Математические упражнения в натуральной философии

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Математические упражнения в натуральной философии

Гужеля Ю. А.

«…Никакое человеческое исследование не может претендовать на то,

чтобы быть истинной наукой, если оно не использует математических доказательств и нет никакой уверенности там, где нельзя применить одну из математических наук»

Леонардо да Винчи (1452 - 1519)

1.Введение

Название статьи невольно переносит нас во времена: Галилея, Кеплера, Ньютона, - во времена, когда физику называли натуральной философией и когда формировались основополагающие законы и принципы физики.

В последствии, с некоторыми из этих законов случился конфуз, и их постарались поскорее забыть; другие закономерности пришлось немного подправить (как например 3-й закон Кеплера); зато третьи - утвердились на века в неизменном виде.

В последнем случае, речь идёт о фундаментальных законах механики и небесной механики: законов всем известных, всеми почитаемых и уважаемых, но, по сути, оставленных без серьёзного внимания с тех незапамятных времён, когда их стали считать фундаментальными и абсолютно точными.

Между тем, при ближайшем рассмотрении, можно увидеть существенные методические погрешности, допущенные, в частности: при опытном обосновании Закона всемирного тяготения; при определении гравитационной постоянной; при постановке экспериментов по проверке Закона Кулона (близнеца Закона всемирного тяготения).

Теоретическое обоснование Закона всемирного тяготения и вывод его формулы также выполнены не убедительно.

Поэтому, рассмотрим основы теории Ньютона подробнее, особенно те её места, которые сам Ньютон считал наиболее сложными и сомнительными; проанализируем, накопившиеся за последние столетия, опытные данные, имеющие отношение к механике и к небесной механике.

В математических исследованиях будем (по возможности) придерживаться методов Ньютона; единицы пространства, времени, и массы будем понимать также как и он, то есть в полном соответствии со здравым смыслом.

Эти условия необходимо оговорить сразу, ибо математика не является независимой наукой о природе, и если положения, на которых строится теория, не проверены опытом или не согласуются со здравым смыслом, то и результат математического исследования также будет лишён какого- либо смысла.

Начнём, по сути, с математических упражнений в натуральной философии; в частности, попробуем доказать основную теорему небесной механики. Дело это интересное и само по себе, но, кроме того, в процессе этих упражнений появятся вопросы, на которые непременно захочется найти ответ.

2.Основная теорема небесной механики

погрешность излучение тяготение гравитационный

Математическая формула Ньютоновой гипотезы всемирного тяготения очень проста:

;(1)

Где, - сила притяжения масс M и m;

- гравитационная постоянная;

R - расстояние между центрами масс

Однако сам создатель этой формулы видел, что она охватывает, по крайней мере, два различных класса взаимодействия, это:

- взаимодействие точечных масс;

- взаимодействие точечной массы с большой гравитирующей массой.

Ньютон сомневался в том, что в обоих этих случаях сила взаимодействия будет определяться одной и той же формулой (формулой 1).

Факт этот общеизвестный, например Ричард Фейнман в своих лекциях (см. Л 7, т.5, §7) говорит об этом следующее: «…Одной из самых трудных задач теории гравитационного притяжения является доказательство того, что сила создаваемая твёрдым шаром на его поверхности такая же, как если бы всё вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы».

Далее, Фейнман утверждает, что он доказал эту трудную теорему Ньютона и приводит своё доказательство (см. Л 7, том 2, глава 13, §4). Однако, это его доказательство не слишком убедительно. Фейнман проинтегрировал потенциалы, а не силы, сославшись на то, что с последними много возни. То есть, по существу, доказательство Фейнмана косвенное, но других доказательств (выполненных в привычных для нашего времени математических выражениях), похоже, нет. Так что, если мы хотим убедиться в достоверности теоремы Ньютона, ничего другого не остаётся, как провести самостоятельные выкладки.

2.1. Мысленно разрежем шар на множество тонких концентрических сфер, рассмотрим одну из них и определим напряженность гравитационного поля в центре сферы, в направлении оси Х, со стороны полусферы, см. рис.1

Где, a - радиус сферы;

- толщина сферы; принимаем =1, при условии, что: а>>1

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол (в радианах);

d- приращение угла;

- гравитационная постоянная;

Обозначим:

dV - приращение объёма.

- плотность материала;

dE - напряженность в центре сферы, со стороны полоски dS, в направлении оси Х

Из рисунка видно, что:

dL=dа;

y = aSin;

dS = dL2y ;dS = 2aSind;

dV = dS= dS1 = 2aSind;

Используя формулу обратных квадратов (формулу, 1), при условии, что m = 1, можно записать:

dE =;dE = 2SinCosd;

Интегрируя, получим:

E = 2;

= = = ;

E полусферы = ;(2)

Где, Е полусферы - напряженность в центре сферы, со стороны полусферы, в направлении оси Х.

Примечательно то, что полученное выражение не зависит от радиуса сферы.

2.2 Определим напряжённость на внутренней поверхности сферы (в точке m), со стороны всей сферы, в направлении оси Х, см. рис.2.

Где, а - радиус сферы;

- толщина сферы; =1, при условии, что а >> 1;

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол, измеряемый в радианах;

- угол, измеряемый в радианах; =/2; d=2d;

m - масса единичного объёма на внутренней поверхности сферы; при а>>1 её можно считать точечной, по сравнению с массой всей сферы;

dV - приращение объёма;

r - расстояние от dS до точки m.

Из рисунка видно, что:

dL=da;dL=2ad;

y=aSin;y=2aSinCos;

dS=dL2y;dS=8aSinCos;

dV=dS1;

dM=dV;

r=2aCos;

Используя закон обратных квадратов, можно записать:

dE=;dE=;

dE=2Sind;

E=2 = 2;

Е внут. пов. сферы =2;(3)

То есть, напряжённость в точке (m) , в направлении оси Х, создаваемая всей внутренней поверхностью сферы (за исключением небольшого, прилегающего к точке m, противоположного участка сферы) вдвое больше, чем напряженность в центре сферы.

2.3 Определим напряжённость вблизи внутренней поверхности сферы (в точке m) со стороны ближайшего участка сферы, в направлении (-Х), см. рис. 3

Где, l - расстояние от точки m до поверхности сферы

При условии, что это расстояние много меньше радиуса сферы (l <<a), ближайший к точке m участок сферы можно представить как бесконечную плоскость.

