Теория неупругих слоистых и блочных сред

Размещено на http://www.allbest.ru

На правах рукописи

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора

физико-математических наук

ТЕОРИЯ НЕУПРУГИХ СЛОИСТЫХ И БЛОЧНЫХ СРЕД

01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

Никитин Илья Степанович

Москва 2008

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук и Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Бураго Николай Георгиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кукуджанов Владимир Николаевич (Институт проблем механики РАН),

доктор физико-математических наук, профессор Кондауров Владимир Игнатьевич (Московский физико-технический институт),

доктор физико-математических наук, профессор Якушев Владимир Лаврентьевич (Институт автоматизации проектирования РАН)

Ведущая организация - Институт Физики Земли РАН (ИФЗ РАН, Москва)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики Российской академии наук.

Ученый секретарь Диссертационного совета

Д 002.240.01 при ИПМех РАН,

Кандидат физико-математических наук Сысоева Е.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена построению континуальных математических моделей слоистых и блочных сред с проскальзыванием и отслоением и разработке численных методов решения полученных систем уравнений. Эта научная проблема актуальна в связи с потребностью изучения процессов деформирования слоистых и блочных массивов в геофизических приложениях, при исследовании взаимодействия сейсмических волн с подземными сооружениями, в инженерно-строительном деле с учетом возможных проскальзываний и отслоений на контактных границах структурных элементов среды.

Цель работы. Необходимость решения научных задач, поставленных и исследованных в диссертации, следует из потребностей теории и практики. Эти потребности заключаются в эффективном описании механических процессов, протекающих в структурно-периодических средах, допускающих относительные касательные и нормальные смещения с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах. Научные цели диссертации включают континуальную математическую формулировку моделей слоистых и блочных сред, учитывающую возможные разнообразные формы укладки структурных элементов - блоков, разработку численных методов решения полученных систем уравнений, численную реализацию соответствующих алгоритмов и решение ряда характерных прикладных задач динамического и квазистатического деформирования слоистых и блочных массивов. скольжение напряженный изотропный

Методика исследования. В диссертации принят унифицированный подход к построению континуальных моделей структурно-периодических сред с возможными относительными смещениями на контактных границах, основанный на представлениях теории скольжения Батдорфа-Будянского. Численный алгоритм расчета полученных систем уравнений опирается на метод конечных объемов и оригинальную явно-неявную аппроксимацию по времени, учитывающую особенности модели, связанные с нелинейными условиями скольжения на границах структурных элементов.

Серьезное влияние на выработку единого подхода к построению моделей неупругих сред, основанного на представлениях теории скольжения, оказали своими трудами следующие ученые: S.B. Batdorf, B. Budiansky, T.H. Lin, J.W. Hutchinson, В.Д. Клюшников, М.Я. Леонов, А.К. Малмейстер, А.Н. Мохель, Р.Л. Салганик, С.А. Христианович, Н.Ю. Швайко. Математическая теория осреднения структурно-периодических сред, послужившая толчком к постановке проблемы, заложена в работах Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, Б.Е. Победри, E. Sanchez-Palencia.

Анизотропные упругие модели слоистых массивов развивались в работах А.В. Бакулина, Н.В.Зволинского, Л.А. Молоткова, Р.Л.Салганика, К.Н.Шхинека. Анизотропные неупругие модели слоистых и блочных сред на основе ассоциированных и неассоциированных законов пластического течения предлагали Р.В.Lourenco, L.W. Morland, А. Zucchini.

Развитые в диссертации численные методы решения нестационарных упругопластических, упруговязкопластических, а в более общем случае, гиперболических систем уравнений восходят к трудам P.D. Lax, B. Wendroff, M.L. Wilkins, R.W. MacCormack, С.К. Годунова, В.Н.Кукуджанова, А.А. Самарского, Н.Н. Яненко.

В диссертации использованы и многочисленные иные источники, ссылки на которые приведены в списке литературы. Привести их в автореферате в полном объеме не представляется возможным.

Научная новизна. В диссертации дан вариант решения крупной актуальной научной проблемы создания математических моделей неупругих слоистых и блочных сред и разработки численного метода решения полученного класса гиперболических систем.

Основными элементами новизны в диссертации являются следующие:

· разработка метода интегрирования соотношений теории скольжения для случая трехмерного напряженного состояния;

· на этой основе, в предположении малой вязкости, построение определяющих соотношений изотропной упруговязкопластической модели сплошной среды; установление зависимости показателя нелинейной функции релаксации от структуры трехмерного напряженного состояния;

· в предположении малого превышения главным касательным напряжением предела текучести, построение определяющих соотношений изотропной упругопластической теории течения; определение состояний активного, частичного нагружения и разгрузки, установление зависимости коэффициентов модели от структуры трехмерного напряженного состояния;

· построение анизотропной упруговязкопластической модели слоистой среды с учетом проскальзывания с трением и отслоения на межслойных границах на основе дискретного варианта теории скольжения;

· построение анизотропной упруговязкопластической модели блочной среды с учетом проскальзывания с трением и отслоения на межблочных границах на основе дискретного варианта теории скольжения; учет разнообразных форм укладки блоков («кирпичная кладка», «паркет») в определяющих соотношениях модели;

· разработка явно-неявного алгоритма, основанного на методе конечных объемов, для расчета полученных анизотропных упруговязкопластических систем уравнений с учетом малого параметра вязкости;

· обобщение явно-неявного алгоритма на случай общих упруговязкопластических систем уравнений;

· реализация упомянутых алгоритмов и численное решение набора новых задач о динамическом и квазистатическом деформировании слоистых и блочных массивов различной геометрии с определением зон скольжений и отслоений.

