Разработка модели термодинамической системы на основе теории подобия и метода Монте-Карло в технологии параллельных вычислений CUDA

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.321

ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», Иваново, Россия

Разработка модели термодинамической системы на основе теории подобия и метода Монте-Карло в технологии параллельных вычислений CUDA

Д.М. Севрюгов

А.И. Тихонов

Под термодинамической системой (ТДС) понимается совокупность макротел любой физико-химической природы, между которыми возможен теплообмен. Простейшей термодинамической системой, удобной для исследования характерных закономерностей является цилиндр с подвижным поршнем, заполненный идеальным или реальным газом.

Существующие методы расчета тепловых полей с учетом движения охлаждающих сред основаны на решении уравнений Новье-Стокса, требующего даже в частных случаях реализации сложного математического аппарата с использованием метода конечных элементов или метода конечных разностей. Поэтому в настоящее время для решения подобных задач растет популярность метода Монте-Карло. Этому способствует рост возможностей компьютерной техники, в частности, появление доступных для широкого круга пользователей многопроцессорных ускорителей на графических видеокартах. Особенно популярной является технология CUDA компании nVIDIA, с помощью которой разработчик может распараллелить расчетный процесс на 1000 и более ядер. Одним из наиболее естественных подходов при моделировании ТДС с использованием метода Монте-Карло выглядит подход, основанный на положениях молекулярной физики и теории подобия [1,2,3,4,5,6,7,8]. При этом текучая охлаждающая среда (газ) представляется множеством структурных элементов (молекул), движущихся в вакууме по законам классической механики. При моделировании ТДС каждой молекуле можно поставить в соответствие некий виртуальный объект (частицу). Множество таких частиц, двигающихся в реальном времени в виртуальном пространстве, представляет собой имитационную модель ТДС.

Так как количество молекул газа N в ТДС оказывается чрезмерно большим, то рационально воспользоваться методами теории подобия. При этом количество частиц в модели N' можно задать по своему усмотрению, так что . При этом масштаб по количеству молекул является безразмерной величиной:

mN = N' / N,

оказывается одним из независимых масштабов.

Для удобства моделирования произвольным образом можно также задать и метрический масштаб

ml = l' / l,

где l - метрический размер оригинала; l' - соответствующий ему размер в модели. Так как для построения модели используется библиотека OpenGL, отображающая линейные размеры, заданные в дюймах, а размеры оригинала задаются в метрах, то масштаб по длине имеет размерность дюйм/м.

Время в модели удобно измерять не в секундах, а во фреймах, то есть в кадрах изображения. При этом необходимо ввести коэффициент перевода, фрейм/с,

Kt = t'ф / t'c,

где t'ф - время в модели, измеряемое во фреймах; t'c - время в модели, измеряемое в секундах реального времени

Масштаб по времени должен вычисляться с учетом коэффициент перевода

,

где t - время оригинала, измеряемое в секундах.

Следует отметить, что коэффициент Kt должен постоянно пересчитываться по факту фиксации быстродействия модели. При этом изменение быстродействия модели, вызванное неравномерной загрузкой центрального процессора компьютера, влечет за собой изменение масштаба по времени mt, что приведет к не желаемому визуальному изменению скорости частиц. Поэтому для удобства наблюдения за моделью масштаб по времени рационально выбрать исходя из желаемой скорости движения частиц, так чтобы она не зависела от колебаний быстродействия модели.

Например, можно задаться желаемым значением наиболее вероятной скорости движения частиц х'в при какой-то характерной температуре Т (например, при Т=273K) и характерном давлении газа p (например, при p=105 Па). Так при х'в = 0,01 м/с движение частицы можно визуально проследить на экране монитора. При этом данной скорости частиц соответствует наиболее вероятная скорость молекул газа (единица измерения м/с)

,

где k = 1,38.10-23 Дж/К - постоянная Больцмана; - соответствует массе молекулы; универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль.К); м - молярная масса газа.

Скорость частиц в модели должна быть переведена из привычных единиц измерения м/с в единицы измерения модели дюйм/фрейм. При этом масштаб по скорости вычисляется как, (дюйм.с)/ (фрейм.м),

.

Тогда масштаб по времени найдем как

mt = ml / mх.

Поведение частиц модели, являющихся прообразами молекул газа, в общих чертах повторяет поведение молекул. Однако это подобие является неполным. В частности, отсутствует факт взаимного соударения частиц модели. Вместо этого каждая i-я частица совершает броуновское движение с длиной свободного пробега l'i, которая вычисляется с помощью генератора случайных чисел, возвращающего случайную величину . При этом

,

где - средняя длина свободного пробега частиц, выбираемая из условия соответствия ее средней длине пробега молекул газа . Масштаб по средней длине пробега молекул

удобно выбрать в качестве четвертого независимого масштаба подобия, наряду с mN, ml и mv. Для этого необходимо задаться желаемым значением средней длины свободного пробега частиц модели при какой-то характерной температуре Т (например, при Т=273K) и характерном давлении газа p (например, при p=105 Па), затем рассчитать среднюю длину пробега молекул газа при этой температуре по формуле

,

и затем по (9) вычислить . В (10) m0 - масса молекулы; з - динамическая вязкость газовой среды при заданной температуре T и заданном давлении p;

,

- концентрация молекул газа при заданном давлении p;

,

- среднеквадратичная скорость молекул газа при заданной температуре T; k = 1,38.10-23 Дж/К - постоянная Больцмана.

