Розподілення електростатичного потенціалу між циліндричними електродами складної конфігурації

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 ISSN 0485-8972 Радіотехніка 2001 вип. 117

РОЗПОДІЛЕННЯ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОТЕНЦІАЛУ МІЖ ЦИЛІНДРИЧНИМИ ЕЛЕКТРОДАМИ СКЛАДНОЇ КОНФІГУРАЦІЇ

О.М. Нікітенко канд. техн. наук

Дослідження та моделювання фізичних процесів реальних об'єктів вимагають у залежності від деталізації опису процесу уточнення або додаткового опису окремих складових частин, що розглядаються.

У багатьох задачах вакуумної електроніки при дослідженні фізичних процесів, що мають місце в електронних приладах, постає необхідність визначення розподілення електричних полів у міжелектродному просторі, як основного чинника.

На першій стадії теоретичних досліджень фізичних процесів у таких приладах необхідно визначити ті початкові та межові умови, під впливом яких відбувається робота приладу. Однією з таких умов є розподілення електростатичного потенціалу у міжелектродному просторі.

Здебільшого конфігурація електродів таких приладів не є циліндричною, а має більш складну форму.

Методиці визначення розподілення електростатичного потенціалу між електродами складної конфігурації й присвячено цю статтю.

Формулювання задачі. Конфігурація систем зі схрещеними полями, котрі є базовими для приладів М-типу, має один з електродів, що називається сповільнюючою системою, просторово-періодичної форми по азимуту (див. рисунок).

а б

Рисунок

Для таких конфігурацій простору взаємодії необхідно знайти розподілення електростатичного потенціалу за умови, що між електродами існує різниця потенціалів U0.

Розподілення потенціалу у таких системах визначається розв'язком рівняння Лапласа, що записано у циліндричних координатах [1 -- 3]

Для узагальнення системи на будь-які розміри доцільніше перейти до безрозмірних координат. Тоді матимемо

, (1)

де s=r/rc.

Таким чином, необхідно здобути розв'язок рівняння (1) за таких межових умов

U(1) = 0; (2)

U(G) = Ua,

де G -- поверхня анодного блоку.

Побудова розв'язку рівняння Лапласа за складних межових умов

Для розв'язання рівняння (1) використаємо метод розділення змінних.

Отже, загальний розв`язок рівняння (1) з застосуванням методу розділення змінних має вигляд

. (3)

Періодом анодної сповільнюючої системи зі схрещеними полями, як наведено на рисунку, є кут АОЕ, або у кутовому обчисленні 2p/N, де N - кількість резонаторів анодної системи. Тоді вираз (3) матиме вигляд

(4)

через те, що .

Для знаходження конкретного вигляду виразу (4) необхідно застосувати межові умови.

1. Межові умови на катоді

u(1,j) = 0

Через це Cn + Dn = 0, звідси Dn = - Cn. Після визначення коефіцієнту Dn, розв`язок (2) матиме вигляд

. (5)

Межові умови на аноді

2. Дуга АВ

s = sL

- q Ј j Ј q

3. Відрізок ВС

sa Ј s Ј sL

j = q

4. Дуга CD

s = sa

q Ј j Ј 2p/N - q

5. Відрізок DE

sa Ј s Ј sL

j = 2p/N - q

Порівняємо умови 3 та 5

Звідси випливає, що

.

Позначимо Fn = AnCnsinNnq, тоді , або

Для будь-якого фіксованого s це рівняння виконуватиметься за Fn = 0. Таким чином, остаточно маємо

(6)

Отже, залишилося визначити коефіцієнти А0 та Аn.

Визначення коефіцієнтів у розв'язанні рівняння Лапласа

Визначити коефіцієнти у виразі (6) можна за допомогою кількох методів: розвинення виразу (6) у ряд Фур'є, варіаційних методів, методу Л.В. Конторовича, методу Треффтца, методів Рітца та Гальоркіна, методу сіток тощо.

Для визначення коефіцієнтів Аі розвинемо вираз (6) у ряд Фур`є. При визначенні коефіцієнтів ряду Фур`є зауважимо, що вираз (6) є парною функцією, тоді коефіцієнти ряду Фур`є визначаються як [4]

.

1. Розвинемо ліву частину виразу (6)

.

2. Розвинемо перший доданок правої частини

3. Розвинемо другий доданок правої частини

За m = n

.

За m n

Для перевірка правильності обчислення коефіцієнтів ряду Фур`є припустимо, що sa = sL, тоді

a0 = 2Ua; am = 0

a0 = 2A0lnsa; am = 0

a0 = 0; am = Am (m = n); am = 0 (m n)

2Ua = 2A0lnsa + 0 + 0 + . . . . .

0 = 0 + A1+0 + . . . . .

0 = 0 + 0 +A2+ . . . . .

An = 0

Звідси A0 = Ua /lnsa. що збігається з розв`язком для магнетронного діода. Отже, за допомогою розвинення виразу (6) у ряд Фур`є й наступного розв'язання системи лінійних рівнянь, можна визначити коефіцієнти Аі, котрі для кількох конструкцій системи зведено в таблицю 1.

Таблиця 1

У рядіі випадків застосування методу Треффтца призводить до простіших обчислень у порівнянні з застосуванням методів Рітца та Гальоркіна, оскільки за методом в Треффтца обчислюються лише інтеграли по межі області, а не по самій області.

Для визначення коефіцієнтів виразу (6) скористаємося методом Треффтца. Метод Треффтца є дещо протилежним щодо методів Ритца та Гальоркіна. В останніх методах розв'язок задачі шукають у вигляді лінійної комбінації функцій, котрі задовольняють диференційному рівнянню, але не задовольняють межовим умовам.

Невизначені коефіцієнти, що входять до розв'язку задачі, за методом Треффтца визначаються таким чином, аби найточніше виконувалися межові умови; у методах Ритца та Гальоркіна невизначені коефіцієнти визначаються з умови найточнішого розв'язання диференційного рівняння задачі.

Методика знаходження коефіцієнтів за використанням цього метода була детально розглянута у [2, 3]. Тут ми лише наведемо результати обчислення коефіцієнтів рівняння (6), що отримано за методом Треффтца (табл. 2).

Таблиця 2

Порівнюючи значення коефіцієнтів у таблицях 1 та 2, можна зробити висновок, що за порядком коефіцієнти збігаються. Отже, за необхідності й коли не вимагається висока точність результатів, то можна розраховувати коефіцієнти рівняння (6) за методом Треффтца [5].

Запропоновану методику визначення розподілення електростатичного потенціалу можна застосовувати для циліндричних конструкцій зі складною конфігурацією електродів.

Список літератури

електростатичний лаплас фур'є

1 Morishita Y. CAD of Microwave Tubes //Теребідзьон гаккай ші. 1978. vol. 32. N 3. P. 182 -- 188. Яп.

2.. Нікітенко О.М. Розподілення електростатичного потенціалу в циліндричному магнетроні // Радіотехніка. 2000. Вип. 113. С. 113 -- 120.

3. Нікітенко О.М Розподілення електростатичного потенціалу в циліндричному магнетроні оберненої конструкції. // Радіотехніка. 2000. Вип. 115. С. 111 -- 116.

4. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. -- 384 с. 5. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходеев Н.Н. Методы рачсета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. -- 415 с.

Размещено на Allbest.ru