Практическое значение диссертации. Разработанные модели и алгоритмы численного решения полученных систем уравнений могут быть использованы для теоретического и численного анализа ряда природных и технологических процессов. Задачи и полученные решения поставлены и выполнены в рамках плановых научно-исследовательских работ: взаимодействие волн с полостями и сооружениями в слоистом и блочном массивах исследовались по совместным проектам с НИИ «ГИДРОПРОЕКТ», 26-м Центральным Научно-Исследовательским Институтом МО РФ, Научно-Исследовательским Центром 26-го ЦНИИ МО РФ, 12-м Центральным Физико-Техническим Институтом МО РФ, финансировались в серии проектов РФФИ, координировавшихся Н.Г.Бураго. Численное исследование процессов контактного взаимодействия протяженных пластин проводилось по совместным проектам с Научно-исследовательским и конструкторским институтом монтажной технологии «НИКИМТ». Востребованность результатов исследований по моделированию динамических процессов в слоистых и блочных средах указывает на их серьезное практическое применение.

Достоверность полученных результатов основана на применении хорошо зарекомендовавших себя математических методов построения моделей неупругих сплошных сред, исследовании корректности постановки начально-краевых задач для полученных систем уравнений. Сходимость численных решений проверялась последовательным дроблением расчетных сеток. Точность исследовалась на примерах модельных задач с известным численным или аналитическим решением. Применялись различные аппроксимации при численном моделировании, хорошее совпадение полученных решений придает уверенности в их достоверности.

Апробация работы. Результаты исследований, полученные в диссертации, были представлены на многих отечественных и зарубежных конференциях и семинарах.

Доклады по построению моделей неупругих сред на основе теории скольжения представлялись на Школах по механике горных пород под руководством академика С.А. Христиановича (Алушта, 1987, Симферополь, 1990), на семинаре Института механики Болгарской АН (София, 1990), на XIV и XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2005, 2007), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), на Международной конференции EMMC-10 « Multi-phases and multi-components materials under dynamic loading» (Казимеж Дольный, Польша, 2007), на XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Саратов, 2007). Доклады по численным методам решения и явно-неявной аппроксимации упруговязкопластических систем уравнений с малым параметром вязкости представлялись на Коллоквиуме С3 (Страсбург, 1991), на III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2006). По мере получения результатов по построению моделей и разработке численных методов, соответствующие доклады делались на семинарах Института проблем механики РАН и Московского Физико-Технического Института.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 220 страниц. Рисунки включены в текст, список литературы занимает 21 страницу и содержит 188 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследования, обосновывается его актуальность. Описывается структура работы и краткое содержание глав. Приводится список работ автора по теме диссертации.

Первая глава содержит обзор литературы по методам построения моделей сплошных сред с дополнительными внутренними переменными и, в частности, по моделям слоистых и блочных сред. Также дан обзор работ по теории скольжения, представления которой широко используются в диссертации. Отдельный раздел посвящен обзору работ по численным методам решения систем уравнений, описывающих поведение упругопластических и упруговязкопластических сред. Отмечены работы, посвященные алгоритмам корректировки компонент тензора напряжений при численных расчетах за пределом текучести, а также разработке алгоритмов расчета контактных взаимодействий.

Вторая глава посвящена построению упруговязкопластической модели деформируемого твердого тела на основе теории скольжения Батдорфа-Будянского для случая сложного трехмерного напряженного состояния. Основная идея теории скольжения заключается в следующем. Если выбраны условия контактного взаимодействия на единичной площадке скольжения в фиксированной точке деформируемого тела, то путем интегрирования относительных сдвигов по всем площадкам, содержащим данную точку, для которых условия сцепления нарушены, можно получить в общем виде выражение для тензора пластической деформации. Первая теория такого типа была предложена Batdorf S.B., Budiansky B. (1952). Более поздние теории развивались в работах В.Д. Клюшникова (1958), М.Я.Леонова, Н.Ю. Швайко (1964), А.К. Малмейстера (1965), Hutchinson J.W. (1970). Кинематическая взаимосвязь пластических сдвигов на различных плоскостях скольжения учитывалась в работе А.Н. Мохеля, Р.Л. Салганика, С.А. Христиановича (1983). В этих работах интегральные представления для тензора пластической деформации исследовались для конкретных процессов нагружения, либо для случаев одноосного или плоского напряженного состояний, либо численно. Произвести аналитическое интегрирование по всевозможным площадкам скольжения в случае произвольного трехмерного напряженного состояния, по-видимому, пока никому не удавалось. Это связано как со сложной нелинейной зависимостью области интегрирования от структуры напряженного состояния (при учете вклада всевозможных площадок, где нарушено условие сцепления), так и со сложным нелинейным характером условий скольжения (пластического сдвига).

В данной главе, на основе представлений, описанных в [14,15,17,19], аналитическое интегрирование локальных соотношений теории скольжения реализовано для общего трехмерного напряженного состояния. В результате получен новый вариант теории упруговязкопластической среды, отвечающий зависимости локальных контактных условий на площадках скольжения от скорости проскальзывания.

Примем гипотезу о том, что в каждой точке рассматриваемой среды скольжение (пластический сдвиг) может происходить вдоль любой плоскости с нормалью , проходящей через эту точку. В декартовой системе координат напряженное состояние в этой точке задается тензором напряжений . Вектор скольжения равен относительной скорости проскальзывания вдоль выбранной плоскости. Вектор касательного напряжения на этой плоскости равен . Направление скольжения совпадает с вектором и начинается при выполнении критического условия , или при нормировании напряжений на условия .

