це приводить до того, що при математичному описі НЛС не виконується принцип суперпозиції (накладання реакцій). Всі реальні системи є нелінійними, при цьому нелінійним може бути як об'єкт, так і будь-який інший елемент, наприклад, регулюючий орган (клапан, засувка) або виконавчі механізми, які мають обмежений хід, що викликає відповідні обмеження щодо витрати речовини. Крім того, кінематичні механізми характеризуються наявністю тертя та зазорів.

Наявність нелінійностей в автоматичних системах є, як правило, шкідливим фактором за винятком тих випадків, коли нелінійні елементи вводяться спеціально, наприклад, для підвищення швидкодії. Використання нелінійних математичних залежностей приводить до того, що неможливо отримати загальні розв'язки, і доводиться задовольнятись лише частинними випадками.

Прикладом покращення якості системи керування може бути введення релейного елемента, який підвищує швидкодію за рахунок миттєвого змінювання сигналу керування: клапан займає два положення: min або max ходу. При дослідженні НЛС часто користуються методом лінеаризації характеристик, коли в робочому діапазоні ці характеристики можна наближено описати лінійними залежностями. В цьому випадку не відбувається принципових змін особливостей системи, а нелінійність називається несуттєвою. Часом нелінійностями можна знехтувати, наприклад, коли зона нечутливості мала в порівнянні з усталеним відхиленням регульованої координати, яке визначається без урахування нелінійності.

Суттєвими нелінійностями називають такі, які приводять до значних змінювань характеристик системи, і ними не можна нехтувати при розв'язанні задач аналізу та синтезу автоматичних систем. Автоматичні системи із суттєвими нелінійностями мають ряд принципових особливостей, які не характерні для лінійних систем. До цих особливостей відносяться такі:

- форма і показники якості перехідного процесу залежать від величини вхідного сигналу (амплітуди), а вихідні коливання при подачі на вхід НЛС гармонійного сигналу можуть мати іншу форму і частоту (в лінійних системах форма і частота вихідного і вхідного сигналів співпадають);

- залежність умов стійкості від величини зовнішнього сигналу: НЛС може бути стійкою при одних значеннях сигналу і нестійкою - при інших. В зв'язку з цим для НЛС використовують визначення “стійкість в малому”, “стійкість у великому”, “стійкість в цілому” відповідно при малих, великих або будь-яких початкових відхиленнях;

- наявність в НЛС режиму автоколивань - стійких власних коливань, які виникають у зв'язку з наявністю в системі суттєвих нелінійностей. Режим автоколивань зовні схожий з перехідним процесом у лінійній системі, коли вона знаходиться на межі стійкості. Для лінійних систем цей режим є неробочим: коливання з часом мають характер збіжних або розбіжних коливань, а в НЛС автоколивання можуть зберігатись як завгодно довго, а їх амплітуда та частота залежать від властивостей окремих елементів та величини зовнішніх сигналів. Прикладом такого режиму є робота НЛС з релейним елементом, наприклад, компресерного холодильника, коли двигун компресора знаходиться в двох станах - включено, виключено, і відповідно змінюється температура в холодильній камері.

Джерелами нелінійностей в автоматичних системах є:

- наявність неоднозначних, зокрема гістерезисних, характеристик елементів;

- протікання в об'єктах одночасно різних за природою процесів (тепло- та масобмінних, гідродинамічних, хімічних перетворень);

- наявність нестаціонарностей та нерівномірностей, зокрема так званих застійних зон в об'єкті.

Динаміка НЛС описується нелінійними диференціальними рівняннями, які в порівнянні з лінійними не мають загальних розв'язків, тому в практичних розрахунках використовуються деякі спеціальні методи: фазового простору, гармонійної та статистичної лінеаризації і інш.

1.2 Типові нелінійності автоматичних систем

Кожна автоматична система має свої особливості щодо структури, складу елементів та їх характеристик, показників функціонування і інш. Для спрощення задач аналізу та синтезу НЛС виділяються типові нелінійності - ланки, які мають певні характеристики і з їх допомогою можна подавати (відтворювати) нелінійні характеристики елементів різної природи. Можна провести аналогію з типовими сигналами, типовими елементарними ланками тощо. Виділення типових елементів, сигналів - один з ефективних методів теорії автоматичного керування.

При складанні диференціальних рівнянь в нелінійній системі виділяють, як правило, дві частини: приведену лінійну з передаточною функцією Wл(p) - всі лінійні елементи, в тому числі лінеаризовані несуттєві нелінійності, і суттєво нелінійну частину, яка характеризується залежністю (рис.1.1).

Рис.1.1 Узагальнена структура НЛС

При класифікації нелінійностей їх спочатку розбивають на дві групи: статичні та динамічні. Статичні нелінійності є безінерційними, вихідна величина яких в кожен момент часу залежить лише від вхідної в той же момент часу, тобто вихід і вхід безінерційного нелінійного елемента зв'язані між собою функціональною залежністю. Динамічні нелінійності описуються нелінійними диференціальними рівняннями, тобто вихідна величина залежить від вхідної та її похідної.

В задачах аналізу та синтезу АСР в більшості випадків можна обмежитись урахуванням статичних нелінійностей, які в свою чергу поділяють на дві групи: з однозначними характеристиками та неоднозначними.

Типові нелінійності з однозначними і неоднозначними характеристиками наведені відповідно в табл. 1.1 та 1.2.

Типові нелінійності з однозначними характеристиками мають такі особливості:

- статичні характеристики - однозначні функції Х;

- фазовий зсув в першій гармоніці вихідного сигналу дорівнює нулю.

Таблиця 1-1 Типові нелінійності з однозначними характеристиками

№ п/п	Нелінійність	Статична характеристика
1. 2. 3.	Підсилювальний елемент (ланка) з обмеженням амплітуди Підсилювальний елемент (ланка) із зоною нечутливості Двохпозиційне реле

Таблиця 1.2 Типові нелінійності з неоднозначними характеристиками (гістерезисом)

№ п/п	Нелінійність	Статична характеристика
1. 2. 3.	Підсилювальний елемент із зоною застою Двохпозиційне реле із зоною повернення Трьохпозиційне реле із зоною нечутливості та зоною повернення

Наведені в табл.1-1 нелінійності є практично в кожній автоматичній системі : обмеження ходу регулюючого органу, межа чутливості, елементи сигналізації, перемикання і інш. Крім того, двохпозиційне реле крім звичайних функцій може використовуватись для форсування сигналів керування, зокрема для досягнення максимальної швидкодії.