Из точки касания перпендикуляра l c плоскостью проведём концентрические окружности, см. Рис.3:

Где: dy - ширина кольца;

dS - площадь кольца;

r - расстояние от точки m до кольца;

ц - угол между нормалью и радиус-вектором проведенным из точки m к кольцу, измеряемый в радианах;

dц - приращение угла ц;

Из геометрических соображений, см. рис.3, можно записать:

dS=dy2;

dy=;y=rSinц;

dS=;dS=;

dV=dS=dS;dM=dV = ;

Из закона обратных квадратов, можно записать:

dE=;

Подставляя в эту формулу, полученное ранее, выражение для dM и интегрируя по всей плоскости (при этом, значение угла ц изменяется от 0 до) получим:

Е= = = ;

Е =;(4)

То есть, вблизи внутренней поверхности сферы напряжённость, со стороны ближайшего участка сферы, равна и противоположно направлена напряжённости, со стороны всей сферы.

Другими словами, силы, действующие на точечную массу m, лежащую на внутренней поверхности сферы, уравновешиваются; также как уравновешиваются силы, действующие на точечную массу m, находящуюся в центре сферы (последнее очевидно также и из соображений симметрии).

Осталось выяснить: каково соотношение сил в произвольной точке внутри сферы, расположенной между центром и внутренней поверхностью сферы?

2.4 Определение напряжённостей в произвольной точке m внутри сферы (в направлении оси Х) со стороны правой и левой (большей и меньшей) частей сферы, см. рис.4.

Где, k - коэффициент, характеризующий удаление секущей плоскости (удаление точки m) от центра сферы;

k = R/а; где, R - удаление от центра сферы; а - радиус сферы

r - расстояние от сферической полоски dS до точки m;

r - расстояние от сферической полоски dS до точки m;

ц - угол между осью Х и r;

ц - угол между осью Х и r;

- угол между осью Х и радиусом, проведённым к сферической полоске dS

- угол между осью (-Х) и радиусом - к сферической полоске dS;

- верхний предел , для данного R (для заданного к);

- верхний предел , для данного R; =-;

у - ордината вырезанной сферической полоски dS;

- ордината вырезанной сферической полоски dS;

dL; dL - ширина вырезанных сферических полосок;

- толщина сферы; принимаем =1; при а>>1;

Из рисунка 4 видно, что:

dL=da; где - измеряется в радианах;

у=аSin;

dS=dL2y;dS=2aSind;

dV=dS= dS1 = 2aSind;

dM=dV = 2aSind;dM=2aSind;

y=aSin;

r=y+ (aCos+ka) = y+a(Cos+k) ;

r=a[Sin+ (Cos+k) ];

r=a(Sin + Cos + 2kCos + k);

r=a(1+2kCos + k);

r=a(2kCos + 1+k);

r = a(2kCos + 1+k);

Cos = ;Cos = ;

Cos;

Из формулы обратных квадратов можно записать выражение дифференциала напряжённости в точке m, со стороны большей части сферы (обозначим dE)

dE = ; подставляя сюда выражения: dM; Cos; r, получим:

dE =;

dE =;имея в виду, что

, получим:

dE= -;(5)

Аналогично выводится выражение дифференциала напряжённости в точке m, со стороны меньшей части сферы (обозначим dE)

dE =;

dE= - ;(6)

Интегрируя выражение (5), получим:

(7)

Займемся вычислением интеграла: (8)

Делая подстановку: = u, получим:

- = -;(9)

Обозначим: ; откуда: ;;

;

Подставляя в (9) получим:

-=

= =

-=-;

Делая обратную подстановку: ; , получим:

-=

-;

Подставляя пределы интегрирования, получим:

-; (10)

Из чертежа (см. рис.4) можно записать:

(знак минус взят связи с тем, что уголнаходится во втором квадрате от начала отсчёта)

Подставляя значение в (10), получим:

=

; То есть, интеграл (8) равен:

=; Подставляя значение интеграла в выражение (7), получим выражение напряжённости в точке m, действующей в направлении оси Х, со стороны большей части сферы:

;(11)

Интегрируя обе части выражения (6) - выражения дифференциала напряжённости, действующей со стороны меньшей части сферы - и вынося за знак интеграла постоянные множители, получим:

E =;(12)

Займёмся решением интеграла:

;

Делая подстановки: Cos;1-2kЧCos;

Откуда:;

Получим: = -=

==

===; Делаем обратную подстановку: t=1-2k, получим:

=

Подставляя пределы интегрирования, и учитывая, что , получим:

Подставляя полученное значение интеграла в (12) получим выражение напряжённости в точке m, действующей со стороны меньшей части сферы, в направлении (-Х):

(13)

Сравнивая выражения (11) и (13) видно, что напряжённости, действующие в точке m, со стороны большей и меньшей частей сферы, равны по величине и противоположно направлены. Следовательно, результирующая сила гравитационного притяжения сферы в точке m, находящейся внутри сферы, равна нулю.

Формулы (11) и (13) не определены при k=0 (в центре сферы).

Но напряжённость в центре сферы (при k=0) мы уже определили ранее, она равна: или, что то же самое: ;

Напряжённость на внутренней поверхности сферы (при k=1) мы также определили ранее и получили: ;

Если мы воспользуемся формулами (11) и (13), подставив в них k=1, мы также получим величину: ;

Воспользовавшись формулами (11) и (13) определим величины напряжённостей для нескольких промежуточных точек, лежащих на главной оси, между центром и внутренней поверхностью сферы.

Для k=0,1 получим: 0,501;

Для k=0,2-0,505;

Для k=0,3-0,512;

Для k=0,4-0,522;

Для k=0,5 -;

Для k=0,9-0,696;

Для k=0,95 - 0,762;

Для k=0,98 -0,834;

Для k=0.99 -0,876;

Для k=0,995-0,909;

Для k=0,999-0,979.

Из этой таблицы видно, что величина напряжённости (противоположных направлений) при удалении от центра изменяется слабо и резко возрастает при приближении к поверхности сферы. Результирующая величина напряжённости, при этом, всегда остаётся равной нулю. Но, несомненно, что плотность гравитационного поля внутри сферы увеличивается при приближении к поверхности.

