Теоретическая механика. Статика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Костромской государственный технологический университет

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов

Методические указания

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

СТАТИКА

С.Н.Разин, Д.А.Янушевский

Основы теории и контрольные работы для студентов

очной и заочной форм обучения

специальностей 150406, 151001, 260701

Кострома

2007

УДК 531 (575)

Разин С.Н. Теоретическая механика. Статика. Основы теории и контрольные работы для студентов очной и заочной форм обучения: методические указания / С.Н.Разин, Д.А.Янушевский, - Кострома: Изд-во КГТУ, 2007. - 43 с.

В методических указаниях дано краткое изложение основных теоретических положений статики. Приведены варианты индивидуальных контрольных работ с подробными примерами решения каждой типовой задачи.

Предназначены для студентов специальностей 150406, 151001 и 260701.

Рецензент: д.т.н., проф. кафедры ТММ и Пр ТМ С.Н.Титов

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом КГТУ

© Костромской государственный технологический университет, 2007

Содержание

Указания к решению задач

1. Аксиомы статики

2. Проекция силы на ось

3. Связи и их реакции

4. Уравнения равновесия сходящейся системы сил

5. Теорема о трех силах

6. Пара сил. Свойства пары сил

7. Момент силы относительно точки (центра)

8. Теорема Вариньона

9. Теорема о параллельном переносе силы

10. Основная теорема статики

11. Случаи приведения

12. Момент силы относительно оси

13. Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

14. Уравнения равновесия плоской произвольной системы сил

15. Равновесие системы тел

16. Расчет ферм

17. Центр параллельных сил. Центр тяжести

18. Аналитические и экспериментальные методы определения положения центра тяжести

19. Трение скольжения

20. Трение качения

Задача С1

Задача С2

Задача С3

Задача С4

Задача С5

Список литературы

Указания к решению задач

Решение каждой из задач необходимо начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер задачи и выполняется чертеж в соответствующем масштабе и записывается условие задачи. Текст задачи не переписывается. Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, с нанесением всех размеров и обозначений. Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие перечисленным требованиям, не проверяются и будут возвращены для переделки.

При выполнении контрольных работ следует номер рисунка выбирать по последней цифре шифра, а условие задачи в соответствующей таблице по предпоследней цифре шифра.

Пример: если шифр 892341, то при решении задачи С1 следует взять рисунок С1.1, а условие №4.

1. Аксиомы статики

Аксиома 1:

Две силы можно приложить к телу (материальному объекту) или отбросить, если они равны по величине, направлены в противоположные стороны и имеют общую линию действия, т.е. образуют уравновешенную систему сил.

Линией действия силы называется прямая, на которой лежит вектор силы.

Следствие: силу можно переносить вдоль линии ее действия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство: пусть в точке А (рис.1) приложена сила . Приложим в точке В, лежащей на линии действия силы , две силы, равные по величине силе и направленные в противоположные стороны , линии действия которых совпадают с линией действия силы . Тогда по первой аксиоме сила эквивалентна системе сил , ^/, ^//. По той же аксиоме силы ^/ и можно отбросить. В результате будем иметь одну силу ^//, приложенную в точке В и равную . Что и требовалось доказать.

Таким образом, сила - скользящий вектор.

Аксиома 2 (аксиома параллелограмма сил):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Две силы, приложенные в одной точке, можно заменить одной силой, равной их геометрической сумме и приложенной в той же точке (рис.2).

Сила , эквивалентная данной системе сил (), называется равнодействующей. Две системы называются эквивалентными (~), если одну из них можно получить из другой с помощью 1-й и 2-й аксиомы.

Аксиома 3 (аксиома равенства действия и противодействия):

При всяком взаимодействии силы действия и противодействия равны по величине, имеют общую линию действия и направлены в противоположные стороны.

Аксиома 4 (принцип затвердевания):

Равновесие деформируемого тела не нарушится, если представить тело абсолютно твердым.

2. Проекция силы на ось

Сила - вектор. Действие силы на тело определяется точкой приложения, направлением и величиной силы. Силу можно переносить вдоль линии ее действия (следует из аксиомы 1).