Типові нелінійності з неоднозначними характеристиками мають такі особливості:

- статичні характеристики є неоднозначними функціями вхідного сигналу;

- вихідний сигнал залежить не лише від величини вхідного сигналу, а й від напряму його змінювання, тобто від знаку похідної

- перша гармоніка змушених коливань на виході відстає від вхідного гармонічного сигналу за фазою.

В автоматичних системах наведені елементи характеризують наявність “сухого” тертя та “мертвого” ходу в рухомих механізмах, перемикачів з зонами застою та повернення.

При розрахунку та аналізі АСР можуть враховуватись і інші нелінійності, показані на рис.1.2.



а) б) в)

Рис.1.2 Нелінійні статичні характеристики

При дослідженні НЛС доцільно визначити процес проходження гармонійного сигналу через нелінійні елементи. Для прикладу на рис.1.3 показано, як проходить гармонійний сигнал через підсилювальний елемент з обмеженням амплітуди.

а) б)

Рис.1.3 Проходження гармонійного сигналу через нелінійний елемент

Статична характеристика (рис.1.3,а) не пропускає сигнал з амплітудою, більшою а, тому вихідний сигнал має форму правильної синусоїди (крива 2) при Аа і з обмеженням амплітуди при А>а.

1.3 Метод фазових траєкторій

Метод фазових траєкторій (фазового простору, фазової площини) - графоаналітичний метод наближеного дослідження нелінійних систем. Суть метода полягає в оцінці поведінки системи за допомогою наочних геометричних уявлень - фазових параметрів. Фазовий простір (простір станів) - простір в прямокутній системі координат, якими є вихідна змінна та (n-1) її похідних. Кількість фазових координат дорівнює порядку системи n, тому для системи другого порядку (n=2) фазовий простір є 2-х вимірним, тобто перетворюється у фазову площину. В цьому випадку термін “фаза” має таке ж значення, що і “стадія”, тобто розвиток, зміна стану. Точка з координатами (xi, xj) називається зображуючою, а лінія, по якій вона переміщується при зміні стану системи - фазовим портретом. Це сукупність траєкторій, які визначають множину груп початкових умов та розв'язок диференціальних рівнянь системи. Фазові траєкторії дають повне уявлення про характер процесів в системі, крім часових оцінок, тому що час з розгляду процесів виключається.

Якщо розглядати в системі стабілізації відхилення то усталеному стану буде відповідати точка , тобто початок координат. Цей стан відповідає так званій особливій точці. Різним фазовим траєкторіям відповідають різні особливі точки. Наприклад, для лінійних стійких систем всі фазові траєкторії асимптотично стягуються в початок координат, а у випадку нестійких систем - прямують в нескінченінсть.

З розгляду наведеного матеріалу можна зробити висновок, що найбільш зручним є метод фазової площини. Запишемо диференціальне рівняння системи другого порядку:

(1.1)

Будемо вважати, що х - вихідна координата системи і приймемо х1=х, тоді:

(1.2)

Рівняння (1.1) запишемо у вигляді двох рівнянь 1-го порядку:

або (1.3)

Розділимо друге рівняння в (1.3) на перше:

(1.4)

Після інтергування отримуємо рівняння фазових траєкторій:

(1.5)

де: С1, С2 - постійні інтегрування. Вид функції залежить від коефіцієнтів аi, які визначають корені характеристичного поліному системи:

(1.6)

корені рівняння:

(1.7)

В методі фазової площини головним, визначальним моментом є те, що кожному перехідному процесу в системі відповідає своя фазова траєкторія. Вид коренів рівняння (1.6) розглядався в розділі, присвяченому стійкості автоматичних систем (частина перша). На рис. 1.4 показана відповідність перехідних процесів і фазових траєкторій НЛС, що відповідає комплексним попарно спряженим кореням з від'ємною (а) та додатною (б) дійсними частинами і уявними (в). Можна знайти також інші перехідні процеси, наприклад, аперіодичні та відповідні фазові портрети.

а)

б)

в)

Рис.1.4. Перехідні процеси і фазові траєкторії НЛС

а) стійкої; б) нестійкої; в) на межі стійкості

Аналіз перехідних процесів та відповідних фазових портретів НЛС приводить до таких результатів:

- стійкому коливальному процесу відповідає фазова траєкторія, яка збігається до початку координат (рис.1.4,а). Особливою точкою тут є стійкий фокус;

- нестійкому коливальному процесу відповідає фазова траєкторія, яка віддаляється від початку координат, особливо точка - нестійкий фокус (рис.1.4,б);

- періодичному процесу (автоколиванням) відповідає замкнена фазова траєкторія (коло або еліпс), яка називається граничним циклом (рис.1.4,в), особлива точка - центр.

Для інших фазових траєкторій особливими точками можуть бути стійкий або нестійкий вузол, сідло.

За графіком граничного циклу можна наближено визначити параметри автоколивань: частота характеризується відношенням відрізків на осях х2 до х1, а амплітуда дорівнює відрізку на х1.

Фазові траєкторії НЛС мають свої особливості. Це викликано тим, що для лінійної системи характер особливої точки повністю визначає її поведінку при будь-яких відхиленнях від стану рівноваги, тобто стійкість лінійної системи не залежить від величини збурення і ця властивість зберігається у всіх точках фазового простору. Для НЛС характер особливої точки визначає поведінку фазових траєкторій лише поблизу точки рівноваги. Може бути такий випадок: стан рівноваги НЛС нестійкий, перехідний процес розбіжний, але він може перейти в стійкий граничний цикл (рис.1.5).

а) б) в)

Рис.1.5. Фазові траєкторії нелінійних систем

а) стійкий граничний цикл; б) нестійкий граничний цикл; в) два граничних цикли

Якщо в нелінійній системі є суттєві зони нечутливості та сухого тертя, то усталеному стану відповідає не один режим, а область, і особлива точка “витягується” в особливу лінію(рис.1.6).