Ньютон также пришёл к выводу, что результирующая напряжённость в любой точке внутри сферы равна нулю. Причём, доказательство Ньютона было более простое и лаконичное, см. рис.5

Он рассмотрел противоположные участки сферы, вырезанные прямыми линиями, проведёнными через точку m, и отметил, что площадки противоположных участков сферы пропорциональны квадрату расстояния до точки m (до пробного тела) и, следовательно, напряжённости, создаваемые этими участками, должны быть равны и противоположно направлены. А, поскольку, всю сферу таким же образом можно разделить на попарно противоположные участки, он сделал вывод о том, что результирующая напряжённость в любой точке внутри сферы всегда равна нулю.

Приведенные выше, более подробные, выкладки подтверждают этот вывод Ньютона, но в то же время показывают, что Ньютон упустил кое какие подробности, а именно: он не исследовал характер изменения напряжённостей противоположных частей сферы, при перемещении точки m от центра к внутренней поверхности сферы.

2.5 Определение напряжённости в точке m, расположенной вне сферы

См. рис.6

Из геометрических соображений (см. Рис.6) можно записать:

; где а - радиус сферы;

; R=

;

;

;

, подставляя выражения: dV; dS; dL; y, - получим.

;

Из чертежа (рис.6) также, можно записать:

;

;

;

;

;

;

;

Пользуясь формулой обратных квадратов, запишем выражение дифференциала напряжённости гравитационного поля сферы в точке m.

; подставляя выражения: dM; Cos; r, получим:

;

Интегрируя обе части уравнения, получим:

; (14)

Подобный интеграл, правда, с другими пределами интегрирования, (см. интеграл №8) - нами уже взят ранее. Поэтому, сразу можно записать:

=;

Подставляя пределы интегрирования, получим:

=;

Подставляя значение интеграла в (14), получим:

;(15)

Следует заметить, что окружность , образованная касательными к сфере, проведёнными из точки m, разделяет сферу на две неравные части, каждая из которых создаёт в точке m напряжённость равную половине величины напряжённости всей сферы. В этом можно убедиться, взяв интегралы раздельно для каждой из частей сферы.

Причём, меньшая (левая) часть сферы - создаёт напряжённость за счёт гравитационного излучения внешней поверхности сферы; правая же часть сферы - создаёт напряжённость за счёт излучения внутренней поверхности сферы.

При k=1 (R=a, точка m лежит на внешней поверхности сферы), получим:

; При этом, половина этой величины (), - создаётся излучением всей внутренней поверхности сферы, а другая половина создаётся внешним излучением ближайшего (очень малого) участка сферы.

Результирующая величина напряжённости на внешней поверхности сферы вдвое больше, чем односторонняя величина напряжённости на внутренней поверхности сферы.

Если в формулу (15) подставим вместо k его выражение: , получим:

; но: - это масса сферы (), при условии, что . Подставляя обозначение массы, окончательно получим:

; (16) Поскольку всегда можно представить, что шар состоит из множества тонких сфер, то, суммируя напряжённости сфер, можно записать:

;(17)

Если в эту формулу, вместо единичной массы подставить какую либо массу «m» , то мы получим формулу (1) - закон всемирного тяготения:

;(1)

Вышеприведенные выкладки показали, что если сила взаимодействие точечных масс подчиняется формуле (1), то и взаимодействие большой гравитирующей массы М с ничтожно малой массой m, также можно определить по формуле (1) - то есть, основная теорема небесной механики доказана.

Но, необходимо подробней рассмотреть условия, принятые и использованные по умолчанию при доказательстве теоремы. По умолчанию было принято условие о независимости действия гравитационных полей точечных масс, из которых состоял шар и вырезанные из него сферы. То есть, все эти точечные массы, как бы, не зависимо друг от друга, излучали равномерно во все стороны гравитационные волны; волны от множества точечных масс доходили до пробного тела и взаимодействовали с его гравитационным полем, не искажая последнего, что, конечно, весьма сомнительно. С этими сомнениями мы попытаемся разобраться позже.

Что же касается первого условия: то есть выполнимости формулы (1) для точечных масс, - то это условие математически доказать невозможно. Справедливость формулы (1) для точечных масс может доказать только эксперимент. Во времена Ньютона такой эксперимент проведён не был и поэтому, по происхождению, «Закон всемирного тяготения» Ньютона - не более чем гипотеза. Первые эксперименты, по определению силы гравитационного взаимодействия масс, были проведены Кавендишем. В ходе этих экспериментов была определена величина гравитационной постоянной (), что позволило определить массу Земли, а затем и массу Солнца и массы планет солнечной системы. Считается, что эти и им подобные эксперименты, надёжно подтвердили «Закон всемирного тяготения» Ньютона. Мы, в дальнейшем, позволим себе в этом усомниться, а пока: продолжим рассматривать математическую модель большой гравитирующей массы (шара), состоящей из точечных масс, излучающих гравитационные волны прямолинейно и равномерно во все стороны, при условии, что напряжённость гравитационного поля каждой из этих точечных масс изменяется по закону обратных квадратов. При этих условиях, определим:

3. Распределение напряжённостей гравитационного поля шара на его поверхности, по направлениям

Рассмотрим шар (диаметром D) и точку m на поверхности шара, см Рис.7. Из точки m, прямыми линиями, вырежем узкие конусы, с углом раскрытия (), в направлении к центру шара и в произвольном направлении, под углом () к главной оси шара.

Несомненно, что гравитационное излучение, приходящее в точку m от материальных точек, находящихся в центральном конусе, будет наиболее мощным (это амплитудное значение излучения, обозначим через А)

В конусе произвольного направления, вырезанного под углом к вертикали, выделим приращение объёма dV, имеющего длину - dt, площадь сечения - dS, массу - dM.

Из чертежа (Рис.7) можно записать:

;; ; ; Где, D - диаметр шара.