Силы бывают: сосредоточенные, распределенные; активные (задаваемые) и пассивные (силы реакций связей).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Распределенная сила (рис. 3) задается ее интенсивностью (q). Интенсивность - сила, отнесенная к соответствующей геометрической единице (м; м;м).

Сила может быть распределена по линии (рис.3), площади или объему (Н/м, Н/м², Н/ м³). Распределенную силу заменяют сосредоточенной, равной по модулю площади эпюры нагрузки и приложенной в центре тяжести этой площади. Так, например, если: L = 2 м, q = 5 кН/м, то Q = qЧL = 10 кН.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось (рис.4). Проекция положительна, если проход от проекции начала к проекции конца совпадает с положительным направлением оси. Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси:

F_x =F • соsб, R_x = R • cosв = - R • cos г.

3. Связи и их реакции

Тела, ограничивающие перемещение рассматриваемого тела в том или ином направлении, называются связями. Силы, с которыми связи действуют на тело, называются реакциями. Эти силы пассивны, они возникают только при наличии активных (задаваемых) сил. Для определения сил реакций пользуются принципом освобождаемости от связей: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить связи, наложенные на него, и заменить их действие соответствующими силами реакций связей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Виды связей

Гладкая поверхность (рис.5). Ее реакция (N, R₁, R₂, R₃) направлена по общей нормали к телу и поверхности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гибкая нить (рис.6). Ее реакция (T) направлена по касательной к нити в точке ее соединения с телом, у прямолинейной нити - вдоль нити (рис.7). В теоретической механике нити полагают нерастяжимыми.

Невесомый стержень. Его реакция направлена вдоль линии, соединяющей концы стержня (рис.8). Принято вначале реакцию направлять внутрь стержня, т.е. условно считать его растянутым. Знак «минус» реакции, полученный при решении задачи, укажет на сжатие стержня.

Подвижный шарнир. Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно к поверхности, на которой он находится (рис.9, в точке В).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Неподвижный шарнир. Его реакция состоит из двух составляющих, направленных вдоль осей координат (рис. 9, в точке А).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Жесткая заделка. Ее реакция состоит из двух составляющих, направленных вдоль осей координат и момента сил реакций (рис. 10).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Скользящая заделка (с одной степенью свободы). Ее реакция состоит из силы, перпендикулярной направляющим, и момента сил реакций (рис.11).

Скользящая заделка (с двумя степенями свободы). Ее реакция состоит из момента сил реакций (рис.12).

4. Уравнения равновесия сходящейся системы сил

Система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы

пересекаются в одной точке. Сходящаяся система эквивалентна одной силе, равной их геометрической сумме. Эта сила называется равнодействующей.

Так как , то для того чтобы модуль равнодействующей был равен нулю, необходимо одновременное выполнение трех равенств (1):

или или (1)

Равенства (1) называются уравнениями равновесия пространственной сходящейся системы сил.

Если система сил плоская сходящаяся, т.е. все силы лежат в плоскости xy, то последнее уравнение системы (1) выполняется тождественно, и уравнения равновесия примут вид:

Это уравнения равновесия плоской сходящейся системы сил.

5. Теорема о трех силах

Если тело под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство: пусть на тело действуют три силы (рис. 13), две из которых пересекаются, тогда

~

Размещено на http://www.allbest.ru/

по следствию из первой аксиомы, а ~ - по второй аксиоме. Знак ~ обозначает эквивалентность систем. Но по условию система ~ 0, следовательно, по третьей аксиоме силы и равны по величине и имеют общую линию действия. Что и требовалось доказать.

6. Пара сил. Свойства пары сил

Система, состоящая из двух равных по величине и противоположно направленных сил, линии действия которых параллельны, называется парой сил (рис.14).

Действие пары на тело определяется моментом пары. Момент пары - это вектор, равный векторному произведению радиуса вектора, проведенного из точки приложения одной силы в точку приложения другой, на вектор последней силы: Ч. Векторное произведение двух векторов - это вектор, направленный перпендикулярно плоскости расположения перемножаемых векторов так, что поворот от 1-го вектора ко 2-му на наименьший угол виден происходящим против часовой стрелки. Модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, тогда

|| = || Ч || Ч sinб = || Ч h, т.к. || Ч sinб = h.