Рис.1.6. Фазові траєкторії НЛС із зоною нечутливості і сухим тертям

В залежності від особливостей НЛС в них можуть бути автоколивання:

- з м'яким режимом збудження, коли після включення завжди система переходить в режим автоколивань не залежно від початкових умов і зовнішніх збурень;

- з жорстким режимом збудження, коли для виникнення автоколивань, які відповідають стійкому циклу, необхідно створити достатньо велике початкове відхилення. Наприклад, зображуюча точка знаходиться поза стійким граничним циклом, а під впливом зовнішніх сигналів вона може перейти на цей цикл або переміститись всередину цикла, і автоколивання затухнуть.

Фазовий портрет НЛС може мати кусково-лінійні або розривні характеристики, складатись з кількох областей з різними фазовими траєкторіями. В цьому випадку на фазовому портреті є лінії перемикання, які відділяють одну область від іншої.

Розроблено метод наближеної побудови фазових портретів НЛС, який дістав назву методу припасовування (зшивання), коли характеристики нелінійностей подаються у вигляді кусково-лінійних залежностей (ламаною лінією). Це відповідає тому, що в правій частині рівняння фазових траєкторій буде набір кількох лінійних функцій для лінійних дільниць характеристики нелінійної ланки. В процесі зміни х1 та х2 відбувається заміна однією функції на іншу в момент проходження через точки зламу. В результаті фазова характеристика розбивається на ряд дільниць, в межах кожної з яких їх рівняння є лінійними і легко інтегруються. Таким чином, точки зламу кусково-лінійної характеристики відповідають лінії переключення, зміни правої частини рівняння (рис.1.7), де показана лінія перемикання АВСD для системи другого порядку.

Рис.1.7 Лінія перемикання для системи 2-го порядку

Рис.1.8 Фазовий портрет системи з релейним елементом

Для НЛС з релейним 2-х позиційним елементом фазовий портрет показаний на рис.1.8. Лінія перемикання співпадає з віссю х2 (х1=0). Для НЛС з релейними елементами існує ковзний режим, коли зображаюча точка переміщується по лінії переключення, наближаючись до початку координат (“ковзає”). Перехідний процес в релейній системі протікає як в неперервній системі. При цьому релейний елемент переключається з достатньо великою частотою, а ковзний режим (коливання навколо лінії переключення) створює ефект вібраційної лінеаризації.

Крім метода припасовування (зшивання) для побудови фазових портретів НЛС використовується метод ізоклін - кривих з однаковим нахилом фазових траєкторій, які проходять через точки цих кривих.

Головним методом дослідження НЛС є використання ЕОМ: визначається кількість і характер можливих станів рівноваги, кількість граничних циклів і їх взаємне розташування, що дає можливість оцінити сукупність можливих режимів роботи системи. Виконуються також розрахунки для найбільш важливих початкових умов.

1.4 Проходження випадкового сигналу через нелінійну ланку. Статистична лінеаризація

При діянні на НЛС стаціонарного випадкового сигналу виникає відповідний режим роботи, який характеризується, в першу чергу, оцінками математичного сподівання та дисперсії.

Для прикладу розглядається нелінійна ланка, яка має статичну характеристику з насиченням (рис.1.9,а,б). На вхід НЛ поступає стаціонарний випадковий сигнал

(1.8)

з нормальним розподіленням, графік якого показано на рис.1.9,в. Вихідний сигнал

(1.9)

має щільність ймовірності розподілення, показаний на рис.1.9,г.



Рис.1.9 Змінювання розподілення сигналу

Значення х, які лежать всередині лінійної частини характеристики ланки, проходять без змін (коефіцієнт передачі ланки прийнято рівним одиниці). Всі значення дають на виході постійне значення y, тобто ймовірність появи сигналу дорівнює нулю. Це відображається нескінченно вузькими імпульсами на межах діапазону , площі яких відповідають заштрихованим площам на графіку рис.1.9,в. Ці імпульси умовно показані кінцевої ширини і висоти.

Якщо змінюється mx, то змінюються також і my та Dy, зокрема при збільшенні mx величина my також зростає, наближаючись до b, а Dy буде зменшуватись до нуля, коли mx >>b. Якщо при mx=const звужувати або розширяти криву р(х), змінюючи Dх, то будуть змінюватись як my, так і Dy. При звуженні кривої р(х) величина my буде збільшуватись, прямуючи до mx, коли крива р(х) буде входити в діапазон , а дисперсія Dх і Dy .

Таким чином, при проходженні випадкового сигналу через нелінійну ланку закон розподілення щільності ймовірності змінюється, а my та Dy кожна залежать від mх та Dх, тобто принцип суперпозиції не виконується.

Крім того, наявність випадкової складової сигналу приводить до згладжування нелінійної залежності між виходом і входом для середнього значення (детермінованої складової). Таким чином, випадкова складова вхідного сигналу створює ефект лінеаризації нелінійної ланки для детермінованої складової сигналу. В цьому випадку навіть релейна система поводить себе як ланка неперервної дії. При збільшенні mх передача ланкою випадкової складової ослаблюється за рахунок того, що ланка насичується детермінованою складовою сигналу.

На викладених закономірностях базується наближений метод статистичної лінеаризації НЛС, який полягає в заміні нелінійної системи еквівалентною лінійною щодо реакції на заданий вхідний сигнал. Таким чином, необхідно підібрати таку лінійну еквівалентну ланку, яка з достатньою точністю відтворює вихідний сигнал нелінійної ланки.

Приймається, що на вході та виході нелінійної ланки діють відповідно сигнали, які описуються залежностями (1.8), (1.9). Тоді для лінійної еквівалентної ланки можна записати:

(1.10)

де: k0, k1 - коефіцієнти статистичної лінеаризації (рис.1.10).