; Где, - приращение напряжённости с направления

== ;

Интегрируя, получим:

;

Комплекс: - обозначим через (А), и окончательно получим:

; (18)

Где:- напряжённость в точке m, с направления ;

А - амплитуда напряжённости (напряжённость с центрального направления)

Графически, распределение напряжённости по направлениям в точке m, на поверхности (или вблизи поверхности) большой шаровой массы, при условии изображения напряжённости силовыми линиями различной длины, будет выглядеть так, как показано на Рис. 8

И тут в самую пору задуматься о том: а как же будет выглядеть конфигурация собственного гравитационного поля пробного тела, находящегося вблизи поверхности большой гравитирующей массы? Останется ли это поле равномерно распределённым по всем направлениям в области сферы?

Пожалуй, нет. Трудно себе представить, что слабое гравитационное поле материальной точки (пробного тела) не будет изменено сильным полем, например, полем Земли.

С большой степенью вероятности можно предположить, что силовые линии гравитационного поля материальной точки развернутся в сторону Земли и станут зеркальным отображением (в уменьшенном виде) гравитационных силовых линий земного поля, проходящих через эту точку. Очевидно, что при этом сила притяжения материальной точки возрастёт.

Но, в этом случае, нам лучше (удобней) рассматривать не напряжённости и их распределение по направлениям, а плотность гравитационного излучения и распределение плотности гравитационного излучения по направлениям.

Действительно, ведь понятие напряжённости поля (в какой либо точке) означает силу, действующую на единичную массу, помещённую в эту точку. И при этом, по умолчанию, принимается, что эта единичная масса имеет равномерное по всем направлениям собственное гравитационное поле.

Если же гравитационное поле пробного тела неравномерное, и если мы хотим правильно оценить взаимодействие тел, то нам необходимо знать не только их массы и расстояние между ними, но и распределение плотности излучения этих масс по направлениям.

Измерять плотность гравитационного излучения можно, например, в ваттах на квадратный метр (ват/м). Другой вопрос, что никому пока не удалось её измерить, как не удалось измерить и скорость распространения гравитационных волн, и их длину.

Нетрудно сделать вывод о том, что поток гравитационного излучения пропорционален массе тела и что сила взаимодействия двух тел, очевидно, будет пропорциональна произведению проекций потоков гравитационного излучения тел на линию взаимодействия этих тел.

Этот вывод не противоречит формуле Ньютона:

Для принятого ранее равномерного сферического гравитационного поля, проекции гравитационных потоков тел на линию взаимодействия всегда пропорциональны их массам, а сила взаимодействия масс всегда пропорциональна произведению проекций потоков тел (или произведению масс).

Но если тела (или хотя бы одно из двух взаимодействующих тел) имеют неравномерное по направлениям гравитационное поле, то расчёт силы взаимодействия по формуле Ньютона даст не верный результат. А это значит, что нам надо:

- изучить свойства полей, различных конфигураций, как точечных масс, так и больших гравитирующих масс;

- научиться находить проекции гравитационного излучения на оси координат и на плоскости;

- научиться определять коэффициент усиления (ослабления) силы взаимодействия масс (по сравнению с формулой Ньютона), вследствие неравномерности гравитационных полей.

Переходя к рассмотрению гравитационных излучений, примем следующие обозначения:

Ф - поток гравитационного излучения;

f - плотность, потока гравитационного излучения (поток через единичную поверхность);

- плотность потока в направлении ; где - угол, отсчитываемый от вертикали (от радиус-вектора большой гравитирующей массы).

Тогда распределение гравитационного излучения на поверхности Земли по направлениям, запишется в виде:

; (19) где, А - амплитуда гравитационного излучения в направлении центра Земли (т.е. наибольшая плотность гравитационного излучения) [Вт/м2]

Графически, гравитационное излучение Земли, проходящее через пробное тело m, и излучение самого пробного тела, будут выглядеть следующим образом: см. рис.9

Собственное гравитационное поле пробного тела m разворачивается в сторону Земли, навстречу мощному гравитационному излучению Земли и распределяется по направлениям также как и гравитационное поле Земли, по закону косинуса.

3.1 Оценка методической погрешности при определении закона распределения гравитационного излучения у поверхности Земли

В выше приведенных вычислениях, по умолчанию, предполагалось, что плотность Земли всюду одинакова. В действительности это, конечно, не так.

Кроме того, мы предполагали, что каждая материальная точка Земли излучает гравитационные волны равномерно по всем направлениям; и, в то же время, сделали предположение, что гравитационное поле пробных тел, находящихся вблизи поверхности Земли, деформируется под влиянием сильного гравитационного поля Земли. Но если принять это последнее предположение, то мы обязаны признать, что и гравитационное поле точечных масс, находящихся в поверхностном слое Земли, также должно быть деформировано мощным гравитационным излучением, идущим из глубины Земли. Поле точечных масс, расположенных в более глубоких слоях Земли также будет деформировано, но уже меньше. Закон изменения деформации гравитационного поля точечных масс, с глубиной, сразу и не определить. Но вполне определённо, из соображений симметрии, можно сказать, что гравитационное поле точечной массы, расположенной в центре Земли, будет равномерным, а все остальные материальные точки будут иметь деформированное гравитационное поле.

Имея такие первоначальные данные, вывести закон распределения плотности гравитационного излучения по направлениям на поверхности Земли, в элементарных функциях, сложно, и мы не будем этого делать. Но заметим, что если бы и удалось вывести этот закон, то он не был бы законом Косинуса. А это значит, что формулу распределения плотности излучения мы вывели не точно. Попробуем оценить величину этой ошибки.

Подойдём к решению задачи о распределении плотности гравитационного излучения с другой стороны. Проанализируем опытные факты, которые могут характеризовать распределение гравитационного излучения на поверхности Земли.

Мы знаем, из опытов Ньютона и его предшественников, что ускоренное движение тела в любом направлении (и по направлению к центру Земли, и в направлении параллельно Земле) описывается одним выражением:

; (20)

Где, F - сила, действующая на массу m; а - ускорение массы m под действием силы F

Мы знаем также, что на тело, движущееся с ускорением, действует сила инерции, равная произведению и направленная противоположно ускорению:

Для случая движения тела по окружности, это доказано опытами Гюйгенса.

Для случая свободного падения тела, это доказано опытами Бальяни и Галилея. Даламбер обобщил эти случаи и сделал вывод, что всегда, при ускоренном движении тела, имеет место равновесие сил: действующей силы и противодействующей силы (силы инерции). Тем самым, Даламбер расширил область действия 3-го закона Ньютона (о равновесии сил) и на тела, движущиеся с ускорением.

