Рух керованої системи за мінімальний час

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 519.248

Рух керованої системи за мінімальний час

Гладун Л.В., к. ф. - м. н., доцент,

Тичинський Е.Е., магістр ФПМ і КІС

Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне

Розглянута задача швидкодії при наявності статичної перешкоди. Розроблений алгоритм огинання перешкоди та віднаходження оптимального часу руху.

The task of fast-acting is examined at presence in case of static obstacle. The algorithm of round of obstacle and finding of optimum time of motion is developed.

В сучасних умовах при наукових дослідженнях в багатьох випадках розглядають процеси, в яких є можливість за допомогою зміни певних параметрів впливати на хід їх розвитку.

Оскільки в математичній інтерпретації саме керування є зміною тих чи інших параметрів, то задачі керування зводяться до того, щоб знайти ті значення параметрів, при яких досягається поставлена ціль оптимально (в задачах швидкодії - за найкоротший час) [1].

В даній роботі досліджуємо задачу швидкодії, тобто переміщення певного об'єкту системи з певного положення до деякого заданого за найкоротший час. Розглянутий випадок ускладнений наявністю статичної перешкоди. рух статичний траєкторія

Завданням є розробити такий алгоритм, який би давав змогу обійти цю перешкоду по оптимальній траєкторії або ж встановити той факт, що огинання перешкоди здійснити неможливо. На практиці це означає в залежності від дій зовнішнього середовища в певний момент прийняти необхідні дії, тобто здійснити керування.

Мета роботи полягає у тому, щоб на основі напрацювань сучасної науки знайти розв'язки задачі швидкодії при наявності статичної перешкоди.

Під лінійною системою керування розуміють систему, рух якої описується лінійною системою диференціальних рівнянь вигляду

(1)

де u_i- параметр керування; - деякі відомі функції.

Якщо a_ij, b_ik - сталі, то лінійна система керування називається стаціонарною [2]. Надалі будемо розглядати тільки стаціонарні системи.

Лінійна система (1) називається цілком керованою, якщо для довільних двох точок , з фазового простору Rⁿ і довільних двох значень t₀, t₁ існує керування u(t), яке визначене , таке, при якому система має розв'язок, який задовольняє умови

(2)

Цілком керованість системи означає, що завжди існує керування, яке переводить її з довільного початкового стану в довільний кінцевий стан.

Нехай - замкнений випуклий багатокутник простору R^m, який містить початок координат, що не є вершиною випуклого многокутника, X⁰ - початковий стан системи в початковий момент t₀.

Задача швидкодії полягає в тому, щоб знайти таке керування , яке цілком керовану лінійну стаціонарну систему переводить із довільної заданої точки X⁰ (початкового стану системи в початковий момент часу t₀) в довільну кінцеву точку X¹ (кінцевий стан системи в кінцевий момент t₁) за найкоротший час T = t₁ - t₀ , t₁ - невідомий кінцевий момент [3].

Для простоти сприйняття кінцевою точкою будемо брати початок координат.

Розглянемо задачу швидкодії при наявності статичної перешкоди. Перешкодою будемо вважати однорідне непрозоре тіло круглої форми радіуса R_p, через яке неможливо здійснити рух наскрізь. Об'єкт, рух якого досліджуємо, вважаємо матеріальною точкою.

Нехай рух керованої системи описується системою рівнянь:

, (3)

а на параметри керування накладені умови

(4)

Вважаємо, що перешкода може знаходитись у довільній точці площини. Крім того перешкода не повинна містити початок координат та сам об'єкт, що рухаєтья. Потрібно за допомогою зміни параметрів керування знайти траєкторії руху системи з довільної точки площини в початок координат за найкоротший час.

Розв'язок задачі знаходимо згідно наступного алгоритму:

1. Визначаємо оптимальні траєкторії руху системи без наявності перешкоди. Використовуючи принцип максимуму Понтрягіна [4], отримаємо оптимальні траєкторії руху системи із довільної точки в початок координат (див. Рис. 1).

Введемо позначення - траєкторія руху при параметрах керування u₁=i, u₂=j; - що відповідає сімейству траєкторій, що паралельні .

