Численное решение задачи термоупругого деформирования спирально армированных цилиндрических оболочек

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

УДК 539.3

Численное решение задачи термоупругого деформирования спирально армированных цилиндрических оболочек

А.И. Бабин, Ю.В. Немировский

Аннотация

Разработана методика приведения трёхмерной нестационарной задачи теплопроводности для многослойных оболочек к двухмерной.

Решена несвязная задача упругого деформирования спирально армированных цилиндрических оболочек при действии температурных и силовых факторов.

Ключевые слова: армированная оболочка, двухмерная, трёхмерная нестационарная задача, температура, упругое деформирование.

Annotation

The procedure for bringing the three-dimensional unsteady heat conductivity problem for multi-layer shells to a two-dimensional one is developed.

The incoherent problem of the elastic deformation of spirally reinforced cylindrical shells under the influence of temperature and force factors is solved.

Content words: reinforced shell, two-dimensional, three-dimensional nonstationary problem, temperature, elastic deformation.

Работа посвящена построению и численному решению уравнений нестационарной теплопроводности и несвязной термоупругости для спирально армированных цилиндрических оболочек.

Представим расчётную схему в виде двухслойной цилиндрической оболочки постоянной толщины, находящейся под действием термосиловых факторов. Слои цилиндра изготовлены из связующего с одинаковыми термомеханическими характеристиками и перекрестно армированы в направлении винтовых линий. На внутренней поверхности введём ортогональную систему координат, координатные линии которой - линии кривизны поверхности :

теплопроводимость деформирование спиральный температура

Здесь толщины слоев, длина оболочки. Параметры Ламе и главные кривизны отсчётной поверхности внутренний радиус цилиндра. Торец оболочки при жестко защемлен, при - свободен от усилий. Считая оболочку достаточно тонкой, принимаем приближенное равенство .

На кромках и на цилиндрической поверхности осуществляется теплообмен по закону Ньютона:

(1)

(2)

Здесь и далее нижний индекс после запятой обозначает частную производную по соответствующей переменной. коэффициенты теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру .

В (1), (2) приняты следующие выражения для компонентов тензора теплопроводности модифицированной матрицы композита [1, c. 25]:

теплопроводности армирующих волокон и связующего го слоя соответственно, удельное содержание армирующих волокон вм слое на кромках , цилиндра, интенсивность армирования в м слое по нормали к ; - постоянные углы, которые винтовая линия составляет с образующей поверхности [2. c. 92].

На поверхности задан кусочно-линейный закон изменения температуры:

(3)

На цилиндрической поверхности , выполняются условия идеального теплового контакта [3, c. 168]. Нестационарное двухмерное температурное поле в м слое оболочки апроксимировалось зависимостью [1. c. 23]:

(4)

где непрерывно дифференцируемые функции, допускающие представление в замкнутом виде; независимая характеристика, учитывающая нелинейное распределение температуры на отсчётной поверхности, достаточно гладкая функция , удовлетворяющая условиям:

(5)

Нестационарное уравнение для функции , начальное и граничные условия в анизотропном теле получаем, используя вариационное уравнение теплопроводности для многослойных полиармированных оболочек, при отсутствии источников теплоты [1. c. 22] и используя (1-5):

(6)

(7)

Начально-краевая задача (6-7) решается итерационно-интерполяционным методом, предложенным в работе [4, с. 6].

Функции, присутствующие в (4) выражаются, в конечном виде [1, c. 24]:

(8)

Подставляя решение краевой задачи (6, 7) и выражения (8) в (4), находим нестационарное температурное поле двухслойного армированного цилиндра.

После определения поля температуры, решается несвязная задача термоупругости по методике, изложенной, например в [1, с. 26].

Примем гипотезу Кирхгофа - Лява для всего пакета слоёв в целом [1, c. 26].

Разрешающая система уравнений статики многослойных армированных оболочек вращения и краевые условия приведена в [5, с. 77; 2, с. 27].

Приведем описание структурного критерия прочности армированной среды [5, с. 36]. Материалы матрицы и армирующих элементов подчиняются условию прочности Мизеса [5, с. 36]:

. (9)

После решения соответствующей задачи термостатики, находим средние напряжения и средние деформации слоя. По методике, подробно описанной в [5, с. 36], восстанавливаем истинные напряжения в связующем и армирующих волокнах . Подставляя последние в (9), находим значения: , ,

Здесь область, занятая м слоем.

Если выполняется одно из равенств , то считаем, что в данной точке наступила потеря прочности композитного материала.

Рассмотрим цилиндрическую металлокомпозитную оболочку, нагруженную внутренним равномерно распределенным давлением интенсивности МПа, радиуса 0,5 м., длиной , изготовленную из алюминия (240 Вт/(м·град), 757 Дж/(кг·град), 2687 кг/м³, 73·ГПа, , предел прочности (текучести) при растяжении 62·МПа [3, с. 173, 180]) и симметрично армированную двумя семействами стальных волокон (45 Вт/(м·град), 568 Дж/(кг·град), 7811 кг/м³, 20·ГПа, , 413·МПа [3, с. 174, 180]) в направлении винтовых линий.

Температурное воздействие характеризуется следующими параметрами: , , 20 Вт/(м²·град), с. Параметры армирования: 0,5.

В таблице 1 представлена зависимость от угла укладки арматуры в направлении винтовых линий при заданных термосиловых полях.

Библиографический список

1. Бабин А.И., Немировский Ю.В. Термоупругость узлов с полимерными подшипниками скольжения //Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр.XXI Всероссийской конференции, Кемерово, 30 июня - 2 июля 2009 г./Под ред. В.М.Фомина. Новосибирск: Изд-во "Параллель", 2009. - С.19-32.

2. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении./ М.-Л.: ОГИЗ,-1947, Ч.1, -216с. ил.

3. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент: Справочник //Под общ. ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. - 2-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 560 с., ил. - (Теплоэнергетика и теплотехника, Кн.2.).

4. Гришин А. М., Кузин А. Я. О гетерогенно - гомогенном воспламенении пластины при обтекании потоком окислителя.//Сб. Горение и взрыв. - М.: Наука, 1969.

5. Андреев А. Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. -288 с.