Произвольный выбор масштаба по длине свободного пробега молекул позволяет управлять скоростью диффузии частиц модели.

Скорость движения частиц модели на прямолинейном участке своей траектории выбирается исходя из температуры газа Т (в начале эксперимента температура газа принимается равной некоторому заданному начальному значению Т0).

.

При этом реализуется следующий алгоритм. Для заданной температуры Т по (13) строится кривая распределения Максвелла (рис. 1).

Рис. 1. Сравнение реального распределения молекул по скоростям, полученным из модели для водорода при N'=30000 и Т=100К, с распределением, рассчитанным по (7)

По данной кривой строится обратная функция , представляющая собой зависимость скорости частицы х от некоторой генерируемой случайным образом величины щ, значение которой изменяется в пределах от 0 до 1 (рис. 2).

Рис. 2. Функция для определения скорости молекул по результатам генерации случайного числа p

При вычислении скорости i-й частицы при заданной температуре Т сначала генерируется случайное число , а затем используется формула

.

Полученное таким образом распределение скоростей частиц в расчетной области модели в состоянии термодинамического равновесия соответствует распределению Максвелла.

При столкновении частиц с изотермической стенкой происходит теплообмен. При этом скорость частицы пересчитывается по кривой Максвелла, соответствующей температуре стенки. Таким образом, изменяя температуру стенок цилиндра, дожидаясь установления термодинамического равновесия и вычисляя из модели распределение скоростей молекул можно оценить, насколько велика расчетная погрешность, вызванная дискретностью модели. В частности, на рис. 1 приведены две кривые распределения молекул водорода по скоростям при Т=100К при количестве частиц в модели N'=30000. Из рисунка видно, что реальное распределение отличается от вычисленного по (13). Однако с ростом количества частиц до нескольких миллионов эта погрешность снижается.

Удельный тепловой поток через единичную поверхность изотермической стенки, определяется из допущения о равенстве энергии, приходящейся на поступательные и вращательные степени свободы как

где N't - количество частиц, ударившихся об элементарную поверхность стенки ?S' за некоторое время t'; i - количество степеней свободы молекулы газа; - энергия поступательного движения j-й частицы до (индекс «-») и после (индекс «+») столкновения со стенкой; и - скорость j-й частицы до и после столкновения со стенкой.

Масса частицы соответствует массе молекулы и определяется из условия равенства суммарной массы всех молекул ТДС суммарной массе всех частиц модели

,

то есть

,

то есть

,

где mm = 1/mN - масштаб по массе молекул.

Масштаб по удельному тепловому потоку mq определяется из выражения

,

то есть

,

где масштаб по энергии вычисляется исходя из выражения для внутренней энергии газа

В свою очередь масштаб по температуре вычисляется исходя из выражения для температуры газа, которое для i-го элементарного объема имеет вид

масштаб по давлению газа вычисляется из основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа, которое для i-го элементарного объема имеет вид

масштаб по концентрации газа вычисляется исходя из выражения, которое для i-го элементарного объема имеет вид

,

где N'i - количество частиц в i-м элементарном объеме модели V'; Ni - количество молекул в i-м элементарном объеме V.

Средний квадрат скорости частиц в i-м элементарном объеме модели в (24) вычисляется из модели по формуле

,

где - составляющие скорости j-й частицы в i-м объеме по осям координат.

Принимая можно пересчитать универсальную газовую постоянную R = 8,31 Дж/(моль.К), которая в модели принимает значение

,

при этом .

Сила, действующая на поршень со стороны ТДС, вычисляется как сумма элементарных сил, действующих на каждую элементарную поверхность поршня площадью Sп

где N'п - количество элементарных объемов, примыкающих к поршню в модели; S'iп - площадь контакта i-го элементарного объема модели с поршнем.

То есть масштаб по силе .

Работа, совершенная ТДС, равна механической энергии, переданной поршню: имитационный термодинамический молекулярный физика

,

где Nx - количество элементарных перемещений поршня; Дx' - элементарное перемещение поршня в модели.

Модель термодинамической системы была реализована в технологии CUDA на многопроцессорной видеокарте GeForce GTX 660 (960 ядер CUDA, тактовая частота 1032 МГцб доступная графическая память 2 ГБ). В ТДС присутствовало 1000000 частиц. При этом скорость работы модели составляла 24 фрейма в секунду. Это позволяет достичь состояния термодинамического равновесия в ТДС при изменении температуры стенки цилиндра приблизительно за 10-30 с. Визуализация частиц в модели осуществляется с использованием библиотеки OpenGL.

