Влияние квантования по времени на свойства цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

Влияние квантования по времени на свойства цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора

С.А. Стариков

Применим математический аппарат z-преобразований [1] для исследования влияния процесса квантования по времени на свойства электромагнитных опор, оснащенных цифровой двухконтурной системой управления [2].

Структурная схема одного канала такой системы управления с учетом импульсного характера передачи сигналов представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема одного канала цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора с учетом импульсного характера передачи воздействий

На структурной схеме приняты следующие обозначения: ИЭ1 - импульсный элемент первого рода, который непрерывную функцию времени превращает в решетчатую; ИЭ2 - идеальный импульсный элемент второго рода, преобразующий дискретную последовательность в последовательность -функций , т. е. последовательность бесконечных по высоте и бесконечно коротких импульсов. Экстраполятор Э превращает эти импульсы в постоянные в течение такта значения , которые воздействуют на объект управления.

Введение в структурную схему идеального импульсного элемента второго рода сделано с целью формального изображения экстраполятора в виде динамического звена с передаточной функцией . Цифровое управляющее устройство представлено дискретными передаточными функциями регуляторов , , сравнивающими устройствами и передаточной функцией дифференцирующего звена .

Дискретная передаточная функция пропорционально-дифференциального регулятора, осуществляющего вычисление производной как первой обратной разности,

,

где - период дискретизации, и - коэффициент передачи и постоянная времени пропорционально-дифференциального регулятора, - комплексная переменная.

Полагая, что дифференцирующее звено также использует в своем алгоритме работы первую обратную разность,

,

где - коэффициент передачи обратной связи по скорости.

Функция экстраполятора в рассматриваемой системе управления возложена на цифровой широтно-импульсный модулятор силового преобразователя, питающего обмотки электромагнитов. Известно [1], что применение более сложного экстраполятора, чем экстраполятор нулевого порядка, в цифровых системах управления ничем не оправдано. Поэтому найдем дискретную передаточную функцию непрерывной части системы управления электромагнитным подвесом ротора именно с учетом экстраполятора нулевого порядка.

В рассматриваемом случае непрерывная часть системы представлена передаточной функцией одной оси электромагнитного подшипника по отношению к управляющему воздействию [3]:

,

где - изображение перемещения ротора в поле электромагнитов; - изображение управляющего сигнала на входе силового преобразователя; - коэффициент передачи широтно-импульсного модулятора; - опорное напряжение силового преобразователя; - коэффициент передачи, связывающий силу, действующую на ротор со стороны электромагнитов при его центральном положении, с соотношением токов в электромагнитах; - коэффициент передачи, характеризующий изменение силы, действующей на ротор, при его отклонении от центрального положения; - масса ротора; - постоянная времени электрической цепи обмоток электромагнитов; - коэффициент передачи, определяющий приращение наводимой в обмотках электромагнитов э.д.с. со скоростью перемещения ротора в магнитном поле.

Поскольку как минимум один коэффициент характеристического полинома этой передаточной функции является отрицательным, то электромагнитный подшипник представляет собой неустойчивый объект управления, что, впрочем, объясняется наличием положительной обратной связи с коэффициентом передачи . Как правило, передаточную функцию электромагнитного подвеса ротора можно представить в виде последовательно соединенных неустойчивого апериодического [4] и колебательного звеньев

,

где - коэффициент передачи объекта управления; - постоянная времени неустойчивого (с отрицательным самовыравниванием) апериодического звена; - постоянная времени колебательного звена; - параметр затухания.

Дискретная передаточная функция непрерывной части в случае использования экстраполятора нулевого порядка находится по известному правилу [1]

.

В соответствии с формулами (3) и (4) дискретная передаточная функция процесса перемещения ротора в поле электромагнитов с учетом экстраполятора нулевого порядка определится выражением

.

Разложим выражение в фигурных скобках (5) на сумму элементарных дробей вида ; и :

.

Для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C и D приведем правую часть выражения (6) к общему знаменателю и приравняем числитель полученной дроби к 1:

.

Анализ выражения (7) показывает, что в нем будет наблюдаться равенство при и выполнении системы уравнений

Решая (8) относительно коэффициентов B, C и D, получим:

;

;

.

Следовательно, в соответствии с выражениями (5), (9), (10) и (11) дискретная передаточная функция объекта управления с учетом экстраполятора нулевого порядка

.

Определяя по таблицам z-преобразований [1] изображения элементарных дробей и подставляя их в (12), после несложных преобразований получим

,

; ; ;

; ;

.

При переходе к z-преобразованиям структурная схема цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора принимает вид, приведенный на рис. 2.

; ; .