Тоді

а) якщо точка, тоді система рухається по траєкторії KO, оптимальний час переміщення

(5)

б) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії LO, оптимальний час переміщення

(6)

в) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії NO, оптимальний час переміщення

(7)

Рис. 1. Оптимальні траєкторії руху системи без наявності перешкоди

г) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії MO, оптимальний час переміщення

(8)

д) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії AL'O, оптимальний час переміщення

(9)

е) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії BN'O, оптимальний час переміщення

(10)

є) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії DN”O, оптимальний час переміщення

(11)

ж) якщо точка , тоді система рухається по траєкторії CL”O, оптимальний час переміщення

(12)

2. Встановлюємо, чи рух системи блокований перешкодою.

Нехай маємо перешкоду, система знаходиться в точці . Якщо перешкода не заважає переміщенню системи по траєкторіям, знайденим у пункті 1, то задача є розв'язаною. Тому необхідно дослідити чи заважає перешкода рухові по знайденим траєкторіям.

Критерій блокованості траєкторії будемо вважати наступним:

, (13)

де - радіус перешкоди; - відстань від перешкоди до траєкторії руху (див. рис. 2, відстань АВ), яку можна знайти за формулою

(14)

де (x_1р, x_2р) - координати точки центру перешкоди (див. рис. 2, точка А); (x₁, x₂) - координати найближчої до центру перешкоди точки траєкторії (див. рис. 2, точка В).

Рис. 2. Відстань від перешкоди до траєкторії

Для знаходження координат (x₁, x₂) необхідно розв'язати систему рівнянь:

, (15)

де f(x) - функція, що задає траєкторію, f(x)=ax²+bx+c; a,b,c - для конкретної траєкторії-параболи відомі.

Далі завдяки формулі (14) отримаємо значення відстані до траєкторії. Якщо розв'язків системи декілька, то вибираємо той, при якому відстань найменша.

3. Знаходимо способи огинання перешкоди.

Через кожну точку фазового простору проходить 4 можливих траєкторії руху. По кожній з них ми можемо рухатись та в разі потреби переходити на рух по іншій, змінюючи значення параметрів керування.

Під «огинання» будемо розуміти зміну траєкторії руху системи, завдяки чому система переміститься у положення, з якого зможе рухатись по оптимальним траєкторіям, описаним в пункті 1.

При цьому загальний час руху буде рівний

, (16)

де T_о - час, який необхідний для огинання перешкоди; T - час, який затрачається після огинання перешкоди, для руху в початок координат по оптимальним траєкторіям, він знаходиться за формулами описаними в пункті 1.

Для знаходження огинання перешкоди шукаємо висхідні і низхідні траєкторії, тобто такі, які дотикаються до перешкоди відповідно зверху та знизу. Для їх знаходження використаємо рівність:

, (17)

яка відповідає системі рівнянь:

, (18)

Далі необхідно знайти шукані значення с, які будуть відповідати висхідній та низхідній траєкторіям.

Знайдемо для системи час переміщення по траєкторіям між довільними двома точками та при конкретних значеннях параметрів, а саме:

якщо L₊₁₊₁ , то ; (19)

якщо L_+1-1 , то ; (20)

якщо L_-1-1 , то ; (21)

якщо L_-1+1 , то . (22)

Розглянемо наступне положення перешкоди відносно об'єкту:

Рис.3. Огинання перешкоди. Випадок 1

Спробуємо обминути перешкоду зліва. Потрібно зміною параметрів керування перейти на низхідну траєкторію L_-1+1. Для цього необхідно рухатись по траєкторії L_-1-1, що проходить через точку .

Для здійснення огинання необхідно рухатись до точки перетину L_-1+1 та L_-1-1 (точка А, див. Рис. 3), далі необхідно рухатись в точку перетину траєкторій L_-1+1 та висхідної L₊₁₊₁ (точка В, див. Рис. 3.3). В тому випадку коли точки В не існує, тобто траєкторії L₊₁₊₁ та L_-1+1 не перетинаються, обминути в такий спосіб перешкоду неможливо.

Позначимо координати точки А і точки В через і відповідно. Час огинання рівний

, (23)

де T_о - загальний час огинання; T₁ - час, необхідний для того, щоб переміститися в точку А; T₂ - час, необхідний для того, щоб переміститися в точку В.

Згідно формул (19)-(22) отримаємо

.

Отже, час огинання перешкоди знайдений

(24)

Далі необхідно порахувати час за формулами знайденими в пункті 1 (замість координат початкової точки потрібно використовувати координати точки В) та знайти загальний час руху.