Рис.1.10. Структура еквівалентної лінійної ланки

Для заміни нелінійної ланки еквівалентною лінійною необхідно знайти вирази для коефіцієнтів k0 і k1. Часто ці коефіцієнти знаходять, використовуючи такі критерії:

- забезпечення незмінних значень:

(1.11)

- мінімум середньоквадратичного відхилення

(1.12)

За обома критеріями коефіцієнт

(1.13)

а другий коефіцієнт

- за першим критерієм (1.14)

- за другим критерієм (1.15)

Формули (1.14), (1.15) строго виводяться, а знак у виразі (1.14) приймається так: k1>0, коли в точці х= mx функція f(x) зростає, і k1<0 - в протилежному випадку. Можна приймати середнє значення k1, визначене за формулами (1.14), (1.15). Наближеність такого методу лінеаризації пов'язана з припущенням щодо нормального закону розподілення вхідного сигналу та нехтуванням його змінювання нелінійною ланкою. Еквівалентна лінійна ланка точно відтворює змінювання mx і наближено -

1.5 Гармонічна та вібраційна лінеаризація НЛС

Гармонічна лінеаризація використовується для наближеного дослідження автоколивань НЛС, дозволяє визначити умови виникнення і параметри цих коливань.

Нелінійна система подається у вигляді 2-х частин: Wл(р) - передаточна функція лінійної частини; - нелінійна ланка (рис.1.11).

імпульсний система адаптивний дискретний

Рис.1.11. Розрахункова схема методу гармонійної лінеаризації

Приймається, що в системі існують автоколивання. Вхідний сигнал нелінійної ланки є синусоїдним:

(1.16)

де: х0 - постійна складова, коли автоколивання несиметричні;

А, - амплітуда та частота автоколивань.

В реальних системах автоколивання відрізняються від синусоїдальних, тому метод гармонійної лінеаризації є принципово наближеним. Приймається також, що лінійна частина системи є фільтром нижніх частот, тобто не пропускає вищі гармоніки автоколивань. Друга гармоніка, частотою 2, фактично не проходить на вхід нелінійної ланки, тоді можна застосовувати метод гармонійної лінеаризації. Якщо частота автоколивань (рис.1.11,б), то лінійна частина вільно пропускає другу, третю і інші гармоніки. В цьому випадку метод гармонійної лінеаризації застосовувати не можна, тому що коливання на вході НЛ можуть відрізнятись від синусоїдальних. Але це визначається лише тоді, коли відома частота автоколивань, що в свою чергу потребує застосування методу гармонійної лінеаризації. Ефективним методом подолання цього протиріччя є використання інтеративних процедур, приймаючи до розгляду лише основну гармоніку автоколивань.

Вихідні коливання розкладають в ряд Фур'є і відкидають вищі гармоніки:

(1.16)

де: (1.17)

Вираз (1.17) перепишемо в більш зручній формі з урахуванням виразів для і з (1.16):

(1.18)

Після підстановки в (1.16) отримаємо:

(1.19)

або: (1.20)

де: kГ0, kГ, kГ1 - коефіцієнти гармонічної лінеаризації:

(1.21)

Ці коефіцієнти є функціями . При фіксованих значеннях рівняння (1.20) буде лінійним, що дає можливість замінити НЛ еквівалентною лінійною, структура якої показана на рис.1.12.

Рис.1.12 Структура еквівалентної ланки

Для типових нелінійностей визначені формули для , причому у випадку безінерційних НЛ значення коефіцієнтів не залежать від , а визначаються лише А і х0.

При гармонійній лінеаризації нелінійна ланка НЛ замінюється еквівалентною лінійною відносно постійної складової х0, а відносно коливальної складової така заміна є наближеною. Крім того, приймається, що спектр коливальної складової складається з однієї гармоніки і вона не спотворюється.

Одним з методів зменшення небажаного впливу люфтів , зазорів, сухого тертя є накладання на неповний, як правило, низькочастотний сигнал додаткового високочастотного. Такі вібраційні коливання покращують якість системи, а додатковим сигналом можуть бути як власні автоколивання, так і зовнішні сигнали від спеціального генератора. На цьому заснована вібраційна лінеаризація, ефект якої покажемо на прикладі нелінійного елемента з релейною характеристикою (рис.1.13). На вхід реле поступає низькочастотний сигнал x0(t) та додатковий високочастотний :

(1.22)

Рис.1.13. Вібраційна лінеаризація релейної характеристики

Частота додаткового сигналу повинна бути достатньою для того, щоб основний сигнал x0(t) на протязі кількох періодів додаткового залишався постійним, а амплітуда була достатньою для спрацьовування релейного елемента. Крім того, лінійна частина системи повинна подавлювати складові з частотою та більш високих гармонік:

(1.23)

де: - частота пропускання лінійної частоти.

Вихідний сигнал реле

(1.24)

можна розкласти в ряд Фур'є (при цьому інтервал розкладання - період Т для повинен бути таким, щоб на ньому ). По аналогії з гармонійною лінеаризацією можна записати:

(1.25)

тобто принцип суперпозиції не виконується, а лінеаризоване рівняння буде мати вигляд:

(1.26)

де: q - коефіцієнт, який залежить від максимального значення х та параметрів вихідного сигналу y.

Для релейного елемента, статична характеристика якого показана на рис.1.13,в, значення y0 визначається так:

(1.27)

тобто умови проходження основного сигналу х0 через нелінійний елемент залежить від амплітуди додаткового сигналу .

Ефект вібраційної лінеаризації показана на рис.1.13,в,г. При збільшенні релейна характеристика лінеаризується.

За допомогою періодичних зовнішніх сигналів можна зменшити або усунути власні автоколивання, при цьому за певних значень частоти та амплітуди система під впливом сигналу може перейти з режиму автоколивань з частотою в режим змушених коливань з частотою (“захоплювання” частоти). Змушені коливання мають при цьому меншу амплітуду та більшу частоту, ніж автоколивання, тобто якість нелінійної системи покращується.

Змушені високочастотні вібрації нелінійного елемента можна викликати як зовнішнім генератором, так і за рахунок власних автоколивань, для чого організується внутрішній автоколивальний контур, який охоплює нелінійний елемент. Параметри контуру обираються так, щоб частота автоколивань була досить великою, а амплітуда перевищувала низькочастотну складову х0(t).

1.6 Методи дослідження стійкості нелінійних систем

Єдиним методом точного дослідження стійкості НЛС є метод фазових траєкторій, однак він обмежується системами другого порядку. В сучасних умовах при дослідженні стійкості НЛС доцільно орієнтуватись на застосування комп'ютерного моделювання.