Учитывая, что правила преобразования структурных схем цифровых систем управления аналогичны правилам преобразования структурных схем непрерывных систем, найдем дискретную передаточную функцию первого (внутреннего) замкнутого контура

,

Рис. 2. Структурная схема цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора при переходе к дискретным передаточным функциям

где ; ;

; ;

;

;

;

; ; .

Дискретная передаточная функция внешнего контура

,

где ; ;

; ;

;

;

;

; ; .

Полученная передаточная функция (13) показывает, что цифровая двухконтурная система управления электромагнитным подвесом ротора имеет характеристический полином пятого порядка. Очевидно, что на устойчивость цифровой системы будет оказывать влияние величина периода дискретизации . Найдем зависимость граничных значений периода в функции параметров системы управления. В устойчивой цифровой системе корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше 1, то есть должны лежать внутри круга единичного радиуса плоскости корней z [1]. Для рассматриваемой системы характеристическое уравнение имеет вид

.

Использование известных критериев устойчивости для уравнения (14) невозможно. Поэтому подстановкой

перейдем от комплексной величины z к комплексной величине w:

.

Эта операция отображает внутреннюю часть круга единичного радиуса на левую половину w-плоскости [1], что позволяет использовать известные алгебраические критерии для характеристического уравнения (15). Умножая левую и правую часть (15) на , после несложных преобразований получим. электромагнитный ротор цифровой регулятор

,

где ; ;

;;

; .

Для преобразованного характеристического уравнения (16) можно применить критерий устойчивости Гурвица, в соответствии с которым необходимым и достаточным условием устойчивости рассматриваемой системы является положительность всех коэффициентов , , , , , и выполнение двух неравенств [4]

Как правило, второе неравенство в (17) является наиболее жестким для выполнения условия устойчивости. Дальнейшее преобразование неравенств системы (17) бессмысленно из-за сложности выражений и завуалированности параметра под знаками косинуса, синуса и показательной функции. Поэтому целесообразно искать граничные значения численными методами.

Граничные значения можно также найти путем непосредственной оценки корней характеристического уравнения (14). Тем не менее применение условий устойчивости в виде (17) более удобно, поскольку не требует дополнительных затрат на вычисление модуля комплексно-сопряженных корней уравнения (14).

При параметрах электромагнитного подвеса Вс/м; Н; Н/м; кг; с; В; с; с; ; и вариации коэффициентов и передачи регуляторов найдены значения периода дискретизации, при которых цифровая двухконтурная система управления будет находиться на границе устойчивости (см. таблицу).

Зависимость граничного значения периода квантования от величины и

Анализ данных таблицы показывает, что при увеличении коэффициентов передачи регуляторов необходимо увеличивать частоту квантования по времени.

Рис. 3. График переходного процесса по управляющему воздействию в цифровой двухконтурной системе управления электромагнитным подвесом ротора

Например, при она должна превышать 58,823 кГц, что достичь как программными, так и аппаратными цифровыми средствами проблематично. Поэтому, ограничиваясь максимальными значениями коэффициентов передачи регуляторов и выбирая период дискретизации с, найдем численные значения дискретной передаточной функции цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора:

.

График переходного процесса по управляющему воздействию (рис. 3), построенный в соответствии с выражением (18), показывает, что время переходного процесса составляет с, а перерегулирование - %.

Выбор обеспечивает показатели качества переходного процесса, близкие к техническому оптимуму. Следует отметить, что при предлагаемом подходе к выбору параметров регуляторов и периода дискретизации требования теоремы Котельникова выполняются автоматически.

Библиографический список

Бесекерский В.А., Ефимов Н.Б., Зиатдинов С.И. и др. Микропроцессорные системы автоматического управления / Под общ. ред. В.А. Бесекерского. - Л.: Машиностроение, 1988. - 365 с.

Патент России № 2375736, МКИ7 G05B11/36, H02K7/09, H02P6/16. Система управления электромагнитным подвесом ротора / Ю.А. Макаричев, А.В. Стариков, С.А. Стариков (Россия) // Опубл. 10.12.2009, Бюл. № 34.

Макаричев Ю.А., Стариков А.В. Теоретические основы расчета и проектирования радиальных электромагнитных подшипников. - М.: Энергоатомиздат, 2009. - 150 с.

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. - 768 с.

Аннотация

Рассмотрена математическая модель цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора. Найдены дискретные передаточные функции непрерывной части системы с учетом экстраполятора нулевого порядка, цифровых регуляторов и замкнутой системы управления. Определены значения периода дискретизации, при которых цифровая система управления находится на границе устойчивости.

Ключевые слова: электромагнитный подвес, цифровая система управления, структурная схема, дискретная передаточная функция, экстраполятор нулевого порядка, период дискретизации.