Эквивалентное определение: момент пары - это вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда вращение пары видно происходящим против часовой стрелки. В примере (рис. 14) вектор момента направлен от нас (такое направление изображается значком , а противоположное - значком ). Величина момента равна произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.

Плечо (h) - кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Свойства пар: 1.У пары можно произвольно менять силы и плечо, оставляя при этом неизменным момент пары. 2. Пару можно переносить в плоскости ее действия. 3. Пару можно переносить в плоскость, параллельную плоскости ее действия.

момент пары - это свободный вектор, т.е. его можно изображать в любой точке твердого тела. Если на тело действует несколько пар, то их можно заменить одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов этих пар.

7. Момент силы относительно точки (центра)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Момент силы относительно точки характеризует вращательный эффект силы.

Момент силыотносительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора, проведенного из центра О в точку приложения силы, на вектор этой силы (рис. 15).

.

Величина момента: ||= ||·||· sinб = ||·h, где h - плечо силы (кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы).

Величина момента: ||= ||·||· sinб = ||·h, где h - плечо силы (кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы). Понятие момента как вектора используется при решении пространственных задач.

Если все силы лежат в одной плоскости, то моменты сил будут направлены перпендикулярно этой плоскости. Поэтому достаточно определения момента как алгебраической величины (т.е. величины со знаком).

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этом случае момент силы равен произведению силы на плечо и имеет знак (+), если сила стремится совершить поворот вокруг центра момента против часовой стрелки (рис.16). Тогда

m_O() = F • h; m_O() = - F•h.

8. Теорема Вариньона

Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен сумме моментов составляющих относительно того же центра.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть (рис. 17) система имеет равнодействующую . Приложим к телу силу = -, тогда система , ~ 0, следовательно, сумма моментов всех сил системы относительно любого центра О, будет равна 0, т.е.

=0.

но , тогда = 0. следовательно, = . Что и требовалось доказать.

9. Теорема о параллельном переносе силы

Силу можно переносить параллельно самой себе из данной точки в любую другую, добавляя при этом, пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство (рис.18): пусть в точке А приложена сила . Приложим в точке В силы и , равные, параллельные силе и направленные в противоположные стороны (следует из первой аксиомы). Тогда систему сил

,, можно рассматривать как силу , равную и приложенную в точке В, и пару сил ,, момент которой равен моменту силы относительно точки В: (,) ==Ч. Что и требовалось доказать.

10. Основная теорема статики

Определение: главным вектором системы сил называется вектор, равный геометрической сумме сил системы:

.

Определение: главным моментом системы относительно центра О называется вектор, равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра.

.

Статика решает две главные задачи:

1. Задачу о равновесии (каким условиям должна удовлетворять система сил, для того чтобы тело под ее действием находилось в равновесии);

2. Задачу о приведении (как данную систему сил заменить другой, в частности более простой).

Вторую задачу статики помогает решить основная теорема статики: любую систему сил можно заменить одной силой, равной главному вектору и приложенной в центре приведения, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту относительно центра приведения.

Доказательство: пусть на тело (рис. 19) действует система сил . Выберем произвольно т. О - центр приведения. По теореме о параллельном переносе, каждую из сил можно перенести в центр О, добавив при этом соответствующую пару сил. В результате, перенеся все силы в точку О, получим систему сил, приложенных в т. О, и систему пар сил с моментами равными моментам сил системы относительно центра О. Сложив все силы, приложенные к центру О, получим главный вектор системы . Сложив все моменты пар сил, получим главный момент . Таким образом, данную систему сил заменили одной силой и одной парой сил с моментом , что и требовалось доказать.

11 . Случаи приведения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. = 0, = 0. Система сил эквивалентна нулю, т.е. находится в равновесии.

2. = 0, 0. Система приводится к паре сил. При этом главный момент не зависит от выбора центра приведения.

3. 0, = 0. Система приводится к равнодействующей, приложенной в центре приведения.

4. 0, 0.

а) . Система приводится к равнодействующей, лежащей на расстоянии

h = || / || от центра приведения (рис. 20).

б) || . В этом случае система приводится к динаме, или силовому винту (рис.21).

Во всех остальных случаях система может быть приведена к динаме. Под действием динамы тело может совершать винтовое движение.

12. Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная проекции момента силы относительно точки, лежащей на оси, на эту ось (рис.22).

Таким образом,

= || cosг.

Векторное произведение двух векторов можно представить в виде определителя. Разложив его по элементам первой строки, получим:

С другой стороны,

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сравнивая эти формулы, получаем:

;

;

.

При решении задач удобно определять момент силы относительно оси по следующему правилу: момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и плоскости, т.е.:

m = m_O = ·h.

Вывод: момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси (F_пр=0) или сила пересекает ось (h=0). Оба эти случая можно объединить: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Геометрически момент силы относительно центра О равен удвоенной площади Д ОАВ, а относительно оси z - удвоенной площади Д ОА₁В₁.

13. Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

Для равновесия необходимо, чтобы выполнялось два равенства:

= 0; = 0.

Поскольку ||, а || =, то для выполнения этих равенств необходимо, чтобы одновременно выполнялись шесть уравнений:

Это уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

или или

Если линии действия всех сил системы параллельны, то, выбрав ось z параллельной линиям действия сил, получим, что первые два и последнее уравнение системы выполнятся тождественно. Тогда останутся три уравнения равновесия:

Это уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил.

14. Уравнения равновесия плоской произвольной системы сил

Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо, чтобы = 0 и = 0, а для этого должны выполняться три равенства:

При решении задач их можно записывать в виде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Это уравнения равновесия произвольной плоской системы сил в основной форме. Существуют и две другие формы уравнений равновесия:

Если линии действия всех сил плоской системы параллельны, то система сил называется плоской системой параллельных сил.

Выберем ось Х так, чтобы она была перпендикулярна линиям действия сил. Тогда уравнение выполняется тождественно. В результате получим два вида уравнений равновесия плоской системы параллельных сил.

или

15. Равновесие системы тел

Иногда приходится решать задачи о равновесии нескольких тел, связанных между собой связями, которые называются внутренними, в отличие от внешних, связывающих рассматриваемую систему тел с другими телами. На рис. 24 шарнир D - внутренняя связь; связи в точках A, B, C - внешние связи.

Для решения задачи в этом случае необходимо составить три уравнения равновесия для всей системы в целом (рис. 23) и три уравнения для любой ее части (рис. 24). В результате будем иметь шесть уравнений, из которых можно определить 6 неизвестных x_A, y_A, R_B, R_C, x_D, y_D .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Три уравнения для другой части (AD) будут уравнениями проверки решения. Здесь следует учесть, что сила, с которой правая часть балки действует на левую, равна и направлена противоположно силе, с которой левая часть балки действует на правую (по аксиоме равенства действия и противодействия).

Задачу можно решить и по-другому, составив по три уравнения для левой и правой части. Тогда три уравнения для всей конструкции будут проверкой решения.

Если система состоит из n тел, то можно составить 3Чn уравнений и определить 3Чn неизвестных. Если неизвестных больше, то задача называется статически неопределимой, если меньше, то система не является жесткой.

16. Расчет ферм

Фермой называется конструкция, состоящая из невесомых стержней, соединенных между собой шарнирами. Стержни фермы полагают идеальными; они воспринимают растяжение или сжатие (но не изгиб). Шарниры соединения стержней фермы называются узлами. У статически определимой фермы число узлов n и число стержней k удовлетворяют равенству: k = 2n - 3. Расчет фермы заключается в определении реакций опор, т.е. внешних связей и определении усилий (реакций) в стержнях фермы.

Методом вырезания узлов пользуются в том случае, если требуется определить усилия во всех стержнях фермы. Если требуется определить усилия в каком-то конкретном стержне, то используют метод сечений (Риттера).

Метод вырезания узлов заключается в том, что мысленно последовательно вырезают и рассматривают равновесие таких узлов фермы, в которых сходится

не более двух стержней с неизвестными усилиями.

Метод сечений заключается в том, что ферму мысленно рассекают линией, пересекающей не более трех стержней с неизвестными усилиями, и рассматривают равновесие более простой части фермы.

17. Центр параллельных сил. Центр тяжести

Размещено на http://www.allbest.ru/

Центром параллельных сил называется точка С, через которую проходит равнодействующая системы параллельных сил, при любом повороте всех сил системы в одном и том же направлении на один и тот же угол.