Основоположними роботами в галузі стійкості НЛС є дослідження російського вченого Ляпунова О.М., які складають основу загальної теорії стійкості. Крім того, використовуються критерії абсолютної стійкості В.М.Попова, метод гармонійної лінеаризації для дослідження автоколивань і інш.

В загальній постановці дослідження стійкості НЛС використовуються методи:

- визначення достатніх умов стійкості на основі критеріїв, які дозволяють виділити частину повної області стійкості;

- наближеного дослідження.

В першому випадку наперед відомий знак похибки у визначенні межі стійкості, а сама похибка відноситься до запасу стійкості, хоча її величина невідома і може бути як завгодно великою. У другому випадку знак похибки невідомий, але є можливість оцінити зверху її абсолютну величину.

О.М. Ляпунов в 1892 році дав визначення, яке до цього часу є загально визнаним, класичним і складає основу теорії стійкості нелінійних систем (в технічній літературі - стійкість по Ляпунову):

Незбурений рух є стійким, якщо при достатньо малих початкових збуреннях викликаний ним збурений рух як завгодно мало відрізняється від незбуреного; при цьому рух асимптотично стійкий, якщо при збурений рух прямує до незбуреного.

В такій постановці незбурений рух - будь-який режим роботи системи щодо стійкості. У фазовому просторі - це початок координат, а в загальному випадку цим режимом може бути як усталений статичний чи динамічний режими, так і неусталений режим. Як збурення Ляпунов розглядав лише ненульові початкові умови, які відповідають початковому зміщенню зображаючої точки з початку координат в певну точку фазового простору при незмінних зовнішніх діяннях, які відповідають незбуреному рухові. З практичної точки зору це незручне визначення збурення, але при достатньо загальних умовах режим, асимптотично стійкий за Ляпуновим, буде стійким при розгляді збурення, яке відповідає відхиленню зовнішніх діянь.

Рис. 1.14 Оцінка стану рівноваги НЛС

Графічна інтерпретація стійкості за Ляпуновим показана на рис 1.14: стан рівноваги стійкий, якщо для будь-якої заданої області допустимих відхилень е можна вказати таку допоміжну область з (е), щоб жодний рух, який починається в цій області, не досягав межі е. Це значить, що при заданій області допустимих відхилень е визначається область початкових умов з. При цьому для стійкої системи не обов'язково вимагати повернення до попереднього стану рівноваги, а достатньо, щоб рух зображаючої точки відбувався в межах області допустимих відхилень е. Якщо ж система не тільки не виходить за межі допустимої області, а повертається до попереднього стану рівноваги, то таку систему називають асимптотично стійкою. Стійкість рівноваги за Лапуновим гарантує стійкість “в малому”, але система може бути нестійкою “у великому” (рис. 1.15).

Рис.1.15. До оцінки стійкості НЛС

а) перехідні процеси; б) фазові траєкторії

Перехідним процесам 1,2,3 відповідають фазові траєкторії 1', 2',3'.

Ляпуновим О.М. розроблено два методи дослідження стійкості НЛС. Перший метод використовується лише для дослідження стійкості “в малому” тих систем, які можна лінеаризувати шляхом розкладання функцій нелінійності в ряд Тейлора. Цим самим вперше було доведено, що стійкість нелінійної системи можна оцінювати за стійкістю лінеаризованої системи.

Перший метод Ляпунова включає кілька теорем, головними висновками яких є:

- якщо лінійна система першого наближення (лінеаризована система) стійка, то стійкою є і вихідна (досліджувана) нелінійна система;

- якщо лінеаризоване система нестійка, то нестійка і досліджувана нелінійна система;

- якщо лінеаризоване система знаходиться на межі стійкості, то зробити висновок щодо стійкості нелінійної системи неможливо (вона може бути як стійкою, так і нестійкою).

Перших два висновки дають можливість застосувати при дослідження нелінійної системи методи теорії лінійних систем, що значно спрощує проблему. При цьому необхідно враховувати, що перший метод Ляпунова застосовується для дослідження стійкості “в малому”. Третій висновок привів до необхідності розробки спеціального метода, який отримав назву прямого метода дослідження стійкості НЛС,

Другий метод Ляпунова О.М. є найбільш загальним і дозволяє визначити достатні умови стійкості, тобто виділити частину загальної області стійкості.

Рис. 1.16 До прямого метода Ляпунова О.М.

Головну ідею метода зручно пояснити, використовуючи фазовий простір (рис.1.16). Розглядається замкнена поверхня довільної форми, яка описується рівнянням:

(1.28)

де: - функція координат системи х1, х2...хn;

C - параметр, який визначає величину функції.

Кожному значенню С відповідає певна поверхня у фазовому просторі. При зменшенні С поверхня стискується так, що при поверхня стягується в початок координат. Тоді достатньою умовою стійкості системи буде необхідність руху точки М лише в середину поверхні, тобто в напрямку зменшення С. Це означає, що вздовж фазових траєкторій похідна буде від'ємною.

Таким чином, достатні умови стійкості за Ляпуновим формулюються так: якщо для нелінійної системи можна підібрати таку знаковизначену функцію щоб її похідна , взята вздовж фазової траєкторії, також була знаковизначеною (або знакопостійною), але мала знак, протилежний знаку V, то система стійка, причому при знаковизначеній функції - асимптотично стійка.

Знаковизначена функція у всіх точках області в околі початку координат зберігає знак і не дорівнює нулю, крім початку координат, наприклад:

Знакостійна функція не змінює знак, але може обертатись в нуль не лише на початку координат, наприклад:

Знакозмінна функція змінює знак в околі початку координат, наприклад

є додатньою для точок зправа від прямої х1= -х2 та від'ємною -зліва від прямої.

Труднощі використання прямого метода Ляпунова пов'язані з відсутністю загальних правил формування функцій V. Варто підкреслити, що функція Ляпунова - це не конкретна функція, а така, яка задовольняє умовам задачі. Крім того, поза межами області стійкості, визначеними функціями V, нічого не можна сказати про стійкість, тобто не відомо, яка частина повної області стійкості знайдена.