Даламбер, из осторожности, представил свой принцип как математический приём, упрощающий решение задач. Его осторожность вполне понятна: нужно время, чтобы оценить по достоинству нововведение. Так же осторожно, в своё время, поступил и Коперник, представив свою гелиоцентрическую систему Мира, как математическую модель, упрощающую астрономические вычисления. Так же поступил и Густав Кориолис, предложив, для упрощения вычислений, живую силу () записывать, как: (знакомое всем нам выражение кинетической энергии). Последнее предложение приняли довольно быстро. Систему Мира Коперника признали реальной лишь несколько веков спустя. «Принцип Даламбера» учёные-теоретики и по сей день считают условным математическим приёмом, отказываясь признавать реальность силы инерции. Что же касается прикладных наук и техники, то здесь сила инерции (и, в частности, центробежная сила) не раз доказывала свою реальность, обрывая лопатки компрессоров и турбин. Так что, у инженеров нет никаких сомнений относительно реальности центробежной силы.

Похоже, и всему научному сообществу, пришла пора признать «Принцип Даламбера» реальным законом, а силу инерции - признать реальной силой.

Исходя из такого понимания физических процессов, левая часть формулы (20) (2-го закона Ньютона) F - представляет собой действующую силу, а правая часть формулы, - представляет собой силу сопротивления (силу инерции). Сила инерции обусловлена действием гравитационного поля Земли и является силой распределённой по массе, то есть она приложена к каждой точечной массе, ускоряющегося тела.

Поскольку мы связали силу инерции (а, следовательно, и действующую силу) с гравитационным полем Земли, следует задуматься над тем: какая же структура гравитационного поля Земли (на её поверхности) может обеспечить выполнимость 2-го закона Ньютона, при различных направлениях действующей силы, относительно земной поверхности?

Можно предположить следующее: структура гравитационного поля у поверхности Земли такова, что при движении в любом направлении движущееся тело будет пересекать одинаковое количество силовых линий гравитационного поля Земли.

Другими словами можно сказать, что проекции силовых линий гравитационного поля Земли, на горизонтальную и вертикальную плоскости, должны быть равны. Соответственно, должны быть равны и проекции гравитационных потоков Земли, проходящих через движущееся тело.

Из этого, последнего, условия можно вывести закономерность распределения гравитационного излучения у поверхности Земли. Это уже будет формула реального распределения гравитационного излучения Земли, а не математической модели.

Возможность вывести точную формулу распределения гравитационного излучения у поверхности Земли, проходящего через заданную точку, предоставляется всем желающим. Мы же, сейчас, решим более простую задачу. Найдем проекции потоков излучения, на горизонтальную и вертикальную плоскости, для косинусоидального распределения, и сравним величины проекций между собой.

3.2 Проекция потока гравитационного излучения на горизонтальную плоскость, см. рис. 10

Окружим единичную массу m полусферой единичного радиуса (а)

Можно записать: ;

; где, ;

;

Через сферическую полоску () проходит поток гравитационного излучения, равный: ; Проекция этого потока на горизонтальную плоскость, составит: ; Интегрируя это выражение по , от до , получим проекцию потока гравитационного излучения Земли, на горизонтальную плоскость.

= = ;

;(21)

3.3 Проекция потока гравитационного излучения Земли на вертикальную плоскость, см. рис.11

Окружим единичную массу (m) четвёртой частью сферы, с центром в точке m, радиусом «а», равным единице.

Разрежем эту четвертушку сферы на полоски (сферические треугольники). Ширина основания полоски равна . Рассмотрим один из этих треугольников (на рисунке он выделен светло серым цветом).

Разрежем выделенную полоску на отдельные пятна (трапеции). Ширина пятна (Ш) равна ; Длина пятна равна ; Площадь пятна равна ; Поток гравитационного излучения, проходящего через пятно, определяется выражением: ; Интегрируя полученное выражение по , от до , вынося постоянные величины за знак интеграла, получим выражение для потока гравитационного излучения, проходящего через полоску:

= = ;

Проекция потока, проходящего через полоску, на вертикальную плоскость ХУ, запишется в виде: ;

Интегрируя полученное выражение по ,от до , и умножая всё на 4 (чтобы получить проекцию потока проходящего через полусферу) получим:

= = ;

;(22)

Для сравнения запишем рядом проекцию потока гравитационного излучения на горизонтальную плоскость.

; ;(21)

То есть, полученные значения проекций довольно близки между собой, а значит и близки к действительным значениям проекций.

Очевидно, что действительные значения проекций излучения на перпендикулярные плоскости будут, примерно, равны:

;(23)Где - амплитуда косинусоидального распределения излучений

Поскольку проекция потока на горизонтальную плоскость () больше проекции потока на вертикальную плоскость (), то это значит что амплитуда действительного распределения больше . И, следовательно, векторы излучения действительного распределения размещаются в эллипсоиде или овале, большая ось которого равна амплитуде излучения и направлена по радиусу Земли.

Отношение проекций излучения на горизонтальную плоскость (действительного и косинусоидального) равно:=; (24)

Очевидно, что примерно таким же будет и отношение проекций излучения на горизонтальную ось (на линию взаимодействия пробных тел).

Отношение проекций излучения на вертикальную плоскость, равно:

; (25) Следовательно, таким же будет и отношение проекций на вертикальную ось.

4. Контрольное взвешивание Земли

Кавендиш определил гравитационную постоянную для случая взаимодействия точечных масс на поверхности Земли, в сильном гравитационном поле Земли, которое в данном эксперименте было посторонним и не желательным. Понятно, что другого выбора, в определении места проведения эксперимента, у Кавендиша не было. Но возможность учесть методические погрешности, связанные с влиянием гравитационного поля Земли, при расчёте гравитационной постоянной, безусловно, была, и возможность эта не была использована. Эта погрешность не определена и до сих пор.

В чём же заключается нежелательное (негативное) влияние гравитационного поля Земли на точность определения гравитационной постоянной?