Найдем координаты т. С (рис. 25) c помощью теоремы Вариньона.

Поскольку

m_x() = , то .

Отсюда находим:

,

где y_k - координата y точки приложения силы F_k. Аналогично определяем координату x_С:

, или .

Тогда

.

Для определения z повернем все силы системы так, чтобы они стали параллельны оси y, тогда

, или .

Отсюда находим:

.

Силы тяжести, действующие на тело, можно приближенно считать сис

темой параллельных сил. Центр системы сил тяжести называется центром тяжести.

Определение: центром тяжести называется точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести точек тела при повороте тела на любой угол.

Для определения координат центра тяжести тела можно использовать формулы, полученные ранее для координат центра параллельных сил.

Если тело неоднородно, то, разбивая его на несколько простых тел (конечных элементов), для которых легко определяются координаты центра тяжести, получаем формулы для определения координат центра тяжести неоднородного тела:

(2)

где P_k - сила тяжести элемента тела с номером k.

Если тело однородное, то:

, (3)

где V_k - объем элемента с номером k; - удельный вес. В этом случае говорят о центре тяжести объема. Подставив (3) в (2) и сократив на , получим формулы, аналогичные (2), в которых вместо P_k будет стоять V_k.

Если у тела два размера много больше третьего, то говорят о центре тяжести поверхности, в этом случае:

, (4)

Где S_k - площадь элемента поверхности тела с номером k; h - толщина поверхности. Если h = const, то подставив (4) в (2), получим аналогичные формулы, в которых вместо P будет стоять S.

Если у тела один размер много больше двух других, то говорят о центре тяжести линии. В этом случае, если площадь сечения S постоянна,

, (5)

где L_k - длина элемента линии с номером k. Подставляя (5) в (2), получим формулы, аналогичные (2), в которых вместо P будет находиться L.

18. Аналитические и экспериментальные методы определения положения центра тяжести

К аналитическим методам определения положения центра тяжести относятся метод разбиений и метод отрицательных площадей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Метод разбиений. Метод заключается в мысленном разбиении тела на несколько простейших (конечных элементов), для которых известно положение центра тяжести. Используют формулы вида (2).

2. Метод отрицательных площадей. Заключается в том, что данное тело дополняют до простейшего. При этом дополняющие элементы (их вес, объем, площадь или длину) считают отрицательными.

Простейшими являются тела, у которых известно положение центра тяжести (ЦТ). Это: однородные диск и окружность, их ЦТ. находится в центре; прямоугольник и параллелограмм, их ЦТ находится в точке пересечения диагоналей; треугольник, его ЦТ находится в точке пересечения медиан. При этом следует учитывать, что медианы точкой их пересечения делятся в отношении 1:2 (рис. 26). Положение центра тяжести кругового сектора можно определить по формуле: ОС=2/3•R• sinб/б, где б - половина центрального угла, выраженного в радианах (рис. 27). ЦТ тела, имеющего центр, плоскость или ось симметрии находится на них.

Из экспериментальных способов отметим методы взвешивания и подвешивания.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод взвешивания (рис. 28). По известным весу тела P, показаниям весов R и расстоянию a определяют расстояние х из уравнения: ?m_O = - P•x + R•a; откуда

х = R•a /P.

Метод подвешивания (применяется преимущественно для плоских тел). При этом способе тело подвешивают на нити сначала в одной точке и проводят линию, продолжающую нить, затем в другой точке. Точка пересечения этих линий определит положение ЦТ.

19. Трение скольжения

При попытке сдвинуть одно тело относительно другого возникает сила, препятствующая этому. Она называется силой трения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гладкая поверхность - это идеализированная поверхность (без трения). Реальные поверхности обладают шероховатостью.Силу трения находят из уравнений равновесия. В предельном случае, предшествующем срыву, т.е. выходу из состояния покоя, силу трения можно определить по формуле: F_тр = N•f, где N - сила нормального давления; f - коэффициент трения покоя (безразмерная величина, определяемая экспериментально).

Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, незначительно зависит от скорости. Коэффициент трения покоя больше коэффициента трения при движении и несколько уменьшается с увеличением скорости.

Реакция шероховатой поверхности R (рис. 29) есть сумма векторов нормальной реакции N и касательной реакции, т.е. силы трения. Реакция R отклонена от нормали. Максимальный угол отклонения реакции шероховатой поверхности от нормали ц называется углом трения. Его можно найти по формуле: tg ц = F_тр/N = f. Если равнодействующая F внешних сил, приложенных к телу, проходит внутри угла трения, то тело не выйдет из равновесия при сколь угодно значительном модуле силы .

20. Трение качения

В теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. В этом идеальном случае тело (рис. 30) вышло бы из состояния покоя при сколь угодно малой силе F, т.к. сумма моментов сил, приложенных к телу, не равна 0, однако этого не происходит. В действительности все тела деформируемы, поэтому нормальная реакция N (рис. 31) смещается в направлении действия силы F, образуя вместе с силой тяжести пару сил, препятствующую качению. Максимальное (предельное) смещение д называется коэффициентом трения качения (измеряется в см или мм). В задачах теоретической механики, когда сопротивление качению необходимо учесть, цилиндрические тела считают абсолютно твердыми и к ним прикладывают момент M (момент сил сопротивления качению), препятствующий качению тела (рис. 32). Величина момента сил сопротивления качению определяется по формуле: M=N•д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Условие, при котором начинается качение, имеет вид:

F • R N • д или F N • д/R.

Здесь R - радиус цилиндра. Условие, при котором начинается скольжение:

F F_тр = f • N.

Поскольку f >> д/R, то при скольжении надо приложить силу во много раз большую, чем при качении.

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С.1.9, табл. С1) находится под действием пары сил с моментом М = 20 кНм и двух сосредоточенных сил, значения которых указаны в таблице. В точке С к раме прикреплен трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р=25 кН. Определить реакции связей, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять a= 0,5 м.

Указания. Задача С1 - на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. Данные для решения задачи взять из таблицы С1. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F' и F'', для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда

Таблица С1

Силы
	F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	Точка прило-жения	б1, град	Точка прило-жения	б2, град	Точка прило-жения	б3, град	Точка приложения	б4, град
0	H	30	-	-	-	-	K	60
1	-	-	D	15	E	60	-	-
2	K	75	-	-	-	-	E	30
3	-	-	K	60	H	30	-	-
4	D	30	-	-	-	-	E	60
5	-	-	H	30	-	-	D	75
6	E	60	-	-	K	15	-	-
7	-	-	D	60	-	-	H	15
8	H	60	-	-	D	30	-	-
9	-	-	E	75	K	30	-	-

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример C1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изогнутый стержень (рама BCDА, рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, б = 60?, Р = 18 кН, г = 75?, М = 50 кНм, в = 30?,

б = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение.

1. Рассмотрим равновесие рамы. Введем координатные оси xy и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т=Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакцию подвижного шарнира направим перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия (основная форма). При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и учтем, что Получим:

(С1.1)

(С1.2)

(С1.2)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: x_А=-8,5 кН; y_А=-23,3 кН; R_B=7,3 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. С1.

Задача С2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 - С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6-С2.9).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М=60 кНм, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, направления и точки их приложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка. Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а. статика сила центр ось

Указания. Задача С2 на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем - равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон равенства действия и противодействия.

Таблица С2

Сила					Участок
	F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	Точка прило-жения	б1, град	Точка прило-жения	б2, град	Точка прило-жения	б3, град	Точка прило-жения	б4, град
0	K	60	-	-	H	30	-	-	CL
1	-	-	L	60	-	-	E	30	CK
2	L	15	-	-	K	60	-	-	AE
3	-	-	K	30	-	-	H	60	CL
4	L	30	-	-	E	60	-	-	CK
5	-	-	L	75	-	-	K	30	AE
6	E	60	-	-	K	75	-	-	CL
7	-	-	H	60	L	30	-	-	CK
8	-	-	K	30	-	-	E	15	CL
9	H	30	-	-	-	-	L	60	CK

Таблица С2а

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	рис. С.1,2,4,6,8	рис.С.0,3,5,7,9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример C2. На угольник ABC (<ABC=90?), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. С2 а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору, и к нему приложена сила , а к угольнику - равномерно распределенная на участке КВ нагрузка интенсивности q и пара сил с моментом М.

Дано: F=10 кН, М =5 кНм, q =20 кН/м, а = 0,2 м. Определить: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.

Решение.

1. Для определения реакции расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С2 б). Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню, и составляющие реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(С2.1)

(С2.2)

(С2.3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2 в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка КВ (численно Q = q4a = 16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими , и пары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(С2.3)

(С2.4)

(С2.5)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (С2.1) - (С2.6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N?=N в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: N= 21,7 кН, Y_D=-10,8 кН; Х_D=8,8 кН,Х_А=-26,8 кН, У_А = 24,7 кН,

М_А = - 42,6 кНм. Знаки указывают, что силы и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача С3

Ферма, состоящая из 7 стержней и пяти узлов, закреплена, как показано на рис. С3.0 - С3.9. В узлах фермы приложены две сосредоточенные силы, значения которых и точки их приложения указаны в таблице С3. Здесь же даны размеры фермы. Требуется методом вырезания узлов определить усилия во всех стержнях фермы. Для трех стержней фермы (по усмотрению студента) сделать проверку методом сечений. Указание. Вначале необходимо составить уравнения равновесия для всей фермы в целом и определить три неизвестные реакции опор.

Таблица С3

Силы
	F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	б , град	а, м	H, м	Точкаприложения	б1, град	Точка приложения	б2, град	Точка приложения	б3, град	Точка приложения	б4, град
0	30	4	2	С	30	-	-	-	-	D	60
1	60	5	3	-	-	E	30	C	60	-	-
2	45	6	4	E	60	-	-	-	-	C	30
3	30	7	3	-	-	C	60	D	30	-	-
4	60	8	4	C	30	-	-	-	-	D	60
5	45	4	2	-	-	D	30	-	-	C	90
6	30	5	3	E	60	-	-	C	30	-	-
7	60	6	4	-	-	C	60	-	-	E	30
8	45	7	3	C	60	-	-	E	30	-	-
9	30	8	2	-	-	D	60	C	30	-	-

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример С3. В узлах фермы С и D (рис. С3) приложены силы: F₁ =10 H, и F₂ =20 H. Определить усилия во всех стержнях фермы методом вырезания узлов. Кроме того, определить усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений. Размеры указаны на рисунке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определим реакции опор: x_A, y_A, R_B.

Для этого составим уравнения равновесия для всей фермы в целом.

(С3.1)

(С3.2)

(С3.3)

Решая уравнения (С3.1) - (С3.2), находим: x_A = - 16,309 Н; y_A = 1,752 Н;

R_B = 15,297 Н.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Вначале будем полагать, что все стержни растянуты, тогда их реакции будут направлены вовнутрь стержней. Покажем все силы, действующие на узел А (рис. С3а). Поскольку в узле А сходится только 2 стержня, то усилия в этих стержнях можно определить из уравнений равновесия:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отсюда

Тогда

Далее можно рассмотреть равновесие узла В ( в нем сходится два стержня) или узла С (рис. С3б). В узле С сходится три стержня, но усилие s₁ нами уже определено, поэтому из уравнений равновесия можно найти s₂ , s₃ .

Угол б определим из треугольника АЕС: , тогда б = 36,9є, и sin б = 0,6; cos б = 0,8.

Составим уравнения равновесия:

Решая эту систему уравнений, находим: s₃ = 11,254 H, s₂ = -17,663 H. Отрицательные значения усилий в первом и втором стержнях показывают, что эти стержни не растянуты, как предполагалось, а сжаты.

Далее можно рассмотреть равновесие узла Е и определить s₅ , s₆ . Из уравнения проекций на ось у для узла D можно найти усилие в седьмом стержне s₇. Уравнения равновесия для узла В должны обратиться в тождество, они являются уравнениями проверки.

3. Определим усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений. Рассечем ферму сечением I-I (рис. С3в) и составим уравнения равновесия для части фермы, расположенной слева от сечения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Из уравнения (С.3.4) находим s₂ = -17,663 H.

Из уравнения (С.3.5) находим s₃ = 11,254 H.

Из уравнения (С.3.6) находим s₄ = 16,309 H.

Сравнивая эти результаты с полученными ранее, делаем вывод, что задача решена правильно.

Задача С4

Шесть невесомых стержней соединены концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С4.0-С4.9, табл. С4). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р=200 Н; во втором узле приложена сила Q=100 H. Сила образует с положительными направлениями координатных осей х, y, z заданные углы, равные соответственно ₁ = 45, ₁ = 60, ₁ = 60, а сила Q - углы ₂ = 60, ₂ = 45, ₂ = 60. Грани параллелепипеда, параллельные плоскости xy, - квадраты. Диагонали других (боковых) граней образуют с плоскостью xy угол = 60, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол = 51. Определить усилия в стержнях полученной пространственной фермы.

Указания. Задача С4 - на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов.

Таблица С4

Номер условия	0	1	2	3	4
Узлы	H, M	L, M	K, M	L, H	K, H
Стержни	HM, HA, HB, MA, MC, MD	LM, LA, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KB, MA, MC, MD	LH, LC, LD, HA, HB, HC	KH, KB, KC, HA, HC, HD
Номер условия	5	6	7	8	9
Узлы	M, H	L ,H	K, H	L, M	K, M
Стержни	MH, MB, MC, HA, HC, HD	LH, LB, LD, HA, HB, HB	KH, KC, KD, HA, HB, HC	LM, LB, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KD, MA, MB, MC

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример С4.

Конструкция (пространственная ферма) состоит из невесомых стержней 1, 2, …,6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С4). В узлах К и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы ₁, ₁, ₁ и ₂, ₂, ₂ соответственно (на рисунке показаны только углы ₁, ₁, ₁).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дано: Р = 100 Н, ₁ = 60, ₁ = 60, ₁ = 45, Q = 50 H, ₂ = 45, ₂ = 60, ₂ = 60;

= 30, = 60, ? 74. Определить: усилия в стержнях 1- 6.

Решение

1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. на узел действуют сила и реакции стержней, которые направим по стержням от узла, считая стрежни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(С4.1)

(С4.2)

(С4.3)

Решив уравнения (С4.1) - (С4.3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим: N₁ = 349 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На него действует силы ,. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно, численно же N?₂ = N₂.

Составим уравнения равновесия:

(С4.4)

(С4.5)

(С4.6)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (С4.4) и (С4.5) удобно сначала найти проекцию этой силы на плоскость xOy

(по величине), а затем найденную проекцию на плоскость спроецировать на оси. Решив систему уравнений (С4.4) - (С4.6) и учитывая ,что: , найдем силы N₄, N₅, N₆.

Ответ:N₁ = 349 H; N₂ = - 345 H; N₃=141 H; N₄ = 50 H; N₅ = 329 H; N₆ = - 66 H.

Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные - растянуты.

Задача С5

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены, как показано на рис. С5.0-С5.9.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Р₁ = 5 кН, вес меньшей плиты Р₂ = 3 кН. каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость xy горизонтальная). На плиты действует пара сил с моментом М = 4 кНм, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С5; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной xz, и сила в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H, K) находятся в углах или в серединах сторон плит. Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). Принять a = 0,6 м.

Указания. Задача С5 - на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении момента силы иногда удобно разложить ее на две составляющие , параллельные координатным осям, (или на три); тогда по теореме Вариньона, записанной относительно оси ох, .

Таблица С5

Силы
Номер условия	F1=6 кН	F2=8 кН	F3=10 кН	F4=12 кН
	Точка приложе-ния	1, град	Точка приложе-ния	2, град	Точка приложе-ния	3, град	Точка приложе-ния	4, град
0	E	60	H	30	-	-	-	-
1	-	-	D	60	E	30	-	-
2	-	-	-	-	K	60	D	30
3	K	30	-	-	D	0	-	-
4	-	-	E	30	-	-	D	60
5	H	0	K	60	-	-	-	-
6	-	-	H	90	E	30	-	-
7	-	-	-	-	H	60	K	90
8	D	30	-	-	K	0	-	-
9	-	-	E	90	-	-	H	30

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример С5. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С5) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости, параллельной xz, действует сила , а в плоскости, параллельной yz, пара сил с моментом М.