При дослідженні стійкості нелінійних систем використовується також критерій абсолютної стійкості В.М.Попова, коли нелінійність задається не конкретним видом, а належністю до певного класу. Статичні характеристики (рис.1.17) вважаються одного класу, якщо вони розташовані в секторі, обмеженому прямою з кутовим коефіцієнтом kн. Така постановка задачі з математичної точки зору дозволяє значно спростити дослідження системи, а також має практичне значення, коли нелінійності задані неточно або змінюються в процесі роботи.

Рис.1.17 Клас нелінійних характеристик

Критерій В.М.Попова відноситься до частотних, для чого записується частотна характеристика лінійної частини:

(1.29)

З виразу (1.29) отримують модифіковану частотну характеристику:

(1.30)

де: Tm - нормуючий множник, - поточна частота; Tm=1с.

Для нелінійної системи, яка складається з лінійної частини з АФХ і нелінійного елемента з характеристикою f(x), розташованою в секторі [0, kн], критерій абсолютної стійкості формується так: для абсолютної стійкості рівноваги достатньо, щоб модифіково-частотна характеристика не охоплювала точку (-1/ kн;0) і через цю точку можна було провести пряму, яка не перетинає характеристику .

Рис.1.18 Критерій абсолютної стійкості В.М.Попова

На рис.1.18 показані випадки: а) система стійка; б,в) нестійка.

За допомогою критерія В.М.Попова вирішується і обернена задача: будується задана характеристика , потім проводиться якомога ближче до неї пряма так, щоб отримати найменший відрізок [0;-1/ kн] і таким чином знаходять допустиме значення кутового коефіцієнта kн. За нахилом прямої, “притиснутої” до кривої , можна зробити висновок щодо допустимого класу нелінійності: якщо пряма вертикальна, то нелінійність може бути лише однозначною, а якщо нахилена - може бути довільною, в тому числі із гістерезисом.

1.7 Методи дослідження режимів роботи та якості нелінійних систем

Вище зазначалось, що однією з особливостей нелінійних систем є виникнення автоколивань, які на відміну від лінійних систем є робочим режимом і можуть підтримуватись як завгодно довго, наприклад, в нелінійних системах з релейним елементом. Таким чином, автоколивання є внутрішньою (власною) властивістю системи, тому виникає задача визначення частоти та амплітуди автоколивань, що дає можливість оцінити їх якість.

Одним з методів дослідження автоколивань є метод гармонійного балансу, заснований на методі гармонійної лінеаризації. Наприклад, коли розглядаються автоколивання у вигляді:

(1.31)

тобто без постійної складової, тобто для нелінійної ланки з непарною характеристикою і без зовнішнього збурення, яке спричиняє х0. То після гармонійної лінеаризації можна отримати лінійну ланку для якої

(1.32)

Значення Wнл(р) залежить від коефіцієнтів гармонійної лінеаризації, які в свою чергу залежать від амплітуди А та частоти автоколивань, тобто . Для типових нелінійностей існують готові формули для коефіцієнтів.

Для розімкненої системи з нелінійністю можна записати вираз:

(1.33)

тобто цим підкреслюється, що передаточна функція нелінійного елемента залежить від амплітуди хнmax та частоти . При постійній амплітуді хнmax=А=const та частоті ==const для системи, яка описується виразом (1.33), можна застосувати методи лінійної теорії керування. Для лінеаризованої системи існування автоколивань відповідає знаходження її на межі стійкості, тому для дослідження автоколивань зручно використовувати частотні критерії Найквіста та Михайлова. За критерієм Найквіста умовою знаходження системи на межі стійкості є:

(1.34)

звідки:

(1.35)

Рівняння (1.35) зручно розв'язувати графічно (рис.1.19), де визначаються точки перетину годографів і . Ці точки свідчать про існування автоколивань, крім того з в точці М1 або М2 визначається частота, а з - амплітуда автоколивань. За графіками, показаними на рис.1.19, можна зробити також висновок щодо стійкості автоколивань: в т.М2 - стійкі, в т.М1 - нестійкі.

Рис.1.19. Визначення параметрів автоколиван

Аналіз властивостей НЛС, зокрема параметрів автоколивань, здійснюється також за допомогою точкових перетворень (рис.1.20).

Рис.1.20 Метод точкових перетворень

Початкове положення зображаючої точки М0 обирається на додатній півосі х1. Після одного оберту точка може попасти в різні місця. Знаходять функцію х11=f(x10), тоді можна зробити висновки: при х11<x10 - процес збіжний, при х11=x10 - граничний цикл (автоколивання), х11>x10 - розбіжний процес. На рис.1.20,б розбіжний процес відповідає відрізкові між т.1 і т.2. Різні стани НЛС демонструє рис.1.20,в: 1- відповідає рис.1.20,б; 2 - в НЛС можливі автоколивання; 3 - НЛС стійка в цілому.

При дослідженні стаціонарних режимів НЛС під дією детермінованих сигналів зберігаються основні положення, отримані для лінійних систем: вплив коефіцієнтів передачі, порядку астатизму, компенсації зовнішніх збурень. В той же час необхідно врахувати наявність нелінійних статичних характеристик (рис.1.21): 1 - з гістерезисом, 2 - з зоною нечутливості.

Рис.1.21. Нелінійні статичні характеристики

Наближеною оцінкою точності НЛС є відношення

(1.36)

яке характеризує статизм системи, причому це відношення змінне.

Рис.1.22 Вплив зворотніх зв'язків на характеристики НЛС

Застосовуючи різні зворотні зв'язки, можна змінювати властивості системи. На рис.1.22,а показана схема із зустрічно-паралельним з'єднанням елементів, причому зворотній зв'язок може бути як додатнім, так і від'ємним. На рис.1.22,б показані статичні характеристики: 1 - ланки 1: х=f; 2 - ланки 2: хзз=f2(x). З урахуванням залежностей:

(1.37)

(1.38)

будуються характеристики системи: 3 - при від'ємному зворотньому зв'язку, 4 - при додатному.

В результаті отримують висновки: від'ємний зворотній зв'язок зменшує крутизну результуючої характеристики, а додатній - збільшує. Це ж стосується нелінійностей.

Для оцінки точності статичного режиму НЛС використовується такий метод: для замкненої системи “об'єкт-пристрій управління” (рис.1.23,а) будують статичні характеристики X=f1(U) при різних значеннях збурення Zi (рис.1.23,б).

