Решение многомерной задачи теплопроводности конечного цилиндра в виде произведения решений одномерных задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ

Е.Г. Ульченко

Аннотация

Рассмотрен аналитический метод поиска решения двумерной задачи теплопроводности конечного цилиндра в виде произведения решений одномерных уравнений теплопроводности бесконечной пластины и бесконечного цилиндра.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, бесконечная пластина, бесконечный цилиндр, стандартизирующая функция, функция Грина, температурное поле

Основная часть

Получение решения многомерных задач теплопроводности в аналитической форме является либо очень трудоемким, либо невыполнимым процессом. Тем не менее существует ряд методов, позволяющих получить решение исходной задачи в аналитической форме. Одним из таких методов является метод представления решения многомерной задачи в виде произведения решений одномерных задач [1, стр. 39]. Для широкого круга задач определены так называемые функции Грина. Функция Грина описывает реакцию управляемой распределенной системы с нулевыми начальными и однородными граничными условиями на точечное импульсное воздействие вида дельта-функции, приложенное в произвольной, но фиксированной точке [2, стр. 50]. Зная функцию Грина, можно записать решение задачи для ненулевых начальных и неоднородных граничных условий при заданном входном воздействии, которые учитываются стандартизирующей функцией.

Общее уравнение теплопроводности для случая комбинированного радиального и осевого потока тепла в сплошном или полом цилиндре имеет вид

, (1)

где - температура цилиндра, - радиус цилиндра, - длина цилиндра, - температурный коэффициент, - функция внутренних источников тепла.

Рассмотрим наиболее простой случай:

(2)

Уравнение теплопроводности для бесконечной пластины имеет вид [3, стр. 51]:

. (3)

Если , , , , , , то стандартизирующая функция , а функция Грина [3, стр. 51]:

. (4)

Уравнение теплопроводности для радиального потока в бесконечном цилиндре [3, cтр. 64]:

. (5)

Если , , , , , то стандартизирующая функция , а функция Грина [1, cтр. 197]:

, (6)

где - корни уравнения .

Стандартизирующая функция для ограниченного цилиндра (1) в условиях (2):

, (7)

а функция Грина определяется произведением:

, (8)

.(9)

Температурное поле цилиндра определяется [2, cтр. 64]

. (10)

После соответствующей подстановки (7) и (9) в (10) и интегрирования решение уравнения (1) в условиях (2) примет вид:

. (11)

цилиндр температурный теплопроводность одномерный

Задав начальную температуру, геометрические размеры и свойства материала цилиндра (например стали): , , , , построим температурное поле цилиндра по формуле (11) в заданный произвольный момент времени t, например при t=60 c. Для проверки построим температурное поле цилиндра с использованием математического пакета Comsol Femlab 3.1, задав исходное уравнение (1), граничные условия (2) и t=60 c.

Сравнение рис. 1 а и 1 б показывает, что решение (11), полученное аналитически, и решение, полученное с использованием математического пакета, совпадают, следовательно, полученное аналитическое решение (11) верно.

При наличии теплообмена на боковой поверхности цилиндра со средой нулевой температуры граничные условия изменятся, т.е. условия (2) примут вид:

(12)

Уравнение теплопроводности (3) и функция Грина (4) для бесконечной пластины будут такие же, как и в предыдущем случае, т.к. условия на границах пластины остались прежними. Для цилиндра уравнение теплопроводности (5) не изменится, а функция Грина (6) в новых условиях:

, , , , , примет вид [1, cтр. 199]:

, (13)

где - корни уравнения .

а б

Р и с. 1 Температурное поле цилиндра при t=60 c: а - расcчитанное по формуле (11), б - рассчитанное методом КЭ в пакете Femlab 3.1

Подставив (13) и (4) в (8), запишем функцию Грина для конечного цилиндра с теплообменом на боковой поверхности:

(14)

Стандартизирующая функция, в условиях (12):

. (15)

После подстановки (14) и (15) в (10) и интегрирования решение уравнения (1) в условиях (12) примет вид:

(16)

Температурные поля цилиндра, рассчитанные по формуле (16), при в различные моменты времени t представлены на рис. 2.

Для проверки на рис. 3 построены температурные поля цилиндра в математическом пакете Comsol Femlab 3.1 с использованием исходного уравнения (1) и граничных условий (12).

а б

Р и с. 2 Температурное поле цилиндра, рассчитанное по формуле (16): а - при t=60 c, б -при t=1800 c

а б

Р и с. 3 Температурное поле цилиндра, рассчитанное методом КЭ в пакете Femlab 3.1: а - при t=60 c, б - при t=1800 c

Как и в первом случае, решения, представленные на рис. 2 а и 3 а, 2 б и 3 б, совпадают, что подтверждает верность полученного решения (16).

Таким образом, в данной работе получены точные решения в аналитической форме для двумерной задачи теплопроводности путем перемножения известных функций Грина одномерных задач и последующего интегрирования их произведения. Совпадение аналитических решений с решениями, полученными численными методами в компьютерных пакетах, доказывает верность полученных аналитических решений.

Библиографический список

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2003. 299 с.

3. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 224 с.

Размещено на Allbest.ru