Рассмотрим условие скольжения на единичной площадке следующего вида. Вклад скольжений по плоскостям, у которых нормаль лежит внутри телесного угла , определяется вектором :

(1)

где - функция Хевисайда, при , при , - коэффициент вязкости. В дальнейшем будем использовать обозначение , принятое в теории упруговязкопластичности. При малых коэффициентах вязкости рассматриваемое условие близко к условию сухого трения с добавленной малой зависимостью от скорости проскальзывания.

В соответствии с представлениями теории скольжения вклад скольжений вдоль площадок с нормалью внутри телесного угла в тензор скоростей пластической деформации равен:

(2)

Для того чтобы вычислить полный тензор скоростей пластической деформации, необходимо проинтегрировать вклады по всем возможным площадкам скольжения. Перейдем в систему координат, связанную с главными осями тензора напряжений такую, что главные значения тензора напряжений удовлетворяют неравенствам , , а ее базисные векторы образуют правую тройку, и введем связанную с ней сферическую систему координат ,,.

Компоненты тензора скоростей пластической деформации (2) будут иметь вид:

Полные (интегральные) компоненты этого тензора получаются интегрированием по всем площадкам скольжения:

(3)

Условие для определения пределов интегрирования по и имеет вид:

(4)

Здесь обозначено:

, , .

В переменных , где , условие (4) примет форму неравенства для биквадратного трехчлена относительно :

(5)

Корни соответствующего биквадратного уравнения равны:

Решением неравенства (5) будет диапазон:

При этом должно выполняться условие или . Условие выполняется при любых , а условие при , . Условие выполняется при любых , а условие при и при . Таким образом, область допустимых значений для в плоскости имеет вид, показанный на Рис.1. Она представляет собой внешность заштрихованной фигуры, причем при >1 предел интегрирования отрицателен и должен быть заменен на 0.

Контур интегрирования по с учетом определения переменных представляет собой часть окружности , расположенную в разрешенной (незаштрихованной) области в плоскости ( Рис. 1 ).

Рис. 1

Интегралы (3) для компонент тензора скоростей пластической деформации несложно проинтегрировать по и они принимают вид

(6)

Подынтегральное выражение довольно громоздко, и не выписывается. Пределы интегрирования неотрицательны, а коэффициент 2 появляется для учета отрицательных значений (после извлечения корней из ). Проинтегрировать по интеграл (6) аналитически с учетом сложной нелинейной зависимости и от не представляется возможным. Однако при малых значениях коэффициента вязкости можно предположить по аналогии со стандартной теорией упруговязкопластической среды, что напряжения будут находиться в окрестности «поверхности текучести», релаксируя на нее с малым характерным временем порядка . В данном случае это означает, что контур интегрирования при малой вязкости будет мало «выступать» за пределы заштрихованной области на Рис.1. С учетом возникающего малого параметра можно проинтегрировать (6) по .

Проведем анализ возможных вариантов расположения контура и вычисление интеграла (6) с учетом возникающего малого параметра для трех характерных случаев. Различным положениям контура при этом будут соответствовать разные соотношения между главными значениями тензора напряжений.

Рассмотрим вариант расположения контура , показанный на Рис.2-а.

Рис.2-а Рис.2-b

Соотношение между главными значениями тензора напряжений при этом таково, что , . Контур представляет собой две «шапочки», выступающие за линии в плоскости переменных . Максимальное значение имеет главное касательное напряжение . Введем малый параметр . Подынтегральное выражение в (6) можно упростить по переменным и определить пределы интегрирования по , учитывая, что в рассматриваемом случае и . В результате интегрирования окончательно получим:

, , (7)

Рассмотренный случай соответствует скольжению в окрестности углов и . Отметим, что коэффициент перед нелинейной функцией в (7) зависит от промежуточного касательного напряжения .

Полученные формулы не работают при . Этот случай требует отдельного рассмотрения. Введем малый параметр и для определенности рассмотрим значение . Учитывая, что в рассматриваемом случае и , можно произвести интегрирование и получить формулы:

, , (8)

Приближенное вычисление этого интеграла дает значение .

Рассмотрим вариант расположения контура , показанный на Рис.2-b. Соотношение между главными значениями тензора напряжений таково, что , . Максимальное значение имеет главное касательное напряжение . Введем малый параметр . Подынтегральное выражение в (6) можно упростить, учитывая, что и . Окончательный результат интегрирования имеет вид:

, , (9)

Рассмотренный случай соответствует скольжению в окрестности углов и . Отметим, что и в этом случае коэффициент перед нелинейной функцией в (9) зависит от среднего касательного напряжения .

Рассмотрим вариант расположения контура , показанный на Рис.3.

Рис.3

При этом . В этом случае . Угол изменяется в широком диапазоне от до , что соответствует кардинальной перестройке зон скольжения (пластических зон) от режима (7) к режиму (9).

,

Приближенное вычисление коэффициента дает значение .

Выпишем полученные уравнения в сжатом виде для компоненты :

,

,

,

,

Коэффициенты зависят от промежуточных главных касательных напряжений.

Таким образом, для упруговязкопластической среды в предположении малой вязкости удалось получить новые явные соотношения, связывающие компоненты тензора скоростей пластической деформации и тензора напряжений для случая сложного трехмерного напряженного состояния. Эти выражения сходны с соотношениями классической упруговязкопластической модели, однако имеют отличия. Поверхность текучести отвечает условию Треска. Показатель степени в функции релаксации принимает различные значения: 2, 7/4, 3/2 в зависимости от типа напряженного состояния, в то время как в классической теории он считается постоянным.