Дело в том, что взаимодействующие массы: и (между которыми измерялась сила гравитационного притяжения) по отношению к Земле являются пробными телами (с ничтожно малыми, по сравнению с Землёй, массами), см. Рис.12. Вследствие чего: собственные гравитационные поля этих малых масс , деформированы гравитационным полем Земли; силовые линии гравитационных полей этих масс развёрнуты в сторону Земли; наибольший поток гравитационного излучения масс направлен в сторону Земли, - это усиливает взаимодействие масс с Землёй, в сравнении с силой притяжения, между массами и .

Как видно из рисунка (12), конфигурация гравитационных полей, взаимодействующих масс, существенно влияет на величину силы взаимодействия.

Если в формулу (1) ; подставить единичные значения взаимодействующих масс и единичное значение расстояния между их центрами, то мы получим:

;(26) Где, - гравитационная постоянная силы взаимодействия. То есть, гравитационная постоянная силы равна силе взаимодействия единичных масс на единичном расстоянии. Но в этом определении ничего не говорится о конфигурации взаимодействующих гравитационных полей, - следовательно, это определение не точно.

Для наглядности изобразим, на рис.13, две пары единичных взаимодействующих масс, на единичном расстоянии между их центрами. Первую пару составим из единичных масс пробных (малых) тел; вторую пару составим из единичной массы пробного тела и единичной массы Земли.

Единичная масса Земли (также как и вся Земля в целом) имеет равномерное сферическое гравитационное поле. Действительно, ведь гравитационное излучение Земли, несмотря на его сложную структуру, см. Рис.9, в целом (если брать результирующие величины) направлено во все стороны от центра и не зависит (не искажается) от присутствия пробных (малых) тел вблизи её поверхности.

Из рисунка 13 наглядно видно, что сила взаимодействия между единичными массами пробных тел меньше, чем сила взаимодействия между единичной массой пробного тела и единичной массой Земли. А это значит, что «гравитационной постоянной» нет - есть гравитационная функция, зависящая от конфигурации гравитационных полей взаимодействующих единичных масс, на единичном расстоянии

Значение гравитационной постоянной, которым пользуются до настоящего времени (6,67, - получено в 1942 году, П. Хейлом и П. Хржановским, в национальном бюро мер и стандартов США, так называемым, динамическим методом. При использовании этого метода, величина гравитационной постоянной определяется по изменению частоты крутильных колебаний весов, при перемещении эталонных масс (т.е. масс ).

Точность этих измерений довольно высока, но на стадии обработки и осмысления полученных результатов вкралась существенная методическая ошибка, величину которой мы сейчас и постараемся определить. Для чего:

4.1 Вычислим проекцию потока гравитационного излучения единичной массы, имеющей косинусоидальное распределение плотности гравитационного излучения, на линию взаимодействия (на полуось Х)

см. рис.14.

Окружим единичную массу (m) четвёртой частью сферы, с центром в точке m, радиусом «а», равным единице. На рисунке 14 показана единичная масса (m), имеющая распределение плотности гравитационного излучения по закону косинуса. Амплитуда плотности гравитационного излучения равна (Ас), значок с (Cos) указывает на то, что это амплитуда гравитационного поля, имеющего косинусоидальную конфигурацию. Концы векторов, плотности излучения по направлениям, образуют сферу, диаметром Ас.

Всё гравитационное излучение единичной массы (m), взаимодействующее с пробной массой, проходит через эту четверть сферы.

Разрежем эту четвертушку сферы на полоски (сферические треугольники). Ширина основания полоски равна . Рассмотрим один из этих треугольников (на рисунке он выделен светло серым цветом).

Разрежем выделенную полоску на отдельные пятна (трапеции). Ширина пятна (Ш) равна ; Длина пятна равна ; Площадь пятна равна ; Поток гравитационного излучения, проходящего через пятно, определяется выражением: ; Проекция потока гравитационного излучения через пятно на горизонтальную плоскость, запишется в виде: . Интегрируя, полученное выражение, по , от , до , и, вынося постоянные величины за знак интеграла, получим проекцию на плоскость, потока излучения проходящего через полоску = = ;

Проекция потока, проходящего через полоску, на ось Х запишется в виде:

; Интегрируя полученное выражение по , от =0, до =, и умножая на 2, получим проекцию потока гравитационного излучения, проходящего через сферы, на ось Х; = = ;

(28)

4.2 Вычислим абсолютное значение проекции потока гравитационного излучения пробного тела на вертикальную ось У (на линию взаимодействия), см. рис.15.

На рисунке 15 показана единичная масса (m), имеющая распределение плотности гравитационного излучения по закону косинуса. Амплитуда плотности гравитационного излучения равна (Ас), значок с (Cos) указывает на то, что это амплитуда гравитационного поля, имеющего косинусоидальную конфигурацию. Концы векторов, плотности излучения по направлениям, образуют сферу, диаметром Ас.

Единичная масса (m) окружена полусферой радиуса (а); полусфера построена из точки (m) как из центра. Всё гравитационное излучение единичной массы (m) проходит через эту полусферу.

В направлении , через сферическую полоску шириной (dL) и площадью (dS), проходит поток гравитационного излучения (dФ).

; (29) , Где: ; ;

Подставляя значения (х) и (dS) в (30) и принимая радиус полусферы равным единице (а=1), получим:

;

Проекция потока dФ на вертикальную ось У, будет равна:

;(30)

Интегрируя обе части выражения (22) и, имея в виду, что , получим: = ;

;(31)

Где, - проекция всего потока косинусоидального гравитационного излучения на ось У;

Ас - амплитуда плотности гравитационного излучения.

4.3 Вычислим проекцию потока гравитационного излучения единичной массы, имеющей равномерное распределение излучения, на полуось У (на линию взаимодействия), см. Рис. 16.

Окружим единичную массу m сферой, радиусом а, равным единице.

Обозначения: - плотность гравитационного излучения единичной массы, на единичном расстоянии;

dL - ширина сферической полоски; dL=d;

dS - площадь сферической полоски; , где подставляя значения, получим: ;

Поток гравитационного излучения через полоску dS определится выражением:

;

Проекция потока, проходящего через полоску, на полуось (У) запишется в виде:

;

Интегрируя это выражение по , от, до , получим выражение для определения проекции потока гравитационного излучения на полуось У:

= =;

;(32)

Сравнить между собой величины проекций гравитационных потоков, выраженных формулами (31) и (32) не возможно, так как мы пока не знаем соотношение между величинами амплитуд:

 и

Соотношение это можно найти из сравнения выражений полных потоков гравитационного излучения единичных масс, имеющих различные конфигурации гравитационного поля. Полные потоки гравитационного излучения единичных масс должны быть равны, не зависимо от конфигурации гравитационных полей.