В настоящее время модель ТДС позволяет имитировать исследование основных термодинамических процессов в идеальном и реальном газе, а также исследование термодинамических циклов. Планируется совместить модель ТДС с системой конечно-элементного моделирования теплового поля в твердых телах. Это позволить решить с учетом конвекции задачу охлаждения твердых неоднородных тел. В частности, планируется использовать данную систему для расчета теплового состояния обмоток трансформаторов и токоограничивающих реакторов.

Список литературы

1. Севрюгов Д.М., Тихонов А.И. Разработка версии метода Монте-Карло для моделирования теплового поля // Состояние и перспективы развития электротехнологии (XVI Бенардосовские чтения): мат. междунар. науч.-техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2011. - с.134-137.

2. Севрюгов Д.М., Тихонов А.И. Имитация теплового поля токоограничивающего реактора методом Монте-Карло. // "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика": тез. док. восемнадцатой междунар. науч.-тех. конф. студ. и асп. Том 2 - М: МЭИ, 2012г. - с.197.

3. Севрюгов Д.М., Тихонов А.И. Модель идеального газа на основе метода Монте-Карло: мат. рег. науч.-техн. конф. студ., асп. и молодых ученых «Энергия - 2012». Том 2 / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2012. - с. 196 - 199.

4. Тихонов А.И., Шмелева Г.А., Севрюгов Д.М. Исследование имитационных моделей термодинамических систем (молекулярная физика): метод. указания к выполнению лаб. работ с использованием виртуального лабораторного стенда / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2012. - 36 с.

5. Тихонов А.И., Шмелева Г.А., Севрюгов Д.М. Исследование имитационных моделей термодинамических систем (равновесные процессы в идеальном газе): метод. указания к выполнению лаб. работ с использованием виртуального лабораторного стенда / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2013. - 36 с.

6. Севрюгов Д.М., Тихонов А.И. Виртуальный лабораторный стенд-тренажер для исследования термодинамических систем: мат. рег. науч.-техн. конф. студ., асп. и молодых ученых «Энергия - 2013». Том 2 / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2013. - с. 251 - 254.

7. Севрюгов Д.М., Тихонов А.И. Модель теплового поля на основе комбинации методов конечных элементов и Монте-Карло // Состояние и перспективы развития электротехнологии (XVII Бенардосовские чтения): мат. междунар. науч.-техн. конф. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2013. - с.169-171.

8. Тихонов А.И., Севрюгов Д.М. Виртуальный стенд-тренажер / Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. - М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. № 2013611064. Заявка № 2012660142, приоритет от 22.11.2012, Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9.01.2013.

Авторское резюме

Состояние вопроса: В связи с ростом популярности технологии параллельных вычислений CUDA на многопроцессорных видеокартах фирмы nVIDIA значительные перспективны в плане решения задач теплообмена имеет метод Монте-Карло. Одним из наиболее естественных подходов при моделировании термодинамической системы методом Монте-Карло выглядит подход, основанный на положениях молекулярной физики и теории подобия.

Материалы и методы: Методы молекулярно-кинетическая теории, методы теории подобия, технология параллельных вычислений CUDA на графических процессорах nVIDIA.

Результаты: Разработан математический аппарат имитационной модели термодинамической системы, адаптированной к технологии параллельных вычислений CUDA. Модель основана на версии метода Монте-Карло и реализована путем имитации поведения молекул газа в соответствии с положениями молекулярной физики и теории подобия.

Выводы: Разработанная модель термодинамической системы может использоваться при имитации исследований термодинамических процессов и циклов в идеальном и реальном газе. Планируется совместить данную модель с конечно-элементной моделью теплового поля в твердых телах и использовать в тепловых расчетов трансформаторов.

Ключевые слова: молекулярная физика, молекулярно-кинетическая теория, метод Монте-Карло, теория подобия, технология параллельных вычислений, CUDA.

Background: With the increasing popularity of technology CUDA parallel computing on multi-processor graphics cards company nVIDIA significant promise for solving problems of heat exchange is the Monte Carlo method. One of the most natural approaches for simulation of thermodynamic systems using Monte Carlo looks like an approach based on the provisions of molecular physics and the theory of similarity.

Materials and methods: Methods of molecular-kinetic theory, methods of similarity theory, the technology CUDA parallel computing on GPU nVIDIA.

Results: A mathematical tool simulation model of a thermodynamic system, adapted to the technology of parallel computing CUDA. The model is based on a version of the Monte Carlo and implemented by simulating the behavior of molecules of gas in accordance with the provisions of molecular physics and the theory of similarity.

Conclusions: The developed iterative solver library of finite element modeling should be used in the solution of the problems of physical fields on fine grids, as well as a three-dimensional setting.

Keywords: molecular physics, molecular-kinetic theory, Monte Carlo, the similarity theory, the technology of parallel computing, CUDA.

Размещено на Allbest.ru