Математическое проектирование трехмерных волноводных переходов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое проектирование трехмерных волноводных переходов

ВВЕДЕНИЕ

волноводный переход задача

Задачи математического проектирования волноведущих электродинамических систем являются типичными обратными задачами и для их решения наиболее эффективными оказываются методы регуляризации А.Н. Тихонова [1,2]. В статье рассматривается специфика реализации этих методов для двух классов задач. В первом случае рассматривается переход между двумя регулярными металлодиэлектрическими волноводами, граница которых звездная и достаточно гладкая, при этом заполнение перехода предполагается неоднородным и изотропным. Во втором случае рассматривается переход между прямоугольным и компланарным волноводами с однородным заполнением. Предполагается, что граница волноводов и перехода является идеально проводящей.

1. ПЕРЕХОД МЕЖДУ ДВУМЯ МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ВОЛНОВОДАМИ

Рассмотрим задачу синтеза согласующего волноводного перехода [3], соединяющего два металло-диэлектрических волновода рис. 1. Будем предполагать, что граница волноводов и волноводного перехода достаточно гладкая и идеально проводящая. Волноводы считаем регулярными, т.е. их заполнение и геометрия поперечного сечения зависят только от поперечных координат. Заполнение перехода может зависеть как от поперечных, так и от продольных координат. Такая постановка является достаточно общей и позволяет рассматривать задачу синтеза весьма широкого класса волноводных переходов, применяющихся в сверхвысокочастотной электродинамике, волоконной и интегральной оптике.

Рис. 1. Переход между двумя металлодиэлектрическими волноводами.

Введем цилиндрическую систему координат, ось которой совпадает с осью рассматриваемой волноведущей системы, а начало - с входным сечением волноводного перехода. Левый волновод будем называть входным, а правый - выходным. Пусть граница поперечного сечения входного волновода описывается функцией h(j,0), а диэлектрическое заполнение - функцией e(r,j,0). Граница поперечного сечения и диэлектрическое заполнение выходного волновода описывается соответственно функциями h(j,L) и e(r,j,L), где L - длина волноводного перехода, которая считается заданной. Граница поперечного сечения перехода описывается функцией h(j,z), а диэлектрическое заполнение - функцией e(r,j,z). В дальнейшем будем предполагать, что функции h и e--обладают производными до второго порядка включительно.

Рассматривая стационарную постановку задачи с временной зависимостью exp(-iwt) и исключая из системы уравнений Максвелла в отсутствие токов и свободных зарядов продольные компоненты (E_z,H_z) электромагнитного поля, получим систему из четырех уравнений в частных производных второго порядка относительно поперечных компонент Y={E_x,E_y,H_x,H_y}^T поля.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Здесь вектор-столбец Y₀ задает распределение поля на выходе левого волновода, P_i - матрицы, зависящие от e,--m и волнового числа k=w/c,--S - боковая поверхность, E_t - тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля. Вместе с граничными условиями (5), начальными условиями (6) и условиями при z®Ґ система (1)-(4)образует начально-краевую задачу, моделирующую процесс распространения электромагнитных волн в таком переходе.

Сделаем замену переменных в системе (1)-(4), которая позволит привести границу перехода к цилиндрической форме:

(7)

где r=rr_{_}/h(j,z), а r₀ - радиус полученного прямого кругового цилиндра. Легко убедиться, что преобразование переменных (7) является невырожденным.

Для того чтобы получить устойчивый конечно-разностный алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода, воспользуемся методом параболического приближения [4]. В результате получим постановку задачи в параболическом приближении, которую можно записать в матричном виде:

(8)

(9)

(10)

где Q_i (i=1ё4) - матрицы размерности 4ґ4.

Для решения задачи (8)-(10) построена разностная схема с весами. Полученная разностная начально-краевая задача представляет собой систему из 4M(N+1) линейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет блочно-ленточную структуру. Здесь N+1 и M - количество узлов сетки вдоль радиальной и угловой координаты соответственно. Данная система решается с помощью метода исключения Гаусса, модифицированного с учётом структуры матрицы. Каждое решение системы позволяет сделать шаг h_z=L/N_z вдоль оси z. Решив N_z таких систем, получим распределение поля на выходе волноводного перехода. Таким образом, получается весьма экономичный и достаточно универсальный алгоритм, позволяющий многократно решать прямую задачу расчета волноводного перехода в процессе его синтеза.

