Расчет пространственного потока в рабочем колесе поворотно-лопастных гидротурбин осевого типа

Размещено на http://www.allbest.ru/

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОТОКА В РАБОЧЕМ КОЛЕСЕ ПОВОРОТНО-ЛОПАСТНЫХ ГИДРОТУРБИН ОСЕВОГО ТИПА

С.Д. Косторной, проф.; А.К. Давиденко, асп.

С созданием и совершенствованием ЭВМ начинают развиваться различные методы численного моделирования трехмерного течения жидкости в проточной части гидромашин.

Одним из хорошо развитых и широко используемых методов расчета гидродинамических характеристик различных объектов является метод дискретных вихрей. Он позволяет определять стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные гидродинамические характеристики тел как при безотрывном, так и при отрывном обтекании.

В [1] предложено решение методом дискретных вихрей прямой пространственной задачи в проточной части гидравлической турбины с учетом влияния всех элементов.

Настоящая работа посвящена разработке алгоритма решения и численной реализации данного подхода применительно к рабочему колесу.

Постановка задачи

Рассмотрим движение рабочего колеса с лопастями произвольной формы и конечной толщины в вязкой несжимаемой среде с частотой вращения n и имеющей в сечениях I и II нормальные скорости V₁,V₂=f(x,y,z,t) (рис.1).

Введем связанную с рабочим колесом правую систему координат ОXYZ, поместив начало координат и направив ось ОY по оси вращения, а ось ОZ совместив с осью поворота лопасти.

Пусть в некоторый момент времени t=0 граничные условия на рабочем колесе начинают изменяться по произвольному закону, причем

W_n = f(x₀,y₀,z₀,t). (1.1)

Здесь W- нормальная составляющая относительной скорости в точке на поверхности рабочего колеса с координатами x₀,y₀,z₀; t - время; f(x₀,y₀,z₀,t) - известная функция координат и времени.

При обтекании лопасти вязким потоком течение будем делить на две области: область невязкого течения вне лопасти и пограничного слоя и область вязкого течения в пограничном слое. Пусть в общем случае отрывного обтекания поток сходит с задней кромки лопасти, а также с тыльной поверхности (рис.1). Это приводит к движению жидкости с образованием поверхностей тангенциального разрыва скорости - вихревых пелен. Пусть эти поверхности описываются уравнениями вида _i(x,y,z,t)=0, (i=1,2,3,...), а уравнение поверхности лопасти имеет вид S (x₀,y₀,z₀) = 0.

Предположим, что везде вне поверхности рабочего колеса, пограничного слоя и вихревого следа течение является безвихревым. Тогда для потенциала возмущенных скоростей (x,y,z,t) справедливо уравнение Лапласа

вне S и _i. (1.2)

На поверхности рабочего колеса и турбинной камере необходимо выполнить условие непротекания

(1.3)

Здесь - оператор Гамильтона; вектор скорости движения точек рабочего колеса; орт внешней нормали к поверхности рабочего колеса S в рассматриваемой точке.

При переходе через поверхности t_i вихревого следа должно соблюдаться условие непрерывности давления и нормальной составляющей скорости

(1.4)

Индексы (+) и (-) обозначают разные стороны поверхностей t_i.

На задних кромках лопастей, с которых сходят вихревые пелены, должна выполняться гипотеза Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей. Обозначив через L_s линию схода потока кромок, запишем:

(1.5)

Кроме того, поскольку рассматривается нестационарная задача, то в любой момент времени должна выполняться теорема Томпсона о неизменности циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, проведенному через одни и те же частицы жидкости.

Следовательно, расчет гидродинамических характеристик лопастей рабочего колеса сводится к нахождению потенциала возмущенных скоростей (x,y,z,t), удовлетворяющего всем перечисленным выше условиям, которые должны выполняться в каждый расчетный момент времени для рассматриваемого нестационарного движения рабочего колеса. Кроме того, в каждый расчетный момент необходимо знать положение линии L_s отрыва потока с верхней поверхности крыла (рис.1). Сформулированная задача является нелинейной. Для рабочего колеса это означает, что на величину угла атаки a, кривизну и толщину лопасти ограничения не накладываются. При этом граничное условие (1.1) выполняется непосредственно на поверхности рабочего колеса, а вихревой след за лопастью может деформироваться.

