Метод синтеза плавных согласующих переходов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный университет

МЕТОД СИНТЕЗА ПЛАВНЫХ СОГЛАСУЮЩИХ ПЕРЕХОДОВ

Д.Н. Панин, В.В. Зайцев, Г.П. Яровой

Описан метод компьютерного синтеза согласующих переходов на отрезках линий с плавно меняющимися волновыми сопротивлениями. Проведен синтез кусочно-линейного перехода. Показано, что синтезированный переход обеспечивает хорошее согласование в широкой полосе частот. сопротивление линия передача переход

Вопросы согласования волновых сопротивлений участков линий передачи традиционно занимают одно из центральных мест в теории и технике микроволновых систем [1-3]. Считается, что переходы с непрерывным изменением электрофизических параметров (плавные переходы) по сравнению со ступенчатыми переходами при прочих равных условиях обеспечивают наименьшие отражения в широкой полосе частот [3]. При этом из-за отсутствия точных аналитических решений для участка линии с произвольным законом изменения волнового сопротивления расчет согласования проводится либо методом замены плавного перехода ступенчатым с малой величиной ступеньки [4], либо путем использования линий с модельными профилями волнового сопротивления, допускающих аналитическое решение телеграфных уравнений [5]. Решение задач синтеза в рамках первого подхода сопряжено со значительным объемом вычислений, использование второго - проблематично.

В настоящей работе описан компьютерный метод синтеза плавных переходов, основанный на численном интегрировании полученного ранее [6, 7] дифференциального уравнения для коэффициента отражения от неоднородности. На примере синтеза кусочно-линейного перехода продемонстрирована вычислительная эффективность метода.

Рассмотрим отрезок неоднородной линии передачи (Рис. 1). На участке линию характеризуют погонные емкость С(x), индуктивность L(x) и проводимость G(x), комбинации которых дают локальные значения волнового сопротивления и фазовой скорости Соответствующие величины для однородных выходного и входного участков линии обозначим через Z₀ и Z_a, v₀ и v_a. Схематическое изображение перехода дано на рис. 1.

Рис. 1

Рассматриваемый отрезок линии передачи описывается следующей системой телеграфных уравнений:

(1)

В системе уравнений (1) введены следующие обозначения: V(x)=Z₀J(x), k=/v₀, n(x)=v₀/v(x),

Справа по схеме на участок неоднородности падает волна с комплексной амплитудой напряжения U₀. Отношение комплексной амплитуды U_r отраженной волны к U₀ определяет коэффициент отражения:

В системе (1) для удобства перейдем к нормированным на U₀ переменным:

, .

Тогда система примет следующий вид:

(2)

Здесь

Соответствующие рассматриваемой физической ситуации граничные условия для системы уравнений (2) имеют вид:

(3)

При записи данных равенств использовано понятие коэффициента прохождения T, как отношения комплексной амплитуды U_t прошедшей волны к комплексной амплитуде падающей; кроме того введено обозначение

Граничные условия (3) в предельном случае позволяют определить значение коэффициента отражения от резкого перехода между двумя линиями с волновыми сопротивлениями Z_a и Z₀:

(4)

Это равенство в дальнейшем будет использовано в качестве начального условия при решении уравнения для коэффициента отражения.

Система уравнений (2) совместно с граничными условиями (3) составляет линейную двухточечную граничную задачу. Широко известны следующие математические методы решения задач данного типа: метод пристрелки, метод дифференциальной прогонки, конечно-разностный метод, метод продолжения по параметру и метод инвариантного погружения. В работе [6] в рамках метода дифференциальной прогонки получено дифференциальное уравнение для коэффициента отражения от неоднородности переменной длины L:

(5)

Для расчета коэффициента отражения это нелинейное дифференциальное уравнение с комплексными коэффициентами должно быть проинтегрировано на отрезке с начальным условием (4). Результатом интегрирования является истинное значение коэффициента отражения .

Решение нелинейной задачи Коши (4), (5) не удается получить аналитически. Однако такая формулировка задачи весьма удобна для применения численных методов.