4.3 Найдём полный поток гравитационного излучения единичной массы, распределение излучения которой подчиняется закону косинуса, см. рис.17.

Окружим единичную массу m полусферой единичного радиуса (а) и посчитаем полный поток гравитационного излучения, проходящий через эту полусферу. На рисунке 17 показана единичная масса (m), имеющая распределение плотности гравитационного излучения по закону косинуса. Амплитуда плотности гравитационного излучения равна (Ас), значок с (Cos) указывает на то, что это амплитуда гравитационного поля, имеющего косинусоидальную конфигурацию. Концы векторов, плотности излучения по направлениям, образуют сферу, диаметром Ас.

Единичная масса (m) окружена полусферой радиуса (а); полусфера построена из точки (m) как из центра. Всё гравитационное излучение единичной массы (m) проходит через эту полусферу.

Можно записать: ;

; где, ;

;

Через сферическую полоску проходит поток гравитационного излучения, равный: ; Интегрируя полученное выражение по , от =0, до =, получим полный поток гравитационного излучения единичной массы.

= = ;

;(33)

4.5 Полный поток гравитационного излучения единичной массы, с равномерной плотностью излучения по всем направлениям () найдется из следующих соображений

Площадь поверхности сферы единичного радиуса, окружающей единичную массу, равна ;

И полный поток гравитационного излучения единичной массы, равен:

;(34)

Приравнивая правые части выражений (33) и (34), получим:

;

;(35)

4.6 Плотность радиального (результирующего) излучения средней единичной массы Земли меньше плотности (),излучения единичной массы, имеющей равномерное радиальное распределение излучения. Причина тому: сложная (близкая к косинусоидальной) структура излучения у поверхности Земли, см. Рис. 18.

На рисунке показаны четыре произвольные точки на поверхности Земли. Показана структура гравитационного излучения Земли в этих точках. В целом, если учитывать только результирующую плотность излучения (), Земля имеет равномерное (радиальное) излучение.

Где, - амплитуда (наибольшая плотность) распределения излучений на поверхности Земли, в произвольной точке;

- результирующая плотность гравитационного излучения радиального направления, в произвольной точке на поверхности Земли (проекция излучений на вертикальную ось);

- плотность гравитационного излучения радиального направления, при условии: если бы масса Земли излучала только в радиальном направлении. По определению, равна полному потоку гравитационного излучения, проходящему через единичную поверхность, в произвольной точке на поверхности Земли. Следовательно, отношение: / равно отношению величины проекции всех излучений проходящих через точку на поверхности Земли, на вертикальную ось, к полному потоку этих же излучений. Отношение (/) равно также и одноимённому отношению излучений единичной массы, находящейся в близи поверхности Земли. Эти последние величины мы уже нашли:

;(31)

;(33)

Где, - проекция излучений единичной массы на вертикальную ось;

Ф - полный поток излучения единичной массы

Потому можно записать:

=;==2/3;

=;(36)

Где, - плотность гравитационного излучения единичной массы, имеющей равномерное (радиальное) излучение;

- плотность радиального излучения средней единичной массы Земли.

4.7 Проекция гравитационного излучения средней единичной массы Земли на вертикальную ось (на линию взаимодействия)

Ранее мы нашли для единичной массы, имеющей равномерное (радиальное) излучение:

;(32)

Для средней единичной массы Земли можно записать аналогичное выражение:

;(37) или, с учётом выражения (36)

;(38)

4.8 Проекция гравитационного излучения единичной массы на полуось Х (на линию взаимодействия)

Подставляя соотношение (34) в выражение (28), получим проекцию гравитационного излучения единичной массы, имеющей косинусоидальную конфигурацию гравитационного поля, на линию взаимодействия (на полуось Х)

; (39)

С учётом поправочного коэффициента (0,978), для действительного распределения излучения, см. выражение (24), получим:

;2,608;(40)

Где,- проекция действительного распределения излучения (близкого к косинусоидальному) на ось параллельную поверхности Земли (или, какой-либо, другой большой гравитирующей массы)

Для сравнения запишем рядом проекцию гравитационного излучения единичной массы на ось У (на линию взаимодействия)

4.9 Проекция гравитационного излучения единичной массы, находящейся в близи поверхности Земли на ось У (на линию взаимодействия)

Ранее мы нашли:

;(31) Подставляя значение из выражения (35) получим:

(41)

С учётом поправочного коэффициента (1,023), для действительного распределения излучений, см. формулу (25), получим:

; ;(42)

Где, - проекция на ось «У» действительного (близкого к косинусоидальному) распределения излучения единичной массы, находящейся вблизи поверхности Земли.

4.10 Ошибка Генри Кавендиша

Ранее, анализируя закон всемирного тяготения Ньютона, выраженный формулой , и графическое изображение конфигураций гравитационных полей больших и малых масс (см. рис: 9; 12; 13) - был сделан вывод о том, что сила взаимодействия масс (а, значит, и величина гравитационной постоянной) пропорциональна произведению проекций гравитационного излучения этих масс на линию взаимодействия.

Произведение проекций гравитационного излучения единичных масс пробных тел на линию взаимодействия, равно: = (2,608)=6,80;

То есть, ~6,80; (43)

Где, - значение гравитационной функции, определённое для случая взаимодействия пробных тел.

Произведение проекций гравитационного излучения на линию взаимодействия (на ось У) единичных масс Земли и пробного тела, равно:

94;

То есть, ~ 17,94;(44)

Где, - значение гравитационной функции, для случая взаимодействия пробного тела с большой гравитирующей массой (как, например, с Землёй)

Отношение значений: и , равно:

;

Откуда, ; (45)

Поскольку значение гравитационной функции больше величины то это значит, что действительное значение массы Земли меньше общепринятой, до сих пор, величины.

Подставляя в формулу (1): ; вместо F, - ; вместо , подставляя ; вместо М, подставляя (уточнённую массу Земли), и имея в виду что R - радиус Земли, получим.