Третья глава посвящена построению упругопластической модели деформируемого твердого тела на основе теории скольжения для классических условий скольжения [15,16,18,21]. При определенных предположениях удается выполнить интегрирование для произвольного трехмерного напряженного состояния и получить замкнутый вариант упругопластической модели, который оказывается новым вариантом теории пластического течения. Показано, что при этом выполняется ассоциированный закон течения, найдена функция течения полученной модели. Предложенный метод интегрирования можно использовать для установления связи между локальными условиями и макроскопическими уравнениями и для некоторых других условий скольжения.

Как и в предыдущем случае примем гипотезу о том, что в каждой точке рассматриваемой среды скольжение (пластический сдвиг) может происходить вдоль любой плоскости с нормалью , проходящей через эту точку. В декартовой системе координат напряженное состояние в этой точке задается тензором напряжений . Вектор скольжения (пластического сдвига) теперь равен относительному смещению вдоль выбранной плоскости. Вектор касательного напряжения на этой плоскости равен . Процесс нагружения будем характеризовать параметром нагружения , и производную по параметру нагружения будем обозначать верхней точкой, так что, например, . Основные допущения о характере скольжения на единичной площадке совпадают с принятыми в работах А.Н. Мохеля, Р.Л. Салганика, С.А. Христиановича (1976, 1983) и заключаются в следующем. Скольжение (пластический сдвиг) происходит при выполнении критического условия , или, при нормировании напряжений на : , а также при выполнении условия «локального нагружения» . В противном случае пластический сдвиг прекращается. Направление приращения сдвига совпадает с направлением вектора , модуль приращения сдвига пропорционален приращению модуля касательного напряжения. В дальнейшем вместо модуля касательного напряжения будем использовать значение квадрата модуля. Рассмотрим условие скольжения на единичной площадке, удовлетворяющее принятым гипотезам, следующего вида:

(10)

где - некоторый коэффициент, являющийся параметром модели. В соответствии с представлениями теории скольжения вклад приращения сдвига вдоль площадки с нормалью в приращение тензора пластической деформации равен:

(11)

Производная тензора деформации по параметру нагружения на плоскости скольжения с учетом (10) равна:

(12)

Как и ранее, введем связанную сферическую систему координат , , , связанную с главными осями тензора напряжений такую, что главные значения тензора напряжений удовлетворяют неравенствам .

Интегральные компоненты тензора , полученные интегрированием по всевозможным площадкам скольжения с нормалями, лежащими внутри телесного угла , имеют вид:

(13)

где .

Касательное напряжение в плоскости скольжения можно представить в виде:

,

где сохранены обозначения предыдущей главы для переменных и обозначения для главных касательных напряжений. Условия для определения пределов интегрирования по и в (13) имеют вид: , . Условие подробно исследовано в предыдущей главе. В результате получено, что пределы интегрирования по имеют вид:

, .

Область допустимых значений для в плоскости имеет вид, показанный на рис.1 и представляет собой внешность заштрихованной области Z, причем при >1 предел интегрирования и должен быть заменен на 0. Контур интегрирования по представляет собой часть окружности , расположенную в разрешенной (незаштрихованной) области в плоскости ( Рис.1 ). Из соображений симметрии при определении пределов и контуров интегрирования в дальнейшем будем рассматривать только первую четверть плоскости ( > 0 , > 0 ) .

Условие накладывает дополнительные ограничения на допустимые значения углов , . При и оно может быть записано в следующем виде:

где - дополнительный комбинированный параметр, характеризующий процесс нагружения материальной частицы наряду с независимыми производными и .

Рассмотрим невырожденный случай , . Введем обозначение: , . Интегрирование по должно производиться по контуру в «разрешенной» части плоскости (Рис.1), но при этом необходимо учитывать, что на различных участках этого контура в зависимости от соотношения величин и пределы интегрирования по будут различны.

Определим в плоскости области, в которых выполнены условия , , . Обозначим эти области , и соответственно. Для определения этих областей необходимо решить неравенства:

при .

При в «разрешенной» (незаштрихованной) части плоскости (Рис.1) всегда выполнено условие . При расположение областей , и показано на Рис.4. Область описывается следующим образом

, .

Она касается «запрещенной» области Z в плоскости в единственной точке , .

Обозначим часть контура , принадлежащую области через , ; - часть контура , принадлежащую области ; - часть контура , принадлежащую области (Рис.4). На различных участках , , контура в зависимости от соотношения величин , и знака пределы интегрирования по будут различны.

Рис.4

При и на допустимых значений нет, на , на ; при и на ; при и на , на , на допустимых значений нет; при и на допустимых значений нет.

Таким образом, в общем случае определены интервалы интегрирования по и в формулах для приращений компонент тензора пластической деформации (13). Интегрирование по в этих формулах производится элементарно, однако проинтегрировать по для произвольного расположения контура , по-видимому, невозможно.

Рассмотрим случай, когда максимальное касательное напряжение ненамного превосходит предельное значение (равное 1 в безразмерном варианте), , - малый параметр, а остальные главные касательные напряжения меньше единицы, , . Введем параметры и : , или .

Значениям параметра соответствуют значения главного касательного напряжения . Значению параметра соответствует прямая , а значению - прямая на плоскости переменных и . В этом случае можно определить значения углов , соответствующие точкам пересечения контура с границей области - граничным точкам контура . Если этих точек пересечения не существует, это значит, что весь контур лежит либо в области , либо в области , либо в области .

Показано, что в рассматриваемом приближении длина контура мала по сравнению с длинами и , и интегралом по нему в определенных условиях можно пренебречь, а область заменить ее срединной линией , задаваемой уравнением . Поэтому для дальнейшего анализа важно определить возможные ситуации взаимного расположения контуров и . Напомним, что контур задан уравнением .

Взаимное расположение контуров зависит от значения параметра или . В случае контур целиком лежит под контуром при , контур пересекает контур при , контур целиком лежит над контуром при .В случае контур целиком лежит под контуром при , контур пересекает контур при , контур целиком лежит над контуром при .

Точки пересечения контуров и для соответствующих случаев задаются приближенной формулой . Также найден угол , соответствующий точке пересечения контура интегрирования с границей «запрещенной» области: .

Таким образом, в приближении определены интервалы интегрирования по и в формулах для приращений компонент тензора пластической деформации при различных значениях параметров нагружения.

Примем следующие определения напряженно-деформированных состояний материальной точки, сходные с теми, что были приняты в работах С.А. Христиановича (1974), А.Н. Мохеля, Р.Л. Салганика, С.А. Христиановича (1983): если на всех площадках, где превышен предел текучести , идет процесс нагружения , то это состояние «активного нагружения»; если на всех площадках при выполнено условие , то это состояние «разгрузки»; если же на части площадок с превышенным пределом текучести идет нагружение с условием , а на части площадок идет разгрузка , то это состояние «частичной нагрузки».

Расположение зон «активного нагружения», «частичного нагружения» и «разгрузки» на плоскости переменных и можно описать следующим образом: зона «частичного нагружения» располагается между прямыми и , зона «активного нагружения» расположена выше нее, а зона «разгрузки» - ниже.

Интегрирование формул (13) в рассматриваемом приближении с известными пределами приводит к следующим результатам.

В зоне «активного нагружения»

(14)

В зоне «частичного нагружения»

(15)

Здесь коэффициенты равны:

, ,

а коэффициенты зависят от значений , . Таким образом, формулы (14-15) описывают основные определяющие макроскопические соотношения полученной упругопластической модели.

Рассмотрим вырожденный случай , . Пределы интегрирования по и вычисляются значительно проще, чем в случае сложного напряженного состояния (). Условие выполняется для значений , для которых выполнено условие . Условие при выполняется при любых для всех допустимых значений (состояние «активного нагружения»), при выполняется при значениях таких, что (состояние «частичного нагружения»), при происходит разгрузка. Вычисление интегралов (3.4) в приближении , дает следующий результат для состояния «активного нагружения»:

, , (16)

где , .

Полученные макроскопические соотношения (14) представляют собой новый вариант теории течения для упругопластического тела. Условие текучести в рассматриваемом случае совпало с условием текучести Треска ().

Полученные соотношения не являются уравнениями теории течения идеально-пластического тела, так как допускают выход напряжений за предел текучести . Однако они не являются и уравнениями теории упругопластического течения с упрочнением, так как в них явно не описан механизм изменения функции текучести в зависимости от параметра упрочнения : . Это объясняется тем, что и в исходное условие скольжения (10) механизм изменения («упрочнения») локального предела текучести не заложен. Однако если ввести функцию текучести и ее же принять за пластический потенциал, а также функцию , то нетрудно проверить, что уравнения пластического течения (14) выражают при этом ассоциированный закон пластического течения с упрочнением:

, , .

Формулы (16), относящиеся к случаю , описывают течение материала вблизи угловой точки поверхности текучести Треска, где неприменимы формулы (14). Можно отметить, что производные компонентов тензора пластической деформации имеют более низкий порядок по малому параметру (коэффициенты , ), чем в регулярном случае (14), где коэффициент при имеет порядок , а коэффициент при имеет порядок . Это обстоятельство указывает на существенную зависимость приращений пластической деформации от структуры напряженного состояния при переходе с одной грани пирамиды Треска на другую через угловую точку.

В заключение отметим, что в рамках теории скольжения для конкретного условия скольжения (10) в явной форме определены значения углов, задающих ориентацию нормалей к площадкам, где реализуются пластические сдвиги. В предположении, что максимальное касательное напряжение мало превышает предел текучести, проинтегрированы классические соотношения теории скольжения для приращений тензора пластической деформации в случае трехмерного неравнокомпонентного напряженного состояния материальной частицы. Получены макроскопические уравнения теории пластического течения, соответствующие выбранному локальному условию скольжения

Четвертая глава посвящена построению континуальных динамических моделей деформирования слоистой и блочной сред с учетом проскальзывания, трения и отслоения на контактных границах слоев или блоков. Эти модели основаны на представлениях теории скольжения в ее дискретном варианте [4-7,12,20].

Предполагается, что в слоистой среде упругие слои в прижатом состоянии могут проскальзывать относительно друг друга с трением, а растягивающих напряжений контактные границы не выдерживают - происходит отслоение.

Под блочной средой понимается регулярная структура, состоящая из равномерно уложенных упругих «кубиков» («параллелепипедов»), подверженных воздействию поверхностных или объемных нагрузок. На контактных границах также возможно проскальзывание с трением или отслоение. Таким образом, блочная среда трактуется как среда, обладающая тремя взаимно перпендикулярными плоскостями возможного скольжения-отслоения с заданными локальными контактными условиями на каждой из них.

Также рассматриваются структуры типа «кирпичной кладки» или «паркета». Их отличие от рассматриваемой регулярной блочной среды в том, что одна (или все) из плоскостей скольжения-отслоения является плоскостью только возможного отслоения (скольжение на ней невозможно из-за структурного нахлеста «кубиков» - «кирпичей»).

Основное условие, которое позволяет построить континуальные модели рассматриваемых дискретных структур, состоит в том, что размер слоя или блока должен быть много меньше пространственного размера рассматриваемой слоистой или блочной структуры (или массива), .

Для построения континуальных моделей сформулируем локальные условия взаимодействия на контактных границах. В декартовой прямоугольной системе координат рассмотрим безграничную упругую среду с ориентированной системой периодически повторяющихся параллельных плоскостей скольжения. Ориентацию этой системы зададим единичной нормалью . Расстояние между плоскостями скольжения постоянно и равно . Плотность материала , а также модули упругости Ламе и считаются заданными константами. Напряженное состояние описывается тензором напряжений . Вектор касательного напряжения на плоскости скольжения равен , нормальное напряжение равно . Введем векторы скоростей сдвига и отрыва , определяемые скачками касательной и нормальной скоростей на контактных границах: , . Условия контактного взаимодействия имеют следующий вид.

Скольжение с трением имеет место при :

при ,

при ,

Отслоение происходит при : . Здесь - нормированный скачок нормальных смещений на контактной границе, определяемый уравнением , где - коэффициент сухого трения, - коэффициент вязкого трения.

Контактную плоскость с указанными условиями взаимодействия будем называть плоскостью скольжения-отслоения.

Рассматриваемые условия скольжения представляют собой нелинейные условия сухого трения с добавкой вязкого трения, которая предполагается малой и играет, в основном, роль регуляризатора. В этом случае условие скольжения можно явно разрешить относительно скорости сдвига : .

Сформулируем модель слоистой среды. В среде, состоящей из упругих слоев, имеется единственная система плоскостей скольжения-отслоения с нормалью , ее структура схематически в двумерном варианте показана на Рис.5-а. На границах слоев выполняются выбранные контактные условия.

Для того чтобы перейти к континуальной модели слоистой среды, будем рассматривать и как непрерывные функции координат и времени, имеющие смысл распределенных скоростей скольжений и отслоений, и воспользуемся соотношениями теории скольжения в ее дискретном варианте. Эти соотношения позволяют учитывать вклад скоростей скольжений и отслоений в тензоры скоростей неупругой деформации и соответственно:

,

Полный тензор скоростей деформации получается сложением всех упругих и неупругих составляющих и равен:

,

где - «макроскопическая» скорость частиц среды, - тензор скоростей упругой деформации, который связан с тензором напряжений законом Гука:

Сквозные условия для и , соответствующие локальным контактным условиям, имеют вид:

, при

при .

Система замыкается уравнениями движения:

Полученную систему уравнений необходимо дополнить условиями на границе области, занимаемой средой: или , а также начальными условиями для искомых функций при : .

Эту систему можно написать в покомпонентном виде:

(17)

, при

при

где , , и - компоненты вектора скорости и тензора напряжений.

Если направление нормали к плоскости скольжения-отслоения совпадает с направлением оси принятой системы координат, то для нормали будет справедливо соотношение , где - символ Кронекера. Используя ступенчатые функции , при и при , систему уравнений (3.1)-(3.2) можно записать в более наглядном виде, явно выделяя уравнения для каждой искомой функции:



, (18)

, ,

В режиме скольжения при эта система является полулинейной гиперболической системой уравнений с малым параметром в знаменателе свободного члена, которая описывает анизотропную упруговязкопластическую среду. Эта система, как и классические упруговязкопластические модели, имеет характеристические упругие скорости распространения волн и .

В общем случае расположение слоев (и, соответственно, направление нормали к слоям) может быть переменным по пространству. Поэтому подчеркнем, что система уравнений (18) записана в локальной декартовой системе координат, ось которой направлена по нормали к слоям, образующим рассматриваемую слоистую среду.

На основе аналогичных представлений сформулируем модель блочной среды. Предполагается, что блочная среда образована равномерно уложенными упругими кубиками с тремя возможными плоскостями скольжения-отслоения, ориентированными взаимно-перпендикулярными единичными нормалями , . Схематически ее двумерный вариант показан на Рис.5-b. Вектор скорости скольжения и отслоения на плоскости с нормалью обозначим и . Также обозначим компоненту в направлении , через . Будем также называть плоскость с нормалью -плоскостью. Картина возможных скольжений на контактных поверхностях описывается следующим образом.

Если происходит скольжение на -плоскости и при этом , , , то регулярность блочной структуры нарушается, из-за нахлестов - и -плоскости перестают быть плоскостями возможного скольжения, а становятся только плоскостями отслоения с контактными условиями следующего вида:

, при

, при

Единственной плоскостью скольжения-отслоения становится -плоскость. Таким образом, предполагается, что из трех возможных плоскостей скольжения-отслоения в зависимости от типа напряженного состояния реализуется только одна. Остальные две становятся плоскостями отслоения. Соответствующие этим условиям континуальные уравнения блочной среды получаются суммированием скольжений и отслоений по трем -плоскостям, , и имеют вид:

На плоскости скольжения-отслоения:

, при

при (19)

На плоскостях отслоения:

, при

, при

где , .

Если сориентировать три нормали к возможным плоскостям скольжения-отслоения по координатным осям принятой системы координат, то для нормалей будет справедливо соотношение: , где - символ Кронекера.

Как и в случае слоистой среды, систему уравнений для блочной среды можно написать в удобном для применения виде, разрешенном относительно производных по времени от искомых функций. Для этого предположим, что номер плоскости скольжения-отслоения равен . Тогда получим:

, , (20)

, ,

, ,

, ,

,

Используя введенные понятия плоскости скольжения-отслоения и плоскости отслоения, сформулируем специфическую модель блочной среды типа «кирпичной кладки». В этом случае предполагается, что изначально имеет место относительный сдвиг «кубиков»-«кирпичей» для определенности в 2-плоскости в направлении , так что 1-плоскость перестает быть плоскостью скольжения-отслоения и остается только плоскостью отслоения: . В двумерном случае структура такой среды показана на Рис. 5-с.

Ответ на вопрос о том, какая из 2- или 3-плоскостей реализуется в качестве плоскости скольжения-отслоения зависит от конкретного процесса нагружения, но в отличие от правильной блочной структуры, это заведомо не может быть 1-плоскость. С учетом этих обстоятельств система уравнений для рассматриваемой структуры аналогична системе для блочной среды (19), но с изначальным запретом на скольжение в 1-плоскости, , , .

На основании введенного понятия о плоскости отслоения можно также сформулировать определяющие соотношения для периодической структуры из упругих элементов, которую, в соответствии с ее плоским аналогом, можно назвать «паркетной укладкой» или, для краткости, просто «паркетом» (Рис.5-d). В этом случае изначальные относительные смещения структурных элементов относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей не оставляют возможности скольжения ни на одной из них, . Все три плоскости исходно будут являться плоскостями отслоения, поведение среды будет описываться уравнениями (19) с условиями на дополнительные функции при , .

Также отметим, что все сформулированные модели относятся к случаю, когда отсутствуют начальные сцепления на отрыв и сдвиг на контактных границах. Для более реалистичного описания поведения слоистых и блочных сред следует ввести пределы прочности на отрыв и сдвиг . В этом случае предполагается, что в исходном состоянии контактные границы «склеены» и не проявляют себя до тех пор, пока не нарушаются условия или . После этого межслойные или межблочные связи на -ой контактной плоскости считаются разорванными, прочность на отрыв и сдвиг становится равной нулю и среда начинает описываться одной из сформулированных выше моделей.

Полученные реологические уравнения похожи на уравнения анизотропной теории упруговязкопластичности. Линейный дифференциальный оператор этих уравнений совпадает с оператором теории упругости, а нелинейные эффекты трения (сухого и вязкого) учтены в недифференциальных членах с малым параметром в знаменателе, аналогичных членам вязкопластической деформации.

Введение вязкости в условия контактного взаимодействия позволяет избежать математических трудностей, связанных с рассмотрением нелинейных систем с сухим трением. Полученная система относится к классу полулинейных гиперболических, ее численное решение можно построить с помощью различных явных схем. Однако в режиме скольжения включается нелинейный свободный член с малым параметром вязкости в знаменателе. Система становится жесткой, и обычные явные схемы будут неустойчивыми. Для того, чтобы обойти эти затруднения, предлагается явно-неявный метод [6,7,20]. Неявная аппроксимация применяется только для тех уравнений, которые содержат малый параметр в знаменателе свободного члена, остальные уравнения аппроксимируются явно. Решение неявного разностного уравнения получается аналитически и используется как корректор явного «упругого» шага.

Опишем этот метод на примере уравнения для в режиме скольжения при для слоистой или блочной среды в системе координат, связанной с нормалью к плоскости скольжения-отслоения:

,

Неявная аппроксимация первого порядка точности по времени имеет вид:

,

Здесь индексами и помечены значения искомых величин на верхнем и нижнем слоях разбиения по времени, - шаг по времени. Предполагается, что значения и уже определены из явной аппроксимации уравнений движения и уравнений для нормальных компонент тензора напряжений, не содержащих малых параметров вязкости в знаменателе свободных членов. Эту нелинейную разностную систему уравнений удается решить аналитически.

Для компонент касательных напряжений на - плоскости имеем:

Здесь , - «упругие» напряжения, полученные в результате разностного шага, соответствующего «упругому» дифференциальному оператору. При малых эта формула принимает вид:

(21)

Полученные формулы имеют наглядный смысл корректировки «упругих» напряжений на «конус трения». Аналогичным методом можно получить целый класс корректирующих формул для расчета классических соотношений упругопластичности при различных условиях текучести, в частности формулу Уилкинса для расчета идеальноупругопластических течений [6,9,13]. Эти же формулы пригодны для расчета касательных напряжений на плоскостях скольжения в блочных средах, поскольку в принятых моделях, в зависимости от напряженного состояния, реализуется только одна из трех (регулярная блочная среда) или двух («кирпичная кладка») возможных плоскостей скольжения.

Уравнения моделей, не содержащие малых параметров в знаменателе можно решать численно одним из известных методов конечных элементов или конечных объемов. В данной работе используется метод конечных объемов на четырехугольных (непрямоугольных) сетках для аппроксимации пространственных производных и с двухшаговой аппроксимацией по времени предиктор-корректор, которая на примере уравнений движения выглядит следующим образом:

- предиктор,

- корректор

В этих формулах и - значения компонент скорости и тензора напряжений на промежуточном шаге расчета по времени. Одновременно по этой же схеме аппроксимируются определяющие соотношения для напряжений с упругим дифференциальным оператором. После нахождения упругого решения происходит пересчет компонент тензора напряжений в систему координат, ориентированную по нормалям к межслойным или межблочным границам. Далее, происходит идентификация самих плоскостей как плоскостей скольжения-отслоения или только отслоения. При на соответствующей плоскости, корректируются касательные напряжения по формуле (21) и определяются скольжения в первом случае или зануляются скольжения во втором. При зануляются нормальные и касательные напряжения в первом случае или нормальные напряжения и скольжения во втором. После этого из уравнений (18,20) вычисляются функции и , а также новые компоненты тензора напряжений в исходной системе координат.