Введем на неоднородном участке линии равномерную сетку с шагом где N=1- число узловых точек. При этом узел с номером n=0 лежит на левой границе неоднородности, а узел n=N - на правой, т.е. в плоскости падения волны. Производную в дифференциальном уравнении (5) аппроксимируем центральной разностью:

(6)

Здесь индекс n использован для обозначения значений функции и производной, взятых узле с номером n, т.е. в точке С учетом данной аппроксимации уравнение (5) в n-ом узле принимает вид

(7)

Здесь верхний индекс указывает на номер узловой точки, в которой вычисляются значенияКроме того, k аргумент учитывает зависимость коэффициентов в разностной формуле (7) от частоты.

Формула (7) позволяет проводить вычисления в узлах с номерами n=2, 3, …, N. Для узла n=1 запишем аналогичное выражение, используя значения функций в полуцелой точке :

(8)

Наконец, значение вычисляется с использованием аппроксимации производной в уравнении (5) правой разностью:

(9)

Таким образом, мы получили разностную схему (7)-(9) которая имеет второй порядок точности по шагу дискретизации и, в то же время, требует однократного вычисления правой части уравнения (5). Сопоставимый по точности двухэтапный метод Рунге-Кутты характеризуется меньшим быстродействием по причине двукратного вычисления правой части (5). Быстродействие алгоритма очень важно при решении задачи синтеза.

В общей постановке проблему синтеза плавного перехода можно сформулировать как задачу минимизации целевой функции рассогласования

(10)

на заданной сетке частот в пространстве параметров профиля волнового сопротивления , где - весовые коэффициенты. Вычисляя значения при помощи разностной схемы (7)-(9), для поиска минимума целевой функции (10) можно воспользоваться одним из прямых методов оптимизации. Хорошие результаты дает применение симплексного метода Нелдера-Мида [8].

В качестве примера применения изложенного метода проведем синтез кусочно-линейного перехода, образованного последовательностью двух линейных. Пространственный профиль волнового сопротивления такого перехода, зависящий от двух параметров и , может быть описан выражением

(11)

В пространстве параметров оптимальная точка определяется в соответствии с условием минимума целевой функции (10) - в данном случае функции двух аргументов:

. (12)

В качестве исходных данных для синтеза перехода между линиями с возьмем частотную зависимость коэффициента отражения от параболического перехода с профилем волнового сопротивления

. (13)

Квадрат модуля коэффициента отражения от данного перехода для отмечен на рис. 2 штрихпунктирной линией. Так как в окрестности частоты наблюдается локальный минимум отражения, попытаемся оптимизировать кусочно-линейный переход, взяв для целевой функции (10) сетку частот . Симплексным методом удается найти, что при значениях . Время счета на ПК Pentium III-500 порядка 20 секунд.

Рис. 2

На рис. 2 непрерывной линией показан график частотной зависимости коэффициента отражения по мощности от синтезированного перехода. Как видно из рисунка, оптимизированный кусочно-линейный переход обеспечивает лучшее согласование в широкой полосе частот, чем параболический. При этом из числа плавных переходов он, по-видимому, с наибольшей точностью реализуется технологически.

Литература

1. Микроэлектронные устройства СВЧ / Г.И.Веселов, Е.Н.Егоров, Ю.Н.Алехин и др.; Под ред. Г.И.Веселова. М.: Высшая школа, 1988. 280 с.

2. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991. 224 с.

3. Фуско В. СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проектирование. М.: Радио и связь, 1990. 288 с.

4. Кац Б.М., Мещанов В.П., Фельдштейн А.Л. Оптимальный синтез устройств с Т-волнами. М.: радио и связь, 1984. 288 с.

5. Салий И.Н. Канонические нерегулярные линии передачи и их эквивалентные представления // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике: 8-я зимняя школа-семинар инженеров. Книга 4. Саратов: Изд. СГУ, 1989. С. 73-80.

6. Зайцев В.В., Панин Д.Н., Яровой Г.П. Численный анализ отражений от слоя неоднородной плазмы // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. Т.3. N1. С. 9-12.

7. Жданова О.Н., Зайцев В.В., Панин Д.Н., Яровой Г.П. Численное моделирование отражений акустической волны от движущегося газового слоя // Вестник СамГУ. 2000. N2. С. 118-121.

8. Фидлер Дж.К., Найтингейл К. Машинное проектирование электронных схем. М.: Высшая школа, 1985. 216 c.

Размещено на Allbest.ru