= кг;

; (46)

Определив отношение (45), мы, по сути, определили погрешность, допущенную Кавендишем, при определении массы Земли. Погрешность эта равна 264-м процентам. То есть, масса Земли завышена в 2,64 раза! Соответственно и найденная средняя плотность Земли меньше общепринятой в 2,64 раза и равна 2,09 г/см3, а не 5,52г/см3, как до сих пор считалось.

Итак, мы обнаружили и устранили методическую ошибку, допущенную при определении гравитационной «постоянной»: «постоянная» оказалась не постоянной, а ошибка в определении массы и средней плотности Земли составила 264 процента

Следует заметить, что эти результаты, аналитического контрольного взвешивания Земли, получены из условия, что сила притяжения точечных масс Земли, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если же, в действительности, обратно пропорциональная зависимость не выполняется и показатель степени больше 2-х, то это означает, что действительная масса Земли больше величины ( кг), полученной при контрольном взвешивании.

Определить действительную массу Земли можно только экспериментальным путём, но сделать это не просто. Образец породы из ядра Земли достать, по-видимому, не удастся. Сейсмологические исследования - не слишком точны. Определение показателя степени при R, при взаимодействии точечных масс (пробных тел), на расстояниях значительно превышающих размеры этих масс, выполнить с хорошей точностью также проблематично.

5.Гипотетический закон всемирного тяготения

В основе «закона всемирного тяготения» (1) лежат три гипотезы:

- гипотеза о существовании гравитационной «постоянной»;

- гипотеза о выполнимости обратно квадратичной зависимости для ускорений взаимодействующих тел;

- гипотеза о неограниченности области действия основного закона механики.

5.1 Гипотеза о существовании гравитационной постоянной

Из сказанного выше уже ясно, что, в целом, эта гипотеза очень слаба (не правдоподобна), но для полноты картины систематизируем рассмотренные случаи

5.1.1Запишем этот закон, для случая взаимодействия малой массы (m) с большой гравитирующей массой (М)

;(1)

Где, - «гравитационная постоянная», определённая Кавендишем, в опытах по взаимодействию пробных тел, вблизи поверхности Земли; =6,67

М - масса Земли, вычисленная с помощью гравитационной постоянной Кавендиша ; М=5,98 кг

Учитывая методическую ошибку, допущенную в опытах Кавендиша, можно записать уточнённую формулу закона всемирного тяготения.

; ()

Где, уточнённое значение гравитационной функции, для случая взаимодействия пробного тела с Землёй; =2,64 ;

- уточнённое значение массы Земли; кг

Очевидно, что произведения: и равны между собой и вычисление силы притяжения пробного (малого) тела Землёй можно делать по любой из этих формул.

При анализе опытов Кавендиша, мы вынуждены были ввести понятие гравитационной функции (обозначим её G), и тогда: и - являются лишь частными значениями этой функции. Первая - для случая гравитационного взаимодействия пробных тел. Вторая - для случая гравитационного взаимодействия пробного тела с Землёй. И в первом и во втором случаях речь идёт о взаимодействиях вблизи поверхности Земли.

5.1.2Запишем закон всемирного тяготения, для случая взаимодействия между собой больших гравитирующих масс

;(47)

Где, - значение гравитационной функции, для случая взаимодействия больших гравитирующих масс;

- массы взаимодействующих тел;

R - расстояние между центрами масс. Для больших гравитирующих масс (типа: Солнце, Земля) это расстояние много больше радиуса наибольшей из масс.

Определим величину , сравнив между собой произведения проекций потоков гравитационного излучения на линию взаимодействия тел: для больших масс и для малых масс, находящихся вблизи большой гравитирующей массы.

Мы ранее нашли, что, в опытах Кавендиша, произведение проекций гравитационного излучения, равно:

(0,978 = 6,80;(43)

Где, - проекция потока на линию взаимодействия, для косинусоидального распределения;

0,978 - поправочный коэффициент, для действительного распределения излучений малой массы, находящейся у поверхности большой гравитирующей массы.

Произведение проекций, потоков гравитационного излучения единичных масс небесных тел на линию их взаимодействия, равно:

(2,093)= 4,38;(48)

Где, 2,093 - проекция потока гравитационного излучения на ось, для распределения излучений на поверхности Земли (или какой-либо другой большой гравитирующей массы). Для случая взаимодействия больших гравитирующих масс, в первом приближении, можно считать, что гравитационное излучение этих масс не искажается взаимным влиянием и остаётся постоянным.

4,38/6,8 = 0,64

Следовательно, значение гравитационной функции будет меньше величины гравитационной «постоянной» , определённой в опытах Кавендиша. И можно записать: = 0,64;

=; (49)

Проверить опытным путём, только что полученное значение , - невозможно, так как невозможно измерить силу притяжения больших гравитирующих масс.

Таким образом, закон всемирного тяготения Ньютона распадается, по меньшей мере, на три отдельных закономерности:

-для случая взаимодействия пробных (малых) тел вблизи поверхности Земли, закон выражается формулой:

;(50)Где,

- для случая взаимодействия пробного тела, находящегося вблизи поверхности Земли, с Землёй, взаимодействие выражается формулой:

; ()Где, =2,64

= 2,27кг

Или формулой:;(1)Где гравитационная постоянная и масса Земли (М) имеют общепринятые значения;

- для случая взаимодействия больших гравитирующих масс, закон взаимодействия выражается формулой:

;(51)Где, =;

Где, М1 и М2 - действительные (уточнённые) значения масс небесных тел

Такое разнообразие гравитационных «постоянных» не соответствует статусу всемирного закона тяготения.

5.2 Гипотеза обратных квадратов

Обратно квадратичная зависимость силы и ускорения от расстояния между центрами взаимодействующих масс - принятая как предположение (гипотеза) для точечных масс, в самом начале исследования, - нуждается в опытном подтверждении.

Считается, что результаты астрономических наблюдений подтверждают закон обратных квадратов (закон всемирного тяготения) - но, на самом деле, это заблуждение. Астрономические наблюдения за движением планет, в принципе, не могут дать достаточную информацию для определения силы взаимодействия между небесными телами. Астрономические наблюдения дают лишь возможность измерить скорости и ускорения небесных тел. Следовательно, астрономические наблюдения могут подтвердить лишь закон обратных квадратов для ускорений, при условии проведения этих наблюдений с достаточной точностью.