Рис.1.23 Оцінка статичного режиму НЛС

На ці характеристики наносять статичні характеристики пристрою управління U=f2(X). Точки перетину дають можливість побудувати результуючу характеристику Х=f3(Z), за якою можна визначити оцінку при . Криві 2 та 2' характеризують відсутність керування. При збільшенні коефіцієнта передачі ПУ та введені інтегруючої ланки система стає астатичною (криві 3; 3'). Криві 1,1' характеризують проміжний режим роботи системи. Можна побудувати також статичні характеристики системи відносно . В результаті отримують оцінки впливу нелінійностей та нестабільності окремих ланок на властивості системи, що дає можливість взаємно узгодити характеристики окремих частин системи.

Для оцінки точності НЛС при дії випадкових сигналів передбачається, що зовнішній сигнал є стаціонарним

(1.39)

і високочастотна складова характеризується відомою оцінкою спектральної щільності . Під впливом цього збурення виникає випадковий сигнал похибки:

(1.40)

Застосовуючи метод статистичної лінеаризації, отримують оцінки:

(1.41)

(1.42)

Постійну складову сигналу похибки визначають, застосовуючи теорему про кінцеве значення оригіналу в перетворенні Лапласа

(1.43)

Випадкову складову сигналу похибки характеризує оцінка дисперсії:

(1.44)

В праву частину рівнянь (1.43), (1.44) входять коефіцієнти статистичної лінеаризації k0 і k1, які в свою чергу залежать від оцінок mg і :

(1.45)

(1.46)

Останні чотири рівняння (1.43) - (1.46) розв'язують спільно, наприклад, методом послідовних наближень. Якщо в системі виникають автоколивання, то необхідно використовувати спільно методи статистичної і гармонійної лінеаризації.

Якість перехідних процесів НЛС оцінюється такими ж показниками, як і для лінійних систем (динамічна та статична похибка, тривалість перехідного процесу, коливальність і інш.), але при цьому необхідно насамперед враховувати величину зовнішнього сигналу. Найбільш ефективним методом дослідження якості НЛС є використання комп'ютерних технологій.

Контрольні запитання

1. Які системи називають нелінійними і які їх особливості?

2. Що таке типові нелінійності і за якими ознаками їх класифікують?

3. В чому полягають особливості проходження гармонійного сигналу через нелінійну систему?

4. В яких координатах будуються фазові траекторії нелінійних систем?

5. Які особливості точки фазових траекторій і існують в нелінійних системах?

6. Наведіть приклад відповідності перехідних процесів і фазових траекторій.

7. Які особливості мають фазові траекторії нелінійних систем?

8. За яких умов в нелінійних системах можуть виникати і підтримуватись автоколивання?

9. Наведіть приклад проходження випадкового сигналу через нелінійну систему.

10. На яких залежностях будується метод статистичної лінеарізації?

11. Як визначаються коефіцієнти статистичної лінеарізації?

12. Охарактеризуйте процедуру гармонійної лінеарізації.

13. Поясніть принцип та ефект вібраційної лінеарізації.

14. Сформулюйте загальну постановку проблеми дослідження стійкості ща Ляпуновим О.М.

15. В чому полягає зміст першого та другого методів Ляпунова О.М.дослідження стійкості нелінійних систем?

16. Як формулюється критерій абсолютної стійкості?

17. Як досліджуються автоколивання в нелінійних системах?

18. Як оцінюється точність нелінійної системи в статичному режимі при детермінованих чи випадкових ділянках?

2. Підвищення якості автоматичних систем керування. Особливі системи

2.1 Корекція динамічних властивостей АСР

Корекція - цілеспрямовані змінювання структури та параметрів АСР для забезпечення необхідних вимог щодо точності, якості або стійкості. Так для підвищення точності в усталених режимах за допомогою корекції можна збільшувати коефіцієнти передачі або порядку астатизму при збереженні стійкості та необхідних показників якості перехідних процесів. За допомогою корекції можливо надати стійкість також нестійким системам та розширити області стійкості і підвищення якості.

За способом включення ланок корекції розрізняють послідовні і паралельні (за допомогою зворотніх зв'язків) структури (рис.2.1). На рисунку позначено

Рис. 2.1 Способи включення ланок корекції; а) послідовно; б) паралельно; в) із зворотнім зв'язкомї

- передаточна функція основних ланок системи; - відповідно передаточні функції ланок корекції та зворотнього зв'язку.

Дія ланок корекції проявляється так:

- введення в систему сигналів за похідними чи інтегралами;

- охоплення зворотніми зв'язками окремих частин системи;

- введення сигналів за зовнішніми діяннями та їх похідними.

Для послідовних включень використовуються спеціальні ланки корекції:

Пропорційно - диференціальні;

Пропорційно - інтегральні;

Комбіновані.

Наприклад, для послідовного включення використовується пропорційно диференціальна ланка з передаточною функцією:

(2.1)

В передаточній функції (2.1) може бути і друга похідна, такі ланки можуть також з'єднуватись послідовно. Приймаючи до уваги, що передаточна функція розімкненої системи в цьому випадку буде:

(2.2)

можна отримати характеристичний поліном:

(2.3)

де:

(2.4)

Часто , тому введення пропорційно - диференційної ланки змінює коефіцієнт передачі системи, що приводить до зміни умов стійкості та показників якості, а саме: можна структурно нестійку систему перетворити на стійку.

Коли послідовно з'єднані пропорційно - диференціювальна ланка корекції і аперіодична ланка, то:

(2.5)

Прехідна функція такого з'єднання буде:

(2.6)

де: - перехідна функція аперіодичної ланки.

На рис. 2.2. показані перехідні функції для різних значень :

1- від'ємна дія за похідною;

2- додатня дія за похідною;

3- при збільшенні в два рази;

4- для ідеальної безінерційної ланки;

Рис.2.2 Перехідні функції системи

Від'ємне діяння за похідною зменшує швидкодію, а додатнє - збільшує. Інерційність основної ланки частково компенсується, а при виникає ідеальна безінерційна ланка (крива 4):

(2.7)

Для інерційних ланок довільного порядку необхідно вводити додаткові похідні, але похідні вище другого поряку практично не реалізуються. Додатня дія за похідною, тобто швидкістю змінювання вихідного сигналу збільшує його, поки він зростає та зменшує його (віднімання з нього), поки він зменшується. Таким чином, ця дія форсує протікання перехідного процесу, прискорює його. Від'ємна дія уповільнює перехідний процес.

