Приложение высокоточных алгоритмов без насыщения к задачам осевого сжатия анизогридных цилиндрических оболочек

Размещено на http://allbest.ru

Конструкторско-технологический институт вычислительной техники

Институт вычислительных технологий

СО РАН

УДК 539.3, 519.63

Приложение высокоточных алгоритмов без насыщения к задачам осевого сжатия анизогридных цилиндрических оболочек

С.К. Голушко, Б.В. Семисалов

г. Новосибирск

Анизогридные конструкции представляют собой сетчатые оболочки, выполненные из однонаправленных углепластиков методом непрерывной автоматической намотки [1]. Они обладают повышенной удельной прочностью и жёсткостью и значительным потенциалом в сфере конструирования ракетной и космической техники, глубоководных аппаратов, сооружений ответственного назначения.

Для расчёта напряжённо-деформированного состояния (НДС) сетчатых оболочек из углепластиков и анализа потери их устойчивости следует использовать современные методы математического и численного моделирования. При этом важно учитывать специфические особенности рассматриваемых конструкций - разносопротивляемость и нелинейность деформирования полимерных композиционных материалов при растяжении, сжатии и сдвиге [2], а также наличие малых геометрических и механических параметров и сложные условия эксплуатации с различными видами закрепления и нагружения конструкции.

Для достоверного описания поведения анизогридных оболочек с учётом указанных выше факторов целесообразно исходить из уравнений пространственной теории упругости.

Численное решение краевых задач для таких уравнений, описывающих НДС сетчатых оболочек, представляет существенную сложность и требует конструирования новых вычислительных алгоритмов, обладающих повышенной точностью и устойчивостью.

Математическую модель деформирования анизогридной цилиндрической конструкции будем строить на основе трёх групп уравнений механики - кинематических и физических соотношений и уравнений равновесия. При этом используем идею континуального подхода и концепцию «размазывания» [2,3].

При таком подходе каждое семейство однонаправленных рёбер конструкции заменяется сплошным слоем, имеющим эквивалентные деформативные свойства, при этом характеристики жёсткости рёбер усредняются по поверхности слоя. Характеристики слоёв, полученные для каждого семейства рёбер, суммируются. Будем исходить из линейных уравнений теории упругости, вполне удовлетворительно описывающих поведение тела при малых нагрузках и перемещениях. В цилиндрической системе координат разрешающая система уравнений в перемещениях для сплошного аналога сетчатой конструкции имеет вид [4]

(1)

Задачу (1) будем рассматривать в канонической области (рис. 1), - эллиптические операторы, включающие производные второго порядка, - вектор перемещений, - функции, включающие операторы первых производных.

Рис. 1. Замена цилиндрической сетчатой конструкции сплошным анизотропным телом и переход к канонической области

Система уравнений в частных производных (1) содержит малые параметры, ими являются: геометрические величины , и механические характеристики жёсткости углепластика , стоящие при старших производных в операторах.

Здесь - толщина рёбер -го семейства и расстояние между ними, , - модули упругости углепластика при растяжении вдоль и поперёк волокон. Поставленная задача имеет высокую вычислительную сложность и требует создания оригинальных численных методов, позволяющих строить устойчивые алгоритмы и находить пространственные распределения с достаточной точностью за приемлемое время.

Для построения таких алгоритмов воспользуемся методами приближения без насыщения [5]. За основу возьмём алгоритм решения 2D краевых задач для уравнения Пуассона, предложенный в [6], и его развитие и обобщение на случай произвольной размерности [7]. Для организации счёта данный алгоритм использует итерационный метод установления и набор нестационарных регуляризаций, что делает его весьма эффективным при решении как линейных, так и нелинейных задач с малыми параметрами. Данный алгоритм использует ненасыщаемые приближения интерполяционными полиномами с узлами в нулях полиномов Чебышева:

(2)

Здесь - приближаемая неизвестная функция, , - узлы интерполяции. При расчётах будем использовать модификацию (2) для приближения решений по направлениям, позволяющую задать значения производных решения в граничных точках, .

