Комп’ютерне та математичне моделювання фізико-хімічних процесів підземної гідромеханіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Комп'ютерне та математичне моделювання фізико-хімічних процесів підземної гідромеханіки

1. Постановка задачі

Розглянемо клас задач, пов'язаних з вивченням процесів розчинення та вимивання солей і карстових порід, які залягають в основах гідротехнічних та енергетичних споруд у вигляді окремих пластів, або сольових включень. При цьому розглянуті в даній роботі сольові включення моделюють процеси розчинення, вимивання та винесення солей і карстових порід в межах моделей абсолютно непроникного та сильно проникного тіл. Фільтраційне середовище вважається недеформованим однорідно-ізотропним або неоднорідно-анізотропним.

Математичну модель переносу солей в однорідно-ізотропних середовищах в фізичній площині в загально прийнятих позначеннях, як відомо [1-6], можна описати системою диференціальних рівнянь

при таких крайових умовах на межі області фільтрації G_Z :

, (3)

або . (4)

На межі розчинення сольового пласта (або включення) задається концентрація граничного насичення

, (5)

або більш строга (балансова) гранична умова [6], отримана на основі умови балансу солі на межі фронту розчинення сольового пласта, яка в порівнянні з (5), адекваніше описує процеси розчинення,

, (6)

де d - товщина дифузійного примежевого шару, що утворюється в околі фронту розчинення, v_n - нормальна складова вектора швидкості фільтрації;

, (7)

де - обмежені достатньо гладкі функції, які задовольняють умовам узгодження на негладких межах області .

Оскільки вздовж лініі течіі нормальна складова швидкості фільтрації n_n=0, то з (6) отримаємо

. (8)

У випадку невеликих значень критерія Пекле, розв'язок крайовоі задачі (1)--(7) знаходиться різницевими методами [5-6]. Розв'язок крайової задачі (1)-(8) шукається згідно ефективної методики переходу до області комплексного потенціалу [2] з наступним розв'язанням задачі в криволінійних координатах [8,9]. Згідно цього крайова задача (1)-(8) в безрозмірних криволінійних координатах області зведеного комплексного потенціалу w=j+y, де y - функція течії, має вигляд

, (9)

(10)

(11)

c(0,y,t)=c_{1 , , ,} (12)

c(j,Q,t)=1 або , (13)

c(j,y,0)=c₀ , (14)

де Q - повна фільтраційна витрата рідини, яку потрібно знайти в ході розв'язання даної задачі, g₁(x,y)=0 - рівняння підземного контуру гідротехнічної споруди.

Координати x_i,j ,y_i,j , , внутрішніх вузлів різницевої гідродинамічної сітки визначаються із розв'язку двох різницевих задач [8,9]

(15)

Де s=0,1,2,…- номер ітерації; L - різницевий оператор Лапласа,різницевий оператор Коші-Рімана або більш загальний еліптичний оператор, визначений на прямокутній сітці на п'ятиточковому шаблоні “хрест” або дев'ятиточковому шаблоні типу “ящик”; під u розуміється x або y.

Чисельний розв'язок (15) знаходиться методом послідовної верхньої релаксації [7].

В [8,9] розроблено три алгоритми побудови різницевої гідродинамічної сітки фільтраційного потоку. Один із них грунтується на чисельному розв'язанні послідовності двох задач Діріхле для рівняння Лапласа, другий - на чисельному розв'язанні послідовності двох задач для системи Коші-Рімана, третій - на чисельному розв'язанні послідовності двох задач для більш складнішого еліптичного оператора.

В результаті багатократного взаємозв'язаного чергування ітераційних процесів перерахунку координат внутрішніх вузлів з однієї сторони, і координат “плаваючих” вузлів - з іншої, отримаємо шукану різницеву гідродинамічну сітку.

Для крайової задачі (11-(14) на отриманій різницевій сітці побудована монотонна різницева схема задачі масопереносу розчинених речовин та отримано її розв'язок локально-одновимірним мотодом О.А.Самарського. У внутрішніх вузлах різницевої гідродинамічної сітки, наприклад, різницеві рівняння мають вигляд

(16)

(17)

Неважко показати, що при достатній гладкості розв'язку задачі (11)-(14), отримана різницева схема адитивна і володіє сумарною апроксимацією порядку O(h²+t), h=max(h₁,h₂), стійка по початкових і граничних даних і правій частині, а також рівномірно збігається з вказаними точностями в класі неперервних коефіцієнтів. Розв'язок “одновимірних” різницевих схем знаходиться методом прогонки.

Проведено чисельний експеремент для таких значень безрозмірних параметрів: D_m=10^-6, l₁=0.5, b=5, l₁=1, l₂=0.1, аналіз результатів якого при варіації різних параметрів показав, що повздовжня дисперсивність l₁ незначно впливає в порівнянні з поперечною дисперсивністю l₂ на величини потоків солі з крівлі пласта та на деформацію пласта.

В результаті розміреного розрахунку для параметрів 2l=10 м, b=50 м, l₁=10 м, l₂= 1 м, H=10 м, q=1 м/добу, s=0.4, g=0, r_с=2.2Ч10³ кг/м³, с_m=2 кг/м³,c_o=0 встановлено, що на протязі трьох років експлуатації гідротехнічної споруди відбувається стабілізація значень потоків солі з крівлі пласта. Так, наприклад, максимальне значення потоку змінюється від величини 0.0318 кг/м/добу до величини 0.0183 кг/м/добу. Максимальна величина деформації пласта досягається під серединою флютбета і становить 0.15 м за 50 років експлуатації гідротехнічної споруди. При збільшенні товщини дифузійного примежевого шару d зона повного розчинення зменшується в порівнянні з товщиною зони повного розчинення у випадку задання на межі фронту розчинення граничної умови (5).

Література

фізичний порода гідротехнічний споруда

Веригин Н.Н., Шержуков Б.С. Диффузия и массообмен при фильтрации жидкостей в пористых средах // Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). - М.: Наука,. 1969. - С. 237-313.

Лаврик В.И. О двух краевых задачах неустановившейся конвективной дифузии в случае фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью// Укр. мат.журнал-1976. -28, №5.-С. 667-681.

Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах.-Киев: Наук.думка, 1991.- 432 с.

Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопереноса в пористых средах.-Киев: Наук. думка, 1991.-262 с.

Власюк А.П. Чисельне розв'язання задачі розчинення та винесення пластових солей з основи гідротехнічних споруд // Доп НАН України. -1995. - №7.-С. 37-39.

Власюк А.П. Теоретичне дослідження процесів розчинення та вимивання солей і карстових порід при фільтрації підземних вод в областях з криволінійними та вільними границями//Автореф. доктора техн.наук.-Київ, 1996.-43 с.

Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. -М.: Наука, 1989.- 432 с.

Власюк А.П., Михальчук В.Г. Автоматическое построение конформных и квазиконформных отображений четырехугольных областей с помощью разностных сеток с “плавающими” узлами . -Киев, 1989 -55с. - (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 89.79).

Власюк А.П.,Михальчук В.Г. Чисельне розв'язання одного класу задач з вільними межами в криволінійних чотирикутниках для еліптичних систем рівнянь . -Київ, 1994. -24 с. - (Препр./ НАН України. Ін-т математики; 94.36).

Размещено на Allbest.ru