Пропорційно - диференціальна ланка корекції є фільтром верхніх частот, тобто амплітуда вихідного сигналу зростає при зростанні частот, тому розширюється смуга пропускання частот.

Для послідовної корекції використовуються і спеціальні ланки з відповідими передаточними функціями:

- інтегральна

(2.8)

- диференціальна

(2.9)

- інтегрально - диференціальна

(2.10)

Застосовуючи різні ланки корекції, можна змінювати властивості систем в потрібному напрямі. Інтегральні ланки корекції:

- пропускають низькі частоти і придушують високі, тобто стабілізують систему в області середніх і високих частот за рахунок зменшення коефіцієнта передачі;

- підвищують точність стійкої системи в усталених режимах. При цьому за рахунок зменшення коефіцієнта підсилення в області середніх частот можна для підвищення точності збільшувати загальний коефіцієнт передачі;

- зменшують зсув за фазою у вузькій області частот, тому за рахунок параметрів настройок можна отримати різні амплітудно - частотні характеристики в області суттєвих частот.

Диференціальні ланки корекції дозволяють:

- зменьшувати фазовий зсув в області частот зрізу;

- підвищити швидкодію системи, при цьому частота зрізу зміщується вправо по осі частот;

- найбільш суттєво стабілізувати систему при максимальному зсуві за фазою [+400;-400].

Інтегрально - диференціальні ланки мають більш широкі можливості, особливо в області середніх (суттєвих) частот.

Паралельні корекції - це фактично різні зворотні зв'язки. В першу чергу необхідно звернути увагу на фундаментальну властивість систем із зворотнім зв'язком (рис.2.3). Передаточна функція такого з'єднання буде

(2.11)

Рис.2.3 Охоплення елемента зворотнім зв'язком

Передаточну функцію подамо у вигляді: , тоді

(2.12)

Приймаючи коефіцієнт передачі достатньо великим , наближено буде:

(2.13)

тобто при великих значеннях коефіцієнта передачі динамічні властивості системи фактично визначаються властивостями зворотнього зв'язку і не залежать від властивостей прямої ділянки. (гранична система). Це особливо важливо, коли нестабільна, тоді зворотній зв'язок застосовується для стабілізації системи. Раніше розглядалась проблема формування потрібних законів керування за допомогою зворотніх зв'язків.

Розглянемо кілька прикладів, які виясняють вплив зворотніх зв'язків на властивості системи.

Приклад 1. Підсилювальна ланка охоплена гнучким зворотнім зв'язком, тоді

(2.14)

де

Таким чином отримана астатична система з ПІ - законом (при ).

Приклад 2. Аперіодична ланка охоплена жорстким зворотнім зв'язком , тоді

(2.15)

де

Цей випадок характеризує роботу П - регулятора на об'єкті перщого порядку із самовирівнюванням. Видно, що зменшується інерційність системи, підвищується швидкодія.

Приклад 3. Інтегральна ланка охоплена жорстким зворотнім зв'язком, тоді

(2.16)

де

Інтегральна ланка перетворюється в аперіодичну, але при додатньому зв'язку буде нестійка ланка.

Зворотнім зв'язком можуть охоплюватись окремі нестабільні ланки або елементи із значними коефіцієнтами передачі, а також системи вцілому. За рахунок зворотніх зв'язків можна зменшувати також порядок астатизму системи.

Для синтезу ланцюгів корекції частот використовуються логарифмічні частотні характеристики, для чого:

- будують бажану логарифмічну частотну характеристику (для мінімально-фазових систем достатньо побудувати амплітудно - частотну характеристику);

- будують логарифмічну амплітудно - частотну характеристику існуючої системи, яка складається з функціонально необхідних елементів;

- визначають логарифмічну амплітудно-частотну характеристику ланки корекції.

Наприклад, для послідовної ланки корекції передаточна функція системи буде

(2.17)

де - відповідно передаточна функція вихідної системи і ланка корекції.

Тоді:

(2.18)

а логарифмічна частотна характеристика ланки корекції буде:

(2.19)

2.2 Багатоконтурні системи

Для складних багатоємнісних об'єктів із численними внутрішніми зв'язками між координатами стану необхідно застосовувати автоматичні системи керування, в структуру яких додатково вводяться необхідні зв'язки та елементи.

Багатоконтурними системами називають такі, в структурі яких узгоджено функціонують два і більше автоматичних регуляторів та додаткових пристроїв. До таких систем відносяться:

- автономні;

- інваріантні;

- каскадні;

- з додатковими сигналами з проміжних точок.

Для кожної з цих систем необхідно визначити: структуру та параметри окремих елементів, а також оцінити можливість їх фізичної реалізації.

Автономні систем призначені для автоматизації об'єктів, які характеризуються взаємозв'язаними координатами чи вихідними величинами, що викликається внутрішніми зв'язками в об'єкті (рис.2.4). На структурній схемі показані регульовані змінні х1 та х2, кожна з яких сприймає сигнали „власного” та „чужого” регулятора відповідно через передаточні функції та .

Рис.2.4 структурна схема автономної системи

На схемі позначено: - передаточні функції регуляторів; - передаточні функції пристроїв компенсації (компенсаторів). Передаточні функції та характеризують прямі канали, передаточні функції - перехресні. Саме ці перехресні канали зв'язують через об'єкт регулювання кординати х1 та х2. Такі зв'язки приводять до того, що регулювання однієї з координат приводить до виникнення перехідних процесів по іншій, тобто перехресні зв'язки погіршують якість системи керування.

Структуру і параметри системи із взаємозв'язаними координатами обирають так, щоб обидва контури були автоматичними (незалежними, сепаратними). Для цьго в структурну систему включають компенсатори з передаточними функціями та . На рис.2.4 компенсатори включені послідовно з автоматичними регуляторами, і через них здійснюється зв'язок між контурами системи. При заданій структурі системи необхідно визначити передаточні функції компенсаторів та їх параметри. Якщо під дією збурення Z змінюється кордината х1, це викликає перехідний процес по х2: