Электрические цепи однофазного синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрические цепи однофазного синусоидального тока

1. Общие и методические замечания

Переменным электрическим током называется ток, изменяющийся с точением времени. В технике наибольшее распространение получил синусоидальный (гармонический) ток.

Самые простые двигатели, экономически выгодные, не требующие большой специальной подготовки персонала при эксплуатации - это асинхронные двигатели, работающие на переменном синусоидальном токе. Синусоидальные токи широко применяются в радиоэлектронике, контрольно-измерительной технике и т. д.

Теория однофазного переменного тока является базой для изучения трехфазного тока, несинусоидальных токов и напряжений, цепей с распределенными параметрами и т. д. Поэтому на материал этой и последующих глав настоящего пособия следует обратить особое внимание.

Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока в установившемся режиме связан с нахождением частных решений неоднородных дифференциальных уравнений. Применение законов Кирхгофа и других методов расчета требуют проведения операций (суммирования, умножения и т. д.) над синусоидальными величинами.

Указанные громоздкие вычисления заменяются действиями над комплексными числами, которые определенным образом соответствуют рассматриваемым синусоидальным величинам. Найденная в результате расчета комплексная величина является символом действительной величины, подлежащей определению (ей соответствует). Затем, в случае необходимости, осуществляется переход от комплекса к искомой величине. Такой метод - расчета называют символическим или комплексным методом расчета. Метод впервые предложил американский ученый Ч. Штейнмец в 1894 г.

Для плодотворных расчетов цепей переменного тока необходимо знание основных положений теории функций комплексного переменного. Навыки работы с комплексными числами (сложение, вычитание и т. д.) должны быть приобретены обязательно. Это даётся только упорным трудом.

При изучении материала необходимо обратить внимание ни построение векторных и топографических диаграмм.

Успех в изучении данного раздела курса ТОЭ - в самостоятельном и многократном решении примеров и задач.

2. Понятие о генераторе переменного синусоидального тока

На рис. 4.1 схематически представлен генератор переменного тока. Генератор состоит в основном из двух частей. Подвижная часть - ротор, неподвижная - статор.

На вращающейся части машины - роторе, располагается обмотка возбуждения, питаемая постоянным током. Обмотка, в которой генерируется переменная ЭДС, расположена в пазах неподвижной части машины - на статоре. Проводники, находящиеся в пазах статора соединены друг с другом последовательно поочередно с передней и задней сторон статора. Эти соединения показаны на рис. 4.1 соответственное сплошными и пунктирными линиями. Магнитная часть машин изготовляется из электротехнической стали; статор и полюсные наконечники ротора - из листовой стали; остальные части - из сплошного стального массива.

При вращении ротора изменяется магнитный поток, сцепленный с обмоткой статора. В этой обмотке и наводится ЭДС. Генераторы конструируются таким образом, чтобы ЭДС была близка к синусоидальной.

3. Синусоидальный ток

График изменения мгновенного значения синусоидального тока i₁ от времени представлен на рис. 4.2 и определяется выражением

где I_1m - максимальное значение или амплитуда тока. Аргумент синуса называется фазой. Угол ₁ называется начальной фазой и равен фазе в начальный момент времени

(t = 0). Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2 цикл изменения тока повторяется. Период T - это время, за которое совершается одно полное колебание. В течение периода Т фаза увеличивается на 2.

Частота (число полных колебаний) в 1 секунду равна

Измеряют частоту в с^-1 или герцах (Гц). Угловую частоту намеряют в рад/с или с^-1:

Угловая частота показывает на сколько радианов увеличивается фаза в секунду.

В Европе и нашей стране наибольшее распространение получили устройства синусоидального тока промышленной частоты 50 Гц. При f = 50 Гц, имеем = 2f =314 рад/c. В США стандартной является частота 60 Гц ( = 377 рад/с).

Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функций времени:

где

Начальная фаза тока отсчитывается всегда от момента соответствующего началу синусоиды, до момента начала отсчета времени t = 0 (начало координат). При ₁ > 0 начало синусоиды сдвинуто влево (как показано на рис. 4.2), а при ₂ < 0 вправо от начала координат (рис. 4.3).

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Синусоиды, изображенные на рис. 4.2 и 4.3, имеют соответственно начальные фазы ₁ и ₂ . Сдвиг фаз измеряется разностью начальных фаз. Ток i₁ опережает по фазе ток i₂ на угол, равный (₁ - ₂). Или, что то же самое, ток i₁ отстает по фазе от тока i₂ на угол (₁ - ₂). Например, для токов одной частоты: на рис. 4.2 ₁ = 54°; на рис. 4.3 ₂ = -36°; откуда можно заключить: ток i₁ опережает ток i₂ на угол ₁ - ₂ = 54° - ( - 36°) = 90°.

Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, если разность их фаз равна ± , то говорят, что они противоположны по фазе, наконец, если разность их фаз равна ± /2, то говорят, что они находятся в квадратуре. Необходимо отметить такую условность: мгновенное значение токов, напряжений, ЭДС в цепях переменного тока обозначается малыми буквами: i, и, е.

4. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины (например, тока) понимают среднее значение ее за полпериода

Среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного.

Установлено, что механическое воздействие между двумя проводами, которые обтекаются одинаковым током, пропорционально квадрату мгновенного значения тока. Количество тепла, выделяемого в проводнике, также пропорционально квадрату мгновенного значения тока. Поэтому для суждения о механических и тепловых действиях периодического тока вводится еще одно понятие - среднее квадратичное значение тока за период, которое называется действующим значением или эффективным значением периодического тока. синусоидальный ток комплексный число

Действующее значение переменного тока равно такому значению постоянного тока, которое производит тот же тепловой эффект, что и переменный за промежуток времени, равный периоду переменного тока.

Пусть через каждое из одинаковых сопротивлений R (рис. 4.4 и 4.5) протекает постоянный ток / и переменный i(t). Рассмотрим условие, при котором мощности выделяемые в сопротивлениях R за время, равное периоду переменного тока Т, равны между собой , где

За время Т

Таким образом, Аналогично

Действующее значение синусоидального тока не зависит от частоты и начальной фазы и в меньше максимального значения.

Действующее значение намеряют приборами, реагирующими на действующее значение измеряемой величины. Это приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.

Итак, в общем случае

5. Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами на комплексной плоскости

Расчёт цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи и напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.

На рис. 4.6 показана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат - мнимую часть. На положительной полуоси действительных значений ставим +1, а на положительной полуоси мнимых значений - + j

Из курса математики известна формула Эйлера

где е - основание натуральных логарифмов. Комплексное число е^ja изображают на комплексной плоскости вектором, составляющим угол а с осью вещественных значении (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1, если он положительный и по направлению часовой стрелки от оси +1, если отрицательный. Модуль функции е^ja (длина вектора) равен единице.

Действительно . Проекция функции е^ja на ось + 1 равна cos a, а на ось + j равна sin a. Если вместо функции е^ja взять функцию I_mе^ja,

то

На комплексной плоскости эта функция так же, как и функция е^ja, изобразится вектором, направленным под углом а к оси +1, но величина вектора (модуль) будет в I_m раз больше (рис. 4.7). Угол а может быть любым. Комплексное число может иметь насколько форм записи:

- показательная форма записи;

-тригонометрическая форма записи;

- алгебраическая форма записи,

где -проекция вектора I_m на действительную ось; - проекция вектора I_m на мнимую ось.

Положим, что а = t + , т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда (рис. 4.7)

Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения

а функция есть коэффициент при мнимой части (J_m) выражения , т. е.

Иными словами току i соответствует комплекс , т. е.

Таким образом синусоидально изменяющийся ток i(t) можно представить как проекцию вращающегося со скоростью вектора на ось +j.

Заметим также, что

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные

по знаку аргументы, называют сопряженными и обозначаются в виде комплекса со звездоч

кой (см. рис. 4.8).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени t = 0, т. е. t = 0. При этом вектор

равен где - комплексная величина; модуль ее равен а угол, под которым вектор (Проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе ; - является аргументом комплексного числа

Величину называют комплексной амплитудой тока i.

Рассмотрим два числовых примера на переход от мгновенного значения тока к комплексной амплитуде и от комплексной амплитуды к мгновенному значению.

Пример 4.1. Дано: ток i = l,0 sin (t + 120°)A. Записать выражение комплексной амплитуды этого тока и построить её на комплексной плоскости.

Решение

/_m = 1,0 A; = 120°; следовательно . Строим вектор на комплексной плоскости (рис. 4.9).

Пример 4.2. Дано: комплексная амплитуда тока 3аписать выражение мгновенного значения это по тока.

Решение

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить на и взять мнимую часть от полученного произведения

Под комплексом действующего значения тока, или под комплексом тока (комплексным

током), понимают частное от деления комплексной амплитуды на :

Пример 4.3. Дано:

Записать выражение комплекса действующего значения тока и построить его на комплексной плоскости.

Решение

Строим вектор на комплексной плоскости (рис. 4.9).

6. Действия с комплексными числами. Векторная диаграмма

Действия с комплексными числами легче освоить на примерах.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Пусть даны комплексные числа . Найдем их сумму

Найдём их разность

В н и м a н и е! Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять, представляя комплексы в алгебраической форме записи.

Умножение и деление комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа:

В н и м а н и е!

Для умножения и деления комплексных чисел лучше представить их в показательной форме

В н и м а н и е! При переводе комплексного числа из алгебраической формы в показательную с помощью калькулятора или ЭВМ необходимо, чтобы вещественная часть числа была положительной. Например,

и можно оперировать далее комплексом записанном в таком виде.

Но можно учесть, что

Тогда

Предпочтительнее взять комплекс с меньшим аргументом

Произведение двух комплексных чисел

Пусть даны два числа:

Произведение двух комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа

Частное от деления двух чисел

В н и м а н и е! При делении двух комплексных чисел они должны быть представлены в показательной форме

Возведение в степень комплексного числа

Пусть дано число: .

;

и т.д.

Логарифмирование

Пусть

где k = 0, 1, 2, 3 ...

При k = 0 получили главное значение.

Извлечение корня

Пусть дано число ;

где k = 0, 1, 2 ...

При k = 0 получили главное значение.

Проиллюстрируем удобство применения комплексного метода на примере.

Пример 4.4. Дано

Определить сумму i₁ + i₂ = i с помощью сложения векторов на комплексной плоскости.

Р е ш е н и е

Получили в алгебраической форме записи.

Построим на комплексной плоскости (рис. 4.10) по имеющимся координатам: действительная часть 3,59; мнимая часть - 1,03;

Запишем в показательной форме

Перейдем к мгновенному значению

Векторы показаны на рис. 4.10.

Геометрическая сумма векторов и дает комплексную амплитуду суммарного тока Амплитуда тока определяется длиной (модулем) суммарного вектора, а начальная фаза - углом, образованным этим вектором и осью +1.

Обратим внимание на то, что если бы векторы ,изображенные на рис. 4.10, стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью , то взаимное расположение векторов по отношению друг к другу осталось бы без изменений.

На рис. 4.10 дан пример векторной диаграммы. Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенные с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.

Задачи для самостоятельного решения (к главе 4)

1. Записать в полярной и алгебраической формах комплексные амплитуды напряжений и токов, мгновенные значения которых:

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1)

2)

3)

4)

2. Разложить на действительную и мнимую составляющие следующие комплексные числа:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10) 11)

Ответ: 1) 4,33 + j2,5; 2) 3,42 + j9,4; 3) - 0,0347 + j0,197; 4) - 0,0345 + j0,00607;

5) - 2,41 - j64,7; 6) - 11,2 - j27,8; 7) 0,174 - j1,99; 8) - j190 + 329,

9) 0,29710^-3 - j0,017; 10) - 1000 - j34,9; 11) 15 + j0,175.

3. Вычислить комплекс:

подставить его в полярной и алгебраической формах

О т в е т:

4. Вычислить комплекс

представить его в полярной и алгебраической формах.

О т в е т:

Размещено на Allbest.ru