Заменим поверхности S и t_i непрерывным вихревым слоем с напряженностью (x,y,z,t) и с произвольным направлением осей. Тогда поле скоростей, индуцируемых этим слоем, удовлетворяет уравнению Лапласа (1.2) и обеспечивает непрерывность нормальной составляющей скорости на t_i. Для выполнения динамического условия на следе последний рассматривается в виде свободной вихревой поверхности. Тогда в соответствии с теоремой Жуковского "в малом" на этой поверхности отсутствует перепад давлений, и она движется вместе с жидкостью.

Для определения (x,y,z,t) на S и t_i используются граничное условие (1.1), гипотеза Чаплыгина-Жуковского (1.5), начальные условия задачи, а также теорема о неизменности циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Величины, входящие в условия (1.2) - (1.5), зависят от формы поверхностей t_i. В свою очередь, пространственная форма следа может быть определена, если известна напряженность (x,y,z,t). Для определения линии L_s отрыва потока с тыльной поверхности лопасти необходимо привлечь механизм вязкого взаимодействия.

Метод расчета, вычисление скоростей и выполнение граничных условий

В методе дискретных вихрей поверхность обтекаемого тела S и поверхность вихревых пелен s моделируются системами вихревых отрезков, а потенциальность поля скоростей вне S и s достигается построением гидродинамически замкнутых вихревых систем в виде замкнутых вихревых рамок, каждая из которых моделирует отдельный охватываемый ею элемент (ячейку) вихревых поверхностей S и s (рис.1).

Пусть N и N_s - общее число таких многоугольников на S и на s соответственно. Тогда вектор скорости определяется суммированием скоростей от всех этих рамок.

. (2.1)

Здесь скорости вычисляются по формуле Био-Савара

(2.2)

В которой - периметр вихревой рамки с заданным направлением обхода.

Интегралы в (2.2) по прямолинейным отрезкам (сторонам рамки) вычисляются, и в этом случае выражение для скорости имеет следующий вид:

.

Здесь - радиусы-векторы вершин вихревого m-угольника S_i (s_i).

Для вихревого отрезка общего положения с точками M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) на концах проекции индуцируемые им скорости на оси координат в точке М (x,y,z) вычисляются по следующим формулам:

(2.4)

,

А проекции индуцируемой скорости от вихревой рамки определяются суммированием одноименных составляющих от каждого отрезка рамки. Граничное условие непротекания для расчетных точек T_i c радиусами- векторами r_0i (i=1,2,...,N ), расположенных в середине вихревой рамки и обозначенных на рис.1 крестиками, записывается следующим образом:

(2.5)

где косинусы углов с осями координат, которые определяют в любой расчетной точке нормаль к плоскости, проходящей через три точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), определяются следующими выражениями:

.

,

,

,

на неподвижной поверхности S,

на поверхности, вращающейся с переносной скоростью ,

= или во входном и выходном сечениях проточной части.

Если ввести матрицы:

(2.7)

, (2.8)

тогда (2.5) запишется в матричном виде:

WГ + W Г = B (2.9)

или в эквивалентном виде:

WГ =B - W Г_. (2.10)

Равенство (2.10) рассматривается как система линейных алгебраических уравнений и используется для определения циркуляций Г₁, Г₂,..., Г_N на S.

Условие Чаплыгина-Жуковского на заданных участках L выполняется следующим образом. В случае, если ? сходит с поверхности S, точка отрыва, на которой определяется по методу Труккенброта соответствующая циркуляция Г_m, принимается равной разности циркуляций соответствующих вихревых рамок, примыкающих к линии схода (рис.1):

Г_m = Г_n1- Г_n2, (2.11)

которые берутся из предыдущего расчетного шага. При сходе ? с кромки S циркуляции Г_m присваивается значение соответствующей примыкающей Г_n, также получаемой из предыдущего расчетного шага. Для стационарных задач вихревые отрезки на кромке взаимно уничтожают друг друга. В этом случае ближайшей к кромке оказывается расчетная точка Т_n, что и соответствует условию Чаплыгина-Жуковского в методе дискретных вихрей [2].

Граничные условия на пелене s, как обычно, удовлетворяются тем, что вихревые отрезки перемещаются с местной скоростью жидких частиц.

гидродинамический жидкость турбина скорость

Список литературы

Косторной С.Д. и др. Моделирование течения жидкости в проточной части гидравлической турбины // Гидравлические машины, Выпуск 24, 1990. -С.10-16.

2. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М.: Наука, 1985. - 256 с.

Размещено на Allbest.ru