Для приближения неизвестных 2-периодических функций по координате используется полином с ядром Дирихле, представляющий аналог ряда Фурье:

(3)

где - ядро Дирихле.

Аппроксимации функций представляют собой произведения двух полиномов (2) и полинома (3).

Эти приближения на гладких функциях минимизируют погрешность расчётов, число операций и объём памяти, необходимый для работы программы, таким образом, позволяют добиться максимальной точности и быстродействия алгоритма.

Рассмотрим конструкцию, включающую одно семейство кольцевых рёбер и два семейства спиральных рёбер с параметрами и определёнными значениями коэффициентов Пуассона ортотропной модели углепластика [2]. Здесь верхние индексы обозначают номер семейства рёбер, , , , - модули упругости и сдвига углепластика при деформации вдоль и поперёк волокон. анизогридный композиционный оболочка алгоритм

Определим сжимающие напряжения, возникающие в спиральных рёбрах и осевую жёсткость конструкции S при ,, h=1.05 см и различных значениях ширины спиральных и кольцевых рёбер и расстояний между ними .

В таблице 1 данные значения имеют индекс «*». Они приведены в сравнении с величинами, полученными в [8] при использовании дискретной модели (индекс «д») и упрощённой двумерной континуальной модели (индекс «к») рассматриваемой сетчатой оболочки при тех же R, l, P, Q, h.

Таблица 1. Сопоставление полученных решений с результатами работы [8]

Из таблицы видно, что решения, полученные при использовании принципиально различных математических и вычислительных моделей, достаточно близки, что является косвенным подтверждением корректности полученного результата.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №13-01-12032 офи_м_2013).

Библиографический список

[1] Васильев В.В., Барынин В.А., Разин А.Ф., Петроковский С.А., Халиманович В.И. Анизогридные композитные сетчатые конструкции - разработка и применение к космической технике // Композиты и наноструктуры. 2009. №3. С. 38-50.

[2] Vasiliev V.V., Morozov E.V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Elsevier. 2007. 491 p.

[3] Образцов И. Ф., Рыбаков Л. С., Мишустин И. В. О методах анализа деформирования стержневых упругих систем регулярной структуры // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 2. № 3. 1996. С. 3-14.

[4] Голушко С. К., Семисалов Б. В. Численное моделирование деформирования анизогридных конструкций с применением высокоточных схем без насыщения // Математическое моделирование и численные методы. 2015. №2. (принято к печати)

[5] Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2002.

[6] Блохин А. М., Ибрагимова А. С., Семисалов Б. В. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках // Мат. моделирование. 2009. Т. 21. № 4. С. 15-34.

[7] Семисалов Б.В. Нелокальный алгоритм решения уравнения Пуассона и его приложения // Выч. мат. и мат. физ. 2014. Т 54. №7. С. 1110-1135.

[8] Азаров А.В. Континуальные и дискретные модели сетчатых композитных цилиндрических оболочек //Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18. № 1. С. 121-130.

Аннотация

УДК 539.3, 519.63

Приложение высокоточных алгоритмов без насыщения к задачам осевого сжатия анизогридных цилиндрических оболочек. С.К. Голушко, Spin-код: 8826-8439, e-mail: s.k.golushko@gmail.com. Б.В. Семисалов, e-mail: ViBiS@ngs.ru. Конструкторско-технологический институт вычислительной техники СО РАН, г. Новосибирск; Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск

Цель работы заключается в моделировании деформирования анизогридных цилиндрических оболочек. На основе уравнений пространственной теории упругости и континуального подхода построена модель деформирования таких оболочек и поставлена краевая задача в перемещениях, соответствующая осевому сжатию конструкции.

Для решения задачи разработан численный метод, основанный на разложении решения в базисе Фурье и базисе, состоящем из многочленов Чебышёва. Такой способ приближения неизвестных функций позволяет рассчитывать характеристики напряжённо-деформированного состояния конструкции с высокой точностью и малыми вычислительными затратами.

Ключевые слова - анизогридная цилиндрическая оболочка, углепластик, континуальная модель, базис Фурье, полином Чебышёва, схема без насыщения,

Размещено на Allbest.ru