Задачу синтеза рассмотрим как задачу построения такого перехода, который обеспечивает максимальную амплитуду поля H_x в выходном сечении при заданном поле на входе. Для этого используем метод регуляризации А.Н. Тихонова. Строим сглаживающий функционал:

(11)

где q - набор параметров оптимизации; A₁ - амплитуда поля во входном сечении; A₂[q] - амплитуда поля в выходном сечении; a--- параметр регуляризации; W[q] - стабилизатор. В соответствии с методом регуляризации решением задачи синтеза считаем такой набор параметров оптимизации, который доставляет минимум сглаживающему функционалу:

(12)

где с помощью множества Q накладываются ограничения на параметры перехода.

Рассмотрим конкретную задачу синтеза перехода между двумя круглыми волноводами радиусов r₁ и r₂, имеющими однородные различные заполнения e₁ и e₂. Фиксируем длину перехода L. Построим переход, который имеет круглые сечения и однородное по сечению заполнение. Ищем профиль перехода в форме кубического сплайна, состоящего из трех частей:

(13)

Коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i в этой формуле подбираются из условия гладкости второго порядка. Аналогичным образом строится функция диэлектрической проницаемости. В результате получаем четыре параметра оптимизации q={z₁,z₂,z₃,z₄}. На параметры оптимизации накладываются естественные ограничения:

Для поиска оптимального набора параметров применяется метод скользящего допуска, основанный на методе Нелдера и Мида [5].

Рассмотрим согласующий переход между круглыми волноводами со следующими параметрами:

Пусть через входной волновод распространяется мода ТМ₀₀ с k=1000, h=1414.2. Пусть L=2. В качестве первого приближения при оптимизации используются следующие параметры: q₀={0.7,1.4,0.6,1.3}. Для решения данной конкретной задачи была выбрана сетка с N=15, M=24, N_z=100. Стабилизатор был выбран в виде: W[q]=||q-0.5LI||², где I - вектор состоящий из единиц.

На рис. 2 и 3 представлены проекции траектории поиска на плоскости (z₁,z₂) и (z₃,z₄) соответственно. Пунктиром обозначен исходный многогранник. На рис. 4 и 5 представлены графики функций ?(z) и ?(z) до (пунктир) и после оптимизации. Из приведенных рисунков ясно, что профиль волноводного перехода оказывает большее влияние на характеристики чем заполнение. Из рис. 3 видно, что функционал f^? имеет сложную структуру.

Рис. 2. Проекция траектории поиска на плоскость (z₁,z₂).

Рис. 3. Проекция траектории поиска на плоскость (z₃,z₄).

Рис. 4. График функции h до и после оптимизации.

Рис. 5. График функции e до и после оптимизации.

3. ПЕРЕХОД МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ И КОМПЛАНАРНЫМ ВОЛНОВОДАМИ

В этом разделе исследуется распространение основной ТЕ-моды прямоугольного волновода через переход с согласующим ребром (рис. 6) на компланарный волновод [6].

Рис. 6. Геометрия волноводного перехода между прямоугольным и компланарным волноводами. 1 - входное сечение, 2 - ребро, 3 - выходное сечение.

Учитывая симметрию поля и перехода можно ограничиться рассмотрением половины данной согласующей системы. Обозначим через u z-компоненту магнитного вектора Герца ?^m. Предполагая временную зависимость поля в виде exp(-i?t), приходим к задаче решения однородного уравнения Гельмгольца в ограниченной области D. Все металлические поверхности предполагаются идеально проводящими. Для ограничения области в продольном направлении используются парциальные условия излучения. На плоскости симметрии требуем равенства нулю функции u. Введем декартову систему координат с началом, расположенным в плоскости симметрии перехода на его нижнем основании, ось x направим перпендикулярно плоскости симметрии, а ось z - вдоль оси волноведущей системы. Входное сечение перехода находится в плоскости z=0. Краевая задача принимает вид:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

где S₁ - входное сечение, S₂ - выходное сечение, S_B - поверхность с вектором нормали n, имеющим отличную от 0 z-компоненту, e - диэлектрическая проницаемость, m - магнитная восприимчивость, c - скорость света, g_n^(1,2) - постоянные распространения мод прямоугольного и компланарного волноводов, j_n^(1,2) - функции сечения входного и выходного волноводов, u₀ - падающее поле, R_n - амплитуды отраженных мод, T_n - амплитуды мод, возбужденных в выходном волноводе.

Для решения поставленной краевой задачи (14)-(18) применяется метод конечных элементов. Моды компланарного волновода вычислялись с помощью метода двумерных конечных элементов. Однородное заполнение всего волновода позволяет вычислять моды компланарного волновода только один раз. Моды прямоугольного волновода получены аналитически.