Варто зазначити, що при переході на параболу L_-1+1 ми можемо рухатись не по оптимальній траєкторії. Щоб цього уникнути, потрібно обрахувати координати додаткових точок та - це точки перетину низхідної траєкторії L_-1-1 та низхідної параболи L_-1+1 та L_-1+1, що проходить через точку , відповідно (див. рис. 4). Ми маємо два шляхи переходу з точки в точку . Порахувавши час на кожному з них та вибравши мінімальний, ми знайдемо оптимальний перехід з точки на параболу L_-1+1. Час переміщення точки в точку через точку :

(25)

Час переміщення точки в точку через точку :

(26)

Рис.4. Оптимальне перемикання траєкторії

Надалі при знаходженні шляху переходу на низхідні/висхідні траєкторії ми завжди будемо знаходити саме шлях оптимального переходу на траєкторію методом описаним вище, хоча не завжди будемо вказувати це.

Розглянемо спосіб огинання перешкоди справа. Для цього необхідно потрапити в точку С, щоб перейти на висхідну траєкторію L_-1+1 (див. рис. 5). Далі будемо проводити рух до точки D, точки перетину траєкторії L_-1+1 та висхідної L_-1-1. Діставшись точки рух будемо продовжувати згідно формул (19)-(22) знайдених у пункті 1. Далі необхідно знайти загальний час руху - скористаємося формулою (23).

Рис.5. Огинання перешкоди. Випадок 2

Рис. 6. Огинання перешкоди. Випадок 3

В цьому випадку можемо оминати перешкоду згори та знизу.

Для того, щоб оминути перешкоду знизу потрібно перейти на низхідну траєкторію L_-1-1 . Варто зауважити, що це можливо не завжди. Є ряд випадків, коли з коли з всі параболи напрямлені вгору , крім L_-1-1 , по якій ми не зможемо перейти на паралельну їй же самій траєкторію.

Рис.7. Огинання перешкоди. Випадок 4

В більшості випадків оминути таку перешкоду згори вдається. Для цього необхідно перейти на висхідну L_-1-1 . Знайдемо координати точки А - точки перетину висхідної L_-1-1 та параболи L₊₁₊₁ , що проходить через

Як правило, розв'язання задач оптимального керування є досить складним завданням, яке потребує застосування знань з багатьох прикладних наук. Адже навіть у найпростіших випадках вимагає проведення численних обрахунків, неодноразове розв'язання систем лінійних алгебрагічних та диференціальних рівнянь. Останнє в цілому не завжди є легкою задачею, а інколи без числових методів взагалі неможливо знайти їх розв'язок.

У роботі ми розглянули задачу швидкодії при наявності статичної перешкоди. Основною їх метою є знаходження мінімального часу, необхідного для переміщення керованої цілком керованої системи з одного положення в інше. У випадку з перешкодою це здійснити не завжди можливо. Для уникнення перешкоди був розроблений алгоритм огинання перешкоди.

Для автоматизації знаходження розв'язків поставленої задачі була розроблена програма на Delphi. Її призначення - знаходження оптимальних траєкторій руху серед всіх можливих, обрахунок мінімального часу переміщення керованої системи.

Програму можна використовувати як для одно-, так і для двопараметричних задач швидкодії при наявності перешкоди чи без неї.

Отримані результати дають наукове підґрунтя для подальшого дослідження задач швидкодії. Так можна розглянути більш складні випадки: переміщення керованого об'єкта в точку відмінну від початку координат при наявності декількох перешкод, рух керованого об'єкту при динамічній появі перешкод, розробка алгоритму руху керованої системи при рухомій перешкоді і т.п.

Литература

1. Математическая теория оптимальных процессов. /Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. - М., Наука, 1976.

2. Основы теории оптимальных систем. /Моисеев Н.Н. - М.: Изд-во "Наука", 1975.

3. Теория линейных систем автоматического регулирования. /Попов Е.П. - М.: Изд-во «Наука», 1989.

4. Принцип максимума в оптимальном управлении. /Понтрягин Л.С. - М., Наука, 1990.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. /Понтрягин Л.С. - М., 1961. 1965.

6. Вариационное исчисление /Гельфанд И.М., Фомин СВ. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 228 с.

7. Обыкновенные дифференциальные уравнения. /Арнольд В.И. - М.: Наука, 1984. - 272 с.

8. Диференціальні рівняння. /Ляшко І.І., Боярчук О.К., Гай Я.Г. Калайда О.Ф. - К.: Вища школа, 1981. - 504 с.

9. Справочник по теории автоматического управления /Под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, 1987 - 612 с.

10. Delphi 7. Учебный курс. /Бобровский С.И. - СПб.:Питер, 2003. - 736 с .

Размещено на Allbest.ru