В качестве примеров численного моделирования процессов деформирования слоистых или блочных массивов приведем решения трех различных задач в двумерной, геометрически линейной постановке для случаев плоского деформированного состояния () или плоского напряженного состояния ( ).

Первая задача моделирует эксперимент с массивом кирпичной кладки, описанный в работе Bicanic N., Stirling C., Pearce C.J. (2002). Параллелепипед толщиной в один кирпич (это позволяет принять при расчетах гипотезу плоского напряженного состояния) уложен на платформу, основание которой допускает регулируемые вертикальные смещения. Боковая поверхность - прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат и . Центральная часть платформы шириной , вертикально смещается вниз, и под действием силы тяжести происходит деформация массива с относительными подвижками блоков-кирпичей и образованием узких пустот за счет вертикальных отслоений. Эти зоны имеют направленность от границ подвижной части основания к центру массива (Рис.6-а). Численное решение этой задачи строилось на основе системы уравнений (20) для случая массива, уложенного «кирпичной кладкой», методом установления квазистационарного режима. Граничные условия для прямоугольной области (в двумерной постановке для случая плоского напряженного состояния) заключаются в отсутствии нормальных и касательных напряжений на всех сторонах, за исключением нижней горизонтальной, где задаются условия на значения скоростей.

Задача решалась в два этапа. На первом при нулевых начальных условиях и нулевых скоростях на нижней границе «включалось» действие силы тяжести вплоть до установления квазистатического напряженного состояния. На втором в момент времени менялось граничное условие при на вертикальную скорость: при , при . Форма функции выбиралась в виде треугольника со временем нарастания , общей длиной и амплитудой ; при . На Рис.6-b показаны зоны вертикальных отслоений для установившегося состояния при . Величина и направленность этих зон имеет вид, сходный с наблюдаемым в эксперименте (Рис.6-а). Можно сделать вывод о пригодности предложенных континуальных моделей для качественного и количественного предсказания возникновения зон разрушений (скольжений и отслоений) в блочных массивах.

Рис.6-а Рис.6-b

Вторая задача основана на моделировании расчетного варианта деформируемого блочного массива, приведенного в работе Acary V., Jean M. (1998). В этом случае параллелепипед кирпичной кладки деформировался под воздействием вертикального смещения левой половины основания и силы тяжести. И в этом случае в массиве наблюдалось развитие узкой зоны относительных вертикальных смещений, идущей от границы подвижной части основания. Результаты этого решения представлены на Рис.7-а. В рассматриваемом случае эта задача для континуальной модели решалась в двумерной постановке (плоское деформированное состояние) также в два этапа: воздействие силы тяжести и более позднее включение на фоне установившегося напряженно-деформированного состояния граничного условия при , . Результаты расчетов показаны на Рис.7-b, где изображены зоны ненулевых вертикальных отслоений для установившегося состояния при . Сравнение Рис.7-а и Рис.7-b показывает сходство зон разрушения блочного массива в рассматриваемом случае.

Рис.7-а Рис.7-b

Также рассматривается классическая задача прохождения плоской продольной упругой волны через свободную цилиндрическую полость. Амплитуда нормального напряжения в волне равна , полость расположена в блочной среде, уложенной по принципу кирпичной кладки при угле ориентации блоков . До подхода к полости при заданном угле ориентации волна не вызывает скольжений и отслоений в окружающей среде. При прохождении полости происходит развитие зон скольжения и отслоения в ее окрестности. Результаты численного моделирования этого процесса показаны на Рис.8. На Рис.8а-8с показаны изолинии нормальных напряжений , горизонтальных скольжений , вертикальных отслоений в момент завершения процесса формирования зон разрушения. Отметим, что при заданной ориентации слоев характер относительных скольжений и отслоений в рассматриваемой среде таков же, как и в слоистой с горизонтальной ориентацией слоев.

Рис. 8-а Рис. 8-b Рис. 8-c

Данные примеры иллюстрируют возможность континуального моделирования динамических и квазистатических процессов в периодических структурах из упругих элементов - слоев или блоков, различным образом уложенных и ориентированных, с учетом внутренних скольжений и отслоений, вплоть до потери нормальных и касательных связей этих элементов друг с другом.

Пятая глава. Реализация явных схем интегрирования уравнений динамики упруговязкопластической среды сопряжена с известными вычислительными трудностями из-за наличия малого параметра времени релаксации (или параметра динамической вязкости) в знаменателе вязких членов. Малая величина времени релаксации по сравнению с обычным курантовским шагом по времени делает уравнения жесткими и приводит к неприемлемым дополнительным ограничениям расчетного шага по времени. Это затруднение преодолевается обычно применением схем интегрирования определяющих соотношений по времени типа предиктор-корректор (Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. (1973)) или с помощью неявных схем аппроксимации вязких членов в определяющих уравнениях (Пейре Р., Тейлор Т.Д. (1986)). В этой главе описана новая, более точная, по сравнению с уже используемыми, неявная схема аппроксимации вязких членов [6,13]. Неявная схема аппроксимации уравнений с малым параметром в знаменателе свободных членов полулинейных систем, использованная при численном решении систем уравнений для слоистых и блочных сред, адаптирована здесь для уравнений изотропной упруговязкопластической модели сплошной среды с целью обеспечения устойчивого численного решения при обычном курантовском ограничении шага по времени.