Для построения конечных элементов область D разбивалась на тетраэдры. Носителем базисной функции y_n является группа тетраэдров, имеющих общую вершину с индексом n. Использовались линейные базисные функции. В результате получим N базисных функций, где N - количество вершин, в которых функция u может быть отлична от 0. Приближенное решение задачи ищем в конечномерном пространстве, образованном системой функций y_n:

(19)

Записывая уравнение (14) в слабой форме и, применяя к нему теорему Грина, получим уравнение:

(20)

Для преобразования второго интеграла в уравнении (20) используются условия излучения (17), (18) и проекционные соотношения:

(21)

(22)

Здесь u^N_1,2 выражаются формулами (17) и (18), M_1,2 - константы, определяющие количество членов в рядах в этих формулах.

В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений размерности N относительно коэффициентов A_i. Для ее решения используется метод минимальной степени, заключающийся в минимизации заполнения на каждом шаге исключения по методу Гаусса [7]. Зная A_i можно найти коэффициенты отражения и пропускания.

В данном случае можно ставить задачу оптимизации как поиск таких параметров перехода, которые обеспечивают, например, максимальную передачу энергии или обеспечивают максимальную амплитуду определенной моды в компланарном волноводе.

Рассмотрим переход, имеющий ребро с профилем в виде ломаной состоящей из трех отрезков, координаты вершин которой являются параметрами оптимизации, и будем для него рассматривать задачу минимизации коэффициента отражения по энергии R. Для ее решения также использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова со сглаживающим функционалом:

(23)

Стабилизатор W выбран в форме z₁²+y₁²+(1-z₂)²+(1-y₂)², где z_i, y_i - относительные координаты вершин ломаной. Ограничения, накладываемые на параметры оптимизации, обусловлены требованием монотонности профиля ребра, а также требованием отсутствия перекрытия с другими частями перехода. В процессе оптимизации параметры изменялись таким образом, что ребро вырождалось в ступеньку, что соответствует выводам сделанным в статье [6].

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО ДОПУСКА

Решение задачи оптимизации требует многократного решения прямой задачи расчета характеристик волноводного перехода при различных параметрах, однако в трехмерном случае размерность получаемых систем очень велика и их решение занимает много времени. Метод Нелдера и Мида допускает распараллеливание и, используя вычислительный кластер, можно легко поднять скорость счета, даже не распараллеливая алгоритм решения прямой задачи.

Алгоритм скользящего допуска построен на основе симплекс метода, который заключается в последовательном деформировании многогранника путем замены по определенным правилам его вершины, в которой значение минимизируемого функционала наихудшее, на другую. При выборе новой вершины возникает потребность в вычислении значения функционала один или два раза, но всего имеется 4 возможных варианта новой вершины на каждом шаге вне зависимости от размерности. Кроме того, в случае отсутствия подходящей вершины среди этих четырех, производится пропорциональное уменьшение многогранника относительно вершины с наилучшим значением функционала.

Проведенные исследования на тестовом функционале показали, что, используя 3-4 процессора, можно поднять скорость поиска минимума в два раза. На рис. 7 показана зависимость времени счета от количества использованных процессоров при различной размерности векторов q (N_p). Для более сложных функционалов возможно даже большее ускорение. При наличии дополнительных процессоров имеются различные варианты стратегии углубленного поиска, однако тестирование показало, что, по сравнению с равномерным распределением процессоров по вариантам, только некоторые стратегии имеют незначительное преимущество и то, не для любого количества используемых процессоров. Очевидно, что в некоторых частных случаях преимуществом могут обладать те или иные варианты стратегии, однако в общем случае можно использовать равномерное распределение процессоров по вариантам.

Рис. 7. Время решения в зависимости от количества процессоров.

В случае необходимости решения задачи математического проектирования волноводного перехода, работающего в некотором диапазоне частот, возникает потребность в вычислении характеристик перехода при фиксированных параметрах и нескольких значениях частоты. Поэтому для получения максимальной эффективности от применения кластера нужно одновременно вычислять характеристики перехода при различных частотах, а необходимость в распараллеливании, как алгоритма решения прямой задачи, так и алгоритма решения обратной задачи отпадает.

ЛИТЕРАТУРА

волноводный переход задача

1. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Синтез волноведущих систем волоконной оптики и высокочастотной электродинамики // Радиотехника. 1997. №1. С.81-88.

2. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведущих систем // Математическое моделирование. 2000. Т.12, №1. С.13-24.

3. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. №2, С.3-5.

4. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Сычкова А.В. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1993, Т.38, №5, С.804-809.

5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир. 1975.

6. Dalman G. C. A Simple mm-Wave Transition from Waveguide to Coplanar Waveguide, Microwave J., vol. 35, 10, 1992, 109-112.

7. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988.